Análise dos Sistemas de Medição - Aula 03

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Capítulo 2 
ERROS, MEDIDAS 
E INCERTEZAS
46
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Capítulo 2
 
ERROS, MEDIDAS E INCERTEZAS
Quando medimos uma grandeza física, por mais habilidosos 
ou cuidadosos que sejamos, ela sempre vai apresentar um erro. 
Quando medimos, comparamos as grandezas de mesma espécie 
através de um padrão. Para conseguirmos realizar essa comparação, 
há necessidade de recorrermos aos mais variados instrumentos de 
medida. Contudo, nem sempre eles estão bem calibrados e/ou afe-
ridos corretamente. Em outras palavras, podemos estar desatentos 
e realizar a leitura incorreta. Todos esses fatores geram erros que 
podem gerar problemas na confecção de peças e/ou produtos. Dentre 
outros problemas, todos os resultados obtidos de forma experimental 
trazem consigo erros intrínsecos, isto é, por mais preciso e aferido 
que estejam nossos instrumentos, o simples processo de medição 
possui uma incerteza associada. Em geral, os erros não podem ser 
completamente eliminados, mas podem ser reduzidos. Podemos 
classificar os erros cometidos em uma medição como: 
1) Erros grosseiros: derivam da falta de atenção ou cuidado 
do operador do instrumento. Normalmente, nesse tipo de 
erro, não são os aparelhos que estão defeituosos ou mal 
calibrados. Pode-se perceber esse tipo de erro quando, ao 
compararmos as medidas feitas, verificamos pontos fora da 
curva, comumente, valores muito fora do esperado. Exem-
plo: ao medirmos uma peça cujo medida tem valores muito 
parecidos, podemos cometer erros grosseiros como: 122,21 
cm poder ser lido como 221,21 cm por falta de atenção.
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2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
2) Erros sistemáticos: derivam normalmente da falta de afe-
rição dos instrumentos de medidas. Eles provocam desvios 
nas medidas para mais ou para menos, causando um erro 
sistêmico. Exemplo: se uma balança estiver desregulada 
e seu ponteiro estiver um pouco acima do zero, todas as 
medidas de massa lidas por ela apresentarão um valor 
superior ao real. Esse tipo de erro ocorre frequentemente 
em instrumentos que não são aferidos e/ou calibrados.
3) Erros aleatórios ou estatísticos: derivam normalmente 
de fatores externos e alheios, condições de temperatura 
e pressão, erros gerados por fatores imprevisíveis nas 
condições ambientais, dos instrumentos de medida e da 
própria natureza humana do experimentador. Em geral, 
os erros aleatórios podem ser reduzidos quando repetimos 
muitas vezes a medição, produzindo um valor médio a 
partir de um grande número de resultados experimentais.
Portanto, para termos uma medida confiável através do 
sistema de medições, é necessário determinarmos o seu valor 
mais provável. Este consiste em apresentarmos as medidas com 
seu valor médio esperado e associarmos a ele uma incerteza 
(tolerância) dimensional. Para tanto, é necessário levarmos em 
conta as variáveis do processo de medição:
(1) Mensuração: determinação da grandeza que se quer 
medir por meio do processo de medição adotado;
(2) Operador: agente(s) responsável(is) pelo pro-
cesso de medição;
(3) Procedimento de medidas: método utilizado para 
coletar as medidas necessárias: número de medidas, número 
de repetições, intervalo entre medidas e formas de medição;
48
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
(4) Instrumento ou método de medição: dispositivo e/
ou instrumento usado na coleta de dados;
(5) Condições de medida: definições de condições am-
bientais, como temperatura, pressão e umidade.
Todas essas variáveis são importantes, pois se bem de-
finidas ajudam a minimizar erros no processo de medição. 
Segundo o INMETRO (2012), erro de medição é a diferença 
entre o valor medido de uma grandeza e o seu valor de refe-
rência. Desta forma, podemos descrever a equação geral do 
erro de medida como sendo:
E = I – VV
Onde E é o erro de medição, I é a indicação (valor medido) 
e VV é o valor verdadeiro (valor de referência).
Apesar da equação apresentada acima ter o nome de equa-
