TEMA 2 - O Método dos Deslocamentos

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O método dos deslocamentos
Prof.o Giuseppe Miceli Junior, Prof.ª Larissa Camporez Araújo
Descrição
A apresentação do segundo grande método de resolução de estruturas hiperestáticas: o método das
deformações ou método dos deslocamentos.
Propósito
O estudo do método dos deslocamentos é um processo importante na análise de estruturas hiperestáticas.
Preparação
Antes de iniciar o estudo deste conteúdo, faça o download do Solucionário. Nele, você encontrará o
feedback das atividades. Tenha em mãos uma calculadora (pode usar a do seu computador ou celular).
Objetivos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04314/doc/solucionario_o_metodo_dos_deslocamentos.pdf
Módulo 1
Momentos de engastamento perfeito e a rigidez em estruturas
Calcular momentos de engastamento perfeito e a rigidez em estruturas.
Módulo 2
As bases do método dos deslocamentos
Empregar o método dos deslocamentos para resolução de estruturas hiperestáticas.
Módulo 3
Vigas contínuas e pórticos planos sujeitos a carregamentos
aplicados
Analisar os casos simples de vigas contínuas e pórticos planos sujeitos a carregamentos aplicados.
Módulo 4
Recalques e deformações térmicas em estruturas
Aplicar o método dos deslocamentos ao cálculo de recalques e deformações térmicas em estruturas.

Introdução
Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo e confira os aspectos mais importantes deste conteúdo.
1 - Momentos de engastamento perfeito e a rigidez em
estruturas
Ao �nal deste módulo, você será capaz de calcular momentos de engastamento perfeito e a
rigidez em estruturas.
Vamos começar!
Você sabe como calcular os momentos de
engastamento perfeito e a rigidez em estruturas?
Assista ao vídeo a seguir e conheça os principais pontos que serão abordados neste módulo.
Deslocabilidade em estruturas
As deslocabilidades são as componentes de deslocamentos: translação e rotação, que estão livres na
estrutura. São as incógnitas do método dos deslocamentos e precisaremos conhecê-las para resolver a
estrutura (encontrar as reações de apoio e desenhar os diagramas dos esforços solicitantes).
Para compreender melhor o conceito de deslocabilidade , observe a imagem a seguir:

(Di)
Configuração deformada de um pórtico plano formada pela superposição de configurações deformadas elementares.
A primeira imagem do pórtico ilustra seus deslocamentos, por meio da linha pontilhada, para a situação de
carregamento e apoios da estrutura. Para resolver este pórtico, pelo método dos deslocamentos, é
necessário fazer a superposição de efeitos conforme mostrado na imagem anterior. No caso (0),
analisamos os efeitos dos carregamentos externos na estrutura, e nos demais casos (do 1 ao 7) analisamos
as deslocabilidades isoladas. Estas análises são realizadas no que chamamos Sistema hipergeométrico
(SH) da estrutura, ilustrado na imagem seguinte.
Sistema Hipergeométrico do pórtico plano da imagem anterior.
O SH da estrutura é a estrutura original com todos os nós restringidos. Estes nós são representados por
engastes fictícios. Observe:
No ponto A, a estrutura original apresenta um engaste, logo não há deslocabilidades possíveis.
Nos pontos B e C, o engaste impede os movimentos de translação (vertical e horizontal) e o de rotação,
logo temos três deslocabilidades em cada um desses nós.
No ponto D, a estrutura original impede os movimentos de translação devido à presença do apoio de
segundo grau, assim, a presença do engaste no SH acrescenta apenas a impossibilidade da estrutura
rotacionar neste ponto, ficando apenas uma deslocabilidade.
Comentário
Alguns autores não restringem a rotação de apoios externos de segundo grau, e apresentam tabelas para a
resolução com barras engastada-rotulada.
Outro fator a ser considerado é o carregamento externo, este é de grande influência na presença de
deslocabilidades na estrutura. Observe a viga contínua da imagem a seguir:
Viga contínua.
As deslocabilidades possíveis serão 6, considerando todos os carregamentos possíveis (cargas horizontais,
verticais e momentos): deslocamento horizontal e rotação nos pontos “B”, “C” e “D”, devido à presença dos
apoios de primeiro gênero. No ponto “A” não teremos deslocabilidades por conta da presença do engaste.
Isso pode ser visto na próxima imagem através da linha de deformação da estrutura:
Deformação da viga contínua.
Porém, se a viga apresentar apenas carregamento vertical, teremos apenas 3 deslocabilidades, uma rotação
em cada apoio de primeiro gênero. Observe:
Deformação da viga contínua.
Logo, para vigas contínuas sob carregamento vertical iremos considerar apenas as deslocabilidades devido
à rotação nos nós.
Atenção!
No método das forças, o grau de hiperestaticidade da estrutura determinava o número de hiperestáticos que
deveriam ser levantados para resolver a estrutura. Já no método dos deslocamentos que aprenderemos,
resolver a estrutura significa determinar todas as deslocabilidades.
Rigidez de uma barra
Vamos conhecer algumas grandezas fundamentais para o desenvolvimento do cálculo de deformações,
como o conceito de rigidez de uma barra.
Denominamos rigidez de uma barra, em um nó, o valor do momento que, aplicado
neste nó, supostamente livre para girar, provoca uma rotação unitária. E o valor da
força que, aplicada neste nó, supostamente livre para transladar, provoca um
deslocamento unitário.
No caso de barras engastadas-apoiadas submetidas à flexão, devemos determinar um momento que,
aplicado neste nó, provoca uma rotação unitária. Apliquemos, então, um momento unitário ao apoio da
esquerda:
Momento unitário em barra engastada-apoiada.
