5 Roteiro - Capacitores

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5. CAPACITORES 
 
Um capacitor é um par de condutores entre os 
quais há um isolamento, usualmente feito por um 
material dielétrico. Para isso, na primeira seção 
serão estudados os condutores; na segunda, os 
dielétricos; na terceira, os capacitores 
propriamente ditos. 
 
5.1 Condutores 
Modelo 
Um condutor comporta-se como se fosse um 
gás de elétrons livres movendo-se sobre uma rede 
cristalina. Cerca de um ou dois elétrons por átomo 
do condutor são tão fracamente ligados ao núcleo, 
que dele se libertam, movendo-se 
desordenadamente por todo o condutor. 
 
Condutor em equilíbrio eletrostático 
 Dizemos que um condutor está em equilíbrio 
eletrostático, quando os elétrons livres do 
condutor movem-se desordenadamente. 
 
Condutor isolado 
Os elétrons livres de um condutor isolado, 
imerso em um campo elétrico externo E0, movem-
se no sentido contrário ao do campo até a 
superfície do condutor, gerando um campo 
elétrico de polarização EPOL no interior do 
condutor, oposto ao campo externo, de tal modo 
que o módulo do campo elétrico no interior do 
condutor é: 
EINT = E0 - EPOL. 
 O campo de polarização cresce até anular o 
campo no interior do condutor, cessando o 
movimento ordenado dos elétrons livres. Diz-se, 
então, que o condutor atingiu o equilíbrio 
eletrostático. Para bons condutores como o cobre, 
tal processo dura cerca de 10-16 s, ou seja, é quase 
instantâneo. 
Na sequência, veremos quatro resultados 
importantes sobre o condutor em equilíbrio 
eletrostático e a respectiva justificativa. 
 
1º) "O campo elétrico no interior de um condutor 
em equilíbrio eletrostático é nulo." 
0EINT
!!
= 
Argumentação: 
 Note que não poderia ser diferente. Se 
houvesse algum campo elétrico no interior do 
condutor, haveria movimento ordenado dos 
elétrons livres, contrariando a hipótese do 
equilíbrio eletrostático. 
 
2º) "Todo excesso de cargas de um condutor em 
equilíbrio eletrostático localiza-se sobre a 
superfície do condutor." 
Argumentação: 
Note que, se houvesse algum excesso de 
cargas no interior do condutor, o campo elétrico 
não poderia ser nulo e o condutor não estaria em 
equilíbrio eletrostático. 
Uma aplicação prática de tal fato é a 
blindagem eletrostática. 
O excesso de cargas de um condutor em 
equilíbrio eletrostático não se distribui 
uniformemente sobre o condutor. A densidade 
superficial de cargas é maior nos pontos onde a 
curvatura é maior (como as pontas). Tal fato é 
conhecido como o poder das pontas, cuja aplicação 
prática mais conhecida é o para-raios. 
 
3º) "O campo elétrico na superfície de um 
condutor em equilíbrio eletrostático é 
perpendicular à superfície do condutor." 
Argumentação: 
 Também aqui não poderia ser diferente! Se o 
campo não fosse perpendicular à superfície, ele 
teria uma componente tangencial que provocaria 
um movimento ordenado de cargas na superfície 
do condutor (contrariando a hipótese do equilíbrio 
eletrostático). 
 
4º) "O potencial elétrico é constante em todos os 
pontos de um condutor em equilíbrio eletrostático 
(tanto da superfície quanto do interior)." Refere-
se a este valor como sendo o potencial do 
condutor. 
Argumentação: 
A componente do campo elétrico numa 
direção qualquer é a diferença de potencial entre 
dois pontos vizinhos e a distância entre eles. 
Como o campo elétrico é nulo no interior do 
condutor, a ddp também é nula. Logo o potencial é 
constante em todos os pontos do interior do 
condutor. 
Como a componente do campo elétrico 
tangente à superfície do condutor é nula, o 
potencial elétrico também é constante sobre a 
superfície do condutor. 
É possível escolher dois pontos vizinhos sobre 
o condutor, sendo um do seu interior e outro de 
sua superfície. Sendo o campo elétrico nulo, o 
potencial deve ser o mesmo, tanto na superfície, 
quanto no interior do condutor. 
 Também aqui, é evidente que não poderia 
haver nenhuma ddp. Se houvesse alguma ddp 
entre quaisquer pontos do condutor, haveria 
movimento ordenado de elétrons livres entre 
estes pontos (contrariando a hipótese do 
equilíbrio eletrostático). 
 
