equacao-de-continuidade

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1.7 – Linhas de Corrente 
e a Equação da Continuidade para 
Fluidos
UFABC – Fenômenos Térmicos – Prof. Germán Lugones 
MÓDULO 1 – MECÂNICA DOS FLUIDOS
52
A trajetória seguida por uma 
partícula de fluido em um fluxo 
estacionário é chamada linha de 
corrente (ou linha de fluxo) 
Um conjunto de linhas de 
corrente, forma um tubo de 
corrente (ou tubo de fluxo). 
Partículas fluidas não podem fluir 
para dentro ou fora dos lados 
desse tubo; se pudessem, as 
linhas de fluxo cruzariam umas 
com as outras. 
Linhas de corrente
vS
At each point along its path, 
the particle’s velocity is 
tangent to the streamline.
A velocidade da partícula é 
sempre tangente às linhas de 
corrente.
Considere o fluxo de um fluido 
ideal por um cano de tamanho não 
uniforme 
Ponto 1: seção reta de área , 
velocidade do fluido . 
Ponto 2: seção reta de área , 
velocidade do fluido . 
Nenhum fluido pode escoar pelas 
paredes laterais do tubo. 
A1
v1
A2
v2
Equação da continuidade 
Num intervalo de tempo : 
• o fluido que estava em se 
desloca uma distância . 
• Logo, um cilindro de fluido com 
volume escoa para 
o interior do tubo através de . 
No mesmo intervalo : 
• um cilindro com volume 
 escoa para fora do 
tubo através de . 
Como o fluido é incompressível 
temos: 
. 
!t
A1
!x1 = v1!t
!V1 = A1v1!t
A1
!t
!V2 = A2v2!t
A2
!V1 = !V2 " !V
O fluido é incompressível mesma 
densidade em todos os pontos. 
• A massa que flui para o interior 
do tubo através de no tempo é: 
 
• A massa que flui para fora do 
tubo através de no tempo é: 
 
#
!
!m1
A1 !t
!m1 = !!V = !A1v1!t
!m2
A2 !t
!m2 = !!V = !A2v2!t
O fluido é incompressível e o fluxo é estacionário a massa de fluido 
que passa pelo ponto 1 em , deve ser igual à massa que passa pelo ponto 
2 no mesmo intervalo de tempo: 
 
