Matemática - M1MNM01 - M1MNM04

Prévia do material em texto

Disciplina: Matemática Oeiras do Pará 2023 Prof. Richard Daniel 
Conjuntos 
 
E.E.E.M. RAIMUNDO RIBEIRO DA COSTA 
Diretora: ANA NERY DA COSTA BARBOSA 
Professor: RICHARD DANIEL BORGES MONTEIRO 
Aluno (a): 
Turma: Data: / Março / 2 0 2 3 
 1ª Apostila de Matemática – 1ª Avaliação – Parte 1. 
Conjuntos. 
 
 
 
 
 Noções de 
 Coleção de Objetos 
 Observação: 
Os conjuntos são representados por letras MAIÚSCULAS. 
Os elementos são representados por letras MINÚSCULAS. 
Também podemos ter conjuntos das letras maiúsculas sem nenhum problema. Além 
disso, os elementos são separados por vírgulas, mas quando temos um conjunto de 
números decimais é interessante que utilizemos o ponto e vírgula (; ) para separar 
os elementos dentro do conjunto. 
 
1 Representação de Conjuntos. 
Podemos representar os conjuntos de três maneiras: 
 R-1) Por Extensão (podemos utilizar os seguintes termos: Enumeração e 
Citação). 
A ideia é escrever todos os elementos do conjunto. 
Exemplos: 
𝐀 = {𝐚, 𝐞, 𝐢, 𝐨, 𝐮} 𝐁 = {𝟏, 𝟑, 𝟓, 𝟕, ⋯ } 
R-2) Por Compreensão (podemos utilizar o seguinte termo: Propriedade). 
A ideia é escrever uma característica do conjunto. 
A = {x | x tema propriedade P } 
Exemplos: 
𝐀 = {𝐱 | 𝐱 é 𝐮𝐦𝐚 𝐯𝐨𝐠𝐚𝐥} 
 
𝐂 = {𝐱 | 𝐱 ∈ ℕ 𝐞 𝟏 < 𝐱 < 𝟓} 
R-3) Por Diagrama de Venn: 
A ideia de desenho. Logo uma figura fechada. 
 
D E F 
 
 
 
