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Pré-Cálculo
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Slide 3
Pré-Cálculo 1
Domínio e Contradomínio Naturais
(Efetivos) de Uma Função
Pré-Cálculo 2
Domínio e contradomínio naturais de uma função
Quando uma função real é definida apenas pela sua lei de
associação, convenciona-se que o seu domínio é o maior
subconjunto D de R onde a lei de associação da função pode
ser avaliada
dom(f ) = D = {x ∈ R|f (x) ∈ R}.
e que o seu contradomínio é R.
Convenção
Exemplo: f (x) =
1
x
.
O domínio natural de f é D = R− {0}.
Pré-Cálculo 3
Domínio e contradomínio naturais de uma função
Quando uma função real é definida apenas pela sua lei de
associação, convenciona-se que o seu domínio é o maior
subconjunto D de R onde a lei de associação da função pode
ser avaliada
dom(f ) = D = {x ∈ R|f (x) ∈ R}.
e que o seu contradomínio é R.
Convenção
Atenção: aqui, o termo “domínio natural” não significa
que o domínio da função seja o conjunto N dos números naturais!
O domínio natural também é denominado efetivo ou maximal!
Pré-Cálculo 4
Exercício 1: Qual é o domínio natural de f (x) =
1√
2 x − 4
?
Resolução: Temos que
D = {x ∈ R : 2 x − 4 > 0}
Como
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x > 4
2
⇔ x > 2,
segue que o domínio maximal de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
0 1 2
2 Pré-Cálculo 5
Exercício 2: Qual é o domínio natural de f (x) =
1
x3 − x
?
Resolução: Temos que
D = {x ∈ R : x3 − x 6= 0}
Como
x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1,
segue que o domínio maximal de f é
D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.
−1
−1
0
0
1
1
Pré-Cálculo 6
Exercício 3: Qual é o domínio maximal de f (x) =
1√
1− 2 x − 6
x − 1
?
Resolução: Temos que D =
{
x ∈ R : 1− 2 x−6x−1 > 0
}
. Como
1−2 x − 6
x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6
x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1
< 0 ⇔ x − 5
x − 1
< 0
Sinal de
x − 5
Sinal de
x − 1
Sinal de
(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
segue que D = {x ∈ R | 1 < x < 5}= (1,5).
Pré-Cálculo 7
Exercício 4: Se a função f tem domínio (1,2], determine o
domínio da função definida por
g(x) = f
(
1
x − 1
)
.
Resolução: O domínio de g é o conjunto dos valores de x
para os quais f
(
1
x−1
)
está definido.
Assim, x está no domínio de g se, e só se, 1x−1 ∈ (1,2] e x 6= 1
1
x − 1
∈ (1,2]⇔ 1 < 1
x − 1
6 2⇔ 1
x − 1
> 1 e
1
x − 1
6 2.
Pré-Cálculo 8
Exercício 4: Resolução
I
1
x − 1
> 1⇔ 1
x − 1
− 1 > 0⇔ 1
x − 1
− x − 1
x − 1
> 0⇔ 2− x
x − 1
> 0
⇔ x ∈ (1,2) (Por quê?)
I
1
x − 1
6 2⇔ 1
x − 1
− 2 6 0⇔ 1
x − 1
− 2x − 2
x − 1
6 0⇔ 3− 2x
x − 1
6 0
⇔ x ∈ (−∞,1) ∪
[
3
2
,+∞
)
(Por quê?)
Assim, x ∈ (1,2) ∩
[
(−∞,1) ∪
[
3
2
,+∞
)]
− {1} =
[
3
2
,2
)
.
Pré-Cálculo 9
Exercício 4: Resolução
Logo, o domínio de g é
[
3
2
,2
)
.
Pré-Cálculo 10
Modelagem com funções reais
Pré-Cálculo 11
Motivação: o problema da caixa
Você foi contratado por uma empresa que fabrica caixas sem tampa. Cada caixa
é construída a partir de uma folha retangular de papelão medindo 30 cm × 50 cm.
Para se construir a caixa, um quadrado de lado medindo x cm é retirado de cada
canto da folha de papelão.
50 cm
30 cm
x
x
Dependendo do valor de x , diferentes caixas (com diferentes volumes) podem ser
confeccionadas. O problema é determinar o valor de x a fim de que a caixa
correspondente tenha o maior volume possível.
Pré-Cálculo 12
Motivação: o problema da caixa
Pré-Cálculo 13
O problema da caixa
50 cm
30 cm
x
x
Aqui, y = V (x) = x (30− 2 x) (50− 2 x) = 1500 x − 160 x2 + 4 x3 e D = (0,15).
Pré-Cálculo 14
O problema da caixa
Pré-Cálculo 15
O problema da caixa
Em Cálculo I -A-,
você aprenderá a calcular exatamente
o valor de x que maximiza o volume da caixa:
x =
40− 5
√
19
3
≈ 6.068 . . . .
Pré-Cálculo 16
O problema da caixa
O problema da caixa foi modelado por meio de uma função real f .
Por que é importante, neste contexto, conhecer
o domínio e a imagem de f?
É possível produzir uma caixa com volume 5000 cm3?
É possível produzir uma caixa com volume 2000 cm3?
De quantas maneiras diferentes?
Pré-Cálculo 17
Exercício 5:
Determine uma função que expresse a área do retângulo com base
no eixo x e vértices superiores sobre a parábola y = 12− x2.
Pré-Cálculo 18
Exercício 5: Resolução
Hx,yL
-2 3 2 3
x
12
y
Note que (x , y) está localizado no
primeiro quadrante. Assim, a área
A do retângulo será dada por
A = 2 · x · y .
Como (x , y) está na parábola, se-
gue que y = 12− x2. Logo,
A = 2x(12− x2),
onde x ∈ (0,2
√
3).
Pré-Cálculo 19
Exercício 6:
Do ponto A, situado numa das margens de um rio de 100 m de
largura, deve-se levar energia elétrica ao ponto C situado na outra
margem do rio. O fio a ser utilizado sobre a água custa R$ 5,00 o
metro, e o que será utilizado sobre terra R$ 3,00 o metro. Encontre
uma função que expresse o custo da ligação de A a C. Suponha as
margens retilíneas e paralelas.
A
B C
100
1000
Pré-Cálculo 20
Exercício 6: Resolução
A
B C
100
1000
Considere x como a distância entre o ponto A e o ponto B′, que é
a projeção de B sobre a margem em que A está. Olhando para o
triângulo retângulo de vértices A, B e B′, obtemos que a medida do
segmento AB é igual a
√
1002 + x2 e que a distância de B a C é
igual a 1000− x . Assim, o custo C de ligação de A a C é dada por
C = 5
√
10 000− x2 + 3(1000− x)
onde x ∈ [0,1000].
Pré-Cálculo 21
Exercício 7:
Determine uma função que expresse a distância de um ponto do
gráfico de y = 4− x2 ao ponto (0,2).
Pré-Cálculo 22
Exercício 7: Resolução
Hx,yL
-2 2
x
2
4
y
Considere (x , y) um ponto da pará-
bola. Neste caso,então, y = 4− x2
e a distância, d , entre os pares or-
denados (0,2) e (x ,4− x2) é dada
por Logo,
d =
√
(x − 0)2 + (y − 2)2
=
√
x2 + (4− x2 − 2)2
=
√
x4 − 2x2 + 4
onde x ∈ R.
Pré-Cálculo 23
	Domínio e Contradomínio Naturais (Efetivos) de Uma Função
	Modelagem com funções reais