APOSTILA DE EMPUXO DE TERRA

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- OBRAS GEOTÉCNICAS - 
EMPUXOS DE TERRA 
TEORIAS DE RANKINE E COULOMB 
Profa. Msc.Eliana Lisboa 
EMPUXO DE TERRA INTRODUÇÃO 
 Empuxo de terra é a resultante das tensões horizontais atuantes sobre 
estruturas em contato com um maciço de solo. 
 
 A sua determinação é fundamental na análise de projetos de estruturas 
de contenção, tais como: 
 
• muros de gravidade; 
• muros de flexão; 
• cortinas. 
EMPUXO DE TERRA INTRODUÇÃO 
 muros de flexão: 
EMPUXO DE TERRA INTRODUÇÃO 
 muros de gravidade: 
EMPUXO DE TERRA INTRODUÇÃO 
 Cortinas atirantadas: 
EMPUXO DE TERRA INTRODUÇÃO 
 A magnitude e a direção do empuxo de terra, assim como a 
distribuição de tensões ao longo do elemento de contenção, 
dependem da interação solo-elemento estrutural. 
 
 o empuxo pode ser classificado em três tipos: 
 
• empuxo no repouso; 
• empuxo ativo; 
• empuxo passivo. 
 
 esta classificação é feita conforme o sentido do deslocamento lateral 
da estrutura em relação ao maciço do solo adjacente (∆x). 
EMPUXO DE TERRA INTRODUÇÃO 
 esta classificação é feita conforme o sentido do deslocamento lateral da 
estrutura em relação ao maciço do solo adjacente (∆x). 
EMPUXO DE TERRA INTRODUÇÃO 
1- Deslocamento da estrutura p/ fora: esforços de tração, a resultante da 
pressão de terra é denominada Empuxo Ativo, sendo uma atuação do solo 
contra o muro, e a tensão horizontal diminui. 
 
Exemplo: muros de arrimo ou cortinas na profundidade escavada. 
 
2- Sem deslocamento: não altera o estado de tensões da outra parte do 
maciço, e a resultante é denominada de Empuxo em Repouso. 
 
Exemplo: paredes de subsolo 
 
3- Deslocamento para dentro; a resultante é denominada de Empuxo 
Passivo, os esforços são de compressão do solo, e a tensão horizontal 
aumenta. 
 
Exemplo: Fundações de pontes em arco e a ação do solo sobre cortinas de 
contenção na profundidade não escavada. 
EMPUXO DE TERRA EMPUXO NO REPOUSO 
 Empuxo no Repouso - considere um elemento de solo submetido a um 
estado de tensões efetivas geostático, onde: 
 o solo é homogêneo no plano horizontal; 
 a superfície do terreno é horizontal; 
 o nível de água, caso exista, é horizontal; 
 e a sobrecarga vertical q, caso exista, é uniformemente distribuída 
O estado de tensões efetivas é representado por uma tensão vertical e 
duas tensões horizontais ortogonais. Supondo um comportamento 
elástico, linear e isotrópico pode-se escrever: 
 Empuxo no Repouso: 
como na condição do empuxo no repouso não temos deformação 
lateral , se pode escrever a equação para a tensão horizontal: 
EMPUXO DE TERRA EMPUXO NO REPOUSO 
 coeficiente de empuxo no repouso: 
o coeficiente de empuxo no repouso é de difícil determinação, sendo 
necessário a realização de ensaios de campo avançados (por ex: 
ensaio pressiômetro) ou ensaio de laboratório (por ex: triaxial com 
deformações controladas). No entanto, há relações empírica sugeridas 
na literatura que podem ser empregadas: 
para solos normalmente adensados: 
para solos pré-adensados: 
(Jaky, 1944) 
(Mayne e Kulhawy, 1982) 
EMPUXO DE TERRA EMPUXO NO REPOUSO 
 com o coeficiente de empuxo no repouso é possível calcular a tensão 
horizontal efetiva atuando ao longo da contenção. O empuxo no 
repouso (que é a força horizontal), pode ser calculado através da 
equação: 
onde: 
 é o empuxo ao repouso 
 é a tensão horizontal efetiva; 
 é a altura de atuação do empuxo. 
EMPUXO DE TERRA EMPUXO NO REPOUSO 
Em uma estrutura de contenção usual temos a mobilização do empuxo 
ativo no lado arrimado/não escavado, e mobilização do empuxo passivo 
no lado não arrimado/lado escavado. A consideração de quanto é 
mobilizado do empuxo ativo ou passivo depende do método de projeto. 
EMPUXO DE TERRA EMPUXO ATIVO/PASSIVO 
EMPUXO DE TERRA EMPUXO ATIVO/PASSIVO 
Ea 
Ep 
Ea Ep 
 para o cálculo dos empuxos podem ser utilizados métodos analíticos, 
aproximados, gráficos ou métodos numéricos; 
 
