Teoria das estruturas 1

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TEORIA DAS ESTRUTURAS I 
AULA 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Ana Carolina Virmond Portela Giovannetti 
 
 
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CONVERSA INICIAL 
Iniciaremos com a explicação das etapas de um projeto estrutural e a 
explicação da importância de nossos estudos sobre o tema. Depois, veremos 
como se comportam diferentes elementos estruturais e quais os principais 
esforços a eles associados. Na sequência, aprenderemos sobre as cargas que 
atuam em nossas estruturas. Depois, discutiremos sobre as formas de restrição, 
para impedir que nossas estruturas se movimentem, utilizando, para isso, apoios 
variados. Por fim, aprenderemos sobre as equações de equilíbrio e a 
classificação das nossas estruturas em relação a sua estaticidade. 
TEMA 1 – PRINCÍPIOS GERAIS 
As estruturas de uma construção possuem a função de suportar todo o 
carregamento atuante e redirecioná-lo ao solo. Essa tarefa deve ser realizada de 
forma segura, mantendo a forma da edificação, somente com pequenos 
deslocamentos e deformações. Como exemplo de estrutura presente na 
natureza, no nosso dia a dia, podemos citar o esqueleto, que serve de estrutura 
para o corpo humano. 
Figura 1 – Esqueleto humano 
 
Crédito: Croisy/Shutterstock. 
 
 
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Os principais elementos estruturais em uma edificação são as lajes, vigas e 
pilares. As lajes recebem toda a carga do pavimento (mobília, pessoas) e as 
transferem para as vigas, que, por sua vez, levam até os pilares (Figura 2), que 
os transferem de andar a andar até as fundações e, por fim, ao solo. 
Figura 2 – Cargas das vigas do telhado redistribuídas para os pilares, que 
seguem uma trajetória contínua para os andares inferiores 
 
Fonte: Onouye; Kane, 2015. 
1.1 Análise de estruturas 
De acordo com Kassimali (2016), a análise estrutural tem função de prever 
o desempenho da estrutura. O autor apresenta um fluxograma das várias etapas 
de um projeto (Figura 3) composto pelas seguintes etapas: 
1. Planejamento: definição da posição dos elementos, tipo de estrutura, 
materiais utilizados. 
2. Projeto preliminar: pré-dimensionamento dos elementos com base na 
experiência e literatura. 
3. Estimativa de cargas: cálculo do peso próprio, determinação de todas as 
cargas previstas para atuarem na estrutura. 
4. Análise estrutural: utilizando as cargas obtidas, obtém-se os esforços 
internos e deslocamentos da estrutura. 
5. Verificação da segurança e em serviço: com os resultados obtidos, 
verifica-se se a estrutura cumpre com os requisitos das normas de 
 
 
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segurança. Caso sejam atendidos, parte-se para os desenhos e 
especificações. 
6. Projeto estrutural revisado: caso os requisitos não sejam atendidos, 
alteram-se as dimensões, retorna-se para a fase 3, continuando todo o 
processo até que a segurança seja atendida. 
Figura 3 – Fases de um projeto estrutural 
 
Fonte: Kassimali, 2016. 
 
 
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Este nosso estudo corresponde à quarta fase da realização de um projeto 
estrutural. 
Para essa análise, apesar de um edifício ser uma estrutura tridimensional, 
ele pode ser simplificado em estruturas bidimensionais, com cálculos muito 
menos complexos. 
1.2 Modelo estrutural bidimensional 
A estrutura de um prédio residencial pequeno pode ser representada, em 
seu modelo em três dimensões, pela Figura 4. 
Figura 4 – Exemplo de estrutura real 
 
Crédito: Jefferson Schnaider. 
No entanto, de maneira simplificada, a mesma estrutura pode ser 
modelada como a Figura 5, na qual um conjunto de linhas representa as vigas e 
os pilares da estrutura. 
 
 
 
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Figura 5 – Modelo estrutural para pórtico espacial 
 
Fonte: Martha, 2017. 
Além disso, algumas vezes a análise tridimensional, mais complexa, não 
é necessária, por simplicidade do projeto ou por recursos indisponíveis devido 
ao alto custo dos programas de computador. Assim, os modelos podem ser 
simplificados em estruturas planas, conforme a Figura 6a, que representa o 
pórtico longitudinal e a Figura 6b que representa o modelo estrutural do pórtico 
transversal, ambos em relação aos cortes da estrutura ilustrada na Figura 4 
(Martha, 2017). 
 
