ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINOS 005

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CIÊNCIA E SELEÇÃO DOS MATERIAS
CAPÍTULO 2 – ESTRUTURA - PROCESSAMENTO - PROPRIEDADE
RECORDANDO
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CAPÍTULO 3 – ESTRUTURA ATÔMICA E LIGAÇÕES INTERATÔMICA
LIGAÇÃO METÁLICA
 Nos metais, existe uma grande quantidade de elétrons quase 
livres, os elétrons de condução, que não estão presos a 
nenhum átomo em particular.
 Estes elétrons são compartilhados pelos átomos, formando 
uma nuvem eletrônica, responsável pela alta condutividade 
elétrica e térmica destes materiais.
 A ligação metálica é não direcional, semelhante à ligação 
iônica.
 Na ligação metálica há compartilhamento de elétrons, 
semelhante à ligação covalente, mas o compartilhamento 
envolve todos os átomos.
 As energias de ligação também são da ordem de centenas de 
kJ/mol.
LIGAÇÕES PRIMÁRIAS OU FORTES
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CAPÍTULO 3 – ESTRUTURA ATÔMICA E LIGAÇÕES INTERATÔMICA
LIGAÇÃO METÁLICA
Átomo+elétrons das 
camadas mais internas
Elétrons de valência
LIGAÇÕES PRIMÁRIAS OU FORTES
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
ARRANJAMENTO ATÔMICO
Por quê estudar?
 As propriedades de alguns materiais estão diretamente 
associadas à sua estrutura cristalina (ex: magnésio e 
berílio que têm a mesma estrutura se deformam muito 
menos que ouro e prata que têm outra estrutura 
cristalina)
 Explica a diferença significativa nas propriedades de 
materiais cristalinos e não cristalinos de mesma 
composição (materiais cerâmicos e poliméricos não-
cristalinos tendem a ser opticamente transparentes 
enquanto cristalinos não).
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
ARRANJAMENTO ATÔMICO
 Os materiais sólidos podem ser 
classificados em cristalinos ou não-
cristalinos de acordo com a regularidade 
na qual os átomos ou íons se dispõem em 
relação à seus vizinhos.
 Material cristalino é aquele no qual os 
átomos encontram-se ordenados sobre 
longas distâncias atômicas formando uma 
estrutura tridimensional que se chama de 
rede cristalina.
 Todos os metais, muitas cerâmicas e alguns 
polímeros formam estruturas cristalinas sob 
condições normais de solidificação.
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
ARRANJAMENTO ATÔMICO
 Nos materiais não-cristalinos ou amorfos não existe 
ordem de longo alcance na disposição dos átomos.
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
ARRANJAMENTO ATÔMICO
Organização dos átomos
na matéria cristalina
Organização dos átomos
na matéria amorfa
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
ARRANJAMENTO ATÔMICO
 As propriedades dos materiais 
sólidos cristalinos depende da 
estrutura cristalina, ou seja, da 
maneira na qual os átomos, 
moléculas ou íons estão 
espacialmente dispostos.
 Há um número grande de 
diferentes estruturas cristalinas, 
desde estruturas simples 
exibidas pelos metais até 
estruturas mais complexas 
exibidas pelos cerâmicos e 
polímeros.
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
CÉLULA UNITÁRIA
 É a unidade básica repetitiva 
da estrutura tridimensional
 Consiste num pequeno 
grupos de átomos que 
formam um modelo 
repetitivo ao longo da 
estrutura tridimensional 
(analogia com elos da 
corrente).
 A célula unitária é escolhida 
para representar a simetria 
da estrutura cristalina.
 Célula unitária do Silício e a 
superfície de um cristal ideal
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
CÉLULA UNITÁRIA
Célula Unitária
Os átomos são representados 
como esferas rígidas
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
SISTEMAS CRISTALINOS E REDES DE BRAVAIS
 Só existem 7 tipos de 
células unitárias que 
preenchem totalmente o 
espaço.
 Os sistemas cristalinos 
são apenas entidades 
geométricas. Quando 
posicionamos átomos 
dentro destes sistemas 
formamos redes (ou 
estruturas) cristalinas.
 Existem apenas 14 redes 
que permitem preencher o 
espaço 3D.
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
SISTEMAS CRISTALINOS E REDES DE BRAVAIS
 Nós vamos estudar apenas as redes mais simples:
 a cúbica simples - cs (sc - simple cubic)
 a cúbica de corpo centrado - ccc (bcc - body centered cubic)
 a cúbica de face centrada - cfc (fcc - face centered cubic)
 a hexagonal compacta - hc (hcp - hexagonal close packed)
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
SISTEMA CÚBICO SIMPLES
 Apenas 1/8 de cada átomo 
cai dentro da célula 
unitária, ou seja, a célula 
unitária contém apenas 1 
átomo.
