LIVRO LINHAS DE TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA

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PROFESSORES 
Me. Audrey Cristine Esteves 
Linhas de 
Transmissão 
de Energia
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/12629
FICHA CATALOGRÁFICA
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. 
Núcleo de Educação a Distância. ESTEVES, Audrey Cristine.
Linhas de Transmissão de Energia. Audrey Cristine Esteves. 
Maringá - PR.: Unicesumar, 2021. 
312 p.
ISBN: 978-65-5615-706-1
“Graduação - EaD”. 
1. Linhas 2. Transmissão 3. Energia. EaD. I. Título. 
Impresso por: 
Bibliotecário: João Vivaldo de Souza CRB- 9-1679 Pró Reitoria de Ensino EAD Unicesumar
Diretoria de Design Educacional
NEAD - Núcleo de Educação a Distância
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André Azevedo, Eduardo Aparecido Alves Realidade Aumentada Maicon Douglas Curriel, Matheus Alexander de Oliveira 
Guandalini Fotos Shutterstock. 
CDD - 22 ed. 621.31 
Tudo isso para honrarmos a 
nossa missão, que é promover 
a educação de qualidade nas 
diferentes áreas do conhecimento, 
formando profissionais 
cidadãos que contribuam para o 
desenvolvimento de uma sociedade 
justa e solidária.
Reitor 
Wilson de Matos Silva
A UniCesumar celebra os seus 30 anos de 
história avançando a cada dia. Agora, enquanto 
Universidade, ampliamos a nossa autonomia 
e trabalhamos diariamente para que nossa 
educação à distância continue como uma das 
melhores do Brasil. Atuamos sobre quatro 
pilares que consolidam a visão abrangente do 
que é o conhecimento para nós: o intelectual, o 
profissional, o emocional e o espiritual.
A nossa missão é a de “Promover a educação de 
qualidade nas diferentes áreas do conhecimento, 
formando profissionais cidadãos que contribuam 
para o desenvolvimento de uma sociedade 
justa e solidária”. Neste sentido, a UniCesumar 
tem um gênio importante para o cumprimento 
integral desta missão: o coletivo. São os nossos 
professores e equipe que produzem a cada dia 
uma inovação, uma transformação na forma 
de pensar e de aprender. É assim que fazemos 
juntos um novo conhecimento diariamente.
São mais de 800 títulos de livros didáticos 
como este produzidos anualmente, com a 
distribuição de mais de 2 milhões de exemplares 
gratuitamente para nossos acadêmicos. Estamos 
presentes em mais de 700 polos EAD e cinco 
campi: Maringá, Curitiba, Londrina, Ponta Grossa 
e Corumbá), o que nos posiciona entre os 10 
maiores grupos educacionais do país.
Aprendemos e escrevemos juntos esta belíssima 
história da jornada do conhecimento. Mário 
Quintana diz que “Livros não mudam o mundo, 
quem muda o mundo são as pessoas. Os 
livros só mudam as pessoas”. Seja bem-vindo à 
oportunidade de fazer a sua mudança! 
Aqui você pode 
conhecer um 
pouco mais sobre 
mim, além das 
informações do 
meu currículo.
Me. Audrey Cristine Esteves
Meu nome é Audrey C. Esteves, e irei acompanhá-los no decorrer 
desse curso de linhas de transmissão, onde poderei contribuir 
um pouco com minha vivência na área.
Amo Física e matemática, onde iniciei minhas atividades do-
centes em cursinhos pré-vestibulares. Após isso, fui para áreas 
mais técnicas em faculdades de engenharias. Sempre tive muita 
curiosidade em novas tecnologias empregadas na área, então 
pesquisas que tornam a transmissão de energia mais eficaz e 
segura sempre me despertaram interesse, ainda mais quando 
os parâmetros empregados e as metodologias são bem inova-
doras e promissoras.
http://lattes.cnpq.br/5487432329942981
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Experience para ter acesso aos conteúdos on-line. O download do aplicativo 
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Ao longo do livro, você será convidado(a) a refletir, questionar e transformar. Aproveite 
este momento.
PENSANDO JUNTOS
EU INDICO
Enquanto estuda, você pode acessar conteúdos online que ampliaram a discussão sobre 
os assuntos de maneira interativa usando a tecnologia a seu favor.
Sempre que encontrar esse ícone, esteja conectado à internet e inicie o aplicativo 
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recursos em Realidade Aumentada. Explore as ferramentas do App para saber das 
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REALIDADE AUMENTADA
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PÍLULA DE APRENDIZAGEM
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RODA DE CONVERSA
EXPLORANDO IDEIAS
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assunto discutido, de forma mais objetiva.
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LINHAS DE TRANSMISSÃO DE ENERGIA
Em algum momento você já parou para pensar como seria nossa vida sem energia elétrica? 
Pois bem, seria um caos! Para que as pessoas possam usufruir de pequenas parcelas das 
instalações, que proporcionam um conforto e funcionalidade indispensáveis ao cotidiano, é 
necessário que exista toda uma estrutura voltada para a geração e distribuição de energia, 
desde as fontes primárias até os centros de consumo. 
Enquanto tudo funciona, a satisfação das pessoas é plena. Porém, quando as demandas 
começam a aparecer, o que acontece realmente? 
A energia elétrica foi fundamental para o desenvolvimento da humanidade, tornando-se 
fundamental para o desenvolvimento econômico de um país, e por isso requer constante 
planejamento; além de que seu uso vem sendo ampliado com a evolução da tecnologia, po-
de-se dizer que tudo de alguma forma precisa ou precisou de eletricidade para funcionar ou 
ser produzida, desta forma, se faz necessário desenvolver uma geração de energia segura e 
confiável para atender a demanda energética crescente. Contudo, o fornecimento de energia 
para atender a imensa demanda tem sido realizado de forma insustentável ao longo dos anos, 
utilizando os recursos naturais como se os mesmos fossem inesgotáveis.
Mas, aqui, eu e você iremos verificar como a energia é transmitida ao longo de grandes 
distâncias, onde quaisquer problemas na estrutura e manutenção causam uma interrupção 
total ou parcial de energia.
Tudo que será abordado neste curso, lhe dará respaldo para a atuação e o conhecimento 
em sua profissão. Lembre-se que os pilares deste curso estão dispostos em como essa energia 
irá atravessar longas distâncias! 
Tratarei sobre como se dá a transmissão de energia elétrica, do ponto gerador até o centroconsumidor, para que você possa compreender a estrutura física dessas redes e todos os 
elementos necessários das linhas de transmissão. Além disso, tratarei dos princípios teóricos 
e as dificuldades práticas encontradas nos projetos de linhas de transmissão.
O objetivo de todo aprendizado é que aumente sua gama de conhecimento e habilidades 
para atuação em sua profissão, então vamos lá!
Neste material, você terá acesso aos principais conteúdos relativos às linhas de transmis-
são, de elementos até os cálculos de parâmetros indispensáveis.
Então, inicie seus estudos sempre na tentativa de antecipação de cada situação abordada 
nos capítulos, e no decorrer do curso você compreenderá a complexidade que envolve um 
projeto de linha de transmissão.
Sua compreensão acerca dessas linhas estará vinculada à sua reflexão sobre todo o pro-
cesso, desde os elementos que os compõem até às solicitações que lhes são impostas por 
fatores ambientais.
Nesse momento, você estará adquirindo conhecimentos sobre a importância de escolhas 
corretas, cálculo preciso e manutenção muito bem coordenada, proporcionando segurança 
e eficiência durante todo o processo de transmissão de energia elétrica.
Sua visão ampla dependerá de buscar sempre novas soluções, novas tecnologias ou a re-
solução rápida e com menor custo para atender toda e qualquer demanda necessária.
Vamos então identificar e entender situações que possam ocorrer nos sistemas responsá-
veis pela transmissão de energia, das geradoras aos centros de consumo, e todos os fatores 
que possam interferir nesse processo.
A interligação dos sistemas de transmissão de energia prevê uma rede capaz de suprir toda 
e qualquer demanda a partir de suas necessidades, e para tal essa interligação deve estar 
equalizada de forma a realizar desvios conforme solicitações ou problemas identificados em 
trechos.
O conhecimento geográfico e climático permite o desenvolvimento de linhas de transmissão 
capazes de suportar solicitações mecânicas e elétricas, além de transpor distâncias longas 
em terrenos muito acidentados. Os maiores desafios estão em prever as possíveis patologias 
físicas associadas às estruturas, bem como assegurar sua resistência.
Aqui desenvolvemos um material que possa orientar e esclarecer os principais desafios. 
Desde: a sondagem geográfica; a escolha dos melhores componentes; seus dimensiona-
mentos conforme a necessidade, distância e solicitações. Todos estes elementos seguindo 
as normas, e que você, futuro(a) engenheiro(a), possa se utilizar dessas informações em sua 
prática profissional.
Tenhamos sempre ao final do processo uma mente aberta na busca de novas técnicas, 
diminuição de custos e sustentabilidade que hoje é um aspecto importante nesse tipo de 
planejamento. Ser um engenheiro criativo é saber usar dos recursos já disponíveis com maior 
eficiência.
Neste livro, trabalharemos a base das Linhas de Transmissão de Energia. Na Unidade 1, 
você aprenderá sobre o transporte de energias e essas linhas de transmissão. Na Unidade 
2, falarei especificamente da estrutura física das linhas de transmissão. Na Unidade 3, o es-
tudo continua a partir da teoria da transmissão de energia elétrica. Na Unidade 4, você verá 
como são feitos os cálculos, especialmente cálculos práticos para sua profissão. Na Unidade 
5, continuo a apresentar os cálculos, em especial por meio de métodos gráficos. Na Unidade 
6, falarei sobre a questão da operação das linhas de transmissão, em regime permanente. 
Na Unidade 7, também falarei sobre operação, todavia no regime transitório. Na Unidade 8, 
você verá como é o comportamento mecânico dos cabos condutores. Por fim, na Unidade 9, 
abordarei a questão das vibrações e tensões dos cabos condutores.
Espero que a condução do curso o faça se aprofundar cada vez mais nesses conceitos e os 
transfira para a prática. Que esse livro torne mais fácil a tomada de decisões frente a desafios 
encontrados em projetos e manutenção, e que consiga oferecer, cada vez mais, melhores 
opções na resolução de problemas. Tenha em mente que a segurança é muito importante, e 
essa está aliada à qualidade de todos os materiais usados.
Caro aluno, espero que você tenha a dedicação e interesse necessários ao processo de 
entendimento do que lhe foi aqui apresentado e que claro, estaremos ofertando ao longo 
dessas 9 unidades. Seja bem-vindo ao iniciar mais uma etapa e espero poder ajudar em cada 
abordagem feita. Grande abraço!
3
1 2
4
5 6
APRENDIZAGEM
CAMINHOS DE
13
79
41
113
TRANSPORTE DE 
ENERGIA E LINHAS 
DE TRANSMISSÃO
179
OPERAÇÃO 
EM REGIME 
PERMANENTE
TEORIA DA 
TRANSMISSÃO DA 
ENERGIA ELÉTRICA 
ESTRUTURA FÍSICA 
DAS LINHAS DE 
TRANSMISSÃO 
CÁLCULO PRÁTICO 
DAS LTS
CÁLCULO PRÁTICO 
DAS LTs – MÉTODOS 
GRÁFICOS
141
7 8
9
207 235
COMPORTAMENTO 
MECÂNICO DOS 
CONDUTORES
OPERAÇÃO EM REGIME 
TRANSITÓRIO
265
VIBRAÇÕES E 
TENSÕES EM CABOS 
CONDUTORES
1
Caro(a) acadêmico(a), a energia elétrica, hoje, move o mundo! A 
importância dela é inegável na vida das pessoas e a sua ausência 
causaria um impacto difícil de ser contornado. Ao pensarmos por 
este aspecto, podemos analisar que o consumo de energia per ca-
pita e o índice de crescimento dele podem ser usados como indica-
dores do desenvolvimento de uma nação. Tanto o poder aquisitivo 
quanto o tecnológico estão associados à produção e ao consumo de 
energia. Nesta unidade, abordaremos de que modo a energia sai das 
unidades geradoras e é transportada ao longo deste trajeto, desde 
as usinas até chegar à distribuição nos grandes centros urbanos.
Transporte de 
Energia e Linhas de 
Transmissão
Me. Audrey Cristine Esteves
14
UNICESUMAR
Durante a utilização de algum equipamento, você já se deparou com problemas, como: falta de energia, 
pequenas interrupções no fornecimento, entre outros? Diante deste quadro, alguns questionamentos 
vieram à sua mente? Por exemplo: de onde vem a energia que usamos? Por que acontecem apagões? 
A qualidade da energia varia de região para região? Será que a fornecedora local de energia (conces-
sionária) é responsável por todos os problemas energéticos? 
Você saberia responder a todos esses questionamentos e propor soluções a cada um deles? Nesta uni-
dade, serão compreendidos a estrutura básica dos sistemas elétricos, como é feito o transporte da energia 
elétrica, ao longo do trajeto e, também, alguns aspectos importantes relacionados às linhas de transmissão.
Você já passou por uma situação de apagão ou de instabilidade na energia que te trouxe prejuízos? 
Estas são experiências que não gostamos de enfrentar, pois, em sua maioria, provocam danos aos equi-
pamentos ligados ou interrompem alguma atividade importante. Entretanto, se analisarmos as causas 
dos apagões, por exemplo, notaremos diversos fatores que facilitam a sua ocorrência, tais como: picos de 
consumo, falhas nos equipamentos de proteção dos cabos e fenômenos naturais, como chuvas, quedas 
de árvores e ventos muito fortes. Já a instabilidade da energia tem o seu fator no baixo investimento 
em proteção e na substituição de cabos bem como na ocorrência de fenômenos naturais.
Entender a complexidade do transporte de energia desde a sua geração até o nosso consumo é um 
dos passos fundamentais para conscientizar os consumidores, além de capacitar profissionais que atuam 
na área à realização de novos projetos, servi-
ços e manutenção de linhas de transmissão. 
Daremos ênfase, aqui, nesta unidade, 
ao entendimento da estrutura básica que 
constitui o transporte de energia elétrica 
bem como as suas integração, organização 
e subdivisão em cada etapa.
15
UNIDADE 1
Você já observou altas estruturas metálicas as quais se estendem 
por uma grande rede e que transportam o cabeamento de energia 
elétrica? Consegue entender a estrutura envolvida no transporte 
de energia? Os tipos de transmissão, as tensões, as localizações dos 
diversos subsistemas? Então, vamos lá! Localize um sistema de 
rede de transmissão próximo ao seu local de residência e observeas torres que levam o cabeamento aéreo até a subestação. Faça um 
levantamento na sua região, em seguida, tente verificar de onde 
vem a energia que a abastece e, também, onde é a subestação local.
Caro(a) aluno(a), se você conseguiu realizar o levantamento 
geográfico de como a energia chega até o seu centro consumidor, 
deve ter verificado que há uma estrutura primordial para que ela 
chegue, em quantidade e qualidade, aos centros consumidores. 
Toda esta estruturação deve-se a um planejamento que vai dos cál-
culos à escolha de localizações adequadas para suprir a demanda.
Neste momento, você saberia subdividir os sistemas que com-
põem as linhas de transmissão bem como os componentes e ten-
sões operantes, além de explicar os níveis de tensões encontrados 
e as interligações entre esses subsistemas? Saberia explicar de qual 
modo o abastecimento é feito?
No decorrer desta unidade, entenderemos de que forma a 
energia produzida é transportada por uma rede interligada, por 
meio de sistemas complexos que são subdivididos para garantir, 
no transporte de energia, mais eficiência, segurança e economia.
DIÁRIO DE BORDO
16
UNICESUMAR
Figura 1 - Linhas de energia de alta tensão sobre as torres da linha de transmissão 
Descrição da Imagem: a figura mostra uma fotografia da ligação dos cabos de energia de alta tensão, em cabeamento aéreo. 
Necessitamos de energia para iluminação, transporte, preparo de alimentos, entre outros, ou seja, ela 
está presente em nosso cotidiano, de modo que não temos como ficar sem. Essa energia provém de 
um conjunto de fontes, denominadas matrizes energéticas: elas constam de fontes renováveis e não 
renováveis para a produção, justamente, de energia elétrica.
17
UNIDADE 1
A quantidade de energia elétrica produzida depende da disponibilidade e do uso das fontes primárias dis-
poníveis: uso das águas, dos ventos, do sol, queima de combustíveis, entre outras. Com a crescente demanda 
e o desenvolvimento de tecnologias, os meios para a produção energética vêm evoluindo muito, buscando 
novas matrizes para a geração e, também, a sustentabilidade no processo de produção. A implementação 
de sistemas que usam a energia solar e eólica vem promovendo novas possibilidades de energia renovável.
Não importa qual seja a forma utilizada de energia primária, mas, quanto maior a potência gerada nas 
usinas, menor o custo associado à produção dessa energia. Vale lembrar que o preço de venda também está 
vinculado ao preço da geração e ao consumo (por exemplo, o acionamento de termelétricas), pois o uso 
de combustíveis fósseis possui custo mais elevado, assim como o seu processo de queima (FUCHS, 1977).
Matriz Energética do Mundo
Petróleo e derivados
Gás natural
Carvão
Biomassa
Nuclear
Hidráulica
Solar, Eólica, Geotérmica, maré e outros
2,4%
10,2%
38,0%
23,0%16,2%
2,9%
7,3%
Figura 2 - Gráfico demonstrativo do percentual de fontes primárias de energia no mundo / Fonte: Brasil ([2021], on-line). 
Descrição da Imagem: a figura apresenta um gráfico em forma de disco que exibe os percentuais das matrizes energéticas do Brasil. 
Petróleo e derivados (2,9%); gás natural (23,0%); carvão (38,0%); biomassa (2,4%); nuclear (10,2%); hidráulica (16,2%); solar, eólica, 
geotérmica, maré e outros (7,3%). 
Petróleo e derivados 2,9%
Gás natural 23,0%
Carvão 38,0%
Biomassa 2,4%
Nuclear 10,2%
Hidráulica 16,2%
Solar, eólica, geotérmica, maré e outros 7,3%
Quadro 1 - Países desenvolvidos e suas indústrias energéticas / Fonte: a autora. 
18
UNICESUMAR
No Quadro 1, podemos verificar que, nos países mais desenvolvidos, a indústria 
energética está crescendo muito e tornando-se mais eficiente, contrabalanceando os 
custos de produção, transmissão e distribuição, de modo a suprir, com qualidade, toda 
a demanda. As fontes não renováveis representam, ainda, os principais componentes 
responsáveis por essa geração de energia.
Já o cenário brasileiro, como vemos, é bem diferente do resto do mundo. Ao traçar 
um comparativo, observa-se que a energia renovável é muito mais usada aqui do que 
em outros países, totalizando quase 50% (BRASIL, [2021], on-line).
Brasil Mundo
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
45%
55%
86%
14%
Não Renováveis
Renováveis
Figura 3 - Gráfico demonstrativo do percentual de fontes renováveis e não renováveis no Brasil e no 
mundo / Fonte: Brasil ([2021], on-line). 
Descrição da Imagem: a figura mostra um gráfico de barras que traça uma comparação entre a utilização dos 
tipos de fontes renováveis e não renováveis no Brasil e no mundo.
Quanto à diversidade das fontes energéticas usadas, a maior parte da energia advém 
do potencial hídrico, constituído por mais de 110 hidrelétricas em funcionamento, 
distribuídas ao longo do território nacional. Esse potencial pode ser, ainda mais, ex-
plorado, principalmente, na Amazônia, entretanto o uso de outras formas apresenta, 
ultimamente, crescimento expressivo.
Tecnologias de pequeno porte que permitem ao consumidor produzir a sua própria 
energia e despejar o excedente na rede de abastecimento vêm sendo, também, incen-
tivadas, desde 2012, pela legislação da ANEEL, a qual integra esse tipo a um sistema 
19
UNIDADE 1
de conexão denominado Geração Distribuída (GD). Esta caracteriza-se por uma rede 
próxima ao local de consumo, cuja geração atinge consumidores de pequeno porte, 
com uso de fonte eólica e solar, predominantemente. Esse sistema reduz perdas no 
sistema elétrico e possibilita o desenvolvimento de redes inteligentes, o que aumenta 
a eficiência, além de trazer muitos benefícios às concessionárias, tais como:
• Baixo impacto ambiental.
• Diversidade de matriz energética.
• Surgimento de negócios aplicáveis ao setor elétrico.
• Melhoria do nível de tensão em períodos de pico.
• Redução das perdas e do investimento de expansão dos sistemas.
Petróleo e derivados
Gás natural
Carvão
Biomassa
Nuclear
Hidráulica
Solar
Eólica
Matriz Energética do Brasil
64,9%
2,5%
8,4%
3,3%
9,3%
2,0%
8,6%
1,0%
Figura 4 - Gráfico demonstrativo do percentual de fontes primárias de energia no Brasil
Fonte: Brasil ([2021], on-line). 
Descrição da Imagem a figura apresenta um gráfico em forma de disco que exibe os percentuais das matrizes 
energéticas do Brasil.
Em nosso país, os locais favoráveis à produção de energia, normalmente, encontram-se 
distantes dos centros consumidores, necessitando, então, de logística para o trans-
porte dessa energia em distâncias mais longas. Com o aumento da demanda, novos 
locais são explorados, os quais são, também, cada vez mais distantes, o que acarreta, 
também, o aumento no curso desse transporte. Estes fatores são considerados para 
hidrelétricas e geotérmicas, mas, nas termelétricas, essa logística precisa adequar-se 
ainda mais e, além do transporte da energia, deve-se pensar no transporte do com-
bustível primário (FUCHS, 1977; BARONI, 2012).
20
UNICESUMAR
Figura 5 - Linhas de transmissão em alta tensão 
Descrição da Imagem: a figura exibe a fotografia de um conjunto de torres de trans-
missão e o seu cabeamento em zonas remotas.
Descrição da Imagem: a figura demonstra uma ilustração da estrutura básica do sistema de energia. Da esquerda para a direita, vê-se 
que essa estrutura é composta por usina geradora, transformador para elevação, linhas de transmissão, subestação rebaixadora e 
por tipos de consumidores.
As dimensões continentais do Brasil bem como as distâncias entre as geradoras e os centros de consumo 
ressaltam a importância das redes de distribuição (PINTO, 2014). Desde a geração até a distribuição, toda 
energia é transportada por um sistema complexo que passa por diversos níveis, como mostra a Figura 6. 
Legenda de cores:
Preto: Geração 
Azul: Transmissão 
Verde: Subtransformação/Distribuição 
Geração 
Transformador
Elevador para a
Geração 
Consumidor de
Transmissão
230 KV 
Linhas de transmissão
500, 345, 230 KV
Subestação com
Transformador
Rebaixador 
Consumidor da
Subtransformação
138 KV e 69 KV 
ConsumidorPrimário
34,5 KV e 13,8 KV
Consumidor Secundário
120 V 240 V
Figura 6 - Estrutura básica do sistema de energia elétrica / Fonte: Leão (2009, p. 22). 
REALIDADE
AUMENTADA
Conhecendo o caminho da geração 
até a residência
21
UNIDADE 1
O caminho da energia inicia-se em grandes usinas geradoras: hidroelétrica (fonte hídrica) e 
termoelétrica (carvão, petróleo, gás natural, nuclear, biomassa e geotérmica). O transporte dessa 
energia, em longas distâncias, é realizado por meio de LTs, cujas tensões são aumentadas em 
transformadores, podendo variar entre 13,8-750 kV. Em seguida, essa energia dirige-se aos centros 
consumidores, onde as suas tensões são reduzidas aos níveis de distribuição, depois, é conduzida 
às unidades consumidoras (média e baixa tensão).
Todo o sistema elétrico está organizado de forma a permitir integração entre alguns sistemas. Uma 
organização segue tanto a verticalidade interdependente quanto a horizontalidade de subsistemas que 
promovem interligação em níveis mais elevados, com a finalidade de flexibilizar o acesso à energia, em 
condições de emergência (FUCHS, 1977). 
G
ER
A
ÇÃ
O
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E 
EN
ER
G
IA
 
Si
st
em
as
 d
e 
tr
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sm
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sã
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Sistemas de 
subtransmissão 
Sistemas de 
distribuição Primário Secundário 
Sistemas de 
subtransmissão 
Sistemas de 
distribuição 
Sistemas de 
distribuição 
Primário Secundário 
Consumidores 
Consumidores 
Primário Secundário 
Consumidores 
Consumidores 
Sistemas de 
distribuição Primário Secundário 
Consumidores 
Consumidores 
Consumidores 
Consumidores 
Figura 7 - Divisão dos subsistemas das linhas de transmissão / Fonte: a autora. 
Descrição da Imagem:a figura mostra um organograma o qual apresenta, de cima para baixo, a divisão dos subsistemas desde a 
geração de energia, passando pelos sistemas de transmissão, de subtransmissão e de distribuição até chegar aos consumidores.
22
UNICESUMAR
Este sistema de interligação é feito por malha de transmissão, propiciando permeabilidade de energia 
entre os subsistemas, por meio da sinergia entre os mesmos, o que permite, com segurança, economia 
e suprimento da demanda de mercado. No Brasil, o chamado SIN (Sistema integrado Nacional) é 
composto por 16 bacias hidrográficas, juntamente com as termelétricas e algumas eólicas que já fazem 
parte desta logística de atendimento. Os sistemas de transmissão interligam as diferentes fontes de 
produção, garantindo, assim, abastecimento e reserva, além do equilíbrio do SIN.
Podemos dizer que essa integração promove economia, estabilidade, confiabilidade e disponibili-
dade de energia, por meio de:
A energia é transportada em todos os níveis, diferenciando-se, principalmente, pelas tensões e quan-
tidades, as quais são determinadas pela capacidade de transporte de seus elementos básicos. Estes 
elementos estão divididos em níveis, de acordo com as suas características particulares (FUCHS, 1977):
• Linhas de transmissão: são as redes que fazem a ligação entre a geração e os centros de consu-
mo e a interligação entre centros de produção de energia. Operam em tensões muito elevadas 
estabelecidas nas subestações elevadoras, em seguida, chegam até as subestações abaixadoras 
para que essa tensão seja reduzida e, então, distribuída, de forma diferenciada, pelas linhas de 
subtransmissão.
• Linhas de subtransmissão: são redes que fazem a distribuição diferenciada, onde suas ten-
sões estão abaixo das linhas de transmissão ou nas mesmas, quando necessário. Podemos dizer 
que essas linhas são subsegmentos que partem das subestações abaixadoras regionais até as 
abaixadoras locais. Nesse mesmo sistema, há a possibilidade de várias tensões, então, a linha de 
subtransmissão pode ser considerada um elo que aumenta a segurança do sistema.
 Os tipos de construção costumam ser aéreos ou subterrâneos e exibem determinada topografia de 
acordo com suas características de aplicação e funcionamento. A interligação dos sistemas de potência, 
a partir da transmissão, prevê que essa energia chegue aos circuitos de subtransmissão e seja, conse-
quentemente, repassada ao sistema de distribuição. Tais conexões são realizadas em vários níveis de 
combinações, conforme as características do sistema a ser alimentado. 
• Intercâmbio de energia entre os sistemas.
• Aumento da reserva e da confiabilidade para uso em casos emergenciais.
• Investimento em novas centrais mais eficientes e econômicas.
• Alto grau de automatização e otimização de sistemas no despacho da carga.
• Divisão de despesas e, ainda, a consolidação de um órgão competente de pla-
nejamento e execução.
23
UNIDADE 1
As figuras, a seguir, apresentam os diagramas com os tipos de sistemas usados em linhas aéreas: 
Barra de SEP
Circuito de
Subtransmissão
Subestação de
Distribuição
Subestação de
Distribuição
Figura 8 - Diagrama unifilar radial simples / Fonte: Leão (2009, p. 4). 
N.O.
N.O.
Figura 9 - Diagrama unifilar radial com recurso / Fonte: Leão (2009, p. 4).
Descrição da Imagem: a figura mostra um diagrama do funcionamento do sistema unifilar radial simples.
Descrição da Imagem: a figura mostra um diagrama do funcionamento do sistema radial com recurso.
24
UNICESUMAR
Barra do SEP
Circuítos de
Subtransmissão
Subestações de
Distribuição
Subestações de
Distribuição
Figura 10 - Diagrama unifilar em anel / Fonte: Leão (2009, p. 5).
Barra do SEP
Circuítos de
Subtransmissão
Subestações de
Distribuição
Subestações de
Distribuição
Figura 11 - Diagrama unifilar reticulado / Fonte: Leão (2009, p. 6).
Descrição da Imagem: a figura mostra um diagrama do funcionamento do sistema unifilar em anel.
Descrição da Imagem: a figura mostra um diagrama do funcionamento do sistema unifilar reticulado. 
25
UNIDADE 1
De acordo com Puertas e Nogueira (1987, p. 50): 
• Sistema radial simples: empregado em áreas rurais e de carga rarefeita, onde 
os requisitos de continuidade de serviço por parte dos consumidores não jus-
tificam arranjos de maior complexidade. Neste sistema, quando da ocorrência 
de um defeito, é necessário que se façam a sua localização e o seu reparo antes 
de processar o restabelecimento do fornecimento. 
• Sistema radial com recurso: é adotado em áreas suburbanas de média densida-
de de carga e permite, em caso de falha, o restabelecimento parcial ou total da 
alimentação aos usuários, mediante sua transferência para circuitos adjacentes. 
• Sistema radial seletivo: fornece aos consumidores duas alimentações, uma 
normal e a outra de reserva. Em caso de defeito no circuito normal, a alimen-
tação é transferida, manual ou automaticamente, para a linha de reserva. Tal 
arranjo, em rede aérea, restringe-se ao fornecimento a consumidores atendidos 
em tensão de distribuição primária (fábricas, grandes centros comerciais etc.).
Já as linhas de distribuição dividem-se em: 
• Linhas de distribuição primárias: trabalham em tensões médias as quais 
transmitidas em vias públicas.
• Linhas de distribuição secundárias: são redes que trabalham em tensões 
baixas, prontas a serem distribuída aos consumidores.
REDE PRIMÁRIA 
REDE SECUNDÁRIA 
TRANSFORMADOR 
Figura 12 - Disposição dos cabos de distribuição primária e secundária nos postes 
Descrição da Imagem: a figura apresenta a fotografia de um poste em que, do lado de cima, estão o trans-
formador e os cabos das redes de distribuição primária, mais abaixo, está a rede de distribuição secundária.
26
UNICESUMAR
Observação: as linhas de transmissão e subtransmissão, do ponto de vista elétrico, possuem caracte-
rísticas bem similares, de forma que os seus cálculos são, basicamente, os mesmos.
No Brasil, as linhas de transmissão estão classificadas pelas seguintes faixas de tensão, em que, para 
cada uma delas, há um código de representação do conjunto:
• A1 – Tensão de fornecimento igual ou superior a 230 Kv.
• A2 – Tensão de fornecimento entre 88 kV e 138 Kv.
• A3 – Tensão de fornecimento de 69 kV.
A tabela, a seguir, demonstra as tensões usuais em cada uma das etapas da geração atéa utilização.
ÁREA DO SISTEMA 
DE POTÊNCIA
CAMPO DE 
APLICAÇÃO
TENSÃO (kV)
Existente Padronizada
Distribuição
Distribuição secundária 
(BT)
0,220/0,127 0,110
0,380/0,220 0,230/0,115
Distribuição primária 
(MT)
13,8 11,9
34,5 22,5
Subtransmissão (AT)
34,5
88,069,0
138,0
Transmissão Transmissão
138,0
440,0
230,0
345,0
750,0
500,0
Tabela 1 - Tensões usuais em Sistemas de Potência (SEP) / Fonte: adaptada de Fuchs (1977).
No passado, houve consistência na padronização nas tensões de distribuição, entretanto, as tensões de 
transmissão não puderam seguir da mesma forma. A sua escolha baseava-se na Lei de Kelvin, a qual 
fixava valores convenientes para cada caso específico, visando a fins, economicamente, viáveis. 
Hoje, o cenário já é um pouco diferente, com o crescimento dos sistemas, houve a necessidade de 
padronização regional, nacional e internacional, uma vez que a sua regulação é feita por equipamentos 
eletrônicos, os quais possibilitaram a automatização dos processos, agregando muito mais eficiência 
e estabilidade ao SEP. Seguindo as recomendações de órgãos internacionais, algumas discussões esta-
beleceram os níveis de tensões em classes de extra-alta tensão como: de 330 até 345/362 kV; de 380 até 
400/420 kV; de 500/525 kV; 700 até 750/765 kV, sendo que essas recomendações seriam para tensão 
nominal/tensão máxima em regime permanente de operação. Para tensões inferiores, a normatização 
é realizada a nível regional ou nacional (FUCHS, 1977). 
O esquema, a seguir, demonstra as faixas de tensão (classificação) em cada uma das etapas, desde 
a geração à utilização. O Brasil adota essa padronização para fins de normativas.
27
UNIDADE 1
Tabela 2 - Classificação das faixas de tensão / Fonte: a autora. 
• NBR 5422:1985 – Fixa as condições básicas para o projeto das linhas aéreas de transmis-
são de energia elétrica com tensão máxima, valor eficaz fase-fase acima de 38 kV e não 
superior a 800 Kv.
• NBR 14039:2005 – Instalações elétricas de média tensão (1 a 36,2 kV).
• NBR 5410:2008 – Instalações elétricas de baixa tensão (50 V a 1 k).
A tensão e o comprimento do condutor permitem a subclassificação das linhas de transmissão, cujo 
transporte pode ser realizado tanto em corrente contínua quanto em corrente alternada, esta escolha 
é feita com base em características técnicas e econômicas. Normalmente, a transmissão é realizada em 
corrente alternada, porém a transmissão em corrente contínua, somente, torna-se viável com distâncias 
acima de 650 km, como vemos, a seguir.
Vamos relembrar os conceitos de corrente alternada e corrente contínua?
ALTA TENSÃO
TENSÃO DE 
TRANSMISSÃO
Transmissão de 
energia elétrica 
das usinas para 
as cidades
750 kV 
440 kV 
345 kV 
230 kV 
138 kV
69 kV
MÉDIA TENSÃO
TENSÃO DE 
DISTRIBUIÇÃO
15,0 kV
6,6 kV
2,3 kV
BAIXA TENSÃO
Residencial 
iluminação 
motores tração 
urbana’
TENSÃO DE USO
127 / 220V
220 / 380V
380 / 440V
600V 
28
UNICESUMAR
Corrente Contínua 
(CC) Corrente Alternada (CA)
Características Não alterna a direção do fluxo dentro do circuito.
Há a alternância da direção do fluxo 
e, consequentemente, da carga.
Exemplos
• Pilhas
• Baterias
• Baterias
• Dínamos
• Energia fotovoltaica 
(energia solar)
• Fontes retificadoras 
de corrente
• Usinas elétricas
• Geradores de energia
• Alternadores
• Inversores de corrente
Utilização
• Circuitos eletroele-
trônicos
• Circuitos de baixa 
tensão
• Geração de energia 
solar
• Linhas de transmis-
são submarinas
• Transporte de energia (linhas 
de transmissão)
• Circuitos elétricos
• Circuitos de alta tensão
Linhas de
transmissão
A.C.
C.C.
Curta
Média
Longa
Figura 13 - Classificação com base nos tipos de transmissão / Fonte: a autora. 
Na transmissão em Corrente Alternada (CA), o sistema elétrico de potência é formado pelos geradores, 
subestações elevadoras de tensão, linhas de transmissão, seccionadoras e subestações de abaixamento 
de tensão. Por ser em CA, exibe capacitância C, resistência R, indutância L e condutância de fuga G. O 
desempenho desta linha é dado por essas variáveis, juntamente, com a carga e a linha de transmissão. 
Por desempenho, entendemos fator de potência final, tensão final, correntes finais, eficiência da linha, 
regulação e limites de energia em regimes transitórios e permanentes, entre outros fatores.
Descrição da Imagem: a figura apresenta um organograma com a divisão das linhas de transmissão em alternada e contínua, sendo 
a alternada subdividida em curta, média e longa.
29
UNIDADE 1
Essas transmissões são divididas em curta, média ou longa de acordo com a 
sua extensão. 
Linha de transmissão curta: o seu comprimento não excede 80 km ou a sua 
tensão não é superior a 66 kV. A capacitância é dependente do comprimento da 
mesma, logo, o seu efeito, na linha, é insignificante (porém, para o cabo, ela não 
pode ser ignorada), devido à pequena corrente de fuga, além de outros parâme-
tros, para efeito de cálculo do desempenho da linha, a resistência e a indutância 
devem ser consideradas. 
CargaGerador 
Figura 14 - Esquema de uma linha de transmissão curta / Fonte: Linhas de Transmissão ([2021], on-line)1.
A sua modelagem matemática é como um circuito CA simples, não existindo ramos 
de derivação, logo, a corrente é a mesma em suas extremidades. Sendo assim, a tensão 
na barra transmissora é:
V V IZ� �' [1]
onde: 
V’: tensão na carga;
 I: corrente; 
Z: impedância dada por:
Z R iwL� � [2]
Linha de transmissão média: o comprimento é de 80 a 240 km. Neste caso, a capa-
citância não pode ser ignorada, sendo concentrada em um ou mais pontos das linhas 
e incluída no cálculo. Aqui, duas situações são previstas:
Modelo π nominal, onde a metade da capacitância se encontra em cada uma 
das extremidades da linha.
Descrição da Imagem: a figura mostra, da esquerda para a direita, gerador, resistor, indutor e carga ligados 
em série, formando uma malha simples.
30
UNICESUMAR
CargaGerador 
Figura 15 - Esquema de uma linha de transmissão média do tipo π nominal / Fonte: Linhas de Transmissão ([2021], on-line)1.
Modelo T nominal, onde se admite que a capacitância se encontra no centro da linha.
Ca
rg
a 
VS V1 C VR
R/2R/2
IC
IRISIS
XL/2XL/2
Figura 16 - Esquema de uma linha de transmissão média do tipo T nominal. / Fonte: River Glenn Pts ([2021], on-line)2.
As equações para os dois modelos anteriores estão representadas, a seguir. A análise do circuito é 
deduzida a partir delas.
Modelo π nominal [3] Modelo T nominal [4]
V V
Z
Y
I V
Z
Y V
ab r
ab
ab
ab
ab
ab
r
=
=
= =
1
2
V V Z I
I V
Z
YZ
ab r r
ab
ab
ab
ab
� �
� �
2
Descrição da Imagem: a figura representa, da direita para a esquerda, o gerador ligado a resistência, indutor e carga, com as metades 
capacitivas distribuídas nas duas laterais do circuito.
Descrição da Imagem: a figura representa, da direita para a esquerda, o gerador ligado a uma divisão das resistência e indutâncias, 
com a capacitância, ao centro. Aqui, impedância de série da linha Z = R + jX; shunt admitância da linha Y = jwc; tensão final receptora = 
Vr; recebendo corrente final = Ir; corrente no capacitor = Iab; tensão final de envio = Vs; enviando corrente final = Is.
31
UNIDADE 1
Linha de transmissão longa: possui comprimento superior de 240 km, e os quatro 
parâmetros citados na linha média (resistências, indutâncias, capacitâncias e con-
dutâncias) estão distribuídos ao longo do comprimento desta linha.
R X R X R X
CGG CCG
Figura 17 - Esquema de uma linha de transmissão longa / Fonte: River Glenn Pts ([2021], on-line)2.
Neste caso, o equacionamento da tensão e da corrente não é tão simples, a linha será 
dividida em um pequeno segmento, enquanto a impedância e a admitância serão, 
supostamente, distribuídas, de modo uniforme, ao longo da linha. 
As equações, a seguir, nos fornecem o valor eficaz da tensão e da corrente em 
qualquer ponto, ao longo da linha de transmissão.
V Vr IrZc e Vr IrZc ex x� � � � �
2 2
g g[5]
I
Vr
Zc
Ir
e
Vr
Zc
Ir
ex x�
�
�
�
�
2 2
g g [6]
onde: 
Z Z
Yc
= : impedância característica da linha e g = ZY
Outra forma de expressar essas equações é:
V Vr x IrZcsenh x� �cosh g g [7]
I Ir x Vr
Zc
senh x� �cosh g g [8]
Descrição da Imagem: a figura representa, ao centro, um trecho curto que se encontra separado em uma 
linha de transmissão longa.
32
UNICESUMAR
Observação: os circuitos que representam as linhas longas podem ser tratados 
como circuitos equivalentes p - nominal ou T-nominal, apenas, nos valores de 
suas extremidades.
Já na transmissão em Corrente Contínua (CC) a estrutura do sistema de 
potência é muito similar à transmissão em Corrente Alternada (CA), porém 
com acréscimo de estações conversoras que são responsáveis pela retificação da 
corrente (CA para CC) e para inversão da corrente (CC para CA, novamente), 
encontradas anexadas à subestação elevadora e à subestação abaixadora, respec-
tivamente. Não possui, em sua estrutura, subestações intermediárias voltadas a 
abaixamento ou seccionamento (FUCHS, 1977).
Uma considerável vantagem da transmissão em CC é a possibilidade de trans-
mitir energia entre dois sistemas assíncronos em Corrente Alternada. Embora a 
transmissão em CC apresente menor custo em relação à CA, as estações de con-
versão apresentam custos elevados, desse modo, transmitir em Corrente Contínua 
torna-se vantajoso, apenas, em sistemas com frequências diferentes ou em longas 
distâncias percorridas (acima de 650 km).
Como qualquer outro sistema elétrico, a rede de transmissão sofrerá perda de energia 
e quedas de tensão da extremidade de envio até a recepção, logo, o desempenho dessa 
rede pode ser avaliado por sua eficiência e regulação de tensão. Estes parâmetros 
podem ser calculados por:
ELT P
P
er
ef
� �100%
 
[9]
onde: 
ELT: eficiência da linha de transmissão; 
 Per: potência entregue na extremidade receptora;
 Pef: potência enviada na extremidade final.
P H Pef linha er� � [10]
Importante: 
o modelo da linha de transmissão a ser adotado depende do comprimento 
da linha e da precisão que se deseja ter da modelagem matemática.
33
UNIDADE 1
onde: 
Per: potência entregue na extremidade receptora;
 Pef: potência enviada na extremidade final;
 HLinha: perdas na linha. 
%reg U U
U
sc ct
ct
�
�
�100 [11]
onde: 
%reg: percentual de regulação de tensão da linha de transmissão; 
Usc: tensão na condição sem carga; 
Uct: tensão na condição carga total.
A regulagem da tensão da linha de transmissão é: a medida da 
variação da tensão final de recepção na condição sem carga para a 
condição de carga total.
A transmissão em tensão superior à geração faz-se necessária 
pela impossibilidade de transmissão direta da potência gerada nas 
usinas, pois as correntes seriam muito altas e tanto as quedas de 
tensão quanto as perdas de potência no trajeto se tornariam, eco-
nomicamente, inviáveis, problema que se agravaria quanto maiores 
a distância e a potência a ser levada. 
Vimos que o Brasil tem uma extensa malha de linhas de trans-
missão que percorrem distâncias muito longas. Você já parou para 
pensar como essas malhas estão interligadas e de que forma é feita a 
transmissão de toda essa energia, ao longo do território brasileiro? Mas 
toda essa transmissão é realizada em CA e com condutores em cobre?
Nesta unidade, abordamos alguns pontos importantes sobre as 
linhas de transmissão, principalmente, as características de tensão 
adotadas, os tipos de linhas e as suas particularidades. Conside-
rando as transmissões em CA e CC bem como o fato de que esta 
última vem ganhando espaço, quando se trata de longas distâncias, 
a entenderemos, então, um pouco mais.
No geral, a transmissão de energia no Brasil é realizada em CA, 
porém a linha que liga Itaipu-PR a Ibiúna e Tijuco Preto, ambos em 
São Paulo, é realizada em corrente contínua, essas duas linhas operam 
em, mais ou menos, 600kV, sendo que o total de linha de interligação 
tem 1612 km. A subestação de Ibiúna, considerada a maior conversora 
do mundo, é responsável por 43% da energia consumida no estado 
de São Paulo, cerca de 37000 GWh (FURNAS..., 2004).
Vamos relembrar o que foi 
abordado nesta unidade? Ligue 
o play e ouça!
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/10460
34
UNICESUMAR
Aqui, entenderemos algumas peculiaridades que foram consideradas na escolha 
da transmissão em CC entre Itaipu e Ibiúna. Primeiramente, em uma transmissão 
em CC, as subestações realizam a conversão, recebendo a potência em CA, conver-
tendo-a, depois, em CC, para que seja efetuada essa transmissão.
+
-
+
-
AC AC 
HVAC
Reti�cador 
HVDC 
Inversor 
HVAC 
Figura 18 - Esquema de uma rede HDVC / Fonte: Glover, Sarma e Overbye (2014, p. 133). 
A escolha desta tecnologia, denominada HVDC, pauta-se e justifica-se por aspectos 
técnicos, econômicos e ambientais, favorecendo a escolha do tipo de demanda solicitada.
• Aspectos técnicos: além de permitirem a transmissão de potência de diferentes 
frequências, os parâmetros capacitivos e indutivos não limitam essa transmissão. 
Pela característica da rápida modulação na conversão, melhora a estabilidade do 
sistema, diminuindo oscilações que acontecem em CA.
• Aspectos econômicos: custos das estações de conversão, das linhas de transmis-
são e dos ganhos relativos à diminuição das perdas na transmissão.
• Ambientais: além do seu melhor aproveitamento de potência, as linhas são meno-
res em comparação com a HVAC, aumentando a capacidade de transmissão delas.
São muitos os fatores que ocasionam perdas no sistema de transmissão de energia 
elétrica, o conhecimento dos efeitos físicos que as provocam faz-se necessário para 
conseguir minimizá-las. Dentre os principais efeitos relacionados aos condutores 
estão os efeitos corona e skin.
Um dos aspectos determinantes e preocupantes em um projeto de linhas de trans-
missão é a escolha dos condutores para obter bons resultados em qualidade da energia 
transportada. Em linhas de transmissão de extra ou de ultra-alta tensão, o efeito corona 
é a principal causa de perdas no transporte de energia (FUCHS, 1977).
Descrição da Imagem: a figura apresenta, do lado esquerdo, a Corrente Alternada chegando ao retificador, 
onde passa para Corrente Contínua. Esta energia é transmitida e chega em outra subestação, representada, do 
lado esquerdo, a qual faz a inversão dessa corrente para alternada, novamente, em seguida, ela é distribuída.
35
UNIDADE 1
Essas descargas promovem a perda de energia cinética, pois resultam de colisões 
entre elétrons e átomos presentes no ar. Em alguns casos, o elétron muda o seu 
estado de energia ao se excitar, depois, ao retornar ao seu nível energético, libera 
o excesso de energia em forma de calor, luz, som e radiação eletromagnética.
As redes de transmissão têm um limite de tensão, desse modo, após o limite de 
interrupção ser atingido, há, junto com as faíscas, o surgimento do efeito corona. 
Normalmente, as perdas das LTs estão associadas a esse efeito, a sua amplitude 
depende da tensão de operação, do diâmetro dos condutores, do posicionamento 
relativo bem como da distância, altitude, condições atmosféricas e ambientais e, 
também, da variação do potencial de superfície desses condutores, logo, a tensão 
de linha mais baixa reduz o aparecimento do efeito corona. 
Outros fatores que favorecem a ocorrência desse efeito são os estados dos cabos 
(sujos ou com superfície rugosa) bem como dos isoladores e outros acessórios 
(FUCHS, 1977). Para evitar, em LTs, a ação indesejada do efeito corona, Pinto 
(2014, p. 71) afirma: “o campo elétrico superficial do condutor deve ser menor 
do que o campo elétrico crítico da corona (E)”. 
O efeito pode causar descargas eletrostáticas entre condutores ou entre con-
dutores e estruturas metálicas, ocasionando curtos-circuitos que podem gerar 
arcos elétricos e, assim, destruir isoladores e outros elementos da linha, fora que 
a indução de corrente nas estruturasmetálicas apresenta perigo de eletrocussão. 
Além das perdas nas linhas de transmissão, os seus resultados são sentidos por 
pessoas e sistemas que se encontram próximos, como: interferências em rádios, 
ruídos e produção de gases nocivos.
Nas linhas de extra-alta tensão, em condições de chuva, as perdas podem 
impactar a demanda do sistema, forçando as geradoras a suprirem essas mesmas 
perdas, o que, consequentemente, gera aumento no gasto.
O efeito corona é um fenômeno que ocorre na superfície de condutores. 
Nela, ocorre a ionização do ar ao redor desses condutores e, assim, é provo-
cado um estalo luminoso. Além do campo elétrico uniforme, cujos elementos 
influenciadores são a pressão do ar, o vapor d’água, a fotoionização e o tipo 
de tensão aplicada, há, ainda, a presença de um campo não uniforme que 
desencadeia algumas descargas. 
36
UNICESUMAR
Outro efeito importante é o skin ou efeito pe-
culiar. Ele caracteriza-se por um fenômeno que 
aumenta a resistência aparente de um condutor, 
quando há aumento da frequência de corrente 
elétrica. Em Corrente Alternada, a distribuição 
no condutor não é uniforme, assim, quanto maior 
a frequência, maior o campo magnético e, con-
sequentemente, maior a reatância local. O efeito 
do aumento dessa reatância é o deslocamento da 
corrente elétrica para a periferia desse condutor, 
o que implica o aumento da resistência aparen-
te (ROBERT, 2000). Isto ocasiona mais perda de 
energia sob a forma de calor por unidade de com-
primento desse condutor, modificando, também, a 
reatância interna. Este problema ocorre em linhas 
de transmissão e é contornado pelo uso de con-
dutores ocos e cabos entrelaçados.
As linhas de transmissão são usadas para o 
escoamento da energia elétrica produzida nas 
geradoras até os centros de carga. Devido ao au-
mento da demanda de consumo bem como da 
impossibilidade de armazenamento dessa energia, 
surgiu a necessidade de desenvolver sistemas de 
transmissão que garantissem o fornecimento. 
Quanto maior a quantidade de energia para 
transporte, maior a perda associada, logo, por 
questões de dissipação por calor (efeito Joule), a 
elevação da tensão é necessária a fim de que essas 
sejam minimizadas, além de outros fatores, tais 
como: dilatação de cabos, impedância da linha e 
fenômenos naturais (por exemplo, chuvas e ven-
tos). É importante encontrar parâmetros ótimos, 
como nível de tensão, potência, distância, tecno-
logia e, claro, recursos financeiros.
Tal transmissão não é irradiada, mas sim, 
conduzida de uma fonte de geração a uma fon-
te consumidora. Entender todo este processo de 
transmissão de energia dará a você suporte para 
atuar em sistemas de potência.
37
Aqui, você deve testar os seus conhecimentos sobre o que foi exposto nesta unidade, assim, serão 
fixados, com mais efetividade, os tópicos e conceitos mais importantes relacionados às linhas de 
transmissão e ao transporte de energia elétrica. 
Com esta finalidade, dei início a um Mapa Mental e o deixei organizado de forma básica. A partir 
disso, gostaria que você continuasse a preenchê-lo, evidenciando o maior número de tópicos 
importantes que puder elencar. Vamos lá?
Vertical 
Co
n�
ab
ili
da
de
 