 
 
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Figura 6 – Pórticos planos 
 
Fonte: Martha, 2017. 
TEMA 2 – TIPOS DE ELEMENTOS E ESFORÇOS 
O planejamento da estrutura é uma das etapas mais fundamentais e 
importantes na concepção de um projeto estrutural. Todos os cálculos são 
baseados no tipo estrutural escolhido, seja o mais usual, composto de lajes, 
vigas e pilares, que podem compor pórticos, seja com a utilização de treliças, 
arcos, estruturas confeccionadas com cabos, entre outras. Cada um dos 
elementos que compõem esses sistemas estruturais, quando analisados como 
estruturas planas com cargas no mesmo plano, pode estar sujeito a quatro tipos 
de esforços: compressão, tração, momento fletor e cisalhamento. 
2.1 Compressão 
O esforço de compressão atua perpendicularmente a seção transversal 
do elemento, com sentido para dentro da peça, “empurrando”, como visto na 
Figura 7. 
 
 
 
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Figura 7 – Compressão 
 
Fonte: Melconian, 2018. 
Os elementos mais comuns submetidos a compressão são os pilares e os 
arcos (Figura 8). Os pilares são elementos retos, lineares, muito frequentes em 
diversos tipos de estruturas. 
Figura 8 – Pilares e arcos 
 
Crédito: Blickwinkel2511/Shutterstock. 
Na Figura 9, é possível ver pilares de concreto armado, elementos 
verticais, servindo de apoio para vigas. 
 
 
 
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Figura 9 – Pilares que suportam vigas 
 
Crédito: Qinjin/Shutterstock. 
Já os arcos são estruturas curvas, utilizadas frequentemente em 
estruturas de telhados e pontes (Figura 10). Os arcos estão sujeitos, 
majoritariamente, a esforços de compressão. 
Figura 10 – Ponte em arco 
 
Crédito: Charlied123/Shutterstock. 
 
 
 
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2.2 Tração 
O esforço de tração atua perpendicularmente a seção transversal do 
elemento, com sentido para fora da peça, “puxando”, como visto na Figura 11. 
Figura 11 – Tração 
 
Fonte: Melconian, 2018. 
Um dos principais elementos sujeitos a tração são os cabos, que 
suportam, basicamente, somente esse tipo de esforço. São utilizados 
frequentemente em pontes (Figura 12). 
Figura 12 – Ponte sustentada por cabos tracionados 
 
Crédito: Leonard Zhukovsky/Shutterstock. 
 
 
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Unindo os esforços de tração e compressão em uma única estrutura, tem-
se a treliça, feita de barras ligadas de maneira a transmitir somente esforços de 
tração e compressão. A Figura 13 ilustra um modelo de treliça utilizado em 
telhados. 
Figura 13 – Treliça 
 
Crédito: Ricardo De Paula Ferreira/Shutterstock. 
2.3 Cisalhamento 
O esforço de cisalhamento é aquele que tende a cortar o elemento, assim 
como uma tesoura corta o papel. A força cortante atua tangencialmente à área 
de seção transversal (Figura 14). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 14 – Força de cisalhamento 
 
Fonte: Melconian, 2018. 
Esse tipo de solicitação acontece frequentemente em ligações entre 
chapas parafusadas quando elas são tracionadas, conforme ilustrado na Figura 
15, na qual a parte superior do parafuso tende a ir para a esquerda, enquanto a 
parte inferior tende para a direita. 
Figura 15 – Cisalhamento em ligações parafusadas 
 
Fonte: Garrison, 2018. 
2.3 Flexão 
Os esforços de flexão tendem a flexionar os elementos. Os principais 
exemplos são as vigas e as lajes. As vigas são elementos lineares, compridos, 
 
 
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usualmente dispostos na horizontal e que recebem cargas na direção transversal 
ao seu eixo, apresentando flexão (Figura 16). 
Figura 16 – Flexão em vigas 
 
Crédito: Jefferson Schnaider. 
As lajes são elementos planos que também recebem cargas transversais. 
Na Figura 17, pode ser vista uma laje de concreto armado ainda não concretada. 
Figura 17 – Laje 
 
Crédito: Aisyaqilumaranas/Shutterstock. 
 
