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MATEMÁTICA
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A
 
1. Definição
Sendo a um número real e n um número natural,
chama-se potên cia de expoente inteiro o número an ou 
a– n assim definido:
2. Propriedades
Sendo a e b números reais, m e n números inteiros
e supondo que o de nominador de cada fração seja di fe -
rente de zero, valem para as po tên cias as seguintes
propri e dades:
Observe que, se n � 2 e m � 2, então:
an . am = a . a . ... . a . a . a ... a = a . a . a . ... . a =
n fatores m fatores (n + m) fatores
= an + m, a ∈ �, n, m ∈ �
Verifique, substituindo, a vali da de da propriedade para
(n = 0 e m = 0), (n = 0 e m = 1) e (n = 1 e m = 1).
• an . am = an + m
an• –––– = an – m
am
• an . bn = (a . b)n
an a• –––– = �–––�
n
bn b
• (an)m = an . m
• Se n � 2, então an = a . a . a . ... a (n fatores)
• Se n = 1, então a1 = a
• Se n = 0, então a0 = 1
1 1
• Se a � 0, então a–n = �––�
n
= –––
a an
MÓDULO 1 Potenciação
Álgebra FRENTE 1
Notação Científica
Notação científica é uma forma de escrever números de maneira simplificada.
Pode ser utilizado para abreviar tanto números muito grandes, como números muito
pequenos.
O segredo para resolver uma notação científica é “traduzir” o número para uma
potência de base 10 (10x).
Veja a fórmula da notação científica:
a = número entre 1 e 10
b = expoente de 10 (número inteiro)
a . 10b
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2 –2 –
Para transformar um número em notação científica, siga os seguintes passos:
1. Escreva o número na forma decimal. Só um algarismo diferente de 0 deve ficar antes da vírgula, ou seja, deve
ser um número real entre 1 e 10 (exemplo: 1,5).
2. Conte quantas casas decimais a vírgula andou.
3. Coloque esse número de casas como expoente do 10. É preciso ter atenção quando se anda com a vírgula:
se o número diminuir, o expoente será positivo (exemplo: 102). Se o número aumentar, o expoente será negativo
(exemplo: 10–3).
Para entender melhor, veja o exemplo com o número 18 000000:
1. Levar a vírgula entre os números 1 e 8, para ficar com um número entre 1 e 10.
2. Contar quantas casas decimais a vírgula foi mexida para chegar nessa posição. Nesse exemplo foram 7 casas.
3. Colocar o número 7 como potência de 10.
Esse é resultado do número 18000 escrito como notação científica: 18000000 = 1,8 . 107.
Outros exemplos de notação científica
2100 = 2,1 . 103
35000 = 3,5 . 104
51400000 = 5,14 . 107
0,0000000043 = 4,3 . 10–9
Exemplos reais da utilidade da notação científica
A notação científica pode ser usada para facilitar cálculos que envolvam números muito grandes ou muito
pequenos. Pode ser aplicada em várias áreas, mas é mais comum nas ciências, como matemática, física e química.
Veja estes exemplos:
150000000 km é a distância entre a Terra e o Sol (1,5.108)
1427000000 km é a distância de Saturno ao Sol (1,427.109).
0,00000000000000000000000167252 g é a massa de um próton (1,67252.10–24).
0,00000000000000000000000000091091 g é a massa de um elétron (9,1091.10–28).
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1. (MACKENZIE) é igual a
a) b) 90 c) d) e) – 90
RESOLUÇÃO:
= = = 
= = 17 . = 
Resposta: C
2. (FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS) – A terça parte do número real 
é igual a
a) 35 b) 3110 c) 342 d) 337 e) 3125
RESOLUÇÃO:
A terça parte do número real é igual a
. = . = 365 . 360 = 3125
Resposta: E
3. Sabendo-se que 1,09832 é aproximadamente igual a 20, qual dos
valores abaixo está mais próximo do número 56 . (1,098)192?
a) 100 mil. b) 1 milhão. c) 100 milhões.
d) 1 bilhão. e) 1 trilhão.
RESOLUÇÃO:
56 . (1,098)192 = 56 . (1,09832)6 � 56 . (20)6 = (5 . 20)6 =
= 1006 = (102)6 = 1012 = 1 trilhão
Resposta: E
4. (UFLA) – Simplificando-se a expressão , obtém-se:
a) 62x b) 3x + 1 c) 22(3x)
d) 4x e) 3(4x)
RESOLUÇÃO:
= = = 3 . 22x = 3 . (22)x = 3 . (4x)
Resposta: E
810,25 . (32)20 . 35
2
––––––––––––––––––
1�––––�
12
243
810,25 . (32)20 . 35
2
–––––––––––––––––––
1�––––�
12
243
1
–––
3
1
––
4
(34) . 340 . 325
–––––––––––––––
(3–5)12
1
–––
3
31 . 340 . 325
–––––––––––––
3–60
2x + 1 + 2x + 2
–––––––––––––
22 – x – 21 – x
2x + 1 + 2x + 2
––––––––––––
22 – x – 21 – x
2x . 2 + 2x . 22
––––––––––––––
22 2
––– – –––
2x 2x
6 . 2x
––––––
2
–––
2x
2
(– 5)2 – 32 + �––�
0
3
––––––––––––––––––
1 1
3– 2 + –– + ––
5 2
17
–––––
3150
1530
–––––
73
3150
–––––
17
17
–––––––––––––––––
10 + 18 + 45
–––––––––––––
90
25 – 9 + 1
–––––––––––––––––
1 1 1
––– + ––– + –––
9 5 2
2
(– 5)2 – 32 + �––�
0
3
––––––––––––––––––
1 1
3– 2 + –– + ––
5 2
1530
–––––
73
90
––––
73
17
––––––
73
––––
90
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4 –
1. Definição
Seja a um número real e n um número natural não
nulo. O número x é chamado raiz enésima de a se, e
somente se, elevado ao ex poente n, reproduz a.
Simbolicamente:
2. Existência (em �)
• Se a = 0 e n ∈ �, então existe uma única raiz
enésima que é o pró prio zero. 
Assim: 
• Se a é estritamente posi tivo e n é par, então
existem duas e somente duas raízes enési mas de a.
Estas duas raízes são simétricas. A raiz enésima es trita -
mente positiva é represen tada pelo símbolo 
n
���a . A raiz
enésima estri tamente negativa, por ser simétrica da
primeira, é re pre sen tada pelo símbolo – 
n
���a .
• Se a é estritamente ne ga tivo e n é par, então
não existe raiz enésima de a.
• Se a ∈ � e n é ímpar, então existe uma única raiz
enésima de a. Esta raiz enésima tem o mesmo sinal de a
e é representada pelo símbolo 
n
���a . 
Observações
• No símbolo
n
���a :
��� é o radical;
a é o radicando;
n é o índice da raiz.
• Por convenção, na raiz qua dra da omite-se o índice.
Escreve-se, por exemplo, ���4 em lugar de 
2
���4.
• Se a é um número real po si tivo e n é par, então a
raiz enésima po sitiva de a é chamada raiz arit mética de
a, sempre existe, é única e é re pre sen tada pelo símbolo
n
���a.
Propriedades
Sendo a e b números reais posi tivos e n um número
natural não nulo, valem as seguintes propriedades:
Observe que:
⇒ ⇒
⇒ xn . yn = a . b ⇒ (x . y)n = a . b ⇒
⇒ x . y = 
n
���ab ⇒
n
��a . 
n
��b = 
n
���ab, a ∈ �*+, n ∈ �*
3. Potência de Expoente Racional
Definição
Sendo a um número real positivo, n um número
natural não nulo e um número racional na forma 
irredutível, define-se:
Propriedades
Demonstra-se que todas as pro prie dades válidas para
as potências de expoentes inteiros valem também para as
potências de expoentes racio nais.
4. Racionalização de Denominadores
Racionalizar o denominador de uma fração significa
eliminar todos os radicais (ou potências de expoen tes
fracionários) que existem no deno mi nador desta, sem
porém al te rar o seu valor.
x é a raiz enésima de a ⇔ xn = a
n
���0 = 0
• 
n
���a . 
n
���b = 
n
����ab
n
��a a
• ––––– = 
n
–––, com b � 0 
n
��b b
• �n��a �
m
= 
n
����am, com m ∈ �
• 
n
����m��a =nm��a, com m ∈ �*
• 
n
����am =
np
����� amp, com m ∈ � e p ∈ �*
� x = 
n
��a
y = 
n
��b �
xn = a
yn = b
m
–––
n
a
m––
n = 
n
����am
MÓDULO 2 Radiciação
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Racionalização de denominador com raiz não quadrada
Quando a raiz apresentar índice diferente de 2, o conjugado terá o mesmo índice da raiz. Porém, será necessário
encontrar o expoente do número interno que, quando somado ao expoente do número inicial, resulte em um valor
igual ao índice da raiz.
Isso porque quando multiplicamos raízes de mesmo índice e base, a regra é somar
os expoentes. Com os expoentes iguais aos índices, podemos simplificá-los e tirar a raiz.Veja os exemplos:
conjugado
1) = . = = 
2) = . = = = = 
3) = . = = = = 
3
–—–
3
���7
3
–—–
3
���7
3
����72
–––—–
3
����72
3
3
����72
–––—–
3
����72
3
3
����72
–––—–
7
2
–—–––
4
�����10
4
������103
–––—–
4
������103
2
–—–––
4
�����10
2 . 
4
������103
–––—––––––
4
�����10 . 
4
������103
2 . 
4
������103
–––—–––––
4
������104
2 . 
4
������103
––––––—–
10
4
������103
–––—–
5
1 . 
8
����57
–––—––––––
2
8
���5 . 
8
����57
1
–—–––
2
8
���5
1
–—–––
2
8
���5
8
����57
–––—–
8
����57
8
����57
–––—–
2
8
����58
8
����57
–––—–
2 . 5
8
����57
–––—–
10
1. O valor da expressão 
4
é:
a) 3 b) 4 c) ��2 d) 2��2 e) 8
RESOLUÇÃO:
4
=
4
=
= 
4
76 + ��������31 – 6 = 
4
��������76 + 5 = 
4
����81 = 3
Resposta: A
2. A expressão �����12 + �����48 – ������� 300 é igual a
a) 0 b) –2����3 c) –4����3 
d) –6����3 e) –8����3 
RESOLUÇÃO:
�����12 + �����48 – �������� 300 = ������ 22.3 + ������24.3 – ������������� 22. 3 . 52 =
= 2 ����3 + 22 ����3 – 2 . 5 ����3 = – 4 ����3 
Resposta: C
76 + 31 – 38 –
3
���8 
76 + 31 – 38 –
3
���8 76 + 31 – 38 – 2 
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3. Escreva cada expressão dada a seguir na forma de um único
radical:
a)
4
��5 . 
4
��3 b)
4
��23 . 6��3 c)
3
2��2 
RESOLUÇÃO:
a)
4
��5 . 
4
��3 = 
4
���15 
b )
4
���23 . 
6
��3 = 
12
���29 . 
12
���32 = 
12
������� 29 . 32 = 
12
������� 512 . 9 = 
12
������ 4608 
c)
3
2��2 =
3
������22 . 2 = 
3
��8 = 
6
���23 = ��2
4. Racionalize os denominadores das frações:
a) b)
RESOLUÇÃO:
a) = . = = 2���2
b) = . = = 
5. O valor da expressão 4 – 8 é:
a) 4 b) 2 c) ��2 d)
4
��2 e)
8
��2
RESOLUÇÃO:
[(22) – (23) ] = [23 – 22] = [8 – 4] = 4 = (22) = 21 = 2
ou
(2����43 – 3����82 ) =[(���4 )3– ( 3���8 )2] = (23– 22) = 4 = ���4 = 2
Resposta: B
4
––––
���2
1
––––––
7
����24
4
––––
���2
4
––––
���2
���2
––––
���2
4���2
–––––
2
1
–––––
7
����24
1
–––––
7
����24
7
����23
––––––
7
����23
7
����23
––––––
7
����27
7
���8
–––––
2
� 3––2 2––3 �
1––
2
3––
2
2––
3
1––
2
1––
2
1––
2
1––
2
1––
2
1––
2
1––
2 1––
2
1––
2
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1. Definição
Fatorar é transformar uma soma de duas ou mais parcelas num pro duto de dois ou mais fatores.
2. Casos Típicos
1.o caso: fator comum
2 .o caso: agrupamento
3.o caso: diferença de quadrados
4.o caso: quadrado perfeito
5o. caso: soma e diferença de cubos
6.o caso: cubo perfeito
ax + bx = x . (a + b)
ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b) = (a + b) . (x + y)
a2 – b2 = (a + b) . (a – b)
a2 + 2ab + b2 = (a + b) . (a + b) = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b) . (a – b) = (a – b)2
a3 + b3 = (a + b) . (a2 – ab + b2) a3 – b3 = (a – b) . (a2 + ab + b2)
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b) . (a + b) . (a + b) = (a + b)3 a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b) . (a – b) . (a – b) = (a – b)3
MÓDULOS 3 e 4 Fatoração
Quadrado perfeito
Veja a demonstração do que é um quadrado
perfeito:
Um número é um exemplo de quadrado perfeito,
basta que esse número seja o resultado de outro
número elevado ao quadrado, por exemplo: 36 é um
quadrado perfeito, pois 62 = 36.