 os métodos analíticos correntes para o cálculo de empuxos laterais, 
baseiam-se na utilização de coeficientes de empuxo lateral. 
 
 por conveniência, vamos analisar o empuxo ativo e passivo como a 
soma de três parcelas: 
- empuxo ativo devido ao peso específico do solo; 
- empuxo ativo devido à sobrecarga; 
- empuxo ativo devido à coesão do solo. 
EMPUXO DE TERRA EMPUXO ATIVO/PASSIVO 
- empuxo passivo devido ao peso específico do solo; 
- empuxo passivo devido à sobrecarga; 
- empuxo passivo devido à coesão do solo. 
EMPUXO DE TERRA EMPUXO ATIVO/PASSIVO 
EMPUXO DE TERRA TEORIA DE RANKINE 
 Teoria de Rankine: 
a teoria de Rankine é utilizada no dimensionamento de uma ampla 
gama de estruturas de contenção, como muros de arrimo, cortinas e 
muros de solo reforçado; 
as seguintes hipóteses são consideradas pela teoria: 
i. a resistência ao cisalhamento obedece a lei de Coulomb; 
ii. havendo nível de água no interior do solo, sua superfície é horizontal; 
iii. havendo estratificação do solo, estas são horizontais; 
iv. o tardoz da contenção da estrutura é perfeitamente liso (não há atrito entre 
o solo e a contenção δ = 0°) 
ângulo de atrito solo/estrutura 
EMPUXO DE TERRA TEORIA DE RANKINE 
 Teoria de Rankine: parcela do peso próprio 
para o cálculo da parcela do empuxo devido ao peso específico do solo, 
vamos considerar um elemento de solo situado a uma profundidade z 
abaixo da superfície do maciço de solo e adjacente ao tardoz da 
estrutura de contenção: 
𝐸𝐸𝑎𝑎𝑎𝑎 = � 𝜎𝜎𝜎ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎
𝐻𝐻
0
𝑑𝑑𝑑𝑑 
𝜎𝜎𝜎ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑘𝑘𝑎𝑎𝜎𝜎𝜎𝑣𝑣 
 
𝑘𝑘𝑎𝑎 = 𝑡𝑡𝑡𝑡2 45 − ∅𝜎 2⁄ 
𝐸𝐸𝑝𝑝𝑎𝑎 = � 𝜎𝜎𝜎ℎ𝑝𝑝𝑎𝑎
𝐻𝐻
0
𝑑𝑑𝑑𝑑 
𝜎𝜎𝜎ℎ𝑝𝑝𝑎𝑎 = 𝑘𝑘𝑝𝑝𝜎𝜎𝜎𝑣𝑣 
 
𝑘𝑘𝑝𝑝 = 𝑡𝑡𝑡𝑡2 45 + ∅𝜎 2⁄ 
𝜎𝜎𝜎𝑣𝑣 = 𝜎𝜎𝑣𝑣 −𝑢𝑢 = 𝛾𝛾𝑡𝑡 𝑑𝑑 − 𝛾𝛾𝑤𝑤𝑑𝑑𝑤𝑤 
EMPUXO DE TERRA TEORIA DE RANKINE 
 
 Teoria de Rankine: parcela do peso próprio 
 
Em um solo uniforme não saturado a distribuição da tensão vertical é 
triangular, a pressão da água é nula, a resultante de aplicação do 
empuxo é a um terço da altura (H/3), e o cálculo do empuxo ativo e do 
passivo pode ser simplificado para: 
EMPUXO DE TERRA TEORIA DE RANKINE 
 Teoria de Rankine: parcela do peso próprio 
𝜎𝜎𝜎ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝜎𝜎ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑘𝑘𝑎𝑎𝜎𝜎𝑣𝑣 = 𝑘𝑘𝑎𝑎𝛾𝛾𝑡𝑡𝐻𝐻𝑎𝑎 
 
