Aula 10 - Percolação e redes de fluxo

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Aula 10
Percolação e redes de fluxo
MECÂNICA DOS SOLOS
Prof. Thiago Fernandes da Silva
PERCOLAÇÃO E 
REDES DE FLUXO
CONTEÚDO DA AULA
1. Rede de fluxo
NA
NA
REDE DE FLUXO
Rede de fluxo
Quando o fluxo de água ocorre sempre na mesma direção, como no caso dos permeâmetros
diz-se que o fluxo é unidimensional.
Sendo uniforme a areia, a direção do fluxo e o gradiente são constantes em qualquer ponto.
Nos fluxos unidirecionais (vertical ou horizontal), para calcular a vazão de percolação através
de um solo aplica-se diretamente a lei de Darcy:
Q = k.i.A
REDE DE FLUXO
Rede de fluxo
Quando as partículas de água seguem caminhos curvos, mas paralelos, o fluxo é
bidimensional (caso da percolação pelas fundações de uma barragem).
Quando as partículas de água se deslocam segundo qualquer direção, o fluxo é
tridimensional. A migração de água para um poço é um exemplo de fluxo tridimensional de
interesse para a engenharia.
REDE DE FLUXO
Rede de fluxo
Equação de Laplace
Onde: kx, ky, kz = Coeficiente de permeabilidade nas respectivas direções;
ht = carga total no ponto considerado;
x,y,z = direção de fluxo;
e = índice de vazios;
S = grau de saturação;
t = tempo.





















t
e
S
t
S
e
ez
h
k
y
h
k
x
h
k tz
t
y
t
x
1
1
22
2
22
2
22
2
REDE DE FLUXO
Rede de fluxo
Equação de Laplace
Considerações sobre o índice de vazios e o grau de saturação:
A) e e S constantes: Fluxo em solo saturado e tanto a água como o esqueleto do solo são incompressíveis;
B) e variando e S constante: Adensamento ou Expansão;
C) e constante e S variando: Fluxo em solo não saturado;
D) e e S variando: Compressão ou expansão além de drenagem.





















t
e
S
t
S
e
ez
h
k
y
h
k
x
h
k tz
t
y
t
x
1
1
22
2
22
2
22
2
REDE DE FLUXO
Rede de fluxo
Equação de Laplace
No caso de fluxo em solo saturado:





















t
e
S
t
S
e
ez
h
k
y
h
k
x
h
k tz
t
y
t
x
1
1
22
2
22
2
22
2
0 0





















t
e
S
t
S
e
ez
h
k
y
h
k
x
h
k tz
t
y
t
x
1
1
22
2
22
2
22
2
0
22
2
22
2






z
h
k
x
h
k tz
t
x





















t
e
S
t
S
e
ez
h
k
y
h
k
x
h
k tz
t
y
t
x
1
1
22
2
22
2
22
2
0
22
2
22
2






z
h
k
x
h
k tz
t
x
REDE DE FLUXO
Rede de fluxo
Equação de Laplace
No caso de fluxo em solo saturado: 0
0
22
2
22
2






z
h
k
x
h
k tz
t
x
Rede de fluxo
Equação de Laplace
Para o fluxo em solo saturado homogêneo:
REDE DE FLUXO
0
22
2
22
2






