APS2 - MTD NUM - 2021-2

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A verdade sempre prevalece. 
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 SOCIEDADE UNIVERSITÁRIA REDENTOR 
CENTRO UNIVERSITÁRIO REDENTOR 
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA 
Aluno(a): Matrícula: Turma: EME04A 
Profº.: Guilherme Nunes Lima Avaliação/Valor: Nota: 
 
 
Disciplina: 
 
Métodos Numéricos 
Data: 
APS – 40 pontos 
05/11/2021 
 
1) Determine as raízes reais de f(x) = -0,5x² + 2,5x + 4,5: 
 
(a) Graficamente. 
(b) Usando a fórmula quadrática. 
(c) Usando três iterações do método da bissecção para determinar a maior raiz. 
 
Use as aproximações iniciais xl = 5 e xu = 10. 
 
Calcule o erro estimado εa e o erro verdadeiro εt depois de cada iteração. 
 
 
 
2) Determine a raiz real de f(x) = −25 + 82x − 90x² + 44x³ − 8x4 + 0,7x5 : 
 
(a) Graficamente. 
(b) Usando o método da bissecção para determinar a raiz até εs = 10%. Use as aproximações 
iniciais xl = 0,5 e xu = 1,0. 
(c) Faça os mesmos cálculos que em (b) mas use o método da falsa posição e εs = 0,2 %. 
 
 
 
3) Você está projetando um tanque esférico para armazenar a água para uma pequena vila em 
uma região em desenvolvimento. 
 
O volume de líquido que ele armazena pode ser calculado por onde V é o volume [m³], 
 
h é a profundidade da água no tanque [m], R é o raio do tanque [m]. 
 
Se R = 3 m, até que profundidade o tanque deve estar cheio para que ele armazene 30 m³? 
 
Use três iterações do método da falsa posição para determinar sua resposta. 
Determine o erro relativo aproximado depois de cada iteração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A verdade sempre prevalece. 
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4) Você está projetando um tanque esférico para armazenar a água para uma pequena vila em 
uma região em desenvolvimento. 
 
O volume de líquido que ele armazena pode ser calculado por onde V é o 
 
volume [m³], h é a profundidade da água no tanque [m], R é o raio do tanque [m]. 
 
Se R = 3 m, até que profundidade o tanque deve estar cheio para que ele armazene 30 m³? 
 
Use três iterações do método de Newton-Raphson para determinar sua resposta. Determine o erro 
relativo aproximado depois de cada iteração. Observe que uma aproximação inicial R será sempre 
convergente. 
 
5) Dada a fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
6) Dado 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Use os seguintes métodos para achar o máximo de: 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Considere a seguinte função: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A verdade sempre prevalece. 
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9) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Considere os dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) Construa um histograma a partir dos dados do exercício 10. Use uma variação de 7,5 a 11,5 
com intervalos de 0,5. 
 
12) Considere os dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A verdade sempre prevalece. 
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13) Use regressão por mínimos quadrados para ajustar uma reta a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) Use regressão por mínimos quadrados para ajustar uma reta a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15) Faça uma estimativa do logaritmo comum de 10 usando interpolação linear. 
 
(a) Interpole entre log 8 = 0,9030900 e log 12 = 1,0791812. 
(b) Interpole entre log 9 = 0,9542425 e log 11 = 1,0413927. 
 
Para cada interpolação, calcule o erro relativo porcentual baseado no valor verdadeiro. 
 
16) Ajuste um polinômio interpolador de Newton de segundo grau para fazer uma estimativa de 
log 10 usando os dados do Problema 15 em x = 8, 9 e 11. Calcule o erro relativo porcentual 
verdadeiro. 
 
17) Ajuste um polinômio interpolador de Newton de terceiro grau usando os dados do Problema 
15. 
 
18) Repita os Problemas 15 a 17 usando polinômios interpoladores de Lagrange. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A verdade sempre prevalece. 
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19) Calcule a seguinte integral: 
 
 
(a) analiticamente; 
(b) por uma única aplicação da regra do trapézio; 
(c) por aplicações múltiplas da regra do trapézio, com n = 2 e 4; 
(d) uma única aplicação da regra 1/3 de Simpson; 
 (e) aplicação múltipla da regra 1/3 de Simpson, com n = 4; 
(f) uma única aplicação da regra 3/8 de Simpson; e 
(g) aplicação múltipla da regra de Simpson, com n = 5. 
 
Para cada estimativa numérica de (b) a (g), determine o erro relativo porcentual com base em 
(a). 
 
 
20) Calcule a seguinte integral: 
 
 
(a) analiticamente; 
(b) por uma única aplicação da regra do trapézio; 
(c) por aplicações múltiplas da regra do trapézio, com n = 2 e 4; 
(d) uma única aplicação da regra 1/3 de Simpson; 
(e) aplicação da regra 3/8 de Simpson; 
(f) regra de boole. 
 
Para cada estimativa numérica de (b) a (f), determine o erro relativo porcentual com base em 
(a). 
 
21) Integre a seguinte função analiticamente e usando a regra do trapézio, com n = 1, 2, 3 e 4: 
 
 
 
 
 
 
22) Integre a seguinte função tanto analiticamente quanto usando as regras de Simpson com n = 4 
e 5. Discuta os resultados.