𝐸𝐸𝑎𝑎𝑎𝑎 = � 𝑘𝑘𝑎𝑎𝛾𝛾𝑡𝑡𝐻𝐻
𝐻𝐻
0
𝑑𝑑𝑑𝑑 =
1
2
𝑘𝑘𝑎𝑎𝛾𝛾𝑡𝑡𝐻𝐻𝑎𝑎2 
EMPUXO DE TERRA TEORIA DE RANKINE 
 Teoria de Rankine: parcela do peso próprio 
𝜎𝜎𝜎ℎ𝑝𝑝𝑎𝑎 = 𝜎𝜎ℎ𝑝𝑝𝑎𝑎 = 𝑘𝑘𝑝𝑝𝜎𝜎𝑣𝑣 = 𝑘𝑘𝑝𝑝𝛾𝛾𝑡𝑡𝐻𝐻𝑝𝑝 
 
𝐸𝐸𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎 = � 𝑘𝑘𝑝𝑝𝛾𝛾𝑡𝑡𝐻𝐻
𝐻𝐻
0
𝑑𝑑𝑑𝑑 =
1
2
𝑘𝑘𝑝𝑝𝛾𝛾𝑡𝑡𝐻𝐻𝑝𝑝2 
 
EMPUXO DE TERRA TEORIA DE RANKINE 
 Teoria de Rankine: parcela da sobrecarga 
 
Para o cálculo da parcela do empuxo devido a uma sobrecarga vertical 
uniformemente distribuída na superfície (q), a distribuição de tensão 
horizontal é uniforme ao longo do tardoz da estrutura de contenção. 
Em um solo homogêneo, a resultante de aplicação do empuxo é na 
metade da altura (H/2), e para o cálculo temos: 
EMPUXO DE TERRA TEORIA DE RANKINE 
 Teoriade Rankine: parcela da sobrecarga 
 
𝑞𝑞ℎ𝑎𝑎 = 𝑘𝑘𝑎𝑎𝑞𝑞 → 𝐸𝐸𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑘𝑘𝑎𝑎𝑞𝑞𝐻𝐻𝑎𝑎 
 
𝑞𝑞ℎ𝑝𝑝 = 𝑘𝑘𝑝𝑝𝑞𝑞 → 𝐸𝐸𝑝𝑝𝑎𝑎 = 𝑘𝑘𝑝𝑝𝑞𝑞𝐻𝐻𝑝𝑝 
 
 
EMPUXO DE TERRA TEORIA DE RANKINE 
 Teoria de Rankine: parcela de coesão 
Para o cálculo da parcela do empuxo devido à coesão do solo, a 
distribuição de tensão horizontal é uniforme ao longo do tardoz da 
estrutura de contenção. Em um solo homogêneo, a resultante de 
aplicação do empuxo é na metade da altura (H/2), e para o cálculo 
temos: 
 
𝜎𝜎ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 = −2𝑐𝑐 𝑘𝑘𝑎𝑎 → 𝐸𝐸𝑎𝑎𝑎𝑎 = −2𝑐𝑐 𝑘𝑘𝑎𝑎 𝐻𝐻𝑎𝑎 
 
