Estudo de Funções Matemáticas

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Fundamentos de 
Cálculo Aplicado
Fundamentos gerais sobre 
funções
https://bit.ly/3OtjF8v (acesso em 14 nov. 2022)
O que são 
funções?
Quais as principais 
categorias de 
funções?
Por que estudar 
funções?
Conteúdos:
• Funções
• Afim
• Quadrática
• Exponencial
• Logarítmica
• Trigonométrica
Introdução ao 
estudo das 
funções
Funções
Fonte: STEWART, 2015, p.11.
𝑓: 𝐷 → 𝐸
 𝑥 ↦ 𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑥 – variável independente
𝑓(𝑥) – variável dependente 
Domínio Contradomínio
Imagem
Exemplo: 𝐴 = 1, 2, 3, 5 e 𝐵 = −2, −1, 0, 2, 8
𝑓: 𝐴 → 𝐵
 𝑥 ↦ 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 3 Representação algébrica
Diagrama
𝑓𝑨 𝑩
1
2
3
−2
2
5
−1
0
8
Gráfico
1 3
4 5
6 7
Função polinomial de 1º grau ou função afim
Exemplo:
𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 1
𝑓: ℝ → ℝ
 𝑥 ↦ 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
com 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ
Casos 
particulares
Função linear Função constante
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑏
Aplicação nas escalas termométricas:
𝑇 = 𝑇 + 273,15
https://bit.ly/2O8InNU (acesso em 14 nov. 2022)
Situação-problema: custos de produção
Em uma indústria de produtos eletrônicos,
apurou-se, sob determinadas condições de
produção, dois modelos de custos:
Modelo A: custo fixo de R$ 15,20, e custo variável 
de R$ 0,50 por peça produzida
Modelo B: custo fixo de R$ 1,07, e custo variável 
de R$ 0,57 por peça produzida
www.freepik.com (acesso em 14 nov. 2022)
• Quais são os modelos matemáticos dessas duas
situações de produção?
• Quais são os gráficos dessas duas funções?
• É possível identificar se para níveis bastante
elevados de produção é mais interessante
trabalhar na condição do Modelo A ou do B?
• Construção das leis de formação:
• Modelo A: custo fixo de R$ 15,20 e custo 
variável de R$ 0,50 por peça produzida
• Modelo B: custo fixo de R$ 1,07 e custo variável 
de R$ 0,57 por peça produzida
8 9
10 11
12 13
• Comparação dos custos de produção:
0
50
100
150
200
250
300
350
0 100 200 300 400 500 600
Modelo A
Modelo B
• Vejamos em que situação os custos de produção serão iguais:
Analisando o gráfico podemos observar que
• Modelo A: compensa para 𝑥 > 202
• Modelo B: compensa para 𝑥 < 202
0
50
100
150
200
250
300
350
0 100 200 300 400 500 600
𝑥 = 202
Funções 
quadráticas
Função polinomial de 2º grau ou função quadrática
Exemplo:
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2𝑥 + 1
𝑓: ℝ → ℝ
 𝑥 ↦ 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐
com 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐
• Raízes ou zeros:
• Vértice:
• Discriminante:
𝑥 =
−𝑏 ± ∆
2 ⋅ 𝑎
𝑉 −
𝑏
2𝑎
, −
∆
4𝑎
Δ = 𝑏 − 4 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑐
14 15
16 17
18 19
Discriminante 𝒂 > 𝟎 𝒂 < 𝟎
Δ > 0
Δ = 0
Δ < 0
Situação-problema: estudo de custo e lucro
Considere as seguintes informações a respeito de certa empresa:
• Custo total em função da quantidade de unidades vendidas:
𝐶 𝑥 = 1000 + 4𝑥
• Função demanda – preço de venda em função da quantidade
vendida:
𝑝 = 700 − 5𝑥
• Qual é a quantidade de unidades que deve ser
produzida para que se atinja o lucro máximo?
• Qual é o valor do lucro máximo?
• Para quais quantidades produzidas há prejuízo?
