Muro de Gravidade

Prévia do material em texto

Objetivo de aprendizado desta aula
Analisar o emprego de muros de gravidade como solução de 
contenção.
Calcular um muro de contenção para diversas situações de projeto. 
Analisar e planejar a execução de muro de gravidade
Prof. Alan de Paula 
Almeida
E-mail_alan.almeida@fmu.br
mailto:E-mail_alan.almeida@fmu.br
Aula 6
Muros de gravidade
• Concepção e características
• Dimensionamento
MURO DE ARRIMO OU DE CONTENÇÃO
Muro de arrimo são estruturas usadas para prevenir que o solo 
assuma sua inclinação natural.
Introdução
As 5 etapas para dimensionar um muro de gravidade
Você está elaborando um projeto residencial e, ao receber o projeto topográfico do 
terreno onde a residência será executada, você percebe que há um grande desnível de 
terra e que você terá que realizar o dimensionamento de um muro de arrimo.
Não precisa se desesperar. É bem mais simples do que você imagina...
Etapas do dimensionamento
Então, podemos dividir o dimensionamento de um muro de gravidade em três etapas:
1.Cálculo dos empuxos (vimos na aula anterior);
2.Pré-dimensionamento do muro de arrimo: nessa etapa, iremos arbitrar as dimensões iniciais do nosso muro
de gravidade;
3.Verificação da estabilidade do muro: nessa etapa, iremos fazer as verificações de equilíbrio do muro e das 
tensões no solo.
Como já tratamos do cálculo do empuxo, vamos então agora para a etapa de pré-dimensionamento da nossa 
contenção.
Iremos agora apresentar o pré-dimensionamento para as três geometrias de murs de arrimo de gravidade 
mais utilizados na prática ( Pré-dimensionamento).
Muro de seção retangular
É muito utilizado para pequenas alturas de contenção. Podemos fazer o pré-
dimensionamento desse tipo de muro, em pedra argamassada ou concreto ciclópico, a 
partir das equações na figura abaixo.
Você pode perceber que, de maneira geral, os pré-
dimensionamentos de muros são feitos a partir da altura de 
solo a ser contida, que geralmente é o dado inicial de que se 
tem conhecimento
Pré-dimensionamento de muro de seção retangular
Muro de seção trapezoidal
Os muros de seção trapezoidal talvez sejam os mais utilizados dos muros de gravidade. O
pré-dimensionamento desse tipo de estrutura pode ser feito de acordo com as equações
ilustradas nas figuras abaixo
Pré-dimensionamento de muro
de seção trapezoidal
Muro com perfil escalonado
Esse tipo de muro é uma solução muito adotada em estruturas cujo material de construção é a pedra
argamassada.
A seguir, é ilustrado um muro com equações usuais no pré-dimensionamento desse tipo de estrutura.
Agora que já temos uma noção 
das diretrizes para o pré-
dimensionamento do nosso 
muro de arrimo, vamos 
aprender as condições de 
estabilidade do muro e de 
tensão no solo.
Pré-dimensionamento de muro escalonado
Condições de estabilidade
Considere um empuxo ativo atuando sobre um muro de gravidade, ilustrado na figura abaixo.
Esquema de forças atuantes no muro
Condições de estabilidade
Podemos perceber que o empuxo ativo causa sobre o muro a tendência à dois efeitos: o de deslizamento ao 
longo da base e o de tombamento do muro, como podemos ver nas figuras abaixo
Tendência de deslizamento e tombamento do muro
Logo, podemos dizer que para considerarmos o equilíbrio estático do muro, temos as 
seguintes condições:
Σfh= 0
ΣMA= 0
Onde:
•FH: forças horizontais atuantes no muro;
•MA: momentos em torno do ponto A.
É valido lembrar que além de atender a tais condições de estabilidade, ainda devem ser 
realizadas duas verificações:
•Verificação das tensões no solo ao longo da base do muro, a fim de garantir que o solo 
não sofrerá ruptura por compressão;
•Estabilidade global do maciço de solo, considerando o muro de arrimo
PROJETO DE MURO
Para projetar e dimensionar muros de arrimo deve-se considerar que os 
muro são estruturas que :
• permitem uma mudança de nível – para reforçar um talude ou suportar um 
corte;
• suportam empuxos de terra que é a ação produzida pelo maciço terroso sobre 
as obras com ele em contato.
