Diagramas de Esforços Internos em Vigas

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Exercícios resolvidos 
 
Exemplo 3: Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio da 
viga abaixo, conforme mostra a Figura 1. 
Dados: 
Temperatura externa (Te) = -20ºC 
Temperatura interna (Ti) = 10ºC 
Seção da viga: 200mm x 500mm (b x h) 
Carga distribuída em toda a viga = 20kN/m 
E = 8 x 106 kN/m2 
 = 10-5 /°C 
 
Figura 1 – Viga com temperatura externa de -20ºC e temperatura interna de 10ºC, e 
uma carga distribuída de 20kN/m em toda a viga 
 
1º Passo: Calcular o grau hiperestático (g) da viga 
Ge = I – E – R 
Ge = 4 – 3 – 0 = 1  estrutura uma vez hiperistática, que desejamos 
resolver (X1). 
Logo o sistema será: 
101t) +11 X1 = 0 
 
2º Passo: Sistema Principal (S. P.) 
Escolher uma estrutura isostática. Colocar os nomes nas barras e nos 
apoios, para facilitar os cálculos e indicar X1, conforme a Figura 2. 
 
 
 
 
Figura 2 – Sistema Principal. Uma estrutura isostática com X1 
 
3º Passo: Calcular o comprimento elástico das barras 
O comprimento elástico das barras: 
𝐿′ = 𝐿 
 𝐽𝑐
𝐽
 
Onde: 
L’ = comprimento elástico; 
L = comprimento da barra; 
Jc = menor momento de inércia de toda a estrutura; 
J = momento de inércia da barra em estudo. 
Calculando o momento de inércia das barras (barra 1 = barra 2): 
JVIGA = bh3/12 = 0,2 x 0,53/12 = 0,002083m4 
 
Calculando o L’ das barras: 
Barra 1 L’1 = 2,50 x 0,002083/0,002083 = 2,50m; 
Barra 2  L’2 = 5,50 x 0,002083/0,002083 = 5,50m. 
 
Observação 
Como toda a viga tem o mesmo momento de inércia, L = L’. 
 
4º Passo: Estado 0 (só carga) 
Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor, 
Figura 3. 
 
 
Figura 3 – Diagrama de momento fletor (M0), com a carga distribuída 
 
5º Passo: Estado 1 (só X1): 
Carga de 1kN no X1 (no hiperestático), Figura 4. 
 
Figura 4 – Diagrama de momento fletor (M1), com a carga de 1kN no X1. 
 
A área do diagrama de momento fletor é de: (15,125m2). 
 
6º Passo: Calcular as E Jc  
Fazemos a multiplicação dos momentos fletores, de cada barra, usando a 
Tabela de Kurt Beyer. 
 
10 
𝛿10 = 𝑀1 𝑥 𝑀0 
Barra 1 = 0 
Barra 2 = L’ de 5,50m com trapézio (-62,5kNm até -640kNm) – parábola 
do 2º grau (75,625kNm) x triângulo (5,50kNm). 
1
6
𝐿′𝑀(𝑀𝐴 + 2𝑀𝐵) +
1
3
 𝐿′ 𝑀𝑀 =
1
6
𝑥5,5𝑥5,5 (−62,5 − 2𝑥640) +
1
3
5,5𝑥5,5𝑥75,625
= −6005,89 
 
𝛿10 = −6005,89 
 
11 
𝛿11 = 𝑀1 𝑥 𝑀1 
Barra 1 = 0 
 
Barra 2: L’ de 5,50m com triângulo (5,50kNm) x triângulo (5,50kNm). 
 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑥 5,50 𝑥 5,50 𝑥 5,50 = 55,46 
 
𝛿11 = 55,46 
 
1t 
Temperatura para o estado 1. 
𝛿1𝑇 = 𝐸 𝐽𝐶 [
𝛼 ∆𝑇
ℎ
 𝐴𝑚𝑖 + 𝛼 𝑡𝑔 𝐴𝑛𝑖] 
Δt = 10 – (-20) = 30ºC 
h viga = 0,5m 
𝛿1𝑇 = 8𝑥10
6 𝑥 0,002083 [10−5 𝑥 
30
0,5
 𝑥 15,125] = 151,01 
𝛿1𝑇 = 151,01 
 
7º Passo: Sistema 
Montar o sistema para achar X1. 
10 + 1t ) +11 X1 = 0 
(-6005,89 + 151,01) + 55,46 X1 = 0 
Resolvendo: 
X1 = 105,57kN 
 
Calculamos a reação de apoio após X1, conforme a Figura 5. 
 
