Conversão Eletromecânica de Energia

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Indaial – 2021
Conversão 
eletromeCâniCa de 
energia
Profª. Julia Grasiela Busarello Wolff
1a Edição
Copyright © UNIASSELVI 2021
Elaboração:
Profª. Julia Grasiela Busarello Wolff
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
W855c
Wolff, Julia Grasiela Busarello
Conversão eletromecânica de energia. / Julia Grasiela Busarello 
Wolff. – Indaial: UNIASSELVI, 2021.
186 p.; il.
ISBN 978-65-5663-568-2
ISBN Digital 978-65-5663-567-5
1. Energia elétrica. - Brasil. II. Centro Universitário Leonardo da 
Vinci.
CDD 621.31
apresentação
Caro acadêmico! Bem-vindo à disciplina de Conversão Eletromecâ-
nica de Energia! Nesta disciplina, nós estudaremos os aspectos relacionados 
aos conceitos eletromagnéticos e dispositivos geradores, motores e transfor-
madores, utilizados em conversão eletromecânica de energia. A conversão 
de energia é feita, em sua grande parte, pelas máquinas rotativas eletromag-
néticas. Utiliza-se o campo magnético como agente intermediário para rea-
lizar essa conversão. A conversão é realizada, transformando-se energia elé-
trica em energia mecânica, ou, ainda, energia mecânica em energia elétrica.
Na maioria dos cursos de graduação em engenharia, algumas disciplinas 
de máquinas elétricas e dispositivos eletromecânicos são obrigatórias na grade 
curricular. Por esse motivo, apresentamos este livro didático, que se destina a mos-
trar, de forma clara, objetiva e resumida, esses conteúdos, porém, ele não substitui 
os livros textos clássicos recomendados para esta disciplina. Você pode consultar 
os títulos e autores dos livros clássicos nas referências deste livro didático.
Servirá como uma revisão para os alunos que já tiveram um curso 
em máquinas elétricas ou como um livro básico para estudos iniciais nesse 
assunto. Em cada unidade, será apresentado um breve sumário dos tópicos, 
acompanhado dos objetivos fundamentais. Em cada tópico, serão apresenta-
dos exemplos resolvidos para auxiliá-los nas autoatividades.
A quantidade de assuntos abordados é razoavelmente grande. Co-
meçando com um estudo de circuitos magnéticos simples, o livro didático 
finaliza com um estudo de circuitos com ímãs permanentes. Espera-se que, 
com essa abordagem, consigamos entretê-lo, a elencar esta disciplina como 
uma das fundamentais do seu curso, pois fornecerá as bases de cálculo para 
a sua futura jornada nas indústrias de motores e de transformadores. Aca-
dêmico, esperamos auxiliar nessa caminhada e dar uma maior visão e um 
ótimo sentimento acerca das dimensões dos problemas.
Sugerimos a leitura, o estudo do livro didático e a realização dos exer-
cícios disponibilizados nas autoatividades, além das consultas sugeridas a cada 
etapa. O assunto é abrangente e remete a um conteúdo repleto de detalhamen-
tos e de diferenciações que devem ser interiorizados. Todo passo requer a con-
sulta às obras consideradas básicas e nenhuma delas esgota os temas abordados.
Sugerimos consultar as referências, os vídeos no YouTube e as Leitu-
ras Complementares, que levarão a um maior domínio do assunto.
Desejamos, a você, muito sucesso na vida profissional!
Profª. Julia Grasiela Busarello Wolff
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novi-
dades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagra-
mação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui 
para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilida-
de de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assun-
to em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
Olá, acadêmico! Iniciamos agora mais uma disciplina e com ela 
um novo conhecimento. 
Com o objetivo de enriquecer seu conhecimento, construímos, além do livro 
que está em suas mãos, uma rica trilha de aprendizagem, por meio dela você 
terá contato com o vídeo da disciplina, o objeto de aprendizagem, materiais complemen-
tares, entre outros, todos pensados e construídos na intenção de auxiliar seu crescimento.
Acesse o QR Code, que levará ao AVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo.
Conte conosco, estaremos juntos nesta caminhada!
LEMBRETE
sumário
UNIDADE 1 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS E MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS .......... 1
TÓPICO 1 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS: TEORIA .................................................................... 3
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 3
2 CIRCUITOS MAGNÉTICOS ............................................................................................................ 8
3 ANALOGIAS ENTRE UM CIRCUITO ELÉTRICO E UM CIRCUITO MAGNÉTICO .............. 11
4 CIRCUITOS MAGNÉTICOS EM SÉRIE E EM PARALELO .................................................... 15
5 TIPOS DE CIRCUITOS MAGNÉTICOS ...................................................................................... 16
RESUMO DO TÓPICO 1..................................................................................................................... 17
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 18
TÓPICO 2 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS: APLICAÇÕES NUMÉRICAS ............................. 19
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 19
2 APLICAÇÕES NUMÉRICAS DE CIRCUITOS MAGNÉTICOS ............................................. 19
3 ESPRAIAMENTO, FRANGEAMENTO, ESPALHAMENTO OU EFEITO DE BORDAS ............ 30
RESUMO DO TÓPICO 2..................................................................................................................... 36
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 37
TÓPICO 3 — MATERIAIS MAGNÉTICOS E CARACTERÍSTICAS ........................................ 39
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 39
2 MATERIAIS DIAMAGNÉTICOS .................................................................................................. 39
3 MATERIAIS PARAMAGNÉTICOS ............................................................................................... 40
4 MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS ............................................................................................ 40
5 DOMÍNIOS MAGNÉTICOS ........................................................................................................... 45
6 HISTERESE .........................................................................................................................................46
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................ 55
RESUMO DO TÓPICO 3..................................................................................................................... 60
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 62
REFERÊNCIAS ...................................................................................................................................... 64
UNIDADE 2 — CIRCUITOS COM ÍMÃS PERMANENTES, PERDAS MAGNÉTICAS,
 SISTEMAS P.U. E CÁLCULO DE POTÊNCIAS ............................................... 67
TÓPICO 1 — PERDAS MAGNÉTICAS, SISTEMAS P.U. E CÁLCULO DE POTÊNCIAS ............. 69
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 69
2 PERDAS NO COBRE ........................................................................................................................ 70
3 PERDAS NO FERRO ......................................................................................................................... 71
4 PERDAS MECÂNICAS .................................................................................................................... 73
5 PERDAS ELÉTRICAS NOS CONTATOS ..................................................................................... 74
6 PERDAS SUPLEMENTARES .......................................................................................................... 75
7 PERDAS VARIÁVEIS E PERDAS CONSTANTES ..................................................................... 76
7.1 PERDAS VARIÁVEIS ................................................................................................................... 76
7.2 PERDAS CONSTANTES .............................................................................................................. 77
8 ENSAIO A VAZIO – PERDAS ROTACIONAIS A VAZIO ....................................................... 78
9 RENDIMENTO .................................................................................................................................. 79
9.1 RENDIMENTO CONVENCIONAL .......................................................................................... 80
10 LAMINAÇÃO ................................................................................................................................... 81
RESUMO DO TÓPICO 1..................................................................................................................... 84
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 86
TÓPICO 2 — CIRCUITOS COM ÍMÃS PERMANENTES .......................................................... 89
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 89
2 CIRCUITOS COM ÍMÃS PERMANENTES ................................................................................ 89
RESUMO DO TÓPICO 2..................................................................................................................... 98
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 99
TÓPICO 3 — SISTEMA P.U. E CÁLCULO DE POTÊNCIAS .................................................... 103
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 103
2 SISTEMA POR UNIDADE (P.U.) ................................................................................................. 105
3 POTÊNCIAS ATIVA, REATIVA E APARENTE ......................................................................... 112
LEITURA COMPLEMENTAR .......................................................................................................... 115
RESUMO DO TÓPICO 3................................................................................................................... 120
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 121
REFERÊNCIAS .................................................................................................................................... 126
UNIDADE 3 — ANÁLISE DE BOBINAS (INDUTORES), TRANSDUTORES E
 ATUADORES ELETROMAGNÉTICOS, ELETROÍMÃS .............................. 127
TÓPICO 1 — BOBINAS (INDUTORES), TRANSDUTORES E ATUADORES
 ELETROMAGNÉTICOS, ELETROÍMÃS ............................................................. 129
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 129
2 FORÇA MAGNETOMOTRIZ E FLUXO CONCATENADO .................................................. 131
2.1 TENSÃO DE AUTOINDUÇÃO ................................................................................................ 131
3 INDUTÂNCIAS DE FORMAS PADRONIZADAS DE INDUTORES ................................. 135
3.1 INDUTÂNCIA INTERNA ......................................................................................................... 140
RESUMO DO TÓPICO 1................................................................................................................... 143
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 144
TÓPICO 2 — CIRCUITOS MAGNETICAMENTE ACOPLADOS .......................................... 147
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 147
2 INDUTÂNCIA MÚTUA ................................................................................................................. 147
2.1 CIRCUITOS MAGNETICAMENTE ACOPLADOS DE FORMA ADITIVA ...................... 149
2.2 CIRCUITOS MAGNETICAMENTE ACOPLADOS DE FORMA SUBTRATIVA .............. 151
3 ENERGIA EM UM CIRCUITO ACOPLADO ............................................................................ 154
RESUMO DO TÓPICO 2................................................................................................................... 162
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 163
TÓPICO 3 — TRANSDUTORES, ATUADORES ELETROMAGNÉTICOS E 
 ELETROÍMÃS ............................................................................................................ 167
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 167
2 ATUADORES E TRANSDUTORES ............................................................................................. 167
3 ELETROÍMÃS .................................................................................................................................. 168
LEITURA COMPLEMENTAR .......................................................................................................... 173
RESUMO DO TÓPICO 3................................................................................................................... 180
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 181
REFERÊNCIAS .................................................................................................................................... 185
1
UNIDADE 1 — 
CIRCUITOS MAGNÉTICOS E 
MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade,você deverá ser capaz de:
• compreender os princípios básicos que envolvem a transformação de 
energia em circuitos magnéticos; os circuitos magnéticos; o comporta-
mento dos materiais ferromagnéticos; a histerese nos materiais ferro-
magnéticos; a lei de Faraday; como se produz uma força induzida em 
um fio condutor; como se produz uma tensão induzida em um fio con-
dutor e o funcionamento de uma máquina linear simples;
• entender os fundamentos da conversão eletromecânica de energia e da 
dinâmica dos dispositivos eletromecânicos;
• conhecer e compreender o funcionamento de alguns elementos de má-
quina eletromecânicos; 
• aprender como produzir um campo magnético.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade, 
você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo 
apresentado.
