Estudo de erros em medidas

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Tópico 3. Estudo de Erros em Medidas 
 
A medida de uma grandeza é obtida, em geral, através de uma experiência, na 
qual o grau de complexidade do processo de medir está relacionado com a grandeza em 
questão e também com o processo de medição. Por isso, este tópico visa introduzir 
conceitos importantes sobre erros de medidas. 
 
3.1. Erros de uma Medida 
 
Algumas grandezas possuem seus valores reais conhecidos e outras não. Quando 
conhecemos o valor real de uma grandeza e experimentalmente encontramos um 
resultado diferente, dizemos que o valor obtido está afetado de um erro. 
ERRO é a diferença entre um valor obtido ao se medir uma 
grandeza e o valor real ou correto da mesma. 
 
Matematicamente: erro = valor medido  valor real 
 
A determinação do erro de medida não é simples, pois há na maioria dos casos 
uma combinação de inúmeros fatores que influem, de forma decisiva, no resultado da 
medição. Portanto, o erro “verdadeiro” de uma medida é sempre impossível de ser 
conhecido, sendo possível apenas uma estimativa do erro máximo aceitável. Nesta 
seção irar-se-á dar uma pequena introdução sobre tipos de erros e o cálculo do erro 
aleatório provável, dado pelo cálculo do desvio padrão. 
Existem diversas classificações de erros na literatura especializada, entretanto, 
há três principais que são: 
1. Erro de escala: é o erro associado ao limite de resolução da escala do instrumento de 
medida. 
2. Erro sistemático: é o erro em que o medidor sofre, de maneira constante, em todo o 
processo de medição. No momento da descoberta da sua origem, o erro sistemático é 
possível de ser minimizado ou até mesmo sanado; 
3. Erro aleatório: é o erro que decorre de perturbações estatísticas impossíveis de 
serem previstas, sendo assim, difícil de evitá-los. 
O erro aleatório pode ser calculado utilizando-se os postulados de Gauss, que 
por motivo de brevidade não será citado aqui, entretanto, aos estudantes interessados 
neste assunto consulte o livro Introdução ao Laboratório de Física. 
 
3.1.1 Valor mais provável de uma grandeza 
 
Sejam x1, x2, x3,..., xn as n medidas realizadas de uma mesma grandeza física X. 
O valor médio desta grandeza denotado por x é definido pela média aritmética dos 
valores medidos, ou seja, 
 
 x =
(x1+x2+x3+⋯+x𝑛 )
𝑛
=
1
𝑛
 xi
𝑛
i=1 (1) 
 
Deste modo, x representa o valor mais provável da grandeza medida. Ao se 
realizar várias medidas, os valores obtidos tendem a estarem mais próximos deste valor. 
O valor médio é o que melhor representa o “valor real” da grandeza. 
 
3.1.2 Desvio das medidas 
 
No entanto, não se pode afirmar que o valor mais provável seja o valor real da 
grandeza. Assim, representando-se uma medida qualquer da grandeza X por Xi, não se 
pode dizer que a diferença (Xi - X = δX) seja o erro da medida Xi. Neste caso quando 
se conhece o valor mais provável, não se fala em “erro”, mas sim em Desvio ou 
Discrepância da medida (ou Incerteza). 
 
Desvio de uma medida, 𝛅X, é a diferença entre um valor medido e o valor adotado 
que mais se aproxima do valor real (em geral o valor médio). 
 
É interessante saber de quanto as medidas individuais Xi se afastam do valor 
médio, ou seja, de que maneira as medidas Xi se distribuem em torno do valor médio. A 
esse fato denominamos “dispersão”. Para medir a dispersão são utilizadas algumas 
propriedades da série de medidas, tais como a Variância e o Desvio Padrão: 
 
Variância (s
2
): A variância é definida como a soma dos quadrados dos desvios de 
todos os valores da grandeza dividida pelo número de medidas menos uma. A variância 
é representada por s
2
, sendo calculada pela fórmula: 
 
𝑠2 =
 x1−x 
2+ x2−x 
2+⋯+(xn−x )
2
𝑛−1
=
 xi−x 
2𝑛
𝑖=1
𝑛−1
 (2) 
 