 Essa é a razão que os 
metais não cristalizam na 
estrutura cúbica simples 
(devido ao baixo 
empacotamento atômico)
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
SISTEMA CÚBICO SIMPLES
 Número de coordenação corresponde ao 
número de átomos vizinhos mais próximos
 Para a estrutura cúbica simples o número de 
coordenação é 6.
NÚMERO DE COORDENAÇÃO PARA CS
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SISTEMA CÚBICO SIMPLES
RELAÇÃO ENTRE O RAIO ATÔMICO (R) E 
O PARÂMETRO DE REDE (a) PARA O 
SITEMA CÚBICO SIMPLES
No sistema cúbico 
simples os 
átomos se tocam 
na face
 a= 2 R
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SISTEMA CÚBICO SIMPLES
FATOR DE EMPACOTAMENTO ATÔMICO PARA 
CÚBICO SIMPLES
Fator de empacotamento= Número de átomos x Volume dos átomos
Volume da célula unitária
Vol. dos átomos=número de átomos x Vol. Esfera (4R3/3)
Vol. Da célula=Vol. Cubo = a3
Fator de empacotamento = 4R3/3
(2R) 3
O FATOR DE EMPACOTAMENTO PARA A EST. CÚBICA SIMPLES É O,52http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1d/Cubic-body-centered.png
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
SISTEMA CÚBICO FACE CENTRADO 
 Número de coordenação 
corresponde ao número de 
átomos vizinhos mais próximo
 Para a estrutura cfc o 
número de coordenação é 
12.
NÚMERO DE COORDENAÇÃO PARA CFC
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
SISTEMA CÚBICO FACE CENTRADO 
 O PARÂMETRO DE REDE E O RAIO 
ATÔMICO ESTÃO RELACIONADOS 
PARA ESTE SISTEMA POR:
acfc = 4R/(2)
1/2 =2R . (2)1/2
 Na est. cfc cada átomo dos vertices 
do cubo é dividido com 8 células 
unitátias
 Já os átomos das faces pertencem 
somente a duas células unitárias
 Há 4 átomos por célula unitária na 
estrutura cfc
 É o sistema mais comum encontrado 
nos metais (Al, Fe, Cu, Pb, Ag, Ni,...)
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
SISTEMA CÚBICO FACE CENTRADO 
Demonstre que acfc = 2R (2)
1/2
EXERCÍCIO N° 1
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
SISTEMA CÚBICO FACE CENTRADO 
Demonstre que acfc = 2R (2)
1/2
 a2 + a2 = (4R)2
2 a2 = 16 R2
a2 = 16/2 R2
a2 = 8 R2
a= 2R (2)1/2
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SISTEMA CÚBICO FACE CENTRADO 
DEMOSTRAR QUE O FATOR DE 
EMPACOTAMENTO PARA A EST. 
CFC É O,74
EXERCÍCIO N° 2
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SISTEMA CÚBICO FACE CENTRADO 
FATOR DE EMPACOTAMENTO ATÔMICO PARA CFC
Fator de empacotamento= Número de átomos x Volume dos átomos
Volume da célula unitária
Vol. dos átomos=número de átomos x Vol. Esfera (4R3/3)
Vol. Da célula=Vol. Cubo = a3
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
SISTEMA CÚBICO FACE CENTRADO 
DEMONSTRE QUE O FATOR DE EMPACOTAMENTO 
PARA A SISTEMA CFC É O,74
Fator de empacotamento= Número de átomos X Volume dos átomos
Volume da célula unitária
Vol. dos átomos=Vol. Esfera= 4R3/3
Vol. Da célula=Vol. Cubo = a3
Fator de empacotamento = 4 X 4R3/3
(2R (2)1/2))3
Fator de empacotamento = 16/3R3
16 R3(2)1/2
Fator de empacotamento = 0,74
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SISTEMA CÚBICO FACE CENTRADO 
CÁLCULO DA DENSIDADE TEÓRICA
O conhecimento da estrutura cristalina permite o 
cálculo da densidade ():
 = nA
VcNA
n= número de átomos da célula unitária
A= peso atômico
Vc= Volume da célula unitária
NA= Número de Avogadro (6,02 x 1023 átomos/mol)
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SISTEMA CÚBICO FACE CENTRADO 
CÁLCULO DA DENSIDADE
 Cobre têm raio atômico de 0,128nm (1,28 Å), uma estrutura 
cfc, um peso atômico de 63,5 g/mol. Calcule a densidade do 
cobre.