ção geral do erro, perceba que não é possível calcularmos o 
erro de medida de situações que apresentem erros de caráter 
sistêmico ou aleatório. Os erros que apresentam essa caracterís-
tica normalmente são previstos e devemos utilizar a estatística 
como ferramenta auxiliadora. Ainda segundo o INMETRO 
(2012), o erro sistemático tende a ser constante se todas as 
condições de medição forem mantidas, isto é, a componente 
sistemática do erro pode ser prevista. 
2.1 CÁLCULO DO ERRO SISTÊMICO
O erro dito sistêmico é ocasionado, como dito anterior-
mente, por fatores como a má calibração de um instrumento 
49
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
de medida, assim, espera-se que os resultados e as medidas 
feitas por ele sempre apresentem características semelhantes, 
isto é, ou valores abaixo do de referência, ou valores acima do 
de referência. Por essa razão, pode-se determinar a tendência, 
o parâmetro que prevê o erro. 
Td = I – VV
Onde: Td é a tendência, I é a indicação média e VV é o 
valor verdadeiro. Como o erro é sistêmico, a equação acima 
mostra a tendência do erro, se está acima ou abaixo do valor 
de referência; como essa tendência é conhecida, posterior-
mente, poderá ser corrigida através de outro parâmetro. Antes 
de apresentarmos o parâmetro, é necessário apresentar como 
se calcula o I:
I
I
n
i
i
n
 = 
 =
∑
1
A indicação média é a média aritmética de todas as indi-
cações (valores medidos) divididos pelo números de medidas 
efetuadas. O parâmetro usado para corrigirmos a tendência 
de erro é chamado de Correção: se sabemos que determinada 
medida apresenta uma tendência de alta, isto é, tem seus valores 
sempre acima do valor de referência (VV), para corrigirmos 
essa tendência de alta, basta aplicarmos uma correção de mesmo 
valor, porém, de sinal contrário, assim:
C = –Td = VV – I
50
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Exemplo: após 30 medições do comprimento de uma 
mesa, com o auxílio de uma trena, o operador obteve uma 
indicação média de 3,55 m. Contudo, ele sabia que o valor 
verdadeiro da mesa deveria ser 3,75 m. Calcule a tendência 
de erro e sua correção.
Solução:
Se a indicação média (I) é 3,55m e o valor verdadeiro 
(VV) é 3,75m, temos:
Td = I – VV
Td = 3,55 mm – 3,75 mm
Td = –0,20 mm 
Assim, para corrigirmos o erro sistêmico, podemos aplicar 
o parâmetro de correção:
C = VV – I
C = 3,75 mm – 3,55 mm
C = 0,20 mm 
Podemos fazer a conta ou simplesmente perceber que, 
se temos uma tendência de erro negativa, para corrigirmos a 
medida, basta inserirmos um parâmetro de correção de mesmo 
módulo, porém, de sinal oposto, assim:
C = –Td = – (–0,20 m) = + 0,20 m
51
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
2.2 CÁLCULO DO ERRO ALEATÓRIO 
Cálculo de erros aleatórios são diferentes dos erros sis-
têmicos, pois não podem ser previstos. Como o próprio nome 
diz, ocorrem de forma aleatória e não podem ser corrigidos. 
Assim, deve-se lançar mão da estatística e estimar o erro. 
Parâmetros como desvio padrão e repetitividade são algumas 
ferramentas que serão utilizadas. Apesar dos erros aleatórios 
exigirem um ferramental matemático mais elaborado, vale 
ressaltar que o uso da estatística se justifica quando há necessi-
dade de muitas medições. Caso contrário, o simples cálculo de 
erro atenderia de maneira satisfatória. Na linha que se segue, 
vamos aplicar um exemplo.
Quando temos situações em que precisamos verificar 
repetidas vezes o mesmo evento, usamos a estatística para 
consolidar os resultados, mas vale ressaltar que o processo 
estatístico aplicado prevê apenas erros e a incerteza com os 
instrumentos, mas não consegue prever os erros derivados do 
operador ou de procedimentos experimentais. Assim, quando 
estamos estudando, por exemplo, a queda dos corpos, pode-
mos prever o tempo médio de queda e, através do ferramental 
matemático, obter o valor mais provável, o desvio padrãoe o 
desvio padrão da média. A média, o desvio padrão e o desvio 
padrão da média para um conjunto finito com n dados podem 
ser estimados aplicando as equações abaixo.
Média de uma amostra
M 
 
