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EXISTÊNCIA DE BASES
Nesta nota vamos demonstrar a existência de bases para espaços vetori-
ais, mesmo aqueles de dimensão infinita. Para tanto, faremos uso do Lema de
Zorn(que na verdade não é um lema, mas sim um axioma). Esta nota está
baseada no livro clássico sobre Análise Funcional de Kreyszig [1].
Precisaremos de alguns conceitos preliminares.
Dizemos que um conjunto M é parcialmente ordenado se é posśıvel definir em M
uma ordem parcial. Uma ordem parcial em M , é uma relação entre elementos
de M que é:
1. Reflexiva: a ≤ a, para todo a ∈M ;
2. Anti-simétrica: Se a, b ∈M e a ≤ b e b ≤ a, então a = b;
3. Transitiva: Se a, b, c ∈M e a ≤ b e b ≤ c, então a ≤ c.
O termo “parcial”, destaca que em M podem haver elementos a e b não com-
paráveis, i.e., não é posśıvel afirmar que a ≤ b ou b ≤ a. Por outro lado, dizemos
que a e b são comparáveis se é posśıvel afirmar que a ≤ b ou b ≤ a (ou ambos).
Um conjunto é dito totalmente ordenado se todos os seus elementos são com-
paráveis.
Um limitante superior para um subconjunto W de um conjunto parcialmente
ordenado M é um elemento u ∈M tal que: x ≤ u, para todo x ∈W .
Um elemento maximal de M é um m ∈M tal que m ≤ x implica em m = x.
Usando estes conceitos podemos agora enunciar o Axioma de Zorn(Lema de
Zorn).
Lema de Zorn. Seja M 6= ∅ um conjunto parcialmente ordenado. Supo-
nha que para todo subconjunto C ⊂ M total ordenado, existe um limitante
superior. Então M tem pelo menos um elemento maximal.
Obs. O termo “lema” tem razões históricas. Usando o “lema” de Zorn é
posśıvel deduzir o “axioma da escolha” que diz que dado um conjunto E 6= ∅,
existe uma aplicação c : P(E) → E, onde P(E) é o conjunto das partes de
E, tal que se B ⊂ E, B 6= ∅, então c(B) ∈ B. Este lema segue do Lema de
Zorn e portanto o Axioma da Escolha e o Lema de Zorn podem ser vistos como
axiomas equivalentes.
Proposição. Todo espaço vetorial V 6= {0} possui uma base.
Dem. Seja M o conjunto de todos os subconjuntos L.I. de V . Como V 6= {0},
1
existe x ∈ V tal que {x} ∈ M , então M 6= ∅. A inclusão de conjuntos “⊂”
define uma ordem parcial em M (verifique que na definição acima podemos
trocar “≤” por “⊂”). Todo subconjunto C ⊂ M totalmente ordenado possui
um limitante superior, especificamente, a união de todos os subconjuntos de V
que são elementos de C(verifique!). Pelo lema de Zorn, M possui um elemento
maximal B. Vamos mostrar que B é uma base para V . É claro que spanB é
um subespaço vetorial de V . Além disso V = spanB pois do contrário existiria
v ∈ V , tal que v /∈ spanB, e então B ∪ {z} seria um conjunto L.I. contendo B
propriamente, contradizendo a maximalidade de B.
Referências
[1] E. Kreyszig: Introductory Functional Analysis with Applications, John Wiley
and Sons, New York, 1978.
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