Neste caso, a rigidez da barra é dada por:
Rotacione a tela. 
Onde:
K ′
K ′ =
3EI
l
 é o módulo de elasticidade da barra.
 é o momento de inércia da barra.
 é o comprimento da barra.
Da mesma forma, quanto ao caso de barras de extremidades engastadas submetidas à flexão, devemos
determinar um momento que, aplicado neste nó, provoca uma rotação unitária. Aplicando, então, um
momento unitário no apoio, temos:
Momento unitário em barra biengastada.
Assim, a rigidez da barra , ou seja, o momento que, aplicado no nó, provoca uma rotação unitária nele, é
dada por:
Rotacione a tela. 
Atenção!
O significado físico da rigidez de uma viga biengastada (no caso ) refere-se ao momento que
surge no bordo que sofreu a rotação unitária. Verifica-se que surge um momento igual à metade deste valor
e de mesmo sentido vetorial que a rotação unitária, no apoio oposto. Define-se, então, que o coeficiente de
transmissão t de momentos de um nó para outro nó engastado, em uma barra de inércia constante, é igual a
0,5.
Resumindo: Para uma barra biengastada, de inércia constante, temos na imagem a seguir, a indicação de
momentos fletores e reações verticais resultantes da imposição de rotação ( ) unitária nas extremidades (a)
da esquerda e (b) da direita, para a barra isolada:
E
I
l
K ′
K ′ =
4EI
l
K ′ = 4EIl
θ
Indicação de momentos fletores e reações verticais resultantes da imposição de rotações unitárias.
De forma análoga, em barras com engastamento perfeito, podemos utilizar os valores apresentados na
imagem a seguir de momentos fletores e esforços para a rigidez da barra, no caso: de deslocabilidade
unitária, na horizontal; de deslocabilidade unitária, na vertical. Observe:
Aplicação de deslocabilidade horizontal unitária no ponto A.
Aplicação de deslocabilidade vertical unitária no ponto A.
Sendo:
 o comprimento da barra submetida a deslocabilidade horizontal unitária.
 a área da barra.
 o comprimento da barra horizontal submetida a deslocabilidade vertical unitária.
Di Di
L
A
l
Atenção!
A convenção de sinais adotada no método dos deslocamentos é própria do método! Não confunda essa
convenção com a já utilizada no traçado dos diagramas de momentos fletores anteriormente!
Ao desenhar o diagrama de momento fletor da estrutura, deve-se atentar aos sinais obtidos no método do
deslocamento. O traçado do diagrama de momento fletoré realizado do lado em que há a tração na barra
analisada. Esta atenção quanto ao sinal do método, também deve ser tomada para o desenho dos
diagramas de esforços cortante e normal. Veja as convenções de sinais do método dos deslocamentos:
Convenção de sinais adotada para o método dos deslocamentos.
Grandezas fundamentais
Para a determinação dos diagramas de momentos fletores atuantes numa barra de uma estrutura, é
necessário conhecer os momentos fletores que teria esta barra se fosse, conforme o caso, biengastada ou
engastada-rotulada para um carregamento externo atuante. Para isso, iremos utilizar a tabela de momento
de engastamento perfeito e de engaste-rótula que será apresentada mais adiante.
Esforços nodais equivalentes
Ações em barras podem ser consideradas em análise de estruturas por meio de forças ou esforços nodais
equivalentes. Vamos ver como isso acontece, por exemplo, no pórtico a seguir.
Exemplo de pórtico e seus carregamentos
Entenda a definição de ponto nodal:
Ponto nodal é toda extremidade da barra. Deslocamentos nodais são todos os
deslocamentos lineares e de rotação nesses pontos!
Agora, vamos considerar o SH deste pórtico e separá-lo em barras isoladas de engastamento perfeito e
solicitadas por ações de momentos fletores e esforços cortantes:
Pórtico separado com suas barras.
O conjunto dessas ações são denominadas de esforços de engastamento perfeito. Eles sempre surgirão
sobre estruturas hiperestáticas, como vigas biengastadas ou vigas engastadas-apoiadas. No exemplo
anterior, a estrutura foi decomposta por apenas vigas biengastadas.
Na análise de uma estrutura com ações variáveis externas, como a que vimos aqui, sempre podemos
substitui-la por forças nodais iguais aos esforços de engastamento perfeito dessas barras. A seguir,
disponibilizamos uma tabela com esses valores, relacionando-os com as condições de bordo e os casos de
carregamento.
Momentos de engastamento perfeito.
Deslocamentos ortogonais recíprocos
Seja uma viga biengastada como a representada adiante, com módulo de elasticidade , comprimento e
momento de inércia constante , cujo apoio direito sofre um recalque .
Deslocamento ortogonal recíproco.
Podemos utilizar o método das forças para desenvolver este diagrama de momento fletor, o qual vai
invariavelmente apresentar a seguinte forma:
Momentos em barra.
Em que:
E l
I ρ
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Se tivermos um recalque unitário, tal que , teremos, então:
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Seja agora uma viga engastada-apoiada como a demonstrada a seguir, com módulo de elasticidade 
comprimento e momento de inércia constante , cujo apoio direito sofre um recalque .
Deslocamento ortogonal recíproco.
Podemos, da mesma forma, utilizar o método das forças para desenvolver este diagrama de momento fletor,
o qual vai invariavelmente apresentar uma forma como:
MA =
6EIρ
l2
MB =
6EIρ
l2
ρ = 1
MA =
6EI
l2
MB =
6EI
l2
E;
l I ρ
Momentos em barra.
Em que:
Rotacione a tela. 
Se tivermos um recalque unitário, tal que , teremos, então:
Rotacione a tela. 