5
X
n
i
i
n
=
∑
1
52
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Desvio padrão de medida
u = 
 M
n 1
 
X
i
i
n
2
2
( )
=
∑ 2
1
Desvio padrão da média com n valores
u = 
 M
n 1 n
 = 
 
m
i
i
n
X
u
n
2
2 ?
( )
( )
=
∑ 2
1
Para usarmos as equações acima, vamos aplicar num 
exemplo. Utilizando um multímetro de incerteza do fabrican-
te σinst = 0,25% e colocando-o na função voltímetro, deseja-se 
determinar o valor mais provável da tensão de uma pilha de 
acordo com os valores da tabela abaixo.
Tabela 5 – Tensão
MEDIDAS TENSÃO (V) MEDIDAS TENSÃO (V)
1 1,572 11 1,574
2 1,568 12 1,565
3 1,586 13 1,586
4 1,573 14 1,576
5 1,578 15 1,577
6 1,581 16 1,561
7 1,589 17 1,579
8 1,566 18 1,546
9 1,572 19 1,582
10 1,582 20 1,592
53
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Determinando o Valor Médio
V = = 1,5997 V
i = 1
V
i
6
6
å
Tabela 6 – Determinando o desvio padrão.
MEDIDAS TENSÃO V Vi 2 V Vi 2( )
2
1 1,572 0,0277 0,0007673
2 1,568 0,0317 0,0010049
3 1,586 0,0137 0,0001877
4 1,573 0,0267 0,0007129
5 1,578 0,0217 0,0004709
6 1,581 0,0187 0,0003497
7 1,589 0,0107 0,0001145
8 1,566 0,0337 0,0011357
9 1,572 0,0277 0,0007673
10 1,582 0,0177 0,0003133
11 1,574 0,0257 0,0006605
12 1,565 0,0347 0,0012041
13 1,586 0,0137 0,0001877
14 1,576 0,0237 0,0005617
15 1,577 0,0227 0,0005153
16 1,561 0,0387 0,0014977
17 1,579 0,0207 0,0004285
18 1,546 0,0537 0,0028837
19 1,582 0,0177 0,0003177
20 1,592 0,0077 0,0000593
54
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
uv 
 
 1
 0,0272806 V
 = 15
2
2
5
V V
n
i
i
n
( )∑
2
Determinar o desvio padrão da média
u = 
u
 = 
0,0272806
 = 0,0061001 V
m
v
v
n 20
Determinando a incerteza nominal 
do aparelho
Quando o fabricante expressa a incerteza em porcentagem, 
como no exemplo σinst = 0,25%, temos que levar em conta que 
a porcentagem é sob o valor da medida, portanto.
σ
inst
 
0,25
 1,5997 0,0039 V5 ? 5
100






Após determinarmos todos os valores acima, percebemos 
que temos expresso o valor médio da tensão e o desvio do 
valor médio, isto é, quanto em média a medida difere do valor 
médio, nesse ponto, já é possível expressar satisfatoriamente 
o valor mais provável da tensão.
V = (1,600 ± 0,006) V
Ao apresentar o valor da tensão dessa forma, perceba que 
não foi levado em consideração o erro do instrumento que estava 
presente em todas as medidas. Para apresentarmos o valor mais 
provável de forma correta, é necessário levarmos em conta, além 
do desvio médio da medida, o erro do instrumento Assim, temos:
55
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
σ σ u
inst
2
m
2
5 1( ) ( )
Portanto, para calcularmos o erro padrão, temos a 
seguinte equação:
σ σ
σ
σ
 u
 0,004 0,006
 