 
2 Relação de Pertinência. ∈ e ∉ 
Ocorre essa relação entre Elemento e Conjunto. 
 
D E F 
.1 .5 .1 
.10 .6 .2 
 
1______D 2_______E 1_______F 
4______D 3_______E 2_______F 
5______D 5_______E 4________F 
10______D 6_______E 
 
2.1 Conjunto Unitário. 
Conjunto que possui apenas um único elemento. 
Exemplos: 
1- Conjunto dos divisores de 1, inteiros e positivos: {1} 
2- Conjunto das soluções da equação 3x + 1 = 10: {3} 
3- Conjunto dos estados brasileiros que fazem fronteira com o Uruguai: 
{Rio Grande do Sul} 
2.2 Conjunto Vazio. { } ou ∅ 
Conjunto que não possui nenhum elemento. 
Exemplos: 
1- {x | x ≠ x} = ∅ 
2- {x | x é impar e múltiplo de 2} = ∅ 
3- {x | x > 0 e x < 0} = ∅ 
Observação: 
Quando encontramos a seguinte situação { ∅ }. Nesse caso não teremos o conjunto 
vazio, pois isso é a representação de um conjunto Unitário. 
2.3 Conjunto Universo. 
É um conjunto no qual pertence todos os elementos que fazem parte de estudo. 
A = {x ∈ ∪ | x tem a propriedade P} 
Exemplos: 
1- x + 1 = 3 
2- x2 − 6x + 9 = 0 
2.4 Conjunto Finito. 
É o conjunto que tem um número limitado de elementos. 
Exemplos: 
1- Conjunto das vogais: {a, e, i, o, u} 
2- Conjunto dos algarismos: {I, V, X, L, C, D, M} 
3- Conjunto dos números inteiros de 0 a 500: {0,1,2, … ,499,500} 
2.5 Conjunto Infinito. 
É o conjunto que não tem um número LIMITADO de elementos. 
Exemplos: 
1- Conjunto dos números ímpares positivos: {1,3,5,7,9,11,13, … . } 
2- Conjunto dos números primos positivos: {2,3,5,79,11,13,17, … } 
3- Conjunto dos múltiplos inteiros de 3: {0,3, −3,6, −6,9, −, … } 
2.6 Igualdade de Conjuntos. 
Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, 
reciprocamente, todo elemento de B pertence a A. Em símbolos: 
𝐀 = 𝐁 ⇔ (∀𝐱)(𝐱 ∈ 𝐀 ⇔ 𝐱 ∈ 𝐁) 
Exemplos: 
1- {a, b, c, d} = {d, c, b, a} 
2- {1,3,5,7,9, … } = {x | x é inteiro, positivo e ímpar} 
3- {a, b, c, d} = {a, a, a, b, b, b, b, b, b, c, c, c, d, d, d} 
Observação: 
Quando falamos de igualdade de conjunto não interessa o quantitativo de repetição 
de elementos do conjunto. O que importa é se os dois conjuntos possuem os mesmos 
elementos. Porém, se um dos conjuntos possuírem um elemento diferente não 
teremos a igualdade de conjuntos. 
Exemplos: 
{𝐚, 𝐛, 𝐜} ≠ {𝐚, 𝐛, 𝐜, 𝐝} 
 
2.7 Subconjuntos (Relação de Inclusão: Ocorre entre 
Conjunto e Conjunto. 
Elementos 
.4 
.5 
 
.2 
.3 
.9 .7 
.5 
.2 
.3 
 
.4 
.4 
.5 
.8 
Disciplina: Matemática Oeiras do Pará 2023 Prof. Richard Daniel 
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A 
pertence também a B. 
Com a notação 𝐴 ⊂ 𝐵 indicamos 
que “A é subconjunto de B” ou “A 
está contido em B” ou “A é parte de 
B”. 
O símbolo ⊂ é denominado SINAL 
DE INCLUSÃO. 
Em símbolos, a definição fica assim: 
𝐴 ⊂ 𝐵 ⇔ (∀𝑥)(𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵) 
Exemplos: 
1- {a, b} ⊂ {a, b, c, d} 
2- {a} ⊂ {a, b} 
 
Quando 𝐴 ⊂ 𝐵, também podemos 
escrever 𝐵 ⊃ 𝐴, que se lê “B 
contém A”. 
Com a notação 𝐴 ⊄ 𝐵indicamos 
que “A não está contido em B”, isto 
é, a negação de 𝐴 ⊂ 𝐵. 
É evidente que 𝐴 ⊄ 𝐵somente se 
existe ao menos um elemento de A 
que não pertence a B. 
Assim, por exemplo, temos: 
1- {a, b, c} ⊄ {b, c, d, e} 
2- {a, b} ⊄{c, d, e} 
2.8 Conjuntos Iguais. 
Vimos anteriormente o conceito de igualdade de conjuntos: 
A = B ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇔ x ∈ B) 
Nessa definição está explícito que todo elemento de A é elemento de B e vice-versa, 
isto é, 𝐴 ⊂ 𝐵 e 𝐵 ⊂ 𝐴; portanto, podemos escrever: 
𝐀 = 𝐁 ⇔ (𝐀 ⊂ 𝐁 𝐞 𝐁 ⊂ 𝐀) 
Assim, para provarmos que 𝐀 = 𝐁, devemos provar que 𝐀 ⊂ 𝐁 𝐞 𝐁 ⊂ 𝐀. 
2.9 Propriedade da Inclusão. 
P1) ∅ ⊂ 𝑨 
P2) 𝑨 ⊂ 𝑨 (Reflexiva) 
P3) (𝐀 ⊂ 𝐁 𝐞 𝐁 ⊂ 𝐀) ⇒ 𝑨 = 𝑩 (Antissimétrica) 
P4) (𝐀 ⊂ 𝐁 𝐞 𝐁 ⊂ 𝐂) ⇒ 𝑨 ⊂ 𝐂 (Transitiva) 
3 Conjuntos das partes. 
Dado um conjunto A, chama-se CONJUNTO DAS PARTES de A – notação 
𝑃(𝐴) −aquele que é formado por todos os subconjuntos de A. Em símbolos: 
𝑷(𝑨) = {𝑿 | 𝑿 ⊂ 𝑨}. 
Utilizamos a seguinte formula para determinar o conjunto das partes. 
𝟐𝒏- n é número de elementos de um conjunto, após o calculo da potencia de base 
dois que encontramos o conjunto das partes. 
Exercício 
01- Dê os elementos dos seguintes conjuntos: 
𝐴 = {𝑥 | 𝑥 é 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑙𝑎𝑣𝑟𝑎 𝑀𝐴𝑇𝐸𝑀Á𝑇𝐼𝐶𝐴} 
 