 Resposta: 8,89 g/cm3
 Valor da densidade medida= 8,94 g/cm3
EXERCÍCIO N° 3
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SISTEMA CÚBICO CORPO CENTRADO 
NÚMERO DE COORDENAÇÃO IGUAL A 8
1/8 de átomo
1 átomo inteiro
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SISTEMA CÚBICO CORPO CENTRADO 
 O PARÂMETRO DE REDE E O RAIO ATÔMICO 
ESTÃO RELACIONADOS NESTE SISTEMA POR:
 Na est. ccc cada átomo dos vertices do 
cubo é dividido com 8 células unitárias
 Já o átomo do centro pertence somente a 
sua célula unitária.
 Cada átomo de uma estrutura ccc é 
cercado por 8 átomos adjacentes
 Há 2 átomos por célula unitária na 
estrutura ccc
 O Fe, Cr, W cristalizam em ccc
accc= 4R /(3)
1/2
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
SISTEMA CÚBICO CORPO CENTRADO 
 DEMOSTRAR QUE A 
RELAÇÃO ENTRE O RAIO 
ATÔMICO (R) E O 
PARÂMETRO DE REDE (a) 
PARA O SITEMA CCC
accc= 4R/ (3)
1/2
EXERCÍCIO N° 4
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SISTEMA CÚBICO CORPO CENTRADO 
DEMONSTRE QUE O FATOR DE EMPACOTAMENTO 
ATÔMICO PARA CCC É O,68
Fator de empacotamento= Número de átomos x Volume dos átomos
Volume da célula unitária
EXERCÍCIO N° 5
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SISTEMA CÚBICO CORPO CENTRADO 
EXERCÍCIO N° 6
 O ferro ccc têm raio atômico de 0,1241 nm (1,241 Å), um 
peso atômico de 55,85 g/mol. Calcule a densidade do ferro.
 Resposta: g/cm3
 Valor da densidade medida= g/cm3
CÁLCULO DA DENSIDADE
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TABELA RESUMO PARA O SISTEMA CÚBICO
ÁtomosNúmero de Parâmetro Fator de 
por célula coordenação de rede empacotamento
CS 1 6 2R 0,52
CCC 2 8 4R/(3)1/2 0,68
CFC 4 12 4R/(2)1/2 0,74
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SISTEMA HEXAGONAL SIMPLES
 Os metais não cristalizam 
no sistema hexagonal 
simples porque o fator de 
empacotamento é muito 
baixo
 Entretanto, cristais com 
mais de um tipo de átomo 
cristalizam neste sistema
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SISTEMA HEXAGONAL COMPACTA
 O sistema Hexagonal Compacta é 
mais comum nos metais (ex: Mg, 
Zn) 
 Na HC cada átomo de uma dada 
camada está diretamente abaixo 
ou acima dos interstícios 
formados entre as camadas
adjacentes
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SISTEMA HEXAGONAL COMPACTA
 Cada átomo tangencia 3 
átomos da camada de cima, 
6 átomos no seu próprio 
plano e 3 na camada de 
baixo do seu plano. 
 O número de coordenação 
para a estrutura HC é 12.
 Há 6 átomos por célula unitária 
na estrutura HC. Planos basais 
2*((1/6)*6+(1/2))+Internos (3).
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SISTEMA HEXAGONAL COMPACTA
Há 2 parâmetros de rede representando os parâmetros 
Basais (a) e de altura (c)
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
EXERCÍCIO N° 7
SISTEMA HEXAGONAL COMPACTA
DEMONSTRE QUE O FATOR DE EMPACOTAMENTO ATÔMICO PARA HC É O,74
Fator de empacotamento= Número de átomos x Volume dos átomos
Volume da célula unitária
Vol. dos átomos=número de átomos x Vol. Esfera (4R3/3)
Vol. Da célula= 24 R3(2) 1/2
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EXERCÍCIO N° 7
SISTEMA HEXAGONAL COMPACTA
DEMONSTRE QUE O FATOR DE EMPACOTAMENTO ATÔMICO PARA HC É O,74
Fator de empacotamento= Número de átomos x Volume dos átomos
Volume da célula unitária
Vol. dos átomos=número de átomos x Vol. Esfera (4R3/3)
Vol. Da célula= 24 R3(2) 1/2
Fator de empacotamento = 6x4R3/3
24 R3(2) 1/2
o fator de empacotamento é o mesmo da cfc, ou seja, 0,74.
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
EXERCÍCIO N° 8
 O zinco HC têm raio atômico de 0,139 nm (1,241 Å), um 
peso atômico de 65,41 g/mol. Calcule a densidade do zinco.