Interligações
22
0 
V 
Média 
Transmissão de energia 
Descrição da Imagem: a figura mostra um Mapa Mental que divide, em suas camadas vertical e horizontal, a transmissão de 
energia bem como especifica as suas interligações com as classes de tensão e níveis de distribuição.
38
1. O Brasil opera em um sistema interligado de energia, de forma a coordenar e otimizar a 
sua transmissão. A escolha desse sistema pode ser justificada da melhor forma, porque:
a) A rede básica de transmissão sofreria maiores variações de tensões, se elas fossem 
isoladas, logo, esse sistema estabiliza a rede.
b) A interligação regional permite a exploração das bacias hidrográficas.
c) Permite economia nas despesas com manutenção e equipe técnica.
d) Centraliza as decisões a respeito de quando e como fazer a distribuição de energia.
e) A influência política diminui, uma vez que existem outras pessoas que podem influen-
ciar as decisões. 
2. No trajeto de saída da usina geradora até o centro de carga, são utilizadas linhas de 
transmissão que transportam a energia em tensões em CA. Cite e classifique essas 
tensões.
3. As perdas geradas pelos condutores nas linhas de transmissão são causadas por dois 
efeitos, em especial: o efeito corona e o efeito skin. Assinale a alternativa correta em 
relação a eles: 
a) O efeito skin tem, como consequência, a diminuição da reatância e da resistência do 
condutor, facilitando a circulação de correntes de baixa frequência.
b) O efeito corona ocorre quando há ionização do ar ao redor do condutor, o que provoca 
ruídos audíveis e vibrações mecânicas, além de atuar como para-raios, ao atrair essas 
descargas às torres de transmissão.
c) As perdas relativas do efeito corona chegam a 50% das perdas por efeito Joule, logo, 
a sua redução não deixa os cabos aquecerem.
d) O efeito corona nem exerce influência sobre os sistemas de comunicação, nem riscos 
aos seres humanos.
e) Alguns dos fatores associados ao efeito corona são altura e espaçamento dos con-
dutores.
39
4. Uma rede de transmissão é dividida em malhas, que, para melhor funcionamento, são 
conectadas a elementos de outras redes. Considere a topologia do sistema de sub-
transmissão operando na faixa de 69 kV a 138 kV e associe os números dos sistemas 
à esquerda com os seus tipo e emprego, à direita.
1. Radial simples ( ) Fornece aos consumidores duas alimentações, uma normal 
e outra de reserva.
2. Radial com 
recurso
( ) Os alimentadores primários são radiais, e a rede de baixa 
tensão é malhada, totalmente, interligada.
3. Radial seletivo ( ) Adotado em áreas suburbanas de média densidade de carga, 
permite reestabelecimento total ou parcial da alimentação, 
em caso de falhas.
4. Anel ( ) Empregado em áreas rurais e de carga rarefeita.
5. Reticulado ( ) Todos os transformadores de distribuição estão conectados 
a chaves que permitem a segregação dos mesmos, no trecho 
do circuito com defeito.
A sequência correta para a resposta da questão é:
a) 4, 5, 1, 3, 2.
b) 2, 4, 1, 3, 5.
c) 3, 5, 2, 1, 4.
d) 1, 3, 5, 4, 2.
e) 5, 3, 4, 1, 2.
40
2
Nesta unidade, abordaremos os elementos e acessórios que com-
põem a estrutura física das linhas de transmissão e as características 
que permitem o funcionamento delas em condições normais bem 
como em situações de sobrecarga.
Estrutura Física das 
Linhas de Transmissão 
Me. Audrey Cristine Esteves
42
UNICESUMAR
Caro(a) acadêmico(a), a capacidade de expansão do setor elétrico define todo o desenvolvimento 
de uma região ou um país, implicando a necessidade crescente de investimento em infraestrutura, 
para que a energia seja gerada e transportada de forma a atender ao aumento da demanda. Suprir 
o mercado brasileiro, em termos de energia, é uma tarefa difícil, dada a extensão territorial do 
mesmo, o que exige a viabilização de uma extensa e confiável rede de transmissão. 
Um sistema de transmissão de energia elétrica compreende toda uma estrutura complexa cujo 
desempenho está associado às suas geometria e características físicas.
Levando em consideração esta breve conversa que tivemos, mais o seu conhecimento prévio do 
conteúdo abordado, você sabe quais elementos compõem uma linha de transmissão e quais tipos 
de materiais são usados no transporte de energia elétrica? Como assegurar esse trans-
porte com qualidade? Como tornar o caminho da energia mais seguro e confiável? 
Estima-se que o Brasil, em 2013, tinha a capacidade total de geração de energia 
em torno de 127 GW, sendo as principais matrizes as bacias hidrográficas. 
Entretanto muito deste potencial, ainda, não é explorado por causa da 
dificuldade de acesso. A extensão territorial apresenta um consi-
derável desafio tanto à geração quanto à distribuição de energia, 
então, deriva desse aspecto a necessidade decompreensão do 
trajeto percorrido pela eletricidade, a fim de corrigir os erros 
bem como aplicar novas tecnologias aos sistemas de transmissão.
A construção de sistemas resistentes e seguros esbarra em 
dois problemas básicos: a redução de perdas, durante 
o trajeto, e a adequação dos custos para a cons-
trução. A importância deste serviço está, direta-
mente, ligada à compreensão das metodologias 
utilizadas e, também, ao desenvolvimento de 
novas técnicas, para conseguir cada vez mais, 
aprimorar esses processos.
As distâncias dos cabos acar-
retam instabilidades das redes, 
perdas na qualidade de ener-
gia e, ainda, a suscetibilidade 
das estruturas aos fenô-
menos naturais, o que 
pode causar inter-
rupção, ao longo 
do percurso. 
43
UNIDADE 2
Daremos ênfase, nesta unidade, à descrição da estrutura física das linhas de transmissão, assim como dos 
componentes que as integram, com o objetivo de entender as configurações mais adequadas de Linhas de 
Transmissão (LTs) para cada região.
Convido você, aluno(a), a realizar uma pesquisa sobre as principais LTs que fazem a interligação aos 
grandes centros urbanos. Tente encontrar, na sua região, o modo como as linhas de transmissão estão 
dispostas, em seguida, identifique as características de cada uma delas, tais como: os tipos de estruturas, as 
configurações, os seus componentes e materiais utilizados. 
O Brasil possui, hoje, a maior rede de LTs do mundo, sendo a principal a linha que liga Itaipu a Ibiúna. 
As tendências tecnológicas aplicadas no Brasil, quanto à geometria e à funcionalidade, variam de acordo 
com cada região, as quais definem o seu desempenho.
As principais causas de instabilidade ou de interrupção de energia elétrica são eventuais falhas nos 
equipamentos de proteção dos cabos, picos de consumo ou acidentes provocados por fatores ambientais.
Ao longo desta unidade, você será capaz de identificar os componentes dos sistemas de transmissão 
elétrica, os tipos de materiais adequados para cada situação bem como as configurações para melhor 
atender às demandas.
Caro(a) aluno(a), ao realizar a pesquisa em sua região, você foi capaz de identificar e comparar as es-
truturas de duas ou mais linhas de transmissão, assim como as características exibidas por cada uma delas, 
de acordo com as suas exigências de complexidade e da região. Agora, procure elencar pontos importantes 
observados e vinculá-los aos conteúdos abordados em outras disciplinas que serão aplicados, aqui. Anote 
as suas ideias no seu Diário de Bordo.
DIÁRIO DE BORDO
44
UNICESUMAR
Uma linha de transmissão é composta, basica-
mente, por cabos condutores, cabos para-raios 
(cabos de guarda), ferragens, isoladores e estru-
turas de suporte. Embora pareça que os cabos 
condutores de fase sejam os mais importantes, 
por assegurarem a corrente, os demais compo-
nentes mantêm a tensão, logo, cada estrutura 
física exerce o seu papel para garantir o bom 
desempenho no transporte da energia elétrica 
até os centros de consumo. 
A escolha da melhor configuração e dos mate-
riais para essa composição definirá os parâmetros 
elétricos desejáveis em cada situação, operando, 
assim, em situações adversas (FUCHS, 2015).
Vamos explorar, um pouco, essas estruturas, an-
tes de iniciarmos os nossos estudos? Acesse o QR-
-Code do nosso podcast!
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/10461
45
UNIDADE 2
Condutores
Isoladores 
A
B
C
C
A
B
PR
Estruturas
suporte 
Fundações 
Cabo de guarda ou para-quedas PR 
Figura 1 - Tipos de suportes aplicados nas linhas de transmissão / Fonte: Labegalini et al. (1992). 
Então, iniciaremos com a descrição de cada um dos elementos que fazem parte dessa extensa e com-
plexa malha de transmissão de energia.
Primeiramente, falaremos sobre os cabos condutores, os quais são considerados os elementos ati-
vos desta rede de estrutura, pois realizam o transporte de corrente. Os cabos condutores devem exibir 
algumas características, tais como: alta condutibilidade, baixo custo, boa resistência mecânica, baixo 
peso específico, alta resistência à oxidação e à corrosão (agentes químicos poluentes). Os materiais 
não atendem a estes requisitos em sua totalidade, porém os que atendem, parcialmente, são o cobre, o 
alumínio e as suas ligas, sendo o alumínio a escolha principal, por seu baixo custo. Por muito tempo, o 
cobre predominou nas construções das LTs, por sua excelente condutividade e resistência mecânica. 
O alumínio foi incorporado à medida que os problemas de sua implantação foram resolvidos.
A escolha do tipo de cabo está relacionada, também, com o tipo de instalação a ser reali-
zada. No cabeamento subterrâneo, a opção é o cobre, já no cabeamento aéreo, deve-se cuidar 
da carga mecânica de ruptura. 
Comparando as características físicas entre os dois elementos, podemos verificar, de forma bem 
simples, como o alumínio ganhou espaço. Além do fato de ter baixo custo e provocar menos perdas 
por efeito Joule, o seu peso específico torna-o uma boa escolha.
Descrição da Imagem: a figura apresenta a ilustração de três torres de metal interligadas por fios, uma à esquerda, e duas, próximas, 
à direita. Trata-se de uma seção da rede de transmissão cujos cabos estão interligados entre duas torres, demonstrando os condutores 
(fios), isoladores (cabos metálicos envolvidos por plástico, elaborados, que se conectam aos fios nas torres), para-raios (cabos metálicos 
no topo da torre), estruturas de suporte armação de metal) e fundações (base sólida no chão da torre).
46
UNICESUMAR
CARACTERÍSTICA FÍSICA Alumínio 
(duro)
Cobre 
(duro)
Padrão
IACS*
Densidade a 20 ºC (g/cm3) 2,70 8,89 8,89
Condutividade mínima percentual a 20 ºC 61 97 100
Resistividade máxima a 20 ºC (Ωmm2/m 0,0282 0,0177 0,0172
Relação entre pesos de condutores de igual 
resistência em CC (igual comprimento)
0,48 1,03 1,00
Coeficiente de variação da resistência por ºC 
a 20 ºC
0,0040 0,0038 0,0039
Calor específico (cal/g ºC) 0,214 0,092 0,092
Condutividade térmica (cal/cm3 s ºC) 0,48 0,93 0,93
Módulo de elasticidade do fio sólido (kgf/mm2) 7000 12000 -
Coeficiente de dilatação linear/°C 23x10-6 17x10-6 17x10-6
*Padrão IACS: padrão internacional do cobre recozido, tomado como referência de 
100% de condutividade (International Annealed Copper Standard).
Tabela 1 - Comparativo entre as características físicas do alumínio e do cobre / Fonte: adaptada de Cavalcante (2002). 
Os fios foram substituídos por cabos, que são entrelaçamentos de fios. A norma 
ABNT padronizou os cabos de acordo com a norma AWG (American Wire Gauge), 
a qual adotou uma base de cálculo chamada “circular mil”, correspondente à área de 
um círculo cujo diâmetro é igual a 1 milésimo de polegadas (0,00064516 mm2). No 
Brasil, a medida desse diâmetro é dada em milímetros (BEZERRA, 2019, on-line). 
O cálculo dos circulares mils é dado pela equação:
An
n
� �
�
( )5 92
36
39 [1]
Associar a bitola de um fio com sua área ou diâmetro é uma comparação por tabe-
lamento da AWG. Vamos entender como isso funciona, a seguir. 
Calcular o diâmetro em circular mils:
d mils d mm( ) ( )
,
� �
25 4
1000 [2]
escrever o perímetro:
P r= 2p [3]
r P=
2p
 [4]
calcular a área:
A r= p 2 [5]
47
UNIDADE 2
aplicando 4 em 5:
A P P� �
�
�
�
�
� �p p p2 4
2 2
 [6]
Normalmente, os cabos de transmissão possuem fios dispostos em camadas (encor-
doamento), visto que, sozinhos, apresentariam aos isoladores pela vibração alguma 
ruptura em seus pontos de interconexão. Logo, o cálculo para o número de fios de 
mesmo diâmetro é dado pela equação:
N x x� � �3 3 12 [7]
onde: 
N: número de fios componentes; 
x: número de coroas (camadas). 
A norma brasileira contém especificações de características exigíveis para os con-
dutores elétricos, de acordo com a sua composição e utilização. Algumas delas estão 
descritas a, seguir (FUCHS, 2015; LABEGALINI et al., 1992).
1. Condutores de cobre: são fabricados com bitolas de 13,3 mm2 até 645,2 
mm2, nas têmperas dura e semidura.Consistem em cabos nus de cobre com 
especificações por: 
• Secção em mm2.
• Número de filamentos.
• Classe de encordoamento.
As suas características são:
• Qualidade do material, características elétricas e físicas.
• Acabamento.
• Encordoamento e passo do encordoamento.
• Emendas.
• Variação do peso e da resistência elétrica.
• Dimensões, construção e formação.
• Tolerâncias nos comprimentos dos cabos.
• Embalagens e marcações.
• Propriedades mecânicas e elétricas.
• Ensaios de aceitação.
• Responsabilidade dos fabricantes.
48
UNICESUMAR
2. Condutores de alumínio e alumínio-aço: condutores concêntricos com 
camadas de fios de alumínio envolvendo um centro em aço galvanizado, com 
várias combinações possíveis. A sua referência é feita por palavras-código, em 
que são usadas flores para os cabos de alumínio (CA) e aves para os cabos 
de alumínio-aço (CAA). O alumínio tem elevada condutividade, e o aço, alta 
resistência mecânica.
Exemplo: Código: Tulip – Cabo CAA, composição: um fio de aço e seis de alumínio 
com secção de 125,1 mm2.
Tulip 
• Diâmetro dos filamentos: 3381 mm.
• Diâmetro do cabo (nominal): 16,92 mm.
• Peso do cabo: 467,3 kg/km.
• Carga de ruptura: 2995 kg.
• Resistência elétrica (CC 20 ºC): 0,168Ω/km.
FIOS DE ALUMÍNIO 
FIOS DE AÇO
GALVANIZADOS 
Figura 2 - Estrutura cabos ASCR / Fonte: Alubar... (2015, p. 35). 
3. Condutores em ligas de alumínio: possui encordoamento concêntrico 
com uma ou mais camadas de fios de liga 6101/6201-T81. Baixo custo, maior 
resistência mecânica e à corrosão. Na Europa, usa-se a liga Aldrey (Si, Mg, Fe, 
Al). Os seus tipos podem ser AAC e ACAR.
Descrição da Imagem: a figura apresenta um desenho que mostra um condutor cujo centro é composto por 
fios de aço galvanizado. O condutor é coberto por camadas de fios de alumínio.
49
UNIDADE 2
4. Condutores em ligas de alumínio com alma de aço: estes cabos são 
condutores concêntricos encordoados em camadas e reforçados por uma 
alma de aço, o que lhes confere mais dureza e, consequentemente, mais 
resistência à abrasão. Indicado para grandes vãos.
5. Condutores de alumínio termorresistente: os tipos são T-CA e T-CAA 
e são cabos concêntricos similares ao CA, porém ambos com capacidade 
para suportar temperaturas de até 150 ºC, mantendo as suas propriedades 
mecânicas. Têm eficiência de 50% no transporte de energia em relação ao 
cabo tradicional.
6. Cabos copperweld e alumoweld: direcionados para aterramento, os seus 
filamentos são constituídos por um centro de aço de alta resistência envolto 
por uma capa de alumínio ou cobre.
7. Condutores tubulares e expandidos: confeccionados por meio do em-
prego de diversos materiais, como o bronze, os seus diâmetros são, apro-
ximadamente, 15% maiores e atuam reduzindo os gradientes de potencial 
nas superfícies.
Outros grupos, tais como: cabos múltiplos, cabos com compósitos e cabos refor-
çados com INVAR também vêm sendo, largamente, estudados e empregados nas 
linhas de transmissão. 
As LTs de alta e extratensão brasileiras usam, predominantemente, os cabos 
do tipo ASCR. Estes envolvem perdas, efeito corona e critérios econômicos, mas 
levam em consideração a pressão barométrica, os ventos, as temperaturas ambiente 
e máxima do condutor. A escolha dos cabos influencia, diretamente, a escolha 
dos demais componentes, por exemplo, torres e isoladores.
Você sabe por que, em LTs de extra-alta tensão, são usados os cabos CAA e 
variantes? E quais são os utilizados nas linhas aéreas?
50
UNICESUMAR
Em LTs de extra-alta tensão, são usados os cabos CAA (alumínio com alma de aço) 
e variantes, pelo custo ser mais acessível. Nas linhas aéreas, eles são instalados nus, 
a fim de maximizar a ampacidade (a qual é determinada pelo equilíbrio térmico).
Já que falamos sobre ampacidade, você saberia defini-la? E dizer como é calculada?
Cálculo da ampacidade: todo condutor, quando percorrido por corrente elétrica, 
está sujeito a perdas por calor (efeito Joule). A capacidade de condução contínua de 
uma corrente (máxima), sem que a sua temperatura ultrapasse o valor limite, em 
regime permanente, é chamada de ampacidade.
Em uma linha de transmissão, devem ser considerados tanto o aspecto técnico como o 
econômico envolvido. No econômico, a especificação das áreas de secção transversal dos 
condutores, de acordo com a Lei de Kelvin; no aspecto técnico é o efeito da temperatura 
no comportamento mecânico desses condutores, sem que haja prejuízo físico ao cabo.
As temperaturas máximas suportadas pelos cabos CA, CAA e CAL circulam nas faixas 
de 70 a 85 °C, podendo chegar a 100 °C em condições críticas que tenham curta duração.
Vários fatores afetam a temperatura em uma LT e várias pesquisas traçam com-
parativos acerca da perda energética apresentada por condutores ao longo de um 
período. O equilíbrio entre o calor ganho e o perdido, pelo cabo, são determinados 
por fenômenos físicos bem conhecidos. Em regime permanente, um cabo atinge a 
temperatura por meio do equilíbrio entre calor ganho e perdido. O ganho dá-se por 
efeito Joule e radiação solar qj e qs; a perda, por irradiação e convecção qr e qc. Então, 
a equação que equilibra o sistema é dada por:
q q q qj s r c� � �
com q I r W kmj � �
2
[ / ] .
Rearranjando os termos, obtemos:
I
q q q
r
Ar c s�
� �� ��103
[ ]
onde temos: 
r: a resistência do condutor à temperatura de equilíbrio [Ω/km].
Pelas leis da transmissão de calor da Física:
q d T T W m
q
r
c
� � � � �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
179 2 10
1000 1000
3
4
0
4
, [ / ]e
9945 6 10 0 32 0 43 45946 80
4 0 52
, , , ,
,t t V d�� �� � � �� ���
�
�
�
e q d W ms � �204 [ / ] , que é o valor médio em regiões temperadas.
51
UNIDADE 2
Para tais condições, teremos que ε é a emissividade, cujo valor está entre 0,23 e 0,90, 
de acordo com a cor de cabo. O recomendado para cabos de alumínio é e ≅ 0 5, .
Descrevendo as variáveis, temos:
d: diâmetro nominal do cabo [m];
t: temperatura final do cabo; 
 t0: temperatura do ambiente [ºC]; 
T: temperatura absoluta do final do cabo; 
T0: temperatura absoluta do meio ambiente [K];
V: velocidade do vento (em geral, 0,6 a 1,0 m/s).
Então, entenderemos como é feito e qual a funcionalidade de obter valores relacio-
nados à ampacidade. Desejamos obter a ampacidade de um cabo tipo CAA Drake, 
onde temos as seguintes condições:
t ºC
t ºC
V , m/ s
,
r , / km
d , m
0 35
85
0 67
0 5
0 09
0 02814
=
=
=
=
=
=
e
W
convertendo as temperaturas:
T K
T K
0 273 35 308
273 85 358
� � �
� � �
substituindo os valores nas expressões:
qr � � � �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
179 2 10 0 5 0 02814 358
1000
308
1000
3
4 4
, , ,
��
�
�
�
� � �� � � ��
q W m
q
r
c
18 762
945 6 50 10 0 32 0 43 45946 8 0 67 0 04
, /
, , , , , , 22814
70 018
204 0 02814
5 4056
0 52� ���
�
�
�
� �
�
,
, /
,
, /
q W m
q
q W m
c
s
s
Observação: para cabos novos, e = 0 23, .
52
UNICESUMAR
Na condição com sol e vento, então, encontramos:
I A� � �� �� �18 716 70 018 5 406 10 962 283, , , ,
Nos projetos das LTs, é importante saber a temperatura máxima que esses con-
dutores podem atingir sob a ação da corrente na linha somada à temperatura 
ambiental, uma vez que o valor da flecha nos cabos dependerá dessa temperatura 
e, consequentemente, a distância do condutor ao solo. Vemos, aqui, o problema 
inverso, em que dadas as condições ambientais, se deseja obter a temperatura 
a qual o cabo chegará. Para resolver este processo, métodos iterativos são bem 
aplicados, uma vez que não conseguimos, diretamente, obter os valores.
A composição de uma linha aérea de transmissão dá-se por: elementos ativos 
(condutores) — que realizam, efetivamente, o transporte de energia; — os passivos 
(estruturas em geral e isoladores) — os quais garantem o apoio e o afastamento 
desses cabos; — as estruturas extras, por exemplo, as que compõem o sistema de 
para-raios. Todos esses elementos, para garantir segurança, seguem regras muito 
bem definidas em sua construção, pois trabalhamem tensões muito elevadas.
O dimensionamento de toda e qualquer estrutura deve ser feito a partir dos 
elementos ativos dessas linhas (cabos), considerando as condições mais desfa-
voráveis que esses elementos enfrentarão, logo, a temperatura máxima desses 
condutores deve ser prevista já na fase de projeto. Obviamente, os valores obtidos 
nessa fase devem ser superiores aos que serão, efetivamente, submetidos, porém 
não devem ser superdimensionados, para que os seus custos não sejam muito 
elevados na construção.
A ampacidade, a qual representa a capacidade de corrente em regime perma-
nente, é determinada a fim de que os valores de flecha e recozimento dos cabos 
não sejam violados, logo, esta grandeza varia de acordo com a região e as con-
dições ambientais adversas. Todas as pesquisas vêm ao encontro de resultados 
que não são precisos no âmbito de previsão ambiental, mas que atendem, por 
métodos estatísticos, ao comportamento de cada região.
Na parte superior de uma LT, encontram-se os cabos para-raios destinados à 
proteção. Eles são conectados às torres por meio das ferragens de fixação, estas, 
por sua vez, conduzem os raios por cabo, torre e sistema de aterramento. 
O uso de isoladores de baixa resistência disruptiva migrou, também, para 
as telecomunicações, sem perder a capacidade de proteção. Os seus diâmetros 
encontram-se entre 3/8” e ½”, nos tipos: cabo de aço galvanizado (HS, HSS ou 
SM), aluminoweld, copperweld e CAA de resistência mecânica alta.
53
UNIDADE 2
Condutores 
Para-raios 
Figura 3 - Cabos para-raios em uma LT / Fonte: Moura, Moura e Rocha (2019, p. 90).
Descrição da Imagem: a figura mostra a ilustração de uma torre de metal, no centro, conectada por fios a outros locais, não definidos, 
à direita. Os fios de baixo são chamados de condutores, os fios de cima são chamados de para-raios.
Isoladores e ferragens: a função dos isoladores é suspender os condutores 
das estruturas e do solo, portanto, estão submetidos a algumas solicitações 
mecânicas e elétricas. 
Esforços mecânicos Esforços elétricos
Forças verticais devido ao peso das 
estruturas.
Tensão normal e sobretensões de 
origem industrial.
Forças horizontais axiais ocasionadas pela 
diferença de tração entre vãos. Surtos de sobretensões de manobra.
Forças horizontais transversais pela ação 
do vento nos cabos.
Sobretensões de impulso de origem 
atmosférica.
Tabela 2 - Esforços elétricos e mecânicos nas linhas de transmissão / Fonte: adaptada de Fuchs (2015).
54
UNICESUMAR
Os isoladores são confeccionados em: 
Porcelana vitrificada: devem possuir composição homogênea e compacta para 
que a sua rigidez não seja comprometida. A sua superfície deve ser impermeável, 
por isso, o revestimento em vidro. O seu custo é elevado quando comparado aos de 
vidro temperado.
Vidro temperado: de custo mais barato, sofre tratamento térmico de forma a 
aumentar as suas resistência mecânica e rigidez dielétrica. No Brasil, há preferência 
em sua utilização.
Material sintético composto: composto por fibra de carbono ou de vidro ligada 
por resina tipo epóxi, além disso, é revestido por materiais poliméricos ou borrachas, 
tornando-se mais leves.
São classificados de acordo com sua forma (LABEGALINI et al., 1992): 
• Isoladores de pino: isoladores fixados às estruturas por meio de um pino de 
aço encaixado ao centro.
Vantagens Desvantagens
Alta resistência mecânica. Deve ser usado com fuso.
Boa distância de fuga. Tensão nominal limitada até 36 kV com a configuração original.
Usado em distribuição de alta tensão. Limitação de uso, apenas, em classes de até 75 Kv.
Menor manutenção e construção fácil. Para uso em tensões maiores, ficam 
mais volumosos.Usado vertical ou horizontalmente.
Tabela 3 - Vantagens e desvantagens dos isoladores de pino / Fonte: a autora. 
55
UNIDADE 2
• Isoladores do tipo pi-
lar ou coluna: pouco 
usados no Brasil, são 
empregados em siste-
mas elétricos industriais. 
Consistem em uma úni-
ca peça com uma barra 
de ferro maleável galva-
nizada e um furo no cen-
tro para fixação. Podem 
ser de porcelana, vidro 
temperado ou polimé-
ricos. Têm limitação nas 
intensidades de carga, 
pois trabalham quando 
submetidos à flexão e à 
compressão.
Esmalte vitri�cado 
Argamassa
de cimento 
Pino de ferro fundido 
Figura 4 - Vista, em corte, de um 
isolador de pino
Fonte: adaptada de Luna (2006). 
Descrição da Imagem: a figura 
exibe a ilustração, em corte, de um 
isolador do tipo pino. 
Descrição da Imagem: a figura exibe a ilustração do encaixe de um isolador do tipo 
pilar, em sua estrutura.
Isolador tipo pilar 
Pino autotravante para
isolador tipo pilar 
Suporte para isolador
tipo pilar 
Parafuso de cabeça quadrada
ou parafuso de rosca dupla 
Figura 5 - Isolador do tipo pilar encaixado no topo de poste 
Fonte: adaptada de Luna (2006). 
56
UNICESUMAR
Com o aumento das cadeias de isoladores e o crescimento das classes de tensão, surgiram os 
isoladores do tipo disco, empregados em linhas de extra e ultratensão e que possibilitavam a 
combinação em cadeias, conforme a necessidade da linha. Dois sistemas de engate foram padro-
nizados (concha-bola, garfo-olhal), de forma a atender aos tipos de montagem e às adversidades 
das condições climáticas.
Podemos perceber que a concepção de poliméricos foi incorporada como componente desses isola-
dores, envolvendo as estruturas para proteção e aumento das distâncias elétricas bem como agregando 
muito valor à construção e à manutenção das linhas de transmissão. Esses materiais são leves, facilitam 
a manutenção e a montagem, além de reduzirem as ações de corrosão. As falhas desses componentes 
são de difícil detecção, o que reduz o tempo de vida dos mesmos.
Descrição da Imagem: a figura mostra duas ilustrações os cortes de isoladores de pinos de porcelana. Figura 6 (a) - Isoladores de 
pinos de porcelana monocorpo; Figura 6 (b) - Isoladores de pinos de porcelana multicorpo.
O 98
O 125
150
O 220
O 180
O 140
260
O 330
O 275
Figura 6 (a) - Isoladores de pinos de porcelana monocorpo 25 kV; Figura 6 (b) - Isoladores de pinos de porcelana multicorpo 69 kV 
Fonte: Fuchs (1977, p. 27).
Isoladores de suspensão: confeccionado para substituição dos convencionais de vidro ou porcelana, 
é fabricado a partir de um bastão denominado “alma” com fibra de vidro fixado nas ferragens do iso-
lador e revestido com borracha ou silicone. Muito resistente, mecanicamente, e às variações de clima.
Características físico-geométricas agrupam os isoladores de suspensão em monocorpo ou de disco. 
O monocorpo é constituído de peça única, em porcelana ou vidro. Apresenta isolamento até 220 kV 
e, em caso de tensões mais altas, as suas peças podem ser interligadas (BEZERRA, 2019, on-line).
57
UNIDADE 2
155
450
105
1305
145
250
(A)
(B)
(C)
(D)
250
145
Figura 7 - Isoladores variados / Fonte: Fuchs (1977, p. 28).
Os isoladores são submetidos a cargas mecânicas e a intensos campos elétricos pre-
sentes nas LTs. Para que possam resistir a essas solicitações, os isoladores devem exibir 
algumas características ensaiadas, como: carga de ruptura, resistência ao impacto e 
aos choques térmicos. 
Da mesma forma, as solicitações elétricas comprometem as estruturas dos 
isoladores de duas formas: por perfuração do dielétrico, quando as suas espe-
cificações físicas não suportam o gradiente superficial transversal e rompem a 
rigidez (porcelana 6 a 6,5 kV/mm e vidro temperado 14 kV/mm), consequente-
mente, inutilizando-o; ou por disrupção superficial, causada pela distância de 
escoamento, caracterizada pelas influências do meio ambiente sobre a geometria 
do isolador (LABEGALINI et al., 1992).
Descrição da Imagem: a figura apresenta a ilustração de isolantes variados. À esquerda, um isolador de 
porcelana; acima e à direita, um isolador de suspensão monocorpo; abaixo, isoladores de suspensão. Estes 
últimos estão subdivididos em engates do tipo concha-bola e garfo-olhal.
58
UNICESUMAR
As distâncias elétricas relacionam-secom as condições operacionais, logo, umi-
dade, poluição, descargas a seco e sob chuva devem ser bem definidas na confecção 
desses isoladores, para que garantam o bom desempenho deles. Um exemplo disso 
é a distância das cadeias poliméricas em comparação com os isoladores de disco, o 
que favorece, então, o desempenho dos poliméricos em ambientes poluídos.
De acordo com as normas, alguns parâmetros devem ser indicados nos isoladores:
• Tensões disruptivas a seco e sob chuva.
• Tensão disruptiva sob impulso (onda padrão IEC 1,2 x 50 micro seg.) com 
polaridade positiva e negativa.
• Tensão de perfuração.
• Tensão de corona e radiointerferência. 
A
A A
B
B
A
A
45
45
C
C
C
C
A
C
B
Figura 8 (a) - Distância de arco a seco; Figura 8 (b) - Distância de arco sob chuva; Figura 8 (c) - Distância 
de escoamento / Fonte: Labegalini et al. (1992, p. 49).
Descrição da Imagem: a figura descreve, geometricamente, as distâncias de arco a seco e sob chuva e, tam-
bém, a distância de escoamento.
59
UNIDADE 2
O nível de sal depositado no isolador (Equivalent Salt Deposit Density – ESDD) 
também é considerado na padronização do isolador por regiões.
Níveis Classificação Faixa de ESDD (mg/cm2)
A Atmosfera limpa 0,00 – 0,032
B Contaminação muito leve 0,032 – 0,056
C Contaminação pesada 0,056 – 0,123
D Contaminação muito pesada Maior do que 0,123 
Tabela 4 - Níveis de sal depositado nos isoladores / Fonte: Aquino (2007, p. 2).
O número de isoladores em uma cadeia de suspensão é determinado pela tensão 
nominal e pela incidência de descargas atmosféricas locais, além do grau de prote-
ção desejado contra essas descargas. O primeiro critério usado, hoje, é a relação do 
desenho dos isoladores em relação à distância de escoamento e tensão máxima em 
regime permanente. Este número pode ser determinado usando a equação:
N U d
di
máx e
i
�
�
�3
 [8]
onde: 
Ni: número de isoladores de disco na cadeia; 
Umáx: tensão máxima de operação de linha em regime permanente (kV);
 de: distância de escoamento de acordo com a tabela (cm/kV);
 di: distância de escoamento dos isoladores (cm) (catálogo). 
Sem poluição 2,0 a 3,0
Poluição ligeira 3,2
Poluição intensa 4,5
Poluição muito intensa 6,3 
Tabela 5 - distância de escoamento específica para condições do local / Fonte: a autora. 
A resposta não linear, quanto à maneira de resistir, de um isolador ou uma cadeia de 
isoladores, pode ser vista, com mais exatidão, por meio da análise de seu compor-
tamento quanto à distribuição de potencial. Gradientes mais elevados ocorrem nas 
extremidades, mais próximos aos condutores. 
60
UNICESUMAR
Esses isoladores são associados em cadeias e um de seus circuitos equivalentes representativos é de-
monstrado na Figura 10. 
Descrição da Imagem: a figura 
apresenta um gráfico. Ele mostra 
como ocorre, ao longo do isola-
dor, a distribuição do potencial.
Descrição da Imagem: a 
figura mostra um diagrama 
do circuito equivalente de 
uma cadeia de isoladores, 
com seus elementos ligados 
em série e em paralelo.
Te
ns
ão
 a
o 
so
lo
 %
 d
a 
te
ns
ão
 a
pl
ic
ad
a 
100
80
60
40
20
0 2 4 6 8 10 12
10
98 
7654321
123
4
5 6 7 8 9 10
Figura 9 - Distribuição do potencial 
ao longo de um único isolador
Fonte: Fuchs (1977, p. 32).
U n
U g
C
ck
n
z
2
l
Figura 10 - Circuito equivalente de 
uma cadeira de isoladores 
Fonte: Fuchs (1977, p. 32).
61
UNIDADE 2
Observando uma unidade, pode-se calcular essa distribuição para uma cadeia 
de isoladores, pela seguinte equação:
U
U
senh z
c
C
senh n k
C
senh n z k
C
senh zn
q� � �� �� �
b b
b b b2 {
 [9]
com:
b �
�c k
C
 [10]
onde: 
Un: tensão a que estão submetidas n unidades a contar do lado aterrado (kV); 
Uq: tensão a que estão submetidos os z elementos (kV);
C: capacitância entre campânula e pino de um isolador (F); 
c: capacitância de uma unidade ao solo (F); 
k: capacitância de uma unidade ao condutor (F).
Na prática, admite-se k = 0, logo:
U U
senh n
senh zn q
= =
a
a [11]
com:
a =
c
C
 [12]
Essas expressões representam aproximações, o que permite o simples equacio-
namento e desconsidera correntes de escape, capacitâncias entre condutores e 
ferragens bem como efeito corona. Na prática, esta relação c/C gira em torno de 
0,2. Tal valor pode ser diminuído para 0,10, por meio do aumento dos braços que 
sustentam os isoladores, porém o aumento de peso da estrutura não compensa. 
Para minimizar esses problemas da distribuição não uniforme de potenciais, 
foram empregados anéis que aumentam a capacitância entre os condutores e as 
peças metálicas dos isoladores. Embora não haja equipotencialização, reduzem 
o potencial no isolador inferior, por outro lado, a distância disruptiva é, também, 
reduzida, assim como a sua eficiência. Novas tecnologias, como anéis de guarda, 
substituíram os anteriores, melhorando o desempenho das mesmas.
62
UNICESUMAR
Fuchs (1977) apresenta a distribuição em uma cadeia com z = 8 e c/C = 0,083:
Te
ns
ão
 a
o 
so
lo
 %
 d
a 
te
ns
ão
 a
pl
ic
ad
a 
100
80
60
40
20
0
Número de isoladores na cadeia 
0 1 2 3 4 5 6 7 8
c/c= 0,083
k/c = 0
Figura 11 - Exemplo para cadeia de oito isoladores / Fonte: Fuchs (1977, p. 34).
Descrição da Imagem: a figura mostra um gráfico de tensões para uma cadeia com oito isoladores.
Em geral, a determinação do número de isoladores ao longo de uma cadeia é feita 
para uma classe de tensão específica sobre a previsão dos valores das sobretensões, 
sendo elas internas ou externas. O projeto prevê condições diferenciadas para uma 
mesma classe, de acordo com as suas necessidades.
O suporte e a ligação dos condutores às estruturas são feitos por um conjunto de 
peças: as ferragens e os acessórios. Estes afetam, diretamente, a durabilidade dos cabos 
bem como produzem efeito corona, consequentemente, interferências em rádios e 
TVs. Logo, evitam-se acessórios pontiagudos, angulares e irregulares, os quais podem 
gerar gradientes de potenciais superiores. Os acessórios que têm contato com alu-
mínio devem possuir afinidade eletrolítica com o mesmo, evitando, assim, corrosão 
galvânica (LABEGALINI et al., 1992).
Os isoladores são dispostos em cadeias que dão suporte e transmitem os esforços 
às estruturas. Essas cadeias são:
• Cadeias de suspensão: ficam submetidas à ação do peso dos condutores que 
passam pela estrutura.
• Cadeias de ancoragem: os cabos ficam presos à estrutura que trabalha sob tensão.
63
UNIDADE 2
Ao longo de uma LT, existem emendas em condutores que devem assegurar a con-
tinuidade da transmissão elétrica bem como apresentar resistência à tração a que 
eles estão submetidos. São três os tipos mais usados: do tipo torção — aplicadas em 
cabos de diâmetro pequeno, composta de tubos de alumínio que se encaixam como 
uma luva de superfície; do tipo compressão — no qual, para a sua instalação, há a 
necessidade de um compressor mecânico ou hidráulico que dá aperto às pontas dos 
cabos ali encaixados; do tipo “pré-formados” — constituídas por varetas que são 
encaixadas em três camadas (LABEGALINI et al., 1992).
A ação dos ventos nos cabos ocasiona um processo de fadiga, limitando-os, meca-
nicamente. Alguns dispositivos são capazes de reduzir tais efeitos, evitando a ruptura 
dos condutores junto aos pontos de suspensão e, em seguida, reduzindo as suas flechas. 
Três tipos de proteção contra vibrações foram desenvolvidos: as varetas antivibrantes, 
os amortecedores e as pontes antivibrantes ou festões.
Outro fator importante é a manutenção dos espaços entre os condutores, o que 
mantém constantes a capacitância e impedância dos mesmos. A fim de garantir desses 
efeitos, são instalados espaçadores em trechos de distância regulares ao longo dos 
vãos, mantendo-os paralelos entre si.
As LTs devem ter sinalização de advertência, a fim de garantir a segurança de ma-
nutenção, de acordo com a NBR 7276 (ABNT, 2005). Os cabos são presos e transporta-
dos através de estruturas quesão as torres das linhas de transmissão. As estruturas de 
suporte são os componentes fundamentais à sustentação bem como aos isolamentos 
nas LTs e mantêm os espaçamentos entre os condutores. 
As escolhas dessas estruturas quanto à forma e às dimensões dependem de diversos 
fatores (BEZERRA, 2020, on-line; FUCHS, 1977), tais como:
• Disposição dos condutores.
• Distância entre os condutores.
• Dimensões e formas de isolamento.
• Flecha dos condutores.
• Alturas de segurança.
• Função mecânica a ser desempenhada.
• Formas de resistir às forças atuantes.
• Materiais que compõem a estrutura.
• Número de circuitos a suportar.
A disposição dos condutores, normalmente, é horizontal, vertical ou triangular, entretanto 
outras configurações têm sido aplicadas, de forma a aumentar a potência natural das linhas.
As três ilustrações, a seguir, mostram os tipos de estruturas mais utilizados. As primei-
ras são estruturas, tradicionalmente, utilizadas em 69 kV, triangulares, todas em suspensão.
64
UNICESUMAR
Assimétrica 69 KV
C B
2,53
A
(A) (B)
A
3,
00
C
69 KV
Simétrica
B
3,0
0
Figura 12 (a) - triangular assimétrica; Figura 12 (b) - triangular simétrica / Fonte: Fuchs (1977, p. 40).
A segunda forma de estrutura seria as horizontais de circuito duplo, também, em suspensão.
25
,0
0
3,0 3,0
2,
30
3,
80
3,
80
15
,1
0
42
,7
0
11,0 11,0
A A
8,80 8,80
5,
0
4,
50
10
,0
27
,7
0
9,0 6,0 6,0 9,0
C CB B
(A) (B)
Figura 13 - Exemplos de estruturas horizontais / Fonte: Fuchs (1977, p. 41).
Descrição da Imagem: a figura mostra uma ilustração, à esquerda, de uma estrutura de suspensão do tipo triangular assimétrica, à 
direita, de uma triangular simétrica, ambas com as suas dimensões.
Descrição da Imagem: a figura mostra uma estrutura horizontal de uma LT, com as suas respectivas cotas dimensionais.
65
UNIDADE 2
A terceira estrutura é exemplificada, a seguir, 
na figura 14.:
Em geral, são usadas estruturas em concreto, 
postes de aço ou metálicas com aço galvani-
zado. A escolha depende do tipo de solo, dos 
espaçamentos máximo e mínimo entre fases, 
do distanciamento entre os pares energizados 
e das torres, flechas, quantidade de circuitos, al-
tura de segurança e configuração dos isoladores 
bem como da angulação para proteção contra 
descargas atmosféricas, ou seja, cabo para-raios 
(MOURA; MOURA; ROCHA, 2019). 
A classificação das estruturas pode ser 
feita de acordo com sua função, a forma de 
resistir ou o material usado em sua confecção.
Quanto à forma de resistir, existem três 
solicitações: a axial vertical, a horizontal 
transversal e a horizontal longitudinal. Logo, 
o dimensionamento e a escolha da estrutu-
ra dividem-se em dois grandes grupos que 
apresentam características distintas. São as 
autoportantes e as estaiadas.
Autoportantes (rígidas, flexíveis, mistas 
ou semirrígidas): sustentadas pela própria 
estrutura sobre quatro apoios ao solo. Descrição da Imagem: a figura mostra a ilustração de uma 
LT em estrutura verticalizada, utilizada até 138 kV.
Até 130 KV 
Figura 14 - Estrutura vertical / Fonte: Fuchs (1977, p. 41).
Figura 15 - Estrutura do tipo autopor-
tante . 
Descrição da Imagem: a figura 
mostra a fotografia do sistema de 
sustentação de uma estrutura de 
linhas de transmissão do tipo auto-
portante, feita em quatro apoios de 
estrutura metálica sobre o solo..
66
UNICESUMAR
• Rígidas: resistência a esforços normais, sobrecargas e esforços excepcionais, 
ambos com deformações elásticas quase imperceptíveis.
• Flexíveis: resistência a esforços normais, sobrecargas e esforços excepcionais, 
ambos com deformações elásticas consideráveis.
• Semirrígidas ou mistas: possuem rigidez em uma direção e flexibilidade em 
outra, o que confere a eles assimetria, conforme as solicitações.
Estaiadas (de características flexíveis ou mistas): são sustentadas por cabos presos 
ao solo que absorvem parte dos esforços horizontais.
Estal 
Fixação da torre
pelas estalas 
Silhueta da estrutura estalada – LT 600 KV
 Paulo Afonso/Sobradinho 
Fixação da torre
pelo tubulão Nível do solo 
Estal 
Cadeia de
isoladores 
Conexão para os
cabos condutores Torre em
“V”
Ponto de ancoragem 
ao solo 
Figura 16 - Estrutura do tipo estaiada / Fonte: Fuchs (2015, p. 14). 
Descrição da Imagem: a figura mostra a ilustração do sistema de sustentação de uma estrutura de linhas de 
transmissão do tipo estaiada, feita em quatro cabos tensionados sobre o solo.
67
UNIDADE 2
Um terceiro tipo surgiu por meio das estruturas monomastro, as quais são uma 
evolução das estaiadas, com utilização de menor quantidade de aço.
Quanto à função, são classificadas de forma a atenderem às cargas em determinada 
direção: verticais, horizontais transversais ou horizontais longitudinais.
Estrutura de suspensão: mais simples e econômica, em geral, o seu dimensio-
namento é feito para resistir às cargas verticais e horizontais transversais devido à 
ação do vento, mas, em alguns casos, podem ser feitos ajustes para suportar esforços 
de outra natureza. Os condutores estão grampeados em suspensão.
Estruturas de amarração ou ancoragem: servem de ponto de reforço e abertura, 
seccionam, mecanicamente, as LTs, suportando cargas alinhadas aos condutores. São 
divididas em: 
• Total (de fim de linha): resistem a cargas, unilateralmente.
• Parcial (pontos intermediários das linhas): utilizadas como pontos de tensio-
namento, resistem, unilateralmente, a esforços normais de tração bem como 
aos longitudinais e transversais normais.
Figura 17 - Estrutura de amarração . 
Descrição da Imagem: a figura mostra a fotografia de uma estrutura, em amarração, para suporte de cabos 
condutores.
68
UNICESUMAR
Estrutura de ângulo: onde existem ângulos entre os esforços de solicitação, permitindo que a linha 
possa contornar algum obstáculo geográfico.
Estrutura de derivação: usada no caso da necessidade de derivação em um dos pontos da 
LT, por exemplo, a alimentação de outra subestação que venha a compor a linha, logo, em uma 
configuração linha A-B, esta seria bipartida em linhas A-C e C-B, mantendo proteção, operacio-
nalidade e confiabilidade.
Pulos
(�y taps)
Con�guração provisória 
SE “C”
SE “A” SE “B”
Estrutura de
derivação 
SE “A” SE “B”
SE “C”
Nova con�guração
Estrutura de
derivação 
Estrutura de
derivação 
Figura 18 - Estrutura de derivação / Fonte: Bezerra (2019, on-line). 
Estrutura de transposição ou rotação de fase: funcionam garantindo a simetria e permitem a 
transposição de fases, assim, minimizam os desequilíbrios presentes em linhas de longo trajeto. 
Descrição da Imagem: a figura mostra a ilustração de um esquema de como ocorre a derivação de uma linha. À esquerda, vemos 
a estrutura de derivação com os seus segmentos A, B e C, ao centro. À direita, vemos a nova configuração com o seccionamento em 
duas estruturas de derivação interligadas.
69
UNIDADE 2
4,0m 
4,0m 
9,5m 
9,90m 
8,60m 
1,50m 
Figura 19 - Estrutura de transposição / Fonte: Moura, Moura e Rocha (2019, p. 85). 
Descrição da Imagem: a figura mostra a ilustração de uma estrutura do tipo transposição com as suas cotas dimensionais.
70
UNICESUMAR
A cadeia de transposição pode ser exemplificada conforme a seguir:
Cadeias de
transposição
A
AB
BC
C
Figura 20 - Cadeias de transposição / Fonte: Bezerra (2020, on-line). 
Em relação ao tipo de material empregado nessas estruturas, usualmente, são: madeira, concreto ar-
mado e metais. Também são verificadas estruturas mistas e resinadas.
Descrição da Imagem: a figura mostra uma cadeia de transposição originada pelo uso de estrutura de transposição.
Agora, analisaremos a distribuição de potenciais em isoladores e nas cadeias de isoladores, para en-
tender, um pouco mais, a maneira que essas estruturas têm de resistir.
Vimos que toda estrutura das linhas de transmissão depende de diversos fatores relacionados 
a distância, geografia, clima, entre outros. Logo, a escolha da melhor composição da estrutura 
física e dos seus elementosé responsável, no transporte de energia, pelo desempenho, eficiência 
e segurança. A distribuição das cargas em cada uma das estruturas, de forma a manter operan-
do, da melhor forma possível, as características dessas linhas, depende do projeto concebido.
71
UNIDADE 2
A tensão exibida pelos isoladores em uma cadeia não é linear, quanto mais próximo do condutor, 
maior será a tensão. Considerando as condições apresentadas, a seguir, e presumindo que as capaci-
tâncias em série e em derivação são constantes no isolador, temos as tensões dadas por:
C C= a 0
 com a >1 :
I V C V C
I V C
I I I V C
V I
C
V
V
a
a
1 1 0 1
1
2 1 1
2
2
0
1
1
1 1
� �
�
� � � �
� � �
ωα ω
ω
ω α
ωα α
( )
( )
33
3
0
1 2
4
4
0
1 2 3
5
5
0
1 3 1
1 6 5 1
� � � �
� � � � �
� �
I
C
V
V I
C
V
V I
C
ωα α α
ωα α α α
ωα
( )
( )
VV1 2 3 41
10 15 7 1
( )� � � �
α α α α
Calcularemos a tensão fase-terra a uma cadeia de isoladores para tensão 69 kV, contendo cinco isoladores 
e cuja razão da capacitância unitária para a capacitância à terra é de 5/1.
A tensão será a soma delas:
V V V V V V� � � � � �1 2 3 4 5 69
3
com:
a = =
C
C0
5
calculando em termos de V1:
V V
V V
V V
2 1 1
3 1 2 1
4 1 2 3
1 1
5
1 20
1 3
5
1
5
1 64
1 6
5
5
5
1
5
� � �
� � � �
� � � �
( ) , V
( ) , V
( )) , V
( ) , V
�
� � � � � �
2 41
1 10
5
15
5
7
5
1
5
3 66
1
5 1 2 3 4 1V V
72
UNICESUMAR
somando os potenciais:
V V V V V V� � � � � �1 2 3 4 5 69
3
V1 1 1 1 11 20 1 64 2 41 3 66
69
3
� � � � �, V , V , V , V
9 91 69
3
4 02
4 8
6 56
9 64
14 63
1
1
2
3
4
5
,
,
,
,
,
,
V
V kV
V kV
V kV
V kV
V kV
=
=
=
=
=
=
Explorando o sistema SIN: o sistema SIN faz uma interligação em quase todo sistema 
elétrico brasileiro, o que significa que toda energia produzida é transferida à rede de 
transmissão, percorrendo uma malha que liga todos os estados até chegar aos centros 
consumidores. O SIN agrega todas as regiões, desse modo, possibilita que a energia 
produzida no Sul abasteça a região Nordeste e vice-versa.
Este escoamento garante o abastecimento contínuo em todo território nacional 
bem como possibilita, sem interrupção total de energia, a manutenção e a restaura-
ção de redes. O SIN é formado por quatro subsistemas que fazem o gerenciamento e 
transferência da energia.
A Figura 21, apresentada mais adiante, mostra a realidade do Brasil e, tam-
bém, uma tendência em cada segmento na produção de energia, mas deve-
mos entender que essa produção precisa aumentar, 
pois a demanda é alta, além disso, investimentos 
devem ser feitos no sistema energético, a fim de que 
as tarifas não subam muito. Para saber mais, aces-
se: https://www.projetosinapse.com.br/wp-content/
uploads/2019/08/Projeto-Sinapse-Caderno-4.pdf
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
https://www.projetosinapse.com.br/wp-content/uploads/2019/08/Projeto-Sinapse-Caderno-4.pdf
https://www.projetosinapse.com.br/wp-content/uploads/2019/08/Projeto-Sinapse-Caderno-4.pdf
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/10446
73
UNIDADE 2
HIDRELÉTRICA 
2021
108.627 MV (63,5%)
2025
109.277 MV (59,5%)
TERM. GÁS + 6 ML 
2021
15.079 MV (8,8%)
2025
18.493 MV (10,1%)
EÓLICA 
2021
19.098 MV
(11,2%)
2025
24.007 MV
(13,1%)
TERM. ÓLEO +
DIESEL 
2021
4.273 MV
(2,5%)
2025
4.561 MV
(2,5%)
TERM. CARVÃO 
2021
3.017
(1,8%)
2025
3.017 MV
(1,6%)
BIOMASSA 
2021
14.203 MV (8,3%)
2025
15.172 MV (8,3%)
SOLAR
2021
4.189 MV
(2,4%)
2025
5,453 MV
(3,5%)
NUCLEAR 
2021
1.990 MV
(1,2%)
2025
1.990
(1.1%)
OUTRAS 
2021
640 MV (0,4%)
2025
690 MV (0,4%)
TOTAL 2021171.116 MV 
2025
183.660 MV
Figura 21 - Evolução da capacidade instalada de energia pelo SIN / Fonte: PMO (2021 apud ONS, [2021], on-line). 
Descrição da Imagem: a figura mostra uma projetação comparativa entre os anos 2021 e 2025, em MW, da energia produzida por 
várias fontes energéticas.
74
UNICESUMAR
As questões geográficas mostram-se importantes quando são analisados a densidade populacional, o 
grau de desenvolvimento e investimento e as possibilidades de crescimento para os locais, entretanto, 
também há a necessidade de expansão do sistema SIN.
800 KV CC 20209.204 KM 
2025 
9.204 KM 
750 KV 20201.722 KM 
2025
1.722 KM 
600 KV CC 20209.544 KM 
2025
9.544 KM 
500 KV 202053.214 KM 
2025 
76.220 KM 
440 KV 20206.911 KM 
2025
7.130 KM 
345 KV 20209.551 KM 
2025 
11.131KM 
230 KV 2020 55.454 KM 
2025 
69.103 KM 
TOTAL 145.600 KM 184.054 KM 
Figura 22 - Extensão da rede básica de transmissão / Fonte: Sumário PAR/PEL 2021-2025 (2020 apud ONS, [2021], on-line).
Os projetos de linhas aéreas de alta tensão, no que forem aplicáveis, devem estar em conformidade 
com as normas técnicas da ABNT relacionadas, a seguir: 
NBR 5422 – Projeto de linhas aéreas de transmissão de energia elétrica – Procedimento.
NBR 6535 – Sinalização de linhas aéreas de transmissão com vista à segurança da inspeção aérea – 
Procedimento.
NBR 7430 – Manuseio e lançamento de cabos CAA em linhas de transmissão de energia elétrica – 
Procedimento.
NBR 7095 – Ferragens eletrotécnicas para linhas de transmissão e subestação de alta tensão e extra alta 
tensão – Especificação.
Descrição da Imagem: a figura apresenta a projeção comparativa entre os anos 2020 e 2025, da extensão da rede básica de trans-
missão, por classe de tensão.
75
UNIDADE 2
NBR 7276 – Sinalização de advertência em linha aérea de transmissão de energia elétrica – Procedimento.
NBR 8664 – Sinalização para identificação de linha aérea de transmissão de energia elétrica – Proce-
dimento. 
NBR 9050 – Acessibilidade a edificações, mobiliário, espaços e equipamentos urbanos. 
NBR 5032 – Isoladores para linhas aéreas com tensões acima de 1000 V –Isoladores de porcelana ou 
vidro para sistemas de corrente alternada.
NBR 6118 – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento.
NBR 6547 – Ferragem de linha aérea – Terminologia.
NBR 7271 – Cabos de alumínio para linhas aéreas – Especificação.
NBR 7272 – Condutor elétrico de alumínio – Ruptura e característica dimensional.
NBR 7302 – Condutores elétricos de alumínio – Tensão – Deformação em condutores de alumínio. 
NBR 7303 – Condutores elétricos de alumínio – Fluência em condutores de alumínio. 
NBR 8449 – Dimensionamento de cabos para-raios para linhas aéreas de transmissão de energia elé-
trica – Procedimento. 
NBR 8451 – Postes de concreto armado para redes de distribuição de energia elétrica.
NBR 8453 – Cruzeta de concreto armado e protendido para redes de distribuição de energia elétrica. 
NBR 8842 – Suportes metálicos treliçados para linhas de transmissão – Resistência ao carregamento. 
NBR 14074 – Cabos para-raios com fibras ópticas (OPGW) para linhas aéreas de transmissão – Re-
quisitos e métodos de ensaios. 
NBR15122 – Isoladores para linhas aéreas – Isoladores compostos tipo suspensão e tipo ancoragem, 
para sistemas em corrente alternada com tensões nominais acima de 1000 V – Definições, métodos de 
ensaio e critério de aceitação. 
NBR 15232 – Isolador composto tipo pilar para linhas aéreas de corrente alternada, com tensões acima 
de 1000 V – Definições, métodos de ensaio e critério de aceitação.
Aluno(a), você saberia, agora, listar todos os elementos que compõem uma LT e como essa energia é 
transportada da geração aos centros de carga? Saberia, também, falar sobre as estruturas de condução e 
suporte, os isoladores e dispositivos que garantem qualidade e eficiência?
Todo o escoamento da energia produzida, desde a matriz geradora até os grandes centros, depende da 
estrutura física das linhas de transmissão. Este conjunto de elementos garante a segurança, a qualidade e o 
atendimento da demanda, sem que haja interrupções no fornecimento.
Basicamente, toda a estrutura apoia-se em suporte e aterramento para os cabos condutores que estão 
sujeitos a solicitações de diversos tipos. Em sistemas de interligação de grande porte, a rede trabalha em 
círculos, aumentando a confiabilidade bem como a complexidade do sistema, de acordo com o número de 
ligações.Logo, cada uma das estruturas presentes em LTs exerce uma função específica e, também, de muita 
importância. Quaisquer problemas em um dos componentes podem causar desde distúrbio de energia até 
a interrupção de seu fornecimento.
Compreender como funciona a estrutura física das linhas de transmissão proporciona melhor enten-
dimento sobre perdas energéticas, eficiência e segurança, além de abrir um leque de opções para pesquisa, 
no que diz respeito ao transporte de energia elétrica.
76
Aqui, você deve testar os 
seus conhecimentos sobre 
o que foi exposto nesta 
unidade, assim, serão fixa-
dos, com mais efetividade, 
os tópicos e conceitos mais 
importantes acerca dos 
principais elementos e das 
características físicas das li-
nhas de transmissão. 
Com esta finalidade, ini-
ciei, de forma básica, um 
Mapa Mental, então, a par-
tir dele, gostaria que você 
continuasse a preenchê-lo, 
evidenciando o maior nú-
mero de tópicos que puder 
elencar como importantes. 
Vamos lá?
Com
ponentes das LT’s
Tipos padrão
de cabos
CA
A
CA
Isoladores
Pino
Características
Cadeias de
suspensão
Cadeias de
ancoragem
Estruturas
D
isposição dos
condutores
Classi�cação
das estruturas
Descrição da Imagem: o Mapa Mental mostra as estruturas que fazem parte de uma 
linha de transmissão, que são condutores, isoladores, estruturas e ferragens. O mapa 
também mostra acessórios bem como os seus tipos em cada categorização de elementos.
77
1. Vários tipos de cabos são usados nas LTs e distribuição, sendo que os mais recorrentes 
são os cabos de alumínio. Estes ou são formados por um único fio ou dispostos em 
camadas com mesmo diâmetro em torno de um cabo pivô. Esta disposição segue uma 
regra de confecção para a quantidade de fios, assim, em relação à distribuição dos fios 
em um cabo de três camadas, assinale a alternativa correta:
a) 1, 6 e 12 fios.
b) 1, 6 e 15 fios.
c) 1, 6 e 18 fios.
d) 1, 6 e 24 fios.
e) 1, 6 e 30 fios.
2. Uma cadeia de suspensão deve ser construída com isoladores do tipo disco, com diâ-
metros nominais de 0,254 m para uma linha de transmissão da classe de 500/550 kV, 
operando em ar limpo. Podemos verificar que o número de isoladores para essa cadeia 
será de qual forma? Explique.
3. Os sistemas elétricos são interligados, propiciando uma série de benefícios à trans-
missão de energia. O sistema SIN age no entrelaçamento para suprir a demanda, caso 
algum processo seja interrompido em alguma parte da LT. Com base nestas informa-
ções, assinale V para as afirmações verdadeiras e F para as afirmações falsas: 
 ) ( Em situações emergenciais, promove ajuda ao sistema, caso uma parte da linha seja 
interrompida, suprirá a energia.
 ) ( Com a diversidade de carga de cada região sendo enviada ao sistema, promove a 
redução do pico de carga geral desse sistema.
 ) ( Facilita a exploração de novas matrizes energéticas dentro do espaço geográfico de 
interligação das redes de transmissão.
 ) ( O número elevado de linhas de transmissão acarreta a redução da incidência de 
curtos-circuitos dentro do sistema.
 ) ( Efetua a troca de energia entre regiões, o que aumenta a segurança, o abastecimento 
e a coordenação em manobras operacionais, sem suspender o fornecimento.
A sequência correta para a resposta da questão é:
a) V, V, V, F, F.
b) V, V, V, F, V.
c) F, V, F, V, F.
d) V, F, F, V, F. 
e) V, V, F, F, F.
78
3
Caro(a) aluno(a), nesta unidade, serão apresentadas as teorias da 
transmissão de energia elétrica, todo o modelamento matemático 
via equações e as suas soluções bem como alguns processos para 
descrição, análise e compreensão.
Teoria da Transmissão 
da Energia Elétrica 
Me. Audrey Cristine Esteves
O termo “linhas de transmissão” (LTs) é empregado a todo e qualquer conjunto de elementos destinados 
ao transporte de energia, desconsiderando características como: comprimento dessa linha ou classe 
de tensão sob a qual ela opera. A análise da distribuição de correntes, das diferenças de potenciais e da 
transmissão de energia pode ser feita por vários métodos e modelos matemáticos, porém tais equações 
descrevem os fenômenos de forma idealizada, simplificada, ou seja, fazem a generalização do processo. 
Na prática, necessitamos de ajustes nesses modelos, adequando-os a cada tipo de situação, para que o 
funcionamento seja o mais próximo do requerido. 
Até o presente momento, você pôde notar que as LTs apresentam características bem distintas en-
tre si, nos elementos que a compõem, assim como em construções, princípios e classes. Diante desta 
observação, será que você associaria os seus conhecimentos e, então, analisaria todas as LTs da mesma 
forma? Será que poderia aplicar os mesmos modelos e equacionamentos? O comprimento físico delas 
e a quantidade de energia que transportam podem ser tratados pelos mesmos modelos? Quais são os 
primeiros parâmetros que devem ser analisados?
Para cada LT, as dimensões físicas, a localização geográfica, o clima, os materiais empregados, as classes 
de tensão a que pertencem, entre outros fatores, devem constar em uma análise, seja qualitativa, seja 
quantitativa, logo, as aplicações de modelos matemáticos existentes se tornam inapropriados. Para 
adequá-los às situações, são feitas as denominadas “derivações matemáticas”, as quais se constituem 
em uma modelagem do sistema que combina os parâmetros. Essas derivações devem fornecer o má-
ximo de informações possíveis, tais como: restrições, aproximações e limitações, a fim de descrever 
o melhor comportamento para essa LT. Dada esta importância, a compreensão do comportamento é 
essencial ao desenvolvimento do setor energético.
Um sistema de transmissão eficiente atende à demanda de forma suficiente e eficiente. Os 
cálculos, aqui, apresentados são de grande valia a tal interesse comum, afinal, a energia elétrica, 
hoje, é o pilar de toda economia.
Abordaremos, nesta unidade, as teorias das linhas de transmissão e como se comportam de acordo 
com os parâmetros. Daremos ênfase tanto na análise qualitativa quanto na análise matemática.
Convido você, aluno(a), a fazer uma pesquisa sobre as teorias e os modelos matemáticos-teóricos 
que possam representar as linhas de transmissão, inclusive, os parâmetros usados para os seus cálcu-
80
UNICESUMAR
los e como as suas soluções representam situações específicas dentro da Física. Relembre os modelos 
teóricos do eletromagnetismo e como são aplicados nesta unidade.
Considere, primeiramente, linhas que operam a dois condutores e em Corrente Alternada, para 
que você possa entender comportamento dessas linhas frente às características de operacionalidade. 
Caro(a) aluno(a), ao fazer um levantamento teórico, você deve ter observado que as simplificações 
feitas a partir de modelagem servem para facilitar o raciocínio de como se comportam as LTs. 
As linhas que operam a dois condutores são, amplamente, usadas em níveis de tensão apropriados 
para a distribuição em Corrente Alternada, entretanto a maioria das linhas opera em forma de linhas 
trifásicas, as quais não diferem da teoria que será, aqui, apresentada. 
Busque estabelecer essas conexões ao longo do conteúdo, pois algumas características serão acres-
centadas, então, deverão ser consideradas e tratadas com mais cuidado matemático, afinal, as tensões 
e correntes de frequências serão mais elevadas, assim como surtos e sobretensões. Procure elencar os 
processos e registre os seus resultados no seu Diário de Bordo.
DIÁRIO DE BORDO
81
UNIDADE 3
A análise qualitativa dos fenômenos eletromagnéticos presentes em uma linha de transmissão pode ser 
feita considerando, somente, as LTs que interliguem uma fonte de energia a um elemento consumidor 
da mesma, simplificadamente, podemos definir como um transmissor e um receptor de energia.
S 1
U U1
1’
2
L (Km)
2
U2 ReceptorTransmissor
Figura 1 - Linha bifilar ideal composta por transmissor e receptor / Fonte: Fuchs (1977, p. 54). 
Para entendermos os fenômenos em uma LT, há a necessidade de simplificação.Neste primeiro 
momento, consideraremos uma linha simples, sem perdas, desconsiderando elementos resistivos 
ou condutivos, ou seja, a resistência dos condutores nula e os dielétricos perfeitos entre esses 
condutores. Essa linha, então, pode ser representada pelo diagrama no qual consta uma fonte 
em CC, uma chave, um terminal emissor, indutâncias série e capacitâncias paralelas (presentes 
em cada segmento elementar) e, por último, um receptor. O comprimento da linha medido está 
expresso em km (FUCHS, 1977).
Descrição da Imagem: a figura mostra um esquema de uma linha ideal, contendo, apenas, um transmissor e um receptor, interligados 
por uma linha de transmissão. As tensões nos terminais do transmissor U1 e do receptor U2 e o comprimento L da linha. 
Figura 1 - Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit / Fonte: ipsum sit amet (p. 00). 
82
UNICESUMAR
Emissor 
U
xl xl xl xl xl
U
1
+
xc xc xc xc xc
L (km)
R2
U
2
Receptor
Figura 2 - Representação unifilar de uma linha ideal / Fonte: Bezerra (2020, on-line). 
Considerando que a linha será energizada por um processo de propagação, podemos verificar, nos 
gráficos, como o fenômeno ocorre.
T = tempo para que a tensão no
receptor atinja o valor U
t= t
t=2 t
v
v
U
U
x
I
I
X
X
= L
T
2 x
Figura 3 - Fenômeno de energização das partes da linha no decorrer do tempo / Fonte: Bezerra (2020, on-line). 
Observando os gráficos da Figura 3, em um primeiro instante, após o fechamento da chave, verifica-se 
a energização do primeiro elemento da linha, com o surgimento de tensão no capacitor e a passagem 
de corrente pelo indutor. Após um segundo intervalo de tempo, nota-se que o processo decorre da 
mesma forma, cuja velocidade de propagação (ou celeridade) pode ser expressa por:
Descrição da Imagem: o diagrama representa uma linha de transmissão com um emissor, à esquerda, elementos indutivos XL em série 
e capacitivos Xc, em paralelo, em cada segmento elementar da rede e, ao final, o receptor com sua carga resistiva R2. 
Descrição da Imagem: os gráficos representam a energização dos elementos da linha, de forma gradual, no decorrer do tempo, se-
guindo a velocidade de propagação. Para um intervalo de tempo t, temos a energização até atingir o valor de tensão U. Essa velocidade 
de propagação é de comprimento L por período.
83
UNIDADE 3
v L
T
= [km/s] [1]
onde: 
v: velocidade (km/s); 
L: comprimento da linha (m); 
T: tempo para que a tensão no receptor (U2) venha a ser submetido ao valor de U.
Considerando uma linha de comprimento L, quando um trecho de 1 km da mesma 
estiver energizado, verifica-se que:
t
v1
1
= [s] [2]
onde a carga no trecho é: 
q UC= [C] [3]
a corrente que passa pelo condutor: 
I qv UCv0 = = [A] [4]
logo, a impedância pode ser calculada por: 
Z U
I Cv0 0
1
= = [Ω] [5]
a Força Eletromotriz (FEM) induzida para um elemento de comprimento será dada 
pela taxa de variação da corrente em relação ao tempo por:
FEM xL dI
dt
xL I
t
� �� � ��
�
0 0 [V] [6]
lembrando que:
v x
t
�
�
�
 [7]
podemos escrever a FEM:
FEM I v
x
xL I vL� �
�
� � �0 0 [V] [8]
84
UNICESUMAR
essa FEM deverá ser neutralizada pela tensão da fonte, a fim de que a corrente flua, então:
U I vL= 0 [V] [9]
Z U
I
Lv0
0
= = [ Ω] [10]
igualando as equações 5 e 10, vemos que a impedância é dada em termos da celeri-
dade e de C ou L, que dependem das dimensões físicas e do meio em que a linha se 
encontra, portanto, temos que:
v
LC
=
1
 [km/s] [11]
expressão essa que representa a velocidade com a qual campos elétricos e magnéticos 
se propagam ao longo da linha. 
Tomando as expressões para a capacitância e as indutâncias da Física a uma linha 
com dois condutores, desprezando o fluxo magnético interno do condutor e o solo, 
teremos que:
C D
r
�
�
1
18 106
ln [12]
L D
r
� � �2 10 4 ln [13]
aplicando essas expressões em 11, tem-se:
v
D
r
D
r
�
�
�
�
1
2 10
18 10
4
6
ln
ln
 [14]
Vemos que, para linhas aéreas, esta velocidade v = 3 x 105 km/s é a velocidade da luz 
no vácuo. Na prática, ou seja, em linhas reais, ela é um pouco menor, uma vez que 
não são desprezadas as variáveis, anteriormente, citadas. Em linhas subterrâneas, o 
seu valor é, ainda, mais baixo. 
Conjugando as expressões:
Z Lv L
LC
L
C0
1
= = = [15]
85
UNIDADE 3
substituindo 12 e 13 em 15, obtém-se a impedância natural da linha (também cha-
mada de impedância de surtos da linha):
Z D
r0
60= ln [16]
a corrente de carga da linha é dada por:
I U
Z0 0
= [17]
Essa corrente é independente do seu comprimento, sendo esses circuitos caracteri-
zados por “parâmetros concentrados” (capacitância e indutância são concentradas 
no espaço). A linha de transmissão caracteriza-se por “parâmetros distribuídos”, ou 
seja, os fenômenos estão vinculados ao seu comprimento.
Ao processo de energização associam-se as relações de energia presentes. Os 
campos elétrico e magnético armazenam energia, simultaneamente. 
No elétrico: D
DE U C xe =
2
2
 [18]
no magnético: D
DE I L xm = 0
2
2
 [19]
A fonte fornece a mesma quantidade de energia em intervalos de tempos iguais igual 
a UI0∆t. Igualando as expressões para as energias armazenadas pelos campos elétrico 
e magnético, tem-se:
UI t U C x I L x0
2
0
2
2 2
D
D D
� � [20]
se:
U I Z I L
C
= =0 0 0 [21]
Substituindo em 18, vemos que a energia armazenada pelo campo elétrico é a mesma 
àquela armazenada pelo campo magnético, com o que podemos concluir que cada 
campo exerce uma contribuição da metade da quantidade de energia.
D
D DE I L
C
C x I L x
e �
�
�
��
�
�
�� � �0
2
0
2
2 2
 [22]
86
UNICESUMAR
Se as linhas fossem infinitas, esse processo também o seria, porém, como as LTs 
possuem comprimentos finitos, outros fenômenos terão de ser analisados, fenôme-
nos estes dependentes das condições em sua extremidade receptora. Chegando ao 
terminal receptor, analisaremos três situações quando a linha tem a característica 
do esquema, a seguir.
1
I0 2
U Z2
Linha terminada 
em impedância
Figura 4 - A linha e os seus terminais / Fonte: Bezerra (2020, on-line). 
Se na extremidade, a condição adotada for um dissipador de energia |R2| = |Z0|, a 
relação U I Z I R= =0 0 0 2 , ou, ainda, expressando a corrente I
U
Z
U
R0 0 2
= = .
Notamos que, se não há armazenamento de energia por campos elétrico e mag-
nético, toda energia fornecida é dissipada em R2, portanto:
UI t I R t0 0
2
2D D= [Ws] [23]
eesta linha é chamada de linha de comprimento infinito, pois a corrente se manterá 
constante, independentemente do comprimento dessa LT.
Já para R2 ≠ Z0, teremos duas situações: 
• R2 > Z0: a corrente que passa por R2 será reduzida. Por se tratar de uma linha 
ideal, não há dissipação de energia, logo, o excesso de energia no campo mag-
nético será transferido ao campo elétrico, que provocará o aumento da tensão. 
Descrição da Imagem: a figura mostra um esquema com uma linha e os seus terminais: 1. Emissor; 2. Receptor; 
z. Impedância. O receptor é representado pela impedância. 
87
UNIDADE 3
I0
Corrente
U
Tensão
Figura 5 - Perfil de tensão e corrente para Z2 > Zo / Fonte: Bezerra (2020, on-line).
• R2 < Z0: ocorre o inverso. A corrente será aumentada, haverá déficit de energia no campo magnético 
o qual será cedido pelo campo elétrico, ocasionando uma redução de tensão junto ao receptor.
Tensão
U I0
Corrente
Figura 6 - Perfil de tensão e corrente para Z2 < Zo / Fonte: Bezerra (2020, on-line).
Descrição da Imagem: a figura representa, por meio de uma ilustração, o comportamento de tensão e a corrente para as impedâncias 
em que Z2 > Zo.
Descrição da Imagem: a figura representa, por meio de uma ilustração, o comportamento de tensão e corrente para as impedâncias 
em que Z2 < Zo.
Descrição da Imagem: a figura mostra, por meio de umailustração, a tensão na fonte com terminal receptor aberto.
Segundo Fuchs (1977), existem dois casos que merecem atenção em nossa análise, por se tratarem 
de situações particulares. O primeiro ocorre quando consideramos R2 = ∞, a linha que possui com-
primento finito está aberta junto ao receptor. Neste caso, a corrente será, progressivamente, reduzida 
a zero, a partir do receptor até o transmissor e, consequentemente, o campo elétrico deverá fazer o 
armazenamento de toda a energia proveniente da linha e do campo magnético.
Figura 7 - Ilustração do primeiro caso: terminal receptor aberto / Fonte: Bezerra (2020, on-line).
U U2
Assim, a tensão terminal é dada por:
1
2 2
2U C xD [24]
a energia já presente na linha é: 
88
UNICESUMAR
1
2
1
2
2 2 2U C x U C x U C xD D D� � [25]
Com essa energia somada à enviada pela fonte em mais um intervalo de tempo, a energia armazenada 
no campo elétrico será:
2 2U C xD [26]
As equações 24 e 26 representam o mesmo fenômeno de armazenamento de energia, portanto, po-
demos verificar que:
1
2
22
2 2U C x U C xD D= [27]
tendo como resultado:
U U2
2 24= [28]
Para esta situação de linha ideal, conclui-se que a tensão no receptor cresce o dobro do valor da tensão 
aplicada, propagando-se do receptor ao transmissor.
U U2 2= [V] [29]
No segundo caso, consideramos R2 = 0, onde a linha está em curto-circuito. Aqui, a tensão só poderá 
anular-se quando propagando do receptor ao transmissor, o que ocasiona aumento da corrente junto 
ao receptor. De forma análoga ao primeiro caso, porém, agora, com a corrente em contrapartida à 
tensão, verifica-se que o valor obtido para a corrente será de 2I0.
Neste momento, introduziremos um conceito de ondas viajantes, cuja aplicação vem da hidráulica 
e pôde ser adaptado na explicação dos processos de energização para uma linha de transmissão (BE-
ZERRA, 2020, on-line).
Seguindo esse conceito, temos que, ao ocorrer a energização de uma LT, duas ondas propagam-se, 
simultaneamente, do transmissor, uma de tensão, outra de corrente, ambas com velocidade constante 
e, ao chegarem ao receptor, recebem o nome de “ondas incidentes”. Estas podem originar as chamadas 
“ondas refletidas” (dependendo da forma de terminação da linha) as quais percorrem o caminho in-
verso. Pelo fato de que, em ambos os casos, essas ondas são polarizadas, tanto o valor da corrente como 
da tensão serão dados pela soma algébrica das duas ondas (incidentes mais refletidos). Lembrando 
que o sinal deverá ser arbitrado:
I I Ii r� � e U U Ui r� � [30]
onde os índices i e r são para incidente e refletida.
89
UNIDADE 3
Para as condições das terminações demonstradas, anteriormente, às relações de R2 e Z0, haverá sobreposição 
das ondas refletidas em relação às ondas incidentes, com aumento ou diminuição de tensão ou corrente.
De forma resumida, temos:
R2 > Z0 As tensões incidentes e refletidas têm mesmo sentido, logo, a tensão resultante aumenta. 
A corrente incidente é contrária à corrente refletida, resultando em corrente menor.
R2 = Z0 Não há alteração nos valores de tensões e correntes.
R2 < Z0 As correntes incidentes e refletidas possuem mesmo sentido, logo, a corrente total aumen-
ta. As tensões refletidas e incidentes têm sentidos contrários, resultando em tensão menor.
U
U
U
Ur
Ur
Ud
Ud
Ud
U2=Ud+(-Ur)
U2=Ud
U2=Ud+Ur
U2
Id
Id
Id
I2
I2=Id
I2=Id+Ir
Ir
Ir
Re�etida
Re�etida
Re�etida
Re�etida
I0
I0
I0
V
V
V
V
I2=Id+(-Ir)
Condição Tensão Corrente
Z2>Z0
Z2>Z0
Z2>Z0
Figura 8 - Análise das terminações a partir do conceito de ondas viajantes / Fonte: Bezerra (2020, on-line).
As relações dos valores de tensão e corrente refletidas, a partir das incidentes e das impedâncias, de-
terminam os chamados coeficientes de reflexão.
Partindo do princípio que temos as mesmas propriedades para as ondas incidentes e refletidas:
U
I
U
I
L
C
Zi
i
r
r
= = = 0 [31]
R2 ≠ Z0, entretanto, em algum ponto dessa linha:
U
I
U U
I I
Zr i
r i
�
�
�
� 0 [32]
tendo os valores da resistência terminal e da impedância natural, é possível calcular, a partir das ondas 
incidentes, os valores das ondas refletidas. Tomando Z2 como impedância terminal da linha, podemos ver:
Descrição da Imagem: a figura mostra o comportamento das terminações, a partir das ondas viajantes, para os três casos de impe-
dâncias nas linhas de transmissão. No primeiro caso, na primeira linha, da esquerda para a direita, tanto a tensão quanto a corrente 
são resultado da soma das ondas diretas e refletidas. No segundo caso, na segunda linha, da esquerda para a direita, a tensão e a 
corrente igualam-se à da onda direta. No terceiro caso, na terceira linha, da esquerda para a direita, a tensão e a corrente são dadas 
pela diferença entre a direta e a refletida.
90
UNICESUMAR
U
I
Z U U
I I
r i
r i
2
2
2� �
�
�
 [33]
podemos, então, determinar:
I U
Zr
r=
0
 e I
U
Zi
i� �
0
 [34]
escrevendo as equações para tensão e corrente das ondas refletidas, em função das ondas incidentes:
U Z Z
Z Z
Ur i�
�
�
�
�
�
�
�
�2 0
2 0
 e I
Z Z
Z Z
Ir i�
�
�
�
�
�
�
�
�0 2
2 0
 [35]
Chamamos essa relação entre as impedâncias de coeficiente de reflexão, cujo intervalo de variação 
encontra-se de -1 a 1. Por meio desses coeficientes, é possível fazer uma análise detalhada do compor-
tamento da tensão em pontos específicos da linha (FUCHS, 1977).
k Z Z
Z Zr U( )
�
�
�
2 0
2 0
 e k
Z Z
Z Zr I( )
�
�
�
0 2
2 0
 [36]
De acordo com Bezerra (2020, on-line), um detalhamento mais visível pode ser feito usando o dia-
grama de treliças, onde se identifica k1 para transmissor e k2 para receptor, ao longo da linha. Então, 
verificaremos o comportamento do diagrama e da tabela de análise.
0T
1T
2T
3T
4T
5T
6T
0T
1T
2T
3T
4T
5T
6T
Tempo
Espaço
U
Z1
L
Z2Terminal
receptor
Terminal
emissor
U
K2U
K1K2U
Figura 9 - Construção do diagrama de treliças / Fonte: Bezerra (2020, on-line).
Descrição da Imagem: a figura mostra, por meio de uma ilustração, como é feita a construção do diagrama que representa a relação 
entre as constantes acerca dos tempos. 
91
UNIDADE 3
A Tabela 1 apresenta todos os valores das tensões nos terminais. Lembrando que ocorre o aumento 
de tensão no terminal pela soma das ondas refletida e incidente.
k k Z Z
Z Zru1
1 0
1 0
1
� �
�
�
k k Z Z
Z Zru2
2 0
2 0
2
� �
�
�
Tensão no terminal emissor Tensão no terminal emissor
0 2� �t T U U1 = 0 � �t T U2 0=
2 4T t T� � U U k k k U1 2 1 2� � �� � T t T� � 3 U k U2 20 1� � �( )
4 6T t T� � U U k k k U k k k k U1 2 1 2 1 22 21 22� � �� � � �� � 3 5T t T� � U k U k k k k U2 2 1 2 1 220 1� � � � �( ) ( )
6 8T t T� � U U k k k k Uanterior1 1
2
1
3
2
3
1
3
2� � �� � 5 7T t T� � U U k k k k Uanterior2 2 21 22 21 32� � �( )
Tabela 1 - Aferição das tensões nos dois terminais / Fonte: Bezerra (2020, on-line).
Vamos entender como funciona a aferição das tensões com valores numéricos, em condições 
operacionais da linha?
Aqui, verificaremos como acontece essa aferição, numericamente, das tensões. Então, diante das con-
dições com fonte ideal e terminal receptor aberto, teremos que:
U
Z
Z
�
�
� �
1
01
2
k Z
Z
k Z Z
Z ZZ
1
0
0
2
2 0
2 0
0
0
1
1
2
�
�
�
� �
�
�
�
�
��
lim
92
UNICESUMAR
k k Z Z
Z Zru1
1 0
1 0
1
� �
�
�
k k Z Z
Z Zru2
2 0
2 0
2
� �
�
�
Tensão no terminal emissor Tensão no terminal emissor
0 2� �t T U1 1= 0 � �t T U2 0=
2 4T t T� � U1 21 1 1 1 1� � �� � � T t T� � 3 U2 0 1 1 1 2� � � �( )
4 6T t T� � U1 1 1 1 1 1 1 1 1� � �� � � � �� � � 3 5T t T� � U2 0 1 1 1 1 1 1 0� � � � � � �( ) ( )
6 8T t T� � U1 1 1 1 1 1� � �� � � 5 7T t T� � U2 0 1 1 1 2� � � �( )
Tabela 2 - Exemplo numérico da aferição das tensões / Fonte: Bezerra (2020, on-line).
Em se tratando de uma alimentação por fonte ideal, o gráfico referente ao emissor apresenta o resultado 
esperado, porém o do receptor apresenta um sinal alternado, o que demonstra umaincorporação de 
sobretensão a esse terminal.
1 2 3 4 5 6 7 t (T)
U1
2
1
1 2 3 4 5 6 7 t (T)
U2
2
1
Tensão no terminal emissor Tensão no terminal receptor
0 0
Figura 10 - Resultados obtidos pela aplicação do diagrama de treliças / Fonte: Bezerra (2020, on-line).
Em linhas reais, os valores das tensões e correntes são reduzidos devido à energia dissipada nos con-
dutores, processo que acelera a sua entrada em regime permanente. 
Essas análises são empregadas no estudo de surtos e sobretensões nos sistemas elétricos e o emprego 
da fonte de tensão constante facilita o desenvolvimento do raciocínio empregado. Já em situações com 
fontes de tensão variáveis, os resultados encontrados serão diferentes.
Descrição da Imagem: a figura demonstra, à esquerda, os gráficos para as tensões no terminal emissor, à direita, os gráficos para as 
tensões no terminal receptor, de acordo com o diagrama de treliças.
93
UNIDADE 3
Após esta análise qualitativa, acrescentaremos os elementos resistivos e condutivos 
(série e paralelo), logo, a representação desse circuito será:
x
xx
x xr x,t)
x,t)
i(x,t)
u(x,t) g c
l i(x+
u(x+
Figura 11 - Circuito representativo de um trecho elementar (delta x) de uma linha de transmissão real
Fonte: Bezerra (2020, on-line).
Aplicando a Lei de Kirchhoff, teremos as equações diferenciais para as linhas de 
transmissão:
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
u
x
x x r i x l i
t
i
x
x x g u x c u
t
D D D
D D D
( ) ( )
( ) ( )
 
