Resumo de trigonometria

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Resumo 
Definições das Razões Trigonométricas Seno, Cosseno e Tangente 
 
𝑠𝑒𝑛(𝜃) =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
 
𝑐𝑜𝑠(𝜃) =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
 
𝑡𝑔(𝜃) =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 
 
Graus e Radianos 
 
Grau (°) Radianos (𝑟𝑎𝑑) 
30° 𝜋
6
𝑟𝑎𝑑 
45° 𝜋
4
𝑟𝑎𝑑 
60° 𝜋
3
𝑟𝑎𝑑 
90° 𝜋
2
𝑟𝑎𝑑 
180° 𝜋𝑟𝑎𝑑 
360° 2𝜋𝑟𝑎𝑑 
 
Ângulos Notáveis 
 
 
 
 
 
 
Circunferência Trigonométrica 
 
A circunferência trigonométrica é uma circunferência de raio unitário e com centro na origem do 
referencial. 
 
 
 
O cosseno do ângulo é dado pela abcissa do ponto de interseção do lado extremidade do ângulo com a 
circunferência trigonométrica. 
O seno do ângulo é dado pela ordenada do ponto de interseção do lado extremidade do ângulo com a 
circunferência trigonométrica. 
A tangente do ângulo é dada pela ordenada do ponto de interseção do lado extremidade do ângulo ou do 
seu prolongamento com o eixo das tangentes (reta de equação 𝒙 = 𝟏). 
 
 
 
 
 
 
 
Sinais das Razões Trigonométricas 
 
Cosseno Seno Tangente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Circunferência de raio diferente de 1 
 
 
 
 
−1 ≤ cos (𝛼) ≤ 1 tg(α) ∈ ℝ −1 ≤ sen (𝛼) ≤ 1 
Reduções ao 1º Quadrante 
 
Uma referência horizontal mantém a razão trigonométrica. 
Uma referência vertical altera a razão trigonométrica para a sua co-razão (𝒔𝒆𝒏(𝜽) passa a 𝒄𝒐𝒔(𝜽) e vice-
versa; 𝒕𝒈(𝜽) passa a 
𝟏
𝒕𝒈(𝜽)
 e vice-versa). 
Não te esqueças de ver o sinal! 
 
O seno e a tangente são funções ímpares: 
 
 𝑠𝑒𝑛(−𝜃) = −𝑠𝑒𝑛(𝜃) 
 
 𝑡𝑔(−𝜃) = −𝑡𝑔(𝜃) 
 
O cosseno é uma função par: 
 𝑐𝑜𝑠(−𝜃) = 𝑐𝑜𝑠(𝜃) 
 
 
 
 
 
Fórmulas Trigonométricas (11º ano) 
 
𝑠𝑒𝑛2(𝜃) + 𝑐𝑜𝑠2(𝜃) = 1 (Relação Fundamental da Trigonometria) 
1 + 𝑡𝑔2(𝜃) =
1
𝑐𝑜𝑠2(𝜃)
 
𝑡𝑔(𝜃) =
𝑠𝑒𝑛(𝜃)
cos (𝜃)
 
 
Fórmulas da Adição e da Diferença 
 
𝑠𝑒𝑛(𝛼 ± β) = 𝑠𝑒𝑛(𝛼) cos(𝛽) ± cos(𝛼) 𝑠𝑒𝑛(𝛽) 
𝑐𝑜𝑠(𝛼 ± β) = 𝑐𝑜𝑠(𝛼) cos(𝛽) ∓ sen(𝛼) 𝑠𝑒𝑛(𝛽) 
𝑡𝑔(𝛼 ± β) =
𝑡𝑔(𝛼)±𝑡𝑔(𝛽)
1∓𝑡𝑔(𝛼)𝑡𝑔(𝛽)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fórmulas da Duplicação 
 
𝑠𝑒𝑛(2𝛼) = 2𝑠𝑒𝑛(𝛼) cos(𝛼) 
𝑐𝑜𝑠(2𝛼) = 𝑐𝑜𝑠2(𝛼) − sen2(𝛼) = 1 − 2 sen2(𝛼) = 2𝑐𝑜𝑠2(𝛼) − 1 
𝑡𝑔(2𝛼) =
2𝑡𝑔(𝛼)
1−𝑡𝑔2(𝛼)
 
 
Mnemónica: 
A fórmula do seno é seno, cosseno, cosseno, 
seno e ele é honesto. 
A fórmula do cosseno é cosseno, cosseno, 
seno, seno e ele é mentiroso. 
A fórmula da tangente é honesta em cima e 
mentirosa em baixo. 
Equações Trigonométricas 
 
Equações trigonométricas com a razão seno 
Casos particulares 
 
𝒔𝒆𝒏(𝒙) = 𝟏 ⇔ 𝒙 =
𝝅
𝟐
+ 𝟐𝒌𝝅; 𝒌 ∈ ℤ 
 
Ex.: 𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 𝜋) = 1 ⇔ 3𝑥 + 𝜋 =
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ ⇔ 3𝑥 = −
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ ⇔ 𝑥 = −
𝜋
6
+
2𝑘𝜋
3
; 𝑘 ∈ ℤ 
 
 
𝒔𝒆𝒏(𝒙) = −𝟏 ⇔ 𝒙 = −
𝝅
𝟐
+ 𝟐𝒌𝝅; 𝒌 ∈ ℤ 
 
 
 
 
 
𝒔𝒆𝒏(𝒙) = 𝟎 ⇔ 𝒙 = 𝒌𝝅; 𝒌 ∈ ℤ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso geral 
 
