álgebra a

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Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Ciências Exatas – ICEx
Departamento de Matemática
Álgebra A
Prova suplementar – 24 de fevereiro de 2022
Instruções:
• A prova vale 27 pontos. Todas as questões têm o mesmo valor. Esta prova substi-
tuirá sua menor nota apenas se isso aumentar a média final.
• A prova tem três horas de duração, indo das 13hs às 16hs. Você deve enviar fotos
das suas soluções. A caixa de submissão do Moodle fechará às 16h05.
O Moodle permite submeter até 5 arquivos totalizando 20MB. Caso tenha problema
na submissão, me envie as fotos das suas soluções por email o quanto antes para
mauricio@collares.org. Me reservo ao direito de não aceitar submissões atrasa-
das.
• Calculadoras são permitidas. No entanto, se você usar mais que as quatro operações
básicas, precisa explicar os passos intermediários. Divisão com resto é uma das qua-
tro operações básicas.
• Não dê apenas a resposta. Todas as questões requerem explicação ou detalhes de
conta.
• Não envie dúvidas na turma do Teams, mesmo que você ache que há erro na prova.
Dúvidas devem ser encaminhadas por chat privado do Teams.
As questões estão na folha seguinte.
mauricio@collares.org
Questão 1. Resolva os itens abaixo.
(a) Seja a um inteiro positivo tal que mdc(a, 42) = 6 e mmc(a, 42) = 420. Quem é a?
(b) Para o valor a do item anterior, ache x,y ∈ Z com ax+ 42y = 6 usando o método
visto em aula.
Questão 2. Um número n ∈ Z tem as seguintes duas propriedades: seu inverso modular
módulo 11 é 3, e seu inverso modular módulo 13 é 6. Quais são todas as possibilidades
para o valor de n? Explique o procedimento passo a passo.
Questão 3. Sejam a,b,m ∈ N. Prove, sem usar o Teorema Fundamental da Aritmética (sem
usar fatoração em primos), que se mdc(a,m) = 1 e mdc(b,m) = 1, então mdc(ab,m) = 1.
Aviso: Lembre-se que a definição de mdc(x,y) é o maior d ∈ N tal que d | x e d | y. Você
deve partir de tal definição. Mencione os resultados que usar.
Questão 4. Resolva os itens abaixo.
(a) Prove, sem usar o critério de Korselt, que 1105 = 5 · 13 · 17 é número de Carmichael.
(b) Suponha que n é número de Carmichael. Usando os fatos vistos em aula, explique
(em palavras) como encontrar eficientemente um 1 < d < n tal que d | n.
Questão 5. Defina a operação ⊕ (também conhecida como XOR) do seguinte modo: da-
dos a,b > 0, o número a⊕ b é tal que o i-ésimo dı́gito binário é 0 se os i-ésimos dı́gitos
binários de a e b são iguais, e 1 se são diferentes. Por exemplo, em binário, 11⊕ 10 = 01.
Seja G o grupo com elementos {00, 01, 10, 11} (em binário) e operação ⊕.
(a) Considere o conjunto gerador {01, 10}. Desenhe o diagrama de Cayley de G, usando
tipos diferentes de seta para cada um dos dois geradores (uma pode ser pontilhada,
por exemplo).
(b) Calcule as ordens dos elementos de G. G é cı́clico?
Questão 6. Seja (G, ∗) um grupo. Resolva os itens abaixo.
(a) Suponha que (g ∗ h)−1 = g−1 ∗ h−1 para quaisquer g,h ∈ G. G é comutativo? Justi-
fique.
(b) Dados a,b ∈ G, mostre que ord(a ∗ b) = ord(b ∗ a), mesmo que G não seja comuta-
tivo.
Boa prova!
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