TÓPICO 1 – CIRCUITOS MAGNÉTICOS: TEORIA
TÓPICO 2 – CIRCUITOS MAGNÉTICOS: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
TÓPICO 3 – MATERIAIS MAGNÉTICOS E CARACTERÍSTICAS
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos 
em frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá 
melhor as informações.
CHAMADA
2
3
TÓPICO 1 — 
UNIDADE 1
CIRCUITOS MAGNÉTICOS: TEORIA
1 INTRODUÇÃO
A compreensão do eletromagnetismo é essencial para o estudo da en-
genharia elétrica, pois, através dele, o engenheiro eletricista opera uma grande 
parte dos dispositivos, máquinas e equipamentos presentes nas indústrias e nas 
residências.
Todos os motores e geradores elétricos que abrangem unidades com po-
tências de frações de cavalo vapor, como os encontrados em aplicações domés-
ticas, até os maiores, de 25.000 hp (horse power), empregados em algumas indús-
trias, dependem do campo eletromagnético como elemento de acoplamento. É o 
campo eletromagnético que permite a transformação de energia de um sistema 
elétrico para um sistema mecânico, e vice-versa. Da mesma forma, os transforma-
dores proporcionam o meio de se converter energia de um sistema elétrico em 
outro, por meio de um campo magnético. São encontrados em diversas aplica-
ções, como nos receptores de rádio e de televisão e nos circuitos de distribuição 
de energia elétrica. Outros dispositivos importantes, utilizados nas casas e nos 
pátios fabris, são os disjuntores, as chaves automáticas, os relés e os amplificado-
res magnéticos. Esses componentes necessitam da presença de um campo mag-
nético confinado para a operação adequada. 
Esta unidade fornecerá, ao leitor, o conhecimento básico, de forma que 
ele possa identificar um campo magnético e as características, compreender o 
funcionamento desse campo nos equipamentos e manipular, matematicamente, 
as grandezas de interesse nos projetos.
As bases da engenharia são fundamentadas nas equações de Maxwell e 
em outras leis, deduzidas, experimentalmente, por Faraday, Ampère, Lenz, Hel-
mholtz, Hertz e outros.
Na área de eletromagnetismo, a lei de Ampère é a que mais nos interessa e, 
na realidade, ela serve como ponto de partida para o nosso estudo. Iniciaremos com 
o conceito de circuitos magnéticos, pois auxilia na simplificação dos cálculos envol-
vidos na análise de dispositivos magnéticos que serão vistos nas outras unidades.
Uma vez conhecida a equação de Ampère, além do cálculo dos diversos tipos 
de circuitos magnéticos, podemos dar sequência aos estudos e aprender as proprieda-
des magnéticas de determinados materiais, úteis nas engenharias elétrica e mecânica. 
UNIDADE 1 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS E MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS
4
Os dispositivos de conversão eletromecânica são baseados em campo mag-
nético, campo elétrico, ou, ainda, em ambos, caracterizando o que chamamos de 
campo eletromagnético, porém, na prática, a capacidade de um dispositivo mag-
nético de armazenar energia é 10.000 vezes maior do que a capacidade de armaze-
namento de um dispositivo de campo elétrico, com mesmo volume (USP, 2020).
Um conversor eletromecânico de energia transforma a energia elétrica em 
energia mecânica, e vice-versa. Esses dispositivos são chamados de dispositivos 
de força. Os dispositivos de força são os geradores e os motores elétricos. Os con-
versores eletromecânicos de energia também podem incluir os da categoria dos 
dispositivos de posição, ou seja, os transdutores eletromecânicos. Alguns exem-
plos de transdutores de posição são:
• os microfones; 
• os autofalantes; 
• os materiais piezoelétricos;
• os relés eletromagnéticos;
• os instrumentos de medição analógicos etc. (NASAR, 1984).
A figura a seguir mostrará o princípio de conversão eletromecânica de energia.
FIGURA 1 – TRANSFORMAÇÃO DA ENERGIA ELÉTRICA EM ENERGIA MECÂNICA E VICE-VERSA
FONTE: USP (2020, s.p.)
Quando um dispositivo é utilizado para converter energia mecânica em 
energia elétrica, é chamado de gerador. Segue um gerador elétrico.
FIGURA 2 – GERADOR ELÉTRICO
FONTE: Mecalux (2020, s.p.)
TÓPICO 1 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS: TEORIA
5
FIGURA 3 – ALTERNADOR DE ENERGIA
FONTE: Mecalux (2020, s.p.)
FIGURA 4 – DÍNAMO SIMPLES
FONTE: Alibaba (2020, s.p.)
Assista ao vídeo do Prof. Luís César Emanuelli, a respeito dos geradores síncro-
nos, no seguinte endereço: https://www.youtube.com/watch?v=eyRbYm-ofFY.
DICAS
Segue um alternador de energia. Os alternadores transformam energia 
mecânica em energia elétrica e produzem corrente alternada induzida, por meio 
de um campo magnético. São utilizados em carros, em termelétricas, em aplica-
ções marítimas, em usinas hidrelétricas etc.
Um dínamo é um dispositivo que gera corrente contínua, converten-
do energia mecânica em energia elétrica, através de uma indução eletromagnéti-
ca. É constituído por um ímã e uma bobina. Observe um dínamo simples:
Quando um dispositivo converte energia elétrica em energia mecânica, é 
chamado de motor. Os motores elétricos acionam refrigeradores, freezers, aspira-
dores de ar, processadores de alimentos, aparelhos de ar-condicionado, ventilado-
res e muitos outros eletrodomésticos similares. Nas indústrias, os motores produ-
UNIDADE 1 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS E MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS
6
zem a força motriz para mover, praticamente, todas as máquinas. Naturalmente, 
para fornecer a energia utilizada por todos esses motores, há a necessidade de ge-
radores (CHAPMAN, 2013). Atente-se a alguns motores elétricos da marca WEG:
FIGURA 5 – MOTORES ELÉTRICOS
FONTE: Leonardo Energy (2020, s.p.)
Leia mais a respeito dos motores elétricos em https://bit.ly/3iNP5tm.
DICAS
Como qualquer máquina elétrica é capaz de realizar a conversão de ener-
gia em ambos os sentidos, então, qualquer máquina pode ser usada como gera-
dor ou como motor. Na prática, quase todos os motores realizam a conversão de 
energia de uma forma para a outra, pela ação de um campo magnético.
O transformador é um dispositivo elétrico que converte energia elétrica de 
corrente alternada, de um nível de tensão, em energia elétrica de corrente alternada, 
em outro nível de tensão. Eles são estudados com os geradores e os motores, pois fun-
cionam com base nos mesmos princípios, ou seja, dependem da ação de um campo 
magnético para que ocorram mudanças no nível de tensão. Segue um transformador:
FIGURA 6 – TRANSFORMADOR
FONTE: The Cmyk Digest (2020, s.p.)
TÓPICO 1 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS: TEORIA
7
FIGURA 7 – DISPOSITIVOS ELETROMAGNÉTICOS
No dia a dia, esses tipos de dispositivos elétricos estão presentes nas casas 
e nas indústrias. Sem a compreensão e o domínio dos fenômenos magnéticos, não 
existiriam os motores, os geradores, os transformadores, os indutores, os medido-
res eletromecânicos e os componentes magnéticos, utilizados na eletrônica. Por esse 
motivo, iniciaremos o estudo da conversão eletromecânica de energia por meio do 
conhecimento dos circuitos magnéticos. A figura a seguir mostrará alguns dispo-
sitivos elétricos que foram criados com o advento do uso dos circuitos magnéticos.
FONTE: A autora
Caro acadêmico, você sabia que, através dos resultados obtidos por Ampère, 
em 1820, nas suas experiências sobre as forças que existem entredois condutores nos quais 
flui corrente e, através de grandezas, como a densidade de fluxo magnético, a intensidade 
do campo magnético, a permeabilidade e o fluxo magnético, a lei de Ampère foi descrita? 
(DEL TORO, 1994). Isso representou um salto para o eletromagnetismo e para as equações 
de Maxwell, pois, foi Maxwell quem uniu as equações de Faraday e de Ampère e as comple-
mentou com as equações constitutivas. Você já deve ter lido algo a respeito das equações 
constitutivas nas disciplinas de Eletromagnetismo e Práticas de Eletromagnetismo, certo?!
INTERESSA
NTE
Agora, após essa contextualização introdutória, iniciaremos o estudo dos 
circuitos magnéticos.
UNIDADE 1 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS E MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS
8
2 CIRCUITOS MAGNÉTICOS
Iniciaremos o nosso estudo, relembrando as equações de Maxwell e as 
relações constitutivas, descritas a seguir.
TABELA 1 – EQUAÇÕES DE MAXWELL
Nome da lei Equações de Maxwell na forma diferencial
Equações de Maxwell na 
forma integral
Lei de Ampère
Lei de Faraday
Lei de Gauss
Demonstração 
da não existência 
de monopolos 
eletromagnéticos
FONTE: Adaptada de Aleksander e Sadiku (2017, p. 34) 
Em projetos de núcleos magnéticos para máquinas e dispositivos elétricos, os cálcu-
los exatos, utilizando as equações de Maxwell, são muito complexos, por esse motivo, utilizamos 
diversas equações que consistem em uma aproximação das equações de Maxwell. Dessa forma, 
descomplicamos a álgebra envolvida e os resultados obtidos são considerados satisfatórios.