 Resposta: g/cm3
 Valor da densidade medida= g/cm3
CÁLCULO DA DENSIDADE
SISTEMA HEXAGONAL COMPACTA
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
RAIO ATÔMICO E ESTRUTURA CRISTALINA DE ALGUNS METAIS
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
OS 7 SISTEMAS CRISTALINOS
 Estes sistemas 
incluem todas as 
possíveis geometrias 
de divisão do espaço 
por superfícies planas 
contínuas
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
AS 14 REDES DE BRAVAIS
 Dos 7 sistemas cristalinos 
podemos identificar 14 tipos 
diferentes de células unitárias, 
conhecidas com redes de 
Bravais. Cada uma destas células 
unitárias tem certas 
características que ajudam a 
diferenciá-las das outras células 
unitárias. Além do mais, estas 
características também auxiliam 
na definição das propriedades de 
um material particular.
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AS 14 REDES DE 
BRAVAIS
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
POLIMORFISMO OU ALOTROPIA
 Alguns metais e não-metais podem ter mais de uma 
estrutura cristalina dependendo da temperatura e 
pressão. Esse fenômeno é conhecido como 
polimorfismo.
 Geralmente as transformações polimorficas são 
acompanhadas de mudanças na densidade e mudanças 
de outras propriedades físicas.
 Exemplo de materiais que exibem polimorfismo:
 Ferro
 Titânio
 Carbono (grafite e diamente)
 Etc.
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
ALOTROPIA DO FERRO
 Na temperatura ambiente, o Ferro 
têm estrutura ccc, número de 
coordenação 8, fator de 
empacotamento de 0,68 e um raio 
atômico de 1,241Å.
 A 910°C, o Ferro passa para 
estrutura cfc, número de 
coordenação 12, fator de 
empacotamento de 0,74 e um raio 
atômico de 1,292Å.
 A 1394°C o ferro passa novamente 
para ccc.
ccc
cfc
ccc
Até 910°C
De 910-1394°C
De 1394°C-PF
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
ALOTROPIA DO TITÂNIO
 FASE 
 Existe até 883ºC
 Apresenta estrutura hexagonal compacta
 É mole
 FASE 
 Existe a partir de 883ºC
 Apresenta estrutura ccc
 É dura
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINOCÁLCULO DA VARIAÇÃO DE VOLUME
EXERCÍCIO N° 9
 O ferro passa de ccc para cfc a 910 ºC. Nesta temperatura os raios atômicos são respectivamente 
1,258Å e 1,292Å. Qual a percentagem de variação de volume percentual provocada pela 
mudança de estrutura? 
Vccc= 2a3 Vcfc= a3
 Para o cálculo foi tomar como base 2 células 
unitárias ccc, por isso Vccc= 2a3 uma vez que na 
passagem do sistema ccc para cfc há uma 
contração de volume
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
CÁLCULO DA VARIAÇÃO DE VOLUME
EXERCÍCIO N° 9
 O ferro passa de ccc para cfc a 910 ºC. Nesta temperatura os raios atômicos são respectivamente 
1,258Å e 1,292Å. Qual a percentagem de variação de volume percentual provocada pela 
mudança de estrutura? 
Vccc= 2a3 Vcfc= a3
accc= 4R/ (3)
1/2 acfc = 2R (2)
1/2 
Vccc= 49,1 Å3 Vcfc= 48,7 Å3
V%= 48,7 - 49,1 /48,7 = - 0,8% de variação
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
ISOTROPIA E ANISOTROPIA
 Quando as propriedades de uma substância são 
independestes da direção, ela é chamada de 
ISOTRÓPICA.
 Assim deve-se esperar que um material isotrópico ideal 
tenha a mesma resistência em todas as direções. 
 Ou, se sua resistividade elétrica fosse medida, o mesmo 
valor seria obtido a despeito de como a amostra fosse 
retirada do material. 
 Mas as propriedades físicas dos cristais, em geral, 
dependem fortemente da direção na qual são medidas. 
Isso significa que, basicamente, os cristais, em geral não 
são isotrópicos, porém ANISOTRÓPICOS. 
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
EXEMPLO DE ANISOTROPIA
 No cristal CCC de 
Ferro as direções 
não são 
equivalentes 
porque ao longo 
delas o 
espaçamento entre 
os átomos é 
diferente. 
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
EXEMPLO DE ANISOTROPIA
 Direções diferentes 
propriedades 
diferentes.
 Considerando a 
curva de 
magnetização B-H 
de cristais de ferro.
 B indução 
magnética e H 
campo magnético
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
ISOTROPIA E ANISOTROPIA
 Como a maioria dos metais policristalinos possui uma 
orientação preferencial, eles tendem a ser anisotrópicos, 
a intensidade dessa anisotropia dependendo do grau de 
alinhamento dos cristais.
 os processos de fabricação tendem a alinhar os órgãos, 
de formando o que se chama de textura ou orientação 
preferencial.