 
 
𝐵 = {𝑥 | 𝑥 é 𝑐𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑛𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑏𝑟𝑎𝑠𝑖𝑙𝑒𝑖𝑟𝑎} 
 
 
 
𝐶 = {𝑥 | 𝑥 é 𝑜 𝑛𝑜𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑏𝑟𝑎𝑠𝑖𝑙𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑒ç𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑃} 
 
 
 
02- Descreva por meio de uma propriedade característica dos elementos cada um 
dos conjuntos seguintes: 
𝐴 = {0, 2 ,4, 6, 8, … } . 
 
 
 
𝐵 = {0, 1, 2, … ,9} 
 
 
 
𝐶 = {𝐵𝑟𝑎𝑠í𝑙𝑖𝑎, 𝑅𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝐽𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑜, 𝐵𝑒𝑙é𝑚} 
 
 
 
03- Escreva com símbolos: 
a) o conjunto dos múltiplos inteiros de 3, entre -10 e +10. 
 
 
 
b) o conjunto dos divisores inteiros de 42. 
 
 
 
c) o conjunto dos múltiplos inteiros de 0. 
 
 
 
d) o conjunto das frações com numerador e denominador compreendidos entre 0 e 
3; 
 
 
 
e) o conjunto dos nomes das capitais da região Norte do Brasil. 
 
 
 
04- Descreva por meio de uma propriedade dos elementos: 
𝐴 = {+1, −1, +2, −2, +3, −3, +6, −6, … } 
 
 
 
𝐵 = {0, −10, −20, −30, −40, … } 
 
 
 
𝐶 = {1, 4, 9, 16, 25, 36, … } 
 
 
 
𝐷 = {𝐿𝑢𝑎} 
 
 
 
05- Quais dos conjuntos abaixo são unitários? 
𝐴 = {𝑥 | 𝑥 <
9
4
 𝑒 𝑥 >
6
5
} 
 
 
 
𝐵 = {𝑥 | 0 ∙ 𝑥 = 2} 
 
 
 
Disciplina: Matemática Oeiras do Pará 2023 Prof. Richard Daniel 
 
𝐶 = {𝑥 | 𝑥 é 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑒 𝑥2 = 3} 
 
 
 
𝐷 = {𝑥 | 2𝑥 + 1 = 7} 
 
 
 
06- Quais dos conjuntos abaixo são vazios? 
𝐴 = {𝑥 | 0 ∙ 𝑥= 0} 
 
 
 
𝐵 = {𝑥 | 𝑥 >
9
4
 𝑒 𝑥 <
6
5
} 
 
 
 
 
𝐶 = {𝑥 | 𝑥 é 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑧𝑒𝑟𝑜} 
 
 
 
 
𝐷 = {𝑥 | 𝑥 é 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠í𝑣𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑟 𝑧𝑒𝑟𝑜} 
 
 
Rascunho