 
 [37]
simplificando, temos:
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
u
x
ri l i
t
i
x
gu c u
t
 [38]
onde o sinal negativo representa uma queda de tensão e uma fuga de corrente. 
Diferenciando essas equações com relação ao x e ao t, em seguida, rearranjando, te-
remos as chamadas equações gerais das linhas de transmissão (equações das ondas):
Descrição da Imagem: a figura representa um circuito completo de uma linha de transmissão real, com os 
elementos resistivos (R), indutivos (L), condutivos (G) e capacitivos (C). O trecho em questão refere-se ao caminho 
da tensão entre terminal emissor e receptor, ao longo do comprimento da linha.
94
UNICESUMAR
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
2
2
2
2
2
2
2
u
x
rgu rc u
t
lc u
t
i
x
rgi rc i
t
lc
( lg)
( lg)
ii
t� 2
 [39]
As soluções dessas equações, em regime permanente, são obtidas no domínio da 
frequência:
u U sen t U
i I sen t I
x
FASOR
x
x
FASOR
x
� � ����
� �� �� ����
ω
ω φ


passando, então, para o domínio da frequência, elas são escritas:
�
�
� � � �
2
2
2U
x
rgU rc l j U lc j Ux x x x

  
( g) ( )w w [40]
�
�
� � � �
2
2
2I
x
rg I rc l j I lc j Ix x x x

  
( g) ( )w w [41]
fazendo: z r j l

� � w e y g j c

� � w e substituindo nas equações anteriores:
�
�
�
�
�
�
2
2
2
2
U
x
z yU
I
x
z y I
x
x
x
x

  

  
 [42]
Essas equações diferenciais no domínio da frequência possuem soluções do tipo:
U A e A e
I A e A e
x
x x
x
x x
  
  
� �
� �
1 2
3 4
1 2
1 2
l l
l l
 [43]
onde l2 = z y
 
, abrindo as duas soluções, são: l � � z y
 
, e as constantes complexas 
são obtidas pelas condições de contorno, para x = 0, no lado receptor da linha:
95
UNIDADE 3
U U
I I
0 2
0 2
 
 
=
=
 [44]
As tensões e correntes que se deslocam ao longo da linha estão correlacionadas entre si, 
levando ao conceito de impedância característica da linha zc

. Um caso particular é a re-
presentação da impedância natural devido ao desprezo dos elementos resistivos e indutivos.
I U
z
x
x
c



= [45]
Com: z
z
y
r j l
g j c
c



� �
�
�
w
w
 [46]
De forma geral, temos a representação dos parâmetros resistivos e condutivos (r e 
g) e dos indutivos e capacitivos (L e C) de uma linha de transmissão por unidade de 
comprimento. A representação das impedâncias e admitâncias está na figura, a seguir:
i(x,t)
i(x+ x,t)
u(x+ x,t)
x xr
x
x
cxg
l
yu(x,t)
Z
Figura 12 - Identificação das impedâncias e admitâncias por unidade de comprimento
Fonte: Bezerra (2020, on-line).
Descrição da Imagem: a figura representa o mesmo circuito de uma LT real, agrupando indutância e resis-
tência como elementos do circuito em série e capacitância e admitância como circuito paralelo. 
96
UNICESUMAR
Arranjando os parâmetros das equações, conforme, anteriormente, descritos, obtemos:
U A e A e V
I
z y
A e A e
x
x z y x z y
x
x z y x z y
  

 
 
   
   
� � �
� �
�
�
1 2
1 2
1
[ ]
/
��
�
�
�
�
�
�
�
� [ ]A
 [47]
nas condições de contorno:
U A A
I
z y
A A
2 1 2
2 1 2
1
  

 
 
� �
� �
�
�
�
�
�
�
/
 [48]
resolvendo o sistema:
A
U I z y
A
U I z y

   

   
1
2 2
2
2 2
2
2
�
�
�
�
/
/
 [49]
Substituindo 49 em 47, teremos as equações gerais para as linhas de transmissão, as 
quais nos permitem obter, para qualquer ponto ao longo da LT, a tensão e a corrente:
U
U I z y
e
U I z y
e
I
U I z
x
x z y x z y
x

       

  
   
�
�
�
�
�
�
�2 2 2 2
2 2
2 2
/ /
/ yy
z y
e
U I z y
z y
ex z y x z y

 
   
 
   
2 2
2 2
/
/
/
�
� �
 [50]
97
UNIDADE 3
Emisor
Ponto “x”
Receptor
L (km)
U U
1
g c g c g c g c g c U
2
Z
2
r l r l r l r l r l
U
x
I
x
Figura 13 - Circuito caracterizando os pontos ao longo de x em uma LT / Fonte: Bezerra (2020, on-line). 
Descrição da Imagem: a figura apresenta um trecho onde, em quaisquer pontos ao longo dessa LT, pode-se obter tensão e corrente, 
por meio do seccionamento do circuito com os parâmetros indutância, resistência, capacitância e admitância.
Tanto a tensão quanto a corrente estão na forma fasorial:
módulo Argumento
ou seja:
U U
I I
x x x
x x x
 