 
2 
Um experimento emblemático, sobre o qual 
você vai gostar de saber um pouco mais, foi levado 
a cabo por Michael Faraday e é conhecido pelo 
nome Gaiola de Faraday. Que tal pesquisar um 
pouco a respeito? Escreverei mais... 
 
Exercício fundamental: 
 Faça o desenho das linhas do campo elétrico 
produzido por uma esfera condutora, carregada e 
em equilíbrio eletrostático. 
Determine as expressões do campo e do 
potencial elétricos produzidos por uma esfera 
condutora de raio a, carregada com carga Q, em 
equilíbrio eletrostático, no vácuo. 
Solução: 
 No interior da esfera, o campo elétrico 
produzido pela esfera é nulo. A simples análise 
das linhas de campo mostra que o campo 
produzido pela esfera é nulo no interior da esfera 
e é igual ao campo de uma carga puntiforme igual 
à carga da esfera e localizada no seu centro. 
 Se r é a distância entre o centro da esfera e 
um ponto qualquer do espaço, o campo elétrico é: 
o
2
0, se r a
k Q
 , se r a
r
E
⎧
>
=
<
⎪
⎨
⎪
⎩
 
 
 O potencial elétrico produzido pela esfera, no 
exterior da esfera, deve ser igual ao potencial da 
carga puntiforme. No interior da esfera, o 
potencial é constante e igual ao potencial na 
superfície da esfera. Logo: 
o
o
k Q
, se r a
a
k Q
 , se r a
V
r
⎧
⎪ <
= ⎨
>
⎪
⎪
⎪⎩
 
Exercício: 
1) Esboce os gráficos E x r e V x r. Observe que 
o campo elétrico é descontínuo e o potencial, não. 
 
Importante: 
 A carga elétrica e o potencial elétrico de um 
condutor em equilíbrio eletrostático são 
diretamente proporcionais, como pode ser 
verificado em diversos casos particulares. Por 
exemplo, o potencial elétrico de uma esfera de 
raio a, carregada com carga Q, é: 
okV Q
a
= 
 Logo, temos: 
aQ V
k
= 
Q CV= , 
com C = r/k sendo uma constante, chamada de 
capacitância da esfera. 
Note que, se diversas esferas, com 
capacitâncias diferentes, forem submetidas a um 
mesmo potencial, a esfera que tiver maior 
capacitância armazenará mais carga. É, então, 
fácil entender por que, no passado remoto, a 
capacitância era chamada de capacidade. 
 
Exercício muito fácil: 
2) (HW24.62) Uma esfera metálica, oca e vazia, 
tem um potencial de +400 V em relação ao solo 
(onde o potencial é nulo) e tem uma carga de 
5,00 nC. Determine o campo e o potencial 
elétricos no centro da esfera. (0; 400 V) 
Exercício nada fácil: 
3) Avalie a densidade de elétrons livres do 
cobre. Futuro: fornecer mais orientações... 
(8,7 x 1028 /m3) 
5.2 Dielétricos (Isolantes) 
Constante dielétrica 
 Seja E0 o módulo da intensidade do campo 
elétrico numa dada região do vácuo. Um dielétrico 
imerso nesta região será polarizado, surgindo um 
campo elétrico de polarização EPOL, de modo que o 
campo elétrico EINT no interior do dielétrico terá 
módulo: 
EINT = E0 - EPOL. 
 Admite−se que o campo de polarização é 
proporcional ao campo no vácuo: 
EPOL = χE0, 
onde χ é uma constante que depende do dielétrico 
e cujo valor é menor que 1 (posto que o campo de 
polarização possui módulo menor que o campo no 
vácuo). 
 Então o módulo do campo elétrico no interior 
de um meio dielétrico será menor que o do campo 
no vácuo devido à polarização do dielétrico. 
Escreve-se: 
EINT = E0 − χE0 
EINT = (1 − χ)E0 
k
E
E 0INT = 
k
E
E 0INT
!
!
= , 
onde k = 1/(1 − χ) é a constante dielétrica do 
meio. Entende-se que k ≥ 1 e que o limite inferior 
k = 1 ocorre na ausência de material dielétrico (ou 
seja, para o vácuo). 
 