IMPORTANT
E
As máquinas elétricas são constituídas por circuitos elétricos e magnéticos 
acoplados entre si, que são modelados pelas equações de Maxwell. Um circuito 
magnético é um caminho para o fluxo magnético, como que, por um circuito elétri-
co, a corrente elétrica flui por um determinado caminho ou sentido. Nas máquinas 
elétricas, os condutores percorridos por correntes interagem com os campos mag-
néticos, que são originados por correntes elétricas em condutores ou, ainda, por 
ímãs permanentes, resultando na conversão eletromecânica de energia.
Os campos magnéticos podem ser criados por várias fontes, que são:
TÓPICO 1 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS: TEORIA
9
• Um fio condutor de corrente produz um campo magnético ao seu redor.
• Um campo magnético variável no tempo induz uma tensão em uma bobina se 
esse campo passar através dessa bobina.
• Um fio condutor de corrente, na presença de um campo magnético, produz 
uma força induzida no fio.
• Um fio, movendo-se na presença de um campo magnético, provoca uma ten-
são induzida nele (ALEKSANDER; SADIKU, 2003).
A criação de um campo elétrico é dada por meio da lei de Ampère:
(1)
 é a intensidade de campo magnético, dado em ampères-espiras por 
metro [Ae/m], produzido pela corrente elétrica i, dada em ampères [A], e é o 
elemento diferencial de comprimento, ao longo do caminho fechado de integra-
ção, dado em metros [m], como mostra a Equação (1). Para melhor compreender 
a lei de Ampère utilizaremos um esboço de um circuito magnético simples.
FIGURA 8 – CIRCUITO MAGNÉTICO SIMPLES E CONSTITUINTES
FONTE: Chapman (2013, p. 9)
Note que N representa o número das espiras enroladas na perna esquer-
da do circuito (núcleo); ϕ é o fluxo magnético que circula pelo caminho fechado 
do núcleo; ℓn representa o comprimento, em metros (no S.I.), do caminho médio 
do núcleo fechado; A é a área da seção reta do núcleo com geometria retangular; 
e i é a corrente elétrica.
Se o núcleo for composto de ferro ou de outros metais similares, denomi-
nados de ferromagnéticos, então, todo o campo magnético produzido pela cor-
rente permanece dentro do núcleo, de modo que, na lei de Ampère, o caminho de 
integração é dado pelo comprimento do caminho médio no núcleo ℓn . A corrente 
líquida i , que passa dentro do caminho de integração, é, então, Ni, porque a bo-
UNIDADE 1 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS E MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS
10
bina cruza o caminho de integração N vezes quando está conduzindo a corrente 
i. Com isso, a lei de Ampère pode ser escrita em termos de módulo ou de magni-
tude das grandezas, conforme mostra a Equação (2):
(2)
(3)
(4)
(7)
(8)
Então, o módulo, a magnitude ou a intensidade do capo magnético H do 
núcleo, criado devido à corrente elétrica aplicada, é dado pela Equação (3):
“O módulo do campo magnético H é uma medida do esforço que uma 
corrente está fazendo para estabelecer um campo magnético” (FITZGERALD; 
KINGSLEY, 2014, p. 10). A intensidade do fluxo de campo magnético ϕ produzi-
do no núcleo depende, também, do material do núcleo. A relação entre H e B, em 
um material, é dada pela Equação (4):
 a densidade de fluxo magnético, dada em weber por metro quadrado 
[Wb/m2] ou tesla [T]; é a intensidade de campo magnético, dada em ampère-
espira por metro [Ae/m]; e μ é a permeabilidade magnética do material que 
compõe o núcleo, dada em henry por metro [H/m].
A permeabilidade do vácuo é denominada de μ0, e o valor é dado pela 
Equação (5):
A permeabilidade de qualquer outro material, quando comparada com a 
permeabilidade do vácuo, é chamada de permeabilidade relativa. É simbolizada 
por μr, e dada pela expressão matemática mostrada na Equação (6):
O módulo da densidade de fluxo em um núcleo magnético é dado pela 
Equação (7):
O fluxo total, em uma dada área do núcleo fechado, é dado pela expressão 
mostrada na Equação (8):
TÓPICO 1 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS: TEORIA
11
dA é chamado de unidade diferencial de área.
Se o vetor de densidade de fluxo for perpendicular a um plano de área A, e se a 
densidade de fluxo B for constante através da área, a Equação (8) se reduz à Equação (9):
ϕ = BA. (9)
(10)
Assim, o fluxo total do núcleo magnético é dado pela Equação (10):
A é a área da seção reta do núcleo e depende da geometria do núcleo, ou 
seja, se for um quadrado, a área é lado vezes lado: A = ℓ x ℓ, porém, se o núcleo for 
circular, a área A é A = π x r2.
3 ANALOGIAS ENTRE UM CIRCUITO ELÉTRICO E UM 
CIRCUITO MAGNÉTICO
Conforme veremos, os circuitos elétricos e magnéticos são análogos e as 
grandezas podem ser comparadas. Portanto, a corrente, em uma bobina de fio 
enrolado em um núcleo, produz um fluxo magnético. Isso pode ser equiparado a 
uma tensão que, em um circuito elétrico, produz o fluxo de corrente.
É possível definir um “circuito magnético”, cujo comportamento é regido 
por equações análogas às de um circuito elétrico. Frequentemente, no projeto de 
máquinas elétricas e transformadores, utiliza-se o modelo de circuito magnético 
que descreve o comportamento magnético para simplificar o processo de projeto 
que, de outro modo, seria bem complexo.
Em um circuito elétrico simples, uma fonte de tensão V alimenta uma 
corrente I, ao longo do circuito, através de uma resistência R.
A relação entre essas grandezas é dada pela lei de Ohm: V = Ri, já estu-
dada nas disciplinas de Circuitos Elétricos I, Circuitos Elétricos II, Práticas de 
Circuitos Elétricos, Práticas de Eletricidade e Eletrotécnica e, também, em outra.
No circuito elétrico, o fluxo de corrente é acionado por uma tensão ou for-
ça eletromotriz. Analogamente, a grandeza correspondente, no circuito magné-
tico, é denominada de força magnetomotriz (f.m.m), simbolizada por . A força 
magnetomotriz do circuito magnético é igual ao fluxo efetivo de corrente aplica-
do ao núcleo, ou, pela Equação (11):
(11)
Sua unidade no S.I. é o ampère-espiras [Ae].
UNIDADE 1 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS E MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS
12
Como uma fonte de tensão no circuito elétrico, a força magnetomotriz, no 
circuito magnético, também tem uma polaridade associada. O terminal positivo 
da fonte de f.m.m. é o terminal do qual o fluxo sai, e o terminal negativo da fonte 
de f.m.m. é o terminal no qual o fluxo volta a entrar. A polaridade da força mag-
netomotriz de uma bobina pode ser determinada, modificando-se a regra da mão 
direita: se os dedos da mão direita se curvam no sentido do fluxo de corrente em 
uma bobina, então, o polegar aponta no sentido de f.m.m.positiva. Observe:
FIGURA 9 – REGRA DA MÃO DIREITA
FONTE: UOL Educação (2020, s.p.)
FIGURA 10 – POLARIDADE DA FONTE DE F.M.M.
FONTE: Chapman (2013, p. 121)
Em um circuito magnético, a força magnetomotriz aplicada faz com que 
um fluxo φ seja produzido. Com isso, a relação entre força magnetomotriz e fluxo 
é dada pela Equação (12):
(12)
TÓPICO 1 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS: TEORIA
13
 é a força magnetomotriz do circuito, ϕ é o fluxo do circuito e é a relu-
tância do circuito, em [Ae/Wb].
A relutância de um circuito magnético é o equivalente à resistência elétri-
ca em um circuito elétrico, e a permeância representa o inverso da relutância. 
Em um circuito elétrico, o inverso da resistência é a condutância (G). A expressão 
matemática para a permeância é mostrada na Equação (13):
Com isso, a relação entre a força magnetomotriz e o fluxo pode ser expres-
sa, como mostra a Equação (14):
(13)
(14)
(15)
(16)
(18)
Em determinados materiais, é mais fácil trabalhar com a permeância do 
que com a relutância, e isso justifica a importância. O fluxo pode ser expresso 
através das Equações (15-17):
Contudo, da Equação (10), podemos escrever o fluxo magnético de outra forma:
Com isso, o produto Ni pode ser substituído por , resultando na 
Equação (16):
Portanto, a relutância magnética no núcleo pode ser calculada por meio 
da Equação (18):
Para resumir, as equações utilizadas no projeto de circuitos magnéticos serão 
descritas a seguir. A referida tabela mostrará as similaridades entre as grandezas de 
um circuito elétrico resistivo de corrente contínua e um circuito magnético.
UNIDADE 1 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS E MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS
14
TABELA 2 – ANALOGIA ENTRE CIRCUITOS ELÉTRICOS E MAGNÉTICOS
Circuito elétrico Circuito magnético
Lei de Ohm: i = V/R Fluxo magnético: ϕ = /
Resistência elétrica: R = ℓ/(σA) Relutância magnética: = ℓ/(μA)
Corrente elétrica: i Fluxo magnético: ϕ
Tensão elétrica: V Força magnetomotriz (f.m.m.): 
Condutividade elétrica: σ Permeabilidade magnética: μ
Condutância: G Permeância: 
FONTE: Nasar (1984, p. 4)
Para contextualizar o que foi mostrado, veja uma ilustração da analogia 
entre os circuitos elétricos e magnéticos de duas e três pernas.
FIGURA 11 – ANALOGIA ENTRE OS CIRCUITOS ELÉTRICO E MAGNÉTICO
FONTE: UFMG (2019, p. 4)
Visualize, a seguir, as grandezas elétricas e magnéticas e as respectivas 
unidades no sistema internacional (S.I.). Lembre-se de que sempre denotamos as 
unidades entre colchetes [ ], para não confundir, certo?!
Assista ao vídeo do Prof. Luís César Emanuelli, acerca do tema, em https://
www.youtube.com/watch?v=MAUfye9nOEw.
