RN-intro-hopfield

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Algoritmos de AprendizadoAlgoritmos de Aprendizado
•Regra de Hebb
•Perceptron
•Delta Rule (Least Mean Square)
•Back Propagation
•Hopfield
•Competitive Learning
•Radial Basis Function (RBFs)
Redes de Redes de HopfieldHopfield
Entradas
realimentadas
dos outros
processadores
vetor S
s1
s2
si
sj
netj
w1j
w2j
wij
Bias = θ j+1
Modelo básico do Neurônio Artificial:
ou
2
TopologiaTopologia
I n p u tI n p u t
O u t p u tO u t p u t
RR
ee
aa
ll
ii
mm
ee
nn
tt
aa
çç
ãã
oo
Redes de Redes de HopfieldHopfield
•• Características Básicas:Características Básicas:
– Regra de Propagação netj = Σ si.wij + Ij - θj
– Função de Ativação Degrau ou sigmoid
• sj(t) = 1 se netj > θ (atualização assíncrona)
-1 se netj < θ
sj(t-1) se netj = θ
– Topologia Uma camada de processadores 
com realimentação.
– Algoritmo de Aprendizado depende da aplicação
– Valores de Entrada/Saída Binários/contínuos
3
Redes de Redes de HopfieldHopfield
•• Características Básicas:Características Básicas:
–– Rede de uma única camada;Rede de uma única camada;
–– A rede é A rede é recorrenterecorrente as saas saíídas dosdas dos
neurônios são neurônios são 
realimentadasrealimentadas
para a entrada para a entrada 
da rede.da rede.
Formas de MapeamentoFormas de Mapeamento
ESTÁTICOESTÁTICO DINÂMICODINÂMICO
(Redes (Redes FeedforwardFeedforward)) (Redes Recorrentes)(Redes Recorrentes)
Cada entrada produz sempre
a mesma saída
Aprendizado um processo
iterativo
Recuperação da informação
um processo estático
A saída depende da entrada
e das saídas anteriores
Aprendizado processo
estático
Recuperação da informação
um processo dinâmico
4
Redes de Redes de HopfieldHopfield
•• Em função da recorrência:Em função da recorrência:
–– A rede tem resposta dinâmicaA rede tem resposta dinâmica
•• os os estadosestados passam passam por por um processo de um processo de 
convergênciaconvergência para a recuperação da para a recuperação da 
informação (os pesos permanecem fixos)informação (os pesos permanecem fixos)
–– A rede deve ser inerentemente estávelA rede deve ser inerentemente estável
•• deve convergir para um estado onde as deve convergir para um estado onde as 
saídas dos neurônios permaneçam estáveissaídas dos neurônios permaneçam estáveis
Redes de Redes de HopfieldHopfield
A rede sendo estávelA rede sendo estável
se um padrão incorretopadrão incorreto é 
apresentado, a rede estabilizaestabiliza no 
valor mais próximomais próximo ao padrão 
apresentado padrão corretopadrão correto
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Redes com Redes com FeedbackFeedback
• Sistema dinâmicodinâmico que evolui no tempo
• Sistema dissipativodissipativo que se move na 
direção de energia mínimaenergia mínima
Redes com Redes com FeedbackFeedback
•• Exemplo:Exemplo:
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Ponto
Inicial
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do PE
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Redes com Redes com FeedbackFeedback
•• Exemplo:Exemplo:
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Ponto
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Redes com Redes com FeedbackFeedback
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Redes com Redes com FeedbackFeedback
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Redes com Redes com FeedbackFeedback
•• Exemplo:Exemplo:
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Redes com Redes com FeedbackFeedback
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Redes com Redes com FeedbackFeedback
•• Exemplo:Exemplo:
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Ponto
Inicial
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Redes com Redes com FeedbackFeedback
•• Conclusão:Conclusão:
–– A rede A rede 
transiciona transiciona na na 
direção de uma direção de uma 
solução estávelsolução estável
–– Mínimo local da Mínimo local da 
Função de Função de 
EnergiaEnergia
(-1-1-1)
(-1-11)
(-11-1)
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(1-11)
(11-1)
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Redes com Redes com FeedbackFeedback
