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29/08/2015 A lógica estóica segundo Suzanne Bobzien
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2 de Julho de 2011 ⋅ Lógica
A lógica estóica segundo
Suzanne Bobzien
Aldo Dinucci
Universidade Federal de Sergipe
Suzanne Bobzien, professora de Yale, especializada
em filosofia da lógica, filosofia da linguagem e filosofia
antiga, nos oferece, em “Stoic Logic” (The Cambridge Companion to the Stoics,
org. Brad Inwood, Cambridge: Cambridge University Press, 2003, pp. 85­123),
uma profunda análise da lógica estóica. Os estóicos, sabe­se hoje, foram os
primeiros a estabelecer uma teoria do cálculo proposicional, que tem um
método de provas argumentativas distinto do da lógica contemporânea.
Durante muito tempo não se soube disso, devido ao estado fragmentário das
fontes. Hoje, graças às pesquisas de vários lógicos e historiadores da filosofia
ao longo do séc. XX, tem­se uma idéia melhor sobre esta lógica estóica, criada
por Crisipo e desenvolvida por outros lógicos estóicos até ao fim da
antigüidade. Apresento abaixo uma síntese da exposição de Bobzien sobre a
lógica estóica, destacando as proximidades e as dessemelhanças da mesma
com a lógica contemporânea. Omiti no texto as referências a autores da
antigüidade, obviamente remetendo os que quiserem aprofundar o tema ao
texto de Suzanne Bobzien.
A autora começa por notar (p. 85) que a lógica estóica é uma lógica
proposicional, cujas inferências tratam das relações entre entidades que têm a
estrutura de proposições, os axiômata, que são os portadores primários de
valor de verdade. A lógica estóica se divide em duas partes: uma teoria dos
axiômata e uma teoria dos argumentos.
Crítica
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Um axiôma é definido como um lekton completo em si mesmo que pode ser
afirmado por si, pertencendo ao gênero dos lekta completos em si, sendo os
lekta entidades intermediárias entre o mundo e os sons vocais: “os lekta são os
sentidos subjacentes a tudo que pensamos ou dizemos; subjazem a toda
representação racional que tenhamos, e subsistem mesmo quando ninguém
pensa neles ou os pronuncia,” diz­nos Bobzien (p. 86).
Os lekta completos incluem axiômata, perguntas, imperativos, juramentos,
invocações, maldições e hipóteses. E o que distingue os axiômata dos demais
lekta é que podem, em si, ser afirmados. Embora possam ser afirmados, não
são proposições, mas as proposições ocorrem quando se diz um axiôma.
Segundo Bobzien (p. 87), a noção estóica de axiôma parece­se de certa forma
com a proposição fregiana, diferenciando­se desta por ter o valor de verdade
associado à temporalidade: para os estóicos, por exemplo, a proposição
expressa por “É dia” é verdadeira quando é dia e ela mesma é falsa quando é
noite, ao passo que Frege consideraria tratar­se de diferentes proposições
expressas pela mesma frase.
A distinção fundamental entre os axiômata é a que se faz entre axiôma simples
e axiôma não simples, classificação análoga à das proposições
contemporâneas divididas entre atômicas e moleculares. Bobzien observa que
entre os axiômata simples os estóicos colocam a negação (apophatikon), que é
formada pela adição da partícula “'não” como prefixo de uma frase. Por
exemplo: “Não: Díon caminha” (p. 90). Isto se distingue de “Díon não caminha,”
pois esta, para os estóicos, é uma afirmação que, ao contrário da primeira,
pressupõe a existência de Díon para ser verdadeira. A negação estóica é
verofuncional: adicionando a partícula negativa a um axiôma verdadeiro se
obtém um falso, e vice­versa. Um axiôma e a sua negação compõem um par
de contraditórias.
Para os estóicos, diferentemente da concepção lógica contemporânea, para a
qual a negação de uma proposição simples é uma proposição complexa, a
negação de um axiôma simples é um axiôma simples. E a dupla negação é
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também um axiôma simples. Os estóicos não compreendem a negação como
uma conectiva (sundesmos), pois na sua concepção uma conectiva tem de unir
diferentes axiômata. Para diferenciarmos a negação contemporânea da
estóica, representamos esta última como “Não: p.”
Os axiômata não simples são compostos por axiômata simples ou pela
repetição de um mesmo axiôma. Tais axiômata são combinados por
conectivas, que são compreendidas como partes indeclináveis da linguagem
que unem outras partes da linguagem. Além disso, um axiôma não simples
pode ser composto por dois ou mais axiômata simples. Os axiômata não
simples podem também ser constituídos por axiômata não simples, sendo, é
claro, em última análise compostos por axiômata simples. Por exemplo: “Se é
dia e o Sol está sobre a Terra, há luz.” Também as conjunções e disjunções
podem ter três ou mais elementos; por exemplo: “Ou a saúde é boa ou é má ou
é indiferente.”
