vib12 - Vibracao livre de sistemas irrestritos (1)

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Vibração livre de sistemas 
irrestritos 
Prof. Marcos Daniel de Freitas Awruch 
Sistemas irrestritos 
 Um sistema vibratório pode também estar transladando ou girando 
em uma coordenada, enquanto outras vibram em torno de seu 
ponto de equilíbrio. Esses sistemas são ditos irrestritos. 
 Um exemplo de um sistema desse tipo é um trem, onde os vagões 
podem ser representados por massas com molas sendo as 
conexões entre eles. Um trem andando sobre trilhos pode ser 
considerado um corpo rígido transladando. 
 Considere um sistema irrestrito com 2 graus de liberdade: 
 
 
 
 
 
 Assumindo o movimento em que 𝑥2 > 𝑥1 > 0, temos o diagrama de 
corpo livre: 
 
 
 
 
 
 
2 
Sistemas irrestritos 
 Calculando o equilíbrio pela segunda lei de Newton, temos que: 
𝑘 𝑥2 − 𝑥1 = 𝑚1𝑥 1 
 
−𝑘 𝑥2 − 𝑥1 = 𝑚2𝑥 2 
 Reordenando, temos duas equações do movimento, uma para cada 
grau de liberdade: 
𝑚1𝑥 1 + 𝑘 𝑥1 − 𝑥2 = 0 
 
𝑚2𝑥 2 + 𝑘 𝑥2 − 𝑥1 = 0 
 Assumindo que temos respostas harmônicas na forma: 
𝑥1 𝑡 = 𝑋1cos⁡(𝜔𝑡 + 𝜙) 
 
𝑥2 𝑡 = 𝑋2cos⁡(𝜔𝑡 + 𝜙) 
 Substituímos essas respostas nas equações do movimento: 
−𝑚1𝜔
2𝑋1 + 𝑘 𝑋1 − 𝑋2 = 0 
 
−𝑚2𝜔
2𝑋2 + 𝑘 𝑋2 − 𝑋1 = 0 
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Sistemas irrestritos 
 O sistema na forma matricial fica: 
𝑘 − 𝑚1𝜔
2 −𝑘
−𝑘 𝑘 − 𝑚2𝜔
2
𝑋1
𝑋2
=
0
0
 
 Esse é um sistema na forma 𝐀𝐗 = 𝟎⁡e a solução não trivial é 
encontrada por det⁡(𝐀) = 0: 
 𝑘 − 𝑚1𝜔
2 𝑘 − 𝑚2𝜔
2 − 𝑘2 = 0 
 𝑘2 − 𝑘𝑚2𝜔
2 − 𝑘𝑚1𝜔
2 +𝑚1𝑚2𝜔
4 − 𝑘2 = 0 
 𝜔2 −𝑘𝑚2 − 𝑘𝑚1 +𝑚1𝑚2𝜔
2 = 0 
 Essa é a equação característica de frequência e tem como raízes: 
𝜔1 = 0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝜔2 =
𝑘(𝑚1 +𝑚2)
𝑚1𝑚2
 
 Essa frequência igual a zero indica que o sistema não oscila, mas 
pode estar se movimentando em translação, sem movimento 
relativo entre as duas massas. 
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Exemplo (Rao, ex 5.9, 6ª ed.) 
 Determinar as frequências naturais e modos de vibração do sistema 
irrestrito. Dados: 𝑚1 = 1⁡kg,𝑚2 = 2⁡kg, 𝑘 = 200⁡N/m. 
 
 
 
 
 
 
 1) As frequências naturais são: 
𝜔1 = 0 
 
𝜔2 =
𝑘(𝑚1 +𝑚2)
𝑚1𝑚2
=
200(3)
2
= 17,32⁡rad/s 
5 
Exemplo (Rao, ex 5.9, 6ª ed.) 
 2) O primeiro modo de vibração, associado à primeira frequência é: 
𝑘 −𝑘
−𝑘 𝑘
𝑋1
(1)
𝑋2
(1)
=
0
0
 
 
𝑘𝑋1
(1)
− 𝑘𝑋2
1
= 0 
 
𝜂(1) =
𝑋2
1
𝑋1
1
= 1 
 E a resposta no tempo terá a forma: 𝐱 1 𝑡 =
𝑋1
(1)
cos⁡(𝜙1)
𝑋1
(1)
cos⁡(𝜙1)
 
 
 Observa-se que não é um comportamento que oscila, pois não 
temos a variável 𝑡 no cosseno. Representa um movimento de 
translação. 
6 
Exemplo (Rao, ex 5.9, 6ª ed.) 
 O movimento seria da forma da figura abaixo, onde se deslocaria 
para a direita OU para a esquerda, dependendo das condições 
iniciais: 
7 
Exemplo (Rao, ex 5.9, 6ª ed.) 
 3) Para o segundo modo de vibração, associado a 𝜔2: 
𝑘 − 𝑚1𝜔2
2 −𝑘
−𝑘 𝑘 − 𝑚2𝜔2
2
𝑋1
(2)
𝑋2
(2)
=
0
0
 
 
−100 −200
−200 −400
𝑋1
(2)
𝑋2
(2)
=
0
0
 
 
−100𝑋1
2
− 200𝑋2
2
= 0 
 
𝜂 2 =
𝑋2
2
𝑋1
2
= −
1
2
 
 A resposta no tempo fica na forma: 
𝐱 2 𝑡 =
𝑋1
(2)
cos⁡(𝜔2𝑡 + 𝜙2)
−
1
2
𝑋1
2
cos⁡(𝜔2𝑡 + 𝜙2)
 
8 
Exemplo (Rao, ex 5.9, 6ª ed.) 
 Representação do movimento do segundo modo de vibração: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Encontre e interprete a solução geral para as condições iniciais: 
 𝑥1 0 = 0,1⁡m;⁡⁡⁡𝑥 1 0 = 0;⁡⁡⁡𝑥2 0 = 0;⁡⁡⁡𝑥 2(0) = 0 
Resposta: 
𝑥1 𝑡 = 0,0333 + 0,0666cos⁡(17,3205𝑡) 
 
𝑥2 𝑡 = 0,0333 − 0,0333cos⁡(17,3205𝑡) 
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Referências: 
 Rao, S. S. Vibrações Mecânicas, 4ª ed e 6ª ed, Pearson, 2008. 
 Kelly, S. G. Vibrações Mecânicas: teoria e aplicações, 1ª ed, 
Cengage, 2017. 
 Inman, D. J. Engineering Vibrations, 4ª ed, Pearson, 2014. 
 Savi, M. A.; de Paula, A. S. Vibrações Mecânicas, 1ª ed, LTC, 
2017. 
 Balachandran, B.; Magrab, E. B. Vibrations, 2ª ed, Cengage, 2009. 
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