Agora, para aplicar isso em uma expressão
algébrica, observe o quadrado (todos os lados iguais)
abaixo com lados x + y. O valor desse lado é uma
expressão algébrica.
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8 –
Para calcularmos a área desse quadrado podemos seguir duas formas diferentes:
1.a forma: A fórmula para o cálculo da área do quadrado é A = (lado)2, então como o lado nesse quadrado é 
x + y, basta elevá-lo ao quadrado.
A1 = (x + y) . (x + y) que é o mesmo que A1 = (x + y)2, então podemos dizer que:
O resultado dessa área A1 = (x + y)2 é um quadrado perfeito.
2.a forma: Esse quadrado foi dividido em quatro retângulos, onde cada um tem a sua própria área, então a soma
de todas essas áreas é a área total do quadrado maior, ficando assim:
A2 = x2 + xy + xy + y2, como xy e xy são semelhantes podemos somá-los
A2 = x2 + 2xy + y2
O resultado da área A2 = x2 +2xy + y2 é um trinômio.
As duas áreas encontradas representam a área do mesmo quadrado, então:
A1 = A2
(x + y)2 = x2 +2xy + y2
Então, o trinômio x2 +2xy + y2 tem como quadrado perfeito (x + y)2.
Quando tivermos uma expressão algébrica e ela for um trinômio do quadrado perfeito, a sua forma fatorada é
representada em forma de quadrado perfeito, veja:
O trinômio x2 +2xy + y2 fatorado é (x + y)2.
MÓDULO 3
1. Fatore as expressões:
a) a5 + a4 + a3
b) 2x3y2z + 6x2y3z2 – 4xyz3
c) 36x2y2 – 48x3y4 + 60x2y3
RESOLUÇÃO:
a) a5 + a4 + a3 = a3(a2 + a + 1) 
b) 2x3y2z + 6x2y3z2 – 4xyz3 = 2xyz (x2y + 3xy2z – 2z2)
c) 36x2y2 – 48x3y4 + 60x2y3 = 12x2y2 (3 – 4xy2 + 5y)
Obs: Professor, mostrar para o aluno que para encontrar o fator
comum basta fatorar os números.
2. Fatore as expressões:
a) a2 + ab + ab2 + b3
b) x3 – x2 – 3x + 3
RESOLUÇÃO:
a) a2 + ab + ab2 + b3 = a (a + b) + b2(a + b) = (a + b) (a + b2)
b) x3 – x2 – 3x + 3 = x2 (x – 1) – 3(x – 1) = (x – 1) (x2 – 3)
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3 Simplificando a expressão , para a ≠ – 1 obtém-se
a) b) a3 c) a3 + 1
d) 2a2 + a + 1 e) a3 + a2 + a + 1
RESOLUÇÃO:
= = 
= = 
Resposta: A
4. O valor da expressão para a = 59 é:
a) 119 b) 118 c) 60 d) 59 e) 30
RESOLUÇÃO:
= =
= = a + 1 = 59 + 1 = 60
Resposta: C
a6 + a4 + a2 + 1
––––––––––––––––
a3 + a2 + a + 1
a4 + 1
–––––––
a + 1
a4 (a2 +1) + (a2 + 1)
––––––––––––––––––
a2 (a +1) + (a + 1)
a6 + a4 + a2 + 1
––––––––––––––––
a3 + a2 + a + 1
a4 + 1
––––––––
a + 1
(a2 + 1) (a4 + 1)
–––––––––––––––
(a + 1) (a2 + 1)
a5 + a4 + a3 + a2 + a + 1
–––––––––––––––––––––––
a4 + a2 + 1
a5 + a4 + a3 + a2 + a + 1
–––––––––––––––––––––––
a4 + a2 + 1
a4 ( a + 1) + a2 (a + 1) + (a + 1)
–––––––––––––––––––––––––––––
a4 + a2 + 1
(a + 1) (a4 + a2 + 1)
–––––––––––––––––––––
a4 + a2 + 1
MÓDULO 4
1. Fatore as expressões:
a) x2 – y2
b) x4 – 1 
RESOLUÇÃO:
a) x2 – y2 = (x + y)(x – y)
b) x4 – 1 = (x2)2 – 12 = (x2 + 1)(x2 – 1) = (x2 + 1)(x + 1)(x – 1)
2. Desenvolva as expressões:
a) (2x + 3y)2
b) (5x – 2y)2
RESOLUÇÃO:
a) (2x + 3y)2 = (2x)2 + 2 . (2x) . (3y) + (3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2
b) (5x – 2y)2 = (5x)2 – 2 . (5x) . (2y) + (2y)2 = 25x2 – 20xy + 4y2
3. Fatore:
a) 9x2 + 30xy + 25y2
b) 49x4 – 14x2 + 1 
RESOLUÇÃO:
a) 9x2 + 30xy + 25y2 = (3x + 5y)2
b) 49x4 – 14x2 + 1 = (7x2 – 1)2
4. Calcular o valor de a2 + , sabendo que a + = 5.
RESOLUÇÃO:
a + = 5 ⇒ �a + �2 = 52 ⇔
⇔ a2 + 2 . a . + = 25 ⇔ a2 + 2 + = 25 ⇔
⇔ a2 + = 23
1
–––
a2
1
–––
a
1
–––
a
1
–––
a
1
–––
a
1
–––
a2
1
–––
a2
1
–––
a2
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10 –
1. Introdução
Analisando as sentenças
(I) 2 . 6 – 1 = 13
(II) 2 . 7 – 1 = 13
(III) 2x – 1 = 13
podemos fazer as seguintes con si de rações:
a) A sentença (I) é falsa, pois 
2 . 6 – 1 = 12 – 1 = 11 � 13.
b) A sentença (II) é verdadeira, pois 
2 . 7 – 1 = 14 – 1 = 13.
c) A sentença 2x – 1 = 13 não é verdadeira nem falsa,
pois x, chama do variável, pode assumir qualquer valor.
Este tipo de sentença é um exemplo de sentença
aberta.
Toda sentença aberta na for ma de igualdade é
chamada equa ção.
d) Substituindo x por 7, a sen tença aberta 2x – 1 = 13
trans for ma-se em 2 . 7 – 1 = 13, que é uma sen tença
verdadeira. Dize mos, en tão, que 7 é uma raiz (ou uma so -
lução) da equação 2x – 1 = 13.
2. Raiz, Conjunto Verdade, Resolução
• Raiz (ou solução) de uma equação é um número
que trans for ma a sentença aberta em sen tença ver da -
deira.
• Conjunto verdade (ou conjunto solução) de uma
equação é o con junto de todas, e somente, as raí zes.
• Resolver uma equação é deter minar o seu conjunto
verdade.• Existem processos gerais de re solução de alguns
tipos de equa ções, particularmente as do 1o. e do 2o. grau,
que, a seguir, passamos a comen tar.
3. Equação do 1o. grau
Definição
É toda sentença aberta, redutível e equivalente a
, com a ∈ �* e b ∈ �.
Exemplos
São equações do 1o. grau as senten ças abertas 
5x – 3 = 12 e – = 1.
Resolução
Notando que ax + b = 0 ⇔ ax = – b ⇔ x = – para 
a � 0, concluímos que o conjunto verdade da equação é 
V = – .
Discussão
Analisando a equação ax + b = 0, com a, b ∈ �, temos
as seguintes hipóteses:
a) Para a � 0, ax + b = 0 ⇔ V= – (a equação 
admite uma única solução).
b) Para a = 0 e b � 0, ax + b = 0 não tem solução, pois
a sentença é sempre falsa. Neste caso, V = Ø.
c) Para a = 0 e b = 0, a equa ção ax + b = 0 admite
todos os nú meros reais como solução, pois a sen tença
0x + 0 = 0 é sempre ver dadeira. Neste caso, V = �.
Observação
Sentenças abertas redutíveis ao tipo
0x = 0 são chamadas identida des. 
(x + 1)2 = x2 + 2x + 1 é um exem plo de
identidade em �. 
4. Equações do Tipo “Produto” ou “Quociente”
Definição
São equações dos tipos a . b = 0 (produto) ou = 0
(quociente), com { a; b } � �.
Resolução
Ao resolver equações destes ti pos, lembrar das duas
seguintes equi valências:
5. Equação do 2o. grau
Definição
É toda sentença aberta, em x, re dutível e equivalente
a ax2 + bx + c = 0, com a ∈ �*, b ∈ � e c ∈ �.
Resolução para o caso 
e
ax2 + bx + c = 0 ⇔ ax2 + bx = 0 ⇔ x .(ax + b) = 0 ⇔
⇔ x = 0 ou x = – ⇔ V = 0; –
ax + b = 0
x + 3–––––
2
3x–––
2
b––a
� b––a 	
� b––a 	
a
––
b
a . b = 0 ⇔ a = 0 ou b = 0
a
––– = 0 ⇔ a = 0 e b � 0
b
c = 0 b � 0
	b––a�
b––a
MÓDULOS 5 e 6 Equações do 1o. e do 2o. Grau
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Resolução para o caso 
e
ax2 + bx + c = 0 ⇔ ax2 + c = 0 ⇔ ax2 = – c ⇔
⇔ x2 = – ⇔ V = ± – , se a e c forem de 
sinais contrários, ou V = Ø, se a e c forem de mesmo
sinal, para x ∈ �.
Resolução para o caso 
e
ax2 + bx + c = 0 ⇔ ax2 = 0 ⇔ x2 = 0 ⇔ V = { 0 }
Resolução do caso geral
Utilizando “alguns artifícios”, Bás ka ra verificou que a
equação ax2 + bx + c = 0 é equivalente à equa ção
(2ax + b)2 = b2 – 4ac.
De fato:
ax2 + bx + c = 0 ⇔ ax2 + bx = – c
Multiplicando-se ambos os mem bros desta última
igualdade por 4a, obtém-se:
ax2 + bx = – c ⇔ 4a2x2 + 4abx = – 4ac
Somando-se b2 aos dois mem bros da igualdade
assim obtida, resul ta:
4a2x2 + 4abx + b2 = b2 – 4ac ⇔ (2ax + b)2 = b2 – 4ac
Assim, representando por Δ o dis criminante b2 – 4ac,
temos:
a) Δ < 0 ⇒ a equação não tem solução em �.
b) Δ � 0 ⇒ 2ax + b = ± ���Δ ⇔
⇔ 2ax = – b ± ���Δ ⇔ x =
Portanto, sendo V o conjunto ver dade em �, 
conclui-se que:
Propriedades
Se Δ � 0 e {x1; x2} é conjunto verdade da equação 
ax2 + bx + c = 0, com a � 0, então:
– b + ���Δ – b – ���Δ
Δ > 0 ⇒V = �–––––––––; ––––––––– �
2a 2a
– b
Δ = 0 ⇒ V = �––––�
2a
Δ < 0 ⇒ V = Ø
– b
S = x1 + x2 = –––––a
c
P = x1 . x2 = –––a
c � 0b = 0
�c––a�
c––a
c = 0b = 0
– b ± ���Δ
–––––––––
2a
Demonstração das Propriedades:
Soma
x1 + x2 = + 
x1 + x2 = 
x1 + x2 = 
x1 + x2 = –
Produto
x1 · x2 = � � · � �
x1 · x2 =
x1 · x2 = 
x · x2 = 
x1 · x2 = 
x1 · x2 = 
x1 · x2 = 
Assim, temos:
� x1 + x2 = – (soma de raízes)x1 + x2 = (produto de raízes)
– b + �����
––––––––––
2a
– b – �����
––––––––––
2a
– b + ����� – b – �����
–––––––––––––––––––
2a
– 2b
––––––
2a
b
–––
a
– b + ����
––––––––––
2a
(– b)2 – b���� + b���� – ����� �
2
––––––––––––––––––––––––––
(2a)2
b2 – �
–––––––
4a2
b2 – (b2 – 4ac)
––––––––––––––
4a2
– b – ����
––––––––––
2a
b2 – b2 + 4ac
––––––––––––––
4a2
+ 4ac
–––––––
4a2
c
–––
a
b
–––
a
c
–––
a
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12 –
MÓDULO 5
Resolver, em �, as equações de 1 a 3.