Rigidez dielétrica 
 Qualquer material dielétrico pode tornar-se 
condutor, desde que submetido a um campo 
elétrico externo suficientemente alto. Chama-se 
Rigidez dielétrica do material ao maior valor do 
módulo do campo elétrico externo para o qual ele 
 
3 
ainda preserva sua propriedade de isolante. 
Quando este valor é ultrapassado (e o material 
torna-se condutor), diz-se que sua rigidez 
dielétrica foi rompida. 
 A tabela a seguir mostra os valores da 
constante dielétrica e darigidez dielétrica de 
alguns meios. 
Fonte: Halliday e... 
 
Exercícios fáceis: 
4) Uma placa de porcelana, com 2,0 cm de 
espessura, é colocada numa região do vácuo onde 
o campo elétrico era 14 kV/m. (a) Qual o módulo 
do campo elétrico na porcelana? (d) Qual a ddp 
entre as faces da placa de porcelana? (2,0 kV/m; 
40 V) 
5) Numa tarde de verão, surge uma ddp de 
24 MV entre dois pontos da atmosfera, o que é 
suficiente para produzir uma breve descarga 
elétrica (raio). Avalie a distância máxima entre 
esses pontos. (8,0 m) 
 
5.3 Capacitores 
Capacitância 
 Um capacitor (ou condensador) é um par de 
condutores (chamados de placas ou armaduras ou 
eletrodos) entre os quais há um isolamento (vácuo 
ou material dielétrico). Um capacitor é um 
acumulador de carga e energia. Uma aplicação 
prática dos capacitores é o flash das máquinas 
fotográficas. 
 Dizemos que um capacitor está carregado 
com carga Q, quando as placas do capacitor 
possuem cargas +Q e -Q. A carga elétrica e o 
potencial de um condutor qualquer são 
proporcionais. Assim, a carga Q e a ddp V entre 
as placas do capacitor também são proporcionais e 
podemos escrever: 
Q = C V, 
sendo que a constante de proporcionalidade C 
recebe o nome de capacitância do capacitor. 
 Sejam V1 e V2 os potenciais das placas 1 e 2 
de um capacitor e Q1 = Q e Q2 = -Q as suas 
cargas. 
Por definição, a capacitância deste capacitor 
é a razão entre a carga Q e a ddp V = V1 - V2. 
V
QC = 
A unidade de capacitância no SI é o farad 
(F), em homenagem a Michael Faraday: 1 F = 1 C/V. 
O símbolo de um capacitor em um circuito 
elétrico é um par de barras paralelas (que lembra 
o capacitor de placas paralelas): −−| |−−. Outro 
símbolo usual é obtido curvando-se a segunda 
barra: −−| (−− 
 
Se diversos capacitores, de capacitâncias 
diferentes, forem submetidos a mesma ddp, irá 
acumular mais carga aquele que tiver maior 
capacitância. Assim, é possível interpretar a 
capacitância como sendo a capacidade de um 
capacitor acumular carga, quando submetido a 
uma ddp. 
Entendemos então que, quanto maior for a 
área das placas que se confrontam, maior será a 
capacitância do capacitor, pois mais carga poderá 
ser acumulada. 
Por outro lado quanto maior for a separação 
entre as placas, menor será a capacitância do 
capacitor, pois o campo elétrico terá menor 
intensidade e menos carga poderá ser acumulada. 
No caso específico do capacitor de placas 
planas e paralelas de área A, separadas por uma 
distância d, no vácuo, é possível mostrar que sua 
capacitância é: 
Co = εoA/d, 
com εo sendo a constante: 
εo = 1/4πko = 8,85 x 10-12 C2/N⋅m2. 
A demonstração de Co = εoA/d é feita 
obtendo a relação entre a ddp V e a carga Q do 
capacitor de placas paralelas. Como o campo 
elétrico entre as placas é constante, basta usar a 
relação V = Ed para obter a ddp V. A dificuldade é 
determinar o campo elétrico E. Usando a lei de 
Gauss (que não estudamos!), é possível mostrar 
que o campo elétrico entre as placas do capacitor 
é E = Q/εoA. É um exercício simples, partindo 
dessa expressão para o campo, obter a 
capacitância desse capacitor. Faça-o! 
Observação: 
A partir da expressão Co = εoA/d, isolando εo 
é fácil ver que o farad por metro (F/m) é uma 
unidade para εo. É usual escrevermos 
simplesmente: 
εo = 8,85 pF/m. 
 