 
Figura 5 – Estrutura original (hiperestática) com o valor de X1 e com as reações de 
apoio 
 
Determinar os diagramas de esforços internos (DEC e DMF), Figura 21 e 
22. 
 
 
 
Figura 6 – Diagrama de Esforços Cortantes (DEC) na estrutura original (hiperestática) 
 
 
Figura 7 – Diagrama de Momento Fletor (DMF) na estrutura original (hiperestática) 
 
 
 
 
Exemplo 4. 
Determinar os diagramas de esforços internos e as reações de apoio da 
viga abaixo, devido ao recalque nos apoios indicados, conforme mostra a Figura 
8. 
Dados: 
Seção da viga: 0,40m x 1,0m (b x h) 
E = 3 x 107kN/m2 
Recalque no apoio B  V = 0,015m (para baixo) 
Recalque no apoio C  V = 0,008m (para baixo) 
 
 
Figura 8 – Viga com recalques nos apoios B e C 
 
1º Passo: Calcular o grau hiperestático (g) da viga 
Ge = I – E – R 
Ge = 4 – 3 – 0 = 1  estrutura uma vez hiperistática, que desejamos 
resolver (X1). 
Logo o sistema será: 
1r+11 X1 = 0 
 
2º Passo: Sistema Principal (S.P.) 
Escolher uma estrutura isostática. Colocar os nomes nas barras e nos 
apoios, para facilitar os cálculos e indicar X1. Conforme a Figura 9. 
 
 
 
 
Figura 9 – Sistema Principal. Estrutura isostática com X1 
 
3º Passo: Calcular o comprimento elástico das barras 
O comprimento elástico das barras: 
𝐿′ = 𝐿 
 𝐽𝑐
𝐽
 
Onde: 
JVIGA = bh3/12 = 0,4 x 13/12 = 0,0333333m4 
 
Calculando o L’ das barras: 
Barra 1 L’1 = 12 x 0,033333/0,0033333 = 12m 
Barra 2 L’2 = 15 x 0,0333333/0,033333 = 15m 
 
4º Passo: Estado 1 (só X1) 
Carga de 1kN no X1 (no hiperestático), Figura 10. 
 
Figura 10 – Diagrama de momento fletor (M1), com a carga de 1kN no X1 
 
 
5º Passo: Calcular as E Jc  
11 
𝛿11 = 𝑀1 𝑥 𝑀1 
Barra 1 = L’ de 12m com triângulo (12kNm) x triângulo (12kNm). 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑥 12 𝑥 12 𝑥 12 = 576 
 
Barra 2 = L’ de 15m com triângulo (12kNm) x triângulo (12kNm). 
 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑥 15 𝑥 12 𝑥 12 = 720 
 
𝛿11 = 1296 
 
1r 
Recalque nos apoios para o estado 1. 
𝛿1𝑟 = −𝐸 𝐽𝐶 [𝑀𝜌 𝑀 + 𝑉𝜌 𝑉 + 𝐻𝜌 𝐻 ] 
𝑀𝜌 𝑀 = 0 
𝐻𝜌 𝐻 = 0 
𝛿1𝑟 = −3𝑥10
7 𝑥 0,033333[1,8 𝑥 0,015 − 0,8 𝑥 0,008 ] = −20600 
𝛿1𝑇 = −20600 
 
6º Passo: Sistema 
1r +11 X1 = 0 
-20600 + 1296 X1 = 0 
X1 = 15,90kN 
 
Calculamos as reações de apoio após X1, conforme a Figura 11. 
 