 
=
=
θ
ϕ
e precisam de conversão para o domínio do tempo, logo:
U U u U t
I I
x x x
implica
x x x
x x x
imp
i i
� ��������
i
i i
� � ���� � �� �
�
θ ω θ
ϕ
cos
llica
x x xi I t� ��������
i
� ���� � �� �cos ω ϕ
Uma variável será definida como constante de propagação: 
γ ω ω α β
  
� � �� � �� � � � �z y r j l g j c j [51]
substituindo na exponencial e, já na equação geral, teremos:
98
UNICESUMAR
U U I Z e U I Z e
I U I Z
Z
e
x
c x c x
x
c
c
x

     

  

 

�
�
�
�
�
�
�2 2 2 2
2 2
2 2
2
g g
g ��
� �U I Z
Z
ec
c
x2 2
2
  


g
 [52]
A exponencial pode ser escrita e e ex x j x� � �� �γ α β

, onde α é dita constante de atenuação e β, cons-
tante de fase. 
Analisando as equações 52 apresentadas, é possível observar, a partir dos sinais, positivo e negativo, 
quais são as incidentes e as refletidas, também expressam as soluções para as equações de linha em regime 
permanente. A presença de elementos condutivos e resistivos não impede a permanência dessas ondas nas 
linhas, a sua alimentação é feita, de forma constante, por uma fonte senoidal (BEZERRA, 2020, on-line). 
Analisaremos, agora, uma linha que opera em vazio ou carga leve, então, a equação da tensão as-
sume a forma de:
U U e U e U e e U xx x x x x

  
 
   
� � � � �
�
�
�
�
�
�
� �2 2 2
22 2 2
g g g g gcosh
 [53]
O comprimento de onda dessa linha de transmissão é apresentado na figura, a seguir.
x
Para o transmissor
l
4
l
4
l
4
l
4
U
10
U
20
Figura 14 - Gráfico para o comprimento de onda de uma linha de transmissão / Fonte: adaptada de Fuchs (1977).
Descrição da Imagem: a figura mostra um gráfico que descreve o comportamento da tensão em função do comprimento de onda 
de uma LT para o transmissor. 
99
UNIDADE 3
Da equação fundamental da ondulatória, temos que:
l =
v
f
 [54]
onde: 
Comprimento de onda λ (m), frequência f (Hz) e velocidade de propagação v (m/s).
Substituindo pela velocidade de propagação da equação 11, v
LC
=
1
, chegamos em:
l =
1
f LC
 [55]
Concluímos, então, que o comprimento de onda de uma linhade transmissão por 
unidade de comprimento depende, exclusivamente, de capacitância, indutância e 
frequência.
Aproximando essa velocidade de propagação da velocidade da luz, temos: em 
sistemas que operam em frequência de 50 ou 60 Hz, os seus comprimentos de onda 
chegariam em 6000 e 5000 km. Vale ressaltar que os parâmetros são elétricos, logo, se 
uma linha possuir qualquer extensão física, por exemplo, 3 km, o seu comprimento 
de onda depende, apenas, das variáveis elétricas apresentadas.
Podemos observar, a partir do gráfico, que seria ruim o comportamento operacio-
nal de uma linha com comprimento físico próximo a um quarto do seu comprimento 
de onda, devido à tensão ser muito superior no lado do receptor, quando em carga 
leve ou em vazio. Já com comprimento físico equivalente ou próximo à metade do 
comprimento de onda, a sua operacionalidade seria excelente, nas mesmas condições, 
pois exibiriam tensões iguais nos lados do emissor e do receptor, enquanto que, ao 
longo da linha, essas tensões seriam bem inferiores. Isso acarretaria a diminuição dos 
efeitos relacionados a perdas por efeito corona (BEZERRA, 2020, on-line). 
A operação de uma linha, em sua potência característica, significa que a carga 
alimentada apresenta igual valor à impedância natural da linha Z Zc
 
2 = , logo a 
equação pode ser escrita:
I
U
Z



2
2
2
= [56]
fazendo a substituição da equação 56, nas equações de linha 52, temos:
100
UNICESUMAR
U U e V
I I e A
x
x
x
x
 
 


=
=
2
2
g
g
[ ]
[ ]
 [57]
Observa-se que os segundos termos de cada uma das equações desapareceram, eles são referentes às 
ondas refletidas de tensão e corrente.
Efetuando-se a divisão da equação da tensão pela corrente, teremos que:
U
I
U
I
Z e Z ex
x
c
j j




= = =2
2
2
δ φ [58]
A equação 58 mostra que, para uma linha terminada em impedância igual à impedância característica, 
o fator de potência é constante e a defasagem entre tensão e corrente é igual δ=Φ.
O comportamento dessa linha como um circuito, puramente, resistivo não depende de energia 
reativa externa para suprir os seus campos elétricos e magnéticos, logo, as energias reativas necessárias 
provêm desses campos, alternadamente, e não da fonte. Essa energia absorvida supre as perdas por 
efeito Joule e corona. A operacionalidade dessa linha é ótima, minimizando as perdas.
Emisor
Ponto “x”
Receptor
L (km)
U U
1
g c g c g c g c g c U
2
Z
2
r l r l r l r l r l
U
x
I
x
Figura 15 - Representação da linha quando operando em sua potência natural (permuta de energia reativa entre os campos)
Fonte: Bezerra (2020, on-line). 
A potência fornecida no terminal receptor, nesta condição, é:
S P jQ U I
 
2 2 2 2 2� � �
* [59]
com:
Z Z ec
j

2 = d [60]
Descrição da Imagem: a figura mostra uma representação de uma linha que opera em sua potência natural, o arranjo de seus ele-
mentos em série e paralelo dá a configuração bem como mostra a troca de energia reativa entre os campos. 
101
UNIDADE 3
I U
Z
U e
Z e
I e
c
j
c
j
j



2
2 2
0
2� � �
�
d
d [61]
combinando, temos que:
S U I e j

2 2 2=
d [62]
P U I e U
Z
ej
c
j
2 2 2
2
2� �
�
�
��
�
�
��Re( ) Re
d d [63]
P P U
Zc c
2
2
2= = cosd [64]
onde P é a potência característica.
Considerando cosd ≅1 e Zc=Z0, temos que:
P P U
Z
Wc
c
= =0
2
2
[ ] [65]
em um sistema trifásico:
P U I U I kW2 2 2 2 23 3D D= = [ ] [66]
se a corrente é:
I U
Z
U
Z2
2
0
2
03
= = D [67]
logo, a potência pode ser expressa por:
P
U
Z
MW2
2
2
0
D
D�
� �
[ ] [68]
A equação 68 permite a identificação da classe de tensão desejável para a LT. Como 
ela expressa a potência natural da linha, demonstra, também, que ela será igual à 
potência da carga alimentada. Esta condição é expressa na tabela, a seguir, em pa-
drões estruturais básicos diferentes e em várias configurações dos condutores por 
fase (BEZERRA, 2020, on-line).
Os valores não constantes representam condições desfavoráveis à operacionalidade 
da linha, com perdas significativas por efeito corona, em classes acima de 500 kV.
A Tabela 3 apresenta critério de escolha da classe de tensão de uma linha pela sua 
potência natural.
102
UNICESUMAR
Config. Potência natural (MW)
33 kV 88 kV 88 kV 138 kV 220 kV 345 kV 500 kV 750 kV
2,7 10,80 19,40 47,60 120 300
24,20 59,50 150 370 780
170 425 890 1750
200 500 1040 2000
Observação: U P Z kV2 0 0D = [ ]
Tabela 3 - Critério para escolha da classe de tensão de uma linha pela potência natural / Fonte: adaptada de Fuchs (1977).
A conceituação para linha de potência característica elevada, a qual enfoca a necessidade de minimi-
zar a relação indutância/capacitância por unidade de comprimento, pode ser atingida otimizando a 
geometria dos feixes condutores bem como a escolha do padrão estrutural da linha. De acordo com 
Bezerra (2020, on-line), além das questões econômicas envolvidas nessas condições, outras restrições 
devem ser enquadradas, tais como: distâncias condutor-solo; corona crítico-visual; gradiente eletros-
tático ao nível do solo; esforços mecânicos e efeitos eletromagnéticos.
Você seria capaz de aplicar estes conceitos? Vamos trabalhar algumas LTs com características 
predefinidas?
Neste primeiro exemplo, entenderemos como proceder no raciocínio, em que temos uma linha de 
transmissão bifiliar aérea, alimentada por uma fonte de tensão constante de 800 V. Os valores para a 
indutância dos condutores são 1,358x10-3 H/km e os da capacitância são 8,488x10-9 F/km. Conside-
rando uma linha ideal (sem perda) e a sua extensão em 100 km, determine:
a) A impedância natural da linha.
b) A energia dos campos elétrico e magnético por km de linha.
c) A velocidade com que se propaga.
d) Para o intervalo de t = 3L/v, a tensão no receptor nas condições de Z2 100Ω, 400Ω e 1600Ω.
103
UNIDADE 3
a) Z
L
C0
60 001358
0 008488
10 400� � � �,
,
W
b) Calculando a corrente I
U
Z
A0
0
800
400
2= = = 
campo elétrico:
E U C Wse � �
� � � �
�
�2 2 6
2
800 0 008488 10
2
0 002716
,
,
campo magnético:
E I L Wsm � �
�
�0
2 2
2
2 0 001358
2
0 002716, ,
c) A velocidade:
v
LC
km s� �
� �
�
�
1 1
0 001358 0 008488 10
294542
6
, ,
/
Obs.: lembrando que o fluxo magnético interno dos condutores foi desprezado.
d) O intervalo de tempo foi considerado para que houvesse uma segunda reflexão junto ao ter-
minal do receptor.
Os coeficientes de reflexão para as tensões no receptor, em cada uma das situações, são:
k Z Z
Z Z
k
r U
r U
( )
( )
2
2 0
2 0
2
100 400
100 400
3
5
400 400
400 400
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
� 00
1600 400
1600 400
3
52
kr U( ) �
�
�
�
para a fonte ideal, o coeficiente de reflexão no transmissor será kr U( )1 1� � .
A onda parte do transmissor chegando ao receptor em t = L/v, onde ocorre a primeira reflexão, 
logo, a tensão U’2 é a soma das tensões incidente e refletida. 
Ao expressarmos esses valores de tensão para os casos 100Ω e 1600Ω:
U V
U V
'
'
2
2
800 1 3
5
320
800 1 3
5
1280
� ��
��
�
��
�
� ��
��
�
��
�
repetindo esse processo até o intervalo de tempo t = 3L/v, teremos uma segunda reflexão no receptor, 
logo, a U’’2 será, para o presente caso com kr U( )1 1� � :
104
UNICESUMAR
U U kr U" ( )( )2 2
2
1� � � �
substituindo para cada uma das impedâncias Z2:
U V"2
2
800 1 3
5
512� � ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
U V"2 800= sem reflexão
U V"2 512=
Aqui, resolveremos o segundo exemplo de uma LT unipolar cujas extremidades 
foram desligadas, simultaneamente, onde a carga permaneceu distribuída ao longo 
da mesma. Considerando o comprimento dessa linha em 100 km de extensão, o po-
tencial 175,72 kV, L= 0,0007496 H, C = 0,0153303 µF. Qual será a variação de tensão 
e corrente nas extremidades, se uma delas for curto-circuitada?
Primeiramente, calcularemos a impedância da linha:
Z L
C0 6
0 0007496
0 0153303 10
221 12� �
�
��
,
,
, W
Apenas a impedância Z0 limita a corrente que escoa para o chão, logo,quando ocorre 
o curto-circuito, essa corrente começa a escoar:
I U
Z
A1
0
3175 70 10
221 20
794 6� � � �,
,
, [ ]
Os valores das tensões junto ao ponto curto-circuitado seguem a equação da con-
tinuidade U U1 � � �U Ui r , temos que U1 e Ui são nulas e U= −Ur. Esta reflexão 
ocorre com velocidade:
v
LC
km s� �
� �
�
�
1 1
0 007496 0 0153303 10
294991 76
6
, ,
, [ / ]
A onda de tensão é seguida pela onda de corrente cujo valor é igual ao que escoa para 
o solo. Estas duas ondas, ao chegarem à extremidade aberta com t = 339,993 µs, são 
refletidas com coeficientes de 1 para a tensão e -1 para a corrente.
U U [ ]d i rU U V� � � � � � � �175720 175720 175720 175720
105
UNIDADE 3
I I I I Ad i r� � � � � � �0 794 6 794 6 0, , [ ]
Retornando à extremidade curto-circuitada U1=0 V e I1=−794,6 A, onde o pro-
cesso se repete, uma vez que não há dissipação de energia, sendo o transitório 
uma troca de energia entre os campos presentes (elétrico e magnético). Em 
linhas reais, esses valores decrescem, exponencialmente, pois existem perdas 
por efeito Joule e dispersão.
Uma consideração muito importante: na prática, este fenômeno nos alerta 
para o processo de manutenção dessas linhas, uma vez que cargas ficam retidas 
ao longo delas e com valor, potencialmente, perigoso. A importância do ater-
ramento desses condutores está em acelerar a dissipação dessa energia, além 
disso, a espera de um intervalo de tempo que seja seguro ao início da manu-
tenção. Outro procedimento adotado é o aterramento junto ao ponto no qual 
será realizado o trabalho na linha.
A complexidade dos sistemas elétricos de potência vem sendo palco de es-
tudos para o desenvolvimento de técnicas que possam descrever, cada vez 
mais, o comportamento frente aos chamados transitórios eletromagnéticos. 
Tais estudos visam, em geral, a classificar, detectar e localizar os distúrbios 
em LTs, melhorando o sistema como um todo e, assim, diminuir custos ope-
racionais, reduzir gastos e aumentar a confiabilidade do sistema.
Metodologias vêm sendo desenvolvidas com base na teoria das ondas via-
jantes em conjunto com a transformada wavelet com sobreposição máxima, 
realizando a comparação por meio de técnicas com registros oscilográficos.
Nos estudos realizados, em particular, dois fenômenos são objetos de interesse: 
• Faltas induzidas na frequência de chaveamento, para as quais são 
analisadas variação de tipo, resistência, ângulo de incidência e dis-
tância de aplicação.
• Descarga atmosférica, para a qual, além das duas últimas variáveis an-
teriores, consideram-se a alternância da impedância de surto da torre e 
da amplitude da corrente de raio.
O uso de softwares para modelagem de SEPs proporciona considerável 
avanço em pesquisas sobre o comportamento das LTs.
Isto posto, considere as implicações de tudo o que aprendeu até agora. 
106
UNICESUMAR
Considerando tudo o que aprendemos até o momento, vamos comparar os cálculos realizados para uma 
linha ideal e uma real? Considere, aqui, uma linha de transmissão trifásica operando com frequência 
de 60 Hz e com os seguintes parâmetros:
• (Resistência ôhmica): r km= 0 0715, [ / ]W por fase.
• (Reatância indutiva): X kmL = 0 512, [ / ]W por fase. 
• (Condutibilidade de dispersão): g [ / ]� �0 1W km por fase. 
• (Susceptância capacitiva): b , [ / ]� � � �3 165 10 6 1W km por fase. 
A partir dos dados fornecidos, determinaremos, para as duas condições, real e ideal:
a) Função de propagação.
b) Atenuação.
c) Constante de fase.
d) Velocidade de fase.
e) Comprimento da onda.
f) Impedância característica.
g) Impedância natural.
Solução:
a) Função de propagação
Relembrando:
γ α β
  
� � � � �� � �� �j z y r jX g jbL
• Linha real – g = 0
γ α β
γ α β


� � � �� � � �� �
� � � �
�
�
j j j
j e j
0 0715 0 512 0 3 165 10
1 279 10
6
3
, , ,
,
886 02 1, [ / ]km
Quer ver um apanhado geral do que foi abordado nesta unidade? 
Então, vamos lá!
107
UNIDADE 3
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/10462
• Linha ideal - r = 0 e g = 0
γ β
γ β


� � � � �� �
� � �
�
�
j j j
j e kmj
0 512 3 165 10
1 273 10 1
6
3 90
, ,
, [ / ]
b) Atenuação
• Linha real – g = 0
Re , [ / ]γ α
�
�
�
�
�
�
� � � �0 0867 10 3 néper km
• Linha ideal - r = 0 e g = 0
a = 0[ / ]néper km
c) Constantes de fase 
• Linha real
Im , [ / km]γ β
�
�
�
�
�
�
� � � �1 276 10 3 rad
• Linha ideal 
b � � �1 272 10 3, [ / km]rad
d) Velocidade de fase
Relembrando:
υ
ω
β
=
• Linha real
u �
�
��
377
1 276 10
2950003
,
[ / ]km s
• Linha ideal 
u �
�
��
377
1 272 10
2960003
,
[ / ]km s
108
UNICESUMAR
e) Comprimento de onda
Relembrando:
λ υ= T
• Linha real
l = 4917[km]
• Linha ideal 
l = 4935[km]
f ) Impedância característica
Z Z
Y
z
y
r jX
g jb
c L





� � �
�
�
Z j
j
ec j

�
�
� �
��
�0 0715 0 512
0 3 165 10
403 96
3 980, ,
,
, [ ]
, W
g) Impedância natural
Z L
C
X
b
L
0 = =
Z j
j0 6
0 512
3 165 10
402�
�
��
,
,
[ ]W
Nesta unidade, verificamos como são empregados as equações das linhas de 
transmissão e os seus ajustes, conforme os parâmetros usados.
Relembrando os nossos questionamentos iniciais: podemos analisar todas as 
LTs da mesma forma? Com os mesmos modelos e equacionamentos? O compri-
mento físico dessas LTs e a quantidade de energia que transportam podem ser 
tratados pelos mesmos modelos? Quais são os primeiros parâmetros que devem 
ser analisados?
109
UNIDADE 3
110
UNICESUMAR
A importância da compreensão do comportamento 
das linhas de transmissão frente aos fenômenos físicos e às 
características exibidas em cada uma de suas configurações 
nos permitem a modelagem dos processos para cálculos 
de parâmetros. A simplificação desses modelos teóricos 
advindos da Física nos permite visualizar bem como esta-
belecer uma estruturação lógica, a fim de realizar a análise 
de cada parâmetro da linha.
O entendimento desses processos, da modelagem mate-
mática e, inclusive, da possível interpretação de fenômenos 
simples para ser aplicada em fenômenos mais complexos, 
nos garante uma análise mais precisa e segura, podendo 
inferir, a partir de pequenos cortes, o comportamento de 
um sistema complexo.
Vimos, então, que as linhas podem ser modeladas dessa 
forma com o objetivo de serem analisadas por partes. Claro 
que, para cada extensão, adotaremos algumas mudanças de 
parâmetros, conforme a necessidade das mesmas. 
Como futuro(a) engenheiro(a), é importante enten-
der, calcular e interpretar cada um dos casos existentes 
na teoria e, dessa forma, aplicá-los em situações práticas, 
solucionando problemas de dimensionamentos, além de 
comportamentos indesejados dessas LTs.
111
Aqui, você, aluno(a), deve testar os seus conhecimentos sobre o que foi exposto nessa unidade, as-
sim, serão fixados, com mais efetividade, os tópicos e conceitos mais importantes acerca das teorias 
das linhas de transmissão. 
Com esta finalidade, iniciei, de forma básica, um Mapa Mental, então, a partir dele, gostaria que 
você continuasse a preenchê-lo, evidenciando o maior número de tópicos que puder elencar como 
importantes. Vamos lá?
TEORIAS DAS LT’S
ANÁLISE MATEMÁTICA
RELAÇÕES DE ENERGIA
CARACTERÍSTICAS DAS LINHAS R<Z
CARACTERÍSTICAS DAS LINHAS R=Z
CARACTERÍSTICAS DAS LINHAS R=Z
CORRENTES
COMPRIMENTO DE ONDA
CARACTERÍSTICAS
 
Descrição da Imagem: o Mapa Mental engloba os principais tópicos da teoria das linhas de transmissão. 
112
1. Em uma linha de transmissão, podemos manipular alguns parâmetros para obter uma 
situação desejada. Para uma linha a dois condutores com fio de alumínio AWG nº 6, 
separados por uma distância de 1 m, qual deverá ser o valor da resistência terminal 
para que a reflexão de onda não ocorra? Considere r = 0,0023365 m.
2. As mesmas equações usadas para transporte de energia são utilizadas na telefonia. 
Então, considere uma linha de transmissão em um sistema de telefonia constituída por 
dois fios paralelos com Zc = 700-j150Ω, operando em 8 kHz, sendo a impedânciada 
carga igual à característica. Conectando uma fonte de 10 V eficazes à entrada, na mes-
ma frequência, determine a corrente de entrada e a potência real fornecida pela fonte.
3. Uma linha coaxial operando com f = 100 MHz possui os seguintes parâmetros:
R m
L H m
G mhos m
�
� �
� �
� �
�
�
�
0 098
0 31 10
1 50 10
34 5 10
6
6
1
, [ / ]
, [ / ]
, [ / ]
C ,
W
22
[ / ]F m
Determine a impedância característica nessa faixa de operação da linha.
4. Voltando ao nosso exemplo da realidade aumentada com linha de transmissão trifásica, 
operando com frequência de 60 Hz e que tem os seguintes parâmetros:
(Resistência ôhmica): r km= 0 0715, [ / ]W por fase. 
(Reatância indutiva): X kmL = 0 512, [ / ]W por fase. 
(Condutibilidade de dispersão): g [ / ]� �0 1W km por fase.
(Susceptância capacitiva): b , [ / ]� � � �3 165 10 6 1W km por fase. 
Admitindo que essa LT possua comprimento l = 600 km, operando com tensão cons-
tante no receptor no valor de 380 V entre fases, determine:
a) A tensão no transmissor para que o valor da tensão no receptor não seja ultrapassado, 
com a linha operando em vazio.
b) O valor da corrente de carga operando em vazio. 
c) Os valores das ondas diretas e refletidas em módulo e fase, ainda operando em vazio.
d) A corrente de carga na situação do item anterior.
4
Caro(a) acadêmico(a), nesta unidade, apresentaremos modelos 
mais práticos das equações e suas soluções bem como faremos 
uma representação das linhas de transmissão por circuitos equi-
valentes, que serão subdivididos de acordo com o comprimento e 
as características dessas LTs.
Cálculo Prático das 
LTs
Me. Audrey Cristine Esteves
114
UNICESUMAR
Foram apresentados vários modelos teóricos para a base de cál-
culo dos parâmetros das linhas de transmissão, mas, na prática, 
você saberia dizer se esses modelos matemáticos descrevem 
todas e quaisquer linhas? Será possível adequar esta modela-
gem matemática, de forma integral, ou é necessário seccionar os 
circuitos e classificá-los? Podemos obter modelos prontos que 
descrevam as linhas seccionadas por comprimento ou teremos 
que fazer aproximações para simplificar a análise dessas linhas?
As linhas de transmissão têm características as quais podem 
ser agrupadas em blocos, cujos circuitos podem ser representa-
dos por simplificações e seccionamentos quantos forem neces-
sários, a fim de obter uma análise com precisão adequada.
Aqui, trataremos, exclusivamente, de linhas aéreas trifásicas, 
as quais são os sistemas elétricos mais usados e equilibrados. 
Representaremos o desempenho dessas linhas, por meio de cir-
cuitos unipolares (fase e neutro), como não possuindo parâme-
tros elétricos associados. Desse modo, temos, como objetivos, a 
determinação de grandezas em qualquer ponto da linha, uma 
vez conhecidas as tensões e correntes em um ponto específico; a 
determinação das potências ativas e reativas em qualquer ponto 
a partir de um específico; a determinação de grandezas de de-
sempenho, tais como: rendimentos, regulação, radiointerferência, 
entre outras; a realização de um estudo da compensação para a 
correção desse desempenho. 
A adequação de modelos teóricos permite a descrição de cada 
linha conforme as suas características. O seu seccionamento e 
a sua análise em partes permitem, então, o entendimento das 
demandas. 
Cabe aos profissionais aprofundar as análises para, cada vez 
mais, apresentarem soluções efetivas ao processo de regulação 
e transmissão de energia, buscando atender à demanda de cada 
função e de cada comprimento da LT.
Como profissional da área, é possível atuar na gestão de pro-
jetos em linhas de transmissão, no planejamento e na elaboração 
de projetos em sistemas de alta tensão bem como na análise de 
parâmetros na especificação técnica dos projetos.
115
UNIDADE 4
Convido você a fazer um levantamento das principais carac-
terísticas das linhas curtas, médias e longas, traçando um com-
parativo de seus comportamentos mediante os parâmetros do 
transmissor e receptor. Tente, também, relembrar alguns modelos 
matemáticos já vistos, a fim de que a modelagem fique mais dinâ-
mica. Quanto mais associações forem feitas, maiores as possibili-
dades de readequação de modelos.
Tente estabelecer circuitos equivalentes com base no compri-
mento da linha e equacioná-los de forma simples, como já abor-
dado, depois, identificar quais parâmetros podem ser ajustados.
Caro(a) aluno(a), você conseguiu verificar as principais carac-
terísticas das LTs, classificando-as quanto ao seu comprimento 
bem como compreender que, a partir dessa classificação, haverá 
parâmetros importantes para que cada uma dessas linhas atenda, 
com precisão requerida, às funções desejadas?
Neste momento, você saberia estabelecer quais são os parâ-
metros necessários a serem considerados no equacionamento 
das LTs? Saberia subdividi-las em categorias por característica de 
circuitos e não por extensão? Anote, em seu Diário de Bordo, o 
que conseguiu verificar.
DIÁRIO DE BORDO
116
UNICESUMAR
Vimos as equações gerais para corrente e tensão das linhas de transmissão. Como o comprimento da 
linha entre o transmissor e receptor é informado em cada modelagem, podemos reescrever as equações 
da seguinte forma:
U U e e I Z e e V
l l
c
l l
   
   
1 2 2
2 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �g g g g
[ ]]
I I e e U
Z
e el l
c
l l
 


   
1 2 2
2 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �g g g g
[[ ]A
 [1]
onde: 
U1 e I1: a tensão e a corrente expressa junto ao transmissor; 
 U2 e I2: a tensão e a corrente expressa junto ao receptor; 
 l: o comprimento físico da linha.
Observação: tanto a tensão quanto a corrente podem ser calculadas em qualquer ponto da linha de 
transmissão, uma vez que o índice x é substituído no ponto desejado. É usual expressar 1 e 2 para lado 
transmissor e receptor, respectivamente.
117
UNIDADE 4
Expressando essas equações em funções hiperbólicas, reescrevemos:
U U L I Z sen L V
I I L U
Z
sen L
c
c
     
  


1 2 2
1 2 2
� �
� �
cosh h [ ]
cosh h
g g
g g

[ ]A
 [2]
lembrando que:
γ γ
ω
ω
ω
ω
� � � � � � � �
�
� � � � �
�
�
�
�
�� �
�� �
�
z y L Lz Ly Z Y
Z r j
g j c
L r j
L g j c
Z
Y
c


��
 [3]
e que as funções hiperbólicas:
cosh cosh
h h
g
g
  
  
L Z Y
sen L sen Z Y
=
=
 [4]
Essas funções hiperbólicas podem ser representadas em série de MacLaurin, onde 
temos a expansão:
cosh
! ! !
.g

     
L
Z Y Z Y Z Y
� �
�
�
��
�
�
��
�
�
�
��
�
�
��
�
�
��
�
�
��
�1
2 4 6
2 4 6
...
h
! !
sen L Z Y
Z Y Z Y Z Y
g
  
     
� �
�
�
��
�
�
��
�
�
�
��
�
�
��
�
�
��
�
�
�
3 5
3 5
��
�
7
7
!
...
 [5]
As séries convergem, rapidamente, logo, podemos expressar circuitos equivalentes 
mais simplificados e adotar modelos matemáticos de acordo com o número de 
elementos. A tabela, a seguir, apresenta as convergências desses tipos de séries, con-
siderando o comprimento.
118
UNICESUMAR
L (km) g

L = Z Y
 
Z Y
 �
�
��
�
�
��
2
2!
Z Y
 �
�
��
�
�
��
3
3!
50 0,06447034 0,002078212 0,000044610
100 0,12894084 0,008312870 0,000357289
150 0,19341126 0,018703958 0,001205852
200 0,25788136 0,033251398 0,002858305
250 0,32235171 0,051955312 0,005558263
300 0,38682205 0,074815650 0,009646781
350 0,45129390 0,101832413 0,015318731
400 0,51576274 0,133005600 0,022866440
ARG 84,1° 168,2º 252,3º
Tabela 1 - Relações de convergência dos tipos de séries em função do comprimento 
Fonte: adaptada de Fuchs (1977).
Um conceito bem importante a ser introduzido é o de regulação de tensão de linha, 
a qual, para determinado regime de carga, se caracteriza pela diferença percentual 
entre as tensões no transmissor e no receptor. Esse valor pode apresentar-se como 
negativo ou positivo e o seu controle atua sobre o fator de potência de carga ou so-
bre os parâmetros dessa linha. Os seus valoresabsolutos são controlados para que 
não excedam 5% e, consequentemente, não provoquem danos aos equipamentos 
(BEZERRA, 2019, on-line).
As linhas são classificadas de acordo com o seu comprimento e os seus parâmetros 
são analisados da mesma forma. As linhas curtas são as que apresentam comprimen-
to e características nos quais é verificado calor significativo para os primeiros termos 
da série. Ao fazer a substituição das funções hiperbólicas pelo primeiro termo da 
série, cosh g

L =1 e sen L Z Yh g
  
= , tem-se:
U U I Z Z Y U I Z
Y
Z Yc
       


 
1 2 2 2 2� � � � [6]
ou, ainda, simplificando:
U U I Z V
   
1 2 2� � [ ] [7]
para a corrente, também podemos escrever:
119
UNIDADE 4
I I U
Z
Z Y I U Y
Z
Z Y
c
 


   


 
1 2 2 2 2� � � � [8]
simplificando:
I I U Y A
   
1 2 2� � [ ] [9]
O produto U Y2
 
 pode ser desprezado por seu valor ser muito pequeno comparado 
com I2, então, a equação da corrente fica reduzida a I I
 
1 2= .
Rearranjando a equação 9 com a igualdade anterior, podemos escrever:
I I U U
Z
A
c
 
 

1 2 1 21� �
�
[ ] [10]
Esta é uma representação de circuito série, como explicitado na figura, seguir.
Z = R + jX
L
U
2
Y << I
2
I2=I1XLR
U
1
U
2
Figura 1 - Circuito equivalente para uma linha curta / Fonte: Bezerra (2020, on-line). 
Neste caso, além da representação dos parâmetros de forma concentrada, ainda, 
desprezamos os efeitos de G e C.
Para Fuchs (1977), há a subjetividade no emprego desse cálculo, a partir do com-
primento das linhas e de suas tensões, porém algumas considerações podem ser 
interessantes do ponto de vista do autor, tais como:
Descrição da Imagem: a figura apresenta o circuito equivalente de uma linha curta com os seus parâmetros 
descritos como: resistência - R; impedância - Z; indutância - XL; correntes – I; tensões – U, nos terminais emissor 
e receptor.
120
UNICESUMAR
• Para LTs de até 150 kV, comprimentos máximos de 60 a 80 km. 
• Para LTs com tensões iguais ou superiores a 150 kV e inferiores a 400 kV, 
comprimentos máximos de 40 km.
• Para LTs iguais ou superiores a 400 kV ou superiores, comprimentos máximos 
de 20 km.
Já em linhas médias, são usados mais termos da série (os dois primeiros), uma vez 
que os seus comprimentos são superiores aos citados, anteriormente. Neste caso, a 
comparação até o terceiro termo recai nesta categoria, substituindo:
cosh
!
g

 
L
Z Y
� �
�
�
��
�
�
��
1
2
2
 e sen L Z Y
Z Y
h
!
g
  
 
� �
�
�
��
�
�
��
3
3
obtemos as equações para tensão e corrente:
U U
ZY
I Z
Y
Z Y
Z Y
 
 



 
 
1 2
2
21
2
� �
�
�
��
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
!
��
��
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3
3
!
[ ]V [11]
I I
Z Y
U
Z
Y
Z Y
Z Y
 
 



 
 
1 2
2
21
2
� �
�
�
��
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
!
��
��
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3
3
!
[ ]A [12]
Rearranjando os termos, chegamos às equações que representam corrente e tensão 
em uma linha média:
U U ZY I Z Z Y V
 
 
 
 
1 2 21
2
1
6
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
[ ] [13]
I I Z Y U Y Z Y A
 
 
 
 
1 2 21
2
1
6
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
[ ] [14]
121
UNIDADE 4
Vemos que a série é um pouco mais complicada, então, duas possibilidades para 
circuitos equivalentes que representem bem o problema são: o circuito π e o circuito 
T. Na primeira unidade, citamos ambos; aqui, abriremos o seu comportamento. A 
figura, a seguir, mostra os dois tipos de circuitos.
U
1
U
1
U
2
U
2G/2 B/2 G/2 B/2
l1 l1l2 l2
R X
L R/2 X
L
/2 R/2 X
L
/2
G B
(a) (b)
Figura 2 (a) - Circuito π; Figura (b) - Circuito T / Fonte: Bezerra (2020, on-line). 
As equações, a seguir, descrevem os dois tipos de circuitos com a finalidade de apro-
ximação para as equações já deduzidas.
Para o circuito π, temos:
U U ZY I Z V
I I Z Y
 
 
 
 
 
1 2 2
1 2
1
2
1
2
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
[ ]
UU Y Z Y A
 
 
2 1
4
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
[ ]
 [15]
Para o circuito T, temos:
U U ZY I Z Z Y V
I I
 
 

 

 
1 2 2
1 2
1
2
1
4
1
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
[ ]
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Z Y U Y A
 
 
2
2 [ ]
 [16]
Descrição da Imagem: a Figura 2 (a) apresenta, à esquerda, o circuito do tipo π, a Figura 2 (b) apresenta, à 
direita, o do tipo T. No circuito π, os parâmetros G e B encontram-se em paralelo às tensões e divididos em dois 
blocos. R e XL estão em série com as tensões. No circuito T, os parâmetros G e B estão localizados no centro, 
em paralelo às tensões, subdividindo a linha em duas porções. R e XL ficam divididas por 2 em cada metade e 
encontram-se em série com as tensões.
122
UNICESUMAR
Nenhum dos dois modelos possui uma representação igual aos apresentados 
pelas equações originais, porém, ao observarmos a tabela, a seguir, de um exem-
plo prático, essa modelagem apresenta-se com boa precisão quando calculada e 
comparada com a série em questão.
Equação U

1 I

1
π 83.500∠6,7º 205,145∠-11,402º
T 83.472∠6,7º 205,920∠-11,337º
Série original 83.493∠6,692º 205,305∠-11,524º 
Tabela 2 - Exemplo de aplicação das formulações para uma linha média típica / Fonte: Bezerra (2020, on-line). 
Concluímos que a escolha de qualquer um dos dois circuitos pode ser usada para 
cálculo de uma linha média, entretanto o circuito π é mais utilizado, uma vez que o 
T apresenta o acréscimo de uma barra por LT, acarretando o aumento do número de 
equações para a solução dos problemas de carga (ELGERD, 1982).
Em ambos os circuitos, observa-se que os parâmetros elétricos são representados 
de forma concentrada.
BARRA i BARRA jBARRA ADICIONAL
R/2 R/2XL/2 XL/2
BARRA i BARRA j
R XL
G
2
G
2
B
2
B
2
G B
Figura 3 - Diferenças entre os circuitos π e T para linhas de sistema de energia / Fonte: Fuchs (1977, p. 123).
Descrição da Imagem: a figura mostra, na parte de cima, um circuito do tipo T com a sua representação de 
parâmetros associados nas barras e, na parte de baixo um circuito do tipo π com as diferenças de colocação 
nos parâmetros, ambas para inclusão em sistemas de energia.
123
UNIDADE 4
A sua aplicação é indicada para linhas entre 150 e 400 kV com até 200 km de extensão e para linhas 
com tensão superior a 400 kV e comprimentos menores a 100 km.
Nas linhas longas, os cálculos, anteriormente, aplicados não satisfazem com a precisão desejada, 
logo, novos circuitos equivalentes são montados, então, as suas equações são reformuladas de acordo 
com os parâmetros. Na prática, são feitas algumas correções no circuito π para que se considerem os 
efeitos a parâmetros distribuídos, assim, a equação da tensão é escrita da seguinte forma:
U U Z Y I Z
 
 
 
1 2 21
2
� � � �
' '
'[V] [17]
Comparando com a forma hiperbólica, podemos ver que:
U U L I Z sen Lc
     
1 2 2� �cosh hg g [18]
com:
cosh
' '
h '
g
g

 
  
L Z Y
Z sen L Zc
� �
�
1
2 [19]
A resolução desse sistema de equações e o seu arranjo matemático nos fornecem:
Z Z sen Z Y
Z Y
 
 
 
'
h
= [20]
Y Y
Z Y
Z Y
 
 
 
'
tanh
2 2
2
2
= [21]
Estas representam impedância e admitância corrigidas para a composição do circuito π equivalente.
Uma linha de transmissão pode ser escrita como um quadripolo. Esta denominação vem de um multi-
polo, o qual é caracterizado por um circuito que possui n terminais livres. Um caso particular desse tipo é 
quando os terminais se encontram aos pares, onde se verifica a Primeira Lei de Kirchhoff. Cada par deno-
mina-se porta e o conjunto do multipolo denomina-se multiporta (MOURA; MOURA; ROCHA, 2019).
Da teoria de circuitos, se aplicarmoso teorema da superposição ao quadripolo passivo, aqui, des-
crito, temos:
124
UNICESUMAR
V1 V2
I1 I2Rede com2 portas
Figura 4 - Quadripolo passivo / Fonte: Moura, Moura e Rocha (2019, p. 232). 
A representação das tensões dá-se por:
U Z I Z I
U Z I Z I
    
    
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
� �
� �
 [22]
Fazendo a substituição pelos parâmetros A, B, C e D, que são chamadas de constantes 
generalizadas da linha, temos:
U AI B I
U C I D I
    
    
1 1 2
2 1 2
� �
� �
 [23]
na forma matricial, teremos:
U
U
A B
C D
I
I


 
 


1
2
1
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 [24]
podemos reescrever essas equações:
U
I
A B
C D
U
I


 
 


1
1
2
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 [25]
onde teremos: 
Descrição da Imagem: a figura mostra um esquema de um quadripolo passivo com as tensões de entrada 
V1 e saída V2.
125
UNIDADE 4
U AU B I
I CU D I
    
    
1 2 2
1 2 2
� �
� �
 [26]
as constantes podem ser escritas na forma hiperbólica:
A L
B Z sen L
C
Z
sen L
D L
c
c
=
=
=
=
cosh
h
h
cosh
g
g
g
g
1 [27]
Observação: para circuitos simétricos A = D e em quadripolos AD-BC = 1.
As constantes são definidas da seguinte maneira:
A é a impedância de entrada com a saída em 
circuito aberto: A
U
I



= 1
1
para I2 0=
B é a impedância de transferência direta em 
circuito aberto: B
U
I



= 2
1
para I2 0=
C é a impedância de transferência inversa em 
circuito aberto: C
U
I



= 1
2
para I1 0=
D é a impedância de saída em circuito aberto: D U
I



= 2
2
para I1 0=
As constantes generalizadas das linhas de transmissão em CA são, geralmente, nú-
meros complexos, portanto, faz-se necessária a interpretação de seus significados. 
Elas definem o comportamento dessas LTs em operação, logo, têm um significado 
físico muito bem definido.
Esses quadripolos podem ser associados. Na prática, consistem em vários blocos 
interligados, facilitando, portanto, o seu estudo, de forma seccionada. A tabela, a 
seguir, apresenta as formas mais comuns de associações desses quadripolos com as 
suas respectivas representações matriciais de equações.
126
UNICESUMAR
VR
VR
VR
VRVs
VRVs
VRVs
VS
VS
VS
Circuito
Impedância série
Admitância shunt
Circuito T
Circuito π
Redes em série
Três redes em cascata
Matriz ABCD
[ [10 z1
[ [1Y z1
IS IR
IS IR
IS
IS
IR
IR
IS IR
IS IR
Z
Y
Y
Y1 Y2
Z1
Z
Z2
[ [1+ YZ1 Z1+Z2+YZ1Z2Y 1+YZ2
[[ 1+ Y2Z ZY1+Y2+Y1Y2Z 1+Y1Z 
[ [[ [A1 B1 A2 B2C1 D1 C2 D2
[[A1A2 + B1C2 A1B2 + B1D2C1A2 + D1C2 C1B2 + D1D2=
A1B1C1D1 A2B2C2D2
+ +
- -
A1B1
C1D1
A2B2
C2D2
A3B3
C3D3 T1=A3(A1A2+C1B2)+B3(A1C2+C1D2)
T2=A3(B1A2+D1B2)+B3(B1C2+D1D2)
T3=C3(A1A2+C1B2)+D3(A1C2+C1D2)
T4=C3(B1A2+D1B2)+D3(B1C2+D1D2)
A1 B1
C1 D1
A2 B2
C2 D2
A3 B3
C3 D3
T1 T2
T3 T4
=
Tabela 3 - Associações de quadripolos / Fonte: Bezerra (2020, on-line). 
127
UNIDADE 4
Esse modelo é muito flexível, logo, as linhas de transmissão encaixam-se nas restri-
ções desses quadripolos, então, essas linhas podem ser, perfeitamente, representadas 
por esse modelo. Além disso, a facilidade de associação desses quadripolos torna-se 
uma vantagem a mais na análise de problemas que envolvem linha e equipamento 
terminal ou de compensação (FUCHS, 1977).
A tabela, a seguir, apresenta um resumo dos conceitos e aplicabilidade desses 
modelos.
Caracterização 
da linha
Aplicações Constantes
Curta
Modelo:
impedância série 
• Até 150 kV e 80 km
• 150 kV a 400 kV e até 40 
km
• Maior do que 400 kV e até 
20 km
A B Z
C D
 
 
= =
= =
1
0 1
; ;
;
Média
Modelo:
π nominal
• 150 kV a 400 kV e até 200 
km
• Maior do que 400 kV e até 
100 km
A Z Y B Z
C Y Z Y D Z Y

 

 
 

 
� � �
� �
�
�
�
��
�
�
�
��
� �
1
2
1
4
1
2
; ;
;
Longa
Modelo:
π equivalente
• Demais casos Os parâmetros
Z

 e 
Y

2
Serão multiplicados, respectiva-
mente, por
sen Z Y
Z Y
h
 
 
 e 
tanh
Z Y
Z Y
 
 
2
2
Tabela 4 - Resumo dos conceitos inerentes aos modelos equivalentes de uma linha de transmissão
Fonte: Bezerra (2020, on-line). 
Na modelagem matemática de circuitos que representem linhas ideiais de transmis-
são, são admitidas que essas linhas terminem em impedâncias, onde essas cargas 
alimentadas apresentam tipos muito variados. Já em sistemas reais, verifica-se que essa 
impedância é aproximada, quando o sistema é representando pelas mesmas equações. 
Na prática, usa-se, então, especificações por meio das potências ativas e reativas, ou, 
também, pela potência aparente e o seu fator de potência associado (FUCHS, 1977).
128
UNICESUMAR
As relações entre essas potências no transmissor e receptor com as tensões existentes partem da 
definição de potência aparente:
N P jQ U I VA
 
� � � � 2 2[ ] [28]
onde:
N

: potência complexa por fase de um sistema trifásico [VA]; 
P: potência ativa por fase [W]; 
Q: potência reativa por fase [VAR]; 
U

2 : fasor da tensão entre fase e neutro [V]; 
I2 : conjugado da corrente [A].
Das equações dos quadripolos, retomamos:
U AU B I
    
1 2 2� � [29]
obtemos o valor de I2:
I U
B
A
B
U






2
1
2� � [30]
Fazendo a definição da tensão no lado do receptor como referência de fase, vemos os fasores de tensão:
U1
U2
Figura 5 - Ilustração dos fasores de tensão / Fonte: Bezerra (2019, on-line). 
Descrição da Imagem: a figura apresenta, por meio de uma ilustração, os fasores de tensão.
129
UNIDADE 4
Tomando U2 como fasor de referência, podemos escrever:
I U
B
e A
B
U ej jB A B






2
1
2� �
�� � �� �θ β β β [31]
onde: 
 θ: ângulo de potência da linha.
Tomando o conjugado da corrente:
I U
B
e A
B
U ej jB B A*2 1 2� �
�� � �� �β θ β β [32]
combinando a equação com a expressão da definição da potência, temos:
N U U
B
e A
B
U e VAj jB B A

2 2
1
2� �
�
��
�
��
�� � �� �β θ β β
[ ] [33]
ou, ainda, expressar as potências ativa e reativa entregues pela linha de transmissão no lado receptor, como:
P U U
B
AU
B
WB B A2 1 2 2
2
� � � �cos( ) cos( )[ ]β θ β β [34]
Q U U
B
sen AU
B
sen VArB B A2 1 2 2
2
� � � �( ) ( )[ ]β θ β β [35]
Se P2 e Q2 forem fornecidas, a tensão U2 poderá ser determinada em função de U1 e vice-versa, desde que 
o ângulo de potência da linha seja conhecido ou fixado. 
Observação: alguns termos aparecem elevados ao quadrado. Isso implica em potências expressas em 
MW quando as tensões são expressas em kV. As tensões entre fases são usadas para obter potências trifásicas.
As potências ativas máximas transmissíveis para algumas relações entre as tensões U1 e U2 ocorrem 
quando θ = βB, as quais estão apresentadas nas equações 34 e 35. Escrevemos, então:
P U U
B
AU
B
W
Q AU
B
sen VAr
máx B A
máx B A
2
1 2 2
2
2
2
2
� � �
� � �
cos( )[k ]
( )[k
b b
b b ]]
 [36]
Valores fixados para U1 e U2 ocorrem em linhas de interligação de sistemas ou em partes constituintes deles. 
Em linhas radiais, apenas U1 é fixado, quando isso acontece e fixa-se P2 e Q2, obtemos a seguinte expressão:
P AU
B
Q AU
B
sen U UB A B A2 2
2
2
2
2
1 2� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�cos( ) ( )b b b b
BB
�
��
�
��
2
 [37]
130
UNICESUMAR
a equação pode ser escrita da forma:
U U B
A
P Q sen U
AB
N B
AB A B A2
2
2
2
2 2
1
2
2
2 2
2
2
2
� � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�cos( ) ( )b b b b �� 0 [38]
escrevendo isso em coeficientes: 
b B
A
P Q sen U
AB
c N B
A
B A B A� � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
22 2
1
2
2
2 2
2
cos( ) ( )b b b b
 [39]
Então, temos como solução geral:
U b b ac2
2 4
2
� �
� � �
 [40]
com o termo b ac2 4 0� � , onde o maior dos valores reais deve ser considerado.
U2
1,10
1,00
0,9
0,8
0,7
0,6
0,50,4
0,3
0,2
0,1
151,8
138,0
124,2
110,2
96,2
82,8
69,0
55,2
41,4
27,6
13,8
U2
KV
[MW]10
,4
2
20
,8
4
31
,2
6
41
,6
8
52
,1
0
62
,5
2
79
,9
4
P2
P2
Ub=138[KV]
Nb=104,2[MVA]
P O
=4
7[
M
W
]
.1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8
CO
Sf
2 =0,8(IND)
COSf
2 =0,9(IND)
COSf
2 =1,00(IND)
COSf
2 =0,9(CAP)
COSf
2=0,8(CAP)
Figura 6 - Variação de tensão no receptor de uma linha com tensão constante no transmissor / Fonte: Fuchs (1977, p. 146).
Descrição da Imagem: a figura mostra a curva de variações de tensões no receptor. Na horizontal, a potência; na vertical, a tensão. 
As linhas tracejadas são obtidas a partir das equações e representam os coeficientes com valores de 0,8 a 1,0, sendo capacitivos ou 
indutivos, conforme a sua localização no gráfico.
131
UNIDADE 4
O mesmo raciocínio deve ser aplicado, aqui, para construir as expressões de potência ao terminal 
emissor. Daí tiramos que:
P DU
B
U U
BB D B1
1
2
1 2� � � �cos( ) cos( )β β β θ [41]
Q DU
B
sen U U
B
senB D B1 1
2
1 2� � � � �( ) ( )β β β θ [42]
onde:
 θ: ângulo de potência entre U