Mão na massa
Questão 1
Em um pórtico biengastado composto por duas barras (conforme ilustra a imagem seguinte), podemos
dizer que há quantas deslocabilidades possíveis, para quaisquer carregamentos?
MA =
3EIρ
l2
ρ = 1
MA =
3EI
l2

Estrutura biengastada.
Parabéns! A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
Na estrutura a seguir, podemos dizer que há quantas deslocabilidades?
A 0
B 1
C 2
D 3
E 4
Pórtico plano.
Parabéns! A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 3
A viga contínua a seguir será exposta apenas a cargas verticais. Portanto, quantas deslocabilidades
teremos?
A 0
B 1
C 3
D 5
E 7
Viga contínua.
Parabéns! A alternativa A está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 4
Para resolver a viga contínua ilustrada abaixo, um estudante adotou o sistema hipergeométrico.
Sabendo que EI=6 para todas as barras, marque a opção que apresenta as rigidezes das três barras,
respectivamente.
A 2
B 3
C 4
D 5
E 6
Viga contínua e sistema hipergeométrico.
Parabéns! A alternativa A está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 5
Dentre os valores a seguir, assinale o momento de engastamento perfeito referente ao vão engastado-
apoiado da estrutura adiante. Cada vão possui 12m e as cargas concentradas estão aplicadas no meio
dos vãos. Obs.: adotar o SH dado abaixo.
A 3, 4 e 3
B 4, 3 e 3
C 4, 4 e 4
D 3, 3 e 3
E 4, 3 e 4
Viga contínua e sistema hipergeométrico.
Parabéns! A alternativa E está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 6
Dentre os valores a seguir, assinale o momento de engastamento perfeito referente ao apoio da
esquerda para o vão biengastado a seguir, sabendo que a carga concentrada dista 2m do engate mais à
esquerda da viga.
A 8,5kNm
B 30,0kNm
C 15,0kNm
D 58,5kNm
E 38,5kNm
Viga biengastada.
Parabéns! A alternativa D está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
A 20,0kNm
B 35,0kNm
C 45,0kNm
D 55,0kNm
E 65,0kNm
_black
Teoria na prática
Calcule os momentos de engastamento perfeito referentes às barras horizontais da estrutura a seguir.
Considere rigidez à flexão (EI) constante.
Pórtico.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
A estrutura a seguir possui quantas deslocabilidades?
Mostrar solução
Pórtico plano.
Parabéns! A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
Em uma situação como a representada a seguir, na viga engastada-apoiada de comprimento igual a 
, se e for igual a , então, pode-se dizer que o momento que surge no engaste é:
A 1
B 2
C 3
D 4
E 5
6m
El = 12 ρ 1m
Viga engastada-apoiada.
Parabéns! A alternativa B está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
A 1kNm
B 2kNm
C 3kNm
D 4kNm
E 5kNm
2 - As bases do método dos deslocamentos
Ao �nal deste módulo, você será capaz de empregar o método dos deslocamentos para
resolução de estruturas hiperestáticas.
Vamos começar!
Resolvendo estruturas hiperestáticas pelo método dos
deslocamentos
Assista ao vídeo a seguir e conheça os principais pontos que serão abordados neste módulo.

Método dos deslocamentos
O método dos deslocamentos, usado para analisar e resolver uma estrutura hiperestática, consiste em
encontrar e solucionar as deslocabilidades na estrutura, para então determinar os esforços e obter os
diagramas.
Veja, a seguir, a relação:
Método das forças
As variáveis são vínculos liberados da estrutura (os hiperestáticos).
Método dos Deslocamentos
As variáveis são redundantes estáticas determinadas por um sistema de equações de compatibilidade
de deslocamentos na direção destas redundantes.
Veja que, na estrutura abaixo, todas as barras têm as mesmas propriedades elásticas e de seção
transversal:

Exemplo de pórtico plano.
Sobre a estrutura do exemplo, considere que o material adotado tem módulo de elasticidade:
Rotacione a tela. 
A seção transversal das barras tem área:
Rotacione a tela. 
E momento de inércia:
Rotacione a tela. 
Pode-se observar também, na imagem anterior, que além da situação de carregamento, é apresentada a
configuração deformada da mesma e as deslocabilidades, que são os deslocamentos horizontal ,
vertical e a rotação 
Atenção!
No método dos deslocamentos, a estratégia é procurar, dentre todas as configurações deformadas que
satisfazem a compatibilidade, aquela que também torna o equilíbrio satisfatório.
Para a resolução da estrutura, o equilíbrio é imposto na forma de equilíbrio dos nós isolados, considerandotambém que as barras isoladas estão em equilíbrio. Portanto, precisamos encontrar os valores de e
 para que o nó interno fique em equilíbrio. Sendo assim, iremos adotar o seguinte sistema
hipergeométrico:
E = 1, 2 ⋅ 107kN/m2
A = 1, 2 ⋅ 10−2m2
I = 1, 2 ⋅ 10−3m4
(D1)
(D2) (D3).
D1,D2
D3
Sistema hipergeométrico.
A solução da estrutura passará pelo estudo de quatro casos:
Caso (0): Carregamento esterno isolado no SH
Caso (1): Deslocabilidade 1 unitária, isolada no SH
Caso (2): Deslocabilidade 2 unitária, isolada no SH
Caso (3): Deslocabilidade 3 unitária, isolada no SH
No caso (0), ilustrado a seguir, iremos determinar os valores de (sendo a indicação da deslocabilidade
e "0" do carregamento externo) que correspondem às reações no apoio fictício para equilibrar o SH quando
atua apenas no carregamento externo, ou seja, com deslocabilidades nulas. Para este cálculo é utilizada a
tabela com os valores de momento de engastamento perfeito.