1. 3x – [2 – (x – 1)] = 5x
RESOLUÇÃO:
3x – [2 – (x – 1)] = 5x ⇔ 3x – [2 – x + 1] = 5x ⇔
⇔ 3x – 2 + x – 1 = 5x ⇔ 3x + x – 5x = 2 + 1 ⇔ – x = 3 ⇔ x = – 3
Resposta: V = {– 3}
2. 3(x – 2) – x = 2x – 6
RESOLUÇÃO:
3(x – 2) – x = 2x – 6 ⇔ 3x – 6 – x = 2x – 6 ⇔
⇔ 3x – x – 2x = 6 – 6 ⇔ 0x = 0 ⇔ V = �
Resposta: V = R
3. 2(x – 7) = x – (2 – x)
RESOLUÇÃO:
2 (x – 7) = x – (2 – x) ⇔ 2x – 14 = x – 2 + x ⇔
⇔ 2x – x – x = 14 – 2 ⇔ 0x = 12 ⇔ V = Ø
Resposta: V = Ø
4. Resolva em �, a equação: – = .
RESOLUÇÃO:
– = ⇔ = ⇔
⇔ 8x + 4 – 3x + 9 = 6x ⇔ 8x – 3x – 6x = – 4 – 9 ⇔
⇔ – x = – 13 ⇔ x = 13 ⇔ V = {13}
Resposta: V = {13}
5. Resolva em �, as equações:
a) 2x2 – 8x = 0
b) 5x2 – 45 = 0
c) x2 + 3 = 0
RESOLUÇÃO:
a) 2x2 – 8x = 0 ⇔ 2x(x – 4) = 0 ⇔ 2x = 0 ou x – 4 = 0 ⇔
⇔ x = 0 ou x = 4 ⇔ V = {0;4}
b) 5x2 – 45 = 0 ⇔ 5x2 = 45 ⇔ x2 = 9 ⇔ x = 3 ou x = – 3 ⇔ V = {– 3; 3}
c) x2 + 3 = 0 ⇔ x2 = – 3 ⇔ V = Ø
6. Resolva em �, as equações:
a) 2x2 – 5x – 3 = 0
b) x2 – 10x + 25 = 0
c) 3x2 + 2x + 1 = 0
RESOLUÇÃO:
a) Δ = b2 – 4ac = (– 5)2 – 4 . 2 (– 3) = 25 + 24 = 49
x = =
⇔ x = 3 ou x = – ⇔ V = – ; 3
b) Δ = (– 10)2 – 4 . 1 . 25 = 100 – 100 = 0
x = ⇔ x = 5 ⇔ V = {5}
c) Δ = 22 – 4 . 3 . 1 = 4 – 12 = – 8 ⇔ V = Ø
2x + 1
–––––––
3
x – 3
––––––
4
x
––
2
2x + 1
––––––
3
x – 3
–––––
4
x
–––
2
4(2x + 1) – 3(x – 3)
––––––––––––––––––
12
6x
––––
12
– b ± ��Δ
––––––––––
2a
5 ± 7
–––––
4
1
––
2 �
1
––
2 	
10 ± 0
–––––––
2
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MÓDULO 6
Empregando as propriedades da soma e do produto das raízes, resolva,
em �, as equações de 1 e 2.
1. x2 – 7x + 10 = 0
RESOLUÇÃO:
S = = 7 e P = = 10
Logo, x = 2 ou x = 5 ⇒ V = {2, 5}
2. x2 + 4x + 3 = 0
RESOLUÇÃO:
S = = – 4 e P = = 3
Logo, x = – 1 ou x = – 3 ⇒ V = {– 3, – 1}
3. Se a e b são as raízes da equação 3x2 – 320x + 42 = 0, então 
(a + 3)(b + 3) é igual a:
a) – 297 b) 300 c) 330 d) 343 e) 362
RESOLUÇÃO:
I) (a + 3)(b + 3) = ab + 3a + 3b + 9 = ab + 3(a + b) + 9
II) Se a e b são as raízes da equação 3x2 – 320x + 42 = 0, temos
ab = = 14 e a + b = .
De (I) e (II), concluímos que:
(a + 3)(b + 3) = ab + 3(a + b) + 9 = 14 + 3 . + 9 = 14 + 320 + 9 = 343.
Resposta: D
4. A soma dos inversos das raízes da equação 4x2 – (m + 10)x + m = 0
é igual a . O valor do número real m é:
a) – 2 b) – 1 c) 1 d) 2 e) 3
RESOLUÇÃO:
Sendo x1 e x2 as raízes da equação 4x
2 – (m + 10)x + m = 0 temos
que:
+ = ⇔ =
Substituindo x1 + x2 por e x1 . x2 por resulta:
= ⇔ 3m + 30 = 13m ⇔ m = 3
Respsota: E
5. O valor do número real k para que a soma dos quadrados das raízes
da equação x2 – 8x + k = 0 seja 52 é:
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
RESOLUÇÃO:
Sendo x1 e x2 as raízes da equação, temos que x1 + x2 = 8 e x1 x2 = k.
x1 + x2 = 8 ⇒ (x1 + x2)2 = 82 ⇒ x12 + x22 + 2x1 x2 = 64.
Logo, 52 + 2k = 64 ⇔ 2k = 12 ⇔ k = 6.
Resposta: B
42
–––
3
320
––––
3
320
––––
3
13
–––
3
1
–––
x1
1
–––
x2
13
–––
3
x1 + x2
–––––––––
x1 . x2
13
–––
3
m + 10
––––––––
4
m
––––
4
m + 10
–––––––
4
–––––––––
m
–––
4
13
–––
3
10
–––––
1
– (–7)
–––––––
1
3
–––
1
– 4
–––––
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14 –
1. Obtenção de uma equação a 
partir das suas raízes
Sendo S = x1 + x2 e P = x1 . x2, então uma equação
do 2o. grau, cujo conjunto verdade é {x1; x2}, será:
De fato, supondo a � 0, temos:
ax2 + bx + c = 0 ⇔ + + = ⇔
⇔ x2 – – x + = 0 ⇔ x2 – Sx + P = 0
Equações redutíveis a 1o. ou 2o. grau
a) Se a equação estiver na forma de produto ou na
forma de quo ciente, será útil uma das seguintes equiva -
lências:
b) Se a equação proposta não for do tipo ax + b = 0
nem ax2 + bx + c = 0, com a � 0, deve-se, se possível,
1o. ) Fatorar e utilizar a equiva lência ab = 0 ⇔ a = 0 ou
b = 0.
2o. ) Fazer uma troca de va riá veis e procurar recair
em 1o. ou 2o. grau.
x2 – Sx + P = 0
ax2––––a
bx––––a
c–––a
0–––a
� b–––a � c–––a
a . b = 0 ⇔ a = 0 ou b = 0
a
––– = 0 ⇔ a = 0 e b � 0
b 
MÓDULOS 7 e 8 Equações Redutíveis a 1o.ou 2o. Grau
Como resolver as equações irracionais 
em 4 passos
Se você observar uma equação
irracional, não tem como fazer nada
com uma incógnita dentro da raiz. 
Para “sairmos” do caso irracio -
nal e chegarmos a uma equação do 
1.o ou 2 .o grau, nós usamos o Princípio
da Equivalência.
Esse princípio significa fazer as mesmas coisas de
um lado e do outro da equação, afinal, devemos manter
a igualdade válida! 
1.o Passo: isole o radical no primeiro membro da
equação. 
2.o Passo: aplique a propriedade do inverso da raiz.
Você deverá elevar ambos os membros da equação por
um expoente. Esse expoente deve ter o mesmo valor
que o número do índice da raiz. Isso nos permite anular
a raiz!
3.o Passo: encontre o valor de x resolvendo a
equação normalmente, de acordo com seu grau.
4.o Passo: verifique se a solução é verdadeira.
Substitua o valor encontrado na equação original e veja
se comprovamos que os valores são iguais.
Exemplo:
Resolver, em R, a equação ��������� 2x + 5 – 4 = 3
1.o Passo: isole o radical
��������� 2x + 5 = – 3+ 4
��������� 2x + 5 = 1
2 .o Passo: aplique a propriedade
���������� 2x + 5 �
2
= 12
2x + 5 = 1
3 .o Passo: encontre o valor de x
2x + 5 = 1
2x = 1 – 5
2x = –4
x = 
x = –2 
4 .o Passo: verifique se é verdadeiro
��������� 2x + 5 – 4 = – 3
������������ 2.(–2) + 5 – 4 = – 3
����������– 4 + 5 – 4 = – 3
���1 – 4 = – 3
1 – 4 = – 3
– 3 = – 3
– 4
––––
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MÓDULO 7
1. Qual das equações abaixo tem conjunto verdade V = ; ?
a) 24x2 – 3x + 22 = 0 b) 12x2 – 11x + 3 = 0
c) 24x2 + 22x – 3 = 0 d) 24x2 – 22x + 3 = 0
e) 12x2 + 11x – 3 = 0
RESOLUÇÃO:
Calculando-se a soma S e o produto P das raízes, obtém-se:
S = + = = e P = . = 
Uma equação do 2o. grau de raízes e é:
x2 – x + = 0 ⇔ 24x2 – 22x + 3 = 0
Resposta: D
2. Resolva, em �, a equação + = 
RESOLUÇÃO:
I) x � 2 e x � 0
II) + = ⇔ = ⇔
⇒ 4x + 2x – x2 = 8 ⇒ x2 – 6x + 8 = 0 ⇒ x = 2 ou x = 4
De (I) e (II) concluímos que o conjunto verdade da equação é 
V = {4}
Resposta: {4}
3. Resolva, em �, a equação x4 – 13x2 + 36 = 0
RESOLUÇÃO:
Fazendo-se x2 = y, temos x4 = y2 e a equação
y2 – 13y + 36 = 0, cujas raízes são y = 4 ou y = 9.
Assim, x2 = 4 ou x2 = 9 ⇔ x = – 2 ou x = 2 ou x = – 3 ou x = 3
V = {– 3; – 2; 2; 3}
4. Em �, a equação ����� 5x – 1 + 3 = x
a) admite duas soluções positivas.
b) admite duas soluções de sinais contrários.
c) admite duas soluções com soma 11.
d) admite uma única solução.
e) não admite solução.
RESOLUÇÃO:
�������� 5x – 1 + 3 = x ⇔ �������� 5x + 1 = x – 3
�������� 5x – 1 = x – 3 ⇒ (�������� 5x – 1)2 = (x – 3)2 ⇒
⇒ 5x – 1 = x2 – 6x + 9 ⇒ x2 – 11x + 10 = 0 ⇒ x = 1 ou x = 10.
1 não é solução, pois para x = 1 obtém-se 
����������5 . 1 – 1 + 3 = 1 ⇔���4 + 3 = 1 ⇔ 2 + 3 = 1, que é uma afirmação falsa. 
10 é solução, pois para x = 10 obtém-se
������������5 . 10 – 1 + 3 = 10 ⇔ ����49 + 3 = 10 ⇔ 7 + 3 = 10, que é uma afirmação
verdadeira.
O conjunto verdade da equação é V = {10}.
Resposta: D
	3––4
1
––
6�
1
–––
8
3
–––
4
1
–––
6
11
–––
12
2 + 9
–––––––
12
3
–––
4
1
–––
6
3
–––
4
1
–––
6
1
–––
8
11
–––
12
4
–––––––
2x – x2
1
–––
2 
2
–––––
2 – x 
8
–––––––––––
(2 –x) 2 . x
2 . 2x + (2 – x) . x
–––––––––––––––––
(2 – x) . 2 . x
4
–––––––
x(2 – x) 
1
–––
2 
2
–––––
2 – x 
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16 –
MÓDULO 8
1. Sendo a, b e c as raízes da equação x3 + 2x2 – 5 x –10 = 0, é correto
afirmar que a4 + b4 + c4 resulta
a) 22 b) 33 c) 44 d) 55 e) 66
RESOLUÇÃO:
x3 + 2x2 – 5x – 10 = 0 ⇔ x2(x + 2) – 5 (x + 2) = 0 ⇔
⇔ (x + 2) (x2 – 5) = 0 ⇔ x = –2 ou x2 = 5 ⇔
⇔ x = – 2 ou x = ����5 ou x = – ����5 .
Independente da ordem, a4 + b4 + c4 = (–2)4 + (����5 )4 + (–����5 )
4
=
= 16 + 25 + 25 = 66
Resposta: E
2. (ALBERT EINSTEIN) – Em virtude do aumento dos casos de
diferentes tipos de gripe que têm assolado a cidade de São Paulo,
preventi vamente, alguns prontos-socorros têm distribuído más caras
cirúrgicas àqueles que buscam atendimento. Todas as máscaras de um
lote foram distribuídas em quatro dias sucessivos de uma Campanha
de Vacinação: no primeiro dia foi distribuído do total; no segundo, 
do total; no terceiro, o dobro da quantidade distribuída nos dois
primeiros dias. Se no último dia tiverem sido distribuídas as 105
máscaras restantes, o total de máscaras de tal lote é um número
compreendido entre:
a) 700 e 900 b) 500 e 700
c) 300 e 500 d) 100 e 300
RESOLUÇÃO:
Seja x o total de máscaras do lote distribuído.
1) No primeiro dia foram distribuídas x, máscaras.
2) No segundo dia foram distribuídas x, máscaras.
Nos dois primeiros dias foram distribuídas
x + x = = máscaras.
3) No terceiro dia foram distribuídas 2 . = máscaras.
4) Ficaram para ser distribuídas no quarto dia
x – – = = máscaras.
Assim, = 105 ⇔ x = 840 ⇔ 700 < x < 900
Resposta: A
3. (FUVEST) – Uma treinadora de basquete aplica o seguinte sistema
de pontuação em seus treinos de arremesso à cesta: cada jogadora
recebe 5 pontos por arremesso acertado e perde 2 pontos por
arremesso errado. Ao fim de 50 arremessos, uma das jogadoras
contabilizou 124 pontos. Qual é a diferença entre as quantidades de
arremessos acertados e errados dessa jogadora?
a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20
RESOLUÇÃO:
Sejam a o número de acertos e e o número de erros:
⇔ ⇔ 
E assim a diferença entre o número de acertos e o de erros é igual
a a – e = 32 – 18 = 14
Resposta: B
4. (FUVEST) – Em uma família, o número de irmãs de cada filha é
igual à metade do número de irmãos. Cada filho tem o mesmo número
de irmãos e irmãs.