 
Figura 11 – Estrutura original (hiperestática) com o valor de X1 e com as reações de 
apoio 
 
 
 
Figura 12 – Diagrama de Esforços Cortantes (DEC) na estrutura original (hiperestática) 
 
 
Figura 13 – Diagrama de Momento Fletor (DMF) na estrutura original (hiperestática) 
 
 
 
Exemplo 5. 
Determinar os diagramas de esforços internos e as reações de apoio do 
pórtico abaixo, devido ao recalque no apoio A indicado na Figura 14. 
Dados: 
E I = 2,50 x 104kNm2 
Recalque no apoio A: 
M = 3 x 10-3rad (anti-horário) 
V = 2,0 x 10-2m (para baixo) 
H = 1,5 x 10-2m (para esquerda) 
 
 
Figura 14 – Pórtico com recalques no apoio A 
 
1º Passo: Calcular o grau hiperestático (g) da viga 
Ge = I – E – R 
Ge = 6 – 3 – 0 = 3  estrutura três vezes hiperistática, que desejamos 
resolver (X1; X2 e X3). 
 
2º Passo: Sistema Principal (S. P.) 
Escolher uma estrutura isostática. Colocar os nomes nas barras e nos 
apoios, para facilitar os cálculos e indicar X1, X2 e X3, conforme a Figura 15. 
 
 
 
Figura 15 – Sistema Principal. Estrutura isostática com X1, X2 e X3 
 
3º Passo: Calcular o comprimento elástico das barras 
O comprimento elástico das barras: 
𝐿′ = 𝐿 
 𝐽𝑐
𝐽
 
Onde: 
Como o momento de inércia é igual em todas as barras, logo, L’ = L. 
Calculamos o L’ das barras: 
Barra 1 L’1 = 3m 
Barra 2  L’2 = 6m 
Barra 3  L’3 = 3m 
 
4º Passo: Estado 1 (só X1) 
Carga de 1kNm no X1 (no hiperestático), Figura 16. 
 
Figura 16 – Diagrama de momento fletor (M1), com a carga de 1kNm no X1 
 
 
5º Passo: Estado 2 (só X2) 
Carga de 1 kN no X2 (no hiperestático), Figura 17. 
 
Figura 17 – Diagrama de momento fletor (M2), com a carga de 1kN no X2 
 
6º Passo: Estado 3 (só X3) 
Carga de 1 kN no X3 (no hiperestático), Figura 18. 
 
Figura 18 – Diagrama de momento fletor (M3), com a carga de 1kN no X3 
 
7º Passo: Calcular as E Jc  
11 
𝛿11 = 𝑀1 𝑥 𝑀1 
Barra 1 = L’ de 3m com retângulo (1kNm) x retângulo (1kNm). 
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 3 𝑥 1 𝑥 1 = 3 
 
Barra 2: L’ de 6m com retângulo (1kNm) x retângulo (1kNm). 
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 6 𝑥 1 𝑥 1 = 6 
 
 
Barra 3: L’ de 3m com retângulo (1kNm) x retângulo (1kNm). 
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 3 𝑥 1 𝑥 1 = 3 
𝛿11 = 12 
 
12 = 21 
𝛿12 = 𝛿21 = 𝑀1 𝑥 𝑀2 
Barra 1 = L’ de 3m com retângulo (1kNm) x triângulo (3kNm). 
1
2
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
2
𝑥 3 𝑥 (−3)𝑥 1 = −4,5 
 
Barra 2: L’ de 6m com retângulo (1kNm) x retângulo (3kNm). 
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 6 𝑥 1 𝑥 (−3) = −18 
 
Barra 3: L’ de 3m com retângulo (1kNm) x triângulo (3kNm). 
1
2
 𝐿′ 𝑀 �̅� =1
2
𝑥 3 𝑥 (−3)𝑥 1 = −4,5 
𝛿12 = 𝛿21 = −27 
 
13 = 31 
𝛿13 = 𝛿31 = 𝑀1 𝑥 𝑀3 
Barra 1 = L’ de 3m com retângulo (1kNm) x retângulo (6kNm). 
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 3 𝑥 6 𝑥 1 = 18 
 
Barra 2: L’ de 6m com retângulo (1kNm) x triângulo (6kNm). 
1
2
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
2
𝑥 6 𝑥 6 𝑥 1 = 18 
 