Solicitação externa isolada no SH.
No caso (1) iremos considerar apenas o efeito da deslocabilidade 1 isolada no SH, com valor unitário para o
deslocamento, e depois sendo multiplicada pelo valor real de , conforme imagem a seguir. Neste caso,
são determinados os que são coeficiente de rigidez global referentes a força ou momento que deve
atuar na direção das deslocabilidades para manter a estrutura (na verdade, o SH) em equilíbrio quando
imposta a configuração deformada.
Solicitação externa isolada no SH.
No caso (1), os coeficientes de rigidez globais que surgem no nó restringido pelo apoio fictício são:
βi0 i
D1
Ki1
Força horizontal ;
Força vertical ; e
Momento .
Por definição, as unidades dos coeficientes de rigidez correspondem às unidades de força ou momento
divididas pela unidade da deslocabilidade em questão. Nesse exemplo, para os casos (1) e (2), a unidade de
 e de é a de deslocamento em metros, enquanto a unidade de é a rotação em radianos.
Os casos (2) e (3) são análogos ao caso (1), porém agora teremos as deslocabilidade: e ,
respectivamente, isoladas no SH, veja:
Deslocabilidade isolada no SH.
Deslocabilidade isolada no SH.
Para resolver essas quatro formas estruturais, precisamos de três equações. A saída para se encontrar os
quocientes é resolver as equações:
Rotacione a tela 
K11
K21
K31
D1 D2 D3
D2 = 1 D3 = 1
D2
D3
β10 + k11D1 + k12D2 + k13D3 = 0
β20 + k21D1 + k22D2 + k23D3 = 0
β30 + k31D1 + k32D2 + k33D3 = 0
Rotacione a tela. 
Para este exemplo, temos:
Rotacione a tela. 
Veja que o sistema de equações acima também pode ser escrito de forma matricial, como:
Rotacione a tela. 
Ou, então, de uma forma mais compacta:
Rotacione a tela. 
Em que:
 é o vetor dos termos de carga;
 é a matriz de rigidez global da estrutura. Ela é sempre quadrada, simétrica, e tem ordem igual ao
número de deformações da estrutura;
 é o vetor das deslocabilidades. São as incógnitas do problema.
Podemos fazer, então, um roteiro para o método dos deslocamentos:
D1 = 0, 45 ⋅ 10
−3m
D2 = −1, 05 ⋅ 10
−3m
D3 = −0, 75 ⋅ 10
−3rad
+ =
⎧⎪⎨⎪⎩β10β20β30⎫⎪⎬⎪⎭ ⎡⎢⎣K11 K12 K13K21 K22 K23K31 K32 K33⎤⎥⎦⎧⎪⎨⎪⎩D1D2D3⎫⎪⎬⎪⎭ ⎧⎪⎨⎪⎩000⎫⎪⎬⎪⎭{β0} + [K]{D} = {0}{β0}[K]{D}Determine o sistema hipergeométrico por meio do bloqueio das deslocabilidades (com apoiosfictícios).
A obtenção dos efeitos finais é realizada pela seguinte expressão:
Rotacione a tela. 
Em que:
 é o efeito que se deseja calcular (Momento fletor, por exemplo);
 é o valor deste efeito no caso 
 é o valor deste efeito no caso da deformação .
Encontre os termos de carga através do caso (0) com o auxílio das tabelas de engastamento
perfeito.
Encontre a matriz rigidez através dos casos de deslocabilidades isoladas no SH.
Formule o sistema de equações de equilíbrio.
Determine as deformações .{D}
Obtenha os efeitos finais.
E = E0 +∑EiDi
E
E0 (0)
Ei Di
Demonstração
Vamos considerar a viga contínua mostrada abaixo, o valor da rigidez à flexão da viga é
 e o valor da carga uniformemente distribuída é 
Demonstração – viga contínua.
O primeiro passo é identificar as deslocabilidades e determinar o sistema hipergeométrico:
Deslocabilidades e SH.
Em seguida, montamos o caso (0) com as cargas externas isoladas no SH para determinar os termos de
carga.
Caso (0).
EI = 1, 2 × 104kNm2 q = 12kN/m.
Com o auxílio das tabelas de engastamento perfeito, temos os diagramas para obter os fatores de carga:
Diagrama de momentos fletores para o Caso (0).
As equações utilizadas foram:
Rotacione a tela. 
Agora iremos montar a matriz rigidez com as deslocabilidades isoladas no SH:
Caso (1) – Deslocabilidade isolada no SH
Configuração deformada e Diagrama de momentos fletores para o Caso (1).
As equações utilizadas foram:
Rotacione a tela. 
β10 = −q ⋅
42
12
+ q ⋅ 62/12 = −16 + 36 = +20kNm
β20 = −q ⋅
62
12
+ q ⋅ 22/12 = −36 + 4 = −32kNm
D1
K11 = +4EI/4 + 4EI/6 = +12000 + 8000 = +20000kNm/rad
K21 = +2EI/4 = +4000kNm/rad
Caso (2) – Deslocabilidade isolada no SH
Configuração deformada e Diagrama de momentos fletores para o Caso (2).
As equações utilizadas foram:
Rotacione a tela. 
Assim, a equação de equilíbrio do método dos deslocamentos é dada por:
Rotacione a tela. 
Logo, a solução do sistema é:
Rotacione a tela. 
Para determinar o diagrama de momento fletor, primeiramente iremos determinar esses esforços em cada
nó através da equação:
Rotacione a tela. 