Segundo Bobzien (p. 93), os estóicos não tentaram abranger todas as
conotações das conectivas da linguagem comum, mas antes tentaram
selecionar as características essenciais formais das conectivas.
Por Crisipo, conhecemos três tipos de axiômata não simples: condicionais,
conjunções e disjunções exclusivas. Os estóicos posteriores adicionaram a
estas o axiôma pseudocondicional (condicional modificada ou inferencial), com
a conectiva “já que” (epei); o axiôma causal, com a conectiva “por causa de”
(dioti); dois tipos de pseudodisjunções; e dois tipos de axiômata comparativos,
com as conectivas “ao invés de” (mallon), e “a menos que” (hêtton... ê).
A conjunção estóica é verofuncional, sendo verdadeira quando todas as suas
constituintes também o são e falsa quando uma ou mais não o são.
A condicional (sunêmmenon) é definida pelos estóicos como um axiôma
formado com a conectiva “se,” na forma “se p, q.” No tempo de Crisipo
prosseguia o debate sobre as condicionais iniciado pelos megáricos Philo e
Diodoro de Crono. Quanto a isso, Bobzien observa: “concordava­se, porém,
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que a condicional “anuncia” uma relação de conseqüência [...] que a sua
conseqüente se segue da sua antecedente” (p. 94). Havia também acordo
sobre o seguinte: “se a antecedente é verdadeira, a conseqüente também o é,”
se a condicional for verdadeira. Assim, de acordo com o princípio da bivalência,
isso significa que não é o caso que a antecedente seja verdadeira e a
conseqüente falsa, o que equivale ao critério de Philo.
O critério de verdade das condicionais de Crisipo difere do de Philo e do de
Diodoro, pois supõe uma certa conexão entre a conseqüente e a antecedente.
Partindo da noção de conflito, Crisipo afirma que uma condicional é verdadeira
se a contraditória da conseqüente não entra em conflito com a antecedente.
Assim, por exemplo, “Se a Terra voa, Axiothea filosofa,” é uma condicional
verdadeira para Philo e Diodoro, mas não o é para Crisipo. Segundo Bobzien,
é historicamente inapropriado indagar se Crisipo se refere a um conflito
empírico, analítico ou formal, pois não há aparato conceitual para acomodar
tais noções na lógica helenística (p. 95). Porém, Bobzien crê que o que se
chama hoje de “incompatibilidade formal” é o que contaria como conflito para
Crisipo, pois axiômata como “se há luz, há luz” são considerados verdadeiros
pelos estóicos, provavelmente porque a contradição é para eles o mais forte
conflito possível entre axiômata. A incompatibilidade analítica parece abrangida
pelo critério de Crisipo em alguns casos. Por exemplo: “Se Platão caminha,
Platão se move” era considerada verdadeira. Também alguns casosde
incompatibilidade empírica eram aceitos por alguns estóicos. Por exemplo: “Se
Teognis tem um ferimento no coração, Teognis morrerá.” Exceção seriam os
teoremas divinatórios, como: “Se nasceste sob a Canícula, não morrerás no
mar”:
“Crisipo negava que tais teoremas constituíssem condicionais verdadeiras,
mas sustentava que poderiam constituir negações (indefinidas) verdadeiras
de conjunções com uma segunda conjunta negada.” (p. 95)
Ou seja, “Não é o caso que nasceste sob a Canícula e não morrerás no mar.”
Quanto à disjunção, os primeiros estóicos concentraram a sua atenção na
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disjunção exclusiva e exaustiva (diezeugmenon), podendo haver disjunções
com mais de duas disjuntas. As condições de verdade da disjunção estóica são
as seguintes: 1) as disjuntas devem estar em conflito uma com a outra; 2) as
suas contraditórias devem ser contrárias uma à outra; 3) das disjuntas, apenas
uma deve ser verdadeira, e as outras devem ser falsas. Apenas o critério 3 é
verofuncional.
Segundo Bozien (p. 98), embora haja muitas similaridades entre a lógica
proposicional estóica e o cálculo proposicional contemporâneo, há muitas
diferenças também. Apesar de reconhecerem certos princípios lógicos, a lógica
estóica é uma lógica da validade de argumentos, e não um sistema de
teoremas de verdade lógica. Entretanto, os estóicos destacam certos princípios
relativos aos axiômata, como o princípio da bivalência. Em relação às verdades
lógicas, os estóicos mencionam os seguintes princípios: o princípio da dupla
negação (“Não: não: p” equivale a “p”); o princípio segundo o qual as
condicionais compostas pelo mesmo axiôma são sempre verdadeiras (“Se p,
p”); e o princípio de que toda disjunção formada por um axiôma e a sua
contradição (“Ou p ou não p”) é logicamente verdadeira.