Meio Constante dielétrica Rigidez dielétrica 
Ar (1 atm) 1,0005 3 MV/m 
Baquelite 4,9 24 MV/m 
Mica 5,4 10 a 100 MV/m 
Pirex 4,7 14 MV/m 
Poliestireno 2,6 24 MV/m 
Porcelana 6,5 5,7 MV/m 
Vácuo 1 ∞ 
Condutor ∞ 0 
Placa 1: 
carga +Q 
potencial V1 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
− 
− 
− 
− 
Placa 2: 
carga -Q 
potencial V2 
2 1 − 
 
4 
Exercícios fáceis: 
6) Um eletrômetro é um aparelho usado para 
medir carga estática. Uma carga desconhecida é 
colocada sobre as placas do capacitor do aparelho 
e a ddp é medida. Qual a carga mínima que pode 
ser medida por um eletrômetro com uma 
capacitância de 50,0 pF e uma sensibilidade de 
voltagem de 150 mV? (7,50 pC) 
7) (HW25.1) Os dois 
objetos metálicos da 
figura têm cargas de 
+80 pC e -80 pC, o que resulta em uma ddp de 
20 V entre eles. (a) Qual a capacitância do 
sistema? (b) Se as cargas forem modificadas para 
+200 pC e -200 pC, qual será o valor da 
capacitância? (c) Qual será o valor da nova ddp? 
(4,0 pF; 50 V) 
 
Energia acumulada 
 A energia acumulada por um capacitor é o 
trabalho realizado por um agente externo para 
carregá-lo, isto é, para aumentar sua carga de 
zero a Q (o que implica em ir aumentando a ddp 
de 0 a V), como mostra o gráfico a seguir. 
 
 
 
 
 Considere que um capacitor, inicialmente 
descarregado, seja carregado do seguinte modo: 
Sucessivamente, pequenas quantidade de carga 
dq1, dq2, dq3, ... , dqn são transferidas de uma 
placa do capacitor para a outra até carregá-lo 
com carga Q, estabelecendo um potencial final V. 
O trabalho necessário para transferir cada carga 
é o produto entre o valor da carga transferida e a 
ddp entre as placas nesse instante. Assim, temos: 
dτ1 = dq1⋅V1 ou dτ1 = V1 dq1, 
dτ2 = V2 dq2⋅, dτ3 = V3dq3 e dτn = Vndqn 
Portanto, o trabalho necessário para carregar 
o capacitor é: 
τ = dτ1 + dτ2 + dτ3 + ... + dτn ou τ = ∫dτ 
τ = V1dq1 + V2dq2 + V3dq3 + ... + Vndqn ou τ = ∫Vdq 
Escolhendo dq1 = dq2 = dq3 = ... = dqn = Q/n, vem: 
τ = (V1 + V2 + V3 + ... + Vn)⋅Q/n 
τ = Q⋅(V1 + V2 + V3 + ... + Vn)/n 
A soma das n diferenças de potencial dividida por 
n é a ddp média V/2. Logo, o trabalho realizado é: 
QV
2
τ = 
Esse trabalho é a energia U armazenada no 
capacitor: 
U = QV
2
 
que também pode ser dada por 
U =
2Q
2C
 ou U =
2CV
2
 
Observação: 
 Cada trabalho, dτ = Vdq, pode ser 
interpretado geometricamente como a área de 
uma estreita faixa vertical, entre o eixo OQ e a 
reta inclinada, no gráfico V x Q. Logo, o trabalho 
total, τ = ∫Vdq, será a área entre o eixo e a reta, 
no caso, a área de um triângulo retângulo de base 
Q e altura V. [Fazer desenhos no futuro] 
 
Capacitor com dielétrico 
 A capacitância de um capacitor depende 
apenas da geometria do capacitor e do dielétrico 
colocado entre as suas placas. O efeito de 
introduzir um dielétrico entre as placas de um 
capacitor, onde inicialmente tinha vácuo, é reduzir 
o campo e o potencial elétricos (que ficam 
divididos por k, isto é, pela constante dielétrica) 
e, consequentemente, aumentar sua capacitância 
(que fica multiplicada por k). Portanto, a 
capacitância C de um capacitor com um dielétrico 
entre as suas placas é k vezes maior que a 
capacitância Co do capacitor imerso no vácuo. 
Escrevemos: 
C = kCo, 
sendo k a constante dielétrica. 
Para obter um capacitor que acumule grande 
quantidade de carga e energia, é desejável que o 
dielétrico colocado entre as suas placas tenha 
constante dielétrica e rigidez dielétrica altas. 
 