D2
K12 = +2EI/4 = +4000kNm/rad
K22 = +4EI/6 + 4EI/2 = +8000 + 24000 = +32000kNm/rad
⇒ + 103 =
⎧⎪⎨⎪⎩ β10 + K11D1 + K12D2 = 0β20 + K21D1 + K22D2 = 0 ⎧⎪⎨⎪⎩+20−32⎫⎪⎬⎪⎭ ⎡⎢⎣+20 +4+4 +32⎤⎥⎦⎧⎪⎨⎪⎩D1D2⎫⎪⎬⎪⎭ ⎧⎪⎨⎪⎩00⎫⎪⎬⎪⎭D1 = −1, 23 × 10−3radD2 = +1, 15 × 10−3radM = M0 +∑MiDi
Onde:
Rotacione a tela. 
Temos, então:
Os valores obtidos a partir da equação anterior.
A apresentação da direção dos momentos fletores de acordo com a convenção de sinais do método dos
deslocamentos.
M = M0 − 1, 23 × 10
−3 × M1 + 1, 15 × 10−3 × M2
O diagrama de momentos fletores final da estrutura.
Mão na massa
Questão 1
O momento fletor, com sinal do método dos deslocamentos, que ocorre no engaste da barra horizontal
da estrutura a seguir, considerando apenas a deslocabilidade de rotação no nó, é dada por:
Obs.: Considerar EI constante e igual a 5 e a convenção de sinais do método dos deslocamentos para a
resposta final.
Pórtico plano biengastado.

A 31,25kNm
B 12,5kNm
C -31,25kNm
Parabéns! A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
O momento fletor, com sinal do método dos deslocamentos, que ocorre no engaste da barra horizontal
da estrutura a seguir, considerando apenas a deslocabilidade de rotação no nó, é dada por:
Obs.: Considere EI constante e igual a 5.
Pórtico plano biengastado.
D -12,5kNm
E 5,0kNm
A 37,5kNm
B 46,9kNm
C 60kNm
D -46,9kNm
Parabéns! A alternativa B está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 3
O maior momento fletor que ocorre na viga contínua a seguir é dado por:
Obs.: Considere EI constante e igual a 24.
Parabéns! A alternativa E está correta.
E -37,5kNm
A 8kNm
B 94kNm
C 64kNm
D -68kNm
E -111kNm
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 4
Na viga a seguir, em que as cargas estão aplicadas nos pontos médios dos vãos, o máximo momento
fletor sobre um apoio da viga é dado por:
Obs.: Considere EI constante e igual a 24.
Parabéns! A alternativa A está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
A -78kNm
B -28kNm
C 64kNm
D -68kNm
E -105kNm
Questão 5
O momento fletor máximo da estrutura mostrada é:
Obs.: Considere EI constante e igual a 6.
Viga engastada e apoiada.
Parabéns! A alternativa B está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 6
A -11,4kNm
B -13,1kNm
C 5,7kNm
D 7,5kNm
E -4kNm
Dentre as opções a seguir, determine o momento fletorno ponto marcado.
Obs.: Considere apenas as restrições de rotação e EI constante para todas as barras e igual a 6.
Pórtico plano.
Parabéns! A alternativa B está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
A -10,2kNm
B -14,3kNm
C 7,5kNm
D 14,1kNm
E 10,2kNm
Teoria na prática
Desenhe o DMF e o DEC da viga contínua a seguir, obedecendo às inércias de cada trecho.
Obs.: Considere EI constante e igual a 6.
Viga contínua.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Observe a seguinte equação matricial. O que se pode dizer da matriz de rigidez 
_black
Mostrar solução
([K]) :
Parabéns! A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
O momento de engastamento perfeito de uma viga engastada-apoiada, de comprimento , submetida a
um carregamento distribuído de valor igual a , pode ser representado por:
{β0} + [K]{D} = {0}
A É uma matriz linha.
B É uma matriz coluna.
C É uma matriz quadrada de ordem igual ao número de hiperestáticos.
D É uma matriz quadrada de ordem igual ao número de deslocamentos.
E É uma matriz assimétrica, em que o número de linhas é maior que o de colunas.
l
q
A − ql
2
8
B ql
2
8
C ql
2
12
Parabéns! A alternativa B está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
3 - Vigas contínuas e pórticos planos sujeitos a
carregamentos aplicados
Ao �nal deste módulo, você será capaz de analisar os casos simples de vigas contínuas e
pórticos planos sujeitos a carregamentos aplicados.
D − ql
2
12
E ql
2
4
Vamos começar!
Você sabe como analisar vigas contínuas e pórticos
planos sujeitos a carregamentos aplicados?
Assista ao vídeo a seguir e conheça os principais pontos que serão abordados neste módulo.
Simpli�cações devido à simetria em estruturas
O método dos deslocamentos permite realizar simplificações em estruturas que apresentem alguma
simetria, seja em carregamento, ou nas barras, e vãos que fazem parte delas. Vamos entender como
escolher sistemas principais que envolvam ou não sistemas estruturais reduzidos.
1º caso
Eixo de simetria intercepta um nó rígido, como demonstrado nas imagens, em que podemos perceber cada
uma das transformações para os carregamentos simétricos e antissimétricos.

1º caso – aplicado a pórtico – Carregamento simétrico (S.P).
1º caso – aplicado a pórtico – Carregamento antissimétrico (S.P)
1º caso – aplicado a pórtico – Carregamento simétrico (S.P).
1º caso – aplicado a pórtico – Carregamento antissimétrico (S.P).
2º caso
Eixo de simetria intercepta barras ortogonais, como mostrado nas imagens. As barras marcadas com I/2
mostram que, no carregamento antissimétrico, elas devem ser consideradas com metade de sua inércia.