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
EXEMPLO DE TEXTURA OU ORIENTAÇÃO PREFERENCIAL
 ASPECTO MAIS 
IMPORTANTE DESTA 
TEXTURA É QUE 
NELA A DIREÇÃO DE 
MAGNETIZAÇÃOMAIS 
FACIL É PARALELA 
AO COMPRIMENTO 
DA CHAPA (B).
 USADO NA 
FABRICAÇÃO DE 
BOBINAS DE 
TRANSFORMADORE
S LIGA Fe-4%Si.
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
DIREÇÕES NOS CRISTAIS
 Quando se lida com materiais cristalinos com freqüência é 
necessário especificar um ponto particular no interior de uma 
célula unitária, uma direção cristalográfica ou algum plano 
cristalográfico de átomos.
 Porque COMO FOI VISTO quando forem correlacionadas 
várias propriedades com a estruturas cristalinas, será 
necessário identificar direções nos cristais, porque muitas 
das propriedades são direcionais.
 Em raios-X e em outros métodos de análise das estruturas 
cristalinas, estas direções que são definidas por índices são 
amplamente empregados.
 Assim foram estabelecidas convenções de identificação 
onde três números ou índices são usados para designar as 
localizações de pontos, as direções e os planos conhecido 
como ÍNDICES DE MILLER. 
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
DIREÇÕES NOS CRISTAIS
 a, b e c definem os eixos de um sistema de coordenadas em 3D. 
Qualquer linha (ou direção) do sistema de coordenadas pode ser 
especificada através de dois pontos: · um deles sempre é tomado como 
sendo a origem do sistema de coordenadas, geralmente (0,0,0) por 
convenção;
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
 O espaço lático é infinito... 
 A escolha de uma origem é completamente arbitrária, uma vez 
que cada ponto do reticulado cristalino idêntico. 
 A designação de pontos, direções e planos específicos fixados 
no espaço absoluto serão alterados caso a origem seja 
mudada, MAS ... 
 todas as designações serão auto-consistentes se partirem da 
origem como uma referência absoluta. 
 Exemplo: Dada uma origem qualquer, haverá sempre uma 
direção [110] definida univocamente, e [110] sempre fará 
exatamente o mesmo ângulo com a direção [100].
DIREÇÕES NOS CRISTAIS
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
DIREÇÕES NOS CRISTAIS
 A unidade de medida nos três eixos é o comprimento da aresta de uma 
célula unitária designado pelo símbolo a na Fig.
 Assim a diagonal do cubo m tem a mesma direção que o vetor t . Os 
componentes do vetor t são 1, 1 e 1 nos eixos x, y e z respectivamente.
 Quais os componentes do vetor n?
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 A unidade de medida nos três eixos é o comprimento da aresta de uma 
célula unitária designado pelo símbolo a na fig.
 Assim a diagonal do cubo m tem a mesma direção que o vetor t . Os 
componentes do vetor t são 1, 1 e 1 nos eixos x, y e z respectivamente.
 Quais os componentes do vetor n?
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
DIREÇÕES NOS CRISTAIS
 Uma direção no sistema 
cúbico é definida pelo 
segmento de reta que liga a 
origem à posição de índices 
(x,y,z).
 A direção é definida pelos 
índices h, k, l, escritos entre 
colchetes=[h,k,l].
 Família de direções: <h,k,l>
EXERCÍCIO N° 10
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
DIREÇÕES NOS CRISTAIS
 Se a subtração der 
negativa, coloca-se 
uma barra sobre o 
número
EXERCÍCIO N° 11
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
DIREÇÕES NOS CRISTAIS
 Quando passa pela origem
EXERCÍCIO N° 12
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
DIREÇÕES NOS CRISTAIS
 Os números devem ser 
divididos ou 
multiplicados por um 
fator comum para dar 
números inteiros
EXERCÍCIO N° 13
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
FAMILIA DAS DIREÇÕES
 Ja foi mostrado que os 
índices de Miller da 
diagonal m como sendo 
[1,1,1]. 
 De q será? [1,¯1,1] *.
 Das demais diagonais do 
cubo [¯1,1, 1] e [¯1,1, 1]*.
 Todas as direções são de 
mesma espécie assim os 
seus indices são 
representados da seguinte 
forma <1,1,1>, significa 
extensivo às quatro 
direções, chamamos familia 
de direções.
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 Ja foi mostrado que os índices de Miller da diagonal m como sendo [1,1,1]. 
 De q será? [1,¯1,1] *.
 Das demais diagonais do cubo u = [1,1, 1¯], e v = [¯1,1, 1]*.
 Todas as direções são de mesma espécie assim os seus indices são 
representados da seguinte forma <1,1,1>, significa extensivo às quatro 
direções, chamamos familia de direções.
