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15.5 Miscelánea de números complejos (1)
tanto w0Un tiene exactamente n elementos los cual prueba la proposición.
7. Aplicamos la fórmula de De Moivre:(
1 +
√
3
3
i
)n
=
(√
4
3
(
cos
π
6
+ i sen
π
6
))n
=
(√
4
3
)n (
cos
nπ
6
+ i sen
nπ
6
)
.
Para que sea imaginario puro, se ha de verificar cosnπ/6 = 0, y el mayor
entero estrictamente negativo que lo cumple se obtiene evidentemente para
nπ/6 = −π/2, es decir para n = −3.
8. Tenemos,
1 + w + w2 = 1 + cos
2π
3
+ i sen
2π
3
+ cos
4π
3
+ i sen
4π
3
= 1− 1
2
+
√
3
2
i− 1
2
−
√
3
2
i = 0⇒ 1 + w = −w2.
En consecuencia,
(1 + w)n =
(
−w2
)n
=
(
1
2
+
√
3
2
i
)n
=
(
cos
π
3
+ i sen
π
3
)n
= cos
nπ
3
+ i sen
nπ
3
.
9. Tenemos
1 + cosx+ i senx = 2 cos2
x
2
+ 2i sen
x
2
cos
x
2
= 2 cos
x
2
(
cos
x
2
+ i sen
x
2
)
⇒ (1 + cosx+ i senx)n = 2n cosn x
2
(
cos
nx
2
+ i sen
nx
2
)
.
15.5. Miscelánea de números complejos (1)
1. Sea D = {z ∈ C : |z| > 1} . Demostrar que para todo w1, w2 ∈ D se
verifica ∣∣∣∣ w1 − w21− w1w2
∣∣∣∣ < 1.
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