1e U

2 ; 
ângulos βA, βB, βC e βD: argumentos das constantes A, B, C e D já citadas.
Na representação da linha como um quadripolo, vemos o fluxo de potências. As expressões para 
elas são:
N P jQ
N P jQ
1 1 1
2 2 2
� �
� �
 [43]
U1
S1
I1 I2
S2
U2
Figura 7 - Visão da linha como um quadripolo, considerando o fluxo de potência envolvido / Fonte: Bezerra (2019, on-line). 
Os valores máximos das potências acontecem para βB+θ = 180º. 
Esses modelos dispendem muito tempo, quando se necessita de análise de muitas condições ope-
racionais da linha. O uso de métodos gráficos ou de sistemas computacionais apresenta formas mais 
rápidas de cálculos a essas situações.
Como todo sistema, as perdas de potência na transmissão serão dadas por perdas ativas P1-P2 e 
perdas reativas Q1-Q2.
Já o rendimento de uma linha é expresso pela relação percentual da diferença absorvida no transmis-
sor de potências ativas e, assim, entregue ao receptor em relação à potência absorvida no transmissor:
hT P P
P
� �
��
�
�
�
�
��1 1001 2
1
[%]
Descrição da Imagem: a figura mostra, do lado esquerdo, a potência do emissor, do lado direito, a potência do receptor. A linha está 
representada por um quadripolo.
132
UNICESUMAR
De acordo com Bezerra (2019, on-line), os tipos de perda presentes em uma linha 
de transmissão são:
• Efeito Joule nos condutores.
• Perdas nos dielétricos entre condutores.
• Correntes de Foucault e histerese magnética, na alma de aço de condutores 
e em peças metálicas próximas às linhas.
• Por circulação de corrente induzida nos cabos para-raios.
Lembrando que a LT é muito sensível à intensidade de carga, por isso, buscam-se 
alternativas à compensação das variações de tensão no terminal receptor. Dois 
regimes operacionais extremos serão, aqui, considerados (carga leve e pesada), a 
fim de construir alternativas de limitação das variações de tensão, no intervalo 
citado, na faixa de regulação da linha. A compensação das linhas será abordada 
com mais detalhes, posteriormente, nas operações das LTs.
Em algumas situações onde ocorram fenômenos relativos a desequilíbrio 
elétrico e magnético ao longo da linha, surge a necessidade de modelagem dessas 
linhas, por meio de uma configuração trifásica. Vimos, até agora, que os modelos 
anteriores propunham equilíbrio entre fases, logo, esses poderiam ser represen-
tados por circuito unipolar. A adaptação pode ser feita nesses modelos para que 
representem, adequadamente, essas linhas trifásicas (FUCHS, 1977).
Matrizes associadas:
a) Matriz das impedâncias:
z r j x
Z R j X
L
L


�
�
�
�
�
� � � �� � �
�
�
�
�
�
� � � �� � �
b) Matriz das admitâncias:
y g j b
Y G j B


�
�
�
�
�
� � � �� � �
�
�
�
�
�
� � � �� � �
Um exemplo é a representação de uma linha média por seu circuito equivalente 
π nominal, na figura, a seguir.
133
UNIDADE 4
[U1]
[I1]
2
[B]
2
[B] [U2]
[R] [XL] [IC]
2
[ ]
2
[ ]
Figura 8 - Esquema de um circuito simplificado de linha trifásica / Fonte: Fuchs (1977, p. 151). 
A modelagem matemática pode ser feita usando álgebra matricial. Dessa forma, 
teremos:
U Z Y U Z
 

 
1 21
2
�
�
�
�
�
� � � ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
��
�
�
�
�
�
� �
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�I

2
I Y Y Z Y

 


1
2 2
1
2
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�U Z Y
 

2 1
2 ��
�
�
�
�
��
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�I

2
Neste caso, as constantes generalizadas da linha trifásica serão matrizes constantes 
e o seu modelo matemático será:
U A U B I
I C
    
 
1 2 2
1
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�U D I
  
2 2
ou, ainda: 
U
I
A B
C D


 

1
1
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U
I
2
2
Descrição da Imagem: a figura apresenta um esquema de circuito simplificado de uma linha trifásica. 
134
UNICESUMAR
As matrizes dos coeficientes generalizados são 3x3, enquanto as matrizes das tensões 
e correntes são os vetores. Para um circuito π , escrevemos:
A Z Y
B Z
C
 

 

�
�
�
�
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� � � ��
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1
2
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�Y Y Z Y
 


2 2
1
2
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�
��
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� � � ��
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�
�
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�
�
�
�
�
�
�
�
�D
Y Z



1
2
Nas linhas longas, não há praticidade matemática na determinação das matrizes dos 
coeficientes generalizados, o uso do modelo artificial trifásico, com os elementos de 
20 a 25 km é melhor empregado, como demonstra a figura, a seguir.
[A1] [B1]
[C1] [D1]
[A1] [B1]
[C1] [D1]
[A] [B]
[C] [D]
[A1] [B1]
[C1] [D1]
[A1] [B1]
[C1] [D1]
U1
U1
U2
U2
Figura 9 - Linha trifásica longa / Fonte: Fuchs (1977, p. 153). 
A matriz, a seguir, representa a matriz do quadripolo resultante: 
A B
C D
A B
 
 
�
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�1 1

 
 �
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�
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C D
A B
1 1
1 1
.
��
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�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
C D
A B
C1 1
1 1
 
 
.....
11 1
 �
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�
�
�
�
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�
�
�
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�
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�
�
�
�
�
�
�
�
�
D
Descrição da Imagem: a figura apresenta um esquema de circuito de uma linha trifásica longa e a sua simplificação.
135
UNIDADE 4
Uma linha de transmissão trifásica curta opera com f = 60 Hz, em uma extensão de 
l = 40 km e tensão U = 69 kV. A resistência por fase é R = 0,219 Ω/km e indutância L 
= 1,233 mH/km, a sua capacitância pode ser desprezada. Considerando que a linha 
está suprindo 52 MVA (com fp = 0,8 indutivo em 69 kV), determine:
a) A tensão e a potência no início da linha.
b) A regulação de tensão dessa linha.
Solução:
Calculando a impedância série por fase:
Z R jwL l
Z j
Z j
� �� �
� � � �� �
� �
�0 219 2 60 1 233 10 40
8 7600 18 5932
3, ,
, ,
p
W
a tensão na barra receptora por fase:
U kV2
69
3
0 39 8372 0� � � �º , º
a potência trifásica complexa:
N arc
N j MVA
3
3
52 0 8 52 36 8699
41 6 31 2
y
y
� � � �
� �
cos , º , º
, ,
corrente por fase:
I
N
U
I
r
2
3
3
2
3
52 10 36 8699
3 39 8372 0
435 1042 36 86
� �
� ��
� �
� ��
'
'
, º
,º
, ,
y
999º A
Vamos entender como se comporta uma linha de transmissão curta, definindo 
alguns parâmetros e realizando, juntos, os cálculos!
136
UNICESUMAR
a) Usando U AU B I
    
1 2 2� � com A = 1 e B = Z, a tensão na barra emissora:
U j
U


1
339 8372 0 8 7600 18 5932 435 1042 10 36 8699� � � �� � � ���, º º , , , , º
11
1
47 7404 4 1851
47 9235 5 0077
� �
� �
, ,
, , º kV
j
U

a tensão de linha na barra emissora é:
U
U kV
L
L


� � �
� �
3 47 9235 5 0077
83 5 0077
, , º
, º
a potência complexa na barra emissora:
N
N
3
3 3
3
3 47 9235 5 0077 10 435 1042 10 36 8699
62
y
y
� � �� �� � � ��
�
�
, , º , , º
,55551 41 8776
46 5768 41 75813
� �
� �
,
, ,N j MVAy
a regulação de tensão: 
RT
RT
RT
(%)
, ,
,
(%) , %
(%) , %
�
�
�
�
�
47 9235 39 8372
39 8372
100
20 2984
20 3
Observação: reproduza o mesmo cálculo considerando o fator de potência capacitivo.
137
UNIDADE 4
Considere tudo o que aprendeu, até agora, para a sua formação 
profissional.
Isto posto, encerramos a presente unidade.
A adaptação desses modelos matemáticos para a simpli-
ficação dos cálculos das linhas de transmissão, divididas por 
comprimento, proporciona a adequação dos parâmetros, além 
da análise mais segura e precisa, dentro dos valores aceitáveis 
a cada caso. A simplificação e o seccionamento dos circuitos 
equivalentes também se tornam, nessa análise, um elemento 
facilitador.
A compreensão do funcionamento das linhas de transmis-
são permite o desenvolvimento de novas tecnologias com o 
objetivo de ampliar, aperfeiçoar e minimizar custos no pro-
cesso de transmissão.
A transmissão de energia é muito importante ao desenvolvimento do país, o sistema SIN está 
em constante ampliação e necessita de estudos cada vez mais avançados, tanto para os pa-
râmetros físicos quanto para os parâmetros associados aos custos de projetos, associados à 
crescente preocupação com o meio ambiente. Os custos das construções desses sistemas são 
elevados, dessa forma, fazem-se cada vez mais necessárias considerações técnicas/econômicas 
acerca das perdas nas linhas de transmissão.
A utilização de softwares para cálculo aproximado, realizado de acordo com o banco de preços 
da ANEEL, busca a otimização para cada configuração de tensão utilizada. Atualmente, ousa-se a 
simulação de todos os parâmetros da construção bem como das perdas associadas à dispersão 
e ao efeito corona, para avaliar, economicamente, a viabilidade do projeto.
Caro(a) estudante, quer saber 
mais sobre os assuntos que co-
mentamos nesta unidade? En-
tão, escute o podcast que pre-
paramos para você! 
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/10463
138
Aqui, você deve testar os seus conhecimentos sobre o que foi exposto nesta unidade, assim, 
serão fixados, com mais efetividade, os tópicos e conceitos mais importantes acerca do cálculo 
prático das linhas de transmissão. 
Com esta finalidade, iniciei, de forma básica, um Mapa Mental, então, a partir dele, gostaria que 
você continuasse a preenchê-lo, evidenciando o maior número de tópicos que puder elencar 
como importantes. Vamos lá?
CÁLCULO PRÁTICO DAS LT’S
modelos de linhas trifásicas
LT’s como quadripolos 
LT curta
LT média
circuito T nominal
LT longa
circuito PI equivalente
139
1. As linhas de transmissão possuem modelos de acordo com suas características e com-
portamento. A respeito desses modelos, leias as afirmações, a seguir: 
I) A capacitância de uma linha de transmissão só se faz presente quando essa linha 
opera em Corrente Alternada.
II) A condutância refere-se às correntes de fuga, as quais escoam pelo ar ou pelos isola-
dores, e deve ser considerada relevante, apenas, em linhas longas, sendo desprezível 
em linhas médias e curtas.
III) Em linhas curtas, a indutância pode ser desprezada, sendo relevante, apenas, a 
consideração da impedância série.
IV) Linhas com comprimentos acima de 80 km e tensões acima de 34,5 kV possuem 
mais relevância na capacitância.
Está correto o que se afirma em: 
a) I, II e IV, apenas.
b) III e IV, apenas.
c) I, II, III e IV.
d) IV, apenas.
e) I e II, apenas.
2. Determine a tensão no barramento transmissor e a potência entregue à linha, por meio 
dos métodos π e T. Calcule, também, a regulação e o rendimento da transmissão, em 
seguida, realize a comparação entre os resultados obtidos.
Parâmetros da linha:
• Tensão no barramento receptor: 135 Kv.
• Carga no sistema: 50 MVA.
• Fator de potência: 0,95 (indutivo).
3. Uma linha de transmissão tem extensão de 150 km operando com uma frequência f = 
60 Hz e tem as seguintes características:
Resistência (por fase): R= 0,031 Ω/km.
Indutância (por fase): L = 0,8435 mH/km.
Capacitância (shunt): C =13,91 nF/km.
A carga, ao final dessa linha, é de 285 MVA com fator de potência fp = 0,8, indutivo em 
230 kV. Determine a tensão e a potência complexa no início e no fim dessa linha bem 
como a regulação e o rendimento da mesma.
140
5
Caro(a) aluno(a), nesta unidade, apresentaremos os processos grá-
ficos, que são obtidos por meio de modelagens matemáticas. Estes 
gráficos são representações por fasores das linhas de transmissão, 
obtidos pelas equações teóricas e as suas soluções. Alguns ensaios 
práticos puderam ser reproduzidos e os seus resultados verificados, 
com isso, o comportamento real das linhas foi resumido nas curvas 
as quais serão apresentadas, aqui. 
Cálculo Prático das 
LTs – Métodos Gráficos
Me. Audrey Cristine Esteves
142
UNICESUMAR
Para uma análise das linhas de transmissão, o uso 
da matemática convencional torna-se trabalho-
sa, além de dispender muito tempo. Então, você 
saberia uma forma mais simplificada de repre-
sentar e analisar essas linhas? Será que existem 
métodos mais rápidos? Será que podemos obter, 
por meio de algum método, a descrição de pa-
râmetros comuns que descrevam as linhas de 
acordo com a sua extensão?
A análise das linhas de transmissão é feita 
a partir das suas características físicas e fai-
xas de tensão. Os cálculos utilizados, neste 
procedimento, são equações que exibem pa-
râmetros em números complexos, buscando 
simplificar e seccionar com o objetivo de uma 
representação completa.
A representação das equações por fasores 
e os seus cálculos realizados por métodos grá-
ficos mais simplificados foram incorporados, 
desde o seu surgimento, à análise das linhas de 
transmissão. Esses métodos evoluíram e novos 
métodos, muito mais práticos, foram construí-
dos e adaptados. 
O desenvolvimento tecnológico promo-
veu, na solução de problemas técnicos, o uso 
de computadores bem como as suas modela-
gens e, atualmente, tais programas são usados, 
repetitivamente.
Aqui, abordaremos um processo gráfico capaz 
de apresentar a solução das equações gerais das 
LTs bem como diagramas que representam po-
tências e perdas das mesmas. A finalidade dessa 
metodologia é simplificar o cálculo, garantindo 
os mesmos comportamentos para essas linhas. 
O uso de processos gráficos acelera a análise, 
poupa tempo em cálculos longos e possibilita 
que o(a) profissional realize mudanças rápidas 
nos projetos, além de assegurar o bom funcio-
namento das LTs.
DIÁRIO DE BORDO
143
UNIDADE 5
Você deparou-se com uma situação de análise de uma linha de 
transmissão, porém a mudança de parâmetros dessa linha decorre 
em muitos cálculos complicados de equações que se encontram 
no domínio do tempo. Uma forma de resolver este problema é 
transformar em fasores, garantindo rapidez.
Convido você a realizar uma pesquisa sobre como transformar, 
nas formas mais simplificadas, as equações das linhas de trans-
missão, assim, a partir dessas simplificações, poderemos construir 
diagramas rápidos.
Caro(a) aluno(a), ao estabelecer algumas relações entre os fa-
sores e as equações gerais das linhas de transmissão, você pôde ver 
que alguns parâmetros das soluções são, facilmente, traçados por 
simples visualização do método.
Então, procure compreender como as transformações das equa-
ções teóricastransformam-se em gráficos capazes de descrever os 
parâmetros das linhas de transmissão, real e ideal, com e sem carga. 
Registre os seus apontamentos no Diário de Bordo.
144
UNICESUMAR
As linhas de transmissão obedecem a comportamentos, podendo, então, serem agru-
padas para análise, de acordo com os seus parâmetros. Os cálculos analíticos apre-
sentam boa precisão, porém a sua realização demanda tempo. Os métodos gráficos 
surgiram frente à necessidade de mais rapidez na realização desses cálculos.
Embora o método gráfico seja mais rápido, a sua utilização prática já se tornou 
ultrapassada, contudo esses conceitos de construção são empregados na confecção 
de programas de computador capazes de realizar várias analises simultâneas em 
muito menos tempo.
Portanto, iniciaremos com o primeiro gráfico, que é o Diagrama d’Escanglon. Este 
é aplicável em linhas homogêneas e permite a determinação de correntes e tensões 
graças à visualização gráfica construída com base nas equações fundamentais dessas 
linhas de transmissão. Relembrando as equações, temos que:
U A e A e V
Z I A e A e A
x
x x
c x
x x
  
   
 
 
� �
� �
�
�
1 2
1 2
g g
g g
[ ]
[ ]
 [1]
onde:
A U Z I
A U Z I
c
c

  

  
1
2 2
2
2 2
2
2
�
�
�
�
Para uma linha sem perda de carga, temos que a propagação é dada por um número 
complexo cuja parte real representa as perdas de energia. Essa representação da linha 
ideal tem, como iguais, as impedâncias (característica e da carga). Isso implica o fato 
de o produto I2Z0 ser o mesmo de I2. Como a = 0 e γ β

= j , as equações podem ser 
reescritas como:
U A e A e V
Z I A e A e A
x
j x j x
c x
j x j x
  
   
� �
� �
�
�
1 2
1 2
b b
b b
[ ]
[ ]
dividindo ambos os lados das equações por e j xb , elas ficam:
U e A A e
Z I e A A e
x
j x j x
x
j x j x
  
   
� �
� �
� �
� �
b b
b b
1 2
2
0 1 2
2
145
UNIDADE 5
Fuchs (1977) apresenta a construção gráfica por meio dos fasores, seguindo as etapas:
• Traçar os fasores U

2 e Z I x
 
0 (segmentos AO e OB, respectivamente), ligar os pontos 
BA, marcando, em seu centro, o ponto M. Veremos que os segmentos BM = AM. O 
triângulo OAB é: U B A Z I
 
2 0 2� �
�
. Logo: BM U Z I A
�
� � �
1
2
2 0 2 2
  
• Traçar um prolongamento da linha OM, de forma que ele, desde a origem OC, seja 
OC U Z I
�
� �
 
2 0 2 , tem-se OM MC
� �
� , vemos OM MC U Z I A
� �
� � � �
1
2
2 0 2 1
  
• Traçar o círculo com centro em M e raio AM MB
� �
�
• Traçar outro diâmetro A’B’ de forma que o ângulo AMA x' � �2b
OA A A e
OB A A e
j x
j x
'
�
�
�
�
� �
� �
 
 
1 2
2
1 2
2
b
b
• Girando os fasores anteriores em +bx , os pontos A” e B” que correspondem:
OA U
OB Z I
x
x
"
"
=
=


0
Os valores de θ e φx determinados.
0
Z I c x
x
B”
Ux
A”
βx
B
A
φx θ
B’
βx+
-2βx
M
N
A’
U2
C
N’
βz 
ρ2
ρ2
Z I c 2
Figura 1 - Diagrama d’Escanglon da linha ideal / Fonte: Fuchs (1977, p. 181).
Descrição da Imagem: a figura apresenta a construção do diagrama d’Escanglon, a partir das definições dos faso-
res para uma linha ideal. Aqui, são expressas as relações de impedâncias, tensões através do giro dos fasores que 
originam os ângulos θ e φx. 
146
UNICESUMAR
Diagramas do andamento das tensões e correntes podem ser traçados em função 
da extensão da linha, expressos em frações do comprimento da onda exibidos, se 
a linha for dividida em n espaços, igualmente, espaçados de λ/n [km]. Sabendo que 
λ
π
β
=
2
, temos: 
2 2 2 4β β π
β
πx = =
A representação do comprimento de onda ocorrerá fazendo A2 descrever um ân-
gulo de 720º, encontrado, anteriormente. Uma volta completa de A para A pode ser 
representada por x =
l
2
. Logo, no ponto B, temos x =
l
4
.
Dividindo as tensões ou correntes em n frações, tais quantas forem desejadas, 
l
n
 
terá o ângulo:
2 2 2 4β β π
β
πx x
n n
= =
A tensão máxima ocorre em 2bx MÂN= e coincide com Z I ON0 2

= , já o inverso 
ocorre com A’ coincidir com N.
Para uma linha real com carga, o diagrama é o mesmo, porém considerando as 
atenuações de suas perdas nas equações iniciais:
U e A A e
Z I e A A e
x
x x
c x
x x
  
   
 
 
� �
� �
� �
� �
g g
g g
1 2
2
1 2
2
Neste caso, o produto I2Zc será diferente de I2. Novamente, traçando os fasores, agora, 
com ângulo φ δ2 ± , entre eles, o círculo pode ser traçado da mesma forma feita para 
a linha ideal na Figura 1.
Para o comprimento de linha x, a determinação do ângulo AM A
∧
'1 será feita com 
as perdas incluídas, e a expressão será escrita:
A e A e A e ex j x x j x
  

2
2
2
2
2
2 2� � �� � � �� �γ α β α β
147
UNIDADE 5
O ângulo 2bx será medido no sentido anti-horário, a partir do ponto A. O fasor 
A

2 é representado, em escala, por MA’1, da mesma forma, em escala, a distância MA’ 
representa A e x

2
2a . Então, teremos que OA U ex x' � �


g . MB representa –A2, então, 
MB1 representa −A e
x

2
b . A partir dessas representações, concluímos que OB’ repre-
senta no diagrama Z I ec x
x


−g .
 
Base MVA = 500
Base KV = 380
U� = 380 [KV]
N� = 500 MVA
 � = 0,89
 = 569 [KM]
Zc = 236,76 – j 9,6
 = 003,125 + j 0744
 1OA pu�
 Cos p
 l
� l
 
+�
-2�l
 2� �
M
A´ A´1
B
I2
B´1 B´
B”
I1 ZcB”1
L 
�
A
U2
A”1 A”
U1 
+� 1
 1� ��
 
2� ��
 
2�
�
O
Figura 2 - Diagrama d’Escanglon da linha real com os parâmetros da linha. Tensão, corrente e impedâncias 
são representadas nele / Fonte: Fuchs (1977, p. 183).
Descrição da Imagem: a figura apresenta os parâmetros da linha escritos na parte inferior esquerda e, a partir 
dos mesmos, a construção do diagrama de fasores, com as suas inter-relações. U representa as tensões com 
1 e 2 indicando, respectivamente, se são emissores ou receptores; I representa as correntes, ZC, a impedância 
característica, β e φ, os ângulos traçados a partir das equações.
148
UNICESUMAR
Fazendo a rotação dos vetores AO’ e OB’ em um ângulo bx e multiplicando-os por e xa , obtemos os 
valores de U x

 e Z Ic x
 
.
O mesmo diagrama pode ser aplicado na análise de linhas homogêneas, operando em vazio ou 
curto-circuito.
Para uma linha real sem carga, a corrente I

2 0= , então, a equação fica A A
U 

1 2
2
2
= = , portanto, 
as equações podem ser reescritas: 
U U e U e
U U e Z I e
j x
x
j x
j x
c x
j x
 

 
 
 
 
2 2
2 2 2
2 2
2 2
� �
� �
� �
� �
g g
g g
O centro M é fixado sobre o segmento OA U=

20 e o círculo será traçado passando por O e A. O 
segmento A’1B’1 será traçado com um ângulo de −2bx em relação a U

2 , logo, poderemos traçar os 
segmentos AO”1 e OB”1, que correspondem a:
OA U
OB Z I
x
c x
"
"
1 0
1
=
=

 
Para uma linha real em curto-circuito junto ao receptor U

2 0= , implicando, então, A A
Z Ic c 
 
1 2
2
= = , 
e as equações são escritas como:
� � �
� �
� �
�
Z I Z I e U e
Z I Z I e
c c j x
x
j x
c c j x
cc
   

   
 

2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
g g
g �� �Z I ec j xcc
 

2
g
por haver coincidência dos pontos A e O, temos:
OM A
I Z
BM A
I Z
cc
cc
c
c
� �
� � �
1
2
2
2
2
2
 
 
149
UNIDADE 5
portanto, temos:
AB
Z I
e
AA
U
e
c j x
j x
cc
cc
1
2
1
2
2
2
�
�
�
�
 



g
g
então:
OA U
OB Z I
cc
ccc
"
"
1 1
1 1
=
=

 
a) Vazio b) Curto Circuito
B”
B1
A
A´1
A1
U2
 x��
 '
1B
 1B
01
I�
01
I� cZ�
 �
2 x��x��
M 0�
 
01
�
 
10U� 
"
1A
B
B´1
B1
 x��
 ''
1B
 1A
x��
M
 '
1A
2 x�
 "
1A
A
O
 1ccU
 1ccI
2cc c
I Z� �
1cc c
I Z� �
Figura 3 (a) - Diagrama d’Escanglon da linha real sem carga: operando em vazio; Figura 3 (b) - o Diagrama d’Escanglon da linha 
real operando em curto-circuito / Fonte: Fuchs (1977, p. 184). 
Outros diagramas foram propostos à resolução de problemas relacionados às linhas de transmissão 
e quadripolos de forma geral, são denominados diagramas circulares. Dentreeles, daremos ênfase 
aos de potências, cuja construção é simples e de fácil interpretação. Tal construção está baseada nas 
equações gerais vistas para os quadripolos, sendo descritos a transmissores, receptores ou por meio 
da interação entre os dois (FUCHS, 1977).
Descrição da Imagem: a Figura 3 (a), à esquerda, apresenta uma linha real sem carga operando em vazio, a representação pelo diagra-
ma mostra a composição dos fasores envolvidos e as suas relações mediante o giro dos mesmos. A Figura 3 (b), à direita, apresenta o 
mesmo diagrama, porém para uma linha operando em curto-circuito. Ambas apresentam como os parâmetros foram calculados para 
chegar a estes diagramas circulares, a partir das equações, anteriormente, descritas.
150
UNICESUMAR
Das equações das potências dos quadripolos, a seguir, serão realizadas represen-
tações gráficas:
N P [ ]
N P
( )


1 1 1
1
2
1 2
2 2 2
2
2
� � �
�
�
� � �
�� � �jQ U D
B
e U U
B
e VA
jQ U
j jB D Bβ β β θ
��
��� � �
A
B
e U U
B
e VAj jB A BBβ β β θ1 2 ( )[ ]
Nas extremidades da linha, a potência complexa pode ser representada em duas com-
ponentes, logo, a representação complexa de N1 e N2, também, pode ser expressa por 
duas componentes num plano P+jQ, uma vez que a parte real representa potências 
ativas, enquanto a complexa representa a reativa. 
Se analisarmos que as LT’s operam, frequentemente, com tensões constantes U1 
e U2, o ângulo entre essas tensões é o ângulo de potência. Os vetores apresentados 
pelos primeiros termos dos segundos membros permanecem constantes, enquanto 
os segundos termos podem variar de fase. Nesta situação, os segundos termos po-
dem descrever círculos de raio constante, tendo, como extremidade, os vetores dos 
primeiros termos (FUCHS, 1977).
Para os diagramas do transmissor, escreveremos:
U D
B
jsenB D B D1
2 �
�� � � �� �cos b b b b
cuja representação no plano complexo se dá em relação às coordenadas:
x U D
B
y U D
B
sen
B D
B D
1
1
2
1
1
2
�
�
�� �
�
�
�� �
cos b b
b b
sendo 
U D
B
1
2 ×
 o módulo.
O vetor do módulo representará o segundo termo do segundo membro:
r U U
B
C S1 1 2 1 1� �
O argumento ( )β θB + varia, de forma que gira ao redor do ponto C1, através de um 
círculo com raio constante, que representa o produto constate de U1xU2.
Fechando o triângulo OC1S1 com o vetor N1, teremos as condições satisfeitas, uma vez 
que o vetor S1 estará livre para girar em torno do círculo que representa o lugar geométrico 
das potências N1 (com U1xU2 = constante). O argumento é medido em relação a+P. Cada 
valor de N1 sobre esse círculo é correspondente a um valor de produto das tensões U1xU2.
151
UNIDADE 5
CÍ
RC
U
LO
 D
E 
U
1 =
CO
N
ST
AN
TE
 N
O
 T
RA
N
SM
IS
SO
R
EIXO DE REFERÊNCIA
jt Q
 B�
 �
1 1 1( , )C X Y
1N K�D��
 
D� B�
 �
 �
B �� �
1P
 
1
1
P jQ�
P�
 1Q
 1S 1N 1R
0
 1�
Figura 4 - Diagrama circular das potências no transmissor considerando U1 = k / Fonte: Fuchs (1977, p. 187).
Para o diagrama do receptor a equação, cujo primeiro termo:
�
�
�� �� � � �� �U A
B
jsenB A B A2
2
cos b b b b
Define, assim, a extremidade do vetor C2 em suas coordenadas:
x U A
B
y U A
B
sen
B A
B A
2
2
2
2
2
2
�
�
�� �
�
�
�� �
cos b b
b b
sendo 
U A
B
2
2 ×
 o módulo e segmento representado por CO2
→
.
O raio será escrito r
U U
B2
1 2= .
Descrição da Imagem:a figura apresenta as relações entre as potências e os seus fatores para tensão constante 
no transmissor. As projeções dos ângulos estabelecem as relações entre elas, representando, assim, de forma 
simplificada, as equações das linhas de transmissão operando nessa condição. P Q e N são as potências, o 
índice 1 refere-se ao transmissor, β,θ e φ aos ângulos. 
152
UNICESUMAR
Da mesma forma, teremos centro em C2 e o raio r2, então, o círculo pode ser traçado, 
vemos U1xU2 = constante no receptor. O círculo e N2 = constante possuem centro em O.
EIXO DE REFERÊNCIA
CÍRCU
LO DE
 U2 =
CONS
TANTE
 NO T
RANS
MISSO
R
 jQ�
2R
 B�
�
�
O
 2P
 2 2P jQ�
2�
 
2S
 2Q
B �� �
P
2
( )2 B AjU A e
B
� ��
 A��
 ( )1 2 BjU U e
B
� ��
2N K�
22 2( , )C X Y
B�
Figura 5 - Diagrama circular das potências no receptor, considerando U2 = k / Fonte: Fuchs (1977, p. 188).
Diagramas completos ou conjugados das potências podem ser construídos de acordo 
com os seguintes procedimentos:
• Primeiramente, determinar as coordenadas C1 e C2 por meio das respectivas 
equações, traçando-as no plano complexo das potências. Ligar os pontos C1 
e C2 à origem O, onde os segmentos encontrados representam:
Descrição da Imagem: a figura apresenta o diagrama circular das potências considerando tensão constante 
no receptor. As projeções dos ângulos estabelecem as relações entre elas, representando, assim, de forma 
simplificada, as equações das linhas de transmissão que operam nessa condição. P Q e N são as potências, o 
índice 1 refere-se ao transmissor, enquanto β, θ e φ referem-se aos ângulos. 
153
UNIDADE 5
U D
B
e
U A
B
e
j
j
B D
B A
1
2
2
2
�
�
�� �
�� �
b b
b b
• Em relação ao eixo real +P, traçar 3 eixos da seguinte maneira:
* Entre +P e a origem O com um ângulo de bB .
* Entre +P e OC1, encontramos um ângulo bD .
* Entre +P e OC2, achamos o ângulo bA .
• De posse dos raios r1 e r2 e dos centros C1 e C2, são traçados os círculos dos 
produtos U1xU2 constantes no transmissor e receptor, os quais são repre-
sentações dos locais geométricos das potências aparentes N1 e N2 para as 
tensões constantes. Qualquer ponto representará um ponto de operação 
dessa linha, considerando as potências N1 e N2. A partir da origem, pode-se 
traçar círculos para N1 e N2 constantes.
• Há a necessidade da correspondência entre pontos de operação dos cír-
culos do transmissor e do receptor. 
Podemos entender a partir de um exemplo: partindo da origem O, traça-se um vetor 
com eixo P que possua, entre eles, um ângulo j2 , então, será encontrado sobre C2 
um ponto de operação S2. O segmento obtido OS2 é o valor de N2 para o fp cosj2 .
Podemos dizer que 
U U
B
e j B1 2 ( )β θ− é representado pelo vetor C2S2 no gráfico para 
o ângulo de j2 e as tensões predeterminadas U1 e U2. Traçando um eixo de referência 
de C2 até P com ângulo de bB , o segmento C2S2 fará o mesmo com o ângulo θ. Ao 
interceptar o círculo C2 em R2, haverá um arco limitado entre S2 e R2 que corresponde 
a θ. Se esse ângulo é variável e comum às duas equações, se outro eixo de referência for 
traçado por C1 e cortar esse círculo em R1, e girarmos o mesmo arco correspondente a 
θ, o ponto S1 será obtido. Logo, o vetor associado a C1S1 com o eixo de referência repre-
senta 
U U
B
e j B1 2 ( )β θ+ . Podemos ver que S1 é o ponto de operação no círculo do trans-
missor correspondente a S2 no receptor. O segmento OS1 apresentará o valor da potên-
cia aparente do transmissor para que, no receptor, seja fornecida a N2 sob cosj2 .
154
UNICESUMAR
 Q�
 1R
DB ��
 180
B��
 
A�
�
 2P
 �
 jQ�
 1� 2�
 1S
 2S
 P� P�
CÍR. NO RECEPTOR
C. NO TRANSM
ISSOR
 2N
2N K� 1N K�
1N
11 1( , )C X Y
22 2( , )C X Y
0
 
1
�
Figura 6 - Diagrama circular das potências conjugado, considerando U2 = k. As famílias de círculos são 
traçadas com base nas projeções das equações, e o triângulo de potência é determinado pelas mesmas 
famílias de círculos / Fonte: Fuchs (1977, p. 189). 
A limitação do uso desse diagrama circular de potência está em ter U1 e U2 constantes 
e fixadas, previamente. Porém esses valores podem ser alterados, juntos ou alterna-
damente, e o diagrama se completará. Neste caso, teremos um diagrama circular das 
potências para U2 variável e U1 = constante e fixado. Então, para completar:
• No círculo do receptor que varia U2, será mantido U1, logo, ocorrerá um novo 
centro C2 e um novo raio r2, sendo possível fazer o traçado de um grupo de 
círculos não concêntricos. 
Descrição da Imagem: a figura apresenta o diagrama conjugado de potência para tensão constante no recep-
tor, inter-relacionando transmissore receptor no mesmo gráfico, além de estabelecer as relações entre os seus 
parâmetros, ao longo da linha. As projeções dos ângulos estabelecem as relações entre elas, representando, 
assim, de forma simplificada, as equações das linhas de transmissão que operam nessa condição. P, Q e N são 
as potências, o índice 1 refere-se ao transmissor, enquanto β, θ e φ referem-se aos ângulos. 
155
UNIDADE 5
• No círculo do transmissor, os raios de C1 serão alterados, assim, torna-se 
possível traçar círculos concêntricos para cada valor de U2.
+jQU2’’
U2’ U2
U2
U2’
U2’’
C2
C´2
C”2
-Q
R1
R´1
R”1
O
+P
R2
R´2
R”2
EIXOS DE
REFERÊNCIA
C1
Figura 7 - Diagrama circular das potências considerando U2 = variável. Os círculos de famílias são traçados 
a partir dos eixos de referência / Fonte: Fuchs (1977, p. 191).
Invertendo a situação, agora, com U1 variável e U2 = constante e fixado.
• No círculo do receptor, as equações não se alteram, já o raio apresentará al-
terações, tendo um valor correspondente para cada valor de U2, onde será 
possível traçar uma família de círculos centrados em C2. 
• No círculo do transmissor, teremos um centro C1 e um raio r1 diferentes para 
cada valor de U1.
Descrição da Imagem: a figura mostra um diagrama que apresenta a confecção a partir das equações e dos 
eixos de referência. As famílias de círculos para tensão no receptor variável são obtidas pelas equações, ante-
riormente, citadas. R: resistência; U: tensão; C: centro.
156
UNICESUMAR
EIXO DE
REFERÊNCIA
C2
O
EIXO DE REFERÊNCIA
jQ
+P-P
R’1
R”1
R’”1
U’1
U”1 U’”1
U’1
U”1
U’”1 R’2
R”2
R’”2
C1
C’2
C”3
Figura 8 - Diagrama circular das potências considerando U1 = variável. Os círculos de famílias são traçados a partir dos eixos 
de referência / Fonte: Fuchs (1977, p. 191).
Agora, considerando ambas as variáveis U1 e U2: 
• No círculo do receptor para cada valor de U2, os centros C2 admitirão uma nova posição e os 
raios r2 apresentarão variações tanto com U2 quanto com U1, logo, para cada centro, haverá um 
grupo de círculos. 
• No círculo do transmissor, teremos variação dos centros C1 para cada valor de U1 e r1 variará 
tanto com U1 quanto com U2, gerando, portanto, mais um grupo de círculos associados.
Note que, devido ao grande número de variáveis e de círculos, esses diagramas tornam-se muito com-
plicado de serem confeccionados, logo, eles são construídos com valores em grandeza real e valores 
por unidade são preferíveis nesta confecção. Escolhendo grandezas-base para a confecção, teremos:
• Escolher uma tensão base UB, que pode ser na fase ou entre fases. Preferível usar a tensão no-
minal do sistema.
• A impedância-base ZB escolhida igual a B. As bases dessas potências serão escolhidas de acordo. 
Descrição da Imagem: a figura mostra um diagrama que apresenta a confecção a partir das equações e dos eixos de referência das 
famílias de círculos para tensão no transmissor variável. R: resistência; U: tensão; C: centro.
157
UNIDADE 5
• a base N
baseU
B
NB�
� �
�
2
.
Quando os valores de U e UB forem iguais à tensão entre as fases, a base NB será a potência-base trifásica 
e o diagrama representará essas potências.
O diagrama por unidade é construído efetuando a divisão das equações pela base, então:
Círculo do transmissor:
x
U
B
U A
B
A U
U
pu
y
U
B
B
B D
B
B D
B
1 2
1
2
1
2
2
1 2
1
1
�
�
�� �� � � �� �� �
�
cos cos [ ]b b b b
UU A
B
sen A U
U
sen puB D
B
B D
1
2
1
2
2
�
�� �� � � �� �� �b b b b [ ]
círculo do receptor:
x
U
B
U A
B
A U
U
pu
y
U
B
B A
B
B D
B
2 2
2
2
1
2
2
2 2
1
1
� �
�
�� �� � � �� �� �
�
cos cos [ ]b b b b
BB
U A
B
sen AU
U
sen puB A
B
B D
2
2
2
2
2
�
�� �� � � �� �� �b b b b [ ]
os raios para transmissor e receptor:
r
U
B
U U
B
U U
U
r
U
B
U U
B
U U
U
B B
B B
1 2
2 1 2 1
2
2 2
2 1 2 1
2
1
1
�
�
�
�
�
�
�
�
fazendo a simplificação:
U
UB
pu
U U
U
U
pu
U U
B
1
1 1
2
2 2
1
1
=
=
=
=
[ ]
[ ]
158
UNICESUMAR
então, as equações para centros e raios podem ser escritas para o transmissor e o 
receptor, respectivamente:
x D U
y D U sen
r U U
B D
B D
1 1
2
1 1
2
1 1 2
� �� �
� �� �
� �
cos b b
b b
x AU
y AU sen
r U U
B A
B A
2 1
2
2 1
2
2 1 2
� � �� �
� � �� �
� �
cos b b
b b
Quando se trata de variação simultânea das tensões, esses tipos de diagramas não são 
de simples construção, limitando-se à análise de, apenas, algumas situações. Partindo 
da construção desses diagramas, foi desenvolvido um diagrama universal de potências, 
os quais são construídos com valores em pu, com os mesmos princípios, porém, com, 
apenas, uma família de círculos concêntricos (FUCHS, 1977).
Seguindo as equações para a construção de um diagrama ao receptor com valores de 
|U1| variáveis e |U2| fixo, obteremos os círculos apresentados na Figura 9. Se adotarmos 
outro valor |U’2| e variarmos |U1|, novamente, não alterando os valores anteriores dos 
produtos entre as tensões (|U’2 | e |U1|), serão obtidos novos círculos concêntricos com 
novo centro em C’2. Todos eles terão a sua origem no ponto O. Ao variar os valores 
para os pares de tensões cujos produtos sejam os mesmos que foram empregados no 
método anterior, teremos as coordenadas de C’2 aos primeiros valores |U2 |e |U1| em:
x AU
y AU sen
B A
B A
2 2
2
2 2
2
� � �� �
� � �� �
cos b b
b b
Observação para cada par de tensões, usar índices para identificá-los: 
U U U1 1 1 2 1 3; ; ...
logo, podemos escrever os raios:
r U U
r U U
r U U
2
1
1 1 2
2
2
1 2 2
2
3
1 3 2
� �
� �
� �
159
UNIDADE 5
puQ�
puP
2C
2'C
 
1
2
1
2
1
U
U
r�
 
1
2
1
2
2U U
r�
 
1
2 1
23U U r�
 B A� ��
 
3
'
'
2
2
1
3
r
U
U
�
 1
'
'
2
2
1
1
r
U
U
�
 2
'
'
2
2
1
2
r
U
U
�
o
EI
XO
 D
E 
RE
FE
RÊ
N
CI
A
C2 C’2
puU2
puQ
 �
R’2
R”2
R”2
r 12
r 22
r 32
S’2
S2
Q2
P2
O’2
O’2
βB
P2
βB
- β
A
(a)
(b) 
Figura 9 (a) - Construção do diagrama universal circular das potências para o receptor cuja construção dos raios é a partir das 
relações de tensões; Figura 9 (b) - As projeções dos triângulos de potência / Fonte: Fuchs (1977, p. 195).
Descrição da Imagem: o círculo mostra como é feita a construção do diagrama para o receptor, a partir do eixo de referência. C C’: 
centros; r: raios; U: tensão; R: resistência; P, Q e N: potências; β,φ e θ: ângulos. Índice 2 para receptor.
160
UNICESUMAR
Lembrando que, para cada novo valor escolhido para |U’2|, teremos valores que obedecem:
U U U U r
U U U U r
U U U U r
2 1 1 2 1 1
1
1
2 1 2 2 1 2
2
1
2 1 3 2 1 3
3
1
= =
= =
= =
' '
' '
' '
então, podemos ver que o centro C’2 terá coordenadas:
x AU
y AU sen
B A
B A
' ' cos
' '
2 2
2
2 2
2
� � �� �
� � �� �
b b
b b
Essa construção permitiu obter duas famílias de círculos com raios iguais, centros diferentes e uma nova 
origem comum. Deslizando C’2 através do segmento O2C2 até coincidir com C’2, podemos concluir que: 
• Restará uma única família de círculos com centro em C2, pois os círculos de |U1 |e |U2| coincidirão.
• A origem do sistema será deslocada de O para O’ (para o grupo de círculos com centro em C’).
• O triângulo de potências para centro em C2 será traçado a partir de O2 e para centro em 
C’2, a partir de O’2.
Deslocando os pontos de C’2 
para O2 do sistema comple-
xo P e jQ, o seguimento O2C2 
será deslocado, totalmente, ao 
primeiro quadrante, levando 
todos os círculos do receptor 
para o mesmo centro coinci-
dente com a origem do plano 
complexo. A correspondência 
do ponto O’2 a cada ponto de 
|U2| será denominado “centro 
de operação do receptor”, e o 
triângulo das potências será 
determinado.
Esse diagrama permite re-
solver problemas com varia-
ção simultânea das tensões, 
empregando, apenas, uma fa-
mília de círculos.
C2 puP
puQ
 �
βA
β
02
0’2
R2
R’2
R”2
EI
XO
 D
E 
RE
FE
RÊ
N
CI
A
S’2
N2
P2
Q2
S2
Q’2
βB- βA
r’2=|U2||U1|1
r’2=|U2||U1|2
r’2=|U2||U1|3
ρ2
ρ2
Figura 10 - Diagrama universal das potências no receptor.Para cada ângulo, uma 
associação, por meio das relações de tensão, do triângulo de potência.
Fonte: Fuchs (1977, p. 197). 
Descrição da Imagem: o círculo demonstra, a partir das equações que definem o 
triângulo de potência para o receptor, as relações de tensão e as angulações.
161
UNIDADE 5
Descrição da Imagem: as figuras apresentam como são determinados, a partir das relações entre as tensões U1 e U2, os triângulos 
de potência para o transmissor.
Figura 11 (a) - Construção do diagrama universal circular das potências para o transmissor cujo traçado corresponde ao primeiro 
quadrante; Figura 11 (b) - O traçado corresponde ao terceiro quadrante. As relações entre as tensões do emissor e do receptor 
para cada traçado / Fonte: Fuchs (1977, p. 197).
01
r’1
r”1
r’”1
r’”1
r’1
r”1
C’1
C1
+jQ
P
βB- βD
βB
Ɵ 
S1
P1R101
0’1 R’1
R”1
N1
O1
βB- βD
-P
ρ1
r1=|U
2||U1
|
r’1=
|U2|
|U1|
r’’1
=|U
2||U
1|
(a)
(b) 
162
UNICESUMAR
O mesmo procedimento será aplicado na confecção dos círculos aos transmissores, man-
tendo os mesmos produtos para as tensões, onde os centros poderão ser escolhidos aos valores 
de |U1| e, assim, obter os centros de operação para o transmissor e, consequentemente, uma 
única família com origem em C1. Neste caso, esses centros de operação foram deslocados ao 
terceiro quadrante.
Combinando os diagramas do receptor e do transmissor, obtemos r U Ui
i i� �1 2 , de 
acordo com o índice requerido. O eixo de referência será comum. Os eixos, que, para linhas 
de transmissão, são simétricos, estão alinhados.
|U
1||U
2|
1,1
2
1,1
0
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
Q
R2
S2
P0
Ɵ
ρ2
R1
01 P1
S1
Ɵ
Q1
ρ1
βB- βDβB
βBβB- βD
Figura 12 - Diagrama de potências conjugado para emissor e receptor, com as suas projeções angulares das potências ativa, reativa 
e aparente / Fonte: Fuchs (1977, p. 198).
Descrição da Imagem: o diagrama circular apresenta as potências associadas para o receptor, na parte superior, e para o transmissor, na 
parte inferior, a partir de suas projeções.
163
UNIDADE 5
Para tensões no transmissor e receptor Ua1 e U
a
2 , respectivamente, os centros de operação em 
cada um deles terá uma origem O1 e O2. Sabendo o ângulo do fp no receptor, a potência será definida 
pelo segmento O2S2, estando S2 sobre o círculo de raio dos produtos das tensões Ua1 U
a
2 . As suas 
projeções sobre os eixos dos planos complexos fornecerão os valores a P2 e Q2.
A determinação do triângulo de potências no transmissor deve seguir de forma similar, construin-
do, a partir do eixo de referência e o ângulo de potência, o segmento da potência aparente. Da mesma 
forma, as suas projeções sobre o plano complexo fornecerão as potências P1 e Q1.
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 -P
βBβB
βB- βA
βB- βA
ρ2
P1
P2
Q1
S2
N1
N2
-jQ jQ
01
02
Q2
Ɵ
Ɵ
ρ2
Figura 13 - Diagrama universal de potências com potência ativa, reativa e aparente bem como os fatores de potência associados 
Fonte: Fuchs (1977, p. 199).
Ao rebater os quadrantes inferiores sobre os superiores, teremos a sobreposição dos círculos em uma 
representação de semicírculos. Os eixos de referência e os centros de operação (para A = D) são simé-
tricos, assim como descrito nas linhas de transmissão. 
No emprego, em qualquer linha ou quadripolo, desse diagrama universal, só há a necessidade de 
inverter a convenção do sinal da potência reativa (adotada como positiva para a indutiva), uma vez 
que houve rebatimento de quadrante. A subdivisão em graus, a partir de C, facilita a localização dos 
eixos de referência e dos centros de operação, além de proporcionar a leitura direta dos ângulos.
Associados a esses diagramas circulares que acabamos de ver, está o diagrama de perdas de energia 
das linhas de transmissão.
Das equações das perdas de potências:
Descrição da Imagem: o diagrama circular universal é construído com base nos triângulos de potências do emissor e do receptor, sendo 
verificados, em cada caso, os fatores de potência. 
164
UNICESUMAR
D
D
P P P U D
B
U A
B
U U
B
Q
B D B A B� � � �� � � �� � �1 2 1
2
2
2
1 22cos cos cos cosβ β β β β θ
�� � � �� � � �� � �Q Q U D
B
sen U A
B
sen U U
B
senB D B A B1 2 1
2
2
2
1 22β β β β β θcos
Tomando a primeira equação para ∆P, os dois primeiros termos serão constantes, 
sendo representados por um ponto, já o último termo terá θ variando com 
2 1 2U U
B B
cosb , cuja representação será um arco de círculo centrado em C. A proje-
ção dos pontos sobre os eixos das coordenadas dará as perdas de potência.
Ɵ
N
O
C
ΔP
(2U1
 U2)
BR=
cos β
B
U
 