• Dados do problema:
• Função custo de produção: 𝐶 𝑥 = 1000 + 4𝑥
• Função demanda – preço de venda em função da quantidade 
vendida: 𝑝(𝑥) = 700 − 5𝑥
• Função receita: 
• produto entre preço de venda unitário 𝑝 e a 
quantidade de unidades vendidas 𝑥
Função lucro: diferença entre a receita e o custo
𝐿 𝑥 = 𝑅 𝑥 − 𝐶(𝑥)
• Função quadrática
• Coeficientes:
𝐿 𝑥 = −5𝑥 + 696𝑥 − 1000 < 0
• Quantidade a ser produzida para atingir lucro máximo: avaliar a
coordenada 𝑥 do vértice:
• Lucro máximo: avaliar a coordenada 𝑦 do vértice:
20 21
22 23
24 25
• Há prejuízo quando 𝐿 𝑥 = −5𝑥 + 696𝑥 − 1000 < 0
𝑥
𝑥
Lucro negativo:
𝑥 < 𝑥
ou
𝑥 > 𝑥
𝐿 𝑥 = −5𝑥 + 696𝑥 − 1000 < 0
• Determinação das raízes:
Δ = 696 − 4 ⋅ −5 ⋅ −1000 = 464 416 ⇒ Δ ≈ 681,48
𝑥 ≈
−696 + 681,48
2 ⋅ (−5)
=
−14,52
−10
= 1,452
𝑥 ≈
−696 − 681,48
2 ⋅ −5
=
−1377,48
−10
= 137,748
• Logo, o lucro será negativo quando 
𝑥 < 1,452 unidades ou 𝑥 > 137,748 unidades.
Funções 
exponenciais e 
logarítmicas
Função exponencial
𝑓: ℝ → ℝ∗
 𝑥 ↦ 𝑓(𝑥) = 𝑎
com 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, que associa a cada número
real 𝑥 um único número 𝑎 real, positivo e
diferente de zero.
Para 𝑎 > 1, 
função crescente
Para 0 < 𝑎 < 1, 
função decrescente
𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑓 𝑥 = 𝑎
• Número de Euler: número irracional e positivo,
cuja representação aproximada com 15 casas
decimais é 𝑒 ≈ 2,718281828459045
• Representado por 𝑒 em homenagem ao
matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783).
• Função exponencial com base 𝑒:
𝑓: ℝ → ℝ
 𝑥 ↦ 𝑓 𝑥 = 𝑒
26 27
28 29
30 31
Aplicação: Juro composto
Cálculo de montante: emprego da função 𝑀 𝑡 = 𝑐 𝑖 + 1 , em que 𝑐 é 
um número real não nulo, 𝑡 e 𝑖 são números reais positivos.
Exemplo:
NETO, 2017, p.138.
𝑀 𝑡 = 1000 1 + 0,06 Função do tipo 
exponencial
Função logarítmica
𝑔: ℝ∗ → ℝ
 𝑥 ↦ 𝑔 𝑥 = log 𝑥
com 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1.
Função logarítmica é a inversa da 
função exponencial em domínios e 
contradomínios convenientes
Exemplo: determine o domínio para a função logarítmica
𝑓 𝑥 = log 𝑥 + 1
Para 𝑎 > 1, 
função crescente
Para 0 < 𝑎 < 1, 
função decrescente
𝑔 𝑥 = log 𝑥
𝑔 𝑥 = log 𝑥
𝑔 𝑥 = log 𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑎
𝑦 = 𝑥
Situação-problema: meia vida
O decaimento radioativo do iodo 131 é descrito pela função
𝑃 𝑡 = 𝑃 ⋅ 2 , em que 𝑃 é a concentração inicial do elemento e 𝑡 é
o tempo (em dias) contado desde que foi medida a concentração, para
𝑘 ∈ ℝ∗ .
Sabendo que a meia-vida do iodo 131 é de 8 dias, 
se uma amostra tem concentração de 50 pCi/l dessa 
substância, após quantos dias a concentração será 
igual a 2,5 pCi/l?
32 33
34 35
36 37
• Determinando 𝑘 com 𝑃 8 = = 25:
25 = 50 ⋅ 2
2 = 2
𝑘 =
1
8
Logo, 
𝑃 𝑡 = 50 ⋅ 2 /
• Determinando 𝑡 para o qual 𝑃 𝑡 = 2,5:
50 ⋅ 2 = 2,5
2 / = 0,05
ln 2 / = ln 0,05
−
𝑡
8
ln 2 = ln 0,05
𝑡 = −8 ⋅
ln 0,05
ln 2
𝑡 ≈ 34,6
Funções 
trigonométricas
Função seno é a função 𝑓: ℝ → ℝ, dada por 
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 , que associa a cada número real x, 
um único número 𝑠𝑒𝑛 𝑥 também real.
