Operações com Conjuntos

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-A união de dois conjuntos A e B, que indicaremos 
por 𝐴 ∪ 𝐵, é o conjunto cujos elementos são todos 
aqueles que pertencem a A ou a B. 
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 |𝑥 ∈ 𝐴 𝒐𝒖 𝑥 ∈ 𝐵} 
Exemplos 
(a) Sendo A = {7, 8, 9} e B = {10}, temos: 𝐴 ∪ 𝐵 =
{7, 8, 9, 10}. 
(b) Sendo C = {7, 8, 9, 10} e D = {10, 11}, temos: 
𝐶 ∪ 𝐷 = {7, 8, 9, 10, 11}. 
(c) Sendo E = {4, 5, 6} e F = {2 ,3 ,4, 5, 6}, temos: 
𝐸 ∪ 𝐹 = {2, 3, 4, 5, 6}. 
 Propriedades da união de conjuntos 
-Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, temos: 
P1. Se B é subconjunto de A, então 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴. Se 
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴, então B é subconjunto de A. Ou seja: 
𝐵 ⊂ 𝐴 → 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴. 
P2. 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴. 
P3. (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶). 
-Como consequência da propriedade P1, temos: 
∅ ∪ 𝐴 = 𝐴 𝑒 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴 
 Representação da união de conjuntos por 
diagramas de Venn 
 
 
 
-A interseção de dois conjuntos A e B, que 
indicaremos por 𝐴 ∩ 𝐵, é o conjunto cujos elementos 
são todos aqueles que pertencem a A e a B. 
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 |𝑥 ∈ 𝐴 𝒆 𝑥 ∈ 𝐵} 
-Se a interseção entre os conjuntos A e B for o 
conjunto vazio, dizemos que eles são disjuntos. 
Exemplos 
(a) Sendo A = {5, 6, 7 ,8} e B = {7, 8, 9, 10}, temos: 
𝐴 ∩ 𝐵 = {7, 8}. 
(b) Sendo C = {3, 4, 5} e D = {8, 9}, temos: 𝐶 ∩ 𝐷 = ∅. 
Nesse caso, os conjuntos C e D são disjuntos. 
(c) Sendo E = {b, c, d ,e} e F = {a, b, c, d, e ,f}, temos: 
𝐸 ∩ 𝐹 = {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}. 
 Propriedades da interseção de conjuntos 
-Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, temos: 
P1. Se B é subconjunto de A, então 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵. Se 
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵, então B é subconjunto de A. Ou seja: 
𝐵 ⊂ 𝐴 → 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵. 
P2. 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴. 
P3. (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶). 
-Como consequência da propriedade P1, temos: 
∅ ∩ 𝐴 = ∅ 𝑒 𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴 
 Representação da união de conjuntos por 
diagramas de Venn 
 
 
 
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-Além das propriedades descritas acima, há duas 
propriedades que envolvem as operações união e 
interseção: 
P1. Propriedades distributiva da interseção em 
relação à união: 
𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶). 
P2. Propriedade distributiva em relação à 
interseção: 
𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) 
 
-A diferença de dois conjuntos A e B, nessa ordem, 
que indicamos por 𝐴 − 𝐵, é o conjunto cujos 
elementos são todos aqueles que pertencem a A e 
não pertencem a B. 
𝐴 − 𝐵 = {𝑥 |𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∉ 𝐵} 
Exemplos 
(a) Sendo A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 6, 7, 8, 9}, 
temos: 𝐴 − 𝐵 = {1, 2, 3} 𝑒 𝐵 − 𝐴 = {6, 7, 8, 9}. 
(b) Sendo C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e D = {3, 4, 5}, temos: 
𝐶 − 𝐷 = {1, 2, 6} 𝑒 𝐷 − 𝐶 = ∅. 
(c) Sendo E = {1, 2, 3} e F = {4, 5, 6}, temos: 𝐸 −
𝐹 = 𝐸 𝑒 𝐹 − 𝐸 = 𝐹. 
• Propriedades da diferença de conjuntos 
-Sendo A e B conjuntos quaisquer, temos: 
P1. 𝐵 ⊂ 𝐴 ↔ 𝐵 − 𝐴 = ∅. 
 
P2. 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ ↔ 𝐴 − 𝐵 = 𝐴. 
 
 
 
P3. 𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐴 − 𝐵 ≠ 𝐵 − 𝐴. 
 
OBS.: A representação de conjuntos finitos por meio 
de diagramas de Venn organiza e facilita 
significativamente a resolução de certos problemas 
de contagem. 
 