Capacitor de placas paralelas 
A capacitância de um capacitor de placas 
planas e paralelas de área A, separadas por uma 
distância d, no vácuo, é Co = εoA/d. Logo, se este 
capacitor for preenchido com um dielétrico de 
constante k, sua capacitância será: 
C = kCo ou 
C = kεoA/d 
Sendo ε = kεo, a permissividade elétrica do 
dielétrico, escrevemos: 
C = εA/d 
 
Associação de capacitores 
Não é difícil mostrar que uma associação de n 
capacitores com capacitâncias C1, C2, ..., Cn é 
equivalente a um único capacitor de capacitância 
equivalente Ceq dada por: 
1) Ceq = C1 + C2 + ... + Cn, se a associação for 
em paralelo, isto é, se todos os capacitores 
estiverem submetidos à mesma ddp; 
2) 
n21
eq
C
1...
C
1
C
1
1C
+++
= , se a associação for 
em série, isto é, se todos eles tiverem a mesma 
carga. 
 
5 
ROTEIRO DE ESTUDOS DE 
CAPACITORES 
 
Parte 1: Perguntas básicas 
1) (a) O que é um condutor? (b) Qual o modelo 
de gás de elétrons livres? (c) O que é equilíbrio 
eletrostático? (d) Por que se diz que um condutor 
isolado está em equilíbrio eletrostático? 
2) O que se pode dizer sobre (a) a carga 
elétrica, (b) o campo elétrico e (c) o potencial 
elétrico de um condutor em equilíbrioeletrostático? 
3) Considere uma esfera condutora de raio a, 
carregada com carga Q, no vácuo. Exiba as 
expressões (a) do módulo do campo elétrico e (b) 
do potencial elétrico, em um ponto a uma distância 
r do centro da esfera. O potencial deve ser 
considerado nulo no infinito. 
4) (a) O que é um dielétrico? (b) O que é a 
constante dielétrica de um dielétrico? (c) O que é 
a rigidez dielétrica de um dielétrico? 
5) (a) O que é um capacitor? (b) Qual a função 
de um capacitor em um circuito elétrico? 
6) Sobre a grandeza física capacitância: (a) 
Conceitue; (b) Defina; (c) Exiba sua unidade no 
SI. 
7) Como se calcula (a) a carga elétrica e (b) a 
energia elétrica acumuladas num capacitor? 
 
Parte 2: Questionário 
1) Por que uma barra eletrizada atrai pedacinhos 
de papel não eletrizados? Por que, após tocar a 
barra, os pedacinhos de papel são repelidos? 
2) Uma barra eletrizada é aproximada de uma 
latinha de refrigerante vazia deitada sobre a 
mesa. A latinha não está eletrizada. Ela será 
atraída, repelida ou não será afetada pela barra? 
3) Se o vácuo pudesse ser considerado um 
material dielétrico, quais seriam os valores de sua 
constante dielétrica e de sua rigidez dielétrica? 
4) Se um condutor pudesse ser considerado um 
dielétrico, quais seriam os valores de sua 
constante dielétrica e de sua rigidez dielétrica? 
 