DICAS
TÓPICO 1 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS: TEORIA
15
TABELA 3 – UNIDADES DAS GRANDEZAS ELÉTRICAS E MAGNÉTICAS
FONTE: A autora
Grandeza elétrica Unidade Grandeza magnética Unidade
Resistência elétrica: R [Ω] Relutância magnética: [Ae/Wb]
Corrente elétrica: i [A] Fluxo magnético: ϕ [Wb]
Tensão elétrica: V [V] Força magnetomotriz (f.m.m.): [Ae]
Condutividade 
elétrica: σ [S/m]
Permeabilidade 
magnética: μ [H/m]
Condutância: G [S] Permeância: [Wb/Ae]
Campo magnético: E [V/m] Campo magnético: H [H/m]
Densidade de campo 
elétrico: D [C/m]
Densidade de campo 
magnético: B [T]
4 CIRCUITOS MAGNÉTICOS EM SÉRIE E EM PARALELO
As relutâncias em um circuito magnético obedecem às mesmas regras do 
que as resistências em um circuito elétrico. Portanto, a relutância equivalente de 
um circuito magnético em série é a soma das relutâncias individuais, conforme 
mostra a Equação (19):
(19)
(20)
(21)
(22)
Já a relutância equivalente de um circuito magnético em paralelo é dada 
pela Equação (20): 
As permeâncias em série e em paralelo obedecem às mesmas regras do 
que as condutâncias elétricas, ou seja, a Equação (21) corresponde à permeância 
equivalente em série, e a Equação (22) representa a equação para o cálculo da 
permeância equivalente em paralelo:
UNIDADE 1 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS E MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS
16
Quando são usados os conceitos de circuito magnético em um núcleo, os 
cálculos de fluxo são sempre aproximados. Em alguns casos, tem uma exatidão 
de, aproximadamente, 5% em relação ao valor real.
5 TIPOS DE CIRCUITOS MAGNÉTICOS
Os circuitos magnéticos são classificados como lineares e não lineares. 
Os circuitos magnéticos lineares são aqueles nos quais a permeabilidade relativa 
μr é baixa. Podem ser obtidos quando o núcleo é de ar, ou constituído por um 
material não ferromagnético.
Há vários tipos de circuitos magnéticos, como o demonstrado a seguir:
FIGURA 12 – TIPOS DE NÚCLEOS MAGNÉTICOS
FONTE: <https://bit.ly/3iTsyeG>. Acesso em: 24 abr. 2021.
No próximo tópico, nós calcularemos e demonstraremos como resolver 
alguns problemas, envolvendo circuitos magnéticos.
17
Neste tópico, você aprendeu que:
RESUMO DO TÓPICO 1
• Um circuito magnético é aquele em que existe um caminho para o fluxo mag-
nético, de forma análoga ao circuito elétrico, que proporciona um caminho 
para a corrente elétrica.
• Os circuitos magnéticos, assim como os circuitos elétricos, podem ter uma 
infinidade de configurações diferentes.
• A lei de Ampère relaciona a intensidade de campo magnético H e a corrente 
elétrica i.
• Em situações com elevada simetria, a lei de Ampère permite calcular o módu-
lo da intensidade de campo magnético H.
• Problemas mais complexos não serão discutidos aqui, pois outras ferramen-
tas matemáticas são necessárias. Simplificação para os problemas típicos da 
disciplina: 𝐻 = (𝑁.𝑖)/𝑙. 𝑖 é a corrente elétrica, 𝑁 é o número de espiras e 𝑙 é o 
comprimento do circuito magnético.
• A permeabilidade magnética, cujo símbolo é μ (mi), é uma constante de pro-
porcionalidade, dependente do material e da preparação, que relaciona a in-
dução magnética do material em um determinado ponto, em função do cam-
po magnético existente no ponto. A unidade é [H/m] (henry por metro).
• É calculada pela razão entre a densidade de fluxo magnético, B, em uma subs-
tância, e a intensidade do campo magnético exterior, H, isto é, é dada pela 
seguinte expressão matemática: μ = B/H.
• Em circuitos magnéticos, a relutância magnética é a grandeza física análoga 
à resistência em circuitos elétricos. 
• A relutância do circuito não uniforme é calculada, adicionando a relutân-
cia da seção uniforme do circuito magnético.
• O cálculo do campo magnético não uniforme é mais complexo em compara-
ção com o campo magnético uniforme.
• A permeância é o inverso da relutância.
18
1 Disserte, com as suas palavras, o que é a conversão eletromecânica de energia.
2 O que é um circuito magnético e quais são os tipos?
3 O que é a lei de Ampère?
4 O que é intensidade de campo magnético (H)? O que é densidade de fluxo 
magnético (B)? Como essas grandezas se relacionam entre si?
5 Como o conceito de circuito magnético pode auxiliar no projeto de núcleos 
de transformadores e máquinas?
6 Explique, com as suas palavras, o que é relutância magnética, e apresente a 
sua expressão matemática para cálculo.
AUTOATIVIDADE
19
TÓPICO 2 — 
UNIDADE 1
CIRCUITOS MAGNÉTICOS: APLICAÇÕES 
NUMÉRICAS
1 INTRODUÇÃO
Os circuitos magnéticos são utilizados em dispositivos eletromecânicos 
e em máquinas elétricas. Esses dispositivos utilizam materiais ferromagnéticos, 
que estudaremos no Tópico 3 desta unidade, para concentrar e guiar os campos 
eletromagnéticos nas peças e nos núcleos.
O comportamento dos campos eletromagnéticos é descrito pelas equa-
ções de Maxwell, vistas no Tópico 1. Elas são complementadas pelas relações 
constitutivas. No caso das máquinas elétricas, em sua maioria, podemos utilizar 
a aproximação quase estática das equações de Maxwell. Essa aproximação diz 
que as frequências e as dimensões das peças são tais que os termos de corrente de 
deslocamento podem ser desprezados no cálculo dos campos nas peças.
O Tópico 1 foi mais teórico, nele apresentamos os conceitos fundamentais 
dos circuitos magnéticos. Neste tópico, nós iremos abordar os problemas envol-
vendo os núcleos de máquinaselétricas.
2 APLICAÇÕES NUMÉRICAS DE CIRCUITOS MAGNÉTICOS
Os circuitos magnéticos são empregados com o objetivo de concentrar o 
efeito magnético em uma dada região do espaço. O termo circuito magnético vem 
de uma analogia com o circuito elétrico, pois ambos podem ser tratados de forma 
semelhante. Assim como o circuito elétrico possui um caminho fechado para a 
corrente elétrica, o circuito magnético possui um caminho magneticamente fe-
chado. As linhas de força são, naturalmente, linhas fechadas.
O circuito magnético direciona o fluxo magnético para onde for desejado, 
sendo dotado de materiais com certas propriedades magnéticas e dimensões, a 
partir de uma variedade de seções e diferentes comprimentos.
As características magnetizantes dos materiais são de natureza não linear, 
o que deve ser levado em conta nos projetos de dispositivos eletromagnéticos. A 
título de exemplos, podemos citar a determinação da corrente elétrica requerida, 
em um enrolamento, para produzir uma dada densidade de fluxo no entreferro 
20
UNIDADE 1 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS E MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS
de um pequeno atuador, de um relé ou de um eletromagneto. Com base nisso, 
resolveremos alguns exercícios para que você compreenda como são realizados 
os cálculos de circuitos magnéticos (núcleos) na prática.
1º Exemplo: Um núcleo ferromagnético será mostrado a seguir. Três dos 
seus lados têm larguras uniformes, ao passo que a largura do quarto lado é me-
nor. A profundidade do núcleo (para dentro da página) é de 10 [cm], e as outras 
dimensões são mostradas na figura. Uma bobina de 200 espiras está enrolada no 
lado esquerdo do núcleo. Assumindo uma permeabilidade relativa μr de 2500, 
quanto fluxo será produzido por uma corrente de 1 [A]?
FIGURA 13 – CIRCUITO MAGNÉTICO
FONTE: Chapman (2013, p. 16)
Solução: Três lados do núcleo têm as mesmas áreas de seção reta, ao passo 
que o quarto lado tem uma área diferente. Assim, o núcleo pode ser dividido 
em duas regiões: (1) um lado menos espesso e (2) três outros lados tomados em 
conjunto. O respectivo circuito magnético desse núcleo será mostrado a seguir.
TÓPICO 2 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
21
FIGURA 14 – CIRCUITO EQUIVALENTE
FONTE: Chapman (2013, p. 18)
O comprimento do caminho médio da região 1 é 45 [cm] e a área da seção 
reta é 10 [cm] x 10 [cm] = 100 [cm2.] Portanto, a relutância da primeira região é:
O comprimento do caminho médio da região 2 é 130 [cm], e a área da 
seção reta é 15 x 10 [cm] = 150 [cm2]. Assim, a relutância da segunda região é:
A força magnetomotriz total é dada por:
O fluxo total no núcleo é dado por:
Agora, realizaremos uma atividade prática, ok?! Pegue o seu computador, 
ou notebook, ou, ainda, utilize o computador do seu polo. Simularemos o exercício 
mostrado no Exemplo 1, vamos lá?!
22
UNIDADE 1 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS E MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS
• ATIVIDADE PRÁTICA – SIMULAÇÃO DE CIRCUITO MAGNÉTICO 
SIMPLES NO OCTAVE
Caro acadêmico! Você pode baixar gratuitamente o software OCTAVE ou, 
se preferir, pode utilizá-lo on-line.
Agora, resolveremos o mesmo problema, utilizando um algoritmo no software 
OCTAVE, ok?!
% M-file: ex1_1.m
% M-file para o cálculo de fluxo do primeiro exemplo
l1 = 0.45; % Comprimento da região 1
l2 = 1.3; % Comprimento da região 2
a1 = 0.01; % Área da região 1
a2 = 0.015; % Área da região 2
ur = 2500; % Permeabilidade relativa
u0 = 4*pi*1E-7; % Permeabilidade do vácuo
n = 200; % Número de espiras no núcleo
i = 1; % Corrente em ampères
% Cálculo da primeira relutância
r1 = l1 / (ur * u0 * a1);
disp ([‘r1 = ‘ num2str(r1)]);
% Cálculo da segunda relutância
r2 = l2 / (ur * u0 * a2);
disp (['r2 = ' num2str(r2)]);
% Cálculo da relutância total
rtot = r1 + r2;
% Cálculo da FMM (mmf)
mmf = n * i;
% Finalmente, obtenha o fluxo (flux) no núcleo
flux = mmf / rtot;
% Mostre o resultado
disp (['Fluxo = ' num2str(flux)]);
Quando esse programa é executado, os resultados são:
>> ex1_1
r1 = 14323.9449
r2 = 27586.8568
Fluxo = 0.004772
TÓPICO 2 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
23
Podemos concluir que ambas as resoluções fornecem a mesma resposta, 
ou seja, você sempre pode lançar mão do uso de softwares para conferir os resul-
tados dos cálculos. 
