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136 CAPÍTULO 6. DIAGONALIZACIÓN DE ENDOMORFISMOS
Ejercicios
1. Encontrar los valores propios del endomorfismo de R4 que viene definido por
f(x1, x2, x3, x4) = (x1 + x3, 2x2 − x4,−x3 + x4, 2x4)
Solución:
Escribamos la matriz de la aplicación en la base canónica
A =

1 0 1 0
0 2 0 −1
0 0 −1 1
0 0 0 2

Esta matriz es triangular por lo que los valores propios son los valores de la diagonal.
Valores propios:
−1, 1, y 2 de multiplicidad 2.
— — —
2. Encontrar los valores propios del endomorfismo de R5 definido por
f(x1, x2, x3, x4, x5) = (−x1, x1 + 2x2, x3,−x5, x4)
Solución:
Escribamos la matriz del endomorfismo en la base canónica
A =

−1 0 0 0 0
1 2 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 −1
0 0 0 1 0

det(A− tI) = det
(
−1− t 0
1 2− t
)
(1− t) det
(
−t −1
1 −t
)
137
det(A− tI) = (−1− t)(2− t)(1− t)(1 + t2) = −(t+ 1)(t− 2)(t− 1)(t− i)(t+ i).
Por lo tanto los valores propios son
−1, 1, 2, i,−i.
— — —
3. Sea f el endomorfismo de R6 cuya matriz en la base canónica de R6, es
M =

1 2 1 0 2 −5
0 −1 0 0 0 0
−1 3 −1 0 8 9
0 0 0 2 0 0
0 0 0 0 4 12
0 0 0 0 1 3

Encontrar el polinomio caracteŕıstico.
Solución:
det(M − tI) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1− t 2 1 0 2 −5
0 −1− t 0 0 0 0
−1 3 −1− t 0 8 9
0 0 0 2− t 0 0
0 0 0 0 4− t 12
0 0 0 0 1 3− t
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
=
∣∣∣∣∣∣
1− t 2 1
0 −1− t 0
−1 3 −1− t
∣∣∣∣∣∣ · (2− t) ·
∣∣∣∣4− t 121 3− t
∣∣∣∣ =
= (−1− t)
∣∣∣∣1− t 1−1 −1− t
∣∣∣∣ · (2− t) · ∣∣∣∣4− t 121 3− t
∣∣∣∣ .
Por lo tanto
Q(t) = (t+ 1)t3(t− 2)(t− 7).
138 CAPÍTULO 6. DIAGONALIZACIÓN DE ENDOMORFISMOS
4. Encontrar el polinomio caracteŕıstico del endomorfismo f de R3 dado por
f(x, y, z) = (−3y + 2z, 2x− y, x− 2z) .
Solución:
Escribamos la matriz de la aplicación en la base canónica
A =
0 −3 22 −1 0
1 0 −2

y calculemos det(A− tI).
det(A− tI) =
∣∣∣∣∣∣
−t −3 2
2 −1− t 0
1 0 −2− t
∣∣∣∣∣∣ = −t3 − 3t2 − 6t− 10.
— — —
5. Estudiar la diagonalización de los endomorfismos de R3 cuyas matrices en la base
canónica de R3, son:
A =
−1 2 0−2 3 0
−2 1 2
 y B =
1 4 −20 3 0
1 1 1

Solución:
Calculemos los valores propios de A
det(A− tI) =
∣∣∣∣∣∣
−1− t 2 0
−2 3− t 0
−2 1 2− t
∣∣∣∣∣∣ = (2− t) ·
∣∣∣∣−1− t 2−2 3− t
∣∣∣∣ =
(2− t)(1− t)2
Los valores propios son 2 y 1, éste de multplicidad 2.