•• Exemplo:Exemplo:
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Ponto
Inicial
Número
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Saída
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Redes com Redes com FeedbackFeedback
•• Conclusão:Conclusão:
–– A rede A rede 
transiciona transiciona na na 
direção de uma direção de uma 
solução estávelsolução estável
–– Mínimo local da Mínimo local da 
Função de Função de 
EnergiaEnergia
(-1-1-1)
(-1-11)
(-11-1)
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Redes com Redes com FeedbackFeedback
•• Conclusão:Conclusão:
–– A rede A rede 
transiciona transiciona na na 
direção de uma direção de uma 
solução estávelsolução estável
–– Mínimo local da Mínimo local da 
Função de Função de 
EnergiaEnergia
(-1-1-1)
(-1-11)
(-11-1)
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Redes com Redes com FeedbackFeedback
•• Exemplo:Exemplo:
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Redes com Redes com FeedbackFeedback
•• Conclusão:Conclusão:
–– A rede A rede 
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direção de uma direção de uma 
solução estávelsolução estável
–– Mínimo local da Mínimo local da 
Função de Função de 
EnergiaEnergia
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Redes com Redes com FeedbackFeedback
•• Conclusão:Conclusão:
–– A rede A rede 
transiciona transiciona na na 
direção de uma direção de uma 
solução estávelsolução estável
–– Mínimo local da Mínimo local da 
Função de Função de 
EnergiaEnergia
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Posição final é determinada 
pelos pesos, threshold e 
vetor de entrada
Posição final é determinada 
pelos pesos, threshold e 
vetor de entrada
Redes com Redes com FeedbackFeedback
•• Exemplo:Exemplo:
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Redes com Redes com FeedbackFeedback
•• Conclusão:Conclusão:
–– A rede A rede 
transiciona transiciona na na 
direção de uma direção de uma 
solução estávelsolução estável
–– Mínimo local da Mínimo local da 
Função de Função de 
EnergiaEnergia
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Redes com Redes com FeedbackFeedback
•• Conclusão:Conclusão:
–– A rede A rede 
transiciona transiciona na na 
direção de uma direção de uma 
solução estávelsolução estável
–– Mínimo local da Mínimo local da 
Função de Função de 
EnergiaEnergia
(-1-1-1)
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Redes com Redes com FeedbackFeedback
•• Exemplo:Exemplo:
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Ponto
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Redes com Redes com FeedbackFeedback
•• Conclusão:Conclusão:
–– A rede A rede 
transiciona transiciona na na 
direção de uma direção de uma 
solução estávelsolução estável
–– Mínimo local da Mínimo local da 
Função de Função de 
EnergiaEnergia
(-1-1-1)
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Redes com Redes com FeedbackFeedback
•• Conclusão:Conclusão:
–– A rede A rede 
transiciona transiciona na na 
direção de uma direção de uma 
solução estávelsolução estável
–– Mínimo local da Mínimo local da 
Função de Função de 
EnergiaEnergia
(-1-1-1)
(-1-11)
(-11-1)
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(11-1)
Redes de Redes de HopfieldHopfield
•• Exemplo:Exemplo:
16
Redes de Redes de HopfieldHopfield
Redes de Redes de HopfieldHopfield
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Redes de Redes de HopfieldHopfield
Redes de Redes de HopfieldHopfield
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Redes de Redes de HopfieldHopfield
Redes de Redes de HopfieldHopfield
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Redes de Redes de HopfieldHopfield
•• Conceitos Básicos:Conceitos Básicos:
–– AtratorAtrator É um estado para o qual o sistema
evolui no tempo.
–– Ponto FixoPonto Fixo É quando o atrator consiste de
um único ponto.
–– Ciclo LimiteCiclo Limite É quando o atrator consiste de
uma seqüência periódica de 
estados.
Redes de Redes de HopfieldHopfield
•• Questões básicas:Questões básicas:
Como saber se a Rede é ESTÁVELESTÁVEL?