 
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TEMA 3 – CARGAS 
As estruturas precisam resistir às cargas atuantes na construção, por isso 
é muito importante a correta obtençãodesses valores. As cargas podem ser 
divididas de acordo com o seu tempo de duração em permanentes e acidentais. 
• Permanentes: cargas que atuam durante toda a vida da estrutura, como 
o peso próprio da estrutura. 
• Acidentais: cargas que podem variar, móveis, pessoas, máquinas etc. 
A Figura 18 ilustra algumas cargas permanentes (material da cobertura, 
piso, paredes e estrutura) e variáveis (neve, ocupantes, instalações e mobiliário). 
Figura 18 – Carga permanente e variável 
 
Crédito: Elis Dahlke. 
As cargas ainda podem ser classificadas em: carga pontual, carga 
uniformemente distribuída (CUD) e carga variável (Garrison, 2018). 
 
 
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A carga pontual é também chamada de carga concentrada, age em um 
único ponto na estrutura, como um pilar apoiando-se em uma viga. A Figura 19a 
ilustra essa situação, e a Figura 19b mostra como é feita a representação desta 
carga. 
Figura 19 – Carga pontual 
 
Fonte: Garrison, 2018. 
A carga uniformemente distribuída se distribui igualmente ao longo de um 
comprimento. Por exemplo, peso próprio de uma viga ou de uma parede. Sua 
representação está demostrada na Figura 20. 
Figura 20 – Carga uniformemente distribuída 
 
Fonte: Garrison , 2018. 
A carga uniformemente variável se distribui ao longo de um comprimento, 
porém, variando linearmente, como a carga do solo atuando em uma parede de 
contenção (Figura 21a), que pode ser representada como a Figura 21b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 21 – Carga uniformemente variável 
 
Fonte: Garrison, 2018. 
3.1 Unidades 
O Sistema Internacional de Unidades (unidades do SI) adota como 
unidade básica para comprimento, massa e tempo, respectivamente o metro (m), 
o quilograma (kg) e o segundo (s). Além disso, o peso de um corpo é expresso 
em newtons (N). 
 
Essas grandezas podem ser representadas em valores múltiplos, 
representados na Tabela 1. 
Tabela 1 – Tabela de múltiplos 
PREFIXO SÍMBOLO POTÊNCIA MULTIPLICADOR 
DECA da 101 10,00 
HECTO h 102 100,00 
QUILO k 103 1000,00 
MEGA M 106 1000000,00 
GIGA G 109 1000000000,00 
TERA T 1012 1000000000000,00 
 
DECI d 10-1 0,10 
CENTI c 10-2 0,01 
 
 
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MILI m 10-3 0,001 
MICRO μ 10-6 0,000001 
NANO n 10-9 0,000000001 
PICO p 10-12 0,000000000001 
Fonte: Giovannetti, 2022. 
Exemplo: 
1 kN = 1.000 N 
1 mm = 0,001 m; 
Usualmente, as normas apresentam o peso dos materiais, por unidade de 
área ou volume, que compõem uma obra, com esses valores calcula-se o peso 
da estrutura. 
3.2 Exemplo do cálculo de cargas 
Exemplo retirado do livro Análise das estruturas, do autor Hibbeler (2013): 
A viga do piso da Figura [...] é usada para suportar a largura de 1,8 m 
de uma laje de concreto simples tendo uma espessura de 100 mm. A 
laje serve como uma porção do forro para o andar de baixo e, portanto, 
sua parte de baixo é revestida com gesso. Além disso, uma parede do 
bloco de concreto sólido leve de 2,4 metros de altura, 300 mm de 
espessura, está diretamente sobre a mesa superior da viga. Determine 
a carga sobre a viga medida por metro de comprimento da viga. 
Figura 22 – Carga atuando sobre viga 
 
Crédito: Elias Dahlke. 
 
 
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Dados: 
• Peso do concreto da laje = 0,015 kN/(m².mm) 
• Peso do forro = 0,25 kN/m² 
• Peso da parede de blocos = 16,5 kN/m³ 
Carga uniformemente distribuída devido à laje: 
[0,015 kN/(m².mm)]*(100 mm)*1,8 m = 2,7 kN/m 
Carga uniformemente distribuída devido ao forro de gesso: 
(0,25kN/m²)*(1,8 m) = 0,43 kN/m 
Carga uniformemente distribuída devido à parede de blocos: 
(16,5kN/m³)*(2,4 m)*(0,3 m) = 11,88 kN/m 
Carga Total = 2,7 + 0,43 + 11,88 = 15,01 kN/m 
TEMA 4 – APOIOS 
Um corpo rígido no espaço, sem restrições, possui seis possibilidades de 
movimento (graus de liberdade), em relação aos eixos cartesianos x, y e z 
(Figura 23). 
• Translação nos eixos x, y e z; 
• Rotação em torno dos eixos x, y e z. 
Estruturas planas possuem somente três graus de liberdade: 
• Translação nos eixos x e y; 
• Rotação em torno de z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 23 – Eixos cartesianos 
 
