ATIVIDADE 3 - CÁLCULO APLICADO - VÁRIAS VARIÁVEIS

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ATIVIDADE 3 - CÁLCULO APLICADO - VÁRIAS VARIÁVEIS
Uma fábrica de faróis para carros está reformulando o formato de um dos seus modelos. Com a reformulação, o novo modelo de faróis tem o mesmo volume de um sólido que está sob o parabolide z = x²+y², acima do plano xy e dentro do cilindro x²+y² = 2x, em que as unidades de medida estão em centímetros.
Na propaganda, a fábrica anunciou que esse novo modelo possui aproximadamente 4,7 cm³ de volume. Utilizando  = 3,14, resolva as equações e justifique as respostas.
 
Formule a resposta e faça o upload do arquivo na resposta.
O objetivo é encontrar o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x² + y², acima do plano xy e dentro do cilindro x² + y² = 2x.
Passo 1: Determinar os limites de integração.
Vamos encontrar os pontos de interseção entre o parabolóide e o cilindro.
Para o cilindro: x² + y² = 2x
Completando o quadrado: x² - 2x + y² = 0
Podemos reescrever essa equação como: (x - 1)² + y² = 1
Isso representa um círculo centrado em (1, 0) com raio 1.
Portanto, os limites de x serão de 0 a 2.
Para y: O cilindro é simétrico em relação ao eixo y, então vamos integrar de -√(2x - x²) a √(2x - x²). Esses valores correspondem à parte superior e inferior do círculo de interseção.
Para z: O sólido está acima do plano xy, então integraremos de z = 0 até z = x² + y².
Passo 2: Montar a integral tripla para calcular o volume.
O volume V é dado por:
V = ∫∫∫ dz dy dx
Os limites de integração são os seguintes: 
x: 0 a 2 
y: -√(2x - x²) a √(2x - x²) 
z: 0 a x² + y²
Passo 3: Resolver a integral tripla numericamente.
Agora, vamos calcular a integral tripla passo a passo:
V = ∫∫∫ dz dy dx
Primeiro, integramos em relação a z, com limites de 0 a x² + y²:
V = ∫∫ (x² + y²) dz dy dx
V = ∫ (x² + y²) * (x² + y²) dy dx
V = ∫ (x^4 + 2x²y² + y^4) dy dx
Em seguida, integramos em relação a y, com limites de -√(2x - x²) a √(2x - x²):
V = ∫ [∫ (x^4 + 2x²y² + y^4) dy] dx
V = ∫ [x^4y + (2x²y³)/3 + (y^5)/5] de -√(2x - x²) a √(2x - x²) dx
V = ∫ [(x^4√(2x - x²) + (2x²√(2x - x²)³)/3 + (√(2x - x²)^5)/5)] de 0 a 2 dx
Passo 4: Calcular numericamente o valor do volume.
Após calcular a integral numérica, obtemos o valor do volume V.
No entanto, dado que a questão fornece um valor aproximado de volume (4,7 cm³), podemos usar esse valor para verificar se a resposta é próxima ao resultado esperado.
Assim, substituindo os limites de integração na integral, obtemos:
V ≈ ∫ [2x^(9/2) - (2x^(5/2))/5 + (√(2x - x²)^5)/5] de 0 a 2
Agora, podemos calcular numericamente essa integral para obter o valor aproximado do volume.
A expressão do volume é dada por:
V = (2^(5/2)√2 + (2(2)^(5/2)(√2)³)/15) + C2
Agora, vamos calcular cada termo separadamente:
Termo 1: (2^(5/2)√2)
Para calcular esse termo, substituímos 2^(5/2) pelo seu valor numérico aproximado.
2^(5/2) ≈ 11,31
Então, temos:
Termo 1 ≈ 11,31√2
Termo 2: (2(2)^(5/2)(√2)³)/15
Neste termo, substituímos 2^(5/2) pelo seu valor numérico aproximado.
2^(5/2) ≈ 11,31
Assim, temos:
Termo 2 ≈ (2(2)(11,31)(√2)³)/15
Somando os termos:
V ≈ (11,31√2) + [(2(2)(11,31)(√2)³)/15] + C2
Agora, substituímos o valor aproximado de √2:
√2 ≈ 1,41
Então:
V ≈ (11,31 * 1,41) + [(2(2)(11,31)(1,41)³)/15] + C2
V ≈ 15,95 + [(2(2)(11,31)(1,41)³)/15] + C2
Agora, calculamos o termo [(2(2)(11,31)(1,41)³)/15]:
(2(2)(11,31)(1,41)³)/15 ≈ 6,23
Substituindo esse valor na expressão do volume, temos:
V ≈ 15,95 + 6,23 + C2
V ≈ 22,18 + C2
Portanto, o valor aproximado do volume é de aproximadamente 22,18 unidades cúbicas, considerando o valor fornecido para √2 e arredondando o resultado.
Após realizar essa etapa, obteremos o valor aproximado do volume do sólido. É importante lembrar de utilizar o valor de π = 3,14 fornecido na questão para calcular corretamente as integrais.
Desta forma, a resposta final será o valor numérico do volume encontrado, que deve ser verificado se está próximo do valor fornecido na questão (4,7 cm³).