2º caso – aplicado a pórtico.
2º caso – aplicado a pórtico – Carregamento simétrico (S.P) / Carregamento antissimétrico (S.P).
2º caso – aplicado a pórtico.
2º caso – aplicado a pórtico – Carregamento simétrico (S.P) / Carregamento antissimétrico (S.P).
3º caso
Eixo de simetria intercepta barras sem nós, como representado nas imagens.
3º caso – aplicado a pórtico.
3º caso – aplicado a pórtico – Carregamento simétrico (S.P) / Carregamento antissimétrico (S.P).
Observando a barra que foi cortada ao meio no exemplo acima, devemos nos atentar para calcular
adequadamente sua rigidez. Esses coeficientes de rigidez são iguais ao coeficiente de rigidez de metade da
barra com condições mais adequadas ao carregamento simétrico e antissimétrico, conforme vemos a
seguir:
Rotacione a tela. 
Aplicando esses casos a vigas contínuas, temos os seguintes exemplos:
Ks =
2EI
l
( carregamento simétrico )
Ka =
6EI
l
( carregamento antissimétrico) 
Aplicação à viga contínua.
Aplicação à viga contínua.
Onde, como já vimos:
Rotacione a tela. 
A seguir, você terá uma tabela com o resumo das grandezas auxiliares em barras com inércia constante ,
tanto para carregamentos simétricos como para carregamentos antissimétricos.
Rigidez em barras.
Ks =
2EI
l
( carregamento simétrico )
Ka =
6EI
l
( carregamento antissimétrico )
I
Mão na massa
Questão 1
Seja a viga contínua a seguir, que possui inércia constante e carregamento simétrico. Entre as opções a
seguir, escolher o que corresponde ao máximo momento da estrutura, em módulo.
Obs.: Considerar EI constante e igual a 6.
Viga continua com carregamento uniforme.

A 26kNm
B 15kNm
C 31kNm
D 52kNm
E 7kNm
Parabéns! A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
Dentre as opções, assinale o valor do momento fletor que surge no ponto médio da barra horizontal:
Obs.: considere EI e EA constantes e iguais a 1, e todas as possíveis deslocabilidades.
Pórtico plano biengastado.
Parabéns! A alternativa B está correta.
A 37,5kNm (tracionando embaixo)
B 43,5 kNm (tracionando embaixo)
C 50,0 kNm (tracionando embaixo)
D 56,5 kNm (tracionando embaixo)
E 60,0 kNm (tracionando embaixo)
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 3
O momento fletor que surge no vértice B da estrutura a seguir é dado por:
Considere:
Apenas as deslocabilidades do ponto B: horizontal e rotacional.
Comprimento da barra BC igual a 6 m.
EI constante igual a 6.
Pórtico plano.
A 2,25kNm
B 4,5kNm
C 7kNm
D 9kNm
E 15kNm
Parabéns! A alternativa A está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Questão 4
Seja o quadro fechado a seguir, que possui inércia constante e carregamento simétrico. Dentre as
opções a seguir, escolher o que corresponde ao máximo momento negativo da estrutura.
Obs.: Considerar apenas a deslocabilidade de rotação e EI constante e igual a 24.
Quadro fechado.
A 60kNm
B 130kNm
C 135kNm
D 200kNm
Parabéns! A alternativa B está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 5
Seja o quadro fechado a seguir, que possui inércia constante e carregamento simétrico autoequilibrado.
Dentre as opções a seguir, escolher a que corresponde ao máximo momento negativo da estrutura.
Obs.: Considere apenas a deslocabilidade de rotação e EI constante e igual a 6.
Quadro fechado com inércia constante.
E
250kNm
A 12,5kNm
B 7,5kNm
C -2,33kNm
D -4,5kNm
E 2,33kNm
Parabéns! A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 6
Dentre os valores a seguir, escolha o valor referente ao módulo da reação de apoio no engaste na barra
esquerda do pórtico.
Obs.: Considerar apenas a deslocabilidade de rotação e EI constante e igual a 6.
Pórtico plano.
Parabéns! A alternativa A está correta.
A 0,21kN
B 0,42kN
C 0,63kN
D Zero
E 1,00kN
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Teoria na prática
Observe o pórtico a seguir. Obtenha o diagrama de momento fletor da estrutura. Pode ser interessante
utilizar a parcela simétrica do carregamento indicado.
Teoria na prática – pórtico.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
_black
Mostrar solução
Observe a estrutura a seguir. Utilizando-se do fato de que ela é simétrica, o principal benefício, no
âmbito de sua resolução pelo método dos deslocamentos, será:
Estrutura plana triengastada.
Parabéns! A alternativa A está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
Observe a estrutura.
A Diminuir o número de incógnitas a serem resolvidas.
B Aumentar o número de deslocabilidades a serem fixadas.
C Diminuir o número de hiperestáticos a serem resolvidos.
D Tornar a estrutura isostática.
E Tornar a estrutura hiperestática.
Estrutura plana triengastada,
A rigidez relativa da barra 5, considerada como parte de uma estrutura simétrica, mostrada acima,
considerando e um comprimento total de , é dada por:Parabéns! A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
I = 5 × 105 cm4 10 m
A 50cm3
B 100cm3
C 200cm3
D 500cm3
E 1000cm3
4 - Recalques e deformações térmicas em estruturas
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar o método dos deslocamentos ao cálculo de
recalques e deformações térmicas em estruturas.
Vamos começar!
Como calcular recalques e deformações térmicas em
estruturas pelo método dos deslocamentos
Assista ao vídeo a seguir e conheça os principais pontos que serão abordados neste módulo.