z
h
k
x
h
k tz
t
x
0
22
2
22
2






z
h
x
h tt
𝑘𝑥 = 𝑘𝑧
Rede de fluxo
A equação de Laplace é muito conhecida no meio matemático e consequentemente na
engenharia.
A solução da equação de Laplace são dois grupos de curvas ortogonais entre si.
No caso de Fluxo:
Curvas – Linhas de fluxo;
Curvas – Linhas equipotenciais.
O conjunto das linhas de fluxo e equipotenciais é denominado de REDE DE FLUXO.
REDE DE FLUXO
REDE DE FLUXO
Rede de fluxo
O trajeto que a água segue através de um meio saturado é designado por linha de fluxo.
NA
NA
Tela Tela
Areia
∆H
REDE DE FLUXO
Rede de fluxo
Por outro lado, como há uma perda de carga no percurso, haverá pontos em que uma
determinada fração de carga total já terá sido consumida. O lugar geométrico dos pontos com
igual carga total é uma linha equipotencial.
NA
NA
Tela Tela
Areia
∆H
REDE DE FLUXO
Rede de fluxo
Considerem as situações da figura abaixo:
NA
NA
Tela Tela
Areia
∆H
D
f
N
N
hkQ .. A totalidade da carga disponível para o fluxo, deve ser
dissipada no percurso total, através do solo.
REDE DE FLUXO
NA
NA
∆H
B A C D
G
E
F
1 2
Em meios isotrópicos, as linhas de fluxo
seguem caminhos de máximo gradiente
(distância mínima), daí, se conclui que as
linhas de fluxo interceptam as
equipotenciais, formando ângulos retos.
Rede de fluxo
Há um número ilimitado de linhas de fluxo e equipotenciais; delas escolhem-se algumas, de
forma conveniente, para representação da percolação.
REDE DE FLUXO
Rede de fluxo
Pelo fato de o regime ser laminar, as linhas de fluxo não podem se cruzar, conclusão que é
constantada experimentalmente, através da injeção de tinta em modelos de areia.
REDE DE FLUXO
Gradientes
A diferença de carga total que provoca percolação, dividida pelo número de faixas de perda de
potencial, indica a perda de carga de uma equipotencial para a seguinte.
No exemplo considerado, a perda de carga entre equipotenciais consecutivas é de 6/12 = 0,5
m.
Esta perda de carga dividida
pela distância entre as
equipotenciais é o gradiente.
2. Traçado da Rede de fluxo
TRAÇADO DA REDE DE FLUXO
Traçado da rede de fluxo
Existem diversos métodos para traçado de redes de fluxo. Os principais são:
Construção gráfica Modelagem numérica
Modelagem física
A
C
B
TRAÇADO DA REDE DE FLUXO
Traçado da rede de fluxo (método gráfico)
Para representar uma rede de fluxo, convém que sejam constantes tanto a perda de carga entre
duas equipotenciais consecutivas quanto a vazão entre duas linhas de fluxo consecutivas.
NA
NA
∆H
B A C D
G
E
F
1 2
Considere-se a rede de fluxo da figura ao lado.
Os elementos 1, 2 e 3 funcionam como pequenos
permeâmetros. Aplicando-se a Lei de Darcy, tem-se:
3
b
l
𝑞𝑖 = 𝑘.
∆ℎ𝑖
𝑙𝑖
. 𝑏𝑖 . 1
Onde: k: coeficiente de permeabilidade;
∆hi (i=1,2 e 3): perdas de carga total nos elementos 1,2 e 3;
li: comprimento médio do elemento i na direção do fluxo;
bi: é a largura media do elemento i.
(1)
TRAÇADO DA REDE DE FLUXO
Traçado da rede de fluxo (método gráfico)
Sabendo que q1 = q2 por continuidade do fluxo e q2 = q3 pela definição da rede, ou seja:
NA
NA
∆H
B A C D
G
E
F
1 2
3
b
l
q1 = q2 = q3
Ademais, ainda pela definição de rede de fluxo:
∆h1 = ∆h2 = ∆h3
Substituindo-se (1) em (2), levando-se em conta
(3), tem-se:
(2)
(3)
𝑏1
𝑙1
= 
𝑏2
𝑙2
= 
𝑏3
𝑙3
𝑏
𝑙
= constante
TRAÇADO DA REDE DE FLUXO