O denominador “n – 1” da variância é determinado pelos graus de liberdade. O 
principio dos graus de liberdade é constantemente utilizado na estatística. Considerando 
um conjunto de “n” observações (dados) e fixando uma média para esse grupo, existe a 
liberdade de escolher os valores numéricos de n – 1 observações, o valor da última 
observação estará fixado para atender ao requisito de ser a soma dos desvios da média 
igual a zero. No caso especifico do cálculo da variância, diz-se que os “n” graus de 
liberdade originalmente disponíveis no conjunto sofreram a redução de uma unidade 
porque numa estatística, a média já foi calculada dos dados do grupo e aplicada na 
determinação da variância. 
 
Desvio padrão (𝜎x ): O desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada da variância e, 
portanto, expresso na mesma unidade da grandeza medida (kg, cm, atm, etc.): 
 
𝜎x = 
 x1−x 
2+ x2−x 
2+⋯+(xn−x )
2
𝑛−1
= 
 xi−x 
2𝑛
𝑖=1
𝑛−1
 (3) 
 
Para um conjunto com n medições, o desvio padrão experimental representa uma 
estimativa da dispersão de Xi em torno do valor médio x . Isso significa que se os 
resultados forem bastante próximos uns dos outros, então o desvio padrão será 
"pequeno", e se os resultados forem dispersos, o desvio padrão será "grande". 
3.1.2 Desvio padrão final 
 
 Até agora, ainda não informamos como deve ser relatado o valor de uma 
grandeza submetida a medições. Já sabemos, a princípio, que a grandeza pode ser 
representada, de modo satisfatório pelo seu valor médio. Porém, quando efetuamos um 
conjunto de medições devemos ser capazes de informar com qual qualidade a média 
pode ser uma estimativa do valor verdadeiro. Ou seja, devemos sempre informar uma 
incerteza associada à média encontrada. 
 Poderíamos pensar, num primeiro nível, que a incerteza possa ser estimada pelo 
desvio padrão da média. Porém, devemos atentar que o cálculo do desvio padrão da 
média leva em conta somente as contribuições dos erros aleatórios, e não considera os 
erros sistemáticos. Existe, pois, uma incerteza residual que ainda não foi considerada. 
 Essa incerteza residual (𝜎𝑟 ), no caso de instrumentos de medida, costuma vir 
indicada pelo fabricante. Quando não é indicada, podemos adotar, pelo bom senso, que 
se trata da metade da menor divisão da escala. 
 Assim, o resultado de um conjunto de medições é: 
 
𝑥 = 𝑥 ± 𝜎𝑓 
 
em que 𝜎𝑓 é o desvio (ou incerteza) padrão final e pode ser calculada por: 
 
𝜎𝑓 = 𝜎𝑓
2 + 𝜎𝑟
2 
 
Como exemplo da teoria acima proposta, dada a seguinte tabela abaixo, com 
valores de medidas de comprimento de um corpo de prova qualquer, iremos calcular o 
seu valor mais provável (média) e o seu desvio padrão. 
 
Tabela 3.1. Valores de medidas de comprimento de um corpo de prova qualquer. Note 
que aqui não é necessário usar o desvio residual pois não foi fornecido. 
Medida Comprimento (m) 
1 1,42 
2 1,40 
3 1,38 
4 1,41 
5 1,43 
6 1,42 
7 1,39 
8 1,40 
 
Assim, o valor mais provável da medida, X , é dado por: 
 
X =
1
8
 1,42 + 1,40 + 1,38 + 1,41 + 1,43 + 1,42 + 1,39 + 1,40 =
11,25
8
= 1,40 625𝑚 
X = 1,41 𝑚 
 
O desvio padrão será dado por 
 
𝜎X = 
(1,42 − 1,41)2 + 1,40− 1,41 2 + 1,38 − 1,41 2 + 1,41 − 1,41 2 + 1,43− 1,41 2 + 1,42 − 1,41 2 + 1,39 − 1,41 2 + (1,40− 1,41)2
8 − 1
 
 
𝜎X = 
0,0001 + 0,0001 + 0,0009 + 0 + 0,0004 + 0,0001 + 0,0004 + 0,0001
7
 
 
𝜎X = 0,01 732𝑚 → 𝜎X = 0,02𝑚 
 
Portanto, o modo correto de representar o valor mais provável do corpo de prova e o seu 
respectivo erro é o seguinte: 
 1,41 ± 0,02 𝑚 
 
Note que o número de casas após a vírgula para ambos os valores têm que ser 
compatíveis. 
 