𝒔𝒆𝒏(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏(𝜶) ⇔ 𝒙 = 𝜶 + 𝟐𝒌𝝅 ⋁ 𝒙 = 𝝅 − 𝜶 + 𝟐𝒌𝝅 ; 𝒌 ∈ ℤ 
 
Ex.: 𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 𝜋) =
1
2
⇔ 𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 𝜋) = 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
6
) ⇔ 3𝑥 + 𝜋 =
𝜋
6
+ 2𝑘𝜋 ⋁ 3𝑥 + 𝜋 = 𝜋 −
𝜋
6
+ 2𝑘𝜋 ; 𝑘 ∈ ℤ 
⇔ 𝑥 = −
5𝜋
18
+
2𝑘𝜋
3
⋁ 𝑥 = −
𝜋
18
+
2𝑘𝜋
3
; 𝑘 ∈ ℤ 
 
 
Equações trigonométricas com a razão cosseno 
Casos particulares 
 
𝒄𝒐𝒔(𝒙) = 𝟏 ⇔ 𝒙 = 𝟐𝒌𝝅; 𝒌 ∈ ℤ 
 
𝒄𝒐𝒔(𝒙) = −𝟏 ⇔ 𝒙 = 𝝅 + 𝟐𝒌𝝅; 𝒌 ∈ ℤ 
 
 
 
𝒄𝒐𝒔(𝒙) = 𝟎 ⇔ 𝒙 =
𝝅
𝟐
+ 𝒌𝝅; 𝒌 ∈ ℤ 
 
 
Caso geral 
 
𝒄𝒐𝒔(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔(𝜶) ⇔ 𝒙 = 𝜶 + 𝟐𝒌𝝅 ⋁ 𝒙 = −𝜶 + 𝟐𝒌𝝅 ; 𝒌 ∈ ℤ 
 
Equações trigonométricas com a razão tangente 
Caso geral 
 
𝒕𝒈(𝒙) = 𝒕𝒈(𝜶) ⇔ 𝒙 = 𝜶 + 𝒌𝝅; 𝒌 ∈ ℤ 
 
 
Técnicas para resolver equações trigonométricas (12º ano) 
 
1. Recorrer às fórmulas da adição e da diferença 
 
1.1. Diretamente… 
 
 
 
1.2. Quando existem termos com seno e cosseno com o mesmo argumento e o coeficiente de uma 
das razões trigonométricas é √𝟑 ou √𝟐, divide-se todos os termos da equação por 2, para fazer 
aparecer a fórmula da adição ou da diferença. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3. Quando existem termos com seno e cosseno com o mesmo argumento e o seu coeficiente é 𝟏 e 
existe um termo independente não nulo, multiplica-se todos os termos da equação por 
√𝟐
𝟐
, para 
fazer aparecer a fórmula da adição ou da diferença. 
 
 
 
2. Quando apenas existem dois termos significativos, um com seno e outro com cosseno, ambos com 
coeficiente 1 deve-se igualar o seno ao cosseno, somar e subtrair 
𝝅
𝟐
 no argumento do seno e aplicar, 
de seguida, uma redução ao 1º quadrante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Quando existe um termo com cosseno cujo argumento é o dobro do de outra razão trigonométrica 
(seno ou cosseno), então deve-se aplicar a fórmula de duplicação do cosseno que se adequar melhor 
e resolver a equação a partir da fórmula resolvente. 
 
 
 
 
 
4. Recorrer às fórmulas da duplicação 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Às vezes é útil colocar algo em evidência… 
 
 
 
 
Simplificações Úteis 
 
cos(𝑥) 𝑡𝑔(𝑥) = cos(𝑥) ×
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos(𝑥)
= 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
 
𝑡𝑔2(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛2(𝑥)
𝑐𝑜𝑠2(𝑥)
 
 
[𝑠𝑒𝑛(𝑥) + cos(𝑥)]2 = 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) + 2𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) = 1 + 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 
 
cos(𝑥)−𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos (2𝑥)
=
cos(𝑥)−𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑐𝑜𝑠2(𝑥)−𝑠𝑒𝑛2(𝑥)
=
cos(𝑥)−𝑠𝑒𝑛(𝑥)
[cos(𝑥)−𝑠𝑒𝑛(𝑥)][cos(𝑥)+𝑠𝑒𝑛(𝑥)]
=
1
cos(𝑥)+𝑠𝑒𝑛(𝑥)
 
 
𝑐𝑜𝑠4(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛4(𝑥) = [𝑐𝑜𝑠2(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)][𝑐𝑜𝑠2(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)] = cos (2𝑥) 
 
1+𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
cos (2𝑥)
=
𝑠𝑒𝑛2(𝑥)+2𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥)+𝑐𝑜𝑠2(𝑥)
𝑐𝑜𝑠2(𝑥)−𝑠𝑒𝑛2(𝑥)
=
[cos(𝑥)+𝑠𝑒𝑛(𝑥)]2
[cos(𝑥)−𝑠𝑒𝑛(𝑥)][cos(𝑥)+𝑠𝑒𝑛(𝑥)]
=
cos(𝑥)+𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos(𝑥)−𝑠𝑒𝑛(𝑥)
 
 
cos(3𝑥) = cos(2𝑥 + 𝑥) = cos(2𝑥) cos(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥) = ⋯ 
 
 
 
 
 
	Definições das Razões Trigonométricas Seno, Cosseno e Tangente
	Graus e Radianos
	Ângulos Notáveis
	Circunferência Trigonométrica
	Reduções ao 1º Quadrante
	Fórmulas Trigonométricas (11º ano)
	Fórmulas da Adição e da Diferença
	Fórmulas da Duplicação
	Equações Trigonométricas
	Simplificações Úteis