2º Exemplo: Um núcleo ferromagnético com uma permeabilidade relativa 
de 1500 será mostrado a seguir. As dimensões são as mostradas no diagrama e a 
profundidade do núcleo é de 5 [cm]. Os entreferros nos lados esquerdo e direito do 
núcleo são 0,050 [cm] e 0,070 [cm], respectivamente. Devido ao efeito de espraiamen-
to, a área efetiva dos entreferros é 5% maior do que o tamanho físico. Se, na bobina, 
existirem 300 espiras enroladas em torno da perna central do núcleo, e se a corrente 
na bobina for 1,0 [A], quais serão os valores de fluxo para as pernas esquerda, central 
e direita do núcleo? Qual será a densidade de fluxo em cada entreferro?
FIGURA 15 – CIRCUITO MAGNÉTICO DE TRÊS PERNAS
FONTE: Chapman (2013, p. 57)
Solução: Esse núcleo pode ser dividido em cinco regiões. Vamos fazer 
 ser a relutância da parte esquerda do núcleo; , a relutância do entreferro 
esquerdo; , a relutância da parte direita do núcleo; , a relutância do en-
treferro direito; e , por fim, a relutância da perna central do núcleo. Então, a 
relutância total do núcleo é dada por:
24
UNIDADE 1 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS E MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS
A relutância total é dada por:
O fluxo total no núcleo é igual ao fluxo na perna central:
Os fluxos nas pernas esquerda e direita podem ser encontrados pela 
"regra do divisor de fluxo", que é análoga à regra divisória atual, então:
A densidade de fluxo no gap de ar pode ser determinada pela equação:
TÓPICO 2 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
25
3º Exemplo: Um núcleo de duas pernas será mostrado a seguir. O enrola-
mento da perna esquerda do núcleo (N1) tem 600 espiras e o enrolamento da perna 
direita do núcleo (N2) tem 200 espiras. As bobinas são enroladas nos sentidos mos-
trados na figura. Se as dimensões forem as mostradas, quais serão os fluxos produ-
zidos pelas correntes i1 = 0,5 [A] e i2 = 1,00 [A]? Assuma que μr = 1200 é constante.
FIGURA 16 – CIRCUITO MAGNÉTICO SIMPLES COM DOIS ENROLAMENTOS
FONTE: Chapman (2013, p. 57)
Solução: As duas bobinas, nesse núcleo, são de modo, e as forças mag-
netomotrizes são aditivas, de modo que a força magnetomotriz total é dada por:
A relutância total no núcleo é:
26
UNIDADE 1 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS E MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS
O fluxo magnético no núcleo é:
4º Exemplo: Seguem, de forma simplificada, o rotor e o estator de um motor 
de corrente contínua. O comprimento do caminho médio do estator é de 50 [cm], e 
a área da seção reta é de 12 [cm2]. O comprimento do caminho médio do rotor é de 5 
[cm], e se pode assumir que a área da seção reta é, também, de 12 [cm2]. Cada entre-
ferro entre o rotor e o estator tem 0,05 [cm] de largura, e a área da seção reta de cada 
entreferro (incluindo o espraiamento) é de 14 [cm2]. O ferro do núcleo tem permea-
bilidade relativa de 2000 e há 200 espiras de fio sobre o núcleo. Se a corrente no fio 
for ajustada para 1 [A], qual será a densidade de fluxo resultante nos entreferros?
FIGURA 17 – CIRCUITO MAGNÉTICO SIMPLES SIMULANDO UM ROTOR E UM ESTATOR DE UM 
MOTOR
FONTE: Chapman (2013, p. 20) 
Solução: Para determinar a densidade de fluxo no entreferro, é necessário 
calcular, primeiramente, a força magnetomotriz aplicada ao núcleo, além da relu-
tância total do caminho de fluxo. Com essas informações, pode-se encontrar o fluxo 
total no núcleo. Finalmente, conhecendo a área da seção reta dos entreferros, pode-
-se calcular a densidade de fluxo. Portanto, a relutância do estator é calculada por:
TÓPICO 2 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
27
A relutância do rotor é dada por:
A relutância dos entreferros é calculada pela expressão a seguir:
O respectivo circuito magnético do diagrama simplificado do rotor e do 
estator de um motor de corrente contínua será mostrado a seguir.
FIGURA18 – CIRCUITO ELÉTRICO EQUIVALENTE
FONTE: Chapman (2013, p. 20)
A relutância total do caminho de fluxo é, portanto:
28
UNIDADE 1 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS E MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS
A força magnetomotriz líquida aplicada no núcleo é:
Portanto, o fluxo total no núcleo é:
Por fim, a densidade de fluxo magnético no entreferro do motor é:
5ª Exemplo: A estrutura magnética de uma máquina síncrona será mostra-
da, esquematicamente, a seguir. Assumindo que os ferros do rotor e do estator têm 
permeabilidade infinita (μ → ∞), encontre o fluxo φ do entreferro e a densidade 
de fluxo Bg. Nesse exemplo, I = 10 [A], N = 1000 espiras, g = 1 [cm] e Ag = 200 [cm2].
FIGURA 19 – MÁQUINA SÍNCRONA SIMPLES
FONTE: Fitzgerald e Kingsley (2014, p. 21)
TÓPICO 2 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
29
Solução: Observe que há dois entreferros em série, de comprimento 
total 2g, e que, por simetria, a densidade de fluxo, em cada um, é igual. Como 
assumimos que a permeabilidade do ferro é infinita, a relutância é desprezível e 
a equação para o fluxo magnético (com g substituído pelo comprimento total de 
entreferro 2g) pode ser usada para encontrá-lo:
6º Exemplo: O circuito magnético mostrado a seguir terá as dimensões Ac 
= Ag = 9 [cm2], g = 0,050 [cm], lc = 30 [cm] e N = 500 espiras. Suponha o valor μr = 
70.000 para o material do núcleo. Com isso, determine:
a) as relutâncias Rc e Rg.
Dada a condição de que o circuito magnético esteja operando com Bc = 1,0 
[T], encontre:
b) o fluxo φ e;
c) a corrente i.
FIGURA 20 – CIRCUITO MAGNÉTICO SIMPLES COM ENTREFERRO (GAP) DE AR
FONTE: Fitzgerald e Kingsley (2014, p. 5)
Solução: (a) As relutâncias do núcleo e do entreferro são:
30
UNIDADE 1 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS E MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS
b)
c)
3 ESPRAIAMENTO, FRANGEAMENTO, ESPALHAMENTO OU 
EFEITO DE BORDAS
Ao cruzar o entreferro, o fluxo magnético sofre um fenômeno chamado de 
espraiamento (frangeamento, espalhamento, efeito de bordas), conforme poderá 
ser visto a seguir. Isso faz com que a área efetiva por onde passa o fluxo se torne 
maior do que a área Ag geométrica do entreferro.
FIGURA 21 – EFEITO DE ESPRAIAMENTO DE UM CAMPO MAGNÉTICO NO ENTREFERRO
FONTE: Nasar (1984, p. 6)
Seja uma área de secção reta S = a x b retangular e o entreferro de 
comprimento Ag, de uma forma prática, podemos calcular a área aparente ou 
efetiva do entreferro Sg através da relação:
(23)
Observe, aqui, que quando o entreferro for muito reduzido, o efeito do 
espraiamento pode ser desprezado.
Os materiais magnéticos têm permeabilidades que não são constantes, 
mas que variam, de acordo com o nível do fluxo. Enquanto essa permeabilidade 
permanecer suficientemente elevada, a variação não afeta, de forma significativa, 
o desempenho do circuito magnético.
TÓPICO 2 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
31
(24)
Nos sistemas reais, as linhas de campo magnético “se espraiam” um pou-
co para fora quando cruzam o entreferro. Se esse efeito de espraiamento não for 
excessivo, o conceito de circuito magnético continuará aplicável. O efeito desses 
campos de espraiamento é aumentar a área efetiva Ag da seção reta do entreferro. 
Diversos métodos empíricos foram desenvolvidos para levar em conta esse efei-
to. Em entreferros delgados, uma correção para esses campos de espraiamento 
pode ser feita, acrescentando-se o comprimento do entreferro a cada uma das 
duas dimensões, alterando a área da seção reta. Se o efeito dos campos de espraia-
mento é ignorado, assume-se a seguinte simplificação:
Ag = Ac.
7º Exemplo: O circuito magnético a seguir será constituído por uma bobi-
na de N espiras enroladas em um núcleo magnético, de permeabilidade infinita, 
com dois entreferros paralelos de comprimentos g1 e g2, e áreas A1 e A2, respec-
tivamente. Encontre:
a) a indutância do enrolamento;
b) a densidade de fluxo B1 no entreferro 1 quando o enrolamento está conduzindo 
uma corrente i. Despreze os efeitos de espraiamento no entreferro.
FIGURA 22 – (A) CIRCUITO MAGNÉTICO; (B) CIRCUITO EQUIVALENTE
FONTE: Fitzgerald e Kingsley (2014, p. 13)
Solução: O circuito mostra que a relutância total é igual à combinação, em 
paralelo, das relutâncias dos dois entreferros. Com isso, temos que:
32
UNIDADE 1 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS E MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS
As relutâncias nos entreferros 1 e 2 são dadas pelas expressões:
A indutância do núcleo é dada por:
b) Do circuito equivalente, temos que:
E, assim:
8º Exemplo: Para o dispositivo a seguir, haverá uma corrente I = 5 A através 
de N = 100 espiras, fazendo circular um fluxo magnético por um retângulo, cujos 
comprimentos médios da base e da altura são, respectivamente, 10 cm e 8 cm, 
além de secção reta 2 cm2, feita de um material de permeabilidade relativa μr = 
1000. Com base nisso, determine:
a) a relutância do circuito magnético;
b) a permeância do circuito magnético;
c) a intensidade de campo magnético no núcleo;
d) a densidade de fluxo magnético no núcleo;
e) o fluxo magnético no núcleo.