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
FAMILIA DAS DIREÇÕES
 A simetria desta estrutura permite que as direções 
equivalentes sejam agrupadas para formar uma família de 
direções:
 <100> para as faces
 <110> para as diagonais das faces
 <111> para a diagonal do cubo
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
[101]
As duas direções pertencem a mesma família?
EXERCÍCIO N° 14
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
 Algumas direções da família de direções <100>
EXERCÍCIO N° 15
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
DIREÇÕES COMPACTAS DO RETICULADO CCC
 No sistema ccc os átomos se 
tocam ao longo da diagonal 
do cubo, que corresponde a 
família de direções <111>
 Então, a direção <111> é a 
de maior empacotamento 
atômico para o sistema ccc
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
DIREÇÕES COMPACTAS DO RETICULADO CFC
 No sistema cfc os átomos se 
tocam ao longo da diagonal 
da face, que corresponde a 
família de direções <110>
 Então, a direção <110> é a 
de maior empacotamento 
atômico para o sistema cfc
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS: Por quê são importantes?
 Para a determinação da estrutura cristalina Os métodos de difração 
medem diretamente a distância entre planos paralelos de pontos do 
reticulado cristalino. Esta informação é usada para determinar os 
parâmetros do reticulado de um cristal. 
 Os métodos de difração também medem os ângulos entre os planos do 
reticulado. Estes são usados para determinar os ângulos interaxiais de um 
cristal. 
 Para a deformação plástica 
 A deformação plástica (permanente) dos metais ocorre pelo deslizamento 
dos átomos, escorregando uns sobre os outros no cristal. Este deslizamento 
tende a acontecer preferencialmente ao longo de planos direções 
específicos do cristal. 
 Para as propriedades de transporte 
 Em certos materiais, a estrutura atômica em determinados planos causa o 
transporte de elétrons e/ou acelera a condução nestes planos, e, 
relativamente, reduz a velocidade em planos distantes destes. 
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
 Os planos cristalográficos também 
são identificados por conjuntos de 
números inteiros, obtidos apartir 
das interseções dos planos com os 
eixos das coordenadas.
 São representados de maneira 
similar às direções
 São representados pelos índices de 
Miller = (hkl)
 Planos paralelos são equivalentes 
tendos os mesmos índices
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
 Os índices de Miller do plano não são proporcionais as suas 
interseções, mas sim à suas reciprocas 1/1, 1/3 e ½, e, por 
definição, os índices de Miller são os menores inteiros que 
possuem a mesma relação que estas recíprocas. Os inteiros 
desejados são 6, 2, 3 . 
 Para o exemplo o índice é (623)
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO São paralelos aos eixos x e z 
(paralelo à face)
 Cortam um eixo (neste 
exemplo: y em 1 e os eixos x 
e z em )
EXERCÍCIO N° 16
 Determinar o índice de Miller do 
plano cristalográfico da representado 
na figura.
PLANOS 
CRISTALOGRÁFICOS
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
PLANOS 
CRISTALOGRÁFICOS
EXERCÍCIO N° 16
EXEMPLO x y z
Interseções  1 
Recíprocas 1/ 
0
1/1
1
1/ 
0
Inteiros
(menores inteiros c/ a 
mesma relação das 
recíprocas)
0 1 0
Índice de Miller (010)
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
EXERCÍCIO N° 17
 São paralelos a um eixo (z)
 Cortam dois eixos (x e y) 
 Determinar o índice de Miller do 
plano cristalográfico da representado 
na figura.
PLANOS 
CRISTALOGRÁFICOS
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1d/Cubic-body-centered.png
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EXERCÍCIO N° 17
EXEMPLO x y z
Interseções 1 1 
Recíprocas 1/ 1
1
1/1
1
1/ 
0
Inteiros
(menores inteiros c/ a 
mesma relação das 
recíprocas)
1 1 0
Índice de Miller (110)
PLANOS 
CRISTALOGRÁFICOS
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EXERCÍCIO N° 18
 Cortam os 3 eixos 
cristalográficos
PLANOS 
CRISTALOGRÁFICOS
 Determinar o índice de Miller do 
plano cristalográfico da representado 
na figura.