A determinação do valor do empuxoé fundamental na análise e projeto de 
muros de arrimo.
PROJETO DE MURO
1ª. Etapa
Pré-dimensionamento.
O projeto é conduzido assumindo-se um pré-dimensionamento
2ª. Etapa
Definição dos esforços atuantes.
• Cálculo do empuxo de terra
3ª. Etapa
Verificação das condições de estabilidade
• Tombamento .
• Escorregamento.
• Ruptura do terreno de fundação
1ª. Etapa
Pré-dimensionamento.
MURO DE GRAVIDADE
CRISTA
LARGURA DA BASE
ALTURA DA BASE
1ª. Etapa
Pré-dimensionamento.
MURO DE FLEXÃO
CRISTA
LARGURA DA BASE
ALTURA DA BASE
2ª. Etapa 
Definição dos esforços atuantes.
Ação produzida pelo maciço terroso sobre as obras em contato
Métodos mais utilizados:
• METODO DE RANKINE
• MÉTODO DE COULOMB
2ª. Etapa
Definição dos esforços atuantes.
• Supõe que:
• Empuxos laterais são limitados a paredes verticais;
• Empuxos laterais variam linearmente com a profundidade;
• A pressão resultante é encontrada a 1/3 da altura (acima da base da parede);
• A força resultante do empuxo é paralela a superfície do terreno.
MÉTODODE RANKINE
2ª. Etapa
EAV
Definição dos esforços atuantes.
• METODO DE RANKINE
• Cálculo dos empuxos totais: E A e Ep
Bo
H
EA
EAH
EP
B
2ª. Etapa
Definição dos esforços atuantes.
• METODO DE RANKINE
Fórmulas - cálculo dos empuxos totais: Empuxo Ativo e Passivo
• Empuxo ativo Coeficiente de Empuxo ativo
MÉTODODE RANKINE
• Empuxo passivo Coeficiente de Empuxo ativo
2ª. Etapa
Definição dos esforços atuantes.
• Empuxo ativo
MÉTODODE RANKINE
• Empuxo ativo horizontal (Eah) e Empuxo ativo vertical (Eav)
2ª. Etapa
Definição dos esforços atuantes.
• Cálculo do peso do muro e momentos
• Características do material de construção do muros
➢ Ex: muro de concreto armado
Obs.: Dividir o muro em áreas para cálculo de peso e momentos
MÉTODODE RANKINE
Area Peso
(t)
Braço de 
alavanca 
(m)
Momento 
(t.m/m)
1
2
3
Soma (t) (t.m/m)
3ª. Etapa 
Verificação das condições de estabilidade
Na verificação de um muro de arrimo, seja qual for a sua seção, devem ser
investigadas as seguintes condições de estabilidade:
• tombamento;
• deslizamento da base;
• capacidade de carga da fundação
ESTABILIDADE DOS MUROS DE ARRIMO
Verificação de condições de estabilidade
3ª. Etapa 
Verificação das condições de 
estabilidade
• Segurança contra Tombamento
Para que o muro não tombe em torno da extremidade externa (ponto A da Figura) 
momento resistente deve ser maior do que o momento solicitante.
∑Mres > ∑Msolic
o
• O momento resistente (Mres) corresponde ao momento gerado pelo peso do muro.
• O momento solicitante (Msolic) é definido como o momento do empuxo total atuante em 
relação ao ponto A.
3ª. Etapa 
Verificação das condições de estabilidade
• Segurança contra Deslizamento
A segurança contra o deslizamento consiste na verificação do equilíbrio das 
componentes horizontais das forças atuantes, com a aplicação de um fator 
de segurança adequado:
∑Fres >∑ Fsolic
3ª. Etapa 
Verificação das condições de estabilidade
• Segurança contra Deslizamento
• O valor de S é calculado pelo produto da resistência ao cisalhamento na
base do muro vezes a largura; isto é :
3ª. Etapa 
Verificação das condições de estabilidade
• Capacidade de carga
A capacidade de carga consiste na verificação da segurança contra a ruptura e deformações excessivas do 
terreno de fundação.
A análise geralmente considera o muro rígido e a distribuição de tensões linear ao longo da base.
Se a resultante das forças atuantes no muro localizar-se no núcleo centra da base do muro, o diagrama de 
pressões no solo será aproximadamente trapezoidal.
