Pesquisa Operacional 2 - P1_Gab

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4 4 7 0 M - 0 4 P e s q u i s a O p e r a c i o n a l I I – O t i m i z a ç ã o N ã o L i n e a r 
A t i v i d a d e A v a l i a t i v a P a r c i a l 0 1 – 2 0 2 3 / 1 
 
 
P r o f e s s o r : A u g u s t o V i e i r a C a r d o n a – a c a r d o n a @ p u c r s . b r 1 
GABARITO 
01. (2,5) Considerando a matriz: 
1 2 3 4
5 6 7 0
0 7 6 5
4 3 2 1
, determine: 
(a) det(A); (b) A2; (c) A-1. 
 
 1 2 3 4 
A = 5 6 7 0 
 0 -7 -6 -5 
 -4 -3 -2 -1 
 
det(A) = 320 "=MATRIZ.DETERM(B2:E5)" 
 
 -5 -19 -9 -15 
A2 = 35 -3 15 -15 "=MATRIZ.MULT(B2:E5;B2:E5)" 
 -15 15 -3 35 
 -15 -9 -19 -5 
 
 0,1 0 0,125 -0,225 
A-1 = -0,375 -0,125 -0,25 -0,25 "=MATRIZ.INVERSO(B2:E5)" 
 0,25 0,25 0,125 0,375 
 0,225 -0,125 -2,2E-17 -0,1 
 
02. (2,5) Considerando a função f(x) = -x4 + 4x3 + 18x2 + 4x + 100 definida em IR. Determine: (i) os gráficos 
da f(x), f’(x) e f”(x) e (ii) para que subintervalos a função é (a) côncava; (b) convexa. 
4 18 4 100; 
4 12 36 4; 
" 12 24 36. 
Estas três funções foram desenhadas no software Geogebra 2D: 
 
4 4 7 0 M - 0 4 P e s q u i s a O p e r a c i o n a l I I – O t i m i z a ç ã o N ã o L i n e a r 
A t i v i d a d e A v a l i a t i v a P a r c i a l 0 1 – 2 0 2 3 / 1 
 
 
P r o f e s s o r : A u g u s t o V i e i r a C a r d o n a – a c a r d o n a @ p u c r s . b r 2 
 
A função f(x) será convexa onde f”(x) > 0 e será côncava onde f”(x) < 0. Isto pode ser visto no gráfico acima, 
tanto na curva verde, quanto na vermelha. Para determinar onde a função f”(x) troca o sinal, calculamos 
as raízes desta função. Pelo gráfico parece ser -1 e 3. Vamos verificar: 
12 24 36 0 → 2 3 0 → 
2 2 4. 3 . 1
2.1
2 √16
2
 → 
3 1. 
Assim, a função f(x) será convexa no intervalo [-1,3] e será côncava nos intervalos ∞, 1 e 3, ∞ . 
 
03. (2,5 cada) Nas questões abaixo, encontre o Hessiano e seus menores principais. Então: 
(a) Verifique em que condições a função f(x, y) = x3 + 3y2x+ y + 2xy + 5 seria convexa em um subconjunto S 
do IR2. 
, 3 3 2 → 
, 6
, 6 2 
 
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, 6 1 2 → , 6 
Portanto, o Hessiano desta função será: 
,
6 6 2
6 2 6 . 
Os menores principais do Hessiano serão: 
, 6 0 → 0; 
,
6 6 2
6 2 6 6 6 2 0 → 6 2 6 → 6
6 2 6 → 
1
3
1
3
. 
As restrições marcadas em amarelo são as necessárias para que a função f(x,y) seja convexa. 
 
(b) Verifique se a função f(x, y, z) = 4xy - 2x2 - 2y2 - z2 definida em S = IR3 é côncava, convexa ou nem uma 
destas situações. 
, , 4 4 → 
, , 4
, , 4
, , 0
; 
, , 4 4 → 
, , 4
, , 0
; 
, , 2 → , , 2. 
Portanto, o Hessiano desta função será: 
 
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A t i v i d a d e A v a l i a t i v a P a r c i a l 0 1 – 2 0 2 3 / 1 
 
 
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, ,
4 4 0
4 4 0
0 0 2
. 
Os menores principais líderes do Hessiano serão: 
, , 4 0, , , , ã é ; 
, , 4 4
4 4
4 4 0; 
, ,
4 4 0
4 4 0
0 0 2
4 . 4 . 2 4.0.0 0.4.0 0. 4 . 0 4.4. 2 0. 4 . 0
32 32 0. 
Portanto, a função f(x,y,z) será côncava.