Parte 3: Problemas 
Condutores em equilíbrio eletrostático 
1) (HW23.45) Uma esfera condutora com raio 
de 10,0 cm tem uma carga desconhecida. O campo 
elétrico a 15,0 cm do centro da esfera tem módulo 
igual a 3,00 kN/C e está dirigido radialmente para 
o centro da esfera. (a) Qual a carga da esfera? 
(b) Qual o módulo do campo a 5,0 cm do centro da 
esfera? (c) Qual o potencial elétrico nesse ponto? 
(-7,50 nC; 0; 675 V) 
2) Um condutor esférico tem uma carga total de 
+12,0 µC. No interior deste condutor, existe uma 
cavidade esférica, no centro da qual está 
localizada uma carga puntiforme de +2,0 µC. Qual 
a carga sobre (a) a parede da cavidade e (b) a 
superfície externa do condutor? (-2,0 µC; 14,0 µC) 
3) Quais (a) a carga e (b) a densidade de carga 
na superfície de uma esfera condutora de 15,0 cm 
de raio, cujo potencial é 300 V (com V = 0 no 
infinito)? (5,00 nC; 17,7 nC/m2) 
4) (HW24.63) Qual o excesso de carga de uma 
esfera condutora de 0,15 m de raio, se o potencial 
da esfera for de 1,5 kV (com V = 0 no infinito)? 
(25 nC) 
5) (HW24.64) Considere duas esferas 
condutoras, 1 e 2, separadas por uma grande 
distância, a segunda tendo o dobro do diâmetro 
da primeira. A esfera menor possui inicialmente 
uma carga positiva Q e a maior está inicialmente 
descarregada. Agora você liga as esferas com um 
fio fino e longo. (a) Como estão relacionados os 
potenciais finais V1 e V2 das esferas? (b) Quais as 
cargas finais Q1 e Q2 sobre as esferas, em 
termos de Q? (c) Qual a razão entre a densidade 
superficial de carga final da esfera 1 e a da 
esfera 2? (V1 = V2; Q/3 e 2Q/3; 2) 
6) (HW24.67) Uma esfera metálica carregada de 
raio igual a 15,0 cm tem uma carga de 30,0 nC. (a) 
Qual o campo elétrico na superfície da esfera 
(pelo lado de fora)? (b) Se V = 0 no infinito, qual o 
potencial elétrico na superfície da esfera? (c) A 
que distância da superfície da esfera o potencial 
elétrico decresceu de 500 V? (12,0 kV/m; 1,80 kV; 
5,77 cm) 
Dielétricos 
7) Um capacitor de placas paralelas, separadas 
pela distância de 2,0 mm, no vácuo, está 
submetido a uma ddp de 4,0 kV. Insere-se uma 
pedra com constante dielétrica igual a 5,0, 
preenchendo todo o espaço entre as placas. (a) 
Qual era o módulo do campo elétrico entre as 
placas, no vácuo? (b) Qual o módulo do campo 
elétrico na pedra? (c) Qual a ddp na pedra? 
(2,0 V/m; 0,40 V/m; 0,80 V) 
8) Qual deve ser a ddp entre dois pontos da 
atmosfera normal, separados pela distância de 
2,0 cm, para que ocorra uma faísca? (60 kV) 
9) Qual deve ser a espessura mínima de uma 
placa de baquelite para suportar uma ddp de 
120 kV entre suas faces, ainda mantendo-se 
isolante? (5,0 mm) 
 