FIGURA 23 – CIRCUITO MAGNÉTICO SIMPLES SEM ENTREFERRO (GAP)
FONTE: UNESP (2021, s.p.)
TÓPICO 2 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
33
Solução:
9º Exemplo: Calcule o valor do fluxo magnético em cada braço da estrutura 
magnética a seguir. Dados: N = 500 espiras, I = 1,0 [A], material 1 com μr1 = 200 e, 
o material 2, com μr2 = 100.
FIGURA 24 – ESTRUTURA FERROMAGNÉTICA
FONTE: UNESP (2021, s.p.)
FIGURA 25 – CIRCUITO EQUIVALENTE
Solução: Desenhamos um circuito elétrico equivalente, conforme mostra-
do a seguir:
FONTE: UNESP (2021, s.p.)
34
UNIDADE 1 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS E MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS
Para o lado do material 1, temos que:
Para o lado do material 2:
Para o lado do material 2, temos que:
TÓPICO 2 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
35
Caro acadêmico, se você ainda tiver dúvidas acerca da solução de circuitos 
magnéticos, sugerimos o vídeo a seguir: https://www.youtube.com/watch?v=ZkDeHJxX0kM.
DICAS
Acadêmico, com a breve descrição introduzida nesta unidade, apresenta-
mos os fundamentos básicos para simplificar um problema de campo magnético 
quase estático, de geometria simples, em um modelo de núcleo de circuito mag-
nético utilizado em máquinas. O objetivo foi abordar a terminologia e alguns dos 
conceitos usados pelos engenheiros para resolver problemas práticos de projeto 
em indústrias. Queremos deixar claro para você, leitor, que esse tipo de solução 
de problemas depende muito do raciocínio e da intuição próprios do engenheiro 
e da equipe de pesquisa que estão desenvolvendo os núcleos.
Em alguns exercícios, supomos que a permeabilidade das partes de “fer-
ro” do circuito magnético seja uma quantidade conhecida constante, embora, 
muitas vezes, isso não seja verdade, e que o campo magnético esteja confinado 
unicamente no núcleo e nos entreferros. Embora se trate de uma boa suposição 
para muitas situações, também é verdadeiro que as correntes dos enrolamentos 
produzem campos magnéticos fora do núcleo.
Queremos enfatizar, ainda, que quando dois ou mais enrolamentos são 
colocados em um campo magnético, como ocorre no caso de transformadores e 
de máquinas rotativas, esses campos externos ao núcleo, conhecidos como cam-
pos de dispersão, não podem ser ignorados, e afetam, de forma significativa, o 
desempenho do dispositivo.
Você pode estudar mais a respeito desse tema em https://bit.ly/3xw6NWj.
ESTUDOS FU
TUROS
36
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• No fluxo de dispersão, parte das linhas de campo produzidas pela bobina não 
circula no interior do núcleo.
• A permeabilidade do núcleo é supostamente grande, mas deve-se lembrar de 
que ela não é infinita.
• A lei básica que determina a relação entre a corrente elétrica e o campo mag-
nético é a lei de Ampère.
• A intensidade de campo magnético produz uma indução magnética em toda 
região onde ela existe.
• Uma corrente elétrica sempre produz um campo magnético. Assim, é lógico 
supor que um campo magnético pode produzir umacorrente elétrica.
37
1 A figura mostrará um núcleo ferromagnético. A profundidade (para den-
tro da página) do núcleo é de 5 cm. As demais dimensões do núcleo serão 
mostradas a seguir. Encontre o valor da corrente que produzirá um fluxo de 
0,005 [Wb]. Com essa corrente, qual é a densidade do fluxo no lado superior 
do núcleo? Qual é a densidade do fluxo no lado direito do núcleo? Assuma 
que a permeabilidade relativa do núcleo é de 800.
AUTOATIVIDADE
CIRCUITO MAGNÉTICO PARA RESOLUÇÃO DA AUTOATIVIDADE NÚMERO 3
FONTE: Chapman (2013, p. 56)
2 Observe um núcleo ferromagnético cujo comprimento de caminho médio é 
de 40 cm. Há um entreferro delgado de 0,05 cm no núcleo, o qual é inteiriço 
no restante. A área da seção reta do núcleo é de 12 cm2, a permeabilidade 
relativa do núcleo é de 4000 e a bobina enrolada no núcleo tem 400 espiras. 
Assuma que o espraiamento no entreferro aumente a área efetiva da seção 
reta em 5%. Dada essa informação, encontre:
a) a relutância total do caminho de fluxo (ferro mais entreferro);
b) a corrente necessária para produzir uma densidade de fluxo de 0,5 T no 
entreferro.
38
CIRCUITO MAGNÉTICO PARA RESOLUÇÃO DA AUTOATIVIDADE NÚMERO 4
FONTE: Chapman (2013, p. 18)
3 Para a estrutura magnética da Figura 15, com as dimensões dadas no 5º 
Exemplo, observa-se que a densidade de fluxo do entreferro é de Bg = 0,9 T. 
Encontre o fluxo de entreferro φ e, para uma bobina de N = 500 espiras, a 
corrente necessária para produzir esse valor de fluxo no entreferro.
4 Encontre o fluxo φ e a corrente para o 6º Exemplo se:
a) o número de espiras for dobrado para N = 1000 espiras, mantendo-se as 
mesmas dimensões;
b) se o número de espiras for N = 500 e o entreferro for reduzido a 0,040 cm.
5 O que é o fluxo de dispersão?
6 O que é espraiamento ou frangeamento?
39
TÓPICO 3 — 
UNIDADE 1
MATERIAIS MAGNÉTICOS E CARACTERÍSTICAS
1 INTRODUÇÃO
Os circuitos magnéticos não lineares são todos os circuitos magnéticos 
que utilizam materiais ferromagnéticos, dotados de permeabilidade magnética 
alta, como o ferro fundido, o aço silício, o aço fundido, a ferrita etc. Muitos dos 
circuitos magnéticos de aplicação prática, os quais você encontrará nas indús-
trias, são circuitos não lineares. Com isso, a permeabilidade (μ) dos materiais fer-
romagnéticos se torna variável em função da indução ou da densidade de fluxo 
magnético no núcleo.
Neste tópico, nós estudaremos os diferentes tipos de materiais magnéti-
cos utilizados na fabricação de núcleos e de dispositivos constituintes de máqui-
nas elétricas. Há três tipos de materiais magnéticos, que são:
• diamagnéticos;
• paramagnéticos;
• ferromagnéticos.
2 MATERIAIS DIAMAGNÉTICOS
Os materiais diamagnéticos podem ser definidos como materiais que, na 
presença de um campo magnético, têm os ímãs elementares orientados no sentido 
contrário ao sentido do campo aplicado. Esse tipo de material também perde o 
poder magnético sem a presença do campo magnético. São exemplos de materiais 
diamagnéticos: o bismuto, o cobre e a prata. Os materiais diamagnéticos possuem 
a permeabilidade relativa um pouco abaixo de 1. Como exemplo, podemos citar o 
cobre, que tem μr = 0,999991. Observe alguns materiais diamagnéticos:
FIGURA 26 – MATERIAIS DIAMAGNÉTICOS
FONTE: <https://bit.ly/3cTZi3D>. Acesso em: 24 abr. 2021.
40
UNIDADE 1 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS E MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS
3 MATERIAIS PARAMAGNÉTICOS
Os materiais paramagnéticos podem ser definidos como materiais que 
possuem elétrons desemparelhados e que, na presença de um campo magnético, 
alinham-se, fazendo surgir um ímã, que consegue aumentar levemente o valor 
do campo magnético. Eles são fracamente atraídos pelos ímãs e perdem o poder 
magnético sem a presença do campo magnético externo. Os materiais paramag-
néticos possuem a permeabilidade relativa um pouco superior a 1. Um exemplo é 
o alumínio, que possui μr = 1,000021. São exemplos de materiais paramagnéticos 
o alumínio, o magnésio e o sulfato de cobre.
FIGURA 27 – MATERIAIS PARAMAGNÉTICOS
FONTE: <https://bit.ly/3cTZi3D>. Acesso em: 24 abr. 2021.
FIGURA 28 – MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS
4 MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS
Os materiais ferromagnéticos podem ser definidos como materiais que se 
imantam fortemente se colocados na presença de um campo magnético, ou seja, 
após aplicar o campo magnético, por um tempo, sobre o material, e retirá-lo, o 
material continua produzindo um campo magnético por um período. Além disso, 
eles alteram fortemente o valor do campo magnético aplicado. São exemplos de 
materiais ferromagnéticos o ferro, o cobalto e o níquel.
FONTE: <https://bit.ly/3cTZi3D>. Acesso em: 24 abr. 2021.
TÓPICO 3 — MATERIAIS MAGNÉTICOS E CARACTERÍSTICAS
41
As propriedades observadas nos materiais magnéticos são explicadas 
pela existência dos polos norte e sul no material. Polos iguais se repelem e polos 
distintos se atraem. A essa configuração de dois polos, denomina-se de dipolo 
magnético. O dipolo magnético é a grandeza que determina quão forte é o ímã, e 
a orientação espacial pode ser representada por uma flecha, que aponta do polo 
sul para o polo norte (UNESP, 2021).
As propriedades magnéticas dos materiais têm origem nos átomos, pois 
quase todos os átomos são dipolos magnéticos naturais e podem ser considerados 
como pequenos ímãs, com os polos norte e sul. Isso decorre de um somatório de 
dipolos magnéticos naturais do spin do átomo, com o movimento orbital dos elé-
trons ao redor do núcleo, pois esse movimento cria um dipolo magnético próprio. 
