Exercícios do tema 1 V3 - Calculo de Multiplas Variáveis

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23/04/2024, 09:22 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/6627a719257ea9c0265ecd01/gabarito/
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A
B
C
1 Marcar para revisão
Considere uma função vetorial F(t) = (f(t), g(t),
h(t)), em que f(t), g(t) e h(t) são funções
componentes dependendo do parâmetro t.
Para determinar se essa função é diferenciável
em um intervalo, é necessário verificar:
A continuidade da função F(t) em
todo o intervalo
A existência do limite da função F(t)
em todo o intervalo
A derivabilidade das funções
componentes f(t), g(t) e h(t) em todo
o intervalo.
Questão 1 de 10
Corretas �8�
Incorretas �2�
Em branco �0�
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
Exercicio Funções Vetoriais Sair
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D
E
A
B
A existência da derivada parcial de
F(t) em relação a t em todo o
intervalo
A existência do limite da derivada de
F(t) em todo o intervalo
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a
alternativa correta. Confira o
gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Para uma função vetorial F(t) ser
diferenciável em um intervalo, é necessário
que suas funções componentes f(t), g(t) e
h(t) sejam deriváveis em todos os pontos
desse intervalo. Portanto, para determinar
se F(t) é diferenciável em um intervalo, é
necessário verificar a derivabilidade das
funções componentes em todo o intervalo.
As outras alternativas não abordam
corretamente o critério de
diferenciabilidade de uma função vetorial.
2 Marcar para revisão
Qual é a equação polar da curva definida pela
função , com u>0?→G (u)  = ⟨2u,  2u⟩
ρ  = 2
ρ  = θ
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C
D
E
A
B
θ  = π
4
ρ  = 1 + senθ
ρ  = cosθ
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a
alternativa correta. Confira o
gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A equação polar da curva definida pela
função é . Isso
ocorre porque a função dada é uma linha
reta que passa pela origem com inclinação
de 45 graus (ou radianos) em relação ao
eixo x. Em coordenadas polares, essa
inclinação é representada pelo ângulo .
→G (u)  = ⟨2u,  2u⟩ θ  = π
4
π
4
θ
3 Marcar para revisão
A área definida pela equação   ,
para o intervalo 0 �   <   , com   � 0, vale 
 . Qual é o valor de   ?
ρ  = cos 3θ
θ κ κ π
16
κ
  π
2
  π
4
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C
D
E
  π
8
  π
16
  π
32
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a
alternativa correta. Confira o
gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A questão pede o valor de para a qual a
área definida pela equação 
no intervalo 0 �   <  é igual a . A
alternativa que apresenta o valor correto
de é a alternativa B, que indica .
κ
ρ  = cos 3θ
θ κ π
16
κ
π
4
4 Marcar para revisão
Considere um ponto P no plano cartesiano. Se
suas coordenadas polares são representadas
por ρ e θ, respectivamente, então ρ e θ
representam, respectivamente:
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A
B
C
D
E
A distância do ponto P à origem do
sistema polar e o ângulo que a reta
OP faz com o eixo polar.
A distância do ponto P ao eixo polar e
o ângulo que a reta OP faz com o eixo
das abscissas.
A distância do ponto P ao eixo das
abscissas e o ângulo que a reta OP
faz com o eixo polar.
A distância do ponto P à origem do
sistema polar e o ângulo que a reta
OP faz com o eixo das ordenadas
A distância do ponto P ao eixo das
ordenadas e o ângulo que a reta OP
faz com o eixo polar.
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a
alternativa correta. Confira o
gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Nas coordenadas polares de um ponto, ρ
representa a distância do ponto à origem
do sistema polar, enquanto θ representa o
ângulo que a reta OP faz com o eixo polar.
As outras alternativas não correspondem
corretamente à definição das coordenadas
polares.
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A
B
C
D
E
5 Marcar para revisão
 Um objeto percorre uma curva definida pela
função  .
Assinale a alternativa que apresenta o valor da
componente normal da aceleração no ponto
(x,y,z) = (2,4,6��
→F  (u) =
⎧
⎨⎩
x = 1 + u2
y = u3 + 3,  u ≥  0
z = u2 + 5
 