Crédito: Aiex Vector/Shutterstock. 
Por sua vez, a deslocabilidade está relacionada ao deslocamento de um 
nó que gera algum esforço interno na estrutura. 
4.1 Apoios 
Apoios são os elementos responsáveis por deixar a estrutura estática, 
impedindo a movimentação dela. 
São três os principais tipos de apoio: 
• Apoio de primeiro gênero, apoio simples ou móvel; 
• Apoio de segundo gênero ou fixo; 
• Apoio de terceiro gênero ou engaste. 
O apoio de primeiro gênero impede somente um deslocamento. Para isso, 
surge uma reação (força) perpendicular ao plano do apoio. Sua representação 
simbólica está na Figura 24. 
 
 
 
 
 
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Figura 24 – Apoio simples ou móvel 
 
Fonte: Melconian, 2018. 
O apoio de segundo gênero ou fixo, impede duas movimentações, uma 
perpendicular e outra paralela ao plano. Desta maneira, surgem duas reações, 
nas mesmas direções. Sua representação está ilustrada na Figura 25. 
Figura 25 – Apoio fixo 
 
Fonte: Melconian, 2018. 
Já o apoio de terceiro gênero impede os dois tipos de deslocamento 
(paralelo e perpendicular ao plano), além da rotação. A forma de representação 
desse apoio está na Figura 26. 
Figura 26 – Engaste 
 
Fonte: Melconian, 2018. 
 
 
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Para melhor compreender a diferença desses apoios, exemplos práticos 
podem ser visualizados a seguir. Na Figura 27, do lado esquerdo, o apoio é feito 
por meio de um pino, que impede o deslocamento horizontal e vertical, porém, 
permite a rotação. Já no apoio da direita, a viga está simplesmente apoiada 
sobre a almofada de borracha sintética, portanto, o deslocamento vertical está 
impedido, mas o horizontal e a rotação são permitidos. 
Figura 27 – Apoio fixo e móvel 
 
Crédito: Jefferson Schnaider. 
Na Figura 28, está representado um apoio fixo utilizado em estruturas 
metálicas. Esse apoio também é realizado pela utilização de um pino, que 
impede os deslocamentos horizontais e verticais, porém não impede a rotação. 
 
 
 
 
 
 
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Figura 28 – Apoio fixo em estrutura metálica 
 
Crédito: Zhengzaishuru/Shutterstock. 
A Figura 29 apresenta uma viga em balanço de concreto armado, cuja 
armadura entra profundamente na parede de concreto armado, impedindo os 
três graus de liberdade, portanta, a viga não pode se deslocar de modo vertical 
ou horizontal, nem pode rotacionar. 
Figura 29 – Viga engastada 
 
Crédito: Elias Dahlke. 
 
 
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Semelhante ao caso anterior, o pilar metálico da Figura 30 encontra-se 
engastado na fundação, por meio de ancoragem e placas de reforço que 
impedem a sua rotação e translação vertical e horizontal. 
Figura 30 – Pilar engastado 
 
Crédito: Wasteresley Lima. 
TEMA 5 – EQUILÍBRIO DAS ESTRUTURAS 
Uma estrutura em equilíbrio é aquela que permanece parada, em 
repouso, mantendo o seu formato, mesmo submetida a forças e momentos 
solicitantes. Para que uma estrutura esteja em equilíbrio, suas partes também 
devem estar em equilíbrio. Um corpo estará em equilíbrio se a somatória das 
forças e dos momentos atuando sobre eles for nula. Para que esse requisito seja 
cumprido, uma estrutura plana deve atender as equações a seguir: 
 
Somatória das forças na direção x deve ser zero, assim como a somatória 
das forças na direção y e dos momentos na direção z. Essas equações são 
conhecidas como equações de equilíbrio. 
 