Para cada material, a interação entre os átomos constituintes determina 
como os dipolos magnéticos dos átomos devem estar alinhados. Sabe-se que dois 
dipolos próximos e de igual intensidade anulam os efeitos se estiverem alinhados 
antiparalelamente; somam os efeitos se estiverem alinhados paralelamente. Aten-
te-se aos alinhamentos antiparalelo e paralelo, respectivamente, a seguir:
Os materiais ferromagnéticos, normalmente, compostos de ferro e de ligas de 
ferro com cobalto, tungstênio, níquel, alumínio e outros metais, são, de longe, os materiais 
magnéticos mais comuns. Ainda que esses materiais sejam caracterizados por uma ampla faixa 
de propriedades, os fenômenos básicos responsáveis pelas propriedades são comuns a todos.
IMPORTANT
E
FIGURA 29 – ALINHAMENTO DOS DIPOLOS MAGNÉTICOS
FONTE: UNESP (2021, s.p.)
Veja a diferença do alinhamento dos dipolos magnéticos entre os três tipos 
de materiais:
42
UNIDADE 1 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS E MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS
FIGURA 30 – ALINHAMENTO DOS DIPOLOS MAGNÉTICOS
FONTE: <https://bit.ly/3cTZi3D>. Acesso em: 24 abr. 2021.
Anteriormente, definimos a permeabilidade magnética pela Equação (4):
A permeabilidade dos materiais magnéticos é muito elevada. Ela pode ser 
de até 6000 vezes a permeabilidade do vácuo. No Tópico 1, assumimos que a per-
meabilidade era constante, independentemente da força magnetomotriz (f.m.m.) 
aplicada ao material. Embora a permeabilidade seja constante no vácuo, isso não 
acontece com alguns materiais, como o ferro, e outros que são magnéticos.
Para explanar o comportamento da permeabilidade magnética em um mate-
rial ferromagnético, aplique uma corrente contínua ao núcleo mostrado na figura a 
seguir, começando com 0 A e, lentamente, subindo, até a máxima corrente permitida.
FIGURA 31 – CIRCUITO MAGNÉTICO SIMPLES PARA AVALIAÇÃO DA PERMEABILIDADE EM UM 
MATERIAL FERROMAGNÉTICO
FONTE: Chapman (2013, p. 9)
TÓPICO 3 — MATERIAIS MAGNÉTICOS E CARACTERÍSTICAS
43
GRÁFICO 1 – CURVA DE MAGNETIZAÇÃO DE UM MATERIAL FERROMAGNÉTICO
Quando se faz um gráfico do fluxo produzido no núcleo versus a força 
magnetomotriz que o produz, o resultado é o seguinte:
FONTE: Chapman (2013, p. 22)
Esse tipo de gráfico é chamado de curva de saturação ou curva de magnetiza-
ção. Inicialmente, um pequeno incremento na força magnetomotriz produz um grande 
incremento no fluxo resultante. Após um determinado ponto, contudo, novos incre-
mentos na força magnetomotriz produzem incrementosrelativamente menores no 
fluxo. No fim, um aumento na força magnetomotriz produz quase nenhuma alteração.
A região, no gráfico, onde a curva fica plana, é denominada de região de 
saturação, e se diz que o núcleo está saturado. Por outro lado, a região onde o fluxo 
varia rapidamente é denominada de região insaturada ou não saturada da curva, e se 
diz que o núcleo está não saturado. A região de transição entre a região não saturada 
e a região saturada é denominada, algumas vezes, de joelho da curva. Na região não 
saturada, observe que o fluxo produzido no núcleo se relaciona linearmente com a 
força magnetomotriz aplicada e, na região de saturação, o fluxo se aproxima de um 
valor constante que independe da força magnetomotriz (DEL TORO, 1994).
Um outro gráfico estreitamente relacionado será elencado a seguir. Apre-
sentaremos um gráfico da densidade de fluxo magnético B versus intensidade de 
campo magnético H.
44
UNIDADE 1 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS E MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS
GRÁFICO 2 – CURVA DE MAGNETIZAÇÃO
FONTE: Chapman (2013, p. 22)
A Equação (25) mostra que, em qualquer núcleo, a intensidade de campo 
magnético é diretamente proporcional à força magnetomotriz:
Já a Equação (26) diz que a densidade de fluxo magnético é diretamente 
proporcional ao fluxo:
(26)
(25)
Portanto, a relação entre B e H tem a mesma forma do que a relação entre 
fluxo e força magnetomotriz.
A inclinação da curva de densidade de fluxo versus a intensidade de cam-
po magnético, para qualquer valor dado de H Gráfico 2, é, por definição, a perme-
abilidade do núcleo para essa intensidade de campo magnético. A curva mostra 
que a permeabilidade é elevada e relativamente constante na região não saturada 
e, em seguida, decresce, gradualmente, até um valor bem baixo, à medida que o 
núcleo se torna fortemente saturado.
A lei de Faraday, também conhecida como lei da indução eletromagnética, 
afirma que a variação no fluxo de campo magnético, através de materiais condutores, in-
duz o surgimento de uma corrente elétrica.
IMPORTANT
E
TÓPICO 3 — MATERIAIS MAGNÉTICOS E CARACTERÍSTICAS
45
5 DOMÍNIOS MAGNÉTICOS
Os materiais ferromagnéticos são compostos por um grande número de 
domínios magnéticos. Estes podem ser visualizados microscopicamente e são re-
giões nas quais os momentos magnéticos de todos os átomos estão em paralelo, 
dando origem a um momento magnético líquido naquele domínio. Observe:
FIGURA 32 – DOMÍNIOS MAGNÉTICOS DESALINHADOS (À ESQUERDA) E ALINHADOS 
(À DIREITA) NO MATERIAL
FONTE: Chrischon (2021, s.p.)
Em uma amostra não magnetizada do material, os momentos magnéticos 
dos domínios estão orientados aleatoriamente, e o fluxo magnético líquido resultante 
do material é zero. Quando uma força magnetizante externa é aplicada ao material, 
os momentos dos domínios magnéticos tendem a se alinhar com o campo magnético 
aplicado. Como resultado, os momentos magnéticos dos domínios se somam ao cam-
po aplicado, produzindo um valor muito mais elevado de densidade de fluxo do que 
aquele que existiria devido, apenas, à força magnetizante. Assim, a permeabilidade 
efetiva μ, igual à razão entre a densidade de fluxo magnético total e a intensidade do 
campo magnético aplicado, é elevada, em comparação com a permeabilidade do vá-
cuo μ0. À medida que a força magnetizante aumenta, esse comportamento continua 
até que todos os momentos magnéticos estejam alinhados com o campo aplicado. 
Nesse ponto, eles não podem mais contribuir para o aumento da densidade do fluxo 
magnético, e se diz que o material está completamente saturado.
Na ausência de uma força magnetizante externamente aplicada, os momentos 
magnéticos tendem a se alinhar naturalmente, segundo certas direções associadas à 
estrutura cristalina dos domínios, conhecidas como eixos de mais fácil magnetização. 
Assim, se a força magnetizante aplicada for reduzida, os momentos magnéticos dos 
domínios se relaxam, indo para as direções de mais fácil magnetização, próximas da 
direção do campo aplicado. Como resultado, quando o campo aplicado é reduzido até 
zero, os momentos dos dipolos magnéticos, embora tendendo a relaxar e a assumir 
as orientações iniciais, não são mais totalmente aleatórios nas orientações. Eles, agora, 
retêm uma componente de magnetização líquida na direção do campo aplicado.
Esse efeito é responsável pelo fenômeno conhecido como histerese mag-
nética. Assim, observe um exposto de histerese, muito importante no eletromag-
netismo e na conversão eletromecânica de energia.
46
UNIDADE 1 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS E MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS
FIGURA 33 – CURVA DE HISTERESE MAGNÉTICA
FONTE: CONCURSANDO ELÉTRICA (2021, s.p.)
O termo histerese é de origem grega e significa “atraso”.
INTERESSA
NTE
6 HISTERESE
Devido ao efeito de histerese, a relação entre B e H, em um material fer-
romagnético, é não linear e plurívoca. Se cada valor de z corresponde a mais de 
um valor de w, dizemos que w é uma função plurívoca de z (RECH; BELTRAME, 
2018). Exemplo: w = z ½: função plurívoca (z = - 15 - 8j, w = 1 - 4j ou w = - 1 + 4j).
As características do material não podem ser descritas de forma analítica. Mui-
tas vezes, são apresentadas em forma de gráficos constituídos por conjuntos de curvas 
determinadas empiricamente, a partir de amostras de ensaios com os materiais, se-
guindo os métodos prescritos pela American Society for Testing and Materials (ASTM).
A ASTM compila dados numéricos de uma ampla variedade de materiais 
magnéticos disponibilizados pelos fabricantes destes. Um problema com o uso de 
tais dados vem da diversidade dos sistemas de unidades usados. Por exemplo, a 
magnetização pode ser dada em oersteds ou em ampères-espiras por metro, e a 
densidade de fluxo magnético em gauss, quilogauss ou teslas.
TÓPICO 3 — MATERIAIS MAGNÉTICOS E CARACTERÍSTICAS
47
Em https://webstore.ansi.org/sdo/astm, você poderá ler mais a respeito da 
ASTM, além dos padrões técnicos publicados, cobrindo os procedimentos de teste e classi-
ficação de materiais de todos os tipos.
DICAS
A curva mais comum usada para descrever um material magnético é a curva 
B-H, ou laço de histerese. O primeiro e segundo quadrantes (correspondendo a B ≥ 
0) de um conjunto de laços de histerese estão mostrados no Gráfico 3 para o aço M-5, 
um típico aço elétrico de grão orientado, usado em equipamentos elétricos. Esses laços 
mostram a relação entre a densidade de fluxo magnético B e a força magnetizante H.
Cada curva é obtida, variando-se, ciclicamente, a força magnetizante apli-
cada entre valores iguais positivos e negativos de valor constante. A histerese faz 
essas curvas serem plurívocas. Depois de diversos ciclos, as curvas B-H formam 
laços fechados. As setas indicam as trajetórias seguidas por B quando H cresce e 
decresce. Observe que, com um valor crescente de H, as curvas começam a ficar 
horizontais à medida que o material tende à saturação. Para uma densidade de 
fluxo em torno de 1,7 T, pode-se ver que o material está muito saturado.