Como estabelecer os pontos pontos atratoresatratores? 
20
Redes de Redes de HopfieldHopfield
•• Questões básicas:Questões básicas:
Como saber se a Rede é ESTÁVELESTÁVEL?
Como estabelecer os pontos pontos atratoresatratores?
Critério de EstabilidadeCritério de Estabilidade
• Cohen & Grossberg demonstraram que 
esta rede é estável estável se a matriz de pesosmatriz de pesos
for:
– simétrica
– com diagonal zero (não existe realimentação 
de um processador para ele próprio)
wwijij = = wwjij i
wwiiii = 0= 0
21
Critério de EstabilidadeCritério de Estabilidade
• Demonstração através da
Função Energia ComputacionalFunção Energia Computacional
Função Função LiapunovLiapunov
(forma vetorial e quadrática)
E = E = --1 S1 Stt.W.S .W.S -- IItt.S + .S + ΘΘ tt.S.S
22
As variaçõesvariações de uma certa função energiafunção energia
limitadalimitada devem ser nãonão--positivaspositivas
Critério de EstabilidadeCritério de Estabilidade
Função Função LiapunovLiapunov
E = E = --1 S1 Stt.W.S .W.S -- IItt.S + .S + ΘΘ tt.S.S
22
Expandindo, supondo 
matriz simétrica com 
diagonal zero
E = E = -- ΣΣnn ΣΣnn wwijij .s.sii ..ssjj -- ΣΣ
nn iijj..ssjj + + ΣΣ
nn θθjj..ssjjj =1j =1 i=1i=1ii≠≠jj j =1j =1 j =1j =1
22
Critério de EstabilidadeCritério de Estabilidade
i=1i=1ii≠≠jj
δδE = E = -- ΣΣnn wwijij .s.sii -- iijj + + θθjjδδssjj
i=1i=1ii≠≠jj
δδE = E = -- ΣΣnn wwijij .s.sii + + iijj -- θθjjδδssjj
δδE = E = -- netnetjj δδssjj sese netnetjj < 0 < 0 ⇒⇒ δδssjj ≤≤ 0 0 ⇒⇒ δδEE ≤≤ 00
se se netnetjj > > 0 0 ⇒⇒ δδssjj ≥≥ 0 0 ⇒⇒ δδEE ≤≤ 00
E = E = -- ΣΣnn ΣΣnn wwijij .s.sii ..ssjj -- ΣΣ
nn iijj..ssjj + + ΣΣ
nn θθjj..ssjjj =1j =1 i=1i=1ii≠≠jj j =1j =1 j =1j =1
Cálculo da Variação:Cálculo da Variação:
Critério de EstabilidadeCritério de Estabilidade
Conclusão:Conclusão:
δδE E ≤≤ 0 as varia0 as variaçções são ões são nãonão--positivaspositivas
As transiAs transiçções fazem com que a ões fazem com que a energiaenergia
decresdecresççaa ou fique ou fique estestáávelvel!!
