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154 CAPÍTULO 6. DIAGONALIZACIÓN DE ENDOMORFISMOS
Luego ∀a ∈ R la matriz A diagonaliza y una base de vectores propios es
{(1, 0, 0,−1), (1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 1,−1, 0)}.
Observación: la matriz A es simétrica por lo que estaba asegurada la diagonalización.
— — —
21. Estudiar la diagonalización, según los distintos valores de a y b, constantes no
nulas, del endomorfismo f de R3 que tiene como matriz asociada en la base canónica
a la siguiente:
M =
 1 a ab1
a
1 b
1
ab
1
b
1

En el caso en que diagonalice, dar una base de vectores propios.
Solución:
Observamos que el rango de la matriz es uno, por lo que 0 es valor propio de
multiplicidad por lo menos 2. La traza de la matriz es 3. Luego los valores propios
son 0 doble y 3
Puesto que dim KerA = 3− rangoA = 3− 1 = 2, la matriz diagonaliza.
Busquemos una base de vectores propios
KerA = {(x, y, z) | x+ ay + abz = 0} = [(a,−1, 0), (0, b,−1)]
Ker (A− 3I) = {(x, y, z) | −2x+ ay + abz = 0, x− 2ay + abz = 0} = [(ab, b, 1)].
Tenemos que una base de vectores propios es {(a,−1, 0), (0, b,−1), (ab, b, 1)}.
— — —
22. Sea f el endomorfismo de M2(R) tal que
f
((
1 0
0 0
))
=
(
0 1
1 1
)
,
f
((
0 1
0 0
))
=
(
0 1
−1 1
)
,
155
f
((
0 0
1 0
))
=
(
0 1
−1 1
)
,
f
((
0 0
0 1
))
=
(
0 1
−1 1
)
.
Estudiar si f diagonaliza.
Solución:
Escojamos a e1 =
(
1 0
0 0
)
, e2 =
(
0 1
0 0
)
, e3 =
(
0 0
1 0
)
, e4 =
(
0 0
0 1
)
como base y
escribamos la matriz de f en dicha base
A =

0 0 0 0
1 1 1 1
1 −1 −1 −1
1 1 1 1

det(A− tI) = t3(1− t).
Los valores propios son 0 de multiplicidad 3 y 1.
Puesto que rangoA = 2, dim KerA = 4− 2 = 2 6= 3. Por lo tanto el endomorfismo
no diagonaliza.
— — —
23. Consideremos el endomorfismo de R2[t] cuya matriz, en la base (1, t, t2), es
A =
 0 3 91
3
0 3
1
9
1
3
0

a) Probar que este endomorfismo diagonaliza.
b) Encontrar una base de R2[t] formada por vectores propios.
c) Determinar A−1 a partir del Teorema de Cayley-Hamilton.
d) Calcular Ap, per a p ∈ N.
156 CAPÍTULO 6. DIAGONALIZACIÓN DE ENDOMORFISMOS
Solución:
a) det(A− tI) = −(t3− 3t− 2) = −(t+ 1)2(t− 2), dim Ker(A+ I) = 2. Por lo tanto
el endomorfismo diagonaliza y la matriz diagonal es
D =
−1 0 00 −1 0
0 0 2
 .
b) Determinemos una base de Ker(A+ I).1 3 91
3
1 3
1
9
1
3
1
xy
z
 =
00
0

v1 = (−3, 1, 0) = −3 + t, v2 = (−9, 0, 1) = −9 + t2. Falta ahora determinar una base
de Ker(A− 2I). −2 3 91
3
−2 3
1
9
1
3
−2
xy
z
 =
00
0

v3 = (9, 3, 1) = 9 + 3t+ t
2
Luego una base es {−3 + t,−9 + t2, 9 + 3t+ t2}.
c) Por el Teorema de Cayley Hamilton, sabemos que cambiando la variable del
polinomio caracteŕıstico, por el endomorfismo, obtenemos el endomorfismo cero.
Luego
A3 − 3A− 2I = 0,
por lo que
A(
1
2
A2 − 3
2
A) = I.
Teniendo en cuenta la unicidad de la matriz inversa, tenemos
A−1 =
1
2
A2 − 3
2
I.
d) La matriz cambio de base para la cual diagonaliza la matriz es
S =
−3 −9 91 0 3
0 1 1
 ,