Processo de Williot
Vamos apresentar agora o processo de Williot, um processo que se destina a calcular os deslocamentos
ortogonais recíprocos em estruturas que sofrem deformações e recalques. Originalmente, era utilizado para
calcular as deformações em todos os nós de uma treliça placa.
Observe o exemplo a seguir, com duas barras biengastadas que possuem um pino que as liga:
Barras biengastadas.
Exemplo
Vamos supor que a barra 1 horizontal sofra um acréscimo de temperatura enquanto a barra 2 inclinada
sofre um decréscimo.
Deformações em barras biengastadas.
Exemplo
Se traçarmos a deformação relativo ao aumento de temperatura na barra 1 e a deformação referente
à diminuição de temperatura na barra 2, temos uma configuração deformada tracejada.
Deformações em barras biengastadas.
Exemplo
Se nós nos detivermos nas duas deformações geradas e no gráfico que é formado entre eles, podemos
perceber a configuração representada na imagem.
O objetivo do processo de Williot é a determinação dos deslocamentos ortogonais e , como vimos,
necessários para a determinação dos deslocamentos ortogonais recíprocos que, junto com os cálculos da
rigidez das barras, são capazes de gerar seus momentos de engastamento perfeito.
Agora que já conhecemos esse processo gráfico, vamos aprender como utilizá-lo no método dos
deslocamentos de estruturas sujeitas a recalques e deformações térmicas.
Cálculos de recalques e deformações térmicas em
estruturas
Seja uma estrutura que esteja com suas fibras inferiores sujeitas a uma temperatura e suas fibras
superiores sujeitas a uma temperatura . Dessa forma, podemos considerar a diferença (ou gradiente) de
temperatura denominado por .
δ1 δ2
ρ1 ρ2
ti
te
Δt
Consideremos ainda que essa temperatura varie linearmente, fazendo com que surja uma rotação angular
entre as fibras superiores e inferiores, dada pela fórmula deduzida:
Rotação angular entre as fibras.
Nesse caso, devemos calcular os momentos de engastamento perfeito nessas vigas retas, mas submetidas
apenas ao gradiente térmico , por meio de uma fórmula derivada de que conheceremos a seguir.
Assim, para o caso de um momento que surge nessa peça, devido à dilatação da estrutura, temos:
Para uma barra biengastada
Para uma barra engastada-rotulada
Δt Δφ
M
MA = −MB =
EI α Δt
h
Em que:
 é o momento fletor que surge na peça;
 é o coeficiente de dilatação linear do material;
 é a altura da peça;
 é o módulo de elasticidade da peça;
 é o momento de inércia da peça.
Com os momentos de engastamento perfeito, será fácil encontrar o efeito referente ao gradiente de
temperatura que surge na peça.
Por outro lado, quando a temperatura for no centro de gravidade das peças, então, a deformação não variará
ao longo da seção da peça. Essa variação se dará, mais ou menos, como na imagem a seguir.
Deslocamento axial relativo.
Para a peça inteira, teremos, então:
Rotacione a tela. 
O que facilmente vai gerar um deslocamento do nó. Nesse caso, precisaremos utilizar o Método de Williot,
conforme já explicado, para encontrar os deslocamentos ortogonais recíprocos referentes a esse
deslocamento.
M =
3EIαΔt
2h
M
α
Δt = ti − te
h
E
I
k1t
ΔL = αtgL
A partir dos cálculos dos deslocamentos ortogonais recíprocos, basta aplicarmos as fórmulas já estudadas
para encontrarmos os momentos de engastamento perfeito:
Para o caso de vigas biengastadas
Para o caso de vigas engastadas-apoiadas ou rotuladas
Para essas equações, em que:
 é o momento fletor que surge na peça;
 é o comprimento da peça;
 é o módulo de elasticidade da peça;
 é o módulo de elasticidade da peça;
 é o deslocamento ortogonal recíproco que surge na peça.
MA =
6EIρ
l2
MB =
6EIρ
l2
MA =
3EIρ
l2
M
l
E
I
ρ
Casos de recalques
Para o caso de recalques em peças, é necessário salientar que ele agirá em toda a seção da peça, ou seja,
não haverá deslocamentos ou rotações diferenciais que gerem momentos de engastamento perfeito. Na
verdade, esses momentos serão função dos deslocamentos ortogonais recíprocos que surgem na peça em
função desse recalque.
Assim, cabe o mesmo raciocínio que estudamos quando vimos os efeitos de temperatura, quando a
variação é uniforme por toda a peça. Neste caso:
Para o caso de vigas biengastadas
Para o caso de vigas engastadas-apoiadas ou rotuladas
MA =
6EIρ
l2
MB =
6EIρ
l2
MA =
3EIρ
l2
Para essas equações, em que:
 é o momento fletor que surge na peça;
 é o comprimento da peça;
 é o módulo de elasticidade da peça;
 é o módulo de elasticidade da peça;
 é o deslocamento ortogonal recíproco que surge na peça.
No qual o deslocamento ortogonal recíproco é definido pelo processo de Williot, já estudado.
Mão na massa
Questão 1
Observe a estrutura a seguir, em que a (temperatura das fibras internas) e 
(temperatura das fibras externas). Se e e a altura da seção
transversal da estrutura é de , o momento fletor no vértice da estrutura é dado por:
Estrutura plana biengastada.
M
l
E
I
ρ

ti = 10
∘C te = 50
∘C
EI = 105kNmNm2 α = 10−5/∘C
0, 5m
A 65kNm
Parabéns! A alternativa A está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
Observe a estrutura a seguir, em que o ponto B sofre um recalque horizontal de para a direita. Se
, escolha, entre as opções, o momento fletor atuante no ponto C, em módulo.
