Aula_9_-Exercicios_resolvidos resistencia de materiais

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UNIDADE I
Exercício 1 – Uma viga baldrame é um tipo de viga que é utilizada na fundação de casas e edifícios de pequeno porte, construída in loco. Na construção de um edifício, determinou-se que esta viga tinha que ter área da seção transversal quadrada e possuir momento de inércia em relação ao eixo X igual a 0,8594 m4, para garantir a resistência necessária. Qual deve ser o valor do lado da seção transversal? 
Resolução:
Dados do exercício: 
Do livro, página 24, equação (a): 
Como a seção transversal é quadrada: 
Assim: 
Para atender às especificações do projeto, o lado da seção transversal deve ser igual a 1,7920 m
UNIDADE II
Exercício 2 – Para elevar um tanque de ar comprimido com 65 kN de peso, utiliza-se um cabo de aço com área efetiva igual 380 mm2, garantido que a linha de ação da força que traciona o cabo é paralela ao cabo. Qual a tensão que se observa no cabo? Se a tensão admissível for igual a 150 MPa, a operação encontra-se dentro das especificações de segurança? Se não está, apresente uma solução, para adequar o processo.  	Comment by Artur Lemes Moretti: Garante que a tensão aplicada no cabo é a tensão normal
Resolução:
Dados do exercício:
A tensão normal é então: 
	Comment by Artur Lemes Moretti: No livro - Equação 1 – página 65. 
Segundo o enunciado, a tensão admissível é igual a 150 MPa, como a tensão que está sendo aplicada no cabo é de 171,052 MPa, a operação não se encontra dentro dos limites de segurança, pois . Uma solução é trocar o cabo por outro com maior bitola (diâmetro), que possui maior área de seção transversal. 	Comment by Artur Lemes Moretti: Não quer dizer que o cabo vai se romper! Quer dizer que a tensão praticada está acima da recomendada, por segurança! 	Comment by Artur Lemes Moretti: No livro – Considerações de projeto – página 80
Exercício 3 – O parafuso no projeto de uma máquina deve ser dimensionado para aguentar uma força de 15 kN, na direção do cisalhamento. Se a tensão de cisalhamento máxima permitida ao parafuso é igual a 190 MPa, qual dever ser o diâmetro do parafuso? 
Resolução:
Dados do exercício: 
Da definição da tensão de cisalhamento, equação 3, página 69:
Como se deseja dimensionar o parafuso, é necessário encontrar a área da seção transversal
Como se pede o diâmetro do parafuso, pode-se concluir que a área da seção transversal é um círculo, ou seja:
	Comment by Artur Lemes Moretti: Para converter de metros para milímetros, multiplique por 1000
O diâmetro do parafuso dever ser de, no mínimo, 10,03 mm. 
Exercício 4 – Os ensaios de tensão-deformação são importantes para testar os materiais que fazem parte de diversas estruturas. Sem estes testes, os limites de segurança das estruturas não seriam conhecidos, impedindo o desenvolvimento e até mesmo o aperfeiçoamento de projetos na engenharia. Com base nos diagramas de tensão-deformação e na figura a seguir, analise as afirmativas a seguir: 
I - Se a região elástica de um diagrama de tensão-deformação se prolonga até 1,25 (adimensional) no eixo horizontal e até 250 GPa no eixo vertical, o módulo de elasticidade do material é de 200 GPa.	Comment by Artur Lemes Moretti: Esta parte diz o seguinte: a região linear vai de 0 até a deformação ser igual a 1,25. Neste ponto, o valor de tensão é de 250 GPa. Como o módulo de elasticidade é a inclinação da reta, basta dividir o valor em y pelo valor em x
VERDADEIRO – Pela equação 5 da página 79 do livro:
II - O ponto C no diagrama corresponde ao limite de proporcionalidade.
FALSO – O limite de proporcionalidade é o último ponto no qual se observa uma reta inclinada. Neste caso, B é o limite de proporcionalidade. 
III - O material submetido ao teste de tração deforma-se mais entre o ponto A e o ponto B do que no resto do diagrama.