inst
2
m
2
2 2
5 1
5 1
5
( ) ( )
( ) ( )
0 007211, V
Finalmente, podemos expressar o valor mais provável 
da tensão como:
V = (1,600 ± 0,007) V
2.3 CÁLCULO DE ERROS ALEATÓRIOS 
COM AMOSTRAS PEQUENAS
Para erros aleatórios, mas cujo número de medidas 
necessárias não passe do intervalo de 5 a 15 medidas, outra 
técnica pode ser utilizada de forma satisfatória: podemos apre-
sentar o valor mais provável de uma medida apenas através do 
seu valor médio e sua incerteza. Considere o exemplo.
Para determinar o tamanho médio de um grafite de lapiseira 
no 0,7 mm, um operador resolveu utilizar um paquímetro de 
incerteza 0,05 mm, retirar as medidas de comprimento de uma 
amostra de 12 grafites e, a partir de então, determinar seu valor 
mais provável. Para isso, o operador montou a seguinte tabela:
56
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
MEDIDAS COMPRIMENTO (MM)
1 53,05
2 52,90
3 52,80
4 53,15
5 53,00
6 52,95
7 53,00
8 53,15
9 53,10
10 53,05
11 52,95
12 53,00
Tabela 7 – Exemplo da lapiseira
Usando como base a tabela do operador, vamos determinar 
o valor médio do comprimento do grafite, o desvio de medida 
e o desvio médio. Desvio de medida na estatística é o equiva-
lente matemático da equação geral do erro. Para determinar 
o desvio de medida, basta subtrairmos em módulo o valor de 
medida do seu valor médio. 
d
m
 x x
i
5 2
O desvio médio, por sua vez, é a média aritmética dos 
desvios de medida.
d
n
m
n
 
x x
i
i = 15
2å
A partir da teoria, podemos elaborar uma segunda tabela:
57
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
MEDIDAS COMPRIMENTO (MM)
DESVIO DE 
MEDIDA (MM)
1 53,05 0,0541670
2 52,90 0,0958330
3 52,80 0,1958330
4 53,15 0,1541670
5 53,00 0,0041670
6 52,95 0,458330
7 53,00 0,0041670
8 53,15 0,1541670
9 53,10 0,1041670
10 53,05 0,0541670
11 52,95 0,458330
12 53,00 0,0041670
MÉDIA 52,995833 0,1451385
Tabela 8 – Desvio padrão de cada medida
Através da tabela, obteremos o valor médio de com-
primento, L = 52,995833 mm e o desvio médio da medida é 
dm = 0,1451385 mm, mas, para apresentarmos o valor mais 
provável desse comprimento, temos que apresentar o seu 
valor médio e sua incerteza. Para isso, é necessário determi-
narmos sua incerteza:
σ
x m
2
inst
2
 d d5 1( ) ( )
Da tabela e do texto, sabemos que o desvio médio é 
dm = 0,1451385 mm e o desvio do instrumento dinst = 0,05 mm. 
58
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Assim, utilizando a equação acima, podemos determinar a 
incerteza:
σ
σ
σ
 d d
 