PAIVA, 2010, p.532
Função seno
𝑓 𝑥 = sen 𝑥
𝐷 𝑓 = ℝ
𝐼𝑚 𝑓 = −1, 1
Função periódica:
𝑃 = 2𝜋
Função ímpar:
sen −𝑥 = −sen 𝑥
𝑓 𝑥 = sen 𝑥
Comparando 𝑓 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 sen 𝑐𝑥 + 𝑑 e
𝑔 𝑥 = sen 𝑥 temos:
• 𝒂: translada em 𝑎 unidades para cima se 𝑎 > 0
ou para baixo se 𝑎 < 0.
• 𝒃: amplia verticalmente se 𝑏 > 1 e comprime
verticalmente se 𝑏 < 1.
• 𝒄: amplia o período se 𝑐 < 1 e comprime se
𝑐 > 1, sendo o novo período 𝑝 = .
• 𝒅: translada em unidades para a esquerda se 
𝑑/𝑐 > 0 ou para a direita se 𝑑/𝑐 < 0.
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40 41
42 43
Exemplo Função cosseno é a função g: ℝ → ℝ, dada por 
g 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 , que associa a cada número real x, um 
único número cos 𝑥 também real.
PAIVA, 2010, p.532
Função cosseno
𝑔 𝑥 = cos 𝑥
𝐷 𝑔 = ℝ
𝐼𝑚 𝑔 = −1, 1
Função periódica:
𝑃 = 2𝜋
Função par: 
cos −𝑥 = cos 𝑥
g 𝑥 = cos 𝑥
Comparando 𝑓 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 cos 𝑐𝑥 + 𝑑 e
𝑔 𝑥 = cos 𝑥 temos:
• 𝒂: translada em 𝑎 unidades para cima se 𝑎 > 0
ou para baixo se 𝑎 < 0.
• 𝒃: amplia verticalmente se 𝑏 > 1 e comprime
verticalmente se 𝑏 < 1.
• 𝒄: amplia o período se 𝑐 < 1 e comprime se
𝑐 > 1, sendo o novo período 𝑝 = .
• 𝒅: translada em unidades para a esquerda se 
𝑑/𝑐 > 0 ou para a direita se 𝑑/𝑐 < 0.
Exemplo Tangente
Razão trigonométrica:
tg 𝛼 =
sen 𝛼
cos 𝛼
𝑡𝑔 0° = 0
𝑡𝑔 180° = 0
𝑡𝑔 360° = 0
𝑡𝑔 90° = 𝑛ã𝑜 é 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎
𝑡𝑔 270° = 𝑛ã𝑜 é 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎
Função tangente é a função 𝑓: ℝ → ℝ 
𝑐𝑜𝑚 𝑥 ≠ + 𝑘𝜋 𝑒 𝑘 ∈ ℤ, dada por ℎ(𝑥) = 𝑡𝑔 𝑥 , que 
associa a cada número real x, um único número 
tg 𝑥 também real.
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48 49
Função tangente 
ℎ 𝑥 = tg 𝑥
Atenção ao 
domínio! 
Função tangente 
não está definida 
em − , , , ...
𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋
𝑘 ∈ ℤ
Outras funções trigonométricas
cossec 𝛼 =
1
sen 𝛼
sec 𝛼 =
1
cos 𝛼
cotg 𝛼 =
1
tg 𝛼
Encerramento
Recapitulando
Nesta aula estudamos:
Função Relação especial entre 
conjuntosFunção afim 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏
Função quadrática 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐
www.freepik.com (acesso em 14 nov. 2022)
Função exponencial 𝑓 𝑥 = 𝑎 , com 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1
Função logarítmica
𝑓 𝑥 = log 𝑥 , com 𝑎 > 0, 
𝑎 ≠ 1 e 𝑥 > 0
Funções 
trigonométricas
𝑓 𝑥 = sen (𝑥)
𝑔 𝑥 = cos 𝑥
ℎ 𝑥 = tg 𝑥
www.freepik.com (acesso em 14 nov. 2022)
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