Resumo Física II | Ondas mecânicas Interferência de ondas, condições de contorno de uma corda, princípio da superposição e ondas estacionárias

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Interferência de ondas, condições de contorno de uma
corda, princípio da superposição e ondas estacionárias.
RESUMO | FISICA II
ONDAS
MECÂNICAS
CONDIÇÕES DE CONTORNO DA CORDA
INTERFERÊNCIA DE ONDAS
Em várias situações podemos ter mais de uma onda andando no mesmo meio no
mesmo instante de tempo. Esse fenômeno é comum a qualquer tipo de onda, seja
transversal, longitudinal, eletromagnética, etc.
Interferência é o que acontece quando duas ou mais ondas passam pela mesma
região ao mesmo tempo. Analisaremos aqui o que ocorre quando duas ondas se
interferem e assim conseguiremos generalizar para qualquer número de ondas.
Corda com extremidade fixa
Corda com extremidade livre
As condições de contorno da corda são, basicamente, duas condições que
precisamos analisar antes de observar a interferência de ondas. Aqui específico
para o caso de ondas em cordas. Dependendo da condição a reflexão da onda será
diferente:
1.
2.
PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO
O princípio da superposição diz que quando duas ondas se superpõem, o
deslocamento resultando em qualquer ponto do m eio em qualquer instante é obtido
somando-se os deslocamentos individuais que cada ponto deveria ter caso não
existisse o outro deslocamento.
(I)
(II)
A equação acima resume o princípio da superposição: se temos uma onda 1 descrita
pela função I, tenho a onda 2 descrita pela função II e se as duas ondas estão se
deslocando simultaneamente na mesma corda, o deslocamento resultante em cada
ponto da corda e em cada instante de tempo é a soma dos deslocamentos
individuais de cada uma das ondas.
Observe que: os x são os mesmos e os t são os mesmos, mesma posição, mesmo
intervalo de tempo!
Temos representado ao lado dois pulsos
diferentes se propagando na mesma corda, um
representado pela linha azul e outro pela linha
verde. A curva vermelha nos dá a soma dos
deslocamentos individuais dos dois pulsos.
Observamos, agora, um instante de tempo
posterior em que os dois pulsos se aproximam.
Aqui começamos a ver o fenômeno de
interferência dos dois pulsos. Na região central
temos a soma do deslocamento de cada um
dos pulsos separadamente naquele ponto
formando o deslocamento final observado.
A superposição vai aumentando a medida que
um pulso começa a "passar por cima" do outro,
somando seus deslocamentos no ponto. Essa
resultante de deslocamento vai ficando maior
até atingir o máximo da superposição.
O máximo de superposição é dado pela soma
da amplitude do pulso azul com a amplitude do
pulso verde.
Após isso, a superposição dos pulsos voltam a
diminuir pois o pulso verde vai ultrapassando o
pulso azul e eles continuam seguindo cada um
na sua direção.
Chega um determinado instante de tempo que 
 os pulsos param de se sobrepor e voltam a
situação semelhante a inicial.
t = 0
t = 1
t = 2
t = 3
t = 6
ONDAS ESTACIONÁRIAS
Podemos partir de uma situação diferente, em
que os pulsos são invertidos. Então temos
novamente um pulso representado na cor azul e
outro pulso, invertido, representado na cor
verde. A curva em vermelho indica o pulso
resultante.
Os pulsos vão se aproximando um do outro e a
pedida em que começam a passar pela mesma
região da corda, começam a se superpor, porém
de uma maneira diferente da anterior.
Observe que por um pulso ser negativo e o outro
ser positivo, a medida que eles vão se
superpondo, ao invés de aumentar o tamanho do
pulso resultante, vai ocorrendo uma diminuição
do mesmo.
Essa característica vai se repetindo até que no
ponto máximo de cada pulso individual o pulso
resultante é nulo, igual a 0. 