𝜎𝜎ℎ𝑝𝑝𝑎𝑎 = 2𝑐𝑐 𝑘𝑘𝑝𝑝 → 𝐸𝐸𝑝𝑝𝑎𝑎 = 2𝑐𝑐 𝑘𝑘𝑝𝑝 𝐻𝐻𝑝𝑝 
 
 
EMPUXO DE TERRA TEORIA DE RANKINE 
 Teoria de Rankine: 
Então, para um solo homogêneo, não saturado, podemos escrever a 
equação para o cálculo das tensões horizontais e empuxos ativos 
simplificadamente como: 
𝜎𝜎ℎ𝑎𝑎 = 𝜎𝜎ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝜎𝜎ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝜎𝜎ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 
𝜎𝜎ℎ𝑎𝑎 = 𝑘𝑘𝑎𝑎𝛾𝛾𝑡𝑡𝐻𝐻𝑎𝑎 + 𝑘𝑘𝑎𝑎𝑞𝑞 − 2𝑐𝑐 𝑘𝑘𝑎𝑎 
𝐸𝐸𝑎𝑎 = 𝐸𝐸𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝐸𝐸𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝐸𝐸𝑎𝑎𝑎𝑎 
𝐸𝐸𝑎𝑎 =
1
2
𝑘𝑘𝑎𝑎𝛾𝛾𝑡𝑡𝐻𝐻𝑎𝑎2 + 𝑘𝑘𝑎𝑎𝑞𝑞𝐻𝐻𝑎𝑎 − 2𝑐𝑐 𝑘𝑘𝑎𝑎 𝐻𝐻𝑎𝑎 
 
 
EMPUXO DE TERRA TEORIA DE RANKINE 
 Teoria de Rankine: 
E para o cálculo das tensões horizontais e empuxos ativos como: 
𝜎𝜎ℎ𝑝𝑝 = 𝜎𝜎ℎ𝑝𝑝𝑎𝑎 + 𝜎𝜎ℎ𝑝𝑝𝑎𝑎 + 𝜎𝜎ℎ𝑝𝑝𝑎𝑎 
𝜎𝜎ℎ𝑝𝑝 = 𝑘𝑘𝑝𝑝𝛾𝛾𝑡𝑡𝐻𝐻𝑝𝑝 + 𝑘𝑘𝑝𝑝𝑞𝑞 + 2𝑐𝑐 𝑘𝑘𝑝𝑝 
𝐸𝐸𝑝𝑝 = 𝐸𝐸𝑝𝑝𝑎𝑎 + 𝐸𝐸𝑝𝑝𝑎𝑎 + 𝐸𝐸𝑝𝑝𝑎𝑎 
𝐸𝐸𝑝𝑝 =
1
2
𝑘𝑘𝑝𝑝𝛾𝛾𝐻𝐻𝑝𝑝2 + 𝑘𝑘𝑝𝑝𝑞𝑞𝐻𝐻𝑝𝑝 + 2𝑐𝑐 𝑘𝑘𝑝𝑝 𝐻𝐻𝑝𝑝 
 
 
EMPUXO DE TERRA TEORIA DE RANKINE 
É interessante notar que, somando apenas as parcelas de 𝜎𝜎ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 e 𝜎𝜎ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 se 
pode obter 𝜎𝜎ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 < 0 no intervalo de profundidades z < zt (profundidade 
teórica de fissuração de tração). Supondo que o solo não suporte tensões 
de tração, a consequência é a abertura de fissuras de tração, tanto no 
interior do solo como na interface entre o solo e a estrutura, para z < zt. No 
caso da sobrecarga q=0kPa e da pressão u=0kPa, a profundidade teórica 
de fissuração de tração zt é calculada por: 
𝑑𝑑𝑡𝑡 =
2𝑐𝑐
𝛾𝛾𝑡𝑡 𝑘𝑘𝑎𝑎
 
EMPUXO DE TERRA TEORIA DE RANKINE 
A distribuição de tensões horizontais efetivas de tração – que é calculada 
pela teoria de Rankine para z < zt – deve ser desprezada no cálculo do 
empuxo ativo. 
 
Para tanto, esta distribuição é substituída por alguma distribuição prática 
de tensões horizontais de compressão. 
 
Normalmente considera-se que a tensão horizontal ativa na superfície seja 
nula e o crescimento ao longo da profundidade considere a diminuição da 
parcela de coesão. 
EMPUXO DE TERRA TEORIA DE RANKINE 
EMPUXO DE TERRA TEORIA DE RANKINE 
 a teoria de Rankine também pode ser utilizada para calcular o empuxo 
na condição de solicitação não drenada – importante no caso de 
estruturas de contenção construídas em argilas saturadas e solicitadas a 
curto prazo – nesse caso realiza-se a análise em tensões totais: 
∅ = 00 → 𝑘𝑘0 = 1 
𝑐𝑐 = 𝑆𝑆𝑢𝑢 → 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑡𝑡𝑅𝑅𝑅𝑐𝑐𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑐𝑐𝑐𝑅𝑅𝑐𝑐𝑅𝑅𝑅𝑅𝑡𝑡𝑎𝑎 𝑅𝑅𝑛𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑑𝑑𝑅𝑅 𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎 
𝜎𝜎ℎ𝑎𝑎 = 𝛾𝛾𝑠𝑠𝑎𝑎𝑡𝑡𝑑𝑑 − 2𝑆𝑆𝑢𝑢 
𝑑𝑑𝑡𝑡 =
2𝑆𝑆𝑢𝑢
𝛾𝛾𝑠𝑠𝑎𝑎𝑡𝑡
 