O terreno estará submetido apenas a tensões de compressão.
3ª. Etapa 
Verificação das condiçõesde estabilidade
• Capacidade de carga
• A Figura apresenta os esforços atuantes na base do muro. A distribuição de pressões verticais na base do muro
apresenta uma forma trapezoidal .
•Esta distribuição não uniforme é devida à ação combinada do peso W e do empuxo E sobre o muro. As equações 
de equilíbrio serão:
onde: V = somatório das forças verticais; e = excentricidade; b = largura da base do 
muro.
3ª. Etapa 
Verificação das condições de estabilidade
• Capacidade de carga
e’
onde: V = somatório das forças verticais; e = excentricidade; b = largura da base do muro.
3ª. Etapa 
Verificação das condições de estabilidade
• Capacidade de carga
A excentricidade é calculada pela resultante de momentos em relação ao 
ponto A:
Deve-se garantir:
• que a base esteja submetida a tensões de compressão (𝜎min > 0)
•a resultante deve estar localizada no terço central; ou seja, e <B / 6 , 
para evitar pressões de tração na base do muro.
3ª. Etapa
Verificação das condições de estabilidade
• Capacidade de carga
Exemplo de como dimensionar um muro de Gravidade
Dimensionar um muro de gravidade em concreto ciclópico ( γp.esp. = 25kN/m³ ) 
para um desnível de 3,0 m, utilizando como solução um muro de seção 
escalonada.
Dados do solo local:
• γ solo ​=19kN/m;
• Ângulo de atrito interno φ=35;
• Coeficiente de atrito entre base do muro e solo μ=0,4;
• c=0 (areia pura);
• Tensão admissível de compressão do solo σ adm​=150kN/m2.
Exemplo de como dimensionar um muro de Gravidade
Pré-dimensionamento
do muro 
Para o pré-
dimensionamento do 
muro de gravidade 
escalonado, vamos 
utilizar sobre as etapas 
de dimensionamento de 
um muro de gravidade.
Agora que já fizemos o pré-dimensionamento, vamos para etapa de determinar as 
forças que estão atuando sobre o muro.
1,0 m
Exemplo de como dimensionar um muro de Gravidade
Determinação das forças atuantes
Para o muro de gravidade em questão, podemos dizer que as forças atuantes 
sobre o mesmo são:
•Empuxos do solo (ativo e passivo);
•Peso próprio do muro;
•Peso de solo sobre o muro, na região escalonada;
•Força de atrito na base do muro.
Exemplo de como dimensionar um muro de Gravidade
Representando essas forças sobre o muro, temos:
Exemplo de como dimensionar um muro de Gravidade
Perceba que nós separamos o peso próprio do muro, bem como o peso de solo 
sobre o mesmo, em várias parcelas para facilitar seu cálculo e posteriormente 
seus pontos de aplicações.
Como já citado o cálculo de empuxos, podemos calcular os empuxos através do
volume do prisma de tensões horizontais representados na figura acima.
Para o cálculo do peso próprio, tanto de solo, quanto do muro, basta calcular o 
volume de material e multiplicar pelo seu peso específico.
A seguir, vamos calcular todas as ações atuantes sobre o muro para cada metro de 
largura do mesmo. Ou seja, para os cálculos a seguir, vamos considerar a largura
de 1,0 m de muro.
Exemplo de como dimensionar um muro de Gravidade
Determinação dos empuxos
Vamos agora realizar o cálculo dos empuxos ativo e passivo atuantes sobre o muro 
de gravidade. Para tal, iniciaremos com o cálculo dos coeficientes de empuxo.
Ka = Tan² ( 45 - ) = Tan² ( 45 -
σ 35
2 2
) = 0,27
Kp =
1
𝐾𝑎
= 3,69
Agora que já calculamos os valores dos coeficientes de empuxo, conseguimos
calcular as tensões horizontais, e por consequência, os empuxos atuantes no
muro.
Exemplo de como dimensionar um muro de Gravidade
Então, as tensões horizontais ativa e passiva de na base do muro são:
σha​=γ⋅h⋅ka​=19⋅4⋅0,27=20,52kN
σhp​=γ⋅h⋅kp​=19⋅1⋅3,69=70,11kN
Exemplo de como dimensionar um muro de Gravidade
Por fim, determinaremos o empuxo ativo e passivo e seus pontos de aplicação no 
muro, que são o centroide dos respectivos prismas de tensões.