ATENÇÃO: O pulso resultante se anula apenas
nesse caso em que consideramos os dois pulsos
com a mesma ampliture. Se um pulso tiver uma
amplitude diferente do outro o pulso resultante
será menor, mas não nulo!
t = 0
t = 1
t = 2
t = 3
Fizemos a demonstração do fenômeno de interferência com pulsos, mas isso se
estenderá para o estudo de ondas (sequência de pulsos).
Uma onda estacionária é um padrão de onda que parece estar parado, sem se mover
ao longo de uma determinada direção. Ela é formada quando duas ondas idênticas
de mesma amplitude e frequência, chamadas de onda incidente e onda refletida, se
encontram e interferem entre si. Ela ocorre quando as cristas e vales das ondas se
encontram, criando regiões fixas de movimento e falta de movimento.
Conseguimos, pela função de onda, ver que
a onda está se deslocando no sentido
negativo do eixo x (o sinal dentro dos
parênteses é positivo, vimos isso
anteriormente). 
O gráfico mostra a situação da onda em um
instante t=0. Vamos supor que a
extremidade em x=0 é fixa! Ou seja quando
a onda chega ali ela é refletida de maneira
invertida . É como se somássemos o valor π
ao ângulo do cosseno na função.
Agora, no segundo gráfico, conseguimos
observar a onda em azul, que nada mais é
que a onda vermelha depois de chegar na
extremidade fixa e inverter seu sentido!
Como vimos, o fenômeno de interferência
de ondas irá ocorrer entre a onda vermelha
e sua própria reflexão e em instantes de
tempo diferentes teremos situações
diferentes. A onda resultante está
representada na cor rosa.
Em t=0, o somatório de deslocamento das
ondas, por serem simétricas, é 0! Ou seja,
vemos a corda parada, sem se deslocar
verticalmente.
Em t=1, o somatório deixa de ser nulo
devido a posição x das ondas. O máximo da
onda em vermelho e da onda em azul são
deslocados um para mais perto do outro.
Se deixarmos o tempo ir passando,
observaremos que, num dado ponto da
corda temos uma variação no
deslocamento vertical variando do ponto
máximo de superposição ao ponto mínimo
de superposição, que nesse caso particulár
é 2A e 0 respectivamente por ser uma onda
simétrica.
t = 0
t = 1
Lembre-se: os máximos e mínimos não se deslocam ao longo do eixo x, eles estão
sempre no mesmo ponto. Ao mesmo tempo que as duas ondas, azul e vermelha, se
deslocam ao longo da corda, a onda resultante da superposição das duas NÃO se
desloca ao longo da corda.
Sabemos que:
cos (a) - cos (b) = - 2 sen (a+b) sen (a-b)
Como as amplitudes são iguais, conseguimos
colocá-la em evidência e usar essa identidade
trigonométrica.
SEARS, F. W.; ZEMANSKY, M. W.; YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física I e Física II.
14ª. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008
REFERÊNCIAS DE ESTUDO:
A onda que forma a onda estacionária é
chamada de onda progressiva, porque ela se
desloca na direção x.
Note que: Em alguns pontos o deslocamente é
sempre 0 (nós, distanciados de λ/2), em outros
o deslocamento máximo é A e em outros o
deslocamento máximo é 2A (ventres,
distanciados também de λ/2) . Ou seja, pontos
diferentes da corda tem amplitudes de
deslocamento diferentes, diferente das ondas
progressivass.
Queremos, agora, descrever matematicamente o comportamento das ondas
estacionárias, como fizemos com as ondas progressivas.
Já vimos que o deslocamento resultante na
superposição de ondas é a soma dos
deslocamentos das duas ondas no mesmo
ponto e no mesmo instante. Vimos também a
equação das duas ondas que são superpostas.
 
ATENÇÃO: Aqui estamos fazendo para as duas
ondas que possuem mesma amplitude A,
mesma frequência angular e, necessariamente,
mesmo comprimento de onda, já que estão na
mesma velocidade.
A equação que encontramos nos dá o
deslocamento de cada ponto da corda em cada
instante de tempo quando as duas ondas
percorrem a onda simultaneamente.
Esse resultado é completamente diferente das
funções de cada uma das ondas
separadamente.
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