Barra 3 = 0 
𝛿13 = 𝛿31 = 36 
 
22 
𝛿22 = 𝑀2 𝑥 𝑀2 
 
Barra 1 = L’ de 3m com triângulo (3kNm) x triângulo (3kNm). 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑥 3 𝑥 (−3) 𝑥 (−3) = 9 
 
Barra 2 = L’ de 6m com retângulo (3kNm) x retângulo (3kNm). 
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 6 𝑥 (−3) 𝑥 (−3) = 54 
 
Barra 3 = L’ de 3m com triângulo (3kNm) x triângulo (3kNm). 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑥 3 𝑥 (−3) 𝑥 (−3) = 9 
𝛿22 = 72 
 
23 = 32 
𝛿23 = 𝛿32 = 𝑀2 𝑥 𝑀3 
Barra 1 = L’ de 3m com triângulo (3kNm) x retângulo (6kNm). 
1
2
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
2
𝑥 3 𝑥 (−3) 𝑥 6 = −27 
 
Barra 2 = L’ de 6m com retângulo (3kNm) x triângulo (6kNm). 
1
2
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
2
𝑥 6 𝑥 (−3) 𝑥 6 = −54 
 
Barra 3 = 0 
𝛿23 = −81 
 
33 
𝛿33 = 𝑀3 𝑥 𝑀3 
Barra 1 = L’ de 3m com retângulo (6kNm) x retângulo (6kNm). 
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 3 𝑥 6 𝑥 6 = 108 
 
Barra 2 = L’ de 6m com triângulo (6kNm) x triângulo (6kNm). 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑥 6 𝑥 6 𝑥 6 = 72 
 
 
Barra 3 = 0 
𝛿33 = 180 
 
1r 
Recalque no apoio A para o estado 1. 
𝛿1𝑟 = −𝐸 𝐽𝐶 [𝑀𝜌 𝑀 + 𝑉𝜌 𝑉 + 𝐻𝜌 𝐻 ] 
𝛿1𝑟 = −2,5𝑥10
4 [−1 𝑥 0,003 + 0 𝑥 0,020 + 0 𝑥 0,015 ] = 75 
𝛿1𝑟 = 75 
 
2r 
Recalque no apoio A para o estado 2. 
𝛿2𝑟 = −𝐸 𝐽𝐶 [𝑀𝜌 𝑀 + 𝑉𝜌 𝑉 + 𝐻𝜌 𝐻 ] 
𝛿2𝑟 = −2,5𝑥10
4 [0 𝑥 0,003 + 0 𝑥 0,020 + (−1) 𝑥 0,015 ] = 375 
𝛿2𝑟 = 375 
 
3r 
Recalque no apoio A para o estado 3. 
𝛿3𝑟 = −𝐸 𝐽𝐶 [𝑀𝜌 𝑀 + 𝑉𝜌 𝑉 + 𝐻𝜌 𝐻 ] 
𝛿3𝑟 = −2,5𝑥10
4 [−6 𝑥 0,003 + 1 𝑥 0,020 + 0 𝑥 0,015 ] = −50 
𝛿3𝑟 = −50 
 
8º Passo: Sistema 
Montar o sistema para achar X1. 
1r+11 X1 + 12 X2+13 X3 = 0 
2r+21 X1 + 22 X2+23 X3 = 0 
3r+31 X1 + 32 X2+33 X3 = 0 
+ X1   X2+X3 = 0 
 X1 +  X2 X3 = 0 
+ X1  81 X2+ X3 = 0 
 
X1 = -126kNm 
X2 = -48kN 
X3 = 3,8kN 
 
Calculamos a reação de apoios após X1, X2 e X3, conforme a Figura 19. 
 
Figura 19 – Estrutura original (hiperestática) com os valores de X1, X2 e X3 
 
Diagramas de esforços internos (DEC e DMF), conforme as Figuras 35, 
36 e 37. 
 
Figura 20 – Diagrama de Esforços Normais (DEN) na estrutura original (hiperestática) 
 
 
 
Figura 21 – Diagrama de Esforços Cortantes (DEC) na estrutura original (hiperestática) 
 
 
Figura 22 – Diagrama de Momento Fletor (DMF) na estrutura original (hiperestática)