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EXERCÍCIO N° 18PLANOS 
CRISTALOGRÁFICOS
EXEMPLO x y z
Interseções 1 1 1
Recíprocas 1/ 1
1
1/1
1
1/ 1
1
Inteiros
(menores inteiros c/ a 
mesma relação das 
recíprocas)
1 1 1
Índice de Miller (111)
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EXERCÍCIO N° 19PLANOS 
CRISTALOGRÁFICOS
 Determinar o índice de Miller do 
plano cristalográfico da representado 
na figura. z
x
y
a b
c Paralelos aos eixos (z e y)
 Corta o eixo (x) em 1/2 
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EXERCÍCIO N° 19PLANOS 
CRISTALOGRÁFICOS
z
x
y
a b
c
EXEMPLO x y z
Interseções 1/2  
Recíprocas 1/½
2
1/
0
1/
0
Inteiros
(menores inteiros c/ a 
mesma relação das 
recíprocas)
2 0 0
Índice de Miller (200)
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EXERCÍCIO N° 20PLANOS 
CRISTALOGRÁFICOS
 Determinar o índice de Miller do 
plano cristalográfico da representado 
na figura.
 Corta o eixo (x) em ½, y 
em 1, e Z em ¾ 
z
x
y
a b
c



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EXERCÍCIO N° 20PLANOS 
CRISTALOGRÁFICOS
z
x
y
a b
c



EXEMPLO x y z
Interseções 1/2 1 3/4
Recíprocas
(valores inversos dos 
inteiros)
1/½
2
1/1
1
1/ ¾
4/3
Inteiros
(menores inteiros c/ a 
mesma relação das 
recíprocas)
6 3 4
Índice de Miller (634)
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CIÊNCIA E SELEÇÃO DOS MATERIAS
CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
EXERCÍCIO N° 21PLANOS 
CRISTALOGRÁFICOS
 Determinar o índice de Miller do 
plano cristalográfico da representado 
na figura.
 Corta os eixos a1 em 1, 
a2 em , a3 em -1, e c em 
1. 
a2
a3
a1
z
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
EXERCÍCIO N° 21PLANOS 
CRISTALOGRÁFICOS
a2
a3
a1
z
EXEMPLO a1 a2 a3 c
Interseções 1  -1 1
Recíprocas
(valores inversos dos inteiros)
1/1
1
1/
0
1/-1
-1
1/1
1
Inteiros
(menores inteiros c/ a mesma 
relação das recíprocas)
1 0 -1 1
Índice de Miller (1011)
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
PLANOS CRISTALINOS
 Planos paralelos são equivalentes tendos os mesmos 
índices
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
FAMÍLIAS DE PLANOS CRISTALINOS
 FAMÍLIA DE PLANOS {110}:É paralelo à um eixo
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
FAMÍLIAS DE PLANOS CRISTALINOS
 FAMÍLIA DE PLANOS {111}: Intercepta os 3 eixos
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
DENSIDADE LINEAR E PLANAR
 Quando se deseja examinar a densidade dos planos 
cristalográficos.
 Para um material específico direções equivalentes possuem 
densidades lineares idênticas – densidade linear.
 O parâmetro correspondente para planos cristalográficos é a 
densidade planar. Planos com mesmos valores de densidade 
planar são equivalentes.
 Densidade Linear
DL= Número de átomos centrados no vetor direção
Comprimento do vetor direção Densidade Planar
DP= Número de átomos no plano 
Área do plano
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
DENSIDADE PLANAR
 Calcular para o Ferro ccc a densidade planar nos 
planos (100) e (111).
EXERCÍCIO N° 22
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 Plano (100) - A T < 912C o Ferro apresenta a estrutura CCC 
(100)
Raio do Ferro R = 0.1241 nm
R
3
34
a =
Adapted from Fig. 3.2(c), Callister 7e.
2D
= Densidade Planar =
a2
1
atoms
2D
= 
nm2
atoms
12.1
m2
atoms
= 1.2 x 1019
1
2
R
3
34area
2D
DENSIDADE PLANAR
EXERCÍCIO N° 22
 Plano (111) 1 atomo no plano/ unid de superficie da célula
33
3
2
2
R
3
16
R
3
42
a3ah2area =







===
atomos no plano
atomos acima do plano
atomos abaixo do plano
ah
2
3
=
a2
1
= = 
nm2
atoms
7.0
m2
atoms
0.70 x 1019
3 2R
3
16
Planar Density =
atoms
2D repeat unit
area
2D repeat unit
DENSIDADE PLANAR
EXERCÍCIO N° 22
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
ARRANJO ATÔMICO NO PLANO CRISTALOGÁFICO
 (a) célula unitária CFC representada por esferas reduzidas mostrando 
o plano (110). (b) Empacotamento atômico de um plano (110) em um 
cristal CFC.
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
ARRANJO ATÔMICO NO PLANO CRISTALOGÁFICO
 (a) célula unitária CCC representada por esferas reduzidas mostrando 
o plano (110). (b) Empacotamento atômico de um plano (110) em um 
cristal CCC.
