Teoria dos Conjuntos

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-Na matemática, os conceitos de conjunto, 
elemento de um conjunto e pertinência entre 
elemento e conjunto são considerados conceitos 
primitivos, ou seja, são admitidos sem definição. 
-A ideia de conjunto é a mesma de coleção. 
Exemplo 
As luas de Saturno formam um conjunto. Titã, a 
maior delas, é um elemento que pertence a esse 
conjunto. 
 Representação tabular 
-É habitual usar letras maiúsculas para dar nomes 
aos conjuntos, como A, B, C, D etc. e representar 
seus elementos por letras minúsculas, como a, b, c, 
d etc. 
-Os elementos são apresentados entre chaves e 
separados por vírgula ou por ponto e vírgula. 
Exemplos 
(a) A = {primavera, verão, outono, inverno} 
(b) B = {2, 4, 6, 8} 
(c) C = {1,75; 1,81; 1,79; 1,82; 1,70} 
Para mencionarmos que um elemento pertence 
a um determinado conjunto, utilizaremos a 
chamada relação de pertinência, indicada pelo 
símbolo matemático ∈ (pertence). Quando o 
elemento não pertence ao conjunto, utilizaremos 
∉ . 
-Note que, nos exemplos acima, 2 é elemento do 
conjunto B, mas não é elemento do conjunto C. 
Esses fatos são indicados, respectivamente, por: 
• 2 ∈ 𝐵 (lemos: “dois pertence a B”); 
• 2 ∉ 𝐵 (lemos: “dois não pertence a B”). 
 
 
 Representação por um diagrama de 
Venn 
-A representação de um conjunto por um 
diagrama de Venn é aquela em que os elementos 
são simbolizados por pontos interiores a uma 
região plana, delimitada por uma linha fechada. 
Exemplos 
 
 
 Representação por uma propriedade 
-Nessa representação, os elementos de um conjunto 
A são descritos por meio de uma propriedade que os 
determina. 
-Assim, podemos representar um conjunto A por: 
 
A = {x | x tem a propriedade p} 
(lemos: “A é o conjunto de todos os elementos x, tal 
que x tem a propriedade p”) 
 
Exemplos 
(a) A = {x | x é um país da América do sul} 
Ou seja: O conjunto A é formado por todos os países 
da América do Sul. 
(b) B = {x | x é um planeta do Sistema Solar} 
Ou seja: O conjunto B é formado por todos os 
planetas do Sistema Solar. 
(a) C {x | x é um número primo} 
Ou seja: O conjunto C é formado por todos os 
números primos. 
 
 
 
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 Conjunto unitário e conjunto vazio 
Conjunto unitário → é aquele que possui apenas 
um único elemento. 
Exemplo 
O conjunto A = {x | x é um número e x • 5 = 15} é 
unitário, pois A é formado por um único elemento, 
isto é, A = {3}. 
 
Conjunto vazio → é aquele que não apresenta 
elementos. Para indicar o conjunto vazio 
utilizaremos duas formas: { } ou ∅. 
OBS.: Nunca utilize {∅}, pois não representa o 
conjunto vazio. 
 
Exemplo 
O conjunto B = {x | x é um número e x • 0 = 15} é 
vazio; como não existe número que satisfaça essa 
condição, B não possui elemento algum, isto é, B = 
∅. 
 
 Conjunto finito e conjunto infinito 
Conjunto finito → um conjunto é finito se for vazio 
ou se, ao contar seus elementos um a um, chega-
se ao fim da contagem. 
Conjunto infinito → é todo conjunto que não é 
finito. 
 
Exemplo 
(a) O conjunto A = {a, b, c, e, f} é um conjunto finito, 
pois podemos contar seus elementos e chegar 
ao fim da contagem. 
(b) O conjunto B = ∅ é um conjunto finito, pois é 
vazio. 
(c) Um importante conjunto infinito que também 
será usado como referência é o conjunto dos 
números inteiros: ℤ = {… − 2, −1, 0, 1, 2, … }. 
 
 Conjunto universo 
-Quando tratamos de conjuntos, é necessário que 
deixemos claro quem é o nosso universo. 
Representamos o universo pela letra U. 
-Por exemplo, se vou falar sobre jogadores de 
futebol, é importante deixar claro qual o clube; se vou 
comentar a respeito de palavras, é importante 
mencionar de que língua estamos falando; alunos de 
qual colégio, estados de qual país, etc. 
 
