problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (689)

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Caṕıtulo 18. Superficies
5. Las rectas que pasan por V (1, 1, 1) son de la forma
X − 1
λ
=
Y − 1
µ
=
Z − 1
1
.
Un vector de dirección del eje es u = (2, 1, 1) y uno de las generatrices,
v = (λ, µ, 1). Obligando a que formen un ángulo de π/3,
cos
π
3
=
〈u, v〉
|u| |v|
⇔ 1
2
=
2λ+ µ+ 1
√
6
√
λ2 + µ2 + 1
.
Elevando al cuadrado y simplificando,
5λ2 − µ2 + 8λµ+ 8λ+ 4µ− 1 = 0.
Sustituyendo λ = (X − 1)/(Z − 1), µ = (Y − 1)/(Z − 1) y simplificando
obtenemos la ecuación del cono:
5X2 − Y 2 − Z2 + 8XY + 8XZ + 4Y Z − 26X − 10Y − 10Z + 23 = 0.
6. Las ecuaciones de las rectas paralelas al plano XOY y que se apoyan en
r son {
Z = λ
X − 3 + µ(Y − 2Z) = 0.
Obligando a que corten a s, {
Z = λ
− 6− 4µZ = 0.
Eliminando Z queda 2λµ+3 = 0. Sustituyendo λ = Z y µ = (X−3)/(2Z−Y )
queda
2XZ − 3Y = 0.
7. Las ecuaciones paramétricas de r y C son
r :

x = t
y = t
z = t,
C :

x = u
y = u2
z = u3.
Un punto común es el origen, por tanto la superficie de traslación pedida es
S :

X = t+ u
Y = t+ u2
Z = t+ u3.