1. Sabendo que 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = {0, 6, 8}, 𝐴 ∩ 𝐵 =
{0, 6, 8, 1}, 𝐴 ∩ 𝐶 = {0, 6, 8, 12}, 𝐵 ∩ 𝐶 =
{0, 6, 8, 2, 3}, 𝐵 − 𝐴 = {2, 3}, 𝐶 − 𝐵 =
{12} 𝑒 𝐴 − 𝐵 = {12, 15}, represente os 
conjuntos A, B e C em um diagrama como 
este: 
 
2. Dados os conjuntos E = {3, 8, 6, 4}, F = {1, 2, 
3, 8, 6, 4, 9} e G = {4, 5, 6, 7, 8}, determine: 
(a) F – E 
(b) G – E 
(c) (𝐸 ∪ 𝐺) − 𝐹 
(d) (𝐹 − 𝐺) ∪ (𝐺 − 𝐹) 
3. De uma pesquisa realizada pelo Ministério do 
Turismo com 2200 gaúchos, pôde-se concluir 
que, precisamente: 
 
 
3 
• 816 dos entrevistados já estiveram na 
região Nordeste do Brasil; 
• 602 dos entrevistados já estiveram na 
região Norte do Brasil; 
• 206 dos entrevistados já estiveram nas duas 
regiões. 
Quantas das pessoas entrevistadas nunca 
estiveram em nenhuma das duas regiões? 
4. (Funrei – MG) Considerando os conjuntos A, B 
e C de tal forma que 𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2} e 𝐴 ∪ 𝐶 =
{1, 2, 3, 4}, o conjunto 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) será igual a: 
(a) A 
(b) 𝐴 ∪ 𝐶 
(c) {3, 4} 
(d) 𝐴 ∪ 𝐵 
(e) ∅ 
5. (Cefet-PR) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 
5}; B = {4, 5, 6, 7}; C – A = {7, 8, 9}; C – B = {3, 
8, 9} e A ∩ B ∩ C = {4}, o número de elementos 
do conjunto C é: 
(a) 6 
(b) 7 
(c) 5 
(d) 4 
(e) 3 
6. (Cefet-PR) Considere os conjuntos: A = {a, b, c, 
d}; B = {a, b, d, e} e C = {b, d, f, g}. O conjunto 
Y, tal que Y ⊂ A e A – Y = B ∩ C, é: 
(a) {b, c} 
(b) {a, d} 
(c) {b, d} 
(d) {c, d} 
(e) {a, c} 
7. (PUC) Numa pesquisa de mercado, verificou-
se que 15 pessoas utilizam pelo menos um dos 
produtos A ou B. Sabendo que 10 dessas 
pessoas não usam o produto B 
 
e que 2 dessas pessoas não usam o produto A, qual 
é o número de pessoas que utilizam os produtos A e 
B? 
(a) 0 
(b) 2 
(c) 3 
(d) 4 
(e) 5 
8. Sabendo que A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {6, 7, 8, 
9} e C = {2, 4, 6, 8, 10}, quais são os elementos do 
conjunto (A ∩ B) U C? 
(a) Os mesmos do conjunto A 
(b) Os mesmos do conjunto B 
(c) {6} 
(d) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 
(e) Os mesmos do conjunto C 
9. Observe a área hachurada da figura e marque a 
alternativa que a representa. 
 
(a) C (A B) 
(b) C – (A B) 
(c) C (A – B) 
(d) C (A B) 
10. (UnB) De 200 pessoas que foram pesquisadas 
sobre suas preferências em assistir aos 
campeonatos de corrida pela televisão, foram 
colhidos os seguintes dados: 
• 55 dos entrevistados não assistem; 
• 101 assistem às corridas de Fórmula l; 
 
 
 
4 
• 27 assistem às corridas de Fórmula l e de 
Motovelocidade; 
Quantas das pessoas entrevistadas assistem, 
exclusivamente, às corridas de Motovelocidade? 
(a) 32 
(b) 44 
(c) 56 
(d) 28 
(e) 24 
11. (UEL-PR) Num dado momento, três canais de 
TV tinham, em sua programação, novelas em seus 
horários nobres: a novela A no canal A, a novela B 
no canal B e a novela C no canal C. Numa pesquisa 
com 3000 pessoas, perguntou-se quais novelas 
agradavam. A tabela a seguir indica o número de 
telespectadores que designaram as novelas como 
agradáveis. 
Novelas Número de telespectadores 
A 1450 
B 1150 
C 900 
A e B 350 
A e C 400 
B e C 300 
A, B e C 100 
Quantos telespectadores entrevistados não acham 
agradável nenhuma das três novelas? 
(a) 300 telespectadores. 
(b) 370 telespectadores. 
(c) 450 telespectadores. 
(d) 470 telespectadores. 
(e) 500 telespectadores. 
 
 
 
 
 
 
12. (FATEC) Entre as pessoas que compareceram à 
festa de inauguração da FATEC Pompeia, estavam 
alguns dos amigos de Eduardo. Além disso, sabe-se 
que nem todos os melhores amigos de Eduardo 
foram à festa de inauguração. 
Considere: 
F: conjunto de pessoas que foram à festa de 
inauguração. 
E: conjunto dos amigos de Eduardo. 
M: conjunto dos melhores amigos de Eduardo. 
Com base nessas informações assinale a alternativa 
que contém o diagrama de Euler-Venn que descreve 
corretamente a relação entre os conjuntos. 
 
4. D 5. C 6. E 7. C 8. E 9. B 10. B 
11. C 12. E