 
D
B
co
s 
(β
B 
+ 
βA
) +
2 1
U
 
 
A
B
co
s 
(β
B 
- β
A
) 
2 2
+
Figura 14 - Diagrama das perdas de potências para U1 e U2 constantes / Fonte: Fuchs (1977, p. 200).
Se uma das tensões for mantida constante, essa mesma equação para ∆P pode ser re-
presentada nos diagramas circulares e, com isso, encontrar alguns valores de interesse.
Um exemplo seria obter para saber em quais condições de operação esse ∆P será 
mínimo. Considerando U2 constante, ∆P depende de duas variáveis: U1 e θ. Logo, o 
mínimo dessa função será quando as condições, a seguir, forem satisfeitas:
δ
δθ
β θ
δ
δ
β β β
D
D
P U U
B
P
U
U D
B
U
B
B
B D
� �
� �
� �
� �� � �
2 0
1
2 1
1 2
1 2
cos cos
cos cos BB cosθ � 0
Descrição da Imagem: o diagrama demonstra, por meio da relação entre os ângulos, as perdas de potências com 
as tensões constantes no emissor e no receptor.
165
UNIDADE 5
A resolução simultânea dessas equações nos fornece:
q = 0
U U
D B D
B1
2�
�� �cos
cos
b b
b
+Q
+P-P
V’1
V”1
V’”1
r'
R2
Q2
P2 P2S0
r
ρ2
C2
+Q2}
Ɵ
ΔP=CONSTANTE
βB
βB-βA
3
PA
RA
 ΔP
= Δ
P0
= Δ
P m
ín
(0=
0) 
(U
1 U
2)
B
r 2s
C2 (X2,Y2)
U1
 U
2
B
r2=
=Y
X 
C2
C’
2 =
 Δ
P2
Co
s 
βB
Figura 15 - Círculo de perdas constantes nos diagramas de potências / Fonte: Fuchs (1977, p. 201).
As perdas mínimas, então, ocorrem quando q = 0 e quando 
U
U
D2
1
= .
Descrição da Imagem: o diagrama circular demonstra como são calculadas as perdas constantes nos diagramas 
de potência, por meio do uso de projeções das potências ativas e passivas. 
166
UNICESUMAR
Substituindo na equação da variação de potência:
DP U A
B
U
BDB A
B
B D
0
2
2
2
2 2
� �� � �
�� �
cos
cos
cos
b b
b
b b
então, para DP
U
BD B D
2
2
2
�
�� �cos b b
obteremos a relação entre 
D
D
P
P
0
2
:
D
D
P
P
AD B D B A B0
2
2� �� � �� � �cos cos cosb b b b b
reescrevendo:
D DP P AD B D B A B0 2
2� �� � �� � ��� ��cos cos cosb b b b b
Essa equação também pode ser representada no diagrama das potências, basta calcular D D DP P P2 0( )− , 
onde ∆P é a perda em determinado regime de operação.
D D DP P P U
BD
U U
B
UB
B D
2 0
2
2 2
1 2
2
12( ) cos
cos
� �
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
� �
β
β β
UU
B
U
BD
B
B D
2 2
2 2�
�
�
�
�
� �� �
�
�
�
�
�
�
�
�
cos
cos
cos
β
β β
θ
Essa é uma equação de circunferência em coordenadas polares:
R x y xy2 2 2 2� � � cosq
obtemos, então:
• Centros dos círculos relativos às perdas:
C C U cos
BD
P cosB
B D
B2 2
2
2
2'
cos
�
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
b
b b
bD
• Ponto de operação da linha considerando U2 e P2 constantes e U1 fixado:
C y U U
Br2
1 2= =
167
UNIDADE 5
• O raio do círculo dessas perdas centrado em C2’:
R P P P� �D D D2 0( )
Resumindo, a construção do diagrama pode ser facilitada com as expressões escritas nas formas, a seguir:
R P P
P
P
P2 2 2
0
2
� �D
D
D
D
D
D
D
P
P
AD B D B A B0
2
2� �� � �� � �cos cos cosb b b b b
DP U
BD B D
2
2
2
�
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�cos b b
C C P cos B2 2 2' =D b
No receptor, a maneira prática de construção do diagrama das perdas é:
• Construir um diagrama clássico com U2 = constante e U1 = variável.
• Calcular DP2 .
• Calcular 
D
D
P
P
0
2
.
• Marcar sobre o eixo de referência C C2 2 ' e calcular essa distância.
• Admitir um conjunto de valores prováveis para DP e calcular os valores de R2 correspondentes.• Traçar os círculos de perdas com centro em C2’.
• Traçar as linhas de carga, a partir da origem O, para os fatores de potência.
• Há um ponto de intersecção entre linha de carga e um ponto de operação, onde um círculo de 
perdas, também, intercepta, chamado ponto r.
Sabemos que:
C C x U
BD
B
B D
2 2
2
2
'
cos
cos
� �
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
b
b b
 e OC
A
B
U2
2=
A Figura 16 mostra o diagrama para linhas longas, logo, teremos que OC C C2 2 2< ' , então, podemos 
verificar, no gráfico, a potência ativa máxima de transmissão.
168
UNICESUMAR
Ub = 1,38 [kV]
Nb = 104,2 [MVA]
|U1|= 1,35
|U1| = 1,30
|U1| = 1,20
|U1| = 1,15
|U1| = 1,10
|U1| = 1,05
|U1| = 1,00
|U1| = 0,95
|U1| = 0,90
|U1| = 0,85
|U1| = 0,80
|U1| = 0,75
|U1| = 0,70
0,050
0,045
0,040
0,035
0,030
0,02
0,005
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
-|Q2|
0,8
C2(0,985; 0,783)
+|Q2|
Co
s ρ
2 =
 0,8
(IN
D)
Cos
 ρ2 
= 0,
9(IN
D)
Cos ρ2 = 0,8(CAP)
Cos ρ2=0,9(CAP)
+ |P2|0,60,5P0
0,40,30,20,1
0,015 0,011
C’2 0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
N2
2m
Figura 16 - Círculo de uma linha longa com U2 = k / Fonte: Fuchs (1977, p. 206).
Descrição da Imagem: o círculo representa uma linha longa com tensão constante no receptor. Cada traçado da circunferência mostra os 
fatores de potência indutivos e capacitivos associados aos valores de tensão no emissor.
169
UNIDADE 5
A Figura 17 mostra o círculo para uma linha curta, nestas linhas A = D, então, tere-
mos as expressões:
DP U
B B
2
2
2
=
cosb
C C P U
BB2 2 2
2
2
' cos= =D b
C C C2 2 2' 'O=
Ub= 138 [kV]
Nb= 670 [MVA]
-|Q2|
+|Q2|
Co
s ρ
2=
0,8
(IN
D)
Cos
 ρ2=
0,9(
IND
)
3
4
5
6
7
8
9
2
1
3
4
2
1
C2 (0,2045; 0,97091)
+|P2|-|P2|
1 2 3 4 5 60 |U1| = 1,35
|U1| = 1,30
|U1| = 1,25
|U1| = 1,20
|U1| = 1,15
|U1| = 1,10
|U1| = 1,05
|U1| = 1,00
|U1| = 0,95
|U1| = 0,90
|U1| = 0,85
|U1| = 0,80
Descrição da Imagem: 
o círculo representa uma 
linha curta com tensão 
constante no receptor. 
Cada traçado da circunfe-
rência mostra os fatores de 
potência indutivos e capa-
citivos associados aos valo-
res de tensão no emissor.
Figura 17 - Círculo de uma linha 
curta com U2 = k.
Fonte: Fuchs (1977, p. 205).
170
UNICESUMAR
No transmissor, todo o processo de construção desse diagrama é semelhante bem 
como obedece ao mesmo método, então, as equações usadas em sua construção são:
DP U
BA B A
1
1
2
�
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�cos b b
D
D
P
P
AD B D B A B0
1
2� �� � �� � �cos cos cosb b b b b
R P P
P
P
P1 1 1
0
1
� �D
D
D
D
D
C C P B1 1 1' cos=D b
Um método gráfico, amplamente, usado é o da Carta de Smith, cuja aplicação 
se encontra nas telecomunicações e estende-se à energia elétrica, trazendo so-
luções mais precisas.
Conhecendo a Carta de Smith, daremos prosseguimento.
Abordamos, no elemento Realidade Aumen-
tada, a Carta de Smith, a qual é, amplamente, 
utilizada em linhas de transmissão. O aplicativo 
SmartSmith é empregado no desenvolvimento 
de problemas relativos às LTs, ele é livre e foi 
desenvolvido em uma plataforma de fácil acesso, 
que roda em qualquer computador, no qual são 
inseridos os parâmetros das LTs.
O tutorial do SmartSmith pode ser obtido em: http://lsi.fotonica.ufpe.br/
fontana/SmartSmith/portugues/index.html
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
http://lsi.fotonica.ufpe.br/fontana/SmartSmith/portugues/index.html
http://lsi.fotonica.ufpe.br/fontana/SmartSmith/portugues/index.html
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/11668
171
UNIDADE 5
A interface gráfica, a seguir, mostra como o aplicativo opera e desenha a carta.
Figura 18 - Interface gráfica do SmartSmith / Fonte: Fontana (2011, on-line)1. 
Resolveremos um exemplo de gráfico proposto por Fuchs (1977), que evidencia os parâmetros e a 
confecção do diagrama, apresentando os valores práticos para essa linha de transmissão. A construção 
gráfica foi usada como exemplo, pela impossibilidade de redesenhá-la.
Uma linha de transmissão opera com tensão de 220 kV no transmissor e no receptor e apresenta 
os seguintes parâmetros:
A j e
B j e
C
j
j
�
�
�
0 895 0 2 0 895
35 8 177 8 181 37
0
1 28
78 6
, , ,
, , ,
, º
, º
,, , º00111 90 47e j
Descrição da Imagem: a figura mostra o print screen do programa que reproduz a Carta de Smith bem como os seus parâmetros a serem 
colocados no software, a fim de realizar cálculos práticos.
172
UNICESUMAR
a) Se a potência no receptor é de 10 MW e cosφ = 0,9, empregando o sistema 
por unidade, determine φ1, θ, P1 e Q1. 
b) Determine as potências N1, P1 e Q1, assim como os seus respectivos fatores 
de potência no transmissor.
Obs.: a resolução será feita por meio do diagrama universal das potências.
Solução: 
Os dados iniciais são colocados no diagrama, a partir disso, os demais parâmetros 
são locados e calculados.
Q [pu]
1,3
1,2
1,1
1,0
,9
,8
,7
,6
,5
,4
,3
3
30
3
20
3
10
P [pu]
θ1 θ2
θ3
Cos ρ2 = 1
Cos
 ρ2 =
 0,9
Co
s ρ
2 =
 0,8N2 = K
C .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1,0 1,1 1,2
θ1
θ2
θ3
1
1N
3
2S
3
1S
2
2S
1
2S
3
1N
2
1Q
Q_1^3
3
1QP
2
1S
1
1Q
2
1P
2
2P
ρ2
ρ1
2
1N
ρ3
1
1S
Figura 19 - Gráfico com a plotagem dos cálculos das potências / Fonte: Fuchs (1977, p. 206). 
Primeiramente, traçamos os eixos de referência com os ângulos bB e os eixos 
dos centros de operação com os ângulos b bB A− . Para U k2 = , o centro de 
operação O2 será:
Descrição da Imagem: o gráfico mostra os triângulos de potência construídos com base no diagrama circular e 
nos seus fatores de potência.
173
UNIDADE 5
CO U A2 2
2 20 95 0 7362 0 664� � � � � � �, , ,
traçando os eixos dos fp cosf2
1 ,cosf3
2 ,cosf3
2 , marcando a partir de C:
N pu2
1000
1990
0 51= = ,
A partir de N2, encontraremos os pontos S2
1 ; S2
2 ; S3
3 que se encontram sobre os 
círculos de raios r2
1 1 08= , ; r2
2 1 03= , ; r3
3 0 88= , .
Assim, podemos verificar os valores para: 
U
U
U
1
1
1
2
1
3
1 075
0 95
1 132
1 020
0 95
1 072
0 874
0 95
0 92
= =
= =
= =
,
,
,
,
,
,
,
,
,
temos, então, que:
U kV
U kV
U kV
1
1
1
2
1
3
450
432
371
=
=
=
Agora, colocaremos os centros de operação no receptor:
CO A U
CO A U
1
1
1
1 2 2
1
2
1
2 2 2
0 7363 1 132 0 945
0 7363 1 072 0
� � � � �
� � � � �
, , ,
, , ,,
, , ,
848
0 7363 0 92 0 6241
3
1
3 2 2CO A U� � � � �
Partindo de C, descrevemos os ângulos q q q1 2 3; ; no diagrama e localizamos os 
pontos de operação no transmissor S1 ; S1
2 ; S1
3 sobre os círculos que passam por 
S2 ; S2
2 ; S2
3 .
Efetuando a ligação entre os pares:
O1
1 e S1
1 , teremos N1
1 .
O1
2 e S2
2 , teremos N1
2 .
O1
3 e S1
3 , teremos N1
3 .
174
UNICESUMAR
Achamos:
N pu
N pu
N pu
1
1
1
2
1
3
0 430
0 490
0 550
=
=
=
,
,
,
logo, podemos obter os valores:
N MVA
N MVA
N
1
1
1
2
1
3
0 430 1990 855
0 490 1990 975
0 550 19
� � �
� � �
� �
, [ ]
, [ ]
, 990 1092� [ ]MVA
analogamente, agora, tanto P quanto Q são determinados:
P pu
P pu
P pu
1
1
1
2
1
3
0 425
0 480
0 535
=
=
=
,
,
,
P MW
P MW
P
1
1
1
2
1
3
0 425 1990 845
0 480 1990 955
0 538 1990
� � �
� � �
� �
, [ ]
, [ ]
, ��1070[ ]MW
tendo os fatores como:
cos ,
cos ,
cos ,
f
f
f
1
1
1
2
1
3
0 987
0 980
0 977
=
=
=
Q pu
Q pu
Q pu
1
1
1
2
1
3
0 08
0 09
0 10
=
=
=
,
,
,
175
UNIDADE 5
Q MVar
Q MVar
Q
1
1
1
2
1
3
0 08 1990 159
0 09 1990 179
1 10 199
� � �
� � �
� �
, [ ]
, [ ]
, 00 219� [ ]MVar
os ângulos são:
q
q
q
1
2
3
22
26 3
37 4
=
=
=
º
, º
, º
Embora o uso dessa tecnologia ajude no cálculo das LTs, é indispensável que você, 
caro(a) aluno(a), tenha conhecimento de como construí-la, tradicionalmente.
Vamos relembrar os conteúdos abordados? Aces-
se o QR-Code!
Encerramos, assim, esta unidade.
Esses processos gráficos possibilitam a modelagem de linhas de transmissão e dos 
seus cálculos de forma muito mais rápida, apenas, pela identificação dos parâmetros 
dessas linhas bem como pela localização geométrica de suas variáveis. 
Comoprofissional, cabe a você, futuro(a) engenheiro(a), saber interpretar e utilizar 
esses processos gráficos, pois é muito importante o domínio da aplicação de pro-
gramas computacionais que façam este modelamento, via gráfico, afinal, tal modelo 
proporciona considerável ganho de tempo, se comparado a um modelamento analí-
tico, no qual todos os parâmetros teriam de ser calculados por modelos matemáticos.
Como você mesmo(a) pôde verificar, o uso de métodos gráficos acelera o proce-
dimento, garantindo os mesmos resultados.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/10464
176
Aqui, você deve testar os 
seus conhecimentos sobre 
o que foi exposto nesta 
unidade, assim, serão fixa-
dos, com mais efetividade, 
os tópicos e conceitos mais 
importantes acerca dos mé-
todos gráficos no cálculo 
prático das linhas de trans-
missão. 
Com esta finalidade, ini-
ciei, de forma básica, um 
Mapa Mental, então, a par-
tir dele, gostaria que você 
continuasse a preenchê-lo, 
evidenciando os diagramas 
mais importantes e algumas 
características de sua con-
fecção. Vamos lá?
PRO
CESSO
S G
RÁ
FICO
S PA
RA
 CÁ
LCU
LO
 D
A
S LT’S
D
iagram
as das tensões e correntes
Transm
issor
D
iagram
a universal
das potências
Descrição da Imagem: a imagem apresenta um Mapa Mental com várias bolhas azuis 
sobre um fundo branco. No topo, no interior de uma bolha, está escrito: “Processos 
gráficos para cálculo das LTs”. Há quatro direções para as outras bolhas: uma embaixo, à 
esquerda, diz: “Diagramas das tensões e correntes”. Ao lado dela, em branco, uma delas, 
levando a três outras bolhas, traz escrito: “Transmissor”. Embaixo, à direita, uma bolha 
diz: “Diagrama universal das potências”. Ao lado dessa, há outra, em branco.
177
1. O diagrama universal é usado como uma representação para qualquer linha ou qua-
dripolo. Em relação a este assunto, assinale a alternativa correta: 
a) Os círculos correspondentes são traçados a partir dos ângulos em qualquer posição, 
sem que haja a necessidade de qualquer inversão. 
b) Sempre há a necessidade de inversão do sinal da potência ativa como referência 
positiva. 
c) Deve-se inverter o sinal da potência reativa, adotada tanto indutiva como positiva.
d) Não há simetria entre o rebatimento, então, todos os sinais podem obedecer às con-
venções do quadrante.
e) O rebatimento pela simetria ocorre do primeiro para o quarto quadrante.
2. Considere uma LT trifásica que opera no receptor em 60 Hz, 380 kV, l = 569 km; 
Z , j ,c

� � � �236 76 9 6 W e g


l j� �0 03125 0 744, , . Utilizando o diagrama das tensões 
e correntes d’Escanglon, determine:
a) A tensão e a corrente no transmissor para operação com carga, considerando 
cos ,f2 0 8= (indutivo); N MVA2 500= [ ] .
b) A tensão e a corrente no transmissor operando sem carga (vazio).
c) A tensão e a corrente no transmissor operando em curto-circuito com corrente de 1 pu.
3. A Carta de Smith é usada como o método gráfico mais prático para achar valores especí-
ficos. Utilize o software online, realize os seguintes procedimentos e ache a impedância: 
• Determine a impedância distante 0,4λ da impedância de carga z = 1+ j. 
• Aloque a impedância z na carta. 
• Caminhe 0,4λ na carta. 
• Trace uma reta da coordenada correspondente até o centro da carta. 
178
6
 Caro(a) acadêmico(a), toda linha de transmissão é projetada para 
operar no chamado “regime permanente”, o qual depende de vários 
fatores. Nesta unidade, abordaremos os conceitos relacionados a 
esta operação em regime permanente e quais as características dela.
Operação em Regime 
Permanente
Me. Audrey Cristine Esteves
180
UNICESUMAR
Cada uma das linhas de transmissão (LTs) pode 
ser operada, de acordo com a sua especificidade, 
em vários esquemas básicos diferentes, dentro dos 
sistemas elétricos encontrados na comercializa-
ção desta energia elétrica. Imagine duas linhas de 
transmissão, sendo uma longa e uma média, e que 
se deseja fazer a interligação entre dois sistemas. 
A escolha dos elementos, dos parâmetros de 
operação e de condições será determinante à sua 
operação? Será possível adequar cada regime de 
operação de uma linha de transmissão para que 
atenda à determinada demanda? Adaptações, 
compensações e alterações de parâmetros po-
dem ser aplicadas para atender a estas exigências 
individuais das linhas?
Uma linha de transmissão, para atender à de-
manda para a qual é projetada, necessita da esco-
lha correta de elementos de acordo com o que é 
pretendido, em sua composição. A sua adequação 
de operação ao atendimento da demanda exige do 
profissional adaptações e compensações para que 
essa linha possa suprir as necessidades do SEP.
Nesta unidade, abordaremos a operação em 
regime permanente bem como as compensações 
que podem ser feitas, de modo a adequar os pa-
râmetros das LTs.
Convido você, caro(a) acadêmico(a), a reali-
zar uma pesquisa sobre as características de uma 
operação em regime permanente de uma LT bem 
como as suas aplicações. As linhas de transmissão 
operam, no Brasil, em regime permanente? Saberia 
dizer por quais parâmetros isso ocorreria?
Caro(a) aluno(a), para que o regime de ope-
ração seja mantido, é preciso adequar e avaliar 
vários parâmetros. Busque entender como ocorre 
a operação das linhas de transmissão em regime 
permanente, quais parâmetros podem ser simplifi-
cados a fim de que a operação possa ser analisada, 
de forma generalizada. Inicie a sua atividade fazen-
do anotações no seu Diário de Bordo.
DIÁRIO DE BORDO
181
UNIDADE 6
A transmissão de energia elétrica em longas distâncias é realizada 
por meio da chamada “rede básica”. Qualquer produtor ou consumi-
dor possui acesso a essa rede, garantindo a competição na geração 
e comercialização dessa energia. A integração de novas unidades à 
rede básica exige estudos acerca da pré-operacionalidade em regime 
permanente e do curto-circuito dessas linhas. 
As linhas de transmissão são operadas, de acordo com a sua 
especificidade, em diversos esquemas e características diferentes. 
Segundo Fuchs (1977), os receptores das linhas são compostos 
por sistemas de cargas passivas ou por sistemas que, além de tais 
cargas, contêm, também, fontes de energia iguais ou superiores às 
do sistema alimentador.
Em relação a cargas passivas, temos sistemas desprovidos de 
fontes ou máquinas síncronas cujas capacidades podem ser compa-
radas ao sistema alimentador. São agrupamentos de cargas pequenas 
e médias, cujas demandas são variáveis conforme as tensões e as 
suas representações são feitas por impedâncias fixas. Embora esta 
aproximação seja boa, qualquer redução na tensão reflete em mais 
redução, na demanda com fator de potência constante. Em linhas 
reais, verifica-se que, para o mesmo percentual de redução na tensão, 
acarreta-se a diminuição, um pouco menor, na potência ativa, mas 
diminuição maior na reativa. O 
comportamento repete-se para 
potências ativas e reativas cons-
tantes, uma vez que elas variam 
de acordo com as tensões.
As cargas são representadas 
de acordo com suas caracterís-
ticas no mesmo sistema, se as 
condições não se mantiverem, 
a representação é, apenas, uma 
aproximação.
Aqui, serão abordadas, basi-
camente, as linhas entre:
• Central geradora e carga 
passiva.
• Central geradora e um 
grande sistema.
• Interligação de sistemas.
• Interligação de dois pon-
tos de mesmo sistema. 
182
UNICESUMAR
A linha existente entre a central geradora e a carga passiva encontra-se, na prática, 
apenas, em sistemas iniciais de desenvolvimento. Neste caso, a central alimentado-
ra fica encarregada da manutenção da frequência, enquanto a linha de transmissão 
é responsável pelo transporte dessa energia, onde a capacidade limita o valor da 
potência ativa no transmissor da linha. Tal potência deverá suprir as perdas na 
transmissão, assim como atender às demandas no receptor (FUCHS, 1977).
O suprimento de energia reativa necessária ao sistema e à linha cabe à central 
geradora, em sistemas pequenos. Já em sistemasde porte maior, essa mesma 
energia é produzida junto ao sistema, evitando a circulação através das linhas e, 
consequentemente, o acarretamento de problemas de regulação de tensão, além 
das perdas adicionais na energia.
A Figura 1 reproduz as curvas de regulação de uma linha de 138 kV, na qual 
é possível verificar que, para a queda de tensão em 5%, a transmissão de energia:
• Para cosφ2 = 1 , tem-se 0,2 x 670 = 134 MW.
• Para cosφ2 = 0,8 (IND), tem-se 0,05 x 670 = 33,5 MW.
• Para cosφ2 = 0,9 (CAP), teríamos 0,57 x 670 = 382 MW. 
LIMITE TÉRMICO DO CONDUTOR (*)
[U1]
1,35 
1,30
1,25
1,20
1,15
1,10
1,05
1,00
0,95
0,90
25 50 100 200 300 400 500 [MW]
U1 [KV]
179,0
172,2
165,5
152
145
138
131
124
Po 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 P2
U2 = K
47
 (M
W
) P
O
T.
 N
AT
U
RA
L 
 
Curvas U1 = (P2 Cos P2)
Co
s P
2 =
 0,
8 (
IN
D)
Co
s P
2 =
 0,
9 (
IN
D)
Co
s P
2 =
 1,0
0
Cos
 P2 
= 0
,9 (C
AP)
Cos P2
 = 0,8(
CAP)
Figura 1 - Variação das tensões no transmissor para tensão constante no receptor de uma linha curta
Fonte: Fuchs (1977, p. 224). 
Descrição da Imagem: a figura mostra, em um gráfico, as curvas de variação de tensão no transmissor, de 
acordo com os fatores de potência indutivos e capacitivos. Na vertical, estão os valores da tensão, na horizontal, 
as potências. 
183
UNIDADE 6
Para as mesmas condições de transmissão, o gráfico apresenta as curvas das 
perdas de energia ativa, verificando que, quanto mais aumenta a energia reativa, 
maior é a perda associada.
AP
0,010
0,009
0,008
0,007
0,006
0,005
0,004
0,003
0,002
0,001
0,005
P0 0,1 0,2 0,3 P2
0
1
2
3
4
5
6
7
AP 
[MW]
250 [MW]20015010050
B) Curvas AP = f(P2: COS P2)
47
 (M
W
) 
PO
T.
 N
AT
U
RA
L 
CO
S 
P2
 =
 0
,8
CO
S 
P2
 =
 0
,9
CO
S 
 P
2 
= 
1,
00
Ub =138 [KV]
Nb =670 [MW]
 Po = o
Figura 2 - Variação das perdas em função da variação da energia reativa no receptor de uma linha 
curta / Fonte: Fuchs (1977, p. 224).
Para a mesma linha de 138 kV, porém, agora, com extensão 6 vezes maior do que a 
linha curta, anteriormente, apresentada, verifica-se que o efeito Ferranti provoca 
o aumento na tensão em vazio de cerca de 11%, então, podemos verificar que, aos 
mesmos 5% de queda de tensão, temos:
• Para cosφ2 = 1 , tem-se 0,3 x 104,2 = 31,25 MW.
• Para cosφ2 = 0,8 (IND), tem-se 0,11 x 104,2 = 11,5 MW.
• Para cosφ2 = 0,9 (CAP), teríamos 0,6 x 104,2 = 62,52 MW.
Descrição da Imagem: a figura apresenta um gráfico de variação das perdas com a energia reativa em uma 
linha curta. Os parâmetros dos fatores de potência estão expressos nas curvas, as potências associadas en-
contram-se na horizontal e as variações de potência, na vertical. 
184
UNICESUMAR
 U l
1,25
1,20
1,15
1,10
1,05
1,00
.95
.90
.85
P2 [MW]1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 80
U1 [KV]
179
172,2
165,5
152
145
138
131
124
117,2
P20,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
U2 = K 
COS
 P2 
= 0,
8 (C
AP)
CO
S P
2 =
 0,9
 (CA
P)
CO
S P
2 =
 1,0
0
CO
S P
2 =
 0,
3 (
IN
D)
CO
S P
2 =
 0,
8 (
IN
D)
47
 M
W
 P
O
TÊ
N
CI
A
 N
AT
U
RA
L 
a) Curvas U1 = f (P2 ; COs P2)
Para U2 = K
Figura 3 - Variação das tensões no transmissor para tensão constante no receptor de uma linha longa / Fonte: Fuchs (1977, p. 225). 
A Figura 4 apresenta as perdas de energia com o aumento da energia reativa entregue ao receptor.
P20,1 0,2 0,3
3,647
3,126
2,605
2,084
1,563
1,042
5 10 15 20 25 30 35 [MW]
 AP
MW
 AP2
0,035 
0,030
0,025
0,020 
0,015
0,010 
Ub = 138 [KV]
Nb = 104,2 [MW]
[APo]= 0,00981
A P0 = 1,02 [MW]
CO
S P
2 =
 1,
00
B) Curvas AP = f(P2; COSP2)
PARA U2 = K
CO
S 
P2
 =
 0
,8
 (C
AP
)
CO
S 
P2
 =
 0
,9
 (C
AP
)
CO
S 
P2
 =
 0
,8
 (I
ND
)
CO
S 
P2
 =
 0
,9
 (I
ND
)
Descrição da Imagem: a figura mostra, em um gráfico, as curvas de variação de tensão no transmissor de acordo com os fatores de potên-
cia. A tensão está na vertical, a potência encontra-se na horizontal e os fatores de potência, indutivos e capacitivos, expressos nas curvas. 
Descrição da Imagem: a figura mos-
tra um gráfico de variação das perdas 
com a energia reativa em uma linha 
longa. Na horizontal, estão os valores 
de potência expressos, na vertical, as 
perdas e as curvas dos fatores de po-
tência de acordo com os parâmetros.
Figura 4 - Variação das perdas em fun-
ção da variação da energia reativa no 
receptor de uma linha longa
Fonte: Fuchs (1977, p. 225). 
185
UNIDADE 6
Pode-se concluir, de acordo com Fuchs (1977), que:
• A demanda do sistema alimentado controla o fluxo de potência ativa, dentro 
dos limites da central alimentadora, logo, as máquinas primárias devem ajus-
tar-se para que a frequência seja mantida constante, da mesma forma que os 
geradores, a fim de manterem, em um ponto do sistema, a tensão constante. 
• O desempenho de uma linha está associado ao fluxo de potência reativa, 
tanto para a regulação de tensão quanto para o seu rendimento. Ao aumen-
tar a extensão da linha, maiores serão as perdas e os problemas associados 
à sua regulação.
• A limitação da capacidade de transmissão de uma linha longa deve-se às 
perdas de potência e à regulação de tensão, em linhas curtas, ao aquecimento 
dos condutores.
Considere, agora, que a central de alimentação mantenha a tensão constante no 
transmissor ou que a alimentação do sistema seja feita por um barramento de outro 
sistema maior, o qual é capaz de manter essa tensão constante, evidenciado em linhas 
radiais de subtransmissão. Considere, também, as curvas de regulação de uma linha 
longa da Figura 5, que opera de acordo com a equação U (N ,U )2 2 1= f , a qual 
admite 4 raízes.
186
UNICESUMAR
.1 .2 .3 . 4 .5 .6 .7 .8 [P2]
10
,4
2
20
,8
4
31
,2
6
41
,6
8
52
,1
0
62
,5
2
79
,9
4
P2 [MW]
U2 [KV]
151,8
138,0
124,2
110,2
96,6
82,8
69,0
55,2
41,4
27,6
13,8
P0
= 
47
 (M
W
)
[U2]
1,10
1,00
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
Ub = 138 [KV]
Nb = 104,2 [MVA]
COS P2 = 0,8 (CAP)
COS P2 = 0,9 (CAP)
COS P2 = 1,00
COS P2 = 0,9 (IND)
COS P2 = 0,8 (IND)
Figura 5 - Curvas de regulação de uma linha longa operada com U1 = k, alimentando uma carga positiva / Fonte: Fuchs (1977, p. 227).
Descrição da Imagem: a figura apresenta, em um gráfico, as curvas de regulação para a equação proposta, na linha longa com tensão constante.
A partir do gráfico exibido na Figura 5, podemos deduzir, de acordo com Fuchs (1977), que:
• Na potência ativa no receptor, há um limite máximo definido pela raiz real, as demais são todas 
imaginárias, mostrando que não há potências maiores.
• Onde existem duas raízes reais e positivas, são encontradas potências ativas maiores. O maior valor 
entre elas é o que possui real significado, atendendo às possibilidades do transmissor, já o menor valor 
representa a possibilidade de alimentação por central elétrica, mediante o uso de máquinas primárias.
• Considerando a demanda no receptor constante, qualquer aumento na potência só poderá ser absor-
vido pelas perdas na LT, como indicado por P = RI2. Como essa resistência é constante, a corrente se 
elevará, provocando maior queda de tensão e atingirá, então, o menor valor para U2. Esta condição 
de operação é inviável, pois as potências são dependentes das tensões, se uma aumenta ou diminui, 
a outra tem o mesmo comportamento. Aumentar a potência ativa no transmissor acarretaria o 
aumento da frequência, cuja sensibilidade dos equipamentos regularia esta magnitude de variação 
de frequência. Logo, existiriam variações nas demandas das potências ativas e reativas.
• Tanto a regulação da linha quanto o rendimento da mesma são dependentes do fator de potência 
do sistema alimentado.
187
UNIDADE 6
Uma condição de operação encontrada, com frequência, em níveis altos de sistema são as LTs que 
interligama central geradora a um grande sistema, por exemplo, no caso de hidrelétricas que alimen-
tam outras centrais bem como sistemas grandes. A operação nessa condição prevê, simplificadamente, 
que a frequência no barramento de interligação é constante bem como a tensão nesse barramento do 
receptor e, pelo fato de o sistema alimentado ser muito grande, a sua capacidade de fornecimento e 
recebimento de energia ativa e passiva também é, entretanto vemos que, nas linhas reais, isso não é, 
totalmente, verificado, porém apresentam similaridades. 
Pode-se verificar, nesta situação, que uma vez definidos os parâmetros principais das LTs, os seus de-
sempenhos podem ser analisados por meio das técnicas de estudo de fluxos de carga e de estabilidade dos 
sistemas (FUCHS, 1977; MOURA; MOURA; ROCHA, 2019).
A central de alimentação não exercerá nem influência sobre a frequência do sistema, nem controle sobre 
a tensão. Sendo a tensão e a frequência constantes, o sistema alimentado não influenciará a quantidade de 
energia transmitida na linha. Isso dependerá, somente, do modo de operação da central junto ao transmissor.
A Figura 6 mostra que, fixados U1 e U2, os valores da potência ativa transportada são influenciados, 
apenas, pelos reguladores de abertura das turbinas. Os geradores fornecem potências iguais às linhas e à 
sua máquina primária (turbina), retirando as perdas de geração e transformação.
Ângulos de potência - 8º 
10 20 30 40 50 60 70 80 90 
+100
+0,9
+0,8
+0,7
+0,6
+0,5
+0,4
+0,3
+0,2
+0,1
1,00
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
-0
P1 + Jq1
Q2
B
A
2
P1 + Q
P0 = 0,68
P1 
P2
1/2 P0 = 0,34
U2 = Const.
0 = Variável
U1 = Const.
P2 + J Q2
Q1
Nb = 1317 [MVA]
P0 = 893 {MVA}
U1 = U2 = Const. 
U2 = 460 [KV] = 1pu
Figura 6 - Variação das potências ativas e reativas em função dos ângulos de potência com tensão constante U1= U2 = pu 1,0 
Fonte: Fuchs (1977, p. 229).
Descrição da Imagem: a figura apresenta, em um gráfico, as curvas de regulação para a equação proposta na linha longa com tensão constante.
188
UNICESUMAR
Uma vez mantida constante a tensão no barramen-
to do receptor, a regulação da tensão na central do 
transmissor pode atuar na regulação do fluxo de 
potências reativas da linha. Cada valor de U1 cor-
responde a um Q2.
No sistema proposto, onde as tensões são manti-
das constantes na central e no sistema, aumentando 
a passagem de água (ou vapor) nas turbinas, haverá 
o aumento no fornecimento de potência ativa, o que 
alterará o funcionamento do motor. Isso faz o rotor 
adiantar-se, eletricamente, uma vez que não pode au-
mentar a rotação, pois opera em modo síncrono ao 
sistema, assim, é ocasionado o adiantamento de fase da 
tensão, logo, o ângulo de potência aumentará, também, 
à medida que a admissão for aumentada. Enquanto for 
possível o aumento da vazão, a potência ativa conti-
nuará crescendo. Se a vazão for mantida constante, o 
sistema entra em equilíbrio para um valor do ângulo 
θ, que corresponde à energia entregue no receptor.
Uma situação a qual pode ser observada é: com um 
ângulo de potência mínimo bA , a potência ativa supre 
as perdas na linha em vazio, que, devido à corrente 
de carga presente, torna-se um gerador reativo. Essa 
potência será dividida em partes iguais e absorvida no 
transmissor e no receptor, tornando-se um problema 
real aos geradores.
Aumentar as potências aumenta a energia ativa for-
necida ao receptor, a qual é contrabalanceada pelas 
perdas na linha, já as potências reativas decrescem 
até haver inversão de sinal. No ponto de cruzamento 
entre essas potências, o gerador recebe potência rea-
tiva proveniente do receptor (como se vê na Figura 
7, o ponto A). Desse ponto em diante, como a linha 
não necessita de reativo para o seu funcionamento, 
as potências ativas e reativas fornecidas pelo receptor 
suprem as necessidades da linha, assim, os geradores 
absorvem parte desse reativo. A partir desse ponto, 
os reativos são destinados à manutenção dos campos 
elétrico e magnético (FUCHS, 1977).
189
UNIDADE 6
+100
+0,9
+0,8
+0,7
+0,6
+0,5
+0,4
+0,3
+0,2
+0,1
1,00
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
-0
P1 + Q
1/2 P0 = 0,34
TENSÕES NO TRANSMISSOR 
0,8 0,85 0,9 0,95 1,0 1,05 1,10 1,15 1,20 pu 
+0,8
+0,7
+0,6
+0,5
+0,4
+0,3
+0,2
+0,1
0,0
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
Transmissão com P12 = ½ Po 
P22 = 1/1 Po
P11
P22 
U2 = 460 [KV]
NB = 1317 [MVA]
Po = 893 [MWA]
B1 = 19º
O2 = 43º
P
2
1
P 22
P
2
1
P 22
P 1+ Q
P
1
2
P 11
Q 22
Q 22
Q 21
Q 11
1 2
P2 + jQ2
Q 21
Q 12
Q 11
U1 = VAR
P1 + jQ1
U2 = CONSTANT. = 1
P2 = CONST.
A
-Q
Q 22
Figura 7 - Variação das potências reativas em função das tensões no transmissor, com tensão e potência 
constante no receptor / Fonte: Fuchs (1977, p. 229).
O crescimento gradativo das potências ativas no receptor chegará até o seu ponto de 
potência máxima. Deste ponto em diante, as potências reativas aumentarão, portanto, 
as suas perdas superarão os acréscimos de potência ativa no receptor.
Esse sistema é dito oscilante em torno de θ, ou seja, se houver variação abrupta da 
potência ativa, surgem oscilações em torno desse ângulo, ultrapassando o limite de 
estabilidade e, consequentemente, quebrando o sincronismo da rede. Cabe, então, a 
adoção de um valor de θ, onde a potência ativa é limitada para que não ultrapasse o 
valor desse ângulo. Em linhas longas, θ fica, aproximadamente, em 30º.
A complexidade de determinação dos limites de estabilidade dinâmica será maior, 
quanto maior for o número de centrais interligadas em paralelo ao sistema, sendo, 
então, analisados de forma computacional.
Agora, consideremos a vazão constante das turbinas, em que a potência ativa no 
receptor apresenta metade do valor da potência natural. Fazendo variar a tensão no 
transmissor, observamos, na Figura 7, que a potência reativa é negativa no transmissor 
e, no receptor, há um fluxo reativo para a linha, para valores abaixo de U1.
Descrição da Imagem: a figura apresenta, em um gráfico, as variações das potências reativas no trans-
missor e os valores correspondentes de Q2 para cada valor de U1. O gráfico exibe o comportamento das 
variações aos parâmetros, inicialmente, fixados.
190
UNICESUMAR
Ao variar a potência ativa até atingir o valor da potência natural da linha, observa-
-se uma variação pequena das potências reativas no transmissor, com valores positivos 
e negativos de acordo com as variações de tensões. Ainda, verificamos uma variação 
de potência reativa no receptor, onde apresenta, para U1 baixo, valores negativos e, 
para U1 alto, valores positivos. Neste caso, o ponto de equilíbrio se encontra quando 
nem há geração, nem absorção de reativo na linha.
No caso de interligação entre sistemas, as tensões são constantes nesse ponto 
e ambos os sistemas apresentam características de sistema infinito. Pelo fato de a 
central de alimentação ter sido substituída por um sistema de igual característica ao 
alimentado, ambos podem ou fornecer ou receber energia ativa, logo, a linha trans-
porta essa energia nos dois sentidos.
Haverá controle do fluxo de potências, cujo fornecedor atuará sobre máquinas 
primárias, aumentando a sua potência, enquanto o receptor manterá a sua gera-
ção constante ou reduzida, a depender da situação, se em demanda aumentada ou 
constante, respectivamente. Já o fluxo reativo ocorrerá pelo controle das tensões no 
transmissor e no receptor, com uso de transformadores reguladores junto às linhas. 
Esse tipo de linha deve operar com fator de potência unitário, pois a geração de 
energia reativa, se gerada próxima onde será usada, é mais econômica.
191
UNIDADE 6
Outro tipo de interligação faz-se entre dois pontos de um mesmo sistema. Neste 
caso, são destinados a aumentar a segurança e a flexibilidade de operação, pela faci-litação da regulação geral bem como a circulação de potências, estas atingem, assim, 
ótimos fluxos. Cabem, ao seu bom funcionamento, as escolhas dos pontos para in-
terligação e, também, das condições de operação, logo, as tensões nos pontos devem 
variar de acordo com as condições da carga. São usados transformadores de tensão 
e de fase para a regulação dos fluxos de potências ativas e reativas.
As condições de funcionamento de uma linha determinam o seu transporte de 
energia, ou seja, elas dependem das características das linhas e das cargas, assim 
como das diferenças das tensões em módulo e fase. De modo geral, podemos fazer 
o controle ou a alteração, de modo a obtermos o modo desejado de operação. Acerca 
da compensação dessas linhas, verificaremos a influência dos meios externos e das 
modificações dos parâmetros.
A regulação do fator de potência é feita pelo uso de dois tipos de equipamentos, a 
fim de realizar essa compensação (FUCHS, 1977; MOURA; MOURA; ROCHA, 2019):
• Compensadores síncronos: são máquinas rotativas que geram e absorvem 
potência reativa, dependendo do seu grau de excitação, o que permite o con-
trole fino de tensão bem como o atendimento às condições de emergência da 
rede. Os usos desses compensadores, em relação aos de controle discreto, são:
 » Possibilidade de controle de tensão.
 » Aumento da potência de curto-circuito.
 » Resposta automática às perturbações do sistema.
 » Alta capacidade de sobrecarga.
• Compensadores estáticos: são utilizados com o objetivo de minimizar distúr-
bios de qualidade de energia, por exemplo, variação de tensão de curta duração, 
flutuações de tensão, correção de fator de potência e redução de harmônicos. 
As suas vantagens são:
 » Tempo de resposta menor.
 » Menos custo de manutenção.
 » Dimensão reduzida, se comparada a um síncrono.
 » Mais confiabilidade de operação. 
Uma linha de transmissão é muito sensível à intensidade da carga alimentada, apre-
sentando variações de tensões provocadas pelos mais diversos motivos. Para linhas de 
longa distância, cujas alterações de características físicas se tornam inviáveis, existem 
técnicas que possibilitam a adequação de funcionamento, conforme solicitado. Os 
métodos de compensação são, amplamente, usados, seja na alteração da reatância 
capacitiva ou indutiva, seja na alteração artificial do comprimento dessas linhas 
(BEZERRA, 2020, on-line; FUCHS, 1977).
192
UNICESUMAR
Aqui, abordaremos dois regimes extremos: operação em carga leve e carga pesada, 
considerando o intervalo de regulação em ± 5% às variações de tensão.
A Figura 8 apresenta uma linha operando em vazio, onde, no primeiro gráfico, 
apresentado pela Figura 8 (a), não há compensação, neste caso, a tensão no terminal 
receptor poderia chegar a níveis bem elevados. Já na Figura 8 (b), a linha está sub-
metida a uma compensação total, na qual a tensão no terminal receptor se iguala 
ao transmissor. Porém, para linhas longas, ainda há a necessidade do apresentado 
na Figura 8 (c), com seccionamento das mesmas, a fim de que os valores de tensão 
cheguem ao pretendido.
U10
U10
U10 U10U20=
U10U20=
U20
(a)
L
(b)
L
(c)
L/2 L/2
U10U=
Figura 8 (a) - Aqui, não há compensação; Figura 8 (b) - Aqui, há compensação total; Figura 8 (c) - Aqui, em 
derivação / Fonte: adaptada de Bezerra (2020, on-line). 
Em carga leve, usa-se, em cada um dos terminais, um equipamento em paralelo represen-
tado da seguinte maneira: quadripolo da linha (retângulo com as constantes) e quadripolo 
reator (retângulo dos extremos, constituído por condutância e susceptância indutiva). 
Descrição da Imagem: a figura demonstra a ilustração do funcionamento de uma linha operando em 
vazio (índice 0) e em L (comprimento da linha), em três situações: sem compensação, com compensação 
total e em derivação, respectivamente.
193
UNIDADE 6
Y y jy