 
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Um exemplo de estrutura em equilíbrio seria um nadador saltando de um 
trampolim e o empurra para baixo. Desta forma, o engaste do trampolim reage 
com uma força de igual intensidade para cima e com um momento fletor, como 
mostrado na Figura 31. 
Figura 31 – Equilíbrio do trampolim 
 
Crédito: Flávio Oliveira. 
Quanto à estaticidade, as estruturas de corpo rígido, internamente 
estáveis, podem ser classificadas em três tipos: hipoestáticas, isostáticas e 
hiperestáticas. 
5.1 Hipoestáticas 
As estruturas hipoestáticas não apresentamvínculos suficientes para a 
sua estabilidade, ou seja, podem apresentar movimentação. Um exemplo 
simples desse tipo de estrutura seria um skate, que apresenta dois apoios de 
primeiro gênero, restringindo a movimentação vertical para baixo, porém, 
possibilitando os outros tipos de deslocamentos e rotações. 
5.2 Isostáticas 
Ao contrário das estruturas anteriores, as isostáticas não apresentam 
nenhum tipo de movimentação, pois possuem exatamente a mesma quantidade 
de vínculos que a necessária para permanecerem no equilíbrio estático. No caso 
de estruturas planas estáticas internamente, elas apresentam três restrições 
posicionadas de maneira a restringir o movimento. Sendo que existem três 
Trampolim 
 
 
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equações de equilíbrio, como visto anteriormente, o equilíbrio dessas estruturas 
pode ser calculado somente com essas equações. 
Exemplos dessas estruturas podem ser visualizados na Figura 32. A 
Figura 32a ilustra uma viga engastada, a Figura 32b representa uma viga 
biapoiada e a Figura 32c mostra um pórtico. 
Figura 32 – Estruturas isostáticas 
 
Fonte: Kassimali, 2016. 
5.3 Hiperestáticas 
As estruturas hipoestáticas são aquelas que não possuem vínculos 
suficientes, as isostáticas são as que apresentam exatamente a quantidade 
suficiente de vínculos e, por sua vez, as estruturas hiperestáticas apresentam 
mais vínculos do que o necessário para o equilíbrio. A viga apresentada na 
Figura 33 apresenta quatro reações, uma a mais que o necessário para o 
equilíbrio estático. 
Figura 33 – Viga hiperestática 
 
Fonte: Kassimali, 2016. 
 
 
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A Figura 34 corresponde a uma viga biengastada, possuindo seis 
reações: três a mais do que o número de equações de equilíbrio. 
Figura 34 – Viga biengastada 
 
Fonte: Kassimali, 2016. 
O pórtico da Figura 35 tem dois apoios de segundo gênero, portanto, 
quatro reações. Assim, sobra uma reação para que o equilíbrio estático seja 
garantido. 
Figura 35 – Pórtico hiperestático 
 
Fonte: Kassimali, 2016. 
Como essas estruturas são internamente estáveis e apresentam mais de 
três reações, mais de três incógnitas, seu cálculo não pode ser realizado 
somente com as equações de equilíbrio. 
FINALIZANDO 
Nesta etapa, revisamos alguns conteúdos muito importantes no cálculo 
de estruturas que serão base para nossos estudos, como vínculos e equilíbrio 
de estruturas. 
Vimos, também, as etapas de um projeto estrutural e seus principais 
elementos. Aprendemos a calcular as cargas atuantes em uma edificação, 
utilizando um exemplo aplicado a uma viga. Por fim, entendemos como as 
estruturas são separadas quanto a seus graus de estaticidade: hipoestática, 
isostática e hiperestática. 
 
 
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REFERÊNCIAS 
GARRISON, Philip. Fundamentos de estruturas. tradução: Ronald Saraiva de 
Menezes; revisão técnica: Luttgardes de Oliveira Neto. Porto Alegre: Bookman, 
2018. 
HIBBELER, R.C. Análise das estruturas, tradução Jorge Ritter; revisão técnica 
Pedro Vianna. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2013. 
KASSIMALI, A. Análise estrutural. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2016. 
LEET, K; M.; UANG, C. M.; GILBERT, A. M. Fundamentos da análise 
estrutural. São Paulo: Grupo A, 2009. 
MARTHA, L. Análise de estruturas – conceitos e métodos básicos. Rio de 
Janeiro: Grupo GEN, 2017. 
MELCONIAN, S. Mecânica técnica e resistência dos materiais. São Paulo: 
Saraiva, 2018. 
ONOUYE, B; KANE, K. Estática e resistência dos materiais para arquitetura 
e construção de edificações. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2015.