O número total de filhos e filhas da família é
a) 4 b) 5 c) 7 d) 10 e) 15
RESOLUÇÃO:
Sejam h e m, respectivamente, o número de filhos do sexo
masculino e feminino.
1) Cada filho tem (h – 1) irmãos e m irmãs.
Cada filha tem h irmãos e (m – 1) irmãs.
2) Assim, conforme o enunciado, tem-se
⇔ ⇔ m = 3 e h = 4
3) Desta forma o número de filhos e filhas na família é 
h + m = 4 + 3 = 7
Resposta: C
1
–––
8
1
–––
6
1
–––
8
1
–––
6
1
–––
8
1
–––
6
3x + 4x
–––––––––
24
7x
–––––
24
7x
–––––
24
14x
–––––
24
14x
–––––
24
7x
––––
24
3x
––––
24
x
–––
8
x
–––
8
a + e = 50
5a – 2e = 124
2a + 2e = 100
5a – 2e = 124
a = 32
e = 18
�
1
m – 1 = –– h
2
h – 1 = m
� 2m – h = 2h – m = 1
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– 17
M
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T
EM
Á
T
IC
A
 
1. Sistemas de Duas Equações e Duas Incógnitas
Note que , , , são 
algumasdas soluções da equação .
Além disso, , , , são 
algumas das soluções da equação .
O sistema formado pelas equa ções x + y = 9 e 
x – y = 7, isto é, , apresenta como
solução, pois esses dois valo res tor nam ver da deiras as
duas equa ções si multaneamente.
A solução de um sistema de duas equações e duas
incógnitas, x e y, é qual quer par ordenado de va lores 
(x; y) que satisfaz ambas as equa ções.
� x = 1y = 8 �
x = 8
y = 1 �
x = 10
y = – 1 �
x = –1
y = 10
x + y = 9
� x = 10y = 3 �
x = 9
y = 2 �
x = 8
y = 1 �
x = 7
y = 0
x – y = 7
� x + y = 9x – y = 7 �
x = 8
y = 1
MÓDULO 9 Sistemas e Problemas
Dois métodos para resolver um
sistema:
Para encontrarmos
o par or denado solução
desse sistema é preciso
utilizar um método para a
sua solução. 
Esses dois métodos são: Substituição e Adição.
Método da substituição
Esse método consiste em escolher uma das duas
equações, isolar uma das incógnitas e substituir na
outra equação, veja como:
Dado o sistema � , enumeramos as 
equações.
�
Escolhemos a equação � e isolamos o x:
x + y = 20
x = 20 – y
Agora na equação � substituímos o valor de 
x = 20 – y.
3x + 4 y = 72
3 (20 – y) + 4y = 72
60 – 3y + 4y = 72
–3y + 4y = 72 – 60
y = 12
Descobrimos o valor de y, para descobrir o valor de
x basta substituir 12 na equação
x = 20 – y.
x = 20 – y
x = 20 – 12
x = 8
Portanto, a solução do sistema é S = (8, 12)
x + y =20
3x + 4y = 72
x + y = 20 �
3x + 4y = 72 �
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T
EM
Á
T
IC
A
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
18 –
Método da adição
Esse método consiste em adicionar as duas
equações de tal forma que a soma de uma das
incógnitas seja zero. Para que isso aconteça será
preciso que multipliquemos algumas vezes as duas
equações ou apenas uma equação por números
inteiros para que a soma de uma das incógnitas seja
zero.
Dado o sistema �
Para adicionarmos as duas equações e a soma de
uma das incógnitas de zero, teremos que multiplicar a
primeira equação por – 3. 
�
Agora, o sistema fica assim:
�
Adicionando as duas equações:
– 3x – 3y = – 60
+ 3x + 4y = 72
––––––––––––––––––
y = 12
Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma
das duas equações e substituir o valor de y encontrado:
x + y = 20
x + 12 = 20
x = 20 – 12
x = 8
Portanto, a solução desse sistema é: S = (8, 12).
Se resolver um sistema utilizando qualquer um
dois métodos o valor da solução será sempre o
mesmo.
x + y = 20 (–3)
3x + 4y = 72
– 3x –3y = – 60
3x + 4y = 72
x + y = 20
3x + 4y = 72
1. (UNICESUMAR) – Para a aplicação de uma prova de proficiência
em língua estrangeira, o comitê organizador tem a sua disposição todas
as salas de aula de um prédio. Pensou-se inicialmente em colocar 
27 alunos por sala, exceto uma sala, que ficaria com apenas 12 alunos.
Finalmente, ficou decidido que duas salas não seriam utilizadas e todas
as demais receberiam grupos de 30 alunos. O número de alunos que
irão prestar essa prova é múltiplo de
a) 12 b) 13 c) 14 d) 16 e) 17
RESOLUÇÃO:
Seja x o número de alunos que irão prestar a prova e y o número
de salas disponíveis.
Então 
⇔ 30y – 60 = 27y – 27 + 12
30y – 27y = 60 – 15
3y = 45
y = 15
x = 30 (15 – 2) ⇒ x = 390 = 13.30
Resposta: B
2. (SANTA MARCELINA) – Clarice e Fernando têm uma certa quantia
de dinheiro cada um. Se Clarice der R$ 40,00 a Fernando, eles ficarão
com a mesma quantia . Se Fernando der R$ 22,50 para Clarice, então a
quantia dela passará a ser três vezes a quantia dele. Os dois, juntos têm
um total igual a
a) R$ 225,50 b) R$ 200,00 c) R$250,00
d) R$ 275,50 e) R$ 300,00
RESOLUÇÃO:
Se inicialmente, em reais, Clarice tem x e Fernando y, então
⇔ ⇔
Os dois juntos têm um total de (165 + 85) reais = 250 reais
Resposta: C
x = 27(y – 1) + 12
x = 30 (y – 2)
�
x = 165
y = 85
�x – y = 80
x – 3y = – 90
�x – 40 = y + 40
x + 22,50 = 3(y - 22,50)
�
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– 19
M
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T
EM
Á
T
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A
 
3. (ANHEMBI-MORUMBI) – Em um salão de festas, a opção padrão
é uma festa completa para 50 convidados, sendo 35 adultos e 
15 crianças pelo valor de R$ 5900,00. Esse valor tem acréscimo de 
R$ 75,00 por adulto excedente e de R$ 45,00 por criança excedente.
Ao realizar uma festa, um cliente excedeu o número de convidados,
tanto em crianças como em adultos, de modo que o valor cobrado foi
de R$ 9350,00. Sabendo que o número total de crianças nessa festa
foi um terço do número total de adultos, o número total de convidados
foi igual a
a) 108 b) 116 c) 120 d) 92 e) 100
RESOLUÇÃO:
Considerando x adultos excedentes e y crianças excedentes
podemos escrever:
⇔
⇔ ⇔ ⇔
O número total de convidados foi (35 + 15) + (40 + 10) = 100
Resposta: E
4. Há 5 anos Paulo tinha o quíntuplo da idade de Tiago. Daqui a 4 anos
Paulo terá o dobro da idade de Tiago. Quando Tiago nasceu, a idade de
Paulo, em anos, era:
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
RESOLUÇÃO:
De acordo com o enunciado, devemos ter:
⇔ ⇔
⇔ ⇔ ⇔ x – y = 12
Resposta: B
� 5900 + 75x + 45 y = 935015 + y = (35 + x)1––––
3
� 75x + 45y = 3450
35 + x = 45 + 3y
� 5x + 3y = 230
x – 3y = 10
� x = 40
y = 10
há 5 anos hoje daqui a 4 anos
Paulo x – 5 x x + 4
Tiago y – 5 y y + 4
�x – 5 = 5(y – 5)x + 4 = 2(y + 4) �
x – 5 = 5y – 25
x + 4 = 2y + 8
�x – 5y = – 20x – 2y = 4 �
x = 20
y = 8
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MÓDULO 10 Inequações do 1o. grau
1. Resolva, em �, as inequações:
a) 3(1 – x) � – 9
b) 5(x – 2) – 5x � 4
c) 2x – 6 � 2(x – 3)
RESOLUÇÃO:
a) 3(1 – x) � – 9 ⇔ 3 – 3x � – 9 ⇔ – 3x � – 9 – 3 ⇔
⇔ – 3x � – 12 ⇔ x � ⇔ x � 4 ⇔ V = {x ∈ � 
 x � 4} 
b) 5(x – 2) – 5x � 4 ⇔ 5x – 10 – 5x � 4 ⇔
⇔ 5x – 5x � 4 + 10 ⇔ 0x � 14 ⇔ V = Ø 
c) 2x – 6 � 2(x – 3) ⇔ 2x – 6 � 2x – 6 ⇔ 2x – 2x � – 6 + 6 ⇔
⇔ 0x � 0 ⇔ V = �
Respostas: a) V = {x ∈ � 
 x � 4} 
b) V = Ø
c) V = �
2. (MACKENZIE – MODELO ENEM) – Uma escola paga, pelo aluguel
anual do ginásio de esportes de um clube A, uma taxa fixa de 
R$ 1 000,00 e mais R$ 50,00 por aluno. Um clube B cobraria pelo aluguel
anual de um ginásio o equivalente a uma taxa fixa de R$ 1 900,00, mais
R$ 45,00 por aluno. Para que o clube B seja mais vantajoso
economicamente para a escola, o menor número N de alunos que a
escola deve ter é tal que:
a) 100 � N � 150 b) 75 � N � 100
c) 190 � N � 220 d) 150 � N � 190
e) 220 � N � 250
RESOLUÇÃO:
Se n for o número de alunos da escola, então o clube B será mais
vantajoso que o clube A se, e somente se, 
1900 + 45n < 1000 + 50n ⇔ 5n > 900 ⇔ n > 180.
Se N for o menor número de alunos para o qual o clube Ν é mais
vantajoso, então N = 181 e, portanto, 150 ≤ N > 190.
Resposta: D
– 12
––––
– 3
Definição
Chama-se inequação (desigual dade) do 1o. grau, na
variável real x, toda sentença que pode ser reduzida a
uma das formas: ax + b > 0 ou ax + b � 0 ou ax + b < 0 ou
ax + b � 0, em que a, b ∈ � e a � 0.
Resolução
Resolver, em �, uma inequação do 1o. grau é
determinar o conjunto de todos os valores da variável x
que tor nam a sentença verdadeira.
Por ser mais prático, é costume “isolar” o x da
sentença. Para isso são utilizadas as seguintes proprie -
dades da desigualdade em �, sendo x, y e a números
reais:
Exemplos
1) 2x + 10 < 0 ⇔ 2x < – 10 ⇔ x < – 5 ⇔
⇔ V = {x ∈ � 
 x < – 5}
2) – 2x + 10 < 0 ⇔ – 2x < – 10 ⇔ x > 5 ⇔
⇔ V = {x ∈ � 
 x > 5}
3) – < 1 ⇔
⇔ < ⇔
⇔ 3x – 9 – 4x + 2 < 12 ⇔
⇔ 3x – 4x < 12 + 9 – 2 ⇔
⇔ – x < 19 ⇔ x > – 19 ⇔
⇔ V = {x ∈ � 
 x > – 19}
12
–––
12
3(x – 3) – 2(2x – 1)
––––––––––––––––––
12
2x – 1
––––––
6
x – 3
––––––
4
x < y ⇔ x + a < y + a, ∀a ∈ �
x < y ⇔ ax < ay, se a > 0
x < y ⇔ ax > ay, se a < 0
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3. O menor número inteiro que satisfaz a inequação
– � 4 é
a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
RESOLUÇÃO:
– � 4 ⇔ � ⇔
⇔ 8x + 14 – 15x + 27 � 24 ⇔ – 7x � – 17 ⇔
⇔ x � ⇔ x � 2 + 
Assim, o menor número inteiro que satisfaz a inequação é o 3.
Resposta: C
4. Resolva em �:
a) 3 � 2x – 1 < 7
b) x < 3x + 2 � 8
RESOLUÇÃO:
a) 3 � 2x – 1 < 7 ⇔ 3 + 1 � 2x – 1 + 1 < 7 + 1 ⇔
⇔ 4 � 2x < 8 ⇔ 2 � x < 4
V = {x ∈ � 
 2 � x < 4}
b) x < 3x + 2 � 8 ⇔ ⇔ ⇔
⇔ ⇔ ⇔ – 1 < x � 2
V = {x ∈ � 
 – 1 < x � 2}
Respostas:a) V = {x ∈ � 
 2 � x < 4} = [2; 4[
b) V = {x ∈ � 
 – 1 < x � 2} = ]– 1; 2]
4x + 7
–––––––
3
5x – 9
–––––––
2
4x + 7
–––––––
3
5x – 9
–––––––
2
2(4x + 7) – 3(5x – 9)
–––––––––––––––––––
6
24
––––
6
17
––––
7
3
–––
7
� 3x + 2 > x
3x + 2 � 8
� 3x – x > – 2
3x � 8 – 2
� 2x > – 2
3x � 6
� x > – 1
x � 2
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A
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1. Função do 1o. grau
Definição
É a função f : � → �, tal que f(x) = ax + b, com a ∈ �* e b ∈ �.