 
Simplificando obtemos a equação de continuidade: 
A velocidade é grande onde o cano é estreito (pequeno A) e pequena onde 
o cano é largo (grande A). 
#
!t
!m1 = !m2
!A1v1!t = !A2v2!t
O produto Av é a vazão volumétrica dV/dt, ou seja, a taxa com a qual o 
volume do fluido atravessa a seção reta do tubo: 
A equação de continuidade mostra que a vazão volumétrica possui 
sempre o mesmo valor em todos os pontos ao longo de qualquer tubo de 
fluxo.
Vazão
Capítulo 14 – Mecânica dos fluidos 93
O produto Av é a vazão volumétrica dV/dt, ou seja, a taxa com a qual o volume 
do fluido atravessa a seção reta do tubo:
(14.11)
Velocidade de escoamento
Seção reta do tubo de escoamentoVazão volumétrica 
de um !uido = Avdt
dV
A vazão mássica é a taxa de variação da massa por unidade de tempo através da 
seção reta do tubo. Ela é dada pelo produto da densidade r pela vazão volumétrica 
dV/dt.
A Equação 14.10 mostra que a vazão volumétrica possui sempre o mesmo va-
lor em todos os pontos ao longo de qualquer tubo de escoamento (Figura 14.22). 
Quando a seção reta de um escoamento diminui, a velocidade aumenta e vice-
-versa. A parte mais profunda de um rio possui uma seção reta maior e correntes 
mais lentas que as partes rasas, mas a vazão volumétrica é a mesma nos dois casos. 
Essa é a essência da máxima “Águas profundas ainda correm”. Quando um tubo 
com diâmetro de 2 cm é ligado a um tubo com diâmetro de 1 cm, a velocidade do 
escoamento no tubo de 1 cm é quatro vezes maior que a velocidade do escoamento 
no tubo de 2 cm.
Podemos generalizar a Equação 14.10 para o caso do escoamento de um fluido 
que não é incompressível. Se r1 e r2 forem as densidades nas seções 1 e 2, então
 r1A1v1 ! r2A2v2 (equação da continuidade, fluido compressível) (14.12)
Se o fluido for mais denso no ponto 2 que no ponto 1 (r2 > r1), a vazão volumé-
trica no ponto 2 será menor que no ponto 1 (A2v2 < A1v1). Deixamos os detalhes 
desta demonstração como um exercício. No caso do fluido incompressível, como 
r1 e r2 são sempre iguais, a Equação 14.12 se reduz à Equação 14.10.
Um óleo incompressível de densidade igual a 850 kg/m3 é bom-
beado através de um tubo cilíndrico a uma taxa de 9,5 litros por 
segundo. (a) A primeira seção do tubo tem 8,0 cm de diâmetro. 
Qual é a velocidade do óleo? Qual é a vazão mássica? (b) A se-
gunda seção do tubo tem 4,0 cm de diâmetro. Quais são os valores 
para a velocidade e vazão volumétrica nessa seção?
SOLUÇÃO
IDENTIFICAR E PREPARAR: como o fluido é incompressível, a 
vazão volumétrica tem o mesmo valor (9,5 L/s) nas duas seções 
do tubo. A vazão mássica (o produto da densidade e da vazão 
volumétrica) também tem o mesmo valor nas duas seções. (Esta 
é a mesma afirmação de que nenhum fluido é perdido ou acres-
centado em qualquer ponto ao longo do tubo.) Usamos a defi-
nição da vazão volumétrica, Equação 14.11, para encontrar a 
velocidade v1 na seção de 8,0 cm de diâmetro e a equação da 
continuidade para escoamento incompressível, Equação 14.10, 
para encontrar a velocidade v2 na seção de 4,0 cm de diâmetro.
EXECUTAR: (a) pela Equação 14.11, a vazão volumétrica na 
primeira seção é dV/dt ! A1v1, onde A1 é a área da seção reta 
do tubo de diâmetro de 8,0 cm e raio de 4,0 cm. Assim,
v1 =
dV>dt
A1
=
19,5 L>s2 110-3 m3>L2
p 14,0 * 10-2 m2 2
= 1,9 m>s
A vazão mássica é r dV/dt ! (850 kg/m3) (9,5 " 10–3 m3/s) ! 
8,1 kg/s.
(b) Pela equação da continuidade, Equação 14.10,
v2 =
A1
A2
 v1 =
p 14,0 * 10-2 m22
p 12,0 * 10-2 m22
 11,9 m>s2 = 7,6 m>s = 4v1
As vazões volumétrica e mássica são as mesmas daquelas na 
parte (a).
AVALIAR: a segunda seção do tubo tem a metade do diâmetro 
e um quarto da área de seção reta da primeira. Logo, a velo-
cidade deve ser quatro vezes maior na segunda seção, o que é 
exatamente o que nosso resultado mostra.
EXEMPLO 14.6 ESCOAMENTO DE UM FLUIDO INCOMPRESSÍVEL
TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 14.4 Uma equipe de manutenção está traba-
lhando no trecho de uma estrada de três pistas, deixando apenas uma pista aberta ao trá-
fego. O resultado é um tráfego muito mais lento (um engarrafamento). Os carros na estrada 
se comportam como (i) moléculas de um fluido incompressível ou (ii) moléculas de um 
fluido compressível? \
Figura 14.22 A equação da 
continuidade, Equação 14.10, ajuda 
a explicar a forma de um fluxo de 
mel despejado de uma colher.
v1
v2
À medida que 
o mel cai, sua 
velocidade de 
escoamento v 
aumenta...
... e a seção 
reta A do 
!uxo diminui.
A vazão volumétrica dV>dt = Av 
permanece constante.
Book_SEARS_Vol2.indb 93 02/10/15 1:49 PM
Exemplo: Fluxo de mel despejado 
de uma colher. 
Exemplo: polegar na extremidade 
de uma mangueira. 
De acordo com a equação de 
continuidade. diminuindo-se a 
área, o fluido aumenta a 
velocidade, visto que a vazão é 
constante (toda a quantidade que 
vem da torneira por um certo 
intervalo de tempo sai pela outra 
extremidade). 
Linhas de corrente e a equação da
continuidade para fluidos
Dinâmica dos fluidos; Prinćıpio de Bernoulli Problemas propostos
Aula 2 8 / 21
! Observe que o produto da área com a velocidade tem dimensão de volume por
tempo,
[A]
[!x]
[!t]
=
L3
T
=
volume
tempo
portanto o chamamos de vazão ou fluxo volumar.
! No nosso dia–a–dia, utilizamos a equação da
continuidade na prática. Quem nunca colocou o
polegar na extremidade de uma mangueira para
que a água consiga atingir uma distância maior?
Diminuindo-se a área, o fluido aumenta a ve-
locidade, visto que a vazão é constante (toda a
quantidade que vem da torneira por um certo
intervalo de tempo sai pela outra extremidade).