FALSO – A região de deformação plástica do material (entre os pontos B e E) é a que apresenta maior comprimento, ou seja, é onde o material mais se deforma. Como a região entre A e B é a região elástica, esta afirmação é falsa
IV - Quando há o escoamento, na região plástica, após o ponto C, o material pode sofrer grandes alterações na sua estrutura, o que pode conferir maior resistência à tração. Tal fato é verificado pelo aumento da tensão necessária para causar dada deformação no material
VERDADEIRO – Neste diagrama conforme o material vai se alongando, chega um momento em que uma maior tensão deve ser aplicada para continuar com a deformação. Esta tensão vai aumentando até chegar no ponto E. Este aumento indica de fato uma alteração na estrutura que promove maior resistência à tração. 
V – A  maior tensão observada no diagrama é aquela indicada no ponto E
FALSO – A maior tensão observada é a que está mais distante do 0, no eixo vertical. Este ponto é o ponto D, não o E. 
Exercício 5 – Em uma máquina, duas barras com 200 mm de altura cada são soldadas. A barra AB tem área da seção transversal igual a 300 mm2 e a barra BC tem área da seção transversal igual a 148 mm2. As duas barras são tracionadas por uma força com intensidade F. Se esta força faz o ponto C deslocar 3,8 mm, qual a intensidade da força F? 
Dados: EAB = EBC = 208 GPa. 
Resolução:
Dados do exercício: 
Aplicando a Equação (13) da página 82: 	Comment by Artur Lemes Moretti: Deve-se aplicar uma equação que relaciona a força aplicada perpendicularmente à área da seção transversal com a deformação sofrida pelo elemento de análise. As equações 12 e 13 da página 82 fornecem esta relação. A equação 13 deve ser utilizada pois, ao longo do elemento de análise (barra AC) ocorre variação da seção transversal da barra. Essa equação também seria válida se ocorresse variação da força (P), do comprimento (L) ou do módulo de elasticidade (E). 
UNIDADE III
Exercício 6 – Duas placas metálicas são soldadas, conforme mostra a figura abaixo. A linha de solda faz um ângulo de 35° com a horizontal. 
Quando é utilizada para reforçar uma parede, surgem, na placa, tensões normais verticais com intensidade de 1,2 MPa no sentido da tração e tensões normais horizontais com 0,5 MPa de intensidade no sentido da compressão. 
a) Qual a intensidade da tensão normal aplicada perpendicular à linha de solda? 
b) Qual a intensidade da tensão de cisalhamento, paralela à linha de solda? 
c) Se a solda é feita de uma liga que possui tensão admissível de tração igual a 0,5 MPa e tensão admissível de cisalhamento igual a 1,2 MPa, a situação apresentada estaria dentro das normas de segurança estabelecidas? Justifique. 
Resolução:
Dados do exercício: 
Valor e sinais das tensões (Figura 4, página 106). 
a) Determinação do ângulo de análise (em verde, as tensões normais perpendiculares à região da solda): 
	
Dessa forma, as tensões devem ser avaliadas para (sentido horário, a partir de x) ou para , para se avaliar as tensões normais perpendiculares à linha de solda. 
Utilizando e aplicando na equação de (Equação 8 da página 108) 
b) Determinação do ângulo de análise (em verde, as tensões de cisalhamento paralelas à região da solda): 
Assim, pela figura, o ângulo de análise é igual a . Dessa forma, a tensão de cisalhamento é a fornecida pela equação (9) da página 108. 
c) Dados do exercício: 
Tensões de fato aplicadas na região da solda: 
	Notamos que:
Assim, a situação apresentada não segue as recomendações de segurança, pois apresenta uma tensão (a normal) maior que a admissível. 
Exercício 7 – Em um dado ponto de uma viga, são observadas tensões normais e de cisalhamento, em um estado plano de tensões, conforme mostrado na figura a seguir: 
Qual orientação (a partir do eixo horizontal) das tensões principais? Qual a intensidade delas? 