 
3.2. Propagação de Incertezas 
 
Este assunto é de grande relevância em todas as áreas de atividade onde são 
realizadas medidas experimentais. O objetivo deste assunto é justamente estudar a 
propagação de incertezas associadas a cada medida em particular. 
Imagine que queiramos fazer a soma de duas grandezas x1 e x2, para obter uma 
grandeza y. Sabemos que para expressar corretamente o resultado de nossa operação 
devemos relatar um valor médio e umaincerteza associada a este valor. De maneira 
geral, um resultado y deve ser expresso como: 
 
𝑦 = 𝑦 ± 𝜎𝑦 (4) 
 
Se y é uma função de outras variáveis f(x1, x2), então: 
 
𝑦 = 𝑓(𝑥 1, 𝑥 2) (5) 
 
No caso da soma, por exemplo, y = x1 + x2, então: 
 
𝑦 = 𝑥 1 + 𝑥 2 (6) 
 
Já o cálculo de 𝜎𝑦 é mais complicado. O processo rigoroso para o cálculo das 
incertezas envolve uma equação com derivadas parciais, também conhecida como “lei 
de propagação de incertezas” o qual é apresentada a seguir. 
 
 Lei de Propagação de Incertezas 
 
Suponha que um certo experimento necessite de vários instrumentos para ser 
realizado. E que cada um destes instrumentos têm uma variabilidade diferente em suas 
medições. Os resultados de cada instrumento são dados como: x1, x2, x3, ... . O resultado 
final desejado é y, de modo que y é dependente de x1, x2, x3, ... . Então, pode-se escrever 
que y é uma função dessas variáveis: 
 
𝑦 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 … ) (7) 
Uma vez que cada medida tem uma incerteza sobre sua média, pode-se escrever 
que a incerteza de dyi da i-ésima medição de x depende da incerteza das i-ésimas 
medições de x1, x2, x3, ... : 
 
𝑑𝑦𝑖 = 𝑓(𝑑𝑥1𝑖 ,𝑑𝑥2𝑖 ,𝑑𝑥3𝑖 … ) (8) 
 
O desvio total de y é então obtido da derivada parcial de y com respeito a cada 
uma das variáveis: 
 
𝑑𝑦 = 
𝜕𝑦
𝜕𝑥1
 𝑑𝑥1 , 
𝜕𝑦
𝜕𝑥2
 𝑑𝑥2 , 
𝜕𝑦
𝜕𝑥3
 𝑑𝑥3 … (9) 
 
A relação entre os desvios padrão de y e x1, x2, x3, ... é dada em duas etapas: i) 
pela quadratura da equação 9, e ii), tomando a soma total de i = 1 para i = n, onde n é o 
número total de medições. Logo: 
 
 𝑑𝑦𝑖 
2 = 
𝜕𝑦
𝜕𝑥1
 
2
 𝑑𝑥1𝑖 
2 + 
𝜕𝑦
𝜕𝑥2
 
2
 𝑑𝑥2𝑖 
2 + ⋯ (10) 
 
Dividindo ambos os lados por n-1: 
 
 
 𝑑𝑦𝑖 
2
𝑛−1
= 
𝜕𝑦
𝜕𝑥1
 
2
 
 𝑑𝑥1𝑖 
2
𝑛−1
+ 
𝜕𝑦
𝜕𝑥2
 
2
 
 𝑑𝑥2𝑖 
2
𝑛−1
+ ⋯ (11) 
 
Da equação 3 tem-se que: 𝜎𝑦
2 = 
 𝑑𝑦𝑖 
2
𝑛−1
 = 
 𝑦𝑖−𝑦 
2
𝑛−1
, logo a equação onde pode ser 
reescrita como: 
 