• Domínio = �
• Contradomínio = Imagem = �
Gráfico
É uma reta não paralela a qual quer um dos eixos do sistema de coor denadas cartesianas. 
A raiz de f é x = e conforme os sinais de a e b podemos ter os seguintes tipos de gráficos:
2. Função do 2o. grau
Definição
É a função f : � → �, tal que f(x) = ax2 + bx + c, com a ∈ �*, b ∈ � e c ∈ �. 
• Domínio = �
• Contradomínio = �
• Conjunto imagem (ver mais adiante)
Raízes reais de f
Se V é o conjunto verdade de f(x) = 0, em �, e Δ = b2 – 4ac, então:
• Δ > 0 ⇒ V = ;
• Δ = 0 ⇒ V = 
• Δ < 0 ⇒V = Ø
– b
––––
a
�–b–��Δ–––––––2a–b+��Δ–––––––2a�
�–b–––––2a�
MÓDULO 11 Funções do 1o. e do 2o. grau
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Gráfico
É sempre uma parábola, com eixo de simetria paralelo ao eixo dos y. Conforme os sinais de a e Δ, podemos ter os seis
seguintes tipos possíveis de gráficos.
Exemplo de uma inequação do 2o. grau
A resolução de uma inequação do 2 .o grau se dá
basicamente em três passos:
• Determinação das raízes da função correspon -
dente;
• Esboço do gráfico;
• Análise do sinal e solução final.
Para ilustrar, vamos resolver a inequação
Inicialmente, devemos deixar um dos lados da
desigualdade igual a zero. Para isto, passamos o 6
negativo, positivo:
Agora, encontramos as raízes da função correspon -
dente:
isto é, resolvemos a equação do 2.o grau
Pela Fórmula de Bhaskara, temos que as raízes são
ou
A função correspondente tem seu coeficiente 
a = 1, que é positivo, logo, a sua parábola tem con -
cavidade para cima. Um esboço seria:
E fazendo a análise de sinal da função, temos:
x2 − 5x ≥ −6
x2 − 5x + 6 ≥ 0
f(x) = x2 − 5x + 6
x2 − 5x + 6 = 0
x = 3x = 2
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24 –
1. Considere as funções f e g, de � em �, definidas por f(x) = 2x – 1 e
g(x) = – x + 5.
a) Represente graficamente f e g, no sistema de ordenadas abaixo.
b) Determine o ponto P, intersecção dos gráficos de f e g.
RESOLUÇÃO:
a)
b) ⇔
Respostas: a) gráficos
b) P(2; 3)
y
x
yy
xx
P (2 ; 3)P (2 ; 3)
5
-1
1
2
5
y = 2x – 1� y = – x + 5
x = 2� y = 3
ou seja, à esquerda de x = 2 e à direita de x = 3, a função
assume valores positivos, enquanto entre 2 e 3, ela
assume valores negativos; já nos pontos x = 2 e 
x = 3, a função se anula. Como estamos resolvendo a
inequação
ou seja, buscamos os valores de x que tornam a função
ou maior ou igual a zero, pela análise do sinal, temos que
são aqueles tais que
ou
Portanto, a solução final da inequação inicial é
x2 − 5x + 6 ≥ 0
x ≤ 2 x ≥ 3
S = {x ∈ � 
 x ≤ 2 ou x ≥ 3}
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2. Dada uma função afim f(x) = ax + b, e conhecendo-se f(–1) = 7 e
f(4) = 2, determinar a lei de formação dessa função.
RESOLUÇÃO:
I) Se f(–1) = 7, temos –a + b = 7
II) Se f(4) = 2, temos 4a + b = 2
III)
Assim, a lei de formação dessa função é f(x) = –x + 6
3. Considere a função f: � → �, definida por f(x) = x2 – 2x – 3.
Obtenha f(– 2), f(– 1), f(0), f(1), f(2), f(3) e f(4) e esboce o gráfico de f no
sistema de coordenadas cartesianas.
RESOLUÇÃO:
f(– 2) = 5, f(– 1) = 0, f(0) = – 3, f(1) = – 4, f(2) = – 3, f(3) = 0, f(4) = 5.
4. Esboce o gráfico da função definida, em �, por 
f(x) = – + 2x + 6.
RESOLUÇÃO:
f(x) = 0 € – + 2x + 6 = 0 € x2 – 4x – 12 = 0 € x = – 2 ou x = 6
Além disso, f(0) = 6, f(2) = 8 e f(4) = 6.
Localizando os pontos (– 2; 0), (0; 6), (2; 8), (4; 6) e (6; 0), obtém-se:
x2
–––
2
x2
–––
2
�–a + b = 74a + b = 2 ⇔ �
a – b = –7
4a + b = 2
⇔ �a = –1b = 6
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26 –
1. O gráfico da função definida em � por f(x) = x3 – 4x2 + x + 6 está
esboçado a seguir
Obtenha o conjunto solução, em �, das sentenças
a) f(x) = 0 b) f(x) > 0 c) f(x) � 0
RESOLUÇÃO:
Analisando o gráfico apresentado concluímos que
a) V = {– 1; 2; 3}
b) V = {x ∈ � 
 – 1 < x < 2 ou x > 3}
c) V = {x ∈ � 
 x � – 1 ou 2 � x � 3}
-1 0 2 3
x
6
y
Definição
Chama-se inequação (de si gual dade) do 2.o grau, na variável real x, toda sentença que pode
ser reduzida a uma das formas: ax2 + bx + c > 0 ou ax2 + bx + c � 0 ou ax2 + bx + c < 0 ou 
ax2 + bx + c � 0, com a, b, c ∈ � e a � 0.
Resolução
Resolver, em �, uma inequação do 2.o grau é determinar todos os va lores da variável x que tornam
a sentença verdadeira.
Sendo y = f(x) = ax2 + bx + c (a � 0), podemos analisar a variação de sinais da função e chegar à
solução da se guinte maneira:
1.o) Determinar as raízes reais de f, marcando esses valores no eixo x, das abscissas.
2.o) Esboçar o gráfico que repre senta f (parábola) passando por es ses pontos.
3 .o) Assinalar no eixo x os valores que satisfazem à sentença. Se a função não admitir raízes reais, então 
f(x) > 0 ∀x ∈ � para a > 0 ou f(x) < 0 ∀x ∈ � para a < 0.
Exemplo
O conjunto solução da inequação x2 + 2x – 8 � 0, em �, é V = {x ∈ � 
 – 4 � x � 2}, pois, sendo f(x) = x2 + 2x – 8,
temos:
1.o) As raízes de f são x1 = – 4 e x2 = 2. Como a > 0 (a = 1), então a parábola tem a “concavidade” vol ta da para cima.
2.o) O esboço do gráfico de f é:
3.o) Para – 4 � x � 2, temos f(x) � 0.
MÓDULO 12 Inequações do 2o. grau
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Resolver, em �, as inequações de 2 a 5.
2. x2 – 7x + 6 � 0
RESOLUÇÃO:
Raízes: 1 e 6
x2 – 7x + 6 � 0 ⇔ 1 � x � 6
V = {x ∈ � 
 1 � x � 6}
3. –x2 – x + 2 < 0
RESOLUÇÃO:
Raízes: – 2 e 1
– x2 – x + 2 < 0 ⇔ x < – 2 ou x > 1
V = {x ∈ � 
 x < – 2 ou x > 1}
4. x2 + 4 > 0
RESOLUÇÃO:
Raízes: não tem raiz real
x2 + 4 > 0
V = �
5. x2 – 6x + 9 ≤ 0
RESOLUÇÃO:
Raízes: 3
x2 – 6x + 9 ≤ 0
V = {3} 
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28 –
1. Sabendo que, para a � 0, f(x) = ax2 + bx + c = a(x – x1) (x – x2),
sendo x1 e x2 as raízes (ou zeros) da função f, fatore em �:
a) f(x) = 2x2 – 14x + 24
b) g(x) = 3x2 – 24x + 48
c) h(x) = x2 + x + 1
RESOLUÇÃO:
a) As raízes de f(x) = 2x2 – 14x + 24 são x1 = 3 e x2 = 4.
Assim, f(x) = 2(x – 3)(x – 4).
b) As raízes de g(x) = 3x2 – 24x + 48 são x1 = 4 e x2 = 4.
Assim, g(x) = 3(x – 4)(x – 4) = 3(x – 4)2.
c) Não existe a fatoração, em �, de h(x) = x2 + x + 1, pois:
Δ = 12 – 4 . 1 . 1 = – 3 � 0 e, assim, as raízes de h(x) não são
números reais.
1. Fatoração
Se x1 e x2 são os zeros reais (raízes) de 
f(x) = ax2 + bx + c (a � 0), então:
• Δ > 0 ⇒ f(x) = a(x – x1) . (x – x2)
• Δ = 0 ⇒ f(x) = a(x – x1) . (x – x1) = a(x – x1)
2
• Δ < 0 ⇒ não existe fatoração em �.
Observe que para a � 0 o trinô mio 
f(x) = ax2 + bx + c é tal que
f(x) = a�x2 + x + �= a . �x2 – � �x + � =
= a . [x2 –(x1 + x2)x + x1 . x2] =
= a[x2 – x1 . x – x2 . x + x1 . x2] =
= a . [x . (x – x1) – x2 . (x – x1)] =
= a . (x – x1) (x – x2)
Exemplos
1. Fatorar o trinômio: f(x) = 2x2 – 9x + 4
Resolução
As raízes de f são x1 = e
x2 = , isto é, x1 = 4 e x2 = .
Portanto
f(x) = 2x2 – 9x + 4 ⇔ f(x) = 2(x – 4) . �x – � ⇔
⇔ f(x) = (x – 4) . (2x – 1)
2. Fatorar o trinômio: f(x) = 4x2 – 12x + 9
Resolução
As raízes de f são 
x1 = x2 = =
Portanto, f(x) = 4x2 – 12x + 9 =
= 4 . �x – ��x – � =
= 4�x – �
2
= 22 �x – �
2
=
=�2�x– ��
2
=(2x– 3)2
3. Fatorar o trinômio f(x) = 3x2 + 8x + 6.
Resolução
Como Δ = 82 – 4 . 3 . 6 =
= 64 – 72 = – 8 < 0, concluímos que não existe,
em �, a fatoração de f(x) = 3x2 + 8x + 6.
c––a
b––a
c––a
– b––––a
12 ± 0–––––––
8
3––2
3––2
9 + 7––––––
4
9 – 7–––––
4
1––
2
1––
2
3––2
3––2
3––2
3
––
2
MÓDULO 13 Fatoração do Trinômio do 2o. grau
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2. A equação da parábola cujo gráfico está represen tado abaixo é:
a) y = x2 – 2x – 3 b) y = x2 – x – 
c) y = 3x2 – 6x – 9 d) y = 4x2 – 8x – 12
e) y = x2 – x – 
RESOLUÇÃO:
I) y = f(x) = a(x – x1) (x – x2)
II) x1 = – 1 e x2 = 3 (do gráfico)
III) f(1) = – 3 (do gráfico)
De (I), (II) e (III), resulta:
a . (1 – (– 1)) (1 – 3) = – 3 ⇔ – 4a = – 3 ⇔ a = 
Portanto, y = f(x) = (x + 1) (x – 3) = (x2 – 2x – 3) =
= x2 – x – .
Resposta: B
3. No sistema de coordenadas cartesianas, o gráfico da função 
f: � → �, definida por f(x) = ax2 + bx + c ( a ≠ 0) tangencia o eixo das
abscissas no ponto P(–2; 0) e intercepta o eixo das ordenadas em 
Q(0; 16). O valor de f(1) é
a) 20b) 32 c) 36
d) 40 e) 64
RESOLUÇÃO:
Sendo x1 = – 2 e x2 = – 2 as raízes de f(x), temos:
f(x) = a(x – x1)(x – x2) = a(x + 2)(x + 2) = a(x + 2)
2
f(0) = 16 ⇒ a(22) = 16 ⇔ a = 4.
Então, f(x) = 4(x + 2)2 e f(1) = 4(1 + 2)2 = 4 . 9 = 36
Resposta: C
3
–––
4
3
–––
2
9
–––
4
1
–––
4
1
–––
2
3
–––
4
3
––
4
3
––
4
3
––
4
3
––
4
3
––
2
9
––
4
y
16
-2 x
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30 –
4. (FUVEST) – A trajetória de um projétil, lançado da beira de um
penhasco sobre um terreno plano e horizontal, é parte de uma parábola
com eixo de simetria vertical, como ilustrado na figura. O ponto P sobre
o terreno, pé da perpendicular traçada a partir do ponto ocupado pelo
projétil, percorre 30m desde o instante do lançamento até o instante
em que o projétil atinge o solo. A altura máxima do projétil, de 200m
acima do terreno, é atingida no instante em que a distância percorrida
por P, a partir do instante do lançamento, é de 10 m. Quantos metros
acima do terreno estava o projétil quando foi lançado? 
a) 60 b) 90 c) 120 d) 150 e) 180 
RESOLUÇÃO:
O enunciado sugere o gráfico, em que c é a altura do penhas co, em
metros.