Resolução:
Valor e sinais das tensões (Figura 4, página 106). 
Como está sendo pedido os ângulos e os valores das tensões, então devemos aplicar a equação 12 da página 110, para descobrir os ângulos e em seguida a equação 8 (página 108), para descobrir as tensões. 
Aplicandoa equação 12: 
Aplicando a função tangente inversa (que, na sua calculadora pode ser ) EM GRAUS, obtemos:
	Comment by Artur Lemes Moretti: Uma outra forma de se pensar é: Encontrou ? Some 90° para encontrar 
Como existem dois ângulos que possuem a mesma tangente (entre 0° e 360°) e eles estão defasados em 180°, devemos somar 180° a para encontrar .
As orientações em que são aplicadas as tensões principais são e . 
Mas qual o valor das tensões principais? 
Substituindo o valor de e das tensões (, com os sinais corretos!!!) na equação 8, da página 108:
Substituindo o valor de e das tensões (, com os sinais corretos!!!) na equação 8, da página 108:
Assim a orientação e a intensidade das tensões principais são: 
Exercício 8 – A análise das tensões que surgem na fundação de madeira de uma casa revelaram a existência de um estado plano de tensões. Quando se utiliza o círculo de Mohr para se analisar as tensões, o seguinte gráfico é obtido: 
A madeira que forma a região possui tensão última à tração () igual a 100 MPa e o fator de segurança do projeto é igual a 5,4. Sabendo disso, o projeto encontra-se dentro dos limites de segurança estabelecidos? Justifique sua resposta. 
Resolução:
Dados do exercício:
Com essas informações, a tensão de tração admissível é dada pela equação 9 da página 81. 
Pela análise do círculo de Mohr, a maior tensão de tração aplicada no elemento é igual a 13,402 MPa (ponto mais à direita, no círculo de Mohr). Como a maior tensão aplicada no elemento (13,402 MPa) é menor que a tensão admissível (18,52 MPa), o projeto encontra-se dentro dos limites de segurança estabelecidos.
Exercício 9 – Uma barra de aço (, ) está sendo comprimida na direção x por uma tensão com intensidade igual a 13 MPa e simultaneamente, tracionada na direção y por uma tensão com intensidade igual a 6 MPa. Quais as deformações no eixo x () e no eixo y (), se a lei de Hooke é válida? 
Resolução: 
Dados do exercício: 
Como é pedido para calcular as deformações, devemos utilizar as equações 22 e 23 da página 120. UTILIZE A MÊSMA UNIDADE PARA AS TENSÕES E PARA O MÓDULO DE ELASTICIDADE (Pa, MPa ou GPa)
A deformação em x é:
A deformação em y é:
Exercício 10 – Considere o estado de deformação de um elemento plano da fundação de uma casa, mostrado na figura a seguir: 
 
Qual a deformação máxima que se observa neste elemento? 
Sinal correto das deformações: 
Resolução:
Como temos um estado plano de deformações, a equação 27 da página 123 é válida. Dessa forma:
UNIDADE IV
Exercício 11 – Uma viga é carregada conforme mostrado na figura a seguir: 
Determine o diagrama da força cortante e do momento fletor da viga. 
Resolução: 
Passo 1 – Determinar o diagrama do corpo livre
A equivalente da força distribuída é aplicada no centroide da distribuição de forças. Além disso, tem intensidade igual à área da figura geométrica formada. 
Neste caso, como a distribuição é uniforme, o centroide (em x) é a metade do lado do retângulo de 1,20 m de comprimento e a área da distribuição é a multiplicação de um lado por outro. 
Por esse motivo, o vetor equivalente à distribuição é uma força concentrada com intensidade de , aplicada a uma distância de 0,60 m da extremidade A (esquerda). 
Agora podemos aplicar as equações da estática! Para as forças horizontais:
Para as forças verticais:
Para o momento em relação ao ponto A:
	Comment by Artur Lemes Moretti: Vá acompanhando junto com a figura acima, da esquerda para a direita, identificando as forças e suas distâncias ao ponto A.