Traçado da rede de fluxo (método gráfico)
Para maior facilidade visual no traçado da rede, costuma-se tomar a relação b/l o valor de 1,0,
ou seja, trabalha-se com quadrados.
Em geral, os “quadrados” tem lados curvos.
Esse tipo de fluxo é denominado confinado (não
apresenta uma linha freática).
TRAÇADO DA REDE DE FLUXO
Traçado da rede de fluxo (método gráfico)
Pode-se também ter um fluxo gravitacional (ou não confinado).
De modo geral, a posição da linha freática é parte
da solução procurada e deve ser determinada por
tentativas, satisfazendo as seguintes condições:
a) Ao longo dela, a carga é puramente altimétrica;
daí que a diferença entre as ordenadas dos
pontos de encontro de duas equipotenciais
consecutivas com a linha freática é constante,
quaisquer que sejam as equipotenciais.
∆h
∆h
∆h
∆h
∆h
TRAÇADO DA REDE DE FLUXO
Traçado da rede de fluxo (método gráfico)
b) A linha freática deve ser perpendicular ao talude
de montante, que é uma equipotencial. A linha de
fluxo não pode subir e depois descer.
NA
90º
NA
TRAÇADO DA REDE DE FLUXO
Traçado da rede de fluxo (método gráfico)
c) Na saída da água, a linha freática deve ser
essencialmente tangente ao talude de jusante
ou acompanha a vertical, seguindo a condição
da gravidade.
TRAÇADO DA REDE DE FLUXO
Traçado da rede de fluxo (método gráfico)
Recomendações de Casagrande (1964) para
traçado da rede de fluxo:
• Estudar redes de fluxo já construídas;
• Usar poucos canais de fluxo (4 ou 5) nas
primeiras tentativas;
• Acertar a rede, primeiro, no seu todo,
deixando detalhes para o fim;
• As transições entre trechos retos e curvos das
linhas devem ser suaves; em cada canal, o
tamanho dos quadrados varia gradualmente.
TRAÇADO DA REDE DE FLUXO
Traçado da rede de fluxo (método gráfico)
Depois de traçada arede de fluxo, pode-se obter:
a) Perda de água ou vazão (Q) por metro de seção
transversal:
b) Pressão neutral (u) em qualquer ponto:
𝑄 = 𝑘. 𝐻.
𝑛𝑐
𝑛𝑞
nc: nº de canais de fluxo
nq: nº de perdas de carga
H: carga total dissipada
𝑢 = 𝛾0. 𝑖. 𝐴 γ0: peso específico da água
3. Modelos práticos de redes de fluxo
MODELOS PRÁTICOS DE REDES DE FLUXO
MODELOS PRÁTICOS DE REDES DE FLUXO
Fluxo confinado
Barragem vertedouro Barragem vertedouro Barragem de gravidade
MODELOS PRÁTICOS DE REDES DE FLUXO
Fluxo confinado
Barragem com tapete impermeável Barragem de gravidade com 
dupla cortina
MODELOS PRÁTICOS DE REDES DE FLUXO
Fluxo confinado
MODELOS PRÁTICOS DE REDES DE FLUXO
Fluxo não confinado
Barragem de terra
Barragem de terra sob ação de chuvas
4. Exercícios
EXERCÍCIO 1
Num depósito de areia inundada, foi
construída uma pranchada parcial,
esgotando-se a água num dos lados da
pranchada. Sabendo-se que a
permeabilidade horizontal é maior do que a
vertical, a seção transversal foi desenhada
com abcissas transformadas, de maneira a
se poder traçar a rede de fluxo como se
apresenta na Figura ao lado. Sabendo-se
que o coeficiente de permeabilidade vertical
é de 2x10-3 cm/s e o horizontal é de 4,7x10-
3 cm/s, pergunta-se: qual a vazão, por
metro de comprimento da pranchada? Qual
a perda de carga por zona equipotencial?
2
,8
m
1
,5
m
EM RESUMO
PERCOLAÇÃO E REDE DE FLUXO
 Fluxo de água em meios porosos
 Redes de fluxo
 Traçado de rede de fluxo: modelos já conhecidos