� �' "
U1 Y Y U2
A B C D
Figura 9 - Ilustração da compensação em carga leve. U representa as tensões, Y representa as compen-
sações / Fonte: adaptada de Bezerra (2020, on-line). 
A equação matricial representa a relação entre tensões e correntes na linha compensada:
U
I
A B
C D
U
I


 
 


1
1
2
2
�
�
�
�
�
�
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�
�
�
�
�
a matriz compensada é obtida pela multiplicação das matrizes, a seguir:
A B
C D Y
A B
C D Y
c c
c c
 
 

 
 

�
�
�
�
�
�
�
�
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�
�
�
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�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 0
1
1 0
11
�
�
�
�
�
�
�
�
pelas formulações:
U A U B Ic c
    
1 2 2� �
com as condições em carga leve cuja corrente é, basicamente, nula, teremos:
I k A U
U
c
 


2
1
2
0� � � �
onde: 
Descrição da Imagem: os retângulos laterais representam o quadripolo reator, enquanto o central re-
presenta o quadripolo de linha, em um esquema de compensação em carga leve.
194
UNICESUMAR
 k: constante de compensação, sendo 1 para compensação total a U1 = U2. 
Operando as matrizes e igualando as partes reais e imaginárias, chegamos à equa-
ção, a seguir, a qual nos dá o valor da susceptância indutiva do reator a ser instalado:
y k a
B
sen a
BB B
''
' ''
cos�
�
�b b [siemens/fase]
ainda, temos que:
D A Ae a ja
B Be b jb
j
j
A
B
 

� � � �
� � �
b
b
' "
' "
A capacidade trifásica dos reatores indutivos em derivação a serem instalados nas 
extremidades da linha é determinada:
Q y UL � �"
2
com Q {MVar] e U (tensão nominal entre fases em [kV]. 
Para a operação em carga pesada, o banco de capacitores é instalado em série e 
a sua montagem é realizada nos extremos ou no meio dessa linha, sendo a primeira 
utilizada, mais amplamente, por aproveitar a estrutura já contida nas extremidades 
das linhas. Porém se a compensação tiver que ser central, os quadripolos são confi-
gurados de acordo com a Figura 10. 
U1 U2Z = jx c
A B C D1 1 1 1 Z A B C D2 2 2 2
Figura 10 - Ilustração da compensação-série central. U representa as tensões, Z a impedância e as cons-
tantes A, B, C e D como relacionadas às equações anteriores / Fonte: adaptada de Bezerra (2020, on-line). 
Descrição da Imagem: a figura mostra uma configuração do banco de capacitores instalados, central-
mente, à linha. U representa as tensões, enquanto Z representa a impedância e as constantes A, B, C e D.
195
UNIDADE 6
E a matriz associada será escrita da forma:
U
I
A B
C D
U
I
c c
c c


 
 


1
1
2
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
com:
A B
C D
A B
C D
Zc c
c c
 
 
 
 

�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 1
1 1
1
0 1
AA B
C D
2 2
2 2
 
 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
escrevendo:
U A U B I
B B A D B D A Z
c c
c
    
      
1 2 2
1 2 1 2 1 2
� � � �
� � �
�
para uma linha homogênea e separando as partes reais e imaginárias:
b jb b a jb a jb a a ja a a jc c' " ' ' ' " " ' ' ' " "� � � �� �� � � � � � �2 21 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 XXc� ���
�
�
ao rearranjar, teremos que a parte imaginária é:
b b a b a X a ac c" ' " " ' ' "� �� � � � � � � ���
�
�
2 1 1 1 1 1
2
1
2
na compensação total, uma estratégia seria a eliminação da queda de tensão ocasio-
nada pela corrente de carga, então, teríamos que:
b
X
b a b a
a a
c
c
"
' " " '
' "
[ ]
�
�
�� �
� � � � �
0
2 1 1 1 1
1
2
1
2 W
a capacidade do banco de capacitores seria dada por:
Q X IC c L= 3
2
com IL em [kA], dita corrente em regime permanente:
196
UNICESUMAR
Na aplicação de uma compensação-série nos extremos da linha, temos a confi-
guração como demonstrada na Figura 11.
A B C D1 1 1 1 ZccZcc
Figura 11 - Ilustração da compensação-série nos extremos / Fonte: adaptada de Bezerra (2020, on-line). 
A matriz gerada seria, então, escrita: 
A B
C D
Z A B
C D
c c
c c
CC
 
 

 
 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�1
0 1
1 1
1 1
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
0 1
ZCC

então, escrevemosque:
U A U B I
B B A Z D Z C Z
c c
c CC CC CC
   
      

1 2 2
1 1 1 1
2
� � � �
� � � �
rearranjando, teremos:
b jb b jb a ja r jX c jc r jXc c c c' " ' " ' " ' " ' " 'c� � �� � � �� � �� � � �� � �1 1 1 1 1 12 ""c� �
2
Logo, teremos que a parte imaginária:
b b a X c Xc c" " ' " " "c � � � � � � �1 1 1
22
com as condições para a compensação total, tem-se:
b
X
a a c b
c
c
c
"
' ' " "
"
[ ]
�
�
� � � � � �
0
2 2 4
2
1 1
2
1 1
1
W
Por se tratar de uma reatância capacitiva, a raiz negativa deve ser adotada.
Descrição da Imagem: a figura mostra uma configuração do banco de capacitores instalados nos dois 
extremos da linha, com os parâmetros da linha na parte central.
197
UNIDADE 6
Bezerra (2020, on-line) apresenta vantagens em um SEP do uso desse tipo de 
compensação-série: 
• Redução do ângulo de potência.
• Aumento da estabilidade estática e transitória.
• Melhoria da regulação da linha.
• Auxilia na manutenção do equilíbrio de energia.
• Melhoria da distribuição de cargas.
• Melhoria das perdas globais do sistema.
Novas linhas na classe de tensão de 500 kV já são projetadas com a aplicação da 
compensação em série.
As desvantagens são:
• Em situações de curto-circuito, ocorrem sobretensões nos capacitores.
• Ferro-ressonância entre capacitores-série e entre transformadores.
• Oscilações permanentes em compensadores síncronos.
• Dificuldades na coordenação da proteção.
• Custos elevados.
Observação: muitos desses problemas já foram sanados por meio da aplicação e do 
desenvolvimento da eletrônica de potência.
As variações artificiais dos comprimentos de linha são realizadas por outros 
dois tipos de compensações: a total (encurtamento) e a meia-onda (alongamento) 
(FUCHS, 1977).
A compensação total é feita utilizando, em ambos os terminais da linha, capaci-
tores em série e reatores em paralelo. O esquema, nestas condições de operação, é 
demonstrado na Figura 12. 
U1 U2xcc xcc
xLC xLC
Figura 12 - Ilustração do esquema para a compensação total com capacitores em série e reatores em 
paralelo / Fonte: adaptada de Bezerra (2020, on-line). 
Descrição da Imagem: a figura mostra um esquema da configuração de compensação total, instalada 
para o encurtamento artificial da linha, com capacitores em série e reatores em paralelo.
198
UNICESUMAR
A linha apresenta comportamento, puramente, resistivo, como o diagrama fasorial, 
a seguir, que representa a configuração das tensões.
U2
U1
φ2
θ
I2
b´I2
Figura 13 - Diagrama fasorial da linha por compensação total. As tensões estão no transmissor e no 
emissor / Fonte: adaptada de Bezerra (2020, on-line).
O objetivo não é a compensação total da linha, mas assegurar o seu ótimo funcio-
namento por meio de alguns fatores, tais como: estabilidade e regulação de tensões 
e fluxo de potência (BEZERRA, 2020, on-line).
Já a compensação em meia-onda é realizada em linhas longas, como representado 
na Figura 14, onde o seu comprimento físico é próximo à meia-onda usada.
U10
U20
λ
4
λ
4
λ
4
λ
4
Para o transmissor
Figura 14 - Compensação em meia-onda para o transmissor, na qual é explicitada a variação de tensão 
a cada ¼ de comprimento de onda / Fonte: adaptada de Bezerra (2020, on-line).
Descrição da Imagem: a figura mostra, por meio de fasores, a configuração de compensação total.
Descrição da Imagem: a figura apresenta a configuração de compensação em meia-onda, da tensão em função 
do comprimento. O comportamento da tensão, a cada ¼ de comprimento de onda, é representado na equação.
199
UNIDADE 6
O comprimento de onda λ é dado pela relação entre velocidade 
de propagação e corrente ao longo da linha. Então, a frequência 
do sistema é:
l =
1
f c
km

[ ]
com: 
L: indutância da linha;
 C: capacitância da linha; 
f: frequência de oscilação das tensões e correntes senoidais.
Para que o comprimento de onda coincida com comprimento 
da linha, faz-se uma redução, a qual pode ser realizada por meio 
de dois processos: 
• O primeiro consiste na instalação de bando de capacitores 
em derivação, o que aumenta a susceptância capacitiva 
da linha. Este processo diminui a impedância, aumenta a 
potência natural e o comprimento autoelétrico da linha.
Relembrando:
P U
Z
Z
c
0
2
0
0
=
=

onde:
Po: potência natural da linha;
U: tensão entre fases da linha;
Zo: impedância natural da linha.
• O segundo processo consiste no aumento dos termos em 
derivação e em série, junto aos extremos da linha. Não há 
alteração da potência natural da linha, mas o aumento na 
potência transmissível altera o ângulo.
Em termos econômicos, em linhas de, aproximadamente, 1450 
km ou maiores, a compensação por meia-onda é mais econômica 
do que o uso de capacitores.
Aqui, entenderemos como algumas dessas situações são ana-
lisadas, de acordo com o que foi abordado nesta unidade.
Vamos relembrar o que foi 
abordado nesta unidade? Va-
mos lá! Acesse o nosso QR-Code 
e entenda! 
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200
UNICESUMAR
Exemplo 1: 
Um sistema com cargas passivas possui uma demanda de 1000 kVA com um fator 
de potência indutivo fp = 0,8, quando a tensão no receptor é de 138 kV (entre fases). 
Havendo variação da tensão em 10% no receptor, qual será sua demanda, admitindo 
impedância constante? 
A impedância será:
Z
U
N e
ej
j



2
2
2
2
2
36 87
36 87138
10
1904 4�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�� , º
, º
,
para cálculo da demanda em função da variação de tensão:
N
U
Z



2
2
2
2
�
�
�
�
�
�
�
N
e
e MVA
N
j
j
'
,
,
, [ ]
"
,
, º
, º


2
2
36 87
36 87
2
1 1 138
1904 4
12 10
0 9
�
�� �
�
�
�
�
1138
1904 4
8 10
2
36 87
36 87� � ��
,
, [ ]
, º
, º
e
e MVAj
j
onde:
 N’1: refere-se a 10% de aumento da tensão; 
 N”1: refere-se à queda de 10% na tensão.
Houve uma variação de 19% no valor de potência aparente. 
Exemplo 2: 
Uma linha de transmissão faz a interligação entre dois sistemas com as características, 
a seguir. Se as tensões forem mantidas constantes nas duas extremidades da linha 
(transmissor e receptor), qual será o ângulo de potência da linha quando forem en-
tregues ao receptor os valores correspondentes a 0,5Po; 1,0 Po e 1,5 Po? Sendo Po a 
potência inicial e U1 = U2 = 460 Kv.
201
UNIDADE 6
A e
B e
C e
D A
Z
j
j
j





=
=
=
=
=
0 7363
160 76
0 002861
2
1 7
85 7
90 4
0
,
,
,
, º
, º
, º
336 8, W
Po MW� � � �460
236 8
893 58
2
,
, [ ]
aplicando a potência inicial às condições:
0 5 446 79
1 0 893 58
1 5 1340 37
, Po , [ ]
, Po , [ ]
, Po , [ ]
=
=
=
MW
MW
MW
logo, os ângulos de potência são determinados pela equação: 
θ β β β� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
B arccos cos( )
B
U U
P AU
B B A1 2
2
2
2
q
q
q
� � �� �
� � �
86 7 0 00076 84 46727
86 7 66 187 20 513
2
0 5
, arccos , ,
, , , º,
P
11 0
1 5
86 7 41 985 44 715,
,
, , , º� � �
�q INDETERMINADO
Nesta última condição, o valor de Po está acima do limite máximo de transmissão às 
condições impostas, então, calculando este valor-limite, temos que: 
P U U
B
AU
B
MWmáx B A2 1 2
2
2 1255 58� � �� � �cos , [ ]b b
Neste caso, somente, por meio da compensação, pode-se operar.
202
UNICESUMAR
Na operação em regime permanente, as linhas podem ser modeladas conforme as suas características 
e existem compensações que podem ser realizadas de forma a tornar a análise do fluxo de carga mais 
fácil. A escolha do modelo matemático adequado proporciona mais confiabilidade.
Várias técnicas para a compensação de linhas foram apresentadas e, em linhas longas, pôde-se 
verificar que a compensação por meia-onda ajuda na redução de perdas. 
A comparação entre a transmissão CA/meia-onda com a CC proporciona agregar elementos 
intermediários, por exemplo, subestações, o que possibilita o atendimento de diversas cargas, sendo, 
portanto, mais adequada.
Como podemos fazer compensações na modelagem de uma linha de transmissão?
O Brasil possui um sistema próprio de modelagem computacional voltada à simulação eà análise de redes elétricas. Portanto, a cada proposta de incorporação de elementos ao 
Sistema Nacional (SIN), eles já são analisados via computadores. O desenvolvimento de pro-
gramas computacionais que permitem a avaliação do comportamento de operação dessas 
LTs modela, de forma estática, os parâmetros para os Sistemas Elétricos de Potência (SEP), 
ou seja, as variações previstas nas grandezas elétricas são lentas, podendo desconsiderar 
os efeitos transitórios.
Esses programas permitem análises de fluxo de potência, estabilidade de tensão, análise 
de contingências, sensibilidade de tensão, sensibilidade de fluxo e fluxo de potência con-
tinuado bem como da segurança estática dos SEP.
A otimização do ponto de operação por essas variáveis vem sendo, também, alvo de muitos 
estudos, uma vez que criam um conjunto de restrições físicas e operacionais, assim como 
de controle. Alguns dos métodos empregados utilizam a técnica denominada Decompo-
sição de Benders.
Alguns desses programas incluem o ANAREDE (Análise de Redes Elétricas) e o FLUPOT 
(Fluxo de Potência Ótimo), os quais se tornaram ferramentas fundamentais às agências de 
energia, tais como: Eletrobrás, ONS, entre outras.
203
UNIDADE 6
Assim, encerramos esta unidade.
Vimos que, para cada tipo de interliga-
ção, podemos adequar os parâmetros, a fim 
de que ela seja analisada em regime perma-
nente. Cada análise dependerá da fixação 
de algumas das variáveis e, assim, as suas 
simulações podem ser determinantes nos 
modos de interligação dessas LTs. 
A compreensão da operação de linhas de 
transmissão em regime permanente senoidal 
bem como da relação dos acoplamentos elé-
tricos (condutivo e capacitivo) e magnéticos 
(indutivo) é de fundamental importância, 
uma vez que tais elementos estão, direta-
mente, associados com as perdas nas LTs, a 
segurança e a confiabilidade do sistema elé-
trico interligado e, também, a segurança de 
terceiros, quando expostos aos campos ele-
tromagnéticos, ao longo da faixa de servidão 
(ARANTES et al., 2016).
As linhas de transmissão operam no Bra-
sil em regime permanente? Saberia dizer por 
quais parâmetros isso ocorreria? Sabe-se que 
o regime de operação de frequência, no Brasil, 
é em 60 Hz, enquanto que, na Europa, é de 50 
Hz. Portanto, cabe ao ou à profissional que 
atuará nas SEP o pleno conhecimento, inclusi-
ve, das formas de operação, para que o sistema 
SIN continue operando com eficiência.
204
Caro(a) aluno(a), cabe a você realizar, aqui, um apanhado dos conhecimentos adquiridos nesta 
unidade. Tente construir um modelo com as principais características de cada um e fazer um 
resumo interativo.
Inicio, aqui, um modelo, elencando alguns tópicos importantes. Em seguida, você deve desenvol-
vê-lo com mais detalhes.
Central e carga
passiva
Operação em regime
permanente
Compensação
Descrição da Imagem: a figura representa um resumo da operação em regime permanente, os modos em que se apresentam e 
a compensação que deve ser realizada.
205
1. Uma linha de transmissão de 500 kV e comprimento de 305 km, alimentada por tensão 
constate de 500 Kv, supre cargas passivas. As características dessa linha são:
R km
L mH km
C nF km
=
=
=
0 0025
0 322
13 65
, [ / ]
, [ / ]
, [ / ]
W
Com base nestas informações, calcule:
a) A tensão no final da LT operando em vazio.
b) Caso opere em vazio, a tensão no receptor possui valor máximo de 515 Kv. Determine 
a potência dos reatores a ser colocada na LT.
c) As constantes da LT compensada. 
2. Uma linha de 230 kV alimenta uma carga passiva de 35 + j5 MVar, com tensão de 220 
kV no receptor. De acordo com as constantes dessa linha, determine qual o valor de 
tensão que deve ser mantida no transmissor.
A e
B e
C e
j
j
j



�
�
� � �
0 6068
325 5115
1 991 10
6 79
79 98
3 92 98
,
,
,
, º
, º
, º
206
3. A confecção das equações gerais às LTs em regime permanente é usada em SEP para a 
análise dos parâmetros. Confira uma linha com as seguintes características e verifique 
qual a equação matricial que satisfaz ao quadripolo com parâmetros distribuídos:
• x: a distância da linha de transmissão, a partir de seu terminal receptor;
• V(x) e I(x): a tensão fase-neutro e a corrente de linha no ponto x de interesse, respec-
tivamente;
• Vr e Ir: a tensão fase-neutro e a corrente de linha no terminal receptor, respectivamente;
• Zc: a impedância característica da linha;
• y: a constante de propagação da linha de transmissão.
Assinale a alternativa correta: 
a) 
V x
I x
x Z sen x
Z
sen x x
c
c
( )
( )
cosh( ) h( )
h( ) cosh( )
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�g g
g g
1
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
V
I
r
r
b) 
V x
I x
x
Z
sen x
Z sen x x
c
c
( )
( )
cosh( ) h( )
h( ) cosh( )
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�g g
g g
1
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
V
I
r
r
c) 
V x
I x
Z
sen x x
x Z sen x
c
c
( )
( )
h( ) cosh( )
cosh( ) h( )
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�1 g g
g g ��
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V
I
r
r
d) 
V x
I x
Z sen x x
x
Z
sen x
c
c
( )
( )
h( ) cosh( )
cosh( ) h( )
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g g
1
��
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V
I
r
r
e) 
V x
I x
sen x
Z
x
Z x sen x
c
c
( )
( )
h( ) cosh( )
cosh( ) h( )
�
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�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�g g
g g
1
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
V
I
r
r
7
O uso do termo “regime transitório” refere-se à análise das variações 
dos sistemas de energia as quais apresentam efeito indesejável. 
Nesta unidade, abordaremos os fenômenos transitórios a partir 
dos conceitos sobre propagação de ondas eletromagnéticas nas 
linhas de transmissão, ou seja, o regime transitório. Também de-
finiremos os conceitos, as causas, as consequências e as possíveis 
intervenções. 
Operação em Regime 
Transitório
Me. Audrey Cristine Esteves
208
UNICESUMAR
DIÁRIO DE BORDO
Caro(a) acadêmico(a), os sistemas elétricos de po-
tência estão sujeitos a variados fenômenos transi-
tórios, tais como: rápidas variações de tensões e de 
correntes provocadas por diversos fatores operacio-
nais ou ambientais. Então, você saberia definir o que 
é a operação de uma linha em regime transitório? 
E o que ela provoca? Quais os efeitos causados na 
transmissão de energia e quais as medidas adotadas 
para anular tal efeito?
Nos sistemas elétricos de potência (SEP), a clas-
sificação dos transitórios é realizada de acordo 
com a frequência com que esse fenômeno apa-
rece, sendo, portanto, dividido em duas classes: 
eletromecânicos e eletromagnéticos. O tempo de 
duração desses processos transitórios é muito cur-
to, porém de amplo impacto, uma vez que equi-
pamentos nos sistemas elétricos estarão sujeitos a 
muitas solicitações ou correntes.
O estudo desses fenômenos é importante no pla-
nejamento e na manutenção dos SEP, que são proje-
tados para operar em regime permanente, entretanto 
sofrem com tais variações temporárias. Estas afetam, 
principalmente, a qualidade da energia, como tam-
bém a sua interrupção. Os equipamentos e aparelhos 
podem sofrer danos durante esses fenômenos.
A partir do que foi, brevemente, abordado, e dos 
seus conhecimentos sobre as linhas de transmissão, 
convido você a verificar qual a incidência dos surtos 
nas linhas de transmissão (LTs) na sua região e quais 
os problemas associados a eles bem como as soluções 
utilizadas. A incidência desses problemas pode ser 
minimizada ou prevenida?
Analisando os transitórios como fenômenos rá-
pidos que produzem efeitos bruscos aos sistemas de 
potência, vemos a necessidade de realizar algumas 
intervenções que cabem isolar ou minimizar tais 
efeitos. Esses surtos, normalmente, propagam-se ao 
longo da linha, em direção às suas terminações, onde 
atingem equipamentos. 
Então, pense em medidas para minimizar esses 
efeitos, mesmo que em consumidores de baixa tensão 
(nos quais nos encontramos como usuários finais 
dessa energia). Anote as suas considerações no seu 
Diário de Bordo.
209
UNIDADE 7
E aí, aluno(a), gostaria de saber 
mais? Que tal escutar o podcast 
que preparei paravocê? Não 
perca! É só acessar o QR-Code!
Os fenômenos transitórios resultam de diversas perturbações nas li-
nhas de transmissão (LTs), por exemplo, descargas atmosféricas, co-
mutação de chaves, faltas, entre outros. Compreendê-los é de suma 
importância, pois, nestas condições, os equipamentos encontram-se 
em situações de sobrecorrentes e sobretensões. A natureza desses fe-
nômenos (eletromagnéticos ou eletromecânicos) também exibe carac-
terísticas específicas de atuação no sistema elétrico de potência (SEP), 
exigindo medidas corretivas e de proteção adequadas para cada caso.
Os transitórios de origem eletromagnética são interações entre 
campos magnéticos das indutâncias com os campos elétricos das ca-
pacitâncias, provocados, geralmente, por alterações na configuração 
das redes, como a resposta de disjuntores por falta ou falha ocasionada 
por uma descarga atmosférica (ARRILLAGA; WATSON, 2003). 
Já os de origem eletromecânica são interações entre a energia 
mecânica em máquinas de rotação e a energia elétrica nos sistemas 
de transmissão e/ou distribuição. Existe, ainda, a ocorrência destes 
dois fenômenos, simultaneamente, cuja análise deve ser realizada 
para cada caso individual.
Os diversos fenômenos transitórios, tanto eletromecânicos 
quanto eletromagnéticos, podem ser divididos de acordo com a 
frequência que os caracteriza. Quatro são as faixas de classificação 
importantes, como observado na Figura 1. 
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/10466
210
UNICESUMAR
Descrição da Imagem: a figura representa as faixas de frequências para a classificação dos transitórios. 
1,67m 16,67m 0,1 1 10 100 1k 10k 100k 1M 10M 100M 1G f(Hz)
Ação dos controles das turbinas Transitórios Eletromagnéticos
Transitórios 
Eletromecânicos
Transitórios de 
Chaveamentos
Aplicação da Falta
Oscilação Torcional
Descargas 
Atmosféricas
Controle 
carga-frequência
Transitórios 
Rápidos
RSS 
Corona
Estabilidade 
Transitória
Ressonância Subsíncrona
Figura 1 - Classificação das faixas de frequências dos transitórios / Fonte: D’Azjuz (1987 apud PRONEXT... 2021, on-line). 
As frequências de exibição são:
• Frequência (0 Hz a 100 Hz) – Mudanças 
de carga e fenômenos devido à saturação.
• Frequência (100 Hz a 10 kHz) – Transitó-
rios devido a chaveamentos.
• Frequência (10 kHz a 1 MHz) – Transitó-
rios devido a descargas atmosféricas.
• Frequência (1 MHz a 50 MHz) – Transi-
tórios rápidos.
Em linhas monofásicas, os transitórios têm origem 
externa (raios) ou interna ao sistema (operações de 
chaveamento). Então, o nível de isolação de uma linha 
de transmissão depende da tensão em que essa linha 
opera, assim como apresentado na tabela, a seguir.
Tensão 
(kV)
Causa 
V ≤ 230 Raios
230 700� �V Raios e operações de chaveamento
V > 700 Operações de chaveamento
Tabela 1 - Causas para a escolha do nível de isolação
Fonte: adaptada de Moura, Moura e Rocha (2019, p. 297).
Analisaremos os fenômenos transitórios a partir 
dos princípios de propagação das ondas na Físi-
ca, onde vemos que uma descarga atmosférica, 
ao atingir os cabos (para-raios ou os condutores) 
de uma LT, injeta nela uma corrente que se sub-
divide e se propaga em sentidos opostos.
211
UNIDADE 7
Consideraremos que essa linha está representada pelo modelo de parâmetros distribuídos, ou seja, 
uma linha sem perdas torna-se um modelo adequado para linhas que exibem alta frequência, em que 
wL e wC são muito maiores a R e G da linha. Este tipo de representação, por ser muito simplificado, 
favorece a análise em casos de surtos por raios. A Figura 2 mostra o esquema de uma linha sem perdas.
IS L I+dI IR
VS
C
V+dV VR Carga
X dX
Comprimento total da LT L
Gerador
Figura 2 - Esquema de uma linha de transmissão sem perdas / Fonte: adaptada de Moura, Moura e Rocha (2019, p. 299).
Descrição da Imagem: o circuito apresenta um esquema de linha de transmissão sem perdas, com um gerador, à esquerda, e uma 
carga, à direita. Entre os pontos do transmissor e do receptor, encontram-se os elementos indutivos e capacitivos bem como o com-
portamento da corrente.
No esquema, anteriormente, apresentado, podemos analisar o comportamento das ondas de corrente 
e tensão ao longo da linha de transmissão, assim, por convenção, o comprimento da linha (x) é dado 
desde o seu início, no gerador até a carga.
REALIDADE
AUMENTADA
Disturbios causados por descargas 
atmosféricas.
Relembrando as equações para ondas viajantes sem perdas, temos que:
�
�
�
�
�
2
2
2
2
n n
x
LC
t
 [1]
�
�
�
�
�
2
2
2
2
i
x
LC i
t
 [2]
As soluções dessas equações são realizadas usando a transformada 
de Laplace e considerando, apenas, como um único parâmetro, as 
derivadas parciais passam a ser derivadas totais.
Relembrando, também, que f t'' ( )= é f s sf f( ) ( ) '( )− −0 0 , 
com as condições iniciais nulas, temos:
�
�
�
2
2
2V
x
s LCV x s( , ) [3]
�
�
�
2
2
2I
x
s LCI x s( , ) [4]
212
UNICESUMAR
com soluções:
V(x,s) A (s) A (s) (x,s) (x,s)� � � �
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 2e e V V
sx sx
i r
n n [5]
I
Z s
e
Z s
e I I
sx sx
i r(x,s)
A (s)
( )
A (s)
( )
(x,s)� � � �
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�1 2n n
((x,s) [6]
onde:
v: velocidade de propagação da onda;
Vi (x,s) e Ii (x,s) : ondas incidentes;
Vr (x,s) e Ir (x,s) : ondas refletidas. 
Escrevendo a impedância a partir das equações 5 e 6, teremos:
Z(s)
(x,s)
(x,s)
= = =
V
I
Zc L
C
i
i
 [7]
Z(s)
(x,s)
(x,s)
� � �
V
I
L
C
r
r
 [8]
onde o sinal é dado pela convenção adotada.
Descrição da Imagem: a figura mostra o ponto de descon-
tinuidade, representada pela impedância Z, e as ondas inci-
dentes de tensão e corrente sobre esse ponto.
Analisando os transitórios a partir de descon-
tinuidades, tais como: circuito aberto, curto-cir-
cuito, cabo, enrolamento de máquina etc., verifi-
camos o mesmo comportamento de propagação 
de ondas, no qual duas ondas que se propagam 
em direções opostas se somam quando se encon-
tram e, após este encontro, os seus valores ori-
ginais (sem perdas) obedecem ao princípio da 
superposição. Na descontinuidade, temos, então, 
uma onda refletida e outra refratada (MOURA; 
MOURA; ROCHA, 2019).
A Figura 3 representa uma descontinuidade no 
ponto x = 0, e as ondas de tensão e corrente inci-
dindo nesse ponto. Essa impedância é dada por:
Z s V s
s
( )
( , )
I( , )
=
0
0
 [9]
V(x,s)/I(x,s)
Z(s)
0 X
Figura 3 - Ponto de descontinuidade com impedância
Fonte: Moura, Moura e Rocha (2019, p. 301).
213
UNIDADE 7
No ponto de descontinuidade, verificamos que:
V s A s
I s A s
Z
V s A s
I s A s
Z
i
i
c
r
r
c
( , ) ( )
( , )
( )
( , ) ( )
( , )
( )
0
0
0
0
1
1
2
2
�
�
�
� �
 [10]
então, somando as ondas incidente e refletida para tensão e corrente, teremos que:
V s A s A s( , ) ( ) ( )0 1 2� � [10]
I s A s
Z
A s
Zc c
( , )
( ) ( )0 1 2� � [11]
isolando A2 na divisão de 10 por 11, temos:
A s Z s Z
Z s Z
A sc
c
2 1( )
( )
( )
( )�
�
�
 [12]
V s Z s Z
Z s Z
V s V sr c
c
i i( , )
( )
( )
( , ) ( , )RV0 0 0�
�
�
� r [13]
logo, o chamado coeficiente de reflexão de tensão é:
rRV
( , )
( , )
( )
( )
� �
�
�
V s
V s
Z s Z
Z s Z
r
i
c
c
0
0
 [14]
o coeficiente de refração é obtido:
V s A s A s Z s Z
Z s Z
A sc
c
( , ) ( ) ( )
( )
( )
( )0 11 2 1� � � �
�
�
�
�
�
�
�
� [15]
rREV
( , )
( , )
( )
( )
� �
�
V s
V s
Z s
Z s Zi c
0
0
2
 [16]
os coeficientes de reflexão e refração para as correntes são:
rR
( , )
( , )
( )
( )
I
r
i
c
c
I s
I s
Z s Z
Z s Z
� � �
�
�
0
0
 [17]
rRE
( , )
( , ) ( )
I
i
c
c
I s
I s
Z
Z s Z
� � �
�
0
0
2
 [18]
214
UNICESUMAR
Dependendo do tipo de terminação, os coeficientes de reflexão são modificados. Analisare-
mos as terminações resistivas, indutivas e capacitivas (MOURA; MOURA; ROCHA, 2019).
Para o primeiro caso, na terminação resistiva, teremos que: Z s R( ) = .
Arrumando as equações, veremos que os coeficientes de reflexão e refração paratensão e corrente serão:
r
r
r
r
RV
REV
R
RE
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
R Z
R Z
R
R Z
R Z
R Z
Z
R Z
c
c
c
I
c
c
I
c
c
2
2
 [19]
Para os casos, a seguir, determinamos os coeficientes e verificamos o comportamento 
das ondas incidentes e refletidas.
• Para um circuito aberto: R ��
r
r
r
r
RV
REV
R
RE
�
�
� �
�
1
2
1
0
I
I
• Para um curto-circuito: R → 0
r
r
r
r
RV
REV
R
RE
� �
�
�
�
1
0
1
2
I
I
Importante: em circuito aberto, a tensão no terminal aberto é o dobro da incidente. 
Em curto-circuito, as tensões são iguais, porém de sinais contrários.
No segundo caso, a terminação é indutiva, logo, as ondas apresentarão deformações, 
uma vez que os seus coeficientes dependem da frequência. A equação é dada:
V L dI
dt
= [20]
pela transformada de Laplace e zerando as condições inicias, teremos:
215
UNIDADE 7
V s sLI s( ) ( )= [21]
onde: Z(s) = sL. 
A Figura 4 mostra essa terminação indutiva.
V(x,s)/I(x,s)
Z(s)
0 X
Figura 4 - Terminação indutiva / Fonte: Moura, Moura e Rocha (2019, p. 306).
Os coeficientes de reflexão e refração são obtidos, substituindo, então, a impedância 
para essa terminação.
r
r
r
r
RV
REV
R
RE
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
sL Z
sL Z
sL
sL Z
sL Z
sL Z
Z
sL Z
c
c
c
I
c
c
I
c
c
2
2
 [22]
Se adotarmos uma função degrau unitário que incide sobre essa terminação indutiva, 
então, as equações para tensão e corrente refletidas podem ser escritas:
Descrição da Imagem: a figura apresenta as ondas incidentes de tensão V e corrente I sobre uma termi-
nação indutiva Z.
216
UNICESUMAR
V x s A s
V x s sL Z
sL Z
A s
r
sx
r
c
c
sx
( , ) ( ) e
( , ) ( ) e
�
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2
1
n
n��
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�
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�
�
�
V x s sL Z
sL Z sr
c
c
sx
( , ) e
1 n
 [23]
e:
I x s A s
Z
I x s sL Z
sL Z
r
c
sx
r
c
c
( , )
( )
e
( , )
� �
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� �
�
�
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�
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�
�2
1
n
ZZ sc
sx
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�1
e
n
 [24]
Manipulando, algebricamente, a equação da tensão, teremos:
V x s
s Z
L
sr c
sx
( , ) e�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�2 1 n [25]
e aplicando a transformada inversa de Laplace:
V x s u t x u t xr
Z
L
t xc
( , ) e� ��
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2 n
n n
 [26]
admitindo o intervalo de ��� �,0 na localização da linha de transmissão, com con-
dições em x = -X, 0 com X > 0:
V x s u t x u t xr
Z
L
t xc
( , ) e� ��
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2 n
n n
 [27]
As figuras, a seguir, representam os gráficos correspondentes às tensões e correntes 
refletidas em uma terminação indutiva. 
217
UNIDADE 7
Vr
1.0
-1.0
x
v
t
Ir
1.0
-1.0
x
v
t
Figura 5 (a) - Comportamento da tensão; Figura (b) - Comportamento da corrente. Ambos em relação ao ponto de referência X/V
Fonte: Moura, Moura e Rocha (2019, p. 309).
A tensão refratada sobre o indutor é dada por:
V s V s V s
V s sL Z
sL Z
i r
c
c
( , ) ( , ) ( , ) A (s) A (s)
( , )
0 0 0
0 1
1 2� � � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�� � �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
A (s)1
2 1 2s
sL Z s s Z
L
c c
 [28]
ao aplicar a transformação inversa de Laplace, obtemos:
V t e u t
Z
L
tc
( ) ( )�
��
�
�
�
�
�
2 [29]
O comportamento do indutor é visto como:
• t → 0 circuito aberto
• t �� curto-circuito
Outro caso é a terminação capacitiva, a qual utiliza de modelo similar ao indutor para a análise do 
comportamento no ponto de descontinuidade das ondas incidentes. A Figura 6 apresenta a terminação 
capacitiva bem como as suas relações.
Descrição da Imagem: na Figura 5 (a), a qual apresenta o primeiro gráfico, à esquerda, está o comportamento da onda refletida 
de tensão, cuja função degrau unitário atinge o seu pico em x/v e decaimento ao longo do tempo. Na Figura 5 (b), a qual apresenta 
o segundo gráfico, à direita, está o comportamento da onda refletida de corrente com a inversão em -1.
218
UNICESUMAR
V(x,s)/I(x,s)
Z(s)
0 X
Figura 6 - Esquema para uma terminação capacitiva / Fonte: Moura, Moura e Rocha (2019, p. 310).
Neste caso, a equação de relação é:
I C dV
dt
= [30]
ao aplicar a transformada de Laplace e zerar as condições iniciais, temos:
I s CsV s( ) ( )= [31]
Então, a impedância é escrita:
Z(s)
( )
( )
= =
V s
I s sC
1
 [32]
realizando a substituição, temos que os coeficientes de reflexão e refração para tensão 
e corrente são:
Descrição da Imagem: a figura apresenta um esquema para uma terminação capacitiva de uma linha de 
transmissão, com um capacitor como Z(s). Tensão V e corrente I estão representadas no esquema. 
219
UNIDADE 7
r
r
r
RV
REV
R
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
� �
��
�
�
�
�
�
�
1
1
2 1
1
1
1
sC
Z
sC
Z
sC
sC
Z
sC
Z
sC
c
c
c
I
c
ZZ
Z
sC
Z
c
I
c
c
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
rRE
2
1
 [33]
Novamente, na suposição de um degrau unitário incidindo na terminação capacitiva, 
as equações para tensão e corrente podem ser escritas como:
V x s A s
V x s sC
Z
sC
Z
A s
r
sx
r
c
c
( , ) ( ) e
( , ) ( )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
1
1
1
n
ee
( , ) e
sx
r
c
c
sx
V x s sC
Z
sC
Z s
n
n
�
�
�
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�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�1
1
1
��
�
�
 [34]
e:
I x s A s
Z
I x s sC
Z
sC
Z
r
c
sx
r
c
c
( , )
( )
e
( , )
� �
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�2
1
1
n
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�1 1
Z sc
sx
e
n
 [35]
220
UNICESUMAR
ao rearranjar a equação da tensão e aplicar a transformada inversa de Laplace, temos:
V x s u t x u t xr
CZ
t x
c( , ) e� ��
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
n n
n2
1
 [36]
admitindo o intervalo de ��� �,0 , a tensão refletida em qualquer ponto da linha nas 
condições em x = -X, 0 com X > 0:
V x s u t x u t xr
CZ
t x
c( , ) e� ��
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
n n
n2
1
 [37]
1.0
-1.0
Vr
x
v
t
Figura 7 - Gráfico da onda refletida em uma terminação capacitiva / Fonte: Moura, Moura e Rocha (2019, p. 310).
A tensão refratada sobre o capacitor é dada por:
V s V s V s
V x s sC
Z
sC
Z
i r
c
c
( , ) ( , ) ( , ) A (s) A (s)
( , )
0 0 0
1
1
1
1 2� � � �
� �
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�A (s)1
2 1
1
1 2 1 1sC
sC
Z s s s CZc c
 [38]
Descrição da Imagem: a figura mostra, por meio de um gráfico, a função degrau unitário da onda refletida 
em uma terminação capacitiva e o seu comportamento, ao longo do tempo, de acordo com a dedução da 
equação descrita, anteriormente.
221
UNIDADE 7
aplicando a inversa de Laplace, a tensão é escrita como:
V t u t e u t
t
CZc( ) ( ) ( )� �
�
�
�
�
�
�
�
2 2 [29]
o comportamento do capacitor é visto como:
• t → 0 : curto-circuito;
• t �� : circuito aberto.
Portanto, vimos o comportamento de cada uma das terminações e, com isso, verificamos tensões 
e correntes ao longo da linha de transmissão e como esses transitórios se apresentam.
L. V. Bewley desenvolveu, em 1964, um diagrama capaz de organizar as reflexões nos transi-
tórios da LT.
 
tR1
Terminal 
Adjacente
Terminal 
Local d L – d
Terminal 
Remoto
ZS1
ZS2
FALTA
t0
vp1 vp1
t1
t2 tR2
t3
t4
t5
Tempo Tempo Tempo
Figura 8 - Diagrama de Bewley com as reflexões entre os terminais / Fonte: Cunha (2020, p. 27).
Descrição da Imagem: a figura mostra uma representação dos terminais adjacente, local e remoto. Também mostra as reflexões 
nos transitórios, especificando os seus tempos e a velocidade de propagação.
222
UNICESUMAR
Esse diagrama faz a relação entre a velocidade de propagação com o instante de che-
gada e com o espaço percorrido pelas ondas viajantes (tangente do ângulo com o eixo 
horizontal). O tempo de propagação (τ) é relativo de um terminal a outro,e o espaço à 
extensão dessa linha (τ = L/v). A velocidade é dependente dos parâmetros da LT.
Cunha (2020) mostra um diagrama para uma linha aérea onde ocorreu uma falta 
próxima ao terminal remoto: ZS1 e ZS2 são as impedâncias de surto de duas linhas ad-
jacentes conectadas, em paralelo, a jusante da LT principal. Uma vez que o terminal local 
possui duas linhas menores adjacentes, verificam-se reflexões visíveis dentro do valor 
(τ). A ocorrência de uma falta nessa LT induz a propagação de ondas viajantes a partir 
do ponto de localização da falta até as extremidades dos terminais, cujas velocidades são 
tomadas como iguais. Ao chegar em uma das terminações, parte reflete, parte refrata.
A localização de faltas dá-se por meio da identificação de qual onda viajante refletiu 
ou refratou a partir do ponto de falta. Entre os instantes dados, existem outras ondas 
presentes que estão relacionadas com o tipo e o local do ponto deste defeito. A identifi-
cação da onda de interesse, então, faz-se necessária, a fim de que se possa analisar a linha 
e, também, os transitórios que nela surgem. Vamos ver um exemplo? 
Exemplo: 
Uma fonte ideal de 150 V (ou seja, com resistência desprezível) em Corrente Contínua 
é conectada a uma linha de transmissão sem perdas, com impedância característica de 
60 Ω. Essa linha termina com a resistência de 120 Ω. Considerando o tempo de trânsito 
na LT como T, construa um gráfico da tensão nos terminais do resistor até cinco vezes o 
tempo necessário, para que a onda de tensão percorra toda a extensão da LT.
Solução: 
Calculando os coeficientes de reflexão por:
V R Z
R Z
V Vr c
c
i RV i�
�
�
� r
temos que, na resistência:
rRV �
�
�
�
120 60
120 60
1
3
e na fonte:
rSV �
�
�
� �
0 60
0 60
1
223
UNIDADE 7
o diagrama exibe, portanto, a tensão no tempo T.
150
T
a tensão refletida no receptor:
 V V Vr i= = =
1
3
1
3
150 50
a tensão total no terminal receptor é: 
V VrT � � �150 50 200 . No diagrama, essa ten-
são total no receptor:
150
50
T
2T
no emissor, a tensão refletida é dada: 
V V Vri i� � � �50 e mostrada no diagrama
150
50
-50
T
3T
2T
para 3T, a tensão total no receptor é: 
V Vr T3 200 50
50
3
133 333� � � � , representada 
no diagrama.
150
50
-50
-50/3
T
2T
3T
4T
224
UNICESUMAR
no terminal emissor, a tensão total para 4T é:
150
50
-50
-50/3
50/3
T
3T
5T
2T
4T
no terminal receptor, a tensão total para 5T é: 
V Vr T5 133 333
50
6
141 666� � �, ,
150
50
-50
-50/3
50/3
50/6
T
2T
3T
4T
5T
5T
a tensão no terminal receptor tende a:
V x VR � � �
�150 60 150
60 120
100( )
ao plotar o gráfico da tensão terminal no receptor, 
teremos:
225
UNIDADE 7
T 3T 5T
VR
150
100
t
V t u t e u t
t
CZc( ) ( ) ( )� �
�
�
�
�
�
�
�
2 2
 Outro aspecto importante na análise de transitórios são as sobre-
tensões de origem atmosférica que ocorrem devido às descargas 
elétricas no sistema. 
Toda LT é projetada com o ob-
jetivo de garantir certo nível de 
isolamento, sendo ele seleciona-
do conforme as sobretensões pre-
visíveis tanto de origem interna 
quanto externa. As classificações 
transitórias são subdivididas em 
frente lenta, rápida e muito rápi-
da. A Tabela 2 apresenta as carac-
terísticas (CHOWDHURI, 1996; 
MELIOPOULOS, 1988).
Uma rede elétrica, quando 
atingida por um raio, desenvol-
ve uma sobretensão que pode 
superar o nível de isolamento, o 
que provoca um defeito mono ou 
tripolar. Essas descargas, quando 
diretas, acrescem a tensão na fai-
xa de 100 a 2000 kV/µs. Já as in-
diretas induzem uma tensão nos 
condutores de fase inferior a 500 
kV (FILHO; MAMEDE, 2011).
226
UNICESUMAR
Classificação Tempo de frente de onda Tempo de cauda de onda
Frente lenta – 5000 µs < 20 ms
Frente rápida 0,1 – 20 µs < 300 µs
Frente muito rápida < 0,1 µs < 0,3 µs
Tabela 2 - Tempos de frente e cauda de onda, de acordo com a classificação da sobretensão
Fonte: adaptada de Moura, Moura e Rocha (2019).
Um modelo usado para surtos atmosféricos é o do impulso exponencial, cuja onda 
padronizada do teste de isolamento é mostrada na Figura 9. O tempo de subida é 1,2 µs, 
o tempo de cauda é de 50 µs, onde há a redução de 50% do valor máximo da corrente.
 