3√34
34
 
5√17
17
 
6√34
17
 
√34
17
 
3√17
17
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra
C. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
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A
B
C
O valor da componente normal da
aceleração no ponto (x,y,z) = (2,4,6� é
dado pela alternativa C, que é . Para
chegar a essa resposta, é necessário
aplicar as regras de derivação para
funções paramétricas na função dada e,
em seguida, calcular a componente normal
da aceleração no ponto especificado.
6√34
17
6 Marcar para revisão
Considere um ponto P no plano cartesiano. Se
suas coordenadas polares são representadas
por ρ e θ, respectivamente, então ρ e θ
representam, respectivamente:
A distância do ponto P à origem do
sistema polar e o ângulo que a reta
OP faz com o eixo polar.
A distância do ponto P ao eixo polar e
o ângulo que a reta OP faz com o eixo
das abscissas.
A distância do ponto P ao eixo das
abscissas e o ângulo que a reta OP
faz com o eixo polar.
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D
E
A distância do ponto P à origem do
sistema polar e o ângulo que a reta
OP faz com o eixo das ordenadas
A distância do ponto P ao eixo das
ordenadas e o ângulo que a reta OP
faz com o eixo polar.
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a
alternativa correta. Confira o
gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Nas coordenadas polares de um ponto, ρ
representa a distância do ponto à origem
do sistema polar, enquanto θ representa o
ângulo que a reta OP faz com o eixo polar.
As outras alternativas não correspondem
corretamente à definição das coordenadas
polares.
7 Marcar para revisão
Considere uma função vetorial F(t) = (f(t), g(t),
h(t)), em que f(t), g(t) e h(t) são funções
componentes dependendo do parâmetro t.
Para determinar se essa função é diferenciável
em um intervalo, é necessário verificar:
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A
B
C
D
E
A continuidade da função F(t) em
todo o intervalo
A existência do limite da função F(t)
em todo o intervalo
A derivabilidade das funções
componentes f(t), g(t) e h(t) em todo
o intervalo.
A existência da derivada parcial de
F(t) em relação a t em todo o
intervalo
A existência do limite da derivada de
F(t) em todo o intervalo
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a
alternativa correta. Confira o
gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Para uma função vetorial F(t) ser
diferenciável em um intervalo, é necessário
que suas funções componentes f(t), g(t) e
h(t) sejam deriváveis em todos os pontos
desse intervalo. Portanto, para determinar
se F(t)é diferenciável em um intervalo, é
necessário verificar a derivabilidade das
funções componentes em todo o intervalo.
As outras alternativas não abordam
corretamente o critério de
diferenciabilidade de uma função vetorial.
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A
B
C
D
E
8 Marcar para revisão
Um objeto percorre uma curva definida pela
função .
Assinale a alternativa que apresenta o valor da
componente normal da aceleração no ponto
 :
→F (u) =
⎧⎪
⎨
⎪⎩
x = 1 + u2
y = u3 + 3, u ≥ 0
z = u2 + 5
(x, y, z) = (2, 4, 6)
3√34
34
5√17
17
6√34
17
√34
17
3√17
17
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra
C. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
6√34
17
9 Marcar para revisão
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A
B
C
D
E
Uma pessoa está caminhando em um parque,
seguindo uma trilha sinuosa que segue as
direções indicadas por setas. Esse exemplo
ilustra um conceito fundamental em vetores,
que é:
O vetor como uma grandeza escalar
O vetor como uma quantidade
puramente numérica
O vetor como uma medida de
distância percorrida
O vetor como uma quantidade vetorial
com direção e sentido
O vetor como uma quantidade
aleatória de deslocamento
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a
alternativa correta. Confira o
gabarito comentado!
Gabarito Comentado
O vetor é definido não apenas por seu
valor (módulo), mas também por sua
direção e seu sentido. Ele representa uma
quantidade que possui uma orientação
específica no espaço.
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A
B
C
D
E
10 Marcar para revisão
Considere uma função vetorial F(t) = (f(t), g(t),
h(t)), em que f(t), g(t) e h(t) são funções
componentes dependendo do parâmetro t.
Para determinar o limite dessa função vetorial
quando t se aproxima de um determinado valor,
pode-se utilizar o seguinte método:
Aplicar o teorema fundamental do
cálculo
Utilizar a regra de L'Hôpital
Utilizar a expansão em série de Taylor
Encontrar a derivada da função
vetorial
Obter o limite de cada uma das
funções componentes
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a
alternativa correta. Confira o
gabarito comentado!
Gabarito Comentado
O limite de uma função vetorial pode ser
obtido calculando o limite de cada uma de
suas funções componentes. Portanto, para
determinar o limite da função vetorial F(t)
= (f(t), g(t), h(t)) quando t se aproxima de
um determinado valor, é necessário
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calcular individualmente o limite de f(t),
g(t) e h(t).