6 
Capacitores 
10) Defina um farad (1 F), citando o coulomb (C) e 
o volt (V). 
11) Escreva um farad (1 F) em função das 
unidades quilograma (kg), metro (m), segundo (s) e 
coulomb (C). 
12) Sabendo que, desprezado o efeito bordas, o 
campo elétrico no interior de um capacitor de 
placas planas e paralelas, de área A, separadas 
por uma distância d, carregado com carga q, no 
vácuo, é Eo = q/εoA, mostre que a capacitância 
deste capacitor é Co = εoA/d. Sugestão: 
Determine a ddp entre as placas e, em seguida, 
aplique a definição de capacitância. 
13) (HW25.4) Você possui duas placas metálicas 
planas, cada uma com área de 1,00 m2, para 
construir com elas um capacitor de placas 
paralelas. Se a capacitância do dispositivo deve 
ser de 1,00 F, qual deve ser a separação entre as 
placas? Este capacitor poderia ser realmente 
construído? (8,85 pm) 
14) (HW25.5) Um capacitor de placas paralelas 
tem placas circulares de 8,20 cm de raio e 
1,30 mm de separação. (a) Calcule a capacitância. 
(b) Que carga aparecerá sobre as placas, se for 
aplicada uma ddp de 120 V? (144 pF; 17,3 nC) 
15) Um capacitor esférico é constituído por uma 
casca esférica condutora, de raio externo b, 
envolvendo uma esfera de raio a, também 
condutora e com o mesmo centro. O módulo do 
campo elétrico entre as placas deste capacitor, no 
vácuo, é E = Q/4πεor2, sendo r a distância do 
centro do capacitor a um ponto qualquer entre as 
suas placas. Logo, o potencial elétrico é 
V = Q/4πεor. Mostre que a capacitância deste 
capacitor é: Co = 4πεoab/(b − a). Sugestão: 
Determine a ddp entre as placas (V = Va − Vb) e, 
em seguida, aplique a definição de capacitância. 
16) Suponha que as duas cascas esféricas de um 
capacitor esférico tenham raios aproximadamente 
iguais e separação d = b - a . Sob estas condições, 
mostre que a equação Co = 4πεoab/(b - a) se reduz 
à equação Co = εoA/d. 
17) (HW25.6) As placas de um capacitor esférico 
possuem raios de 36,0 mm e 40,0 mm. (a) Calcule 
sua capacitância. (b) Qual deve ser a área de cada 
placa de um capacitor de placas planas e paralelas 
com a mesma separação entre as placas e a mesma 
capacitância? (40,0 pF; 181 cm2) 
18) Um capacitor cilíndrico é constituído por uma 
casca cilíndrica condutora de raio externo b, 
envolvendo um cilindro de raio a, também 
condutor. A casca cilíndrica e o cilindro têm a 
mesma altura h e o mesmo eixo. O potencial 
elétrico entre as placas deste capacitor, 
carregado com carga Q, desprezado o efeito 
bordas, no vácuo, é dado por V = Qlnr/2πεoh, 
sendo r a distância do eixo do capacitor a um 
ponto qualquer entre as placas. Mostre que a 
capacitância deste capacitor é: Co = 2πεoh/ln(b/a). 
Sugestão: Determine a ddp entre as placas 
(V = Va − Vb) e, em seguida, aplique a definição de 
capacitância. 
Energia armazenada 
19) Partindo da equação U = ½QV, escreva U 
exclusivamente em função de (a) Q e C; (b) V e C. 
20) (HW25.31) Qual a capacitância necessária 
para armazenar uma energia de 10,0 kW·h com 
uma diferença de potencial de 1,00 kV? É fácil 
encontrar um capacitor desse pra comprar? 
(72,0 F) 
21) (HW25.30) Um capacitor de placas paralelas, 
com o espaço entre as placas preenchido por ar, 
tendo uma área de 40,0 cm2 e um espaçamento 
entre placas de 1,00 mm, é carregado a uma ddp 
de 600 V. Determine (a) a capacitância, (b) a 
carga do capacitor, (c) a energia armazenada, (d) 
o campo elétrico entre as placas e (e) a densidade 
de energia entre as placas (ou a energia 
armazenada por unidade de volume). (35,4 pF; 21,2 
nC; 6,37 µJ; 600 kV/m; 1,59 J/m3) 
22) Mostre que a densidade de energia (ou 
energia por unidade de volume) acumulada entre 
as placas de um capacitor de placas paralelas é: 
u = ½ εo E2. Embora obtido em uma situação 
particular, este resultado é geral: Há energia 
distribuída em qualquer região do espaço onde há 
campo elétrico. A densidade de energia de um 
campo elétrico, no vácuo, é dada por u = ½ εo E2. 
23) (HW25.32)Calcule a energia armazenada em 
um metro cúbico de ar, devido ao campo elétrico 
"de bom tempo", com intensidade igual a 150 V/m. 
(99,6 nJ) 
Capacitor com dielétrico 
24) (HW25.40) Um capacitor de placas paralelas, 
com ar entre elas, possui uma capacitância de 
50 pF. (a) Se cada uma de suas placas tiver uma 
área de 0,40 m2, qual a separação entre elas? (b) 
Se a região entre as placas for agora preenchida 
com um material cuja constante dielétrica é 5,6, 
qual será a nova capacitância? (7,1 cm; 280 pF) 
25) (HW25.41) Dado um capacitor de 7,4 pF, com 
ar entre as placas, quer-se convertê-lo em um 
capacitor que possa armazenar 7,4 µJ sob uma 
diferença de potencial de 652 V. Que dielétrico 
deve ser usado para preencher o espaço entre as 
placas do capacitor? Dica: consulte uma tabela 
com valores de constantes dielétricas. (Pirex) 
 