Anteriormente, verificamos que , logo:
Logo, o diagrama do corpo livre é: 
Com o diagrama do corpo livre desenhado, é possível desenhar o diagrama da força cortante e do momento fletor
Passo 2 – As cargas distribuídas definem apenas uma região. Além disso, devemos analisar a região entre as cargas concentradas. Dessa forma, as regiões de análise serão 3: 
Região 1 – Região da carga distribuída
 – Entre os pontos A e C. 
Região 2 – Região entre o final da carga distribuída e a carga concentrada de 15 kN 
 – Entre os pontos C e D. 
Região 3 – Região entre a carga concentrada de 15 kN e a carga concentrada de 17,8125 kN. 
 – Entre os pontos D e B.
Aplicando as equações do equilíbrio estático para cada região: 
Região 1 – – Entre os pontos A e C. 
O diagrama do corpo livre para esta região é: 
A força cortante e o momento fletor estão orientados no sentido positivo pois ainda não conhecemos o valor que eles assumem (é isso que queremos descobrir!). Quando temos uma força distribuída, temos que substituir pela carga concentrada equivalente. 
Como a distribuição tem a forma de um retângulo, a carga concentrada equivalente tem intensidade de e é aplicada a uma distância de , a partir da extremidade direita. 
Dessa forma o diagrama do corpo livre equivalente é o mostrado a seguir
Aplicando as equações da estática: 
	Comment by Artur Lemes Moretti: Vá acompanhando da esquerda para a direita, na figura ao lado
	Comment by Artur Lemes Moretti: Seus cálculos estarão corretos se a derivada de M em relação a xAC for igual a V
Resumindo os resultados obtidos: 
Entre A e C – 
Região 2 – – Entre os pontos C e D. 
O diagrama do corpo livre para esta região é: 
Note que a força distribuída já foi substituída pela força concentrada equivalente!
Aplicando as equações da estática:
	Comment by Artur Lemes Moretti: Seus cálculos estarão corretos se a derivada de M em relação a xAC for igual a V
Entre C e D – 
Região 3 – – Entre os pontos D e B. 
O diagrama do corpo livre para esta região é: 
Note que a força distribuída já foi substituída pela força concentrada equivalente!
Aplicando as equações da estática: 
Entre D e B – 
Resumindo os resultados: 
Entre A e C – 
Entre C e D – 
Entre D e B – 
Dessa forma os diagramas da força cortante e do momento fletor são: 
UNIDADE V
Exercício 12 – Um tanque esférico feito de aço ( e ) com diâmetro igual a 18 cm e espessura de parede igual a 0,35 cm deve armazenar ar comprimido com uma pressão . Responda as seguintes questões:
a) Se o fator de segurança for igual a 4,5 para tração e para o cisalhamento, quais as tensões admissíveis (normal e de cisalhamento)? 
b) Qual a máxima pressão que o tanque pode trabalhar, de acordo com a tensão normal admissível? 
c) Qual a máxima pressão que o tanque pode trabalhar, de acordo com a tensão de cisalhamento admissível? 
d) Qual a máxima pressão operação do tanque, de acordo com os limites apresentados nas alternativas b) e c)?
Resolução: 
Dados do exercício:
Tensões limites: 
a) As tensões admissíveis são as tensões divididas pelo fator de segurança. Dessa forma, para a tração: 
Para o cisalhamento:
b) A máxima pressão que o tanque pode trabalhar é dada pela equação 23 da página 183, quando a tensão máxima é igual à tensão admissível:
Isolando : 
Substituindo os dados do exercício:
c) A máxima pressão que o tanque pode trabalhar também é limitada pela tensão de cisalhamento máxima, quando está é igual a admissível, que é dada pela equação 25 da página 183:
Isolando : 
Substituindo os dados do exercício:
d) O tanque possui dois limites quanto à pressão de operação. A pressão de trabalho que o tanque pode operar deve ser igual à menor das pressões calculadas nos itens b) e c), ou seja, igual a 5,01 MPa.