23
Critério de EstabilidadeCritério de Estabilidade
•• Exemplo:Exemplo: W = 0 1 1 -1
1 0 1 -1
1 1 0 -1
-1 -1 -1 0
I = 0
θ = 0
E(s) = - 1 [ s1 s2 s3 s4 ] W s12 s2s3s4
E(s) = - s1 (s2+ s3- s4) - s2 (s3- s4) + s3 s4E(s) = - s1 (s2+ s3- s4) - s2 (s3- s4) + s3 s4
E(s) = {-6,0,2}E(s) = {-6,0,2}
Substituindo os valores de ssiipara todas as 16 configurações16 configurações
possíveis tem-se:
Critério de EstabilidadeCritério de Estabilidade
•• Exemplo:Exemplo: W = 0 1 1 -1
1 0 1 -1
1 1 0 -1
-1 -1 -1 0
I = 0
θ = 0
E(s) = {-6,0,2}E(s) = {-6,0,2}
[-1-1-1-1]
(0)
[-1-1-11]
(-6)
(2) [-1-11-1] (2) [-11-1-1] [1-1-1-1]
(2)
[-1-111]
(0) [-11-11](0)
[-111-1]
(0)
[1-11-1]
(0)
[11-1-1]
(0)
[-1111]
(2)
[11-11] (2) (2) [1-111]
[1111]
(0)
[111-1]
(-6)
[1-1-11]
(0)
1o bit
2o bit
3o bit
4o bit
1o bit
2o bit
3o bit
4o bit
Atualização assíncronaAtualização assíncrona
24
Critério de EstabilidadeCritério de Estabilidade
•• Exemplo:Exemplo: W = 0 1 1 -1
1 0 1 -1
1 1 0 -1
-1 -1 -1 0
I = 0
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(0)
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(0)
[111-1]
(-6)
[1-1-11]
(0)
1o bit
2o bit
3o bit
4o bit
1o bit
2o bit
3o bit
4o bit
Atualização assíncronaAtualização assíncrona
Estado InicialEstado Inicial
Critério de EstabilidadeCritério de Estabilidade
•• Exemplo:Exemplo: W = 0 1 1 -1
1 0 1 -1
1 1 0 -1
-1 -1 -1 0
I = 0
θ = 0
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(0)
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(-6)
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(0)
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(0)
[111-1]
(-6)
[1-1-11]
(0)
1o bit
2o bit
3o bit
4o bit
1o bit
2o bit
3o bit
4o bit
Atualização assíncronaAtualização assíncrona
25
Critério de EstabilidadeCritério de Estabilidade
•• Exemplo:Exemplo: W = 0 1 1 -1
1 0 1 -1
1 1 0 -1
-1 -1 -1 0
I = 0
θ = 0
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(0)
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[1-1-11]
(0)
1o bit
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3o bit
4o bit
1o bit
2o bit
3o bit
4o bit
Atualização assíncronaAtualização assíncrona
Critério de EstabilidadeCritério de Estabilidade
•• Exemplo:Exemplo: W = 0 1 1 -1
1 0 1 -1
1 1 0 -1
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I = 0
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1o bit
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4o bit
1o bit
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Atualização assíncronaAtualização assíncrona
26
Critério de EstabilidadeCritério de Estabilidade
•• Exemplo:Exemplo: W = 0 1 1 -1
1 0 1 -1
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1o bit
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Atualização assíncronaAtualização assíncrona
Critério de EstabilidadeCritério de Estabilidade
•• Exemplo:Exemplo: W = 0 1 1 -1
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1o bit
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4o bit
1o bit
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Atualização assíncronaAtualização assíncrona
27
Critério de EstabilidadeCritério de Estabilidade
•• Exemplo:Exemplo: W = 0 1 1 -1
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1o bit
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4o bit
1o bit
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Atualização assíncronaAtualização assíncrona
Critério de EstabilidadeCritério de Estabilidade
•• Exemplo:Exemplo: W = 0 1 1 -1
1 0 1 -1
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1o bit
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1o bit
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Atualização assíncronaAtualização assíncrona
28
Critério de EstabilidadeCritério de Estabilidade
•• Exemplo:Exemplo: W = 0 1 1 -1
1 0 1 -1
1 1 0 -1
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θ = 0
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1o bit
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3o bit
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Atualização assíncronaAtualização assíncrona
Critério de EstabilidadeCritério de Estabilidade
•• Exemplo:Exemplo: W = 0 1 1 -1
1 0 1 -1
1 1 0 -1
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θ = 0
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Supondo AtualizaçãoSupondo Atualização
Síncrona:Síncrona:
29
Critério de EstabilidadeCritério de Estabilidade
•• Exemplo:Exemplo: W = 0 1 1 -1
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Supondo AtualizaçãoSupondo Atualização
Síncrona:Síncrona:
Critério de EstabilidadeCritério de Estabilidade
•• Exemplo:Exemplo: W = 0 1 1 -1
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Supondo AtualizaçãoSupondo Atualização
Síncrona:Síncrona:
Não ESTABILIZANão ESTABILIZA