A equação da parábola é do tipo 
y = a(x – 30)(x + 10), pois as raízes são – 10 e 30.
Como para x = 10, y = 200, temos:
200 = a(10 – 30)(10 + 10) ⇔ a = – e a equação da trajetória fica
y = – (x – 30)(x + 10) = – x2 + 10x + 150
Para x = 0, temos: c = y = – . 02 + 10 . 0 + 150 ⇔ c = 150
Resposta: D
1
–––
2
1
–––
2
1
–––
2
1
–––
2
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1 Resolver, em �, a inequação � 0
RESOLUÇÃO:
� 0 ⇒ x – 1 � 0 ⇒ x � 1
f(x) = x2 – x – 6
x2 – x – 6
–––––––––––
x – 1
x2 – x – 6
––––––––––
x – 1
Definição
Inequações-produto são senten ças na variável real x,
que podem ser reduzidas a uma das formas: 
f(x) . g(x) > 0 ou f(x) . g(x) � 0 ou
f(x) . g(x) < 0 ou f(x) . g(x) � 0
No caso das inequações-quo ciente, ao invés de 
f(x) . g(x), temos , com g(x) � 0.
Resolução
Para resolver esses tipos de sen tenças, pode-se
analisar isolada men te a variação de sinais de f e g. Isso é
feito interpretando-se o esboço do grá fico de cada uma.
Em seguida, cons trói-se um quadro de sinais atra vés do
qual se obtém a resposta.
Como o produto e o quociente de dois números reais
não nulos têm o mesmo sinal, convém salientar que as
inequações-quociente podem ser re sol vidas usando-se
uma das se guin tes equivalências:
Exemplos
1.o) � 0 ⇔ (x + 1) . (x – 3) � 0 e x � 3 ⇔
⇔ x � – 1 ou x > 3, pois o grá fico de 
f(x) = (x + 1) . (x – 3) é do tipo:
2 .o) � 0 ⇔ (x2 – 4x + 3).(x – 2) � 0 e x � 2
Esboçando-se o gráfico de f(x) = x2 – 4x + 3, resulta:
Esboçando-se o gráfico de g(x) = x – 2, resulta:
Construindo o quadro de sinais, temos:
O conjunto verdade, em �, da ine quação é, portanto,
V = {x ∈ � 
 x � 1 ou 2 < x � 3}
f(x)
–––––
g(x)
f(x)
––––– > 0 ⇔ f(x) . g(x) > 0
g(x)
f(x)
––––– � 0 ⇔ f(x) . g(x) � 0 e g(x) � 0
g(x)
f(x)
––––– < 0 ⇔ f(x) . g(x) < 0
g(x)
f(x)
––––– � 0 ⇔ f(x) . g(x) � 0 e g(x) � 0
g(x)
x + 1
––––––
x – 3
x2 – 4x + 3
––––––––––––
x – 2
MÓDULO 14 Inequações – Produto e Quociente
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32 –
g(x) = x – 1
V = {x ∈ � 
 – 2 � x � 1 ou x � 3}
2. Resolver em �, a inequação (x – 1)(x2 – 3x + 2) � 0 
RESOLUÇÃO:
1) f(x) = x – 1
2) g(x) = x2 – 3x + 2
3) 
V = {x ∈ � 
 x = 1 ou x > 2} 
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3. Resolvendo, em �, a inequação � 2, obtém-se como solução 
o conjunto
a) �x ∈ � 
 x � 	 b) �x ∈ � 
 x � 	
c) {x ∈ � 
 x < 0} d) �x ∈ � 
 0 � x � 	
e) �x ∈ � 
 x � 0 ou x � 	
RESOLUÇÃO:
� 2 ⇔ – 2 � 0 ⇔ � 0 ⇔
⇔ (1 – 2x)x � 0 e x � 0 ⇔ x � 0 ou x � , pois o gráfico de 
f(x) = (1 – 2x)x, x ≠ 0 é do tipo
Resposta: E
4. (MACKENZIE) – A função f(x) = tem como
domínio o con junto:
a) S = {x ∈ � / − 3 � x � − 2 ou 1 � x � 3}
b) S = {x ∈ � / − 3 � x � − 2 ou 1 � x � 3}
c) S = {x ∈ � / − 3 � x � − 2 ou 1 � x � 3}
d) S = {x ∈ � / − 2 � x � − 1 ou 1 � x � 3}
e) S = {x ∈ � / − 2 � x � − 1 ou 1 � x � 3}
RESOLUÇÃO
I) Se S for o domínio de f, então:
S = x ∈ � 
 � 0
II) O gráfico da função g(x) = 9 – x2 é do tipo:
III) O gráfico da função h(x) = x2 + x – 2 é do tipo:
IV) Quadro de sinais:
V) � 0 ⇔ {x ∈ � 
 – 3 � x � – 2 ou 1 � x � 3} = S
Resposta: B
1
–––
x
1
–––
2
1
–––
2
1
–––
2
1
–––
2
1
–––
x
1
–––
x
1 – 2x
–––––––
x
1
–––
2
y
x
0
1
2
9 – x2
––––––––––
x2 + x – 2
� 9 – x
2
––––––––––
x2 + x – 2 	
-3 3
y
x
-2 1
y
x
g
h
g/h
-3 -2 1 3
x
9 – x2
–––––––––
x2 + x – 2
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34 –
1. Vértice da Parábola
Vértice é o ponto V � ; �.
Eixo de simetria da parábola
Eixo de simetria é a reta de equação x = .
2. Demonstração
Toda parábola pode ser usada como representação geo métrica de alguma função na forma f(x) = ax2 + bx + c, que é
chamada de função do segundo grau. Toda função do segundo grau pode possuir a concavidade voltada para cima, e
consequentemente um ponto de mínimo, ou a concavidade voltada para baixo, e consequentemente um ponto de
máximo. Esse ponto de mínimo (ou de máximo) é chamado de vértice da parábola.
Seja V o vértice de uma parábola e (xv, yv) suas coordenadas, as fórmulas usadas para encontrar essas coordenadas
são:
Para demonstrar essas fórmulas, é necessário conhecer uma outra técnica que também pode ser usada pra
encontrar as coordenadas do vértice.
Coordenadas do vértice
Observe os pontos em destaque, vértice e raízes, na figura a seguir.
Perceba que a coordenada x do vértice (xv) fica no
ponto médio do segmento entre as raízes da parábola,
portanto, para encontrar a coordenada xv, podemos calcular
a média aritmética entre as raízes da função:
Note também que a imagem da função aplicada no
ponto xv é justamente yv, ou seja, f(xv) = yv.
Tendo essas informações como base, podemos
realizar alguns cálculos simples para encontrar as fórmulas
usadas para calcular xv e yv.
– b
–––––
2a
– Δ
–––––
4a
– b
–––––
2a
– b
xv = –––––
2a
– �
yv = –––––
4a
MÓDULO 15 Conjunto imagem da 
Função do 2o. Grau e Sinal das Raízes
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Demonstrações das fórmulas
Dada a função f(x) = ax2 + bx + c, podemos usar a
fórmula de Bháskara para determinar as fórmulas de xv e
yv. Sabendo que as raízes de uma função do segundo
grau podem ser encontradas da seguinte maneira:
Logo,
Lembre-se de que:
Podemos, então, substituir os valores de x1 e x2 para
encontrar:
xv = 
xv = 
xv =
xv = 
xv = . 
xv = 
Que é justamente a fórmula usada para determinar
xv. A fórmula usada para determinar yv pode ser obtida
ao encontrar a imagem da função no ponto xv:
f(x) = ax2 + bx + c
yv = f(xv) = a(xv)
2 + b(xv) + c
Substituindo o valor de xv, temos:
yv = a� �
2
+ b � � + c
yv = – + c
yv = – + c
Para finalizar, basta fazer o procedimento adequado
de adição (e subtração) de frações. Esse procedimento
depende do mínimo múltiplo comum.
yv = – + c
yv = – + 
yv = 
yv = 
yv = 
yv = –
Conjunto Imagem de f(x) = ax2 + bx + c (a � 0)
Im(f) = �y ∈ � 
 y � 	, se a > 0.
ou
Im(f) = �y ∈ � 
 y � 	, se a < 0.
2. Sinal das Raízes da Equação 
ax2 + bx + c = 0 (a � 0)
Lembrando que se x1 e x2 são raízes da equação do
segundo grau ax2 + bx + c = 0, então:
e ,
temos, para Δ = b2 – 4ac:
Δ � 0
• x1 > 0 e x2 > 0 ⇔ � P > 0
S > 0
Δ � 0
• x1 < 0 e x2 < 0 ⇔ � P > 0
S < 0
• x1 e x2 com sinais contrários ⇔ P < 0.
– b
–––––
2a
– b
–––––
2a
ab2
–––––
4a2
b2
––––
2a
b2
––––
4a
b2
––––
2a
b2
––––
4a
b2
––––
2a
b2
––––
4a
2b2
––––
4a
4ac
–––––
4a
b2 – 2b2 + 4ac
––––––––––––––
4a
– b2 + 4ac
–––––––––––
4ab2 – 4ac
–––––––––
4a
�
––––
4a
– Δ
–––––
4a
– Δ
–––––
4a
– b
x1 + x2 = S = ––––a
c
x1 . x2 = P = ––a
– b ± �����
x = –––––––––––
2a
– b + �����
x1 = –––––––––––
2a
– b – �����
x2 = –––––––––––
2a
x1 + x2
xV = –––––––––
2
– b + ����� – b – ����� 
–––––––––– + ––––––––––
2a 2a
–––––––––––––––––––––––––
2
– b + ����� – b – ����� 
–––––––––––––––––––
2a
––––––––––––––––––––––
2
– b – b 
––––––––
2a
–––––––––––
2
–2b
–––––
2a
––––––––
2
–2b
–––––
2a
1
–––
2
– b
––––
2a
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36 –
1. Obter o vértice e o conjunto imagem da função 
f: � → � definida por f(x) = x2 – 6x + 5.
RESOLUÇÃO:
I) �xv = = = 3 yv = = = = –4
Assim, o vértice é V = (3; – 4)
II) O conjunto imagem é:
Im(f) = {y ∈ � 
 y � – 4}
2. O conjunto imagem da função f: � → � em que 
f(x) = – 4x2 + 8x + 5 é 
a) [1; + ∞[ b) ]– ∞; 1] c) ]– ∞; 9]
d) [9; + ∞[ e) �
RESOLUÇÃO:
O vértice da parábola que representa f é o ponto 
V ; = ; = (1; 9)
O esboço do gráfico de f é 
O conjunto imagem de f é Im(f) = {y ∈ � 
 y � 9} = ]– ∞; 9]
Resposta: C
� – b––––2a
– �
––––
4a � �
– 8
––––
– 8
– 144
––––––
– 16 �
6
–––
2
– b
––––
2a
–16
––––
4
–((– 6)2 – 4 . 1 . 5)
––––––––––––––––––
4 . 1
–Δ
––––
4a
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3. (ACAFE) – Utilizando-se exatamente 1200 metros de arame,
deseja-se cercar um terreno retangular de modo que a parte do fundo
não seja cercada, pois ele faz divisa com um rio, e que a cerca tenha 
4 fios paralelos de arame. Nessas condições, para cercar a maior área
possível do terreno com o arame disponível, os valores de x e y (em
metros), respectivamente, são:
a) 100 e 100 b) 50 e 200 
c) 125 e 50 d) 75 e 150
RESOLUÇÃO:
Admitindo que A seja a área do terreno retangular, x e y (indicadas
na figura) as medidas de suas dimensões, temos:
⇔
⇒ A(x) = x(300 – 2x) = – 2x2 + 300x
A maior área possível será obtida para xV = = = 75.
Em consequência, y = 300 – 2x = 300 – 2 . 75 = 150.
Resposta: D
4. (FGV) – Uma empresa produz x toneladas mensais de um 
pro du to a um custo mensal dado (em milhares de reais) por 
C(x) = 0,75x2 + 4x + 40. A capacidade máxima de produção é de 
20 toneladas por mês e toda a produção é vendida a um preço de 
25 (milhares de reais) por tonelada. A quantidade em toneladas que deve
ser produzida e vendida por mês para maximizar o lucro mensal é:
a) 12 b) 18 c) 14 d) 20 e) 16
RESOLUÇÃO:
Vendendo cada tonelada a 25 milhares de reais, o lucro da empresa,
também em milhares de reais é dado por
L(x) = 25x – (0,75x2 + 4x + 40) ⇔ L(x) = – 0,75x2 + 21x – 40
O lucro será máximo quando x = – ⇔ x = 14
Resposta: C
Rio
x
y
x
� 4 . (2x + y) = 1200A = x . y �
2x + y = 300
A = xy
– b
––––
2a
– 300
–––––
– 4
(+21)
––––––––––
2 . (–0,75)
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38 –
1. Primeiros Conceitos
Conceitos primitivos
Se A é um conjunto e x é um elemento,
Exemplo
Seja A o conjunto dos números naturais maiores que
3 e menores que 11 e seja B o conjunto formado pelos
elementos de A que são pares. Represente os conjuntos
A e B, sim bolicamente:
I) enumerando, um a um, os seus elementos;
A = { 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
B = { 4, 6, 8, 10 }
II) caracterizando seus ele men tos por uma
propriedade;
A = { x ∈ � 
 3 < x < 11 }
B = { x ∈ A 
 x é par }
III) construindo diagramas de Venn-Euler.