Alguns estóicos lidaram com relações de comutatividade e contraposição
através dos conceitos de inversão (anastrophê) e conversão (antistrophê) de
axiômata. Segundo Bobzien (p. 99), “os estóicos parecem ter reconhecido que
a conversão se aplica às condicionais; quer dizer, parecem aceitar o princípio
da contraposição” ((p → q) ↔ (¬q → ¬p)). Entretanto, os estóicos parecem não
ter tentado reduzir as conectivas entre si, nem tentado estabelecer
equivalências lógicas entre elas.
Os estóicos também analisaram as propriedades modais dos axiômata, como
necessidade e a não necessidade, a possibilidade e a impossibilidade, além da
plausibilidade e da probabilidade. Como observa Bobzien (p. 100), a lógica
modal estóica não é uma lógica de proposições modais formadas com
operadores modais; é antes uma lógica sobre proposições não modalizadas
enquanto possíveis, necessárias, etc. A modalidade era considerada uma
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propriedade temporal do axiôma, como a verdade e a falsidade.
Os argumentos (logoi) formam uma subclassse de lekta completos. Os
argumentos, para os estóicos, são entidades incorpóreas e não expressões
lingüísticas. Não são axiômata, mas são compostos por axiômata.
Um argumento é definido como um composto ou sistema de premissas e uma
conclusão, sendo que as premissas e a conclusão são axiômata. Por exemplo:
“P1) Se é dia, há luz; P2) Mas é dia; C) Por esta razão, há luz,” onde P1 é um
axiôma não simples e P2 um axiôma simples. A premissa não simples era
comumente posta em primeiro lugar, sendo denominada hêgemonikon lemma
(premissa diretriz); a outra era denominada co­suposição (proslêpsis). A co­
suposição contém menos elementos que a premissa diretriz. Segundo a
ortodoxia estóica, contrariamente ao que se entende hoje, os argumentos têm
de ter mais de uma premissa.
Os argumentos são divididos entre válidos e não válidos. Um argumento é
válido se a condicional correspondente formada pela conjunção das premissas
como antecedente e a conclusão como conseqüente é verdadeira. Esta
condicional parece seguir o critério de Crisipo das condicionais.
Surpreendentemente, os argumentos têm também propriedades de verdade e
falsidade, o que hoje é rejeitado por constituir uma confusão categorial. Mas os
estóicos consideravam que um argumento é verdadeiro se, além de ser válido,
tem premissas verdadeiras; e é falso se é inválido ou tem premissas falsas. Os
argumentos, como os axiômata, podem mudar de valor de verdade e podem
ter modalidade num sentido derivado dos axiômata.
Os argumentos válidos dividem­se primariamente entre 1) silogísticos e válidos
em sentido específico e 2) os que são concludentes, mas não silogisticamente.
Os silogismos dividem­se em demonstráveis e indemonstráveis (anapodeiktoi).
Estes últimos não necessitam de prova ou demonstração porque a sua
validade é considerada evidente. Os cinco indemonstráveis referem­se a
classes de argumentos caracterizados por uma forma de argumento básico
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particular, pela qual a classe é vista como válida. Segundo Crisipo, os cinco
indemonstráveis seriam os seguintes:
1.  p → q; p; logo, q; (modus ponens) (“Se é dia, há luz; é dia; logo há luz”);
2.  p → q; não: q; Logo, não: p (modus tollens) (“Se é dia, há luz; não: há luz; logo,
não: é dia”);
3.  Não: (p   q); p; logo, não: q (“Não: Platão está morto e Platão está vivo; Platão
está morto; logo, não: Platão está vivo”);
4.  p   q; p; logo, não: q (“Ou é dia ou é noite; é dia; logo, não: é noite”);
5.  p   q); não: p; logo, q (“Ou é dia ou é noite; não: é dia; logo, é noite”).
Como observa Bobzien (p. 105), as descrições dos indemonstráveis englobam
muito mais argumentos do que os exemplos sugerem, e isso por três razões.
Primeiro, no caso do terceiro, quarto e quinto indemonstráveis, as descrições
da forma do argumento provêm por comutatividade, pois se deixa em aberto
que premissa, ou contraditória de premissa, é tomada como co­suposição.
Segundo, as descrições são dadas em termos de axiômata e contraditórias, e
não em termos de axiômata afirmativos ou negativos. Em todos os casos, a
primeira premissa pode ter qualquer uma das quatro combinações de axiômata
afirmativos ou negativos. Por exemplo, no ponendo ponens: se p, então q; se
não: p, então q; Se p, então não: q; se não: p, então não: q. E temos assim
quatro casos sob o primeiro e o segundo indemonstrável, e oito sob o terceiro,
o quarto e o quinto, perfazendo trinta e dois casos ao todo.