Ea =
ℎ ∗ σℎ𝑎 4 ∗20,52
2 2
= = 41,04 Kn
Ep =
ℎ ∗ σℎ𝑎 1 ∗70,11
2 2
= = 35,06 Kn
Ponto de aplicação ( Pa ) = =
ℎ 4
3 3
= 1,33𝑚
Ponto de aplicação ( Pp ) = =
ℎ 1
3 3
= 0,33𝑚
Lembrando que tais cotas de aplicação de 
carga estão sendo calculados em relação ao 
ponto A, na base do muro (vide figura acima), 
que é o ponto de verificação de tombamento 
da estrutura.
Exemplo de como dimensionar um muro de Gravidade
Cálculos dos pesos próprios
Para o cálculo dos pesos próprios, do muro e do solo acima do muro, como mostrado na figura acima, separamos 
em várias parcelas. Vamos calcular cada uma, com seu respectivo ponto de aplicação em relação ao ponto A, e 
por fim, determinar o peso total e seu ponto de aplicação.
G1​= (b * h * γ esp) = 0,5⋅1⋅25=12,5kN 
Atuando ao ponto A – XG1 = 0,25m
G2​=1⋅4⋅25=100kN - xG2​=1,0m
G3​=0,5⋅3⋅25=37,5kN - xG3​=1,75m
G4​=0,5⋅2⋅25=25kN - xG4​=2,25m
G5​=0,5⋅1⋅25=12,5kN - xG5​=2,75m
1,00 0,50 0,50 0,50
1,00
0,50
G2
1,00 G3
1,00 G4
1,00 G1 G5
A
Exemplo de como dimensionar um muro de Gravidade
Agora que já sabemos todas as parcelas do peso próprio do muro, sabemos que o 
peso total é a soma de todas as parcelas e que o ponto de aplicação do peso total, 
poderá ser calculado segundo conceitos de mecânica, através da seguinte 
formulação:
GT = ΣGI = 187,5 KN
Xgt =
Σ𝐺𝐼 ∗𝑋𝐼 = 𝐺1∗𝑋𝐺1+𝐺2 ∗𝑋𝐺2… = 1,38 m
𝐺𝑇 𝐺𝑇
Exemplo de como dimensionar um muro de Gravidade
1,00 0,50 0,50 0,50
1,00
0,50
W1
W2
W3
G2
1,00 G3
1,00 G4
1,00 G1 G5
A
Para o cálculo do peso de solo acima do muro, utilizaremos o mesmo raciocínio, logo temos:
W1​=0,5⋅1⋅19 = 9,5kN
XW1 ​=1,75m
W2=0,5⋅2⋅19 = 19kN
XW2 ​=2,25m
W2=0,5⋅3⋅19 = 28,5kN 
XW2 ​=2,75m
WT = ΣWI = 57Kn
Xwt = =
Σ𝑤𝐼 ∗𝑋𝐼 𝑤1∗𝑋𝑤1+𝑤2 ∗𝑋𝑤2+ …
𝑤𝑇
𝑤
= 2,42 m
Exemplo de como dimensionar um muro de Gravidade
Agora que já calculamos todas as forças atuantes sobre o muro de gravidade, vamos 
para as verificações de deslizamento, tombamento e capacidade de carga do solo.
Para a verificação de deslizamento, temos que:
Fs=
𝐸𝑝+𝐹𝑎𝑡
𝐸𝑎
≥ 1,5
Por equilíbrio de forças verticais, podemos deduzir:
N = GT ​+WT​
Logo:
Fat​ =N⋅μ = (187,5+57)⋅0,4 = 97,8kN
Exemplo de como dimensionar um muro de Gravidade
Temos, portanto, que:
Fs =
𝐸𝑝+𝐹𝑎𝑡 35,06+97,08
𝐸𝑎 41,04
= = 3,24 ≥ 1,5
Ou seja, podemos garantir que nosso muro de gravidade está seguro quanto ao 
deslizamento.
Perceba também que como o fator de segurança é muito maior do que 1,5, poderíamos 
também voltar à etapa de pré-dimensionamento e propor um muro menos robusto, mas 
como estamos realizando um estudo acadêmico, vamos continuar com as próximas 
verificações.