Observe que, quando H decresce, desde o valor máximo até zero, a den-
sidade de fluxo diminui, mas não até zero. Isso gera o relaxamento das orienta-
ções dos momentos magnéticos dos domínios, como descrito. O resultado é que, 
quando H é zero, uma magnetização remanescente está presente.
Para muitas aplicações em engenharia, é suficiente descrever o material 
através de uma curva simples, obtida pela plotagem dos lugares de valores má-
ximos de B e H nas extremidades dos laços de histerese. Essa curva é conhecida 
como curva de magnetização CC ou normal. Uma curva de magnetização CC, 
para o aço elétrico de grão orientado do tipo M-5, será mostrada no Gráfico 3.
A curva de magnetização de corrente contínua despreza a natureza histe-
rética do material, mas exibe, claramente, as características não lineares.
48
UNIDADE 1 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS E MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS
GRÁFICO 3 – CURVA DE MAGNETIZAÇÃO CC PARA O AÇO ELÉTRICO DE GRÃO ORIENTADO 
M-5 DE 0,012 POLEGADAS DE ESPESSURA (ARMCO INC.)
FONTE:Fitzgerald e Kingsley (2014, p. 21)
Confira um vídeo de magnetização e histerese em https://bit.ly/3zFMxDv.
DICAS
1º Exemplo: Um núcleo com três pernas será mostrado a seguir. A 
profundidade é de 5 cm e há 400 espiras na perna central. As demais dimensões 
serão visualizadas na figura. 
TÓPICO 3 — MATERIAIS MAGNÉTICOS E CARACTERÍSTICAS
49
FIGURA 34 – CIRCUITO MAGNÉTICO DE TRÊS PERNAS
FONTE: Chapman (2013, p. 60)
O núcleo é composto de um aço, cuja curva de magnetização será mostrada 
no Gráfico 4.
GRÁFICO 4 – INTENSIDADE DE CAMPO MAGNÉTICO VERSUS DENSIDADE DE FLUXO (H X B)
FONTE: Chapman (2013, p. 60)
50
UNIDADE 1 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS E MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS
Com base nisso, responda às seguintes perguntas a respeito do núcleo:
a) Que corrente é necessária para produzir uma densidade de fluxo de 0,5 T na 
perna central do núcleo?
b) Que corrente é necessária para produzir uma densidade de fluxo de 1,0 T na 
perna central do núcleo? Essa corrente é o dobro da corrente da parte (a)?
c) Quais são as relutâncias das pernas central e direita do núcleo para as condi-
ções da parte (a)?
d) Quais são as relutâncias das pernas central e direita do núcleo para as condi-
ções da parte (b)?
e) A que conclusões você pode chegar a respeito das relutâncias dos núcleos mag-
néticos reais?
Solução: (a) Uma densidade de fluxo de 0,5 T, no núcleo central, corres-
ponde a um fluxo total de:
Então, por simetria, o fluxo, em cada uma das duas pernas externas, deve ser:
A densidade do fluxo nas outras pernas deve ser:
A intensidade de magnetização H necessária para produzir uma densida-
de de fluxo de 0,25 T pode ser encontrada no Gráfico 4. É 50 A.e/m.
Da mesma forma, a intensidade de magnetização H necessária para pro-
duzir uma densidade de fluxo de 0,50 T é 75 A.t/m. O comprimento médio da 
perna central é de 21 cm, e o comprimento médio de cada perna externa é de 63 
cm, então, o total de f.m.m. necessário é de:
A corrente elétrica requerida é dada por:
b) Uma densidade de fluxo de 1,0 T, no núcleo central, corresponde a um fluxo total de:
TÓPICO 3 — MATERIAIS MAGNÉTICOS E CARACTERÍSTICAS
51
Por simetria, o fluxo, em cada uma das duas pernas externas, deve ser:
A densidade do fluxo nas outras pernas deve ser:
A intensidade de magnetização H necessária para produzir uma densida-
de de fluxo de 0,50 T pode ser encontrada no Gráfico 4. É 75 [A·e/m].
Da mesma forma, a intensidade de magnetização H necessária para pro-
duzir uma densidade de fluxo de 1,00 [T] é cerca de 160 [A·e/m]. Portanto, a 
f.m.m. total necessária é de:
A corrente requerida é:
Esta corrente não é duas vezes a corrente do item (a).
c) A relutância da perna central do núcleo, nas condições da parte (a), é:
A relutância da perna direita do núcleo, nas condições da parte (a), é de:
d) A relutância da perna central do núcleo, nas condições da parte (b), é de:
A relutância da perna direita do núcleo nas condições da parte (b) é de:
e) As relutâncias em núcleos magnéticos reais não são constantes.
52
UNIDADE 1 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS E MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS
2º Exemplo: Seguem um núcleo magnético de duas pernas e um entreferro:
FIGURA 35 – CIRCUITO MAGNÉTICO SIMPLES
FONTE: Chapman (2013, p. 61)
GRÁFICO 5 – CURVA DE MAGNETIZAÇÃO
FONTE: Hayt e William (1978, p. 22)
A profundidade do núcleo é de 5 cm, o comprimento do entreferro do 
núcleo é de 0,05 cm e o número de espiras no núcleo é de 1.000. A curva de mag-
netização do material do núcleo será analisada no Gráfico 5.
TÓPICO 3 — MATERIAIS MAGNÉTICOS E CARACTERÍSTICAS
53
Assume um incremento de 5% na área efetiva do entreferro para compen-
sar o espraiamento. Quanta corrente é necessária para produzir uma densidade 
de fluxo no entreferro de 0,5 T? Quais são as densidades de fluxo dos quatro lados 
no núcleo com essa corrente? Qual é o fluxo total presente no entreferro?
Solução: Uma densidade de fluxo de entreferro de 0,5 T requer um fluxo total de:
Esse fluxo requer uma densidade de fluxo na perna direita de:
A densidade de fluxo, nas outras três pernas do núcleo, é dada por:
A intensidade de magnetização necessária para produzir uma densidade 
de fluxo de 0,5 T no entreferro poderá ser encontrada na equação a seguir:
Então:
A intensidade de magnetização necessária para produzir uma densidade 
de fluxo de 0,524 T, na perna direita do núcleo, poderá ser encontrada no Gráfico 5:
A intensidade de magnetização necessária para produzir uma densidade 
de fluxo de 0,262 T, nas pernas superior, esquerda e inferior do núcleo, pode ser 
encontrada no Gráfico 5:
A força magnetomotriz total para produzir um fluxo é de:
54
UNIDADE 1 — CIRCUITOS MAGNÉTICOS E MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS
A corrente elétrica solicitada é de:
As densidades de fluxo nos quatro lados do núcleo e o fluxo total presente 
no entreferro foram calculados.
TÓPICO 3 — MATERIAIS MAGNÉTICOS E CARACTERÍSTICAS
55
LEITURA COMPLEMENTAR
BANCADA PARA ENSAIOS DE MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS EM 
CHAPA ÚNICA SOB CAMPOS ROTACIONAIS
Pedro Armando da Silva Júnior
Nas últimas décadas, tem-se notado um crescimento vertiginoso da área 
tecnológica. Novos materiais, processos produtivos e produtos disputam um mer-
cado consumidor cada vez mais competitivo. Nesse aspecto, produtos de melhor 
qualidade, a baixo custo de produção, são fontes de investimento em pesquisa e 
em desenvolvimento tecnológico. No setor elétrico, além dos aspectos levantados 
anteriormente, dá-se especial atenção ao estudo do rendimento dos produtos e à 
utilização adequada dos materiais. A eficiência energética é um tema de destaque 
na atualidade, seguindo uma tendência de se tornar cada vez mais importante na 
medida em que os recursos não renováveis se extinguem ou as explorações são 
normatizadas com regras cada vez mais restritivas. Os produtos e os equipamen-
tos elétricos empregam uma grande parcela de materiais ferromagnéticos. Uma 
característica desejável desse material é que não tivesse saturação do número de 
linhas de fluxo possíveis que atravessam seções transversais do circuito magné-
tico, além de que a alternância desse fluxo não causasse perdas energéticas. Isso 
tem motivado várias pesquisas na área de ciência dos materiais. Todavia, para a 
aplicabilidade dos materiais em equipamentos elétricos, são necessários modelos 
que representem, de maneira mais precisa, o comportamento das várias grande-
zas eletromagnéticas em questão. Há, na comunidade científica, vários trabalhos 
publicados que buscam representar, de maneira adequada, a curva de magneti-
zação e o efeito de histerese do material na presença das mais variadas formas 
de indução. O processo de modelagem tem, como objetivos finais, a obtenção e o 
desenvolvimento de modelos e de ferramentas de cálculos numéricos e/ou pro-
cedimentos de obtenção dos parâmetros utilizados nos programas de simulação 
destinados à análise, concepção e projeto de dispositivos eletromagnéticos.
Os materiais ferromagnéticos têm sido caracterizados pela relação entre as 
grandezas indução e campo magnético e, por simplicidade, considera-se que são 
paralelas entre si, recaindo-se em um modelo de histerese escalar. Nesses casos, as 
perdas energéticas são obtidas em uma caracterização sob magnetização em uma 
só direção. Contudo, em certas regiões de máquinas rotativas e nas juntas em “T”, 
de núcleos de transformadores trifásicos, a indução magnética não é paralela ao 
campo, aumentando as perdas energéticas nesses pontos. Para essas aplicações, 
nas quais a indução magnética é rotacional, os modelos escalares são imprecisos. 
Alguns pesquisadores já trabalham com a modelagem vetorial da histerese. Têm-se 
encontrado resultados interessantes, mas, na sua maioria, esbarram na falta de uma 
modelagem de perdas, segundo uma lei válida para o caso geral. Acredita-se que 
o primeiro passo para o desenvolvimento de uma modelagem geral e eficiente seja 
a obtenção de parâmetros confiáveis, provenientes da experimentação destinada a 
esse fim. Outro aspecto,