𝜎𝜎ℎ𝑝𝑝 = 𝛾𝛾𝑠𝑠𝑎𝑎𝑡𝑡𝑑𝑑 + 2𝑆𝑆𝑢𝑢 
EMPUXO DE TERRA TEORIA DE COULOMB 
 Teoria de Rankine para superfícies inclinadas: 
 
Para superfícies do terreno com um ângulo de inclinação i em 
relação à horizontal podemos calcular os empuxos substituindo o 
cálculo dos coeficientes de empuxo ativo e passivo pelas equações 
abaixo: 
𝑘𝑘𝑎𝑎 =
𝑐𝑐𝑎𝑎𝑅𝑅𝑅𝑅 − 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑅𝑅2𝑅𝑅 − 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑅𝑅2 ∅𝜎
𝑐𝑐𝑎𝑎𝑅𝑅𝑅𝑅 + 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑅𝑅2 − 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑅𝑅2∅𝜎
𝑐𝑐𝑎𝑎𝑅𝑅𝑅𝑅 
 
𝑘𝑘𝑝𝑝 =
𝑐𝑐𝑎𝑎𝑅𝑅𝑅𝑅 + 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑅𝑅2𝑅𝑅 − 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑅𝑅2 ∅𝜎
𝑐𝑐𝑎𝑎𝑅𝑅𝑅𝑅 − 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑅𝑅2 − 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑅𝑅2∅𝜎
𝑐𝑐𝑎𝑎𝑅𝑅𝑅𝑅 
EMPUXO DE TERRA TEORIA DE COULOMB 
 Teoria de Coulomb: 
A teoria de Coulomb de empuxo de terra baseia-se na teoria de equilíbrio 
limite, isto é, na existência de uma superfície de ruptura, e, ao contrário da 
teoria de Rankine, admite a existência de atrito solo-estrutura, denominado δ. 
 
 
(Gerscovich, 2010) 
EMPUXO DE TERRA TEORIA DE COULOMB 
 Teoria de Coulomb: 
a teoria de Coulomb admite as seguintes hipóteses: 
i. a resistência ao cisalhamento obedece a lei de Coulomb; 
ii. o solo não apresenta coesão c’=0kPa; 
iii. há mobilização de atrito entre o solo e a estrutura de contenção (δ); 
iv. a superfície do terreno é plana, formando um ângulo β com a horizontal; 
v. o tardoz da estrutura é plano, formando um ângulo α com a horizontal; 
vi. a superfície de ruptura é plana; 
vii. não há nível da água no solo acima da fundação da estrutura (mas o 
caso particular de solo completamente saturado pode ser estudado, 
supondo: 
EMPUXO DE TERRA TEORIA DE COULOMB 
𝐸𝐸𝑎𝑎𝑎𝑎 =
𝛾𝛾𝑡𝑡𝐻𝐻2
2 𝑘𝑘𝑎𝑎 
𝑘𝑘𝑎𝑎 =
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅2 𝛼𝛼 + ∅𝜎
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅2 𝛼𝛼 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝛼𝛼 − 𝛿𝛿 1 + 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝛼𝛼 + 𝛿𝛿 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 ∅𝜎 − 𝛽𝛽𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝛼𝛼 − 𝛿𝛿 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽
2 
𝐸𝐸𝑝𝑝𝑎𝑎 =
𝛾𝛾𝑡𝑡𝐻𝐻2
2 𝑘𝑘𝑝𝑝 
𝑘𝑘𝑝𝑝 =
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅2 𝛼𝛼 − ∅𝜎
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅2 𝛼𝛼 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝛼𝛼 + 𝛿𝛿 1 + 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 ∅𝜎 + 𝛿𝛿 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 ∅
′ + 𝛽𝛽
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝛼𝛼 + 𝛿𝛿 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽
2 
	- obras geotécnicas -�empuxoS de terra �teoriaS de rankine E COULOMB
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