Exemplo de como dimensionar um muro de Gravidade
Exemplo de como dimensionar um muro de Gravidade
Verificação ao tombamento
Fs =
𝑀𝑔+𝑀𝑤+𝑀𝑒𝑝
𝑀𝐸𝑎
=
187,5 ∗1,38+57 ∗ 2,42+35,06 ∗0.33
41,04 ∗1,33
=
7,48 ≥ 1,5
Empuxo p.
Fazendo ele tombar
Mgt
Mw
Mep
41,04KN
187,5KN
35,06KN
O que aprendemos na aula de hoje
Interpretar corretamente o projeto de estruturas de contenção 
especiais e fazer o seu dimensionamento
Dimensionar um muro de Gravidade
3 pontos – 08/05/2023
Dimensionar um muro de gravidade em concreto ciclópico ( γp.esp. = 20kN/m³ ) 
para um desnível de 2,0 m, utilizando como solução um muro de seção
escalonada, fazer os diagramas.
Dados do solo local:
• γ solo ​=17kN/m;
• Ângulo de atrito interno φ=30;
• Coeficiente de atrito entre base do muro e solo μ=0,4;
• c=0 (areia pura);
• Tensão admissível de compressão do solo σ adm​=120kN/m2.
Próxima Aula
Sobre cortina e estaca prancha.
	Slide 1: Objetivo de aprendizado desta aula
	Slide 2
	Slide 3: Aula 6 Muros de gravidade
	Slide 4: Introdução
	Slide 5: As 5 etapas para dimensionar um muro de gravidade
	Slide 6: Etapas do dimensionamento
	Slide 7: Muro de seção retangular
	Slide 8
	Slide 9: Muro com perfil escalonado
	Slide 10
	Slide 11
	Slide 12: Logo, podemos dizer que para considerarmos o equilíbrio estático do muro, temos as seguintes condições:
	Slide 13: PROJETO DE MURO
	Slide 14: PROJETO DE MURO
	Slide 15: 1ª. Etapa Pré-dimensionamento.
	Slide 16: 1ª. Etapa Pré-dimensionamento.Slide 17: 2ª. Etapa Definição dos esforços atuantes.
	Slide 18: MÉTODO DE RANKINE
	Slide 19: 2ª. Etapa
	Slide 20: MÉTODO DE RANKINE
	Slide 21: MÉTODO DE RANKINE
	Slide 22: MÉTODO DE RANKINE
	Slide 23: 3ª. Etapa Verificação das condições de estabilidade
	Slide 24
	Slide 25: 3ª. Etapa Verificação das condições de estabilidade
	Slide 26: 3ª. Etapa Verificação das condições de estabilidade
	Slide 27: 3ª. Etapa Verificação das condições de estabilidade
	Slide 28: 3ª. Etapa Verificação das condições de estabilidade
	Slide 29: 3ª. Etapa Verificação das condições de estabilidade
	Slide 30: 3ª. Etapa Verificação das condições de estabilidade
	Slide 31: 3ª. Etapa Verificação das condições de estabilidade
	Slide 32
	Slide 33: Exemplo de como dimensionar um muro de Gravidade
	Slide 34: Exemplo de como dimensionar um muro de Gravidade
	Slide 35: Exemplo de como dimensionar um muro de Gravidade
	Slide 36
	Slide 37: Exemplo de como dimensionar um muro de Gravidade
	Slide 38: Exemplo de como dimensionar um muro de Gravidade
	Slide 39: Exemplo de como dimensionar um muro de Gravidade
	Slide 40: Exemplo de como dimensionar um muro de Gravidade
	Slide 41: Exemplo de como dimensionar um muro de Gravidade
	Slide 42: Exemplo de como dimensionar um muro de Gravidade
	Slide 43: Exemplo de como dimensionar um muro de Gravidade
	Slide 44
	Slide 45: Exemplo de como dimensionar um muro de Gravidade
	Slide 46: Exemplo de como dimensionar um muro de Gravidade
	Slide 47: Exemplo de como dimensionar um muro de Gravidade
	Slide 48: O que aprendemos na aula de hoje
	Slide 49: Dimensionar um muro de Gravidade 3 pontos – 08/05/2023
	Slide 50: Próxima Aula