Conjunto Vazio
Se, para TODO x, tem-se x ∉ A, diz-se que A é o
CONJUNTO VAZIO. Usa-se o símbolo Ø para indicar o
con junto vazio.
Exemplo
Ø = {x : x é um número inteiro e 3x + 1 = 2}
2. Subconjunto ou Parte
Definição
Sejam A e B dois conjuntos. Se todo elemento de A
é também ele mento de B, dizemos que A é um
SUBCONJUNTO ou PARTE de B e indicamos por A � B.
Em símbolos:
Exemplo
{ 1; 3 } � { 1; 2; 3 }
Consequências
I) ∀A, A � A
II) ∀A, Ø � A
Exemplo
{ 5; 6 } � { 5; 6 }
Ø � { 5; 6 }
3. Igualdade de Conjuntos
Definição
Sejam A e B dois conjuntos. Dize mos que A é igual a
B e in dicamos por A = B se, e somente se, A é
subconjunto de B e B é também subconjunto de A.
Em símbolos:
Exemplo
{ 2, 2, 2, 4 } = { 4, 2 }, pois { 2, 2, 2, 4 } � { 4, 2 } e
{ 4, 2 } � { 2, 2, 2, 4 }
Propriedades da inclusão
I) Reflexiva
∀A, A � A
II) Antissimétrica
∀A, ∀B, A � B e B � A ⇒ A = B
III)Transitiva
∀A,∀B, ∀C, A � B e B � C ⇒ A � C
Propriedades da igualdade
I) Reflexiva
∀A, A = A
II) Simétrica
∀A, ∀B; A = B ⇒ B = A
III)Transitiva
∀A, ∀B, ∀C; A = B e B = C ⇒ A = C
“x ∈ A” significa “x é elemento de A”
“x ∉ A” significa “x não é elemento de A”
A = Ø ⇔ ∀x, x ∉ A
A � B ⇔ (∀x), (x ∈ A x ∈ B)
A � B ⇔ (�x), (x ∈ A e x ∉ B)
A = B ⇔ A � B e B � A
A � B ⇔ A � B ou B � A
MÓDULO 1 Definição e Propriedades de Conjuntos
Álgebra FRENTE 2
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4. Características Gerais dos Conjuntos
Se A é um conjunto e x é um ele mento, então:
5. Conjunto das Partes de um Conjunto
Definição
Dado um conjunto A, podemos cons truir um novo
conjunto formado por todos os subconjuntos (partes) de
A. Esse novo conjunto chama-se CONJUNTO DOS
SUBCONJUNTOS (ou das partes) de A e é indicado por
�(A).
Em símbolos:
Exemplo
A = { 1, 2, 3 }
�(A) = { Ø, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1, 2 },
{ 1, 3 }, { 2, 3 }, A }
Teorema
Se A tem k elementos, então �(A) tem 2k elementos.
6. Exemplo de Utilização de Símbolos da
Linguagem dos Conjuntos.
Um plano α “passa” por uma das faces do cubo
ABCDEFGH.
A partir da figura anterior, podemos descrever as
características geométricas por frases ou símbolos,
como:
• O ponto B não é ponto da reta FE ou B ∉
↔
FE.
• A reta FE está contida no plano α ou 
↔
FE � α. 
• Uma reta suporte da aresta BC ou 
↔
BC � �BC. 
Alguns símbolos da linguagem dos Conjuntos que
foram utilizados no resumo teórico, estão na tabela a
seguir:
• ∀A, A ∉ A
• ∀A, A � A
• ∀A, Ø � A
• ∀x, x ∉ Ø
• ∀x, x � {x}
• ∀A, A � {A}
• Ø � {Ø}
�(A) = { x 	 x � A }
x ∈ �(A) ⇔ x � A
Símbolo Lê-se como
∀ qualquer que seja
 tal que
Ø conjunto vazio
∃x existe ao menos um
�∃x não existe x
∴ portanto
∈ pertence
∉ não pertence
� está contido
� não está contido
� contém
� não contém
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1. Seja A = {1; 3; 5; 6; 7}, coloque (V) ou (F) conforme as sentenças
sejam verdadeiras ou falsas:
I) 3 ∈ A II) 2 ∉ A III) 9 ∈ A
IV) 4 ∉ A V) {1; 3} � A VI) {1; 4; 3} � A
VII) A � A VIII) Ø � A
RESOLUÇÃO:
I) V II) V III) F IV) V
V) V VI) V VII) V VIII) F
2. Considere o conjunto A = {1; 2; 3; {3; 4}, 5} e assinale a alternativa
correta.
a) 4 ∈ A b) {4} � A c) {3; 4} � A
d) {{3; 4}; 5} � A e) Ø ∈ A
RESOLUÇÃO:
São elementos de A: os números 1, 2, 3, 5 e o conjunto {3, 4}. 
Assim, são verdadeiras as seguintes afirmações:
1 ∈ A, 2 ∈ A, 3 ∈ A, {3, 4} ∈ A e 5 ∈ A.
Também é verdadeira a afirmação {{3; 4}; 5} � A, pois {3; 4} ∈ A e 
5 ∈ A.
Resposta: D
3. Considere os conjuntos A = {a; b} e B = {a; b; c}. Escreva o conjunto
das partes de A e o conjunto das partes de B.
RESOLUÇÃO:
P(A) = {Ø, {a}, {b}, {a; b}}
P(B) = {Ø, {a}, {b}, {c}, {a; b}, {a; c}, {b; c}, {a; b; c}}
4. Sabendo-se que um conjunto A possui 256 subconjuntos, quantos
elementos possui o conjunto A? 
a) 4 b) 8 c) 16 d) 20 e) 32
RESOLUÇÃO:
Se n é o número de elementos do conjunto A, então 2n é o número
de subconjuntos de A. Assim, sendo:
2n = 256 ⇔ 2n = 28 ⇔ n = 8
Resposta: 8 elementos
 
5. Coloque (V) ou (F) conforme as sentenças sejam verdadeiras ou
falsas:
I) {1, 2} = {2, 1}
II) {1, 2, 2, 2} = {1, 1, 1, 2}
III) A � B e B � A ⇔ A = B
IV) A � B e B � C ⇒ A � C
RESOLUÇÃO:
I) V II) V III) V IV) V
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1. Reunião ou União
Dados dois conjuntos A e B, cha ma-se REUNIÃO (ou
UNIÃO) de A e B, e se indica por A � B, ao conjunto
formado pelos elementos de A ou de B.
Em símbolos
Exemplo
{ 2, 3 } � { 4, 5, 6 } = { 2, 3, 4, 5, 6 }
2. Intersecção
Dados dois conjuntos A e B, cha ma-se
INTERSECÇÃO de A e B, e se indica por A 	 B, ao
conjunto for mado pelos elementos comuns de A e de B.
Em símbolos
Exemplo
{ 2, 3, 4 } 	 { 3, 5 } = { 3 }
Observação
Se A 	 B = Ø, dizemos que A e B são CONJUNTOS
DISJUNTOS.
3. Subtração
Dados dois conjuntos A e B, cha ma-se DIFERENÇA
entre A e B, e se indica por A – B, ao conjunto formado
pelos elementos que são de A e não são de B.
Em símbolos
O conjunto A – B é também co nhe cido por
CONJUNTO COM PLE MENTAR de B em relação a A e,
para tal, usa-se a notação �AB. 
Portanto:
�
AB = A – B = { x 
 x ∈ A e x ∉ B}
Exemplo
A = { 0, 1, 2, 3 } e B = { 0, 2 }
�
AB = A – B = { 1, 3 } e
�
BA = B – A = Ø
Se X � S, indicaremos por –X o CONJUNTO
COMPLEMENTAR de X em relação a S. 
Portanto:
Exemplo
Seja S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
A 
 B = { x 
 x ∈ A ou x ∈ B }
A � B = { x 
 x ∈ A e x ∈ B }
A – B = { x 
 x ∈ A e x ∉ B }
X � S ⇒ X–– = S – X = �SX
MÓDULO 2 Operações entre Conjuntos
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Então:
A = { 2, 3, 4 } ⇒ –A = { 0, 1, 5, 6 }
Propriedades
Sejam A e B subconjuntos de S e A
–
= �SA e B
–
= �SB
I) �AA = Ø
II) �AØ = A
III) A � B
–——
= A
–
� B
–
IV) A � B
–——
= A
–
� B
–
V) A � A
–
= S
VI) A � A
–
= Ø
VII) A
==
= A
VIII) A � B ⇔ B– � A–
4. Número de Elementos de um Conjunto Finito
Seja A um conjunto com um nú mero finito de
elementos. Indicare mos por n(A) o número de elementos
de A. Sejam A e B dois conjuntos quais quer. Valem as
seguintes pro prie da des:
• n(A – B) = n(A) – n(A � B)
• B � A ⇒ n(A – B) = n(A) – n(B)
• n(A � B) = n(A) + n(B) – n(A � B)
• A � B = Ø ⇒ n(A � B) = n(A) + n(B)
• n(A) = k ⇒ n [ �(A) ] = 2k
5. A Lógica e as Operações entre Conjuntos.
O conectivo e e a conjunção
A conjunção de duas proposições p e q é uma nova
proposição cujo valor lógico é verdadeiro (V) quando 
p e q são verdadeiras e falsa (F) nos demais casos. A
conjunção é representada pelo símbolo p � q.
Exemplos
a) �
p � q: A neve é branca e 2 > 5
b) �
p � q: 2 + 5 ≠ 1 + 7 e 3 é primo
O conectivo ou e a disjunção
A disjunção de duas proposições p e q é uma nova
proposição cujo valor lógico é V quando pelo menos uma
das proposições é V e é F quando as duas são falsas. A
disjunção é representada símbolo p � q.
Exemplos
a) �
p � q: A neve é branca ou 2 > 5
b) �
p � q: Roma é a capital da França ou Paris é a
capital da Itália.
p: A neve é branca
q: 2 > 5 
p q p � q
V F F
p: 2 + 5 ≠ 1 + 7
q: 3 é primo 
p q p � q
V V V
P q p � q
V V V
V F V
F V V
F F F
p: A neve é branca
q: 2 > 5 
p q p � q
V F V
p: Roma é a capital da França
q: Paris é a capital da Itália. 
p q p � q
F F F
P q p � q
V V V
V F F
F V F
F F F
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1. Dados os conjuntos A = {2; 3; 4}, B = {3; 4; 5; 6} e 
S = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, determine:
a) A � B b) A 	 B c) A – B
d) B – A e) �SA
f) o Diagrama de Venn-Euler re pre sentando a situa ção destes con -
juntos.
RESOLUÇÃO:
a) A � B = {2; 3; 4; 5; 6} 
b) A 	 B = {3; 4}
c) A – B = {2}
d) B – A = {5; 6}
e) �SA = S – A = {1; 5; 6; 7}
f)
2. A Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios
(Pnad) é uma pesquisa feita anualmente pelo IBGE,
exceto nos anos em que há Censo. Em um ano,
foram entrevistados 363 mil jovens para fazer um levantamento sobre
suas atividades profissionais e/ou acadêmicas. Os resultados da
pesquisa estão indicados no gráfico.
Disponível em: http://noticias.uol.com.br. Acesso em 20 ago. 2014.
De acordo com as informações dadas, o número de jovens entrevis -
tados que trabalha é
a) 114 708. b) 164 076. c) 213 444.
d) 284 592. e) 291 582.
RESOLUÇÃO:
Foram entrevistados 363 mil jovens, e, de acordo com os dados do
gráfico, temos:
1) O percentual de jovens entrevistados que trabalham é de:
45,2% + 13,6% = 58,8%
2) O número de jovens entrevistados que trabalham é:
58,8% de 363 000 = . 363 000 =
= 0,588 . 363 000 = 213 444
Resposta: C
58,8
–––––
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3. (FUVEST) – Dentre os candidatos que fizeram provas de
matemática, português e inglês num concurso, 20 obtiveram nota
mínima para aprovação nas três disciplinas. Além disso, sabe-se que:
I. 14 não obtiveram nota mínima em matemática;
II. 16 não obtiveram nota mínima em português;
III. 12 não obtiveram nota mínima em inglês;
IV. 5 não obtiveram nota mínima em matemática e em português;
V. 3 não obtiveram nota mínima em matemática e em inglês;
VI. 7 não obtiveram nota mínima em português e em inglês e
VII.2 não obtiveram nota mínima em português, mate mática e inglês.
A quantidade de candidatos que participaram do concurso foi
a) 44. b) 46. c) 47. d) 48. e) 49.
RESOLUÇÃO:
Sejam NM, NP e NI os conjuntos dos candidatos que não obtiveram
nota mínima para aprovação respectiva mente em Matemática,
Português e Inglês.