𝜎𝑦
2 = 𝜕𝑦
𝜕𝑥1
 
2
𝜎𝑥1
2 + 𝜕𝑦
𝜕𝑥2
 
2
𝜎𝑥2
2 +⋯ (12) 
 
Assim, tendo a equação que expressa y em função de suas componentes x1, x2, ... 
, deve-se, primeiramente, obter as expressões das derivadas parciais da função y em 
relação a cada uma das componentes. Obtidas essas expressões, substituem-se os 
valores apropriados e calcula-se o valor de cada derivada parcial em questão. A seguir, 
deve-se multiplicar cada valor obtido pela incerteza da respectiva componente. Por fim, 
procede-se a soma de todas as parcelas, sendo cada parcela relativa a uma determinada 
componente da função. 
 
Exemplo: Calcule o volume de um cilindro de comprimento L = (4,0±0,1)mm e 
diâmetro D = (2,0±0,2)mm. 
 
Resolução: 
 
O volume do cilindro é dado por: 
 𝑉 =
𝜋𝐷2𝐿
4
=
𝜋×(2,0)2×4,0
4
= 12,566 𝑚𝑚3 = 12,6 𝑚𝑚3 
Agora iremos utilizar as incertezas das medidas de comprimento e diâmetro do cilindro, 
para calcular a incerteza propagada para V: 
𝑉 = 𝑓 𝐷, 𝐿 → 𝜎𝑉
2 = 
𝜕𝑉
𝜕𝐷
 
2
𝜎𝐷
2 + 
𝜕𝑉
𝜕𝐿
 
2
𝜎𝐿
2 
→ 𝜎𝑉
2 = 
𝜋 𝐷𝐿
2
 
2
𝜎𝐷
2 + 
𝜋 𝐷2
4
 
2
𝜎𝐿
2 
→ 𝜎𝑉
2= 𝜋×2,0×4,0
2
 
2
× 0,2 2+ 𝜋× (2,0)
2
4
 
2
× 0,1 2 = 
6,3164 + 0,0314 = 6,3478 mm
6
 
𝜎𝑉 = 6,3478 → 𝜎𝑉 = 2.5 𝑚𝑚3 
 
 O resultado final deve ser expresso da seguinte maneira: 
 
V = (12.6±2.5) mm
3 
 
3.3 Propagação de Incertezas nas Operações Básicas 
 
 Abaixo estão listadas as equações da incerteza propagada para as operações mais 
utilizadas. 
 
1. Adição ou Subtração: y = x1 + x2 ou y = x1 - x2 
𝜎𝑦 = 𝜎𝑥1
2 + 𝜎𝑥2
2 
2. Multiplicação ou Divisão: y = x1.x2 ou y = x1/x2 
 
𝜎𝑦
𝑦 
= 
𝜎𝑥1
𝑥1 
 
2
+ 
𝜎𝑥2
𝑥2 
 
2
 
3. Potenciação: y = x1
a 
 
𝜎𝑦
𝑦 
= 𝑎 
𝜎𝑥1
𝑥1 
 
 
No caso da função do tipo y = x1
a
 . x2
b 
, tem-se: 
 
𝜎𝑦
𝑦 
= 𝑎2 
𝜎𝑥1
𝑥1 
 
2
+ 𝑏2 
𝜎𝑥2
𝑥2 
 
2
 
 
4. Logaritmo: y = log(x1) 
 
𝜎𝑦 = 0,434. 
𝜎𝑥1
𝑥1 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
1) Mediram-se, experimentalmente, o período e o comprimento de um pêndulo simples, 
obtendo-se os seguintes resultados: L = (59,90 ± 0,05) cm e T = (1,555 ± 0,001) s . 
Utilizando a equação do pêndulo simples T = 2π 
𝐿
𝑔
 , calcule o valor da aceleração da 
gravidade (g). 
 
 
2) Em uma mola de constante elástica k = (2,256 ± 0,003).10
4
 dyn/cm colocou-se a 
oscilar uma massa m = (249,86 ± 0,01)g . Calcule o período do oscilador para os valores 
dados acima, sabendo que ele está relacionado com a massa e a constante elástica 
através da equação T = 2π 
𝑚
𝑘
 .