 
m
2
inst
2
2 2
5 1
5 1
5
( ) ( )
( ) ( )0 1451385 0 05
0 153509
, ,
, 66 mm
Após determinarmos a incerteza, para expressar o valor mais 
provável é necessário que a incerteza seja expressa obrigatoriamente 
com 1 algarismo significativo. Assim: σ = 0,1535096 mm = 0,2 mm; 
finalmente, o valor do comprimento fica expresso da seguinte forma:
Siqueira (2005) afirma que a origem da Manutenção Cen-
trada na Confiabilidade (MCC) está relacionada aos processos 
tecnológicos e sociais que se desenvolveram após a Segunda 
Guerra Mundial. No campo tecnológico, foram decisivas as 
pesquisas iniciadas pela indústria bélica americana, seguidas 
pela automação industrial em escala mundial, viabilizadas 
pela evolução da informática e telecomunicações, presentes 
em todos os aspectos da sociedade atual.
L = (52,99583352 ± 0,2) mm 
Como fomos obrigados a apresentar a incerteza com 1 
algarismo significativo, deve-se arredondar o valor médio pa-
ra que esse fique coerente com a incerteza. No exemplo, ao 
expressarmos a incerteza como σ = 0,2 mm,percebemos que 
o erro da medida está na casa dos décimos de milímetro, isto 
é, na primeira casa decimal. Portanto, não tem sentido expres-
sarmos o valor médio com todas a suas casas decimais, visto 
59
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
que o erro ocorrerá apenas na primeira, desta forma, devemos 
arredondar o valor médio em função da incerteza:
L = (53,0 ± 0,2) mm
2.4 CÁLCULO DE PROPAGAÇÃO 
DE ERROS
Muitas vezes, durante o processo de medição, existe a ne-
cessidade de determinarmos o erro envolvido numa composição 
de medidas, por exemplo, quando necessitamos determinar o 
valor mais provável de uma área. Para isso, há necessidade 
de aprendermos como operar os valores de grandezas com 
erro envolvido. 
Considere que temos uma grandeza qualquer cuja va-
riáveis sejam w = (x, y, z). Se, para cada variável, essa 
grandeza possuir uma incerteza associada, dizemos que sua 
incerteza em relação ao eixo estudado é a derivada entre a 
função e o eixo.
σ
σ
w
n i
i
w
n
 5
¶
¶
Se quisermos expressar a incerteza da função em cada 
eixo, basta isolarmos o erro da função e determinarmos o eixo 
que estamos calculando, assim, temos:
60
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
σ σ
σ σ
w x
w x
 , incerteza w para oeixo x.
 , in
5 ?
5 ?
¶
¶
¶
¶
w
x
w
y
ccerteza w para o eixo y.
 , incerteza w para o
w x
σ σ5 ?
¶
¶
w
z
 eixo z.
Assim, podemos escrever a equação geral para 
várias variáveis.
σ σ σ
w x y
w
x
w
y
w
z
2
2
2
2
2
 5 ? 1 ? 1
∂
∂






∂
∂






∂
∂






∂
∂






2
2
2
2? 1 ? ... σ σ
z n
w
n
2.4.1 ADIÇÃO OU SUBTRAÇÃO 
DE COMPRIMENTOS
Considere a situação em que duas varetas de comprimen-
tos L1 = (132,08 ± 0,02) m e L2 = (45,325 ± 0,005) m devem 
ser acopladas entre si. Quais os valores mais prováveis desse 
acoplamento se adicionarmos os comprimentos ou se subtra-
írmos os comprimentos?
Efetuando a adição;
L = L1 + L2
L = 132,08 + 45,325
L = 177,405 m
Aplicando a fórmula geral para o cálculo da incerteza L:
61
2 • Erros, Medidas E Incertezas ANÁLISE DOS SISTEMAS DE MEDIÇÃO
σ σ σ
σ
L L L
L
L
L
w
L
2
1
2
2
2
2
2
2
1 2
 5 ? 1 ?
∂
∂






∂
∂






 1 1 
 1 0,02 1 0,005
 0,020
5 ? 1 ?
5 ? 1 ?
5
σ σ
σ
σ
L L
L
L
1 2
2 2
2 2 2( ) ( )
66155 m
Portanto, o valor mais provável é:
L = (177,405 ± 0,206155) m
Como a incerteza deve ter apenas 1 algarismo, signifi-
cativo que temos:
L = (177,4 ± 0,2) m
Efetuando a subtração:
L = L1 + L2
L = 132,08 – 45,325
L = 86,755 m
Apesar de estarmos subtraindo os valores médios, perce-
be-se que os erros envolvidos em cada uma das medidas con-
tinuam a ser considerados e, desta forma, devem ser somados. 
Assim, subtraímos os valores médios, mas mantemos a mesma 
incerteza, logo, o valor mais provável é:
L = (86,755 ± 0,206155) m
Ajustando a incerteza para 1 algarismo significativo, teremos:
L = (86,8 ± 0,2) m