Com os dados apresentados é possível construir o seguinte
diagrama de Venn.
Desta forma, o número total de candidatos foi
8 + 3 + 6 + 1 + 2 + 5 + 4 + 20 = 49
Resposta: E
4. (PUC) – Numa comunidade constituída de 1800 pessoas,
há três programas de TV favoritos: Esporte (E), Novela (N) e
Humorismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas
assistem a esses programas.
Observando esses dados, verifica-se que o número de pessoas da
comunidade que não assistem a nenhum dos três programas é:
a) 200 b) os dados do problema estão incorretos
c) 900 d) 100
e) 180
RESOLUÇÃO:
Representando os dados da tabela num diagrama, tem-se:
Assim, para o total de 1800 pessoas, o número de pessoas que não
assistem a nenhum dos três programas é 
x = 1800 – 100 – 300 – 200 – 120 – 80 – 700 – 100 = 200
Resposta: A
5. Em uma sala de 50 alunos 25 adoram basquete, dos quais 13 são
homens. Dos 8 alunos para os quais o basquete é indiferente, 5 são
mulheres e 7 outras mulheres odeiam basquete. O número de homens
que odeiam basquete é
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13
RESOLUÇÃO:
Resposta: B
Programas E N H E e N N e H E e H E, N e H
Número de 
Telespectadores
400 1220 1080 220 800 180 100
Adoram Odeiam Indiferentes Totais
Homens 13 10 3 26
Mulheres 12 7 5 24
Totais 25 17 8 50
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1. Produto Cartesiano
Par ordenado
O conceito de PAR ORDE NADO é PRIMITIVO. A
cada elemento a e a cada elemento b está associado um
único elemento indicado por (a; b) e chamado PAR
ORDENADO, de tal for ma que se tenha:
(a; b) = (c; d) ⇔ a = c e b = d
Dado o PAR ORDENADO (a; b), diz-se que a é o
PRIMEIRO ELEMEN TO e b é o SEGUNDO ELEMENTO
do par ordenado (a; b).
Produto cartesiano
Dados dois conjuntos A e B, cha ma-se PRODUTO
CARTESIANO de A por B, e indica-se por A x B, ao con -
 junto formado por todos os PA RES OR DENA DOS (x; y),
com x ∈ A e y ∈ B.
Em símbolos
Se A = Ø ou B = Ø, por definição, A x B = Ø e
reciprocamente.
Em símbolos
Nota: Se A = B, em vez de A x A, escre veremos A2.
Representação gráfica do produto cartesiano
O PRODUTO CARTESIANO de dois conjuntos não
vazios pode ser representado graficamente por 
DIA GRAMAS DE FLECHAS ou por DIA GRAMAS
CARTESIANOS.
Por exemplo, se A = {1, 2, 3} e B = {2, 3}, então 
A x B = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}, cujas re -
pre sentações podem ser dadas por:
I) Diagrama de flechas
Consideramos de um lado o con junto A e de outro de
B e repre sen tamos cada PAR OR DENADO por uma
FLECHA, ado tan do a seguinte con venção: a flecha parte
do pri meiro elemento do parordenado e chega ao
segundo. Assim:
II) Diagrama cartesiano
Tomamos dois eixos ortogonais e representamos
sobre o eixo horizon tal os elementos de A e sobre o eixo
vertical os elementos de B.
Traçamos, por estes elementos, paralelas aos eixos
considerados.
As intersecções dessas para le las representam, assim,
os pares or de nados de A x B.
Número de elementos de um produto
cartesiano
Teorema: Se A tem m ele mentos e B tem k
elementos, então A x B tem m.k elementos.
2. Relação Binária
Definição
Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação
binária de A em B a qualquer subconjunto f de A x B.
Então:
Representação gráfica de uma relação
Sendo a RELAÇÃO BINÁRIA um conjunto de pares
ordenados, pode mos representá-lo graficamente co mo já
o fizemos com o produto cartesiano.
Exemplo
Se A = �, B = � e f = {(x ; y) ∈ �2 
 y = x + 2}, então
f = {...(0,2), (– 2,0), (1,3), (– 1,1), ... } � �2 e o gráfico de f no
A × B = { (x; y) 
 x ∈ A e y ∈ B }
A = Ø ou B = Ø , A x B = Ø
f é uma RELAÇÃO BINÁRIA 
DE A EM B ⇔ f � A x B
MÓDULO 3 Produto Cartesiano, Relação Binária e Função
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plano euclidiano (cartesiano) é uma reta que passa por
dois desses pontos.
3. Funções
Definições
Seja f uma RELAÇÃO BINÁRIA DE A EM B. Diz-se
que f é uma APLI CAÇÃO DE A EM B ou que f é uma
FUNÇÃO DEFINIDA EM A COM VA LO RES EM B se, e
somente se:
I) TODO x ∈ A se relaciona com ALGUM y ∈ B.
II) CADA x ∈ A que se relaciona, relaciona-se com
um ÚNICO y ∈ B.
Se (x, y) ∈ f, então y se chama IMAGEM DE x PELA
APLICAÇÃO f ou, ainda, VALOR DE f EM x e, em
ambos os casos, indicaremos este fato por y = f(x) [lê-se:
“y é imagem de x por f” ou “y é valor de f em x”].
Seja f a função definida em �* com valores em 
�*, tal que y = , o seja, f(x) = .
Portanto:
• f = �(x; y) ∈ �* x �* 
 y = 	
• a imagem de 2 por f é f(2) = 
• a imagem de – 1 por f é f(– 1) = = – 1
• a imagem de x + 3 por f é f(x + 3) = 
• f(x + h) = 
Domínio, contradomínio e imagem de uma função
Se f é uma APLICAÇÃO ou FUN ÇÃO de A em B,
então:
I) O conjunto de partida A passa a ser chamado
DOMÍNIO DA APLI CAÇÃO f e é indicado por D(f).
Assim: D(f) = A
II) O conjunto de chegada B será chamado
CONTRADOMÍNIO DA APLI CAÇÃO f e é denotado por
CD(f). 
Logo, CD(f) = B.
III)O conjunto de todos os ele mentos y de B para os
quais existe, pelo menos, um elemento x de A, tal que
f(x) = y, é denominado IMAGEM DA APLICAÇÃO f e é in -
dicado por lm(f). 
Assim:
Pela própria definição de Im(f) de cor re que:
Sejam A = {1, 2, 3} e B = {0, 2, 4, 6, 8} e seja f a
função de A em B, tal que y = 2x, ou seja, f(x) = 2x.
Então:
• f = {(x; y) ∈ AxB 
 y = 2x} =
= {(x, f(x)) ∈ AxB 
 f(x) = 2x}
f = {(1, 2), (2, 4), (3, 6)}
1––x
1––x
1––x
1––2
1
––––
– 1
1––––––x + 3
1––––––x + h
Im(f) = {y ∈ B 
 ∃ x ∈ A 
tal que y = f(x)}
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• D(f) = A = {1, 2, 3}
• CD(f) = B = {0, 2, 4, 6, 8}
• Im(f) = {2, 4, 6} � CD(f)
Notações
Indicaremos uma APLICAÇÃO f DE DOMÍNIO A e
CONTRADOMÍNIO B por uma das notações:
f
f : A → B ou A → B
Quando não houver dúvidas so bre o DOMÍNIO, o
CONTRADO MÍ NIO e a definição de f(x), num ele mento
qual quer x do DOMÍNIO de f, usaremos a notação: 
f : x → f(x): [lê-se “f associa a cada x ∈ D(f) o ele mento 
f(x) ∈ CD(f)”].
Representação gráfica de uma função
I) Diagramas de flechas
Uma RELAÇÃO f DE A EM B é uma FUNÇÃO se, e
somente se, cada elemento x de A se relaciona com um
único elemento y de B, o que equivale dizer que: “de cada
ele mento x de A parte uma única flecha”.
II) Diagrama cartesiano (Gráfico)
Seja f uma RELAÇÃO BINÁRIA DE A � � EM � e
consideremos o seu GRÁFICO CARTESIANO.
Então, f é uma FUNÇÃO DEFI NIDA em A COM
VALORES EM � se, e somente se, toda reta paralela ao
eixo Oy, que passa por um ponto de abscissa x ∈ A,
“corta” o gráfico f num único ponto.
Portanto, a RELAÇÃO f de A � � EM � NÃO é
FUNÇÃO se, e somente se, existe, pelo menos, uma reta
paralela ao eixo Oy que passa por um ponto de abscissa
x ∈ A e tal que ou intercepta o gráfico em mais de um
ponto, ou não o intercepta.
A = {x ∈ � 
 – 3 � x � 6}
f: A → � é função
A = {x ∈ � 
 0 � x � 3}
f não é função
A = {x ∈ � 
 – 3 � x � 6}
f não é função
A = {x ∈ � 
 – 2 � x � 8}
f não é função
III)Domínio e imagem através do gráfico
Um outro problema comum é o da determinação do
DOMÍNIO e da IMAGEM DE UMA FUNÇÃO f pelo
gráfico. De acordo com as de fi nições e comentários feitos
até aqui, dado o gráfico de uma FUN ÇÃO f, temos:
• D(f) é conjunto de todas as abs cissas dos pontos
do eixo tais que as retas verticais por eles tra ça das
interceptam o gráfico de f.
• Im(f) é o conjunto de todas as ordenadas dos
pontos do eixo Oy tais que as retas horizontais por eles
traçadas interceptam o grá fico de f.
Em outras palavras:
• D(f) é o conjunto de todos os pontos do eixo Ox
que são ob tidos pelas projeções dos pon tos do
gráfico de f sobre o referido eixo.
• Im(f) é conjunto de todos os pontos do eixo Oy
que são ob tidos pelas projeções dos pon tos do
gráfico de f sobre o re fe rido eixo.
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Exemplos de obtenção de Domínio e imagem a partir dos gráficos.
As funções f, g, h estão representadas nos gráficos abaixo.
a) 
D(f) = [1; 8] 
Im(f) = [2; 5]
b)
D(g) = [– 5; 3[ � ]3; 5] 
Im(g) = [– 3; 2]
c)
D(h) = [– 4; 6] 
Im(h) = [– 3; 4]
1. Considerando os conjuntos A = {2; 4} e B = {1; 3; 5}, represente:
a) A × B, enumerando, um a um, seus elementos;
b) A × B por meio de um diagrama de flechas e de um grá fico car -
tesiano;
c) por meio de um diagrama de flechas, a relação binária 
h = {(x; y) ∈ A × B 
 y < x};
d) por meio de um diagrama de flechas, a relação binária 
g = {(x; y) ∈ A × B 
 y = x + 3};
e) por meio de um diagrama de flechas, a relação binária 
f = {(x; y) ∈ A × B 
 y = x + 1}.
RESOLUÇÃO:
Atenção, professor: a intenção da questão é apresentar produto
car tesia no, relações e funções.
a) A × B = {(2; 1), (2; 3), (2; 5), (4; 1), (4; 3), (4; 5)}
b)
c)
h = {(2; 1), (4; 1), (4; 3)} 
d)
g = {(2; 5)} 
e)
f = {(2; 3), (4; 5)} 
f é uma função de A em B
D(f) = A
CD(f) = B
Im(f) = {3; 5}
2. Considere os conjuntos A = {1; 2; 3} e B = {0; 1; 2; 3; 4}. Verifique
se as relações binárias seguintes são ou não funções de A em B. Em
caso afirmativo, determine seu domínio, contradomínio e o conjunto
imagem:
a) f = {(x; y) ∈ A × B 
 y = 2x – 1}
b) g = {(x; y) ∈ A × B 
 y = (x – 2)2}
RESOLUÇÃO:
a) y = f(x) = 2x – 1 
f(1) = 2 . 1 – 1 = 1
f(2) = 2 . 2 – 1 = 3
f(3) = 2 . 3 – 1 = 5 
Não é função
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– 49
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 
b) y = g(x) = (x – 2)2
g(1) = (1 – 2)2 = 1
g(2) = (2 – 2)2 = 0
g(3) = (3 – 2)2 = 1
É função
D(g) = A = {1; 2; 3}, CD(g) = B = {0; 1; 2; 3; 4}
e Im(g) = {0; 1}
3. Para cada caso a seguir responda se o gráfico representa ou não
uma função de [2; 5] em � e, em caso afirmativo, escreva o conjunto
imagem.
RESOLUÇÃO:
O gráfico da figura (I) não representa função de [2; 5] em �, pois
entre 2 e 3 não há pontos correspondentes do gráfico.
O gráfico da figura (II) não representa uma função, pois no intervalo 
[2; 5] existem pontos que se associam mais que uma vez.
O gráfico da figura (III) representa uma função e nesta função o
conjunto imagem é o intervalo [3; 5].
Respostas: I) não representa função.
II) não representa função.
III) representa função de imagem [3; 5].
4. Seja f: � → � a função que a cada número real associa a soma do
seu quadrado com o seu quíntuplo.
a) f(1) =
b) f(3) =
c) f(10) =
d) f(x) =
RESOLUÇÃO:
a) f(1) = 12 + 5 . 1 = 6
b) f(3) = 32 + 5 . 3 = 24
c) f(10) = 102 + 5 . 10 = 150
d) f(x) = x2 + 5x
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