 Subconjuntos 
-Dizemos que um conjunto A é subconjunto de um 
conjunto B se todo elemento pertencente ao 
conjunto A pertence ao conjunto B. 
-Dizer que um conjunto 
A é um subconjunto de 
um conjunto B é o 
mesmo que dizer: 
 
A está contido em B 
(relação de inclusão); ou 
seja, A é uma parte de B. Utilizamos o símbolo ⊂. 
-Simbolicamente: 
 
𝑨 ⊂ 𝑩 ↔ (∀𝒙)(𝒙 ∈ 𝑨 → 𝒙 ∈ 𝑩) 
 
A relação de inclusão é definida para dois 
conjuntos. Para negar a inclusão, utilizaremos o 
símbolo ⊄ (não está contido). 
Outra forma de representar B ⊄ A é A ⊅ B (lemos: 
“A não contém B”). 
Exemplos: {1, 2, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5} 
 {1, 2, 3} ⊄ {2, 3, 4, 5, 6} 
É INCORRETO: {3} ∈ {1, 2, 3} 
 3 ⊂ {1, 2, 3} 
 
 
 
 
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Propriedades 
P1. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer 
conjunto. 
∅ ⊂ 𝐴 (para qualquer conjunto A) 
P2. Todo conjunto é subconjunto de si mesmo. 
𝐴 ⊂ 𝐴 (para qualquer conjunto A) 
O método mais rápido para calcular 
subconjuntos de um determinado conjunto é 
usando 2n, em que n é a quantidade de 
elementos que tem o conjunto dado. 
 
 Igualdade de conjuntos 
-Dois conjuntos, A e B, são iguais se, e somente se, 
A ⊂ B e B ⊂ A. Ou seja, A e B apresentam os 
mesmos elementos. 
Exemplos 
(a) {1, 2, 3, 4} = {4, 3, 2, 1} 
(b) {r, o, m, a} = {a, m, o, r} 
(c) ∅ = ∅ 
OBS.: Ao afirmarmos que um conjunto possui n 
elementos, fica subentendido que esses elementos 
são distintos entre si (convencionamos não repetir 
elementos em um conjunto). 
OBS.: Pode existir conjuntos cujos elementos são 
conjuntos. 
 
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1. Represente na forma tabular cada um dos 
conjuntos A, B e C do diagrama abaixo. 
 
2. Represente cada conjunto na forma tabular. 
(a) 𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ | 𝑥2 = 9}. 
(b) 𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ | 𝑥2 ≥ 0}. 
(c) 𝐶 = {𝑥 ∈ ℤ | 𝑥2 > 0}. 
(d) 𝐷 = {𝑥 ∈ ℤ | 𝑥2 ≤ 0}. 
(e) 𝐸 = {𝑥 ∈ ℤ | 𝑥2 < 0}. 
(f) 𝐹 = {𝑥 ∈ ℤ | 
1
𝑋
= 0}. 
(g) 𝐺 = {𝑥 ∈ ℕ | 56 < 𝑥 ≤ 118}. 
(h) 𝐻 = {𝑥 ∈ ℤ | 𝑥 < 0}. 
3. Faça uma lista com todos os subconjuntos de A = 
{1, 2, 3}. 
4. Três conjuntos D, E e F satisfazem as seguintes 
condições: D ⊂ E, E ⊂ F e F ⊂ D. Podemos afirmar 
que: 
(a) Os três conjuntos são vazios. 
(b) Os três conjuntos são unitários. 
(c) Os três conjuntos são iguais. 
(d) Apenas dois desses conjuntos são iguais. 
(e) Os três conjuntos são diferentes entre si. 
5. (PUC) Para os conjuntos A = {a} e B = {a, {A}}, 
podemos afirmar: 
(a) B ⊂ A 
(b) A = B 
(c) A ∈ B 
(d) a = A 
(e) {A} ∈ B 
 
 
4 
6. (FATEC) Sendo A = {2, 3, 5, 6, 9, 13} e B = {ab | a 
∈ A, b ∈ A e a ≠ b}, o número de elementos de B 
que são números pares é: 
(a) 5 
(b) 8 
(c) 10 
(d) 12 
(e) 13 
7. (UnB) Dado o conjunto {a, b, c, d, e, f, g} o número 
máximo de subconjuntos distintos é: 
(a) 21 
(b) 128 
(c) 64 
(d) 32 
(e) 256 
8. (FEI) Se n é o número de subconjuntos não-
vazios do conjunto formado pelos múltiplos 
estritamente positivos de 5, menores do que 40, 
então o valor de n é: 
(a) 127 
(b) 125 
(c) 124 
(d) 120 
(e) 110 
9. Observe os conjuntos a seguir e marque a 
alternativa correta. 
A = {x | x é um múltiplo positivo de 4} 
B = {x | x é um número par e 4 ≤ x < 16} 
 
(a) 145 ∈ A 
(b) 26 ∈ A e B 
(c) 11 ∈ B 
(d) 12 ∈ A e B 
10. Qual a possível lei de formação do conjunto A = 
{2, 3, 5, 7, 11}? 
(a) A = {x | x é um número simétrico e 2 < x < 15} 
 
 
(b) A = {x | x é um número primo e 1 < x < 13} 
(c) A = {x | x é um número ímpar positivo e 1 < x < 
14} 
(d) A = {x | x é um número natural menor que 10} 
 
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4. C 5. E 6. C 7. B 8.A 9. D 10. B