7 
26) (HW25.42) Um capacitor de placas paralelas, 
com ar entre as placas, possui uma capacitância de 
1,3 pF. A separação entre as placas é duplicada e 
introduz-se cera entre elas. A nova capacitância é 
igual a 2,6 pF. Determine a constante dielétrica 
da cera. (4,0) 
27) (HW25.45) Certa substância tem constante 
dielétrica igual a 2,8 e rigidez dielétrica de 
18 MV/m. Se ela for usada como dielétrico em um 
capacitor de placas paralelas, que área mínima as 
placas do capacitor deveriam ter para se obter 
uma capacitância de 70 pF e para assegurar que o 
capacitor será capaz de resistir a uma ddp de 
4,5 kV? (7,1 cm2) 
28) (HW25.47) Um certo capacitor de placas 
paralelas contém um dielétrico cuja constante é 
5,5. A área das placas é 340 cm2 e a distância 
entre as placas é 2,00 mm. O capacitor ficará 
inutilizado se o campo elétrico entre as placas 
exceder 200 kV/m. Qual é a máxima energia que 
pode ser armazenada nesse capacitor? (66,2 µJ) 
29) (HW25.51) Um capacitor de placas paralelas 
de 100 cm2 de área, completamente preenchido 
com mica (k = 5,4), tem capacitância de 100 pF. A 
mica está submetida a uma ddp de 50,0 V. Calcule 
a intensidade do campo elétrico na mica. 
(1,94 kV/m) 
Associação de capacitores 
30) (HW25.48 e H25.49) Um capacitor de placas 
planas e paralelas, de área A e separação d, pode 
ser preenchido com dois dielétricos, de 
constantes k1 e k2, como se vê nas figuras abaixo. 
Mostre que a capacitância de cada capacitor é 
C = kεoA/d, com: (a) k = (k1 + k2)/2, no caso (a); (b) 
k = 2k1k2/(k1 + k2), no caso (b). 
31) (HW25.74) Um novo capacitor é obtido 
inserindo uma placa metálica, de área A e 
espessura b, simetricamente, entre as armaduras 
de um capacitor de placas planas e paralelas, de 
área A, separadas por uma distância d, de modo 
que as três placas permaneçam paralelas. Qual a 
capacitância do novo capacitor? (C = εoA/(d – b)) 
32) (HW25.7) Quantos capacitores de 1,00 µF 
devem ser ligados em paralelo para armazenar 
uma carga de 1,00 C, com uma ddp de 110 V entre 
as placas dos capacitores? (9091) 
33) (HW25.11) Cada um dos capacitores 
descarregados da figura tem uma capacitância de 
25,0 µF. Uma ddp de 
4,20 kV é estabelecida 
entre as placas, quando a 
chave é fechada. Qual é 
a carga total que 
atravessa o medidor A? (315 mC) [Deixar pra depois?] 
34) (HW25.8 e HW25.36) Na associação da 
figura: C1 = 10,0 µF, C2 = 5,0 µF, C3 = 4,0 µF e 
V = 100 V. Determine a capacitância dessa 
combinação e também: (a) a carga, (b) a ddp e (c) 
a energia armazenada em cada capacitor. (7,33 µF; 
333, 333 e 400 µC; 33,3, 66,6 e 100 V; 5,56, 11,1 e 20,0 mJ) 
35) (HW25.9, HW25.13 e HW25.34) Na 
associação da figura: C1 = 10,0 µF, C2 = 5,00 µF, 
C3 = 4,00 µF e V = 100 V. Determine a 
capacitância equivalente 
dessa associação e 
também: (a) a carga, 
(b) a ddp e (c) a energia 
armazenada em cada 
capacitor. Suponha que a 
rigidez do dielétrico do capacitor 3 sofra uma 
ruptura, tornando-o equivalente a um fio 
condutor. Que mudanças ocorrem (d) na carga e 
(e) na ddp do capacitor 1? (3,16 µF; 211, 105 e 316 µC; 
21,1, 21,1 e 78,9 V; 2,2, 1,1 e 12,5 mJ) 
Referência: HW = HALLIDAY, RESNICK e WALKER. Fundamentos 
de Física, vol. 3, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.