Nota 8 de mai de 2023 22_05_47

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Aplicações de Matrizes
1 Computação GráficaRotaçãoEscala eTranslação
Observe nas figuras abaixo um AIABC sujei
a cada uma das transformações
A Rotação do AABCde30
e B no sentido antihorário em
o
torno daorigem
C
É
B
É A
Rotação Uma rotação de graus de um ponto x y
no sentido anti horário e em tornodaorigem é
feita a partir da Multiplicação de Matriz
Risco sema pelamatrizPE gerando uma novamatrizpenta COM
PER P
Exemplo 01
Vamos encontrar a nova coordenada do Ponto 2,3
após uma rotação de só no sentido anti horário
Solução
era Elis f E Ei ei p
f E f f 3 i exis 3,2 Anova coordenada
Escala Uma mudança de escalade um pontos
em relação à origem usando um fator multiplicativo Sx
para a coordenadada x e um fator SS para a coordenada y e
feita usandose a matriz Eff 9 e a matriz pf de forma
que P EP
Exemplo 02
Vamos escalar as duas coordenadas do ponto 2,3
em 100
Solução
Aumenta 100 é multiplicar por 2 Assim Sx 2 e
Sy 2 logo
FE 1 3Af portanto a nova coordenada 4,6
Translação Translação de um ponto x 4 deTx
unidade para a direita na coordenada e Tyunidades
para cima na coordenada y é feitopela soma damatriz
F f com amatrizpaf gerando umamatriz f F com a
nova posição XY dos pontos após a translação PITT P
Exemplo 03
VamosTransladar oPonto12,3 em 4unidades cima 3unidade a
esquerda
Solução
para Tx 3 e Ty 4 vem
E E 3 f logo a nova
coordenadaseráEs7
Aplicação de Determinantes
Combinação Linear
Dados os Vetores V1 V2 e V3 uma expressão
do Tipo xava aV2 XX em que v1 da ex são
números reais é uma combinação linear dosvetores
V1 V2 e V13
Exemplov3 1,8 2 é umacombinação lineardosvetoresjffff
1 1,8 2 2111,1 1 22612,0 1 da da
18,2 4,4 9 4,22,0
EI8,2 Xi 4,47222 a Xp 2 Já22 271
V3 1,812 211,1 1 7311,210
V3 2V1 3V2 EI 8,2
Vetores linearmente independentes L I
e vetores linearmente dependentes I D
Linearmente Independentes Ll
São linearmente Independentes quandonenhum
deles são combinação linear dos demais Ousejanãoe
possívelencontrarnúmeros reais da da Ana de tal forma
que Un X1V17 42V27 Rn1Um1 Nemnúmeros reais BaBa Br
Wa BaV1 B V2T Br i Um1 tampouconúmeros reais ra ra vn
Zn V1V17 V2V27 t Va i Va 1
Exemplo Dados o vetoresvela0,0 velasdeV3 0,0 1
Onde V1741 7 Xiv3 110,071014,0110,0 a 110,0710,9 Xa
LinearmenteDependente LD
Quandofor possível escrever pelomenos um dos
vetores como combinação linear dosdemais elesserão
linearmente dependentes LD
ExemploDados os vetores va 1,1 2 Ue 2,3 4 ev34516,10
onde V3 3 V1 t Va 56,10 31,1 27112,34 5,6 10
OBS Dizemos que os vetores v1 V2 Um pãolinearmente
dependente LD significa dizerquesãocoplanares ou seja
pertence ao mesmoplano
Se um dos vetores va va Um é nulo então os vetores
são linearmente dependentes LD
MétodoPara Verificar De Vetores são 4 ou LD
ParaLD Podemos escrever Vn Xvi tava t tk Nnn
encontraremos 91 da an r valores verdadeiros
Para LI encontraremos a ar em valoresfalsos
Verificação dadependência linearde vetores
Paraverificar se um conjunto de vetoresé LD ou LI
a partir do valor do determinante da matriz formada
pelosvetores Se o determinante fornulo então os valores
considerados serão LD Caso contrário serão L I
V1 Xp Ya 21 V22 X2 42 2 e V32 X3,3 Z
m EFEE deter o será c DOU
detem o será LI
Determinação de um Sistema Linear
Dado um sistema Linear de a equações em
a incógnitas ele será determinado ou seja terá
solução única se as e equações lineares foremlinearmente independentes e compatíveis Assim
o determinante da matriz formada peloscoeficientesdas incógnitas do sistema não pode ser
nulo
E E EH
M PáE
detento será determinadosoluçãoúnicaluz
detem o será indeterminado
váriassoluções