problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (624)

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15.6 Miscelánea de números complejos (2)
2. Tenemos
R+ iI =
n−1∑
k=0
(cos(a+ kb) + i sen(a+ kb))
=
n−1∑
k=0
(cos a+ i sen a) (cos kb+ i sen kb)
= (cos a+ i sen a)
n−1∑
k=0
(cos kb+ i sen kb)
Dado que cos kb+ i sen kb = (cos b+ i sen b)n y usando la fórmula de la suma
de los términos de una progresión geométrica
R+ iH = (cos a+ i sen a)
cosnb+ i sen b
cos b+ i sen b− 1
.
Multiplicando numerador y denominador por cos b− i sen b− 1, y separando
partes real e imaginaria
R =
cos (a+ (n− 1)b)− cos (a+ nb)− cos(a− b) + cos a
2(1− cos b)
,
I =
sen (a+ (n− 1)b)− sen (a+ nb)− sen(a− b) + sen a
2(1− cos b)
.
Usando las conocidas fórmulas que transforman las sumas de las razones
trigonométricas seno y coseno en productos, obtenemos
R = cos
(
a+ (n− 1) b
2
)
sen(nb/2)
sen(b/2)
,
I = sen
(
a+ (n− 1) b
2
)
sen(nb/2)
sen(b/2)
.
3. Tenemos
1
z
=
cos θ − i sen θ
(cos θ + i sen θ)(cos θ − i sen θ)
=
cos θ − i sen θ
cos2 θ + sen2θ
= cos θ − i sen θ = cos(−θ) + i sen(−θ)
⇒ zn + 1
zn
= (cos θ + i sen θ)n + (cos(−θ) + i sen(−θ))n
= cosnθ + i sennθ + cos(−nθ) + i sen(−nθ)
= cosnθ + i sennθ + cosnθ − i sennθ = 2 cosnθ.