Em terceiro lugar, a premissa diretriz pode ser não simples (por exemplo, se p
e q, então r; não: r; logo, não: p e q).
Segundo Bobzien (p. 107), para os estóicos a evidência da validade dos
indemonstráveis se baseia em sua forma. Além disso, Crisipo jamais pretende
reduzir conectivos entre si, nem pretende reduzir o número de
indemonstráveis.
Todos os silogismos são ou indemonstráveis ou redutíveis aos
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indemonstráveis. Os estóicos chamam a essa redução “análise em
indemonstráveis.” Segundo Bobzien, essa análise “é um método de provar que
certos argumentos são formalmente válidos mostrando que têm relação com os
indemonstráveis” (p. 110) por serem uma combinação deles ou conversão de
um deles ou ambas as coisas. Essa análise é realizada com auxílio dos
themata, que são regras de corte, só aplicáveis a argumentos, reduzindo
argumentos a argumentos, e não axiômata a axiômata. São os seguintes os
themata estóicos, incluindo aqui a reconstituição proposta por Bobzien de dois
(themata T2 e T4) que se perderam (“CONT” significa “contraditória,” “X”
significa “p1” ou “p2” ou “p1 e p2”, e “E” é uma premissa externa, dedutível das
premissas do argumento):
T1: Se (p1, p2; logo, P3) então (p1, CONT p3; logo, CONT P2;
T2: Se (p1, p2; logo, p3) e (X, p3; logo, C) então (p1, p2; logo, C);
T3: Se (p1, p2; logo, P3) e(P3, E1 ... En; logo, C), então (p1, p2, E1... En;
logo, C);
T4: Se (p1, p2; logo, P3) e (p3, X, E1... En; logo, C) então (p1, p2, E1... En;
logo, C).
Vejamos um exemplo de análise. A seguinte forma argumentativa não é um
indemonstrável:
(p   q) → r;
não: r;
p;
logo, não: q.
Para reduzir esta forma argumentativa a um indemonstrável começamos por
notar que as suas premissas 1 e 2, juntamente com “Não: p e q,” é um caso do
indemonstrável 2 (modus tollens). Mas “Não: p e q,” juntamente com a
premissa 3 do argumento, forma o indemonstrável 3, cuja conclusão é igual à
do argumento acima. Extraímos assim dois indemonstráveis do argumento
original:
P1: (p   q) → r;
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P2: não: r;
P3: não: p e q.
P3: não: p e q;
E: p;
C: não: q.
Aplicando agora o thema 3, chegamos ao argumento original: P1, P2, E; logo,
C.
Assim, a silogística estóica é um sistema consistindo de cinco tipos básicos de
silogismos e quatro regras de corte pelas quais todos os outros silogismos
podem ser reduzidos àqueles tipos básicos. Embora não afirmem
explicitamente a completude do seu sistema, a afirmação de que todos os
silogismos válidos podem ser reduzidos equivale a tal asserção de completude.
O sistema estóico partilha, segundo Bobzien (p. 120), a seguinte condição de
validade com a semântica moderna: é necessário para a validade de um
argumento que não seja o caso que as premissas sejam verdadeiras e a
conclusão seja falsa. Além dessa condição, há mais duas que não se aplicam à
lógica contemporânea, o que, como diz Bobzien (p. 120­1), indica que os
silogismos estóicos perfazem no máximo uma subclasse de argumentos
válidos no sentido atual:
1.  Há uma restrição formal que nega o estatuto de argumento a certos compostos
dos axiômata, pois “o conceito estóico de argumento é mais estrito que o da
lógica moderna, no sentido em que um argumento [estóico] deve ter um mínimo
de duas premissas e uma conclusão”;
2.  Há uma restrição à validade na exigência de não redundância das premissas:
um argumento é inválido por redundância se tiver uma ou mais premissas
supérfluas, o que torna inválidos argumentos do tipo “p → q, p, r; logo, q.”
Rejeitavam, pois, a monotonicidade da dedução, que hoje se aceita. A
circularidade é também excluída, pelo que argumentos hoje consideramos
válidos, como “p, q; logo, p” são considerados inválidos pelos estóicos.
29/08/2015 A lógica estóica segundo Suzanne Bobzien
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O texto de Bobzien é extremamente erudito e toma por base as suas pesquisas
prévias sobre o tema, que resultaram numa série de artigos publicados nas
mais importantes revistas internacionais de filosofia (para uma lista detalhada
dessas contribuições, remeto o leitor à página pessoal de Suzanne no sítio da
Yale.
Aldo Dinucci
aldodinucci@yahoo.com.br
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