Herramientas algenbra lineal (26)

Vista previa del material en texto

76 CAPÍTULO 3. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
22. Calcular la dimensión de los subespacios vectoriales de R3[t] siguientes:
F = {p(t) ∈ R3[t] | p(t) = p′(0)t+ 6p′′(0)t2}
G = {p(t) ∈ R3[t] | p(0) =
1
2
p′′(0)− 1
6
p′′′(0)}
H = {p(t) ∈ R3[t] | p(0) = p′(0)− p′′(1) = 0}
Solución:
Para el subespacio F , sea p(t) = a0 + a1t+ a2t
2 + a3t
3 ∈ F , p′(0) = a1, p′′(0) = 2a2
Luego a0 + a1t+ a2t
2 + a3t
3 = a1t+ 12a2t
2, esto es a0 = a2 = a3 = 0 y F = [t].
Por lo que dimF = 1.
Estudiemos el subespacio G, sea p(t) = a0 + a1t+ a2t
2 + a3t
3 ∈ G,
p(0) = a0, p
′′(0) = 2a2 y p
′′′(0) = 6a3,, luego a0 =
1
2
2a2−
1
6
6a3 = a2− a3, por lo que
p(t) = a1t+ a2(1 + t
2) + a3(−1 + t3) y G = [t, 1 + t2,−1 + t3]
Estos vectores son claramente independientes, comprobémoslo de todos modos.
Sea {1, t, t2, t3} una base de R3[t], en dicha base estos vectores son
t = (0, 1, 0, 0)
1 + t2 = (1, 0, 1, 0)
−1 + t3 = (−1, 0, 0, 1)
rango

0 1 −1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 = 3
Por lo que dimG = 3.
Finalmente, estudiemos el subespacio H, sea p(t) = a0 + a1t+ a2t
2 + a3t
3 ∈ H,
P (0) = a0 = 0, p
′(0) − p′′(1) = a1 + 2a2 + 6a3 = 0, luego p(t) = a2(−2t + t2) +
a3(−6t+ t3 y H = [−2t+ t2,−6t+ t3]
Estos vectores son independientes, comprobémoslo
Sea {1, t, t2, t3} una base de R3[t], en dicha base estos vectores son
−2t+ t2 = (0,−2, 1, 0)
−6t+ t3 = (0,−6, 0, 1)
77
rango

0 0
−2 −6
1 0
0 1
 = 2
Por lo que dimH = 2.
— — —
23. Calcular la dimensión de los subespacios vectoriales de M2(R) siguientes:
F =
[(
1 −1
0 1
)
,
(
4 1
2 0
)
,
(
1 −1
0 1
)
,
(
0 5
2 −4
)]
,
G =
[(
1 1
0 1
)
,
(
2 1
−1 1
)(
0 −1
−1 −1
)
,
(
1 0
−1 0
)]
.
Solución:
Escojamos una base de M2(R),
{
e1 =
(
1 0
0 0
)
, e2 =
(
0 1
0 0
)
e3 =
(
0 0
1 0
)
,
e4 =
(
0 0
0 1
)}
en esta base, los generadores de F se expresan(
1 −1
0 1
)
= (1,−1, 0, 1)(
4 1
2 0
)
= (4, 1, 2, 0)(
1 −1
0 1
)
= (1,−1, 0, 1)(
0 5
2 −4
)
= (0, 5, 2,−4)
Calculemos el rango de la matriz formada por estos vectores

1 4 1 0
−1 1 −1 5
0 2 0 2
1 0 1 −4
 ∼

1 4 1 0
0 5 0 5
0 2 0 2
0 −4 0 −4
 ∼

1 4 1 0
0 5 0 5
0 0 0 0
0 0 0 0

78 CAPÍTULO 3. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
el rango es 2 por lo que dimF = 2.
Con respecto a G,(
1 1
0 1
)
= (1, 1, 0, 1)(
2 1
−1 1
)
= (2, 1,−1, 1)(
0 −1
−1 −1
)
= (0,−1,−1,−1)(
1 0
−1 0
)
= (1, 0,−1, 0)
Calculemos el rango de la matriz formada por estos vectores

1 2 0 1
1 1 −1 0
0 −1 −1 −1
1 1 −1 0
 ∼

1 2 0 1
0 −1 −1 −1
0 −1 −1 −1
0 −1 −1 −1
 ∼

1 2 0 1
0 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0

el rango es 2 por lo que dimG = 2.
— — —
24. Calcular la dimensión de los subespacios vectoriales de M3(R) siguientes:
F1 = {A ∈M3(R) | A+ At = 0}
F2 = {A ∈M3(R) | trA = 0}
F3 =
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 ∈M3(R)
∣∣∣∣∣∣ a12 + 2a13 = 2a22 + 3a33 = 0}
Solución:
Seleccionemos una base de M3(R):
e1 =
1 0 00 0 0
0 0 0
 , e2 =
0 1 00 0 0
0 0 0
 , e3 =
0 0 10 0 0
0 0 0
 ,