Estrutura plana com engastamento nas extremidades.
B 55kNm
C 40kNm
D 25kNm
E 10kNm
0, 5cm
EI = 105kNm2
A 56,6kNm
B 66,6kNm
Parabéns! A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 3
Observe a estrutura a seguir, em que a variação uniforme de temperatura da seção é de . Se
 e e a altura da seção transversal da estrutura é de ,
escolha, entre as opções, o valor em módulo do momento fletor no vértice da estrutura:
Estrutura biengastada.
C 76,6kNm
D 86,6kNm
E 96,6kNm
20∘C
EI = 4, 5 × 105kNm2 α = 10−5/∘C 0, 5m
A 60kNm
B 55kNm
C 50kNm
Parabéns! A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 4
Observe a estrutura. Se e considerando um recalque de do apoio B,
escolha, entre as opções a seguir, o valor em módulo do momento fletor no vértice da estrutura:
Estrutura biengastada com recalque em B.
D 45kNm
E 40kNm
EI = 4, 5 × 105kNm2 1cm
A 500kNm
B 600kNm
C 750kNm
D 850kNm
Parabéns! A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 5
Entre as opções a seguir, escolha aquela que dê o valor do momento fletor do vértice da estrutura,
considerando um recalque no apoio de , de cima para baixo. e
)
Quadro triengastado.
E 1000kNm
D
B 1cm (E = 2× 106kN/m2
I = 0, 005m4
A 29,41kNm
B -28,83kNm
C 28,83kNm
D -29,41kNm
E 14,42 kNm
Parabéns! A alternativa B está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 6
Calcule o momento fletor do vértice da estrutura a seguir, considerando um aumento de temperatura
uniforme de 
Quadro plano.
D
30∘C. (E = 2 × 106kN/m2,  I = 0, 005m4 e α = 105/∘C)
A 2,76kNm
B – 2,76kNm
C 5,52kNm
D – 5,52kNm
E 7,3kNm
Parabéns! A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Teoria na prática
Determine o momento no engaste quesurge na estrutura a seguir, em que todas as barras possuem
 e a barra horizontal tem um gradiente de temperatura (temperatura externa menos a
temperatura interna) de na barra horizontal e de na barra inclinada. O coeficiente de
dilatação térmica é .
Estrutura plana biengastada.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
_black
EI = 6 × 105kNm2
18, 75∘C 12, 5∘C
10 − 5/∘C
Mostrar solução
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
O processo de determinação dos deslocamentos ortogonais recíprocos de estruturas hiperestáticas
sujeitas a recalques e a variações de temperatura é chamado de:
Parabéns! A alternativa B está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
A fórmula se refere ao cálculo de um momento de engastamento perfeito a partir de um
deslocamento ortogonal recíproco:
A Método dos deslocamentos.
B Processo de Williot.
C Princípio dos trabalhos virtuais.
D Processo de Cross.
E Método das forças.
MA =
3EIρ
l2
A Em vigas, com inércia I e comprimento l, biapoiadas.
Parabéns! A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Considerações �nais
Acabamos de aprender um pouco mais sobre o método dos deslocamentos, o segundo dos grandes
métodos de resolução de estruturas hiperestáticas. Também vimos como montar a matriz de rigidez e as
variadas situações que podem surgir para serem resolvidas, como carregamentos diversos, recalques e
deformações de temperatura.
O passo que acabou de vencer é importante para entender este grupo de estruturas. O cálculo dos esforços
e dos momentos relacionados às estruturas (esforços normais, esforços cortantes, momentos fletores) é de
suma importância para, primeiro, compreender os outros métodos de resolução de estruturas, e por fim,
aplicar os resultados a análises mais complexas de estruturas reais, conforme você verá no prosseguimento
de seus estudos.
B Em vigas com inércia I e comprimento l, biengastadas.
C Em vigas com inércia I e comprimento l, engastadas-rotuladas.
D Em vigas com inércia I e comprimento l, em balanço.
E Em treliças.

Podcast
O podcast a seguir aborda os assuntos mais relevantes do conteúdo que você acabou de estudar.
Referências
GERE, J. M.; WEAVER J. W. Análise de estruturas reticuladas. Rio de Janeiro: Guanabara, 1987.
GERE, J. M.; WEAVER J. W. Analysis of Framed Structures. New York: D. Van Nostrand, 1965. 
HIBBELER, R. C. Análise das estruturas. 8. ed. São Paulo: Pearson, 2013.
LEET, M. K.; UANG, C. M.; GILBERT, A. M. Fundamentos da análise estrutural. 3. ed. São Paulo: McGraw-Hill,
2009.
MARTHA, L. F. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. 1. ed. Rio de Janeiro: Elsevier Ltda,
2010.
SORIANO, H. L. Análise de estruturas: método das forças e dos deslocamentos. 2. ed. Rio de Janeiro:
Ciência Moderna, 2006.
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural I. 7. ed. Rio de Janeiro: Globo, s.d. (a)
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural II. 7. ed. Rio de Janeiro: Globo, s.d. (b)
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural III. 7. ed. Rio de Janeiro: Globo, s.d. (c)
VENÂNCIO FILHO, F. Análise matricial de estruturas: estática, estabilidade, dinâmica. Rio de Janeiro: A.
Neves, 1975.
Explore +
Você sabia que existem programas específicos para resolução de estruturas de Engenharia Civil? Um dos
programas de análise estrutural de estruturas planas mais utilizados para estudantes de engenharia é o
Ftool.
Ele possui uma interface bastante amigável e intuitiva para lançamento de estruturas e desenvolvimento de
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