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
PLANOS NO SISTEMA CÚBICO
 A simetria do sistema cúbico faz com que a família 
de planos tenham o mesmo arranjamento e 
densidade
 Deformação em metais envolve deslizamento de 
planos atômicos. O deslizamento ocorre mais 
facilmente nos planos e direções de maior 
densidade atômica
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
PLANOS DE MAIOR DENSIDADE ATÔMICA NO 
SISTEMA CCC?
 A família de planos {110} no 
sistema ccc é o de maior 
densidade atômica
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
PLANOS DE MAIOR DENSIDADE ATÔMICA NO 
SISTEMA CFC?
 A família de planos {111} no 
sistema cfc é o de maior 
densidade atômica
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
ARRANJO ATÔMICO NO PLANO CRISTALOGÁFICO
 (a) Uma fração de um plano 
compacto de átomos; as 
posições A, B e C estão 
indicadas. (b) A seqüência de 
empilhamento AB para planos 
compactos de átomos. 
PLANOS COMPACTOS
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
ARRANJO ATÔMICO NO PLANO CRISTALOGÁFICO
 Seqüência de empilhamento de 
planos compactos de átomos 
para a estrutura hexagonal 
compacta. 
PLANOS COMPACTOS
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ARRANJO ATÔMICO NO PLANO CRISTALOGÁFICO
PLANOS COMPACTOS
 (a) Seqüência de 
empilhamento de planos 
compactos de átomos 
para a estrutura cúbica 
de face centrada (CFC). 
(b) Um vértice foi 
removido para mostrar a 
relação entre o 
empilhamento de planos 
compactos de átomos e 
a estrutura cristalina 
CFC; o triângulo em 
destaque delineia um 
plano (111) 
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
MONOCRISTAL
 Os monocristais são 
materiais onde a ordem 
atômica se estende, sem 
interrupções, ao longo de 
toda a amostra; sob algumas 
circunstâncias, eles podem 
possuir faces planas e 
formas geométricas 
regulares, como é o caso 
deste monocristal de 
Granada que foi encontrado 
na China. 
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
MATERIAIS POLICRISTALINOS
 Diagramas esquemáticos dos 
vários estágios durante a 
solidificação de um material 
policristalino; os retículos 
quadrados representam células 
unitárias. (a) Pequenos núcleos de 
cristalização (cristalitos). (b) 
Crescimento dos cristalitos; 
também é mostrada a obstrução 
de alguns grãos adjacentes entre 
si. À conclusão da solidificação, 
grãos com formas irregulares 
foram formados. (d) A estrutura 
granular como ela apareceria em 
um microscópio; as linhas escuras 
são os contornos de grãos.
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MATERIAIS POLICRISTALINOS
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MATERIAIS POLICRISTALINOS
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Adapted from Fig. 3.19, 
Callister 7e.
reflections must 
be in phase for 
a detectable signal
Espaço
Entre 
Planos
d
q
l
q
extra 
distance 
travelled 
by wave “2”
Medida do ângulo 
critico, qc, calculo 
computacional do 
espaço planar, d.
Intencidade 
de Raio-X
(no detetor)
q
qc
d =
nl
2 sin qc
RAIO-X PARA DETERMINAR A ESTRUTURACRISTALINA
 Difração de Raio-X por planos de átomos (A-A´e B-B´).
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CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINO
ARRANJO ATÔMICO NO PLANO CRISTALOGÁFICO
 Diagrama esquemático de um 
difratômetro de raios X; T = 
fonte de raios X, S = amostra, C 
= detector e O = eixo ao redor 
do qual giram a amostra e o 
detector.
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PADRÃO DE DIFREÇÃO DE RAIO-X
Adapted from Fig. 3.20, Callister 5e.
(110)
(200)
(211)
z
x
y
a b
c
Diffraction angle 2q
PADRÃO DE DIFRAÇÃO (DIFRATOGRAMA)PARA UMA 
AMOSTRA POLICRISTALINA DE FERRO- (CCC) 
in
te
n
s
id
a
d
e
 (
re
la
ti
v
e
)
z
x
y
a b
c
z
x
y
a b
c
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
01 – CALLISTER, William D. Ciência e Engenharia de Materiais: Uma Introdução. 7. 
ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, 2008. ISBN: 
9788521615958.
02 - VAN VLACK, L. H. Princípios de Ciência e Tecnologia dos Materiais. 7a ed. Rio 
de Janeiro: Campus, 1988. ISBN: 8570014805
03 – REED-HILL, Robert E. Princípios de Metalurgia Física. 4. ed. Rio de Janeiro: 
Guanabara Dois S.A., 1982.
04 – HIGGINS, Raymond A. Propriedades e Estruturas dos Materiais em 
Engenharia. São Paulo: DIFEL Difusão Editorial S.A., 1982.
05 – NOTAS DE AULAS Professora Eliani Maria da Costa DEM/PUCRS.
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