td
 
I(kA)
I
I/2
0 tf t(µs)
Figura 9 - Gráfico da onda padronizada de impulso atmosférico / Fonte: Moura, Moura e Rocha (2019, p. 320).
Descrição da Imagem: a ilustração apresenta, por meio de um gráfico, uma onda padronizada de impulso 
atmosférico, com um salto de 0 a I para o tempo de frente da onda e diminuindo, linearmente.
Onde:
 I: corrente;
 tf: tempo de frente da onda;
td: tempo de cauda da onda.
Segundo Moura, Moura e Rocha (2019), para haver padronização nos estudos e testes, 
as normas estabelecem variáveis existentes nas curvas e valores desses valores. Por 
se tratarem de fenômenos naturais sem comportamento linear, não é possível esta-
belecer regras que contemplem toda e qualquer situação para os tempos, entretanto 
a normatização faz-se, laboratorialmente, em simulações as quais preveem o estado 
em que se opera. São definidos, então, valores a impulsos de corrente exponenciais, 
valores de pico, polaridade reversa, energia e tolerância dos limites.
227
UNIDADE 7
As tabelas, a seguir, mostram impulsos exponenciais padrões das normas IEC 60060-1 
e 60099-4, inclusive, as suas diferenças. 
Forma de 
onda
Tempo de 
frente
Tempo de 
cauda
Valor de 
pico
Polaridade 
reversa
1
20
1 10μs � % 20 10μs � % ±10% 20%
4
10
4 10μs � % 10 10μs � % ±10% 20%
8
20
8 10μs � % 20 10μs � % ±10% 20%
30
80
30 10μs � % 80 10μs � % ±10% 20%
Tabela 3 - Impulsos exponenciais padrões da norma IEC 60060-1 / Fonte: Moura, Moura e Rocha (2019, p. 322).
As duas normas apresentam, apenas, diferenças nos valores de tolerância.
Forma 
de onda Tempo de frente Tempo de cauda
Valor 
de 
pico
Polaridade 
reversa
1
20
; 20 kA
0 9 1 11, ,μ s T s� � μ 20µs ±5% -
4
10 ; 100 kA
3 5 4 51, ,μs T μs� � 9 0 11 0, ,μs T μs� � ±10% 20%
8
20 ; 20 kA
7 0 9 01, ,μs T μs� � 20 10µs ± % ±10% -
30
80 ; 40 kA
25 0 35 01, ,μs T μs� � 70 0 90 0, ,μs T μs� � ±10% 20%
Tabela 4 - Impulsos exponenciais padrões da norma IEC 60099-4 / Fonte: Moura, Moura e Rocha (2019, p. 322).
Operações de chaveamento provocam fenômenos transitórios dependentes dos parâmetros 
indutivos capacitivos das LTs, cuja propagação acontece em ambos os lados dos disjuntores 
(CAMARGO, 2006). As sobretensões causadas por energização e religamento das linhas de 
transmissão, em que as tensões de operação se encontram acima de 345 kV, são minimizadas 
com a finalidade de reduzir o nível de isolamento tanto da LT quanto dos equipamentos 
do terminal aberto, os quais são os locais onde as tensões registradas são elevadas. 
228
UNICESUMAR
A colocação de resistores de pré-inserção junto aos disjuntores reduz essas sobretensões, e a 
adequação do resistor reduz o nível da sobretensão de chaveamento (MOURA; MOURA; RO-
CHA, 2019). A Figura 10 apresenta um esquema à ligação desses disjuntores.
+
V
_
B
A R
Zc
Figura 10 - Chaveamento de resistor de pré-inserção / Fonte: Moura, Moura e Rocha (2019, p. 327).
O contato A é fechado energizando a linha, inicialmente, através do resistor R, em seguida, o 
contato principal é fechado, o que ocasiona um curto-circuito no resistor, e a linha é energizada 
com a tensão da fonte. Este processo não é efetivo se o resistor for curto-circuitado antes de a 
primeira onda refletida retornar, então, para que funcione, o tempo deve ser duas vezes maior 
ao tempo de trânsito da LT. O valor desse resistor varia com a faixa de impedância das LTs entre 
250 a 450 Ω.
Os chaveamentos de circuitos importantes são os LC, RL e RLC. No caso do chaveamento 
RL, uma tensão alimenta um circuito-série de indutor e resistência, sendo o tipo mais simples 
de representação de um sistema monofásico de alta tensão com fechamento de disjuntor em LT. 
No chaveamento LC, o circuito é uma ligação-série do tipo capacitor indutor, que representa 
uma forma simples de comutaçãoentre banco de capacitores ou linhas de distribuição com 
um disjuntor de alta tensão. Já o chaveamento RLC tem o comportamento da equação senoidal 
desse circuito, então, pode apresentar as três situações previstas: subamortecido, criticamente 
amortecido e superamortecido.
Descrição da Imagem: a figura apresenta, por meio de uma ilustração, um chaveamento. Nele, a chave A está junto ao resistor, 
enquanto a chave B curto-circuita e o circuito energiza-se com a tensão da fonte.
229
UNIDADE 7
A simulação de propagação de ondas eletromagnéticas resultantes de operações de manobras 
e chaveamento pode ser representada como uma cascata de circuitos p. Este modelo de repre-
sentação consiste em uma associação-série e paralela de resistores e indutores, cujas resistência e 
indutância variam em função da frequência, representando, assim, o efeito do solo, assim como o 
efeito peculiar sobre as LTs (TAVARES; PISSOLATO, 1999).
Outro fator que pode gerar fenômenos transitórios em linhas de transmissão é a energização 
de transformadores de potência. Estes provocam fortes harmônicos, baixo amortecimento e altas 
correntes transitórias de magnetização, que são responsáveis, nos sistemas, por sensibilização dos 
dispositivos de proteção, confundindo essa corrente de magnetização com a corrente de falta.
Vimos como os transitórios aparecem em um sistema de potência e de que maneira são tra-
tados e analisados. A escolha do tipo de ação está associada às características da linha bem 
como ao tipo de fenômeno que originou o surto!
Como observamos, os SEP estão, frequentemente, expostos a falhas que resultam na interrupção 
da energia ou nos defeitos em componentes. Um conjunto de medidas de proteção dos sistemas 
elétricos são requeridas quando do surgimento desses transitórios.
As sobrecorrentes são causadas ora por curtos-circuitos, ora por sobrecargas. Nestes dois casos, 
a proteção atua:
• Para sobrecargas: uso de relés térmicos bem como eletromecânicos, eletrônicos ou digitais 
com temporizações moderada.
• Para curtos-circuitos: os dispositivos de proteção devem atuar em alta velocidade junto aos 
equipamentos de manobra.
Em caso de sobretensões, alguns critérios são adotados:
I. Desconectar as fontes de geração mais próximas do ponto de ocorrência da sobretensão.
II. Desconectar os bancos de capacitores.
III. Bloquear o religamento automático das LTs.
IV. Ajustar unidades temporizadas de relés de proteção dos transformadores de potência.
V. Ajustar o valor dos relés instantâneos com margem em 120% ou superior da tensão nominal.
VI. Ajustar os relés de proteção para 115% ou superior da tensão nominal, repassando a redu-
ção do nível de tensão máxima em 110% do valor nominal para os reguladores de tensão 
e comutadores de tapes.
230
UNICESUMAR
Verificamos, nesta unidade, de que modo os transitórios afetam os SEP e como podemos prever o seu 
comportamento, além de atenuar os seus efeitos.
Com a alteração das características do sistema ou uso de equipamentos, os problemas associados 
aos transitórios podem ser controlados em um sistema de potência. Muitos desses problemas, em 
consumidores, encontram-se no sistema de aterramento e na sua interação com os sistemas de comu-
nicação, gerando, em sua maioria, má operação ou falhas de componentes.
A compreensão das origens dos transitórios em determinados sistemas e, também, uma solução para 
minimizar os seus efeitos estão relacionadas a mais qualidade e segurança do sistema bem como dos 
equipamentos e pessoas. A escolha do melhor método de proteção, inclusive, do tipo de intervenção, 
garante a integridade do sistema, reduzindo, assim os riscos, além de minimizar perdas econômicas e, 
ainda, garantir a estabilidade diante de situações aleatórias.
Cada situação requer um tipo de ação. No caso de incidência de fenômenos atmosféricos, vimos 
que os isolamentos devem ser projetados para resistirem. Da mesma forma, os sistemas de proteção 
devem funcionar de acordo com o tipo de surto.
A modelagem das linhas aéreas de transmissão em regime transitório é muito complexa, 
uma vez que não podem ser tratadas como simples impedâncias, se for levada em conta 
a distribuição dos seus parâmetros, conforme o comprimento dessa linha. 
Algumas ferramentas são usadas na análise de fenômenos transitórios, dentre elas, o pacote 
EMTP (Electromagnetic Transientes Program), que utiliza modelos disponíveis na própria 
biblioteca do software, associada com rotinas modificadas pelo autor. Assim, são flexibili-
zadas a entrada de dados e a parametrização tanto de dispositivos quanto de fenômenos.
O programa ATPDRAW (Alternative Transient Program) é dirigido aos estudos eletromagné-
ticos, modelando sistemas elétricos da forma mais simples e fiel das redes. Atua na modela-
gem de linhas de transmissão e distribuição, além de permitir a análise dos transitórios em 
diferentes configurações. A sua simulação baseia-se em parâmetros distribuídos (Método 
de Bergeron) e parâmetros concentrados (regra de integração trapezoidal). 
O uso desse software nos controle e monitoramento de sistemas de potência minimiza 
perdas econômicas, humanas e de tempo nas análises dos problemas relacionados às 
linhas de transmissão.
Fonte: adaptado de Moura, Moura e Rocha (2019).
231
Caro(a) aluno(a), convido você realizar um apanhado dos conhecimentos adquiridos nesta uni-
dade, por meio do desenvolvimento de um Mapa Mental com os principais tópicos relativos aos 
transitórios e aos problemas por eles ocasionados. 
Iniciei alguns tópicos importantes. Tente completar com o máximo de informações possíveis e 
reúna os principais conceitos abordados nesta unidade.
FENÔMENOS FREQUÊNCIA CAUSAS
Descargas
atmosféricas
Transitórios
Eletromecânicos
Descrição da Imagem: a figura demonstra um Mapa Mental dividido em três grandes colunas, as quais são “Fenômenos”, 
“Frequência” e “Causas”. Na primeira coluna, existe um quadro onde está escrito “Transitórios”, este direciona para outros dois 
quadros, na segunda coluna. Nesta, o primeiro quadro está vazio, direcionando a outros dois na terceira coluna. No segundo 
quadro, está escrito “Eletromecânicos”, o qual direcionando para outro, na terceira coluna. Nesta, no primeiro quadro, ligado 
ao quadro vazio da sequência, está escrito “Descargas atmosféricas”; o segundo quadro encontra-se vazio; e o terceiro, ligado 
ao “Eletromecânicos”, também.
232
1. Uma linha de transmissão está projetada para manter a rotina de operação em regi-
me permanente, mas, por diversos fatores, essa linha sofre solicitações imprevisíveis 
de origens diversas que acarretam, em curto período de tempo, um novo regime de 
operação. Uma das causas dos fenômenos transitórios são as descargas atmosféricas. 
Sobre esses fenômenos, assinale a alternativa correta:
a) São transitórios que se desenvolvem na faixa de 100 Hz.
b) São caracterizados como eletromecânicos.
c) São transitórios eletromagnéticos que atingem até 1 MHz.
d) Não causam prejuízo algum nas terminações das linhas de transmissão.
e) Os seus efeitos podem ser minimizados com o uso de disjuntores especiais.
2. 2. As operações de chaveamento são usadas para conectar e desconectar cargas de um 
sistema de potência. Sobre estes processos, analise as afirmativas, a seguir, e assinale 
V para Verdadeiro ou F para Falso.
 ) ( Uma das ações comuns nos processos de chaveamento pode ser representada por 
um circuito RL. 
 ) ( Os surtos causados por chaveamento não produzem qualquer efeito nas linhas de 
transmissão e, por isso, causam, apenas, interrupção da energia.
 ) ( Com relação às cargas, vemos que aquelas com baixo fator de potência são, predominan-
temente, indutivas e as com alto fator de potência são, predominantemente, resistivas. 
Estas informações são importantes à determinação da forma do transitório gerado.
 ) ( Em um chaveamento LC, há a representação da comutação entre um disjuntor de 
alta tensão e um banco de capacitores.
 ) ( Não existe manobra de compensação paraneutralizar ou minimizar os transitórios.
A sequência correta para a resposta da questão:
a) V, F, V, V, F.
b) V, F, F, V, V.
c) F, F, V, F, V.
d) F, V, F, F, V.
e) V, F, F, F, V.
233
3. As linhas de transmissão operam em regime permanente, na maior parte do tempo, 
entretanto podem ocorrer situações que alterem essas condições. Quanto ao conceito 
dos surtos de tensão, assinale a alternativa correta:
a) O surto de tensão gerado por uma descarga atmosférica tem longa duração.
b) Os surtos de manobra são os fatores determinantes, enquanto que, para os sistemas 
com tensões mais baixas, as sobretensões atmosféricas são os mais importantes.
c) Curtos-circuitos geram transitórios que podem ser neutralizados pelo aterramento.
d) A probabilidade de ocorrência de surtos é mais alta em linhas mais curtas, pois chegam 
mais rapidamente aos terminais emissor e receptor.
e) Os transitórios não são responsáveis por nenhum distúrbio conhecido nas linhas de 
transmissão.
234
8
Os sistemas de transmissão são compostos de duas partes, os 
condutores, que são os agentes de transporte de energia, e os aces-
sórios, que dão suporte e isolamento aos mesmos. Nesta unidade, 
abordaremos como esses elementos interligados entre si reagem 
às solicitações de origem mecânica.
Comportamento 
Mecânico dos 
Condutores
Me. Audrey Cristine Esteves
236
UNICESUMAR
Quando observamos uma linha de transmissão, vemos, apenas, estruturas que apoiam cabos ao 
longo de um caminho. Nas estradas, deparamo-nos com este cenário perpétuo, onde podemos 
traçar todo o percurso dessas LTs. Entretanto será que paramos para pensar que esta exposição 
ambiental exibe efeitos nesses sistemas? Quais são as solicitações mecânicas sofridas por uma 
linha de transmissão? Como os elementos se comportam frente a estas solicitações? Quais são os 
principais pontos a serem analisados? 
A importância de entender como os fatores ambientais influenciam o comportamento mecânico 
das LTs remete à resistência dessa linha frente aos fatores naturais e nas falhas que possam decorrer 
em função dos mesmos. Cada elemento da linha possui uma função e uma característica e, quando os 
elementos são expostos a situações diferenciadas, as suas respostas modificam-se.
Toda linha deve manter o seu comportamento o mais estável possível, a fim de garantir a 
qualidade da energia e o suprimento da demanda, sem que haja acidentes ou falhas que possam 
causar quaisquer prejuízos.
Convido você, futuro(a) engenheiro(a), a observar as linhas de transmissão na sua região e a des-
crever os elementos que as compõem, para que você possa, posteriormente, entender a configuração 
exibida pela linha, frente às características ambientais e geográficas.
Caro(a) aluno(a), analise como cada elemento da linha se comporta frente ao conjunto bem como 
todos os fatores que podem influenciar em seu correto funcionamento. Reflita, também, acerca de 
quais problemas podem ser causados quando essas linhas são expostas a fatores extremos e anote, 
aqui, em seu Diário de Bordo.
DIÁRIO DE BORDO
237
UNIDADE 8
O aumento da demanda por energia elétrica recai na necessidade de ampliação dos sistemas 
de transmissão. As LTs são infraestruturas imprescindíveis, uma vez que são responsáveis pelo 
transporte dessa energia, desde a sua geração até o consumo final. Vale lembrar que a geração, 
normalmente, está em localidades bem distantes destes centros de consumo e, por isso, o caminho 
percorrido por essas LTs é bem longo.
Os projetos das LTs são, altamente, elaborados e analisados em todas as suas etapas, pois devem 
cumprir, de modo rigoroso, as normas vigentes, garantindo a segurança e eficiência do sistema 
de transmissão.
A implantação de novas LTs, entretanto, esbarra em diversos fatores, tais como: o impacto 
ambiental, pela instalação de estruturas mais altas e mais pesadas, e o alto custo da construção 
de novas faixas para a passagem das mesmas, as quais envolvem não, somente, a construção, mas 
também a localização. Uma alternativa a esses problemas vem sendo a recapacitação dessas linhas, 
ou seja, o aumento, por meio de alterações estruturais, da capacidade de transmissão delas.
Dentre os métodos usados para recapacitação estão: retensionamento de cabos; alterações cons-
trutivas; substituição de condutores e alteração do nível de tensão (OLIVEIRA, 2000). Uma das 
melhores opções é a escolha do cabo que apresente melhor desempenho às condições desejadas.
238
UNICESUMAR
Iniciaremos o nosso estudo com o comportamento dos cabos suspensos. Para 
que um cabo seja estendido entre dois pontos a certa altura e não haja apoio no 
solo, esse cabo acaba por se assentar em uma posição, descrevendo curvas, a qual 
se denomina “catenária” (do latim, significa “corrente”). 
A suspensão desses cabos pode ocorrer entre pontos de mesma altura, porém, comu-
mente, verificam-se pontos com alturas diferentes, de acordo com a geografia do local. A 
catenária dos cabos muda dependendo das condições ambientais e do comportamento 
dos condutores, exigindo, então, medidas diferenciadas aos cálculos mecânicos. Quatro 
considerações importantes a esses cálculos devem ser verificadas (BEZERRA, 2010): 
• Condição de temperatura média e sem efeito de vento EDS.
• Condição de temperatura máxima, sem vento.
• Condição de temperatura mínima, sem vento.
• Condição de vento máximo, na temperatura coincidente com a ocorrência 
de vento máximo.
Verificaremos, então, o comportamento desses condutores suspensos em situações 
práticas de terreno. A Figura 1 representa um diagrama de forças em um condutor 
suspenso em dois pontos de mesma altura H. A distância (A) entre esses pontos é 
chamada de vão, e a origem O representa A/2. O segmento OF = f é chamado flecha. 
A altura de suspensão relaciona-se com f e hs, a altura de segurança (segmento OS) 
com S representando o nível do solo (LABEGALINI et al., 1992).
Quer saber um pouco mais sobre a origem dos 
cálculos dos vãos e algumas simulações práticas? 
Então, entre, aqui, e leia o artigo!
https://docplayer.com.br/175677585-A-mecanica-
-newtoniana-e-insuficiente-para-calcular-e-proje-
tar-linhas-aereas-de-transmissao.html
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
A flecha depende do tamanho do vão, da temperatura e da tração do cabo nos pontos 
V e W. Já a hs é determinada pela norma em função da classe de tensão de operação 
da linha bem como da geografia do terreno.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/11357
239
UNIDADE 8
y
A
V F W
H
f
hS
T0
O
p · s
M a’
T
x
Figura 1 - Suportes de mesma altura exibindo os pontos de suspensão V e W, a flecha f, a tração no cabo T e peso do condutor p
Fonte: Dias (2017, p. 4).
Descrição da Imagem: a figura exibe um diagrama de forças entre o vão isolado, com suportes de mesma altura cujos pontos de 
suspensão estão em V e W. Mostra, também, o peso unitário do condutor p e o ponto mais baixo O. A tração no cabo T e o segmento 
OF denominado flecha = f.
Definindo que:
V e W = suporte; A: vão [m]; 
O: vértice da catenária; 
f: segmento OF, flecha [m]; 
H: altura de suspensão [m]; 
hs: altura de segurança (distância de O até solo) [m]; 
L: comprimento do cabo L > A; 
p: peso unitário do condutor [kgf; N/m]; 
s: comprimento do segmento OM do condutor [m]; 
To: componente horizontal da tração [kgf; N/m]; 
T: componente tangencial da tração [kgf; N/m]; 
M: ponto de escolha ao longo do comprimento L; 
α’: ângulo de deflexão (graus; radianos). 
A partir da figura, orientada nos eixos OX e OY, tomamos um ponto M, onde o segmento OM = s 
(uma parcela do comprimento do condutor). Esse ponto estará em equilíbrio de forças pelo peso (ps) 
e a tração (To), que é a componente horizontal.
240
UNICESUMAR
Escrevendo, então, as equações de equilíbrio, temos:
em OX: T T� �cos 'a 0 [1]
em OY: T sen p s� � �a ' [2]
Considerando o segmento OB=L/2 da curva, esse ponto M será deslocado para B, e 
a força T, que equilibra as demais, tangenciará a curva em B. Essa força T é a força de 
reaçãoda estrutura. Reescrevendo:
T sen p L� � �a
2
 [3]
e:
T T� �cosa 0 [4]
como mostrado no diagrama, a seguir:
T0 W
a’
T
a’ T
p · 0,5L
Figura 2 - Diagrama das forças atuantes, com T tração tangencial à curva B, força vertical = pL/2.
Fonte: Dias (2017, p. 7).
Descrição da Imagem: a figura mostra um diagrama de forças que exibe a tração tangencial T, a força vertical 
= pL/2 e o ângulo de deflexão no ponto de suspensão W do cabo.
241
UNIDADE 8
Vemos, portanto, que, na horizontal, temos uma força constante T T� �cosa 0 e, na 
vertical, V T sen p
L
� � � �a '
2
, que representa o peso do condutor na metade do vão 
referente ao seu comprimento real.
Rearranjando e dividindo as equações:
Tsen
T
p s
T
a
a
'
cos '
�
�
0
 [5]
temos:
tan 'a �
�p s
T0
 [6]
logo:
a a' arctan� �
�p L
T2 0
 [7]
Junto aos pontos de suspensão, a taxa de trabalho varia, conjuntamente, com a tração 
axial no cabo. No vértice, é mínima, no ponto de suspensão, máxima.
Pela norma NBR 5422, existem limitações para os esforços máximos de tração 
admissíveis nos cabos, sendo elas determinadas em função da carga de ruptura:
T kTrupmax = [8]
onde: 
 k é um coeficiente de redução variável para cada situação.
Em linhas usuais, essa variação de tração é pequena e pode ser desprezada. 
Como os vãos são usuais e os suportes encontram-se no mesmo nível, o 
ângulo também é pequeno.
(Paulo Roberto Labegalini)
De acordo com Labegalini et al. (1992), para o cálculo das flechas, tomamos que:
tan 'a �
�
�
p s
T
Z
0
 [9]
242
UNICESUMAR
também:
tan 'a =
dy
dx
 [10]
diferenciando e manipulando, temos:
dZ p
T
ds
dZ p
T
dx dy
dZ
Z
p
T
dx
�
� �
�
�
0
0
2 2
2 01
 [11]
ao integrar, obtemos:
log ( )e Z Z
p
T
x� � � � �1 2
0
 [12]
a constante de integração é nula, pois, nas condições x = 0 e Z = 0, tem-se:
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
Z Z e
p
T
x
1 2 0 [13]
podemos escrever, então:
Z Z e
Z Z e
p
T
x
p
T
x
� � �
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1
2
2
0
0
 [14]
efetuando a subtração, membro a membro:
Z e e senh x
T
p
p
T
x x
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
�
0
2 0
 [15]
se Z
dy
dx
= , então, por integração:
y T
p
h x
T
p
C�
�
�
�
�
�
�
�0
0
cos [16]
243
UNIDADE 8
aplicando as condições iniciais e cosh0 = 1 e tomando C
T
p1
0= :
y C h x
C
� �
�
�
�
�
�
�1
1
1cos [17]
onde: 17 representa a equação da catenária.
Expandindo em série o termo cosh
x
C1
:
cos
! !
...
!
h x
C
x
C
x
C
x
C
x
n C
n
n
1
2
1
2
4
1
4
6
1
6
1
1
2 4 6
� � � � � � [18]
Como o valor de C1 é muito grande em linhas reais (acima de 1000), essa série con-
verge. Portanto, são usados os dois primeiros termos, obtendo uma parábola:
y x
C
px
T
= =
2
1
2
2
02 2
 [19]
fazendo:
x A=
2
 e y f=
obtemos:
f C h A
CL
� �
�
�
�
�
�
�1 2
1cos [20]
e:
f pA
T
=
2
08
 [21]
Os comprimentos dos cabos podem ser calculados pelo processo exato ou aproximado 
ou pela equação da parábola. Veremos que os resultados são muito próximos e, portanto, 
qualquer um deles é satisfatório. Não serão deduzidas essas equações, aqui, elas serão 
usadas, na prática, no Exemplo 1, apresentando as suas respectivas equações.
 De forma análoga, procedemos aos suportes em diferentes alturas, geometrica-
mente, obtemos um vão equivalente e uma catenária correspondente a esse vão. As 
equações, neste caso, são:
Para o vão equivalente Ae:
A A Ce � � [22]
244
UNICESUMAR
CORDA = C
DESNÍVEL = B
VÃO = A
Figura 3 - Suporte com vão em desnível para cabos de linhas de transmissão / Fonte: Dias (2017, p. 11).
Descrição da Imagem: a figura representa, por meio de uma ilustração, uma linha de transmissão com dois pontos de suspensão em 
desnível, o vão A, o desnível representando na vertical por B e a corda C.
Descrição da Imagem: a figura representa, por meio de uma ilustração, o vão em desnível para cabos de linhas de transmissão, com 
os elementos de vão A, vão complementar A’ e vão equivalente Ae; enquanto h representa o desnível entre os suportes.
Pelos mesmos parâmetros do vão nivelado, teremos:
A A hT
Ape
� �
2 0 [23]
Ae
A A’
fe h
Figura 4 - Representação do vão em desnível para cabos de linhas de transmissão / Fonte: Dias (2017, p. 13).
245
UNIDADE 8
A equação para cálculo de flecha:
f A p
Te
e=
2
08
 [24]
O comprimento dos cabos para esse desnível será dado por:
L h T
p
senh AT
p
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2 0
2
2
0
4
2
 [25]
Vamos ver como isso funciona em um exemplo? 
Exemplo 1: 
Considere uma linha de transmissão com a classe de tensão 138 kV, construída 
com cabo de alumínio com alma de aço (CAA), com 30 fios de Al e 7 fios de aço 
galvanizado, com secção transversal de 210,3 mm2. Carga de ruptura 7735 kgf e peso 
0,7816 kgf/m, se a tração horizontal é 1545 kgf.
a) Determinar a tração tangencial nos pontos de suspensão. Assuma o comprimen-
to de cabos em 350 m e 1000 m. Analisar para vãos simétricos e em desnível.
b) Determinar os comprimentos dos cabos, calculados pelos processos: exato, 
aproximado e equação da parábola.
Solução:
a) Situação 1: com L = 350 m.
Da equação 7:
a ' arctan arctan
,
, º�
��
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
� �
p L
T2
0 7815 350
2 1545
5 06
0
T T kgf= = =0 1545
5 06
1551 0
cos ' cos , º
,
a
Situação 2: com L = 1000 m:
a ' arctan arctan
,
, º�
��
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
� �
p L
T2
0 7815 1000
2 1545
14 2
0
T T kgf= = =0 1545
14 2
1593 7
cos ' cos , º
,
a
Para a ' = 0 , T= T0 = 1545 kgf.
246
UNICESUMAR
Cálculo da flecha a suportes simétricos para L = 350 m (eq 17):
f T
p
p A
T
f
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0
02
1
1545
0 7816
0 7816 350
2
cosh
,
cosh
,
11545
1
7 75
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�f m,
Cálculo da flecha a suportes em desnível para L = 350 m:
A A hT
Ap
A
A m
e
e
e
� �
� �
� �
�
�
2
350 2 40 1545
350 0 7816
801 82
0
,
,
f A p
T
f
f m
e
e
e
e
�
�
� � �
�
�
2
0
2
8
801 82 0 7816
8 1545
40 66
, ,
,
 O comprimento no cabo no vão pela eq 25:
L h T
p
senh AT
p
L
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � � �
2 0
2
2
0
2
4
2
40 4 1545
0 781, 66
350
2 1545
0 7816
352 7
2
2�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
senh
L m
,
,
247
UNIDADE 8
b) Comparação do cálculo dos comprimentos dos cabos.
Caso 1 – Processo exato L C senh
A
C
� �2
21 1
com:
C T
p1
0 1545
0 7816
1976 7144= = =
,
,
substituindo nas duas situações:
L senh
L m
� � �
�
�
2 1976 7144 350
2 1976 7144
350 4573
,
,
,
L senh
L m
� � �
�
�
2 1976 7144 1000
2 1976 7144
1010 6977
,
,
,
Caso 2 – Processo aproximado L A
f
A
� � �
�
�
8
3
2
f T
p
p A
T
f
f
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
0
0
350
1000
2
1
7 7464
63 2363
cosh
,
,
L
L m
350
2
350
350
8 7 7464
3 350
350 4572
� � �
�� �
�
�
,
,
L
L m
1000
2
1000
1000
8 63 2363
3 1000
1010 6635
� � �
�� �
�
�
,
,
248
UNICESUMAR
Caso 3 – Equação da parábola:
y x
C
px
T
= =
2
1
2
2
02 2
dy
dx
px
T
x
C
= =
0 1
o comprimento:
L x
C
dx
A
� �
�
�
�
�
�
��2 102 1
2 1
2[ ]
L C A
C
A
C
A
C
A
C
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
��
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
1
1 1
2
1
2
12 2
1
2
1
2
ln
��
�
�
�
calculando, temos:
L m350 350 4567= ,
L m1000 1010 5635= ,
Comparando os resultados, todos os métodos são aplicáveis e satisfatórios quanto 
aos resultados, uma vez que os seus erros são mínimos.
Em vãos inclinados, existem dois casos a serem considerados para o cálculo 
da flecha (LABEGALINI et al., 1992): 
• O primeiro caso fs é a flecha que representa a maior distância vertical 
entre a linha que liga os pontos de apoio do cabo a um ponto na curva. 
Usada quando o terreno exibe um perfil mais ou menos paralelo à linha 
entre apoios:
f A
C
A p
Ts
= =
2
1
2
08 8 
[26]
249
UNIDADE 8
Lembrete: resumo para vãonivelado
Tração nos apoios: T
T
= 0
cosa
 para a �
�
arctan
p L
T8 0
Flecha: f
pA
T
=
2
08
Comprimento do cabo: L A
f
A
� �
8
3
2
Lembrete: resumo para vão em desnível
Força axial no suporte superior: T T
A p
TA
e� �
�
�0
2 2
08
com A A
h T
A pe
� �
� �
�
2 0
Força axial no suporte inferior: T T p
A p
T
hB e� �
�
�
�
�
�
��
�
�
��0
2 2
08
Comprimento do cabo: L h A
A
C
� � �
�
�
��
�
�
��
2 2
2
1
21 12
Flecha: f f
h
fo s s
� �
�
�
�
�
�
�1 4
2
com f
A
C
A p
Ts
= =
2
1
2
08 8
Fonte: adaptado de Labegalini et al. (1992).
• O segundo fo é a flecha medida entre uma linha horizontal que passa pelo 
ponto inferior e o ponto mais baixo da curva. Define o afastamento dos cabos 
perante obstáculos que possam cruzar a linha nesse ponto:
f f h
fo s s
� �
�
�
�
�
�
�1 4
2
 
[27]
250
UNICESUMAR
A análise de vãos isolados serve como um seccionamento para modelagem matemática, sendo pouco 
frequentes nas linhas de transmissão. Na prática, existe uma sucessão desses vãos que não podem ser tra-
tados, isoladamente, desse modo, são interdependentes entre si, uma vez que os pontos de suspensão não 
são rígidos, tampouco os condutores independentes. Então, existe a transmissão dos esforços entre os vãos. 
Separaremos as situações que podem ser encontradas e faremos uma breve análise sobre esses casos.
O primeiro caso é uma linha de transmissão com vão e altura iguais, como apresentado na Figura 5. 
T
A
S S S T
B
Figura 5 - Vão e altura iguais / Fonte: Bezerra (2010, p. 48).
Descrição da Imagem: a figura mostra, por meio de uma ilustração, uma linha de transmissão com vão e altura iguais e, também, a 
disposição da curva catenária.
Descrição da Imagem: a figura mostra a decomposição da tensão axial do cabo, com 
T (tensão), V (componente vertical) e H (componente horizontal).
Neste caso, as torres que estão 
na extremidade sofrem efeito da 
tensão provocada pelo cabo, com 
uma componente vertical V e 
uma horizontal H. A componente 
vertical está equilibrada pelo peso 
do condutor do vão correspon-
dente. Assim, tem-se a equação:
V V psA B= = 2 
[28]
T T HA B= =
cosa 
[29]
e:
a = arctan
ps
H2
 [30]
Sem deflexão, nas estruturas in-
termediárias, as forças atuarão, 
somente, na vertical. As suas com-
ponentes horizontais anulam-se:
V ps≈ [31]
T
V
H
a
Figura 6 - Decomposição da tensão axial no cabo / Fonte: Bezerra (2010, p. 49).
251
UNIDADE 8
O segundo caso ocorre para a mesma altura com vãos de tamanhos desiguais. Os esforços horizontais 
são iguais e absorvidos nas estruturas das extremidades. As verticais são proporcionais aos semivãos, 
como mostrado na Figura 7.
s1 s2
Figura 7 - Vãos diferentes em estruturas de mesma altura / Fonte: a autora.
Descrição da Imagem: a figura mostra, por meio de uma ilustração, vão contínuos com estruturas de mesma altura e vãos com es-
paçamentos diferentes.
As equações, neste caso, ficam:
V s p
V s p
A
B
=
=
1
2
2
2
 [32]
De forma geral, escrevemos para j vãos:
V
s s p
kgfi j�
�� �
2
[ ] [33]
As flechas serão calculadas na razão do quadrado dos vãos:
f f s
si j
�
�
�
�
�
�
�1
2
2
[34]
Outro caso a ser considerado é para vãos e alturas diferentes. A falta de simetria 
representa a maioria dos casos reais em um terreno acidentado, onde a linha de 
transmissão percorre um longo caminho ao longo de desníveis.
As estruturas serão analisadas de forma isolada, considerando os parâmetros 
por secção.
252
UNICESUMAR
A
B
D
E
C
VAO
TO
TO
IO
TO TO
TO
TO
TO TO
TO
TAB Oa
na
hAB
hBC
VBC
TBCOb
TBA
VBA
TCB
TCD
VCD
VCB
OC
TDE
VDE
VDC
TDC
hDE
hCD
TEO=TO
VEO=O
TEF
VEF
Od
Oe
nb
nc nd ne
mb
mc md 
aAB aBC aCD aDE aEF
Figura 8 - Sucessão de vãos e alturas desiguais / Fonte: Labegalini et al. (1992, p. 184).
Descrição da Imagem: a figura exibe, por meio de uma ilustração, uma linha de transmissão com vãos e alturas diferentes, com as 
suas cotas generalizadas.
Veremos a situação da Figura 8, por meio de um exemplo.
Exemplo 2: 
Considere o trecho da linha de transmissão onde a componente horizontal da 
tração nos cabos na condição de flecha máxima, sem vento, tem valor de f = 1020 
kgf, e as medidas das distâncias dos trechos indicados na Figura 8 são:
aAB = 234 m; hAB = 15,45 m; na = 31 m; mb = 203 m;
aBC = 175 m; hBC = 25,30 m; nb = 95 m; mc = 276 m;
aCD = 476 m; hCD = 14,75 m; nc = 197 m; md = 290 m;
aDE = 152 m; hDE = 8,20 m; nd = 152 m; me = 0 m;
 ne = 214 m. 
Para esta situação serão determinados:
a) Vãos médios.
b) Vãos gravantes.
c) Cargas verticais sobre as estruturas.
d) Trações nos cabos junto aos suportes.
253
UNIDADE 8
Solução:
a) O vão médio é determinado pela soma dos vãos adjacentes à estrutura, então, 
calcularemos para cada estrutura seccionada na figura.
Para a estrutura A, temos:
a
a a a mm
i j AB�
�
�
�
� �
2
0
2
234
2
117
Para a estrutura B, temos:
a
a a a a mm
i j AB BC�
�
�
�
�
�
�
2 2
234 175
2
204 5,
Para a estrutura C, temos:
a
a a a a mm
i j BC CD�
�
�
�
�
�
�
2 2
175 476
2
325 5,
Para a estrutura D, temos:
a
a a a a mm
i j CD DE�
�
�
�
�
�
�
2 2
476 152
2
314
b) O vão gravante (ou vão de peso) é uma distância fictícia que, multiplicada 
pelo peso unitários dos condutores, corresponde ao valor da força vertical 
que o cabo exerce na estrutura a qual o suporta.
Na estrutura A: aGA = na = 31 m;
Na estrutura B: aGB = mb-nb = 203-95 = 180 m;
Na estrutura C: aGC = mc+nc = 276 + 197 = 473 m;
Na estrutura D: aGD = md+n = 290 + 152 = 442 m;
Na estrutura E: aGE = 0 + ne = 0 + 214 = 214 m.
c) As cargas verticais sobre as estruturas: 
Estrutura A: V p a kgfA GA� � � � �0 7816 31 24 22, , [ ] ;
Estrutura B: V p a kgfB GB� � � � �0 7816 108 84 41, , [ ] ;
Estrutura C: V p a kgfC GC� � � � �0 7816 473 369 70, , [ ] ;
Estrutura D: V p a kgfD GD� � � � �0 7816 442 345 47, , [ ] ;
Estrutura E: V p a kgfE GE� � � � �0 7816 214 167 26, , [ ] .
254
UNICESUMAR
d) Para o cálculo das trações nos suportes, empregaremos equações diferentes 
aos suportes superiores e inferiores (que serão calculados a partir dos vãos 
equivalentes e das flechas que correspondem a esses).
Estrutura A – Vão equivalente:
A a h T
a p
m
f
e ab
ab
ab
e
AB
AB
� �
� �
�
� �
� �
�
�
2 234 2 15 45 1020
234 0 7816
4060 ,
,
��
�
�
�
�� �
�
�
� � �� �
p A
T
m
T T f h p
e
e ab
AB
AB AB
2
0
2
0
8
0 7816 406
8 1020
15 79
,
,
�� � �� � �1020 15 79 15 45 0 7816 1020 3, , , , kgf
Estrutura B – Tração no cabo no vão B-A:
T T f kgf
BA pe� � � � � �0 1020 15 79 0 7816 1032 34, , ,
tração no vão B-C:
A a h T
a p
m
f
e ab
bc
bc
BC
� �
� �
�
� �
� �
�
�
2 175 2 25 30 1020
175 0 7816
552 340 ,
,
,
ee
e
e
BC
BC
BC BC
p A
T
m
T T f
�
�
�
�
�� �
�
�
� � �
2
0
2
0
8
0 7816 552 34
8 1020
29 22
, ,
,
hh p kgfBC� � � � �� � � �1020 29 22 25 30 0 7816 1023 07, , , ,
Estrutura C – Tração no vão C-B:
T T f p kgf
CB BCe� � � � � � �0 1020 29 22 0 7816 1042 82, , ,
tração no vão C-D:
A a h T
a p
m
f
e cd
cd
cd
CD
� �
� �
�
� �
� �
�
�
2 476 2 14 75 1020
476 0 7816
556 880 ,
,
,
ee
e
e
CD
CD
CD BC
p A
T
m
T T f
�
�
�
�
�� �
�
�
� � �
2
0
2
0
8
0 7816 556 88
8 1020
29 70
, ,
,
hh p kgfcd� � � � �� � � �1020 29 70 14 75 0 7816 1031 68, , , ,
Estrutura D – Tração no vão D-C:
T T f p kgf
DC CDe� � � � � � �0 1020 29 70 0 7816 1043 21, , ,
255
UNIDADE 8
tração no vão D-E:
A a h T
a p
m
f
e de
de
de
e
DE
� �
� �
�
� �
� �
�
�
2 152 2 8 30 1020
152 0 7816
292 800 ,
,
,
DDE
DE
p A
T
me�
�
�
�
�� �
�
�
2
0
2
8
0 7816 292 80
8 1020
8 20
, ,
,
então:
T T f h p kgf
T T f
ED ED
DE
e ed� � �� � � � �� � � �
� �
0
0
1020 8 20 8 20 0 7816 1020, , ,
ee deDE h p kgf�� � � � �� � � �1020 8 20 0 0 7816 1026 40, , ,
Lembrete: resumos das equações para vãos contínuos
Alturas iguais
Força vertical num apoio: V
ai aj p� ��
�
�
�
�
� �2
Força axial no lado do vão i: 
T T
p a
T
i
i
�
�
��
�
�
��
�
0
02
cos
arctan
a
a
Flecha no vão i: f
p a
Ti
i�
�
8 0
Alturas diferentes
Força vertical num apoio: V p m ni j� � � �� �
Força axial no suporte superior (B): 
T T p A
T
A a h T
a p
BA
e
e BA
BA
BA
� �
�
� �
�
�
0
2 2
0
0
8
2
Força axial no suporte inferior (A): 
T T p p A
T
h
A a h T
a p
AB
e
AB
e AB
AB
AB
� �
�
�
�
�
��
�
�
��
� �
�
�
0
2
0
0
8
2
Fonte: adaptado de Labegalini et al. (1992).
256
UNICESUMAR
Um fator importante nos projetos das LTs é o efeito das mudanças de direção. Preza-se pela menor 
distância entre os seus pontos de interligação, porém, na prática, isso nem sempre é passível de reali-
zação, uma vez que existem obstáculos naturais ou artificiais que não podem ser removidos.
No ponto onde ocorre a mudança de direção, haverá uma força horizontal, cuja direção coincide 
com a bissetriz do ângulo dessa mudança e dirigida ao sentido do ângulo de deflexão entre os dois 
alinhamentos da linha. Aua magnitude é calculada por:
F T sen kgf= 2
20
a
[ ] [35]
A Figura 9 mostra como se dá essa decomposição no ponto de suspensão.
(Reação da estrutura)
-FA-T0
T0
-T0
T0
ObstáculoAlinhamento de ré
+FA
�
�
2
�
2
(Esforço dos condutores)
Alinhamento de vante
β
Figura 9 - Estruturas de ângulo com a mudança de direção / Fonte: Bezerra (2020, on-line). 
Descrição da Imagem: a figura representa uma estrutura de desvio de uma linha de transmissão e a força no ponto de suspensão 
causada por essa mudança de direção. A força na estrutura de sustentação é representada por FA.
A altura mínima do condutor ao solo também deve ser determinada de forma a garantir a segurança 
tanto da linha quanto de terceiros. Essa altura é prevista pela NBR 5422 (ABNT, 1985):
257
UNIDADE 8
C A B
Condutor inferior na temperatura
máxima de projeto, sem vento
Figura 10 - Alturas mínimas entre condutor e solo / Fonte: Elias (2015, p. 15). 
Descrição da Imagem: a figura apresenta, por meio de uma ilustração, a distância de segurança do cabo suspenso até o solo, em 
temperatura máxima e sem vento.
A Tabela 1 apresenta valores previstos pela norma e um comparativo exigido pela Companhia Elé-
trica de Goiás.
Natureza da região
D
is
tâ
nc
ia
 
ao
 s
ol
o
69 kV 138 kV 230 kV
N
BR
 5
42
2
CE
LG
N
BR
 5
42
2
CE
LG
N
BR
 5
42
2
CE
LG
Locais de circulação: apenas, pedestres
A
6,00 7,00 6,30 7,50 6,83 8,00
Locais de circulação: máquinas agrícolas 6,50 7,50 6,80 8,00 7,33 8,50
Rodovias
B
8,00 8,00 8,30 8,50 8,83 9,00
Ruas, avenidas, estradas rurais 8,00 10,00 8,30 10,00 8,83 10,00
Ferroviais não eletrificadas
C
9,00 9,00 9,30 9,70 9,83 10,70
Ferroviais eletrificadas ou com previsão futura 12,00 12,00 12,30 12,70 12,83 13,70
Tabela 1 - Alturas mínimas entre condutor e solo / Fonte: CELG (2008 apud ELIAS, 2015, p. 15).
258
UNICESUMAR
A equação para determinação da distância de segurança é:
D a Du� � � ��
�
�
�
�
�0 01 3
50, [36]
Com D sendo a distância de segurança, a sendo obtido pela tabela e Du como 
tensão da linha. Com isso, é possível determinar, também, a altura mínima da 
torre, que será expressa por:
H D CI fTORRE � � � [37]
onde: 
 f: flecha máxima; 
CI: tamanho da cadeia de isoladores. 
O número de isoladores é dado por:
N V S
di
máx i
e
�
�
�
�
�
�
�
�
�1 [38]
com: 
Vmáx: tensão máxima de fase; 
Si: suportabilidade de isolação (variando de 16 a 63 mm/kV);
de: distância de escoamento (mm).
O comprimento dos isoladores é determinado por:
L N P ferragensi i� � � [39]
onde P é o comprimento de cada isolador e ferragem, com tais valores retirados das 
devidas tabelas fornecidas pelas normas.
Os agentes externos considerados transitórios são classificados de acordo com a 
sua ocorrência em:
• Ao longo de todo período de vida útil da LT: cargas por fatores naturais meteo-
rológicos, tais como pressão do vento e redução de temperatura dos condutores.
• Durante os processos de montagem e manutenção: forças de pré-tensio-
namento dos cabos, cargas verticais concentradas provocadas por apoios 
de carrinhos de linha.
• Quase nunca: aqui, são englobados acidentes ou sobrecargas excepcionais, 
como trações unilaterais de alta intensidade por algum evento incomum.
Em países muito frios, essas condições são recorrentes devido à presença de neve 
nos condutores.
259
UNIDADE 8
O vento atua sobre os cabos condutores. Esta ação provoca uma força perpendicular 
ao eixo longitudinal proporcional à velocidade do vento, a qual é transferida dos 
cabos às estruturas. 
A ação dos ventos nos cabos condutores, conforme Sachs (1978), são: 
a) Forças de elevada frequência e baixa amplitude, com excitação devido aos 
vórtices (vibração eólica ou vibração por desprendimento de vórtices).
b) Forças de baixa frequência e alta amplitude, causadas por instabilidades do 
arrasto e da sustentação do cabo (excitação por galope). 
c) Oscilações verticais/horizontais/torsionais acopladas em conjuntos de cabos 
(oscilações induzidas pela esteira).
d) Forças de arrasto estáticas e, em certos tipos de cabos, forças de sustentação. 
Tanto o arrasto quanto os coeficientes de sustentação variam com o número 
de Reynolds. 
e) Forças de rajada aleatória, dando origem a oscilações com amplitudes ran-
dômicas (vibração devido à turbulência atmosférica).
A norma NBR 5422 (ABNT, 1985) para cálculos estáticos apresenta valores de veloci-
dade de vento obtidos, com os períodos de integração de 2 e 30s às estruturas suportes 
e aos cabos, respectivamente. A força da pressão exercida pelo vento é dada por:
f q d kgfv � �0 [ ] [40]
onde:
260
UNICESUMAR
q V d N mp0
2 21
2
� �r [ / ] [41]
e:
V K K K Vp r d h b� � � � [42]
onde as constantes K são tabeladas: 
Kr: coeficiente de rugosidade; 
Kd: coeficientes de conversão para tempos de resposta; 
Kh: fator de correção de altura para obstáculos acima de 10 m;
Vb: vento básico encontrado na tabela para o fator Kd correspondente.
Então, a equação pode ser escrita:
f V d kgfv p� � �
1
2
2r [ ] [43]
Essa força do vento aliada ao próprio peso do cabo acarreta o aumento virtual do peso que atua no 
plano da catenária, o qual é dado por:
p p F kgf mr v� �
2 2
[ / ] [44]
Como as trações T e T0 são alteradas, a flecha máxima da catenária, nesta nova situação de esforço, é dada: 
f p A
T
mr' [ ]� �
2
028
 [45]
T02 corresponde à componente horizontal da tração na nova solicitação.
Para vãos nivelados, a força resultante transmitida à estrutura será expressa por:
em vão isolados: em vãos contínuos:
F A f kgfv v= 2
[ ] [46] F
a a
f a f kgfv
i j
v
m
v�
�
�
2 2
[ ] [47]
261
UNIDADE 8
Já para vãos desnivelados, a força resultante transmitida à estrutura será expressa por:
em vão isolados: em vãos contínuos:
F A f kgfv v= 2cos
[ ]
y
 [48] F a
a
fv i
i
j
j
v� �
�
�
��
�
�
��2 2cos cosy y
 [49] 
Com ψ sendo o ângulo entre o plano inclinado da catenária resultante e o plano horizontal.
A variação de temperatura dos condutores é outro fator importante, uma vez que esses cabos estão 
sujeitos a ela, constantemente. Essas variações de temperatura dependem do equilíbrio entre calor 
recebido (efeito Joule e aquecimento pelo sol) e cedido (convecção e irradiação).
Linha fria
Linha quante
Figura 11 - Flechas para linhas frias e quentes / Fonte: Carvalho (2017, p. 15).
As flechas máximas, neste caso são calculadas com base na média da temperatura ambiente do local, 
considerando os desvios habituais. A escolha dos suportes e dos materiais usados deve ser feita a fim 
de minimizar esses efeitos bem como preservar a distância de segurança.
O valor da flecha é, inversamente, proporcional ao valor de tração, portanto, são usadas equações 
de mudança de estado que permitem calcular essas variações de temperatura, simultaneamente, à ação 
do vento (LABEGALINI et al., 1992). Essas equações são resolvidas por processos iterativos que, aqui, 
não serão abordados.
Descrição da Imagem: a figura mostra, por meio de uma ilustração, o comportamentodas catenárias com a variação de temperatura 
do ambiente.
262
UNICESUMAR
Para cada situação, teremos um comportamento, logo, em uma modelagem matemática que permite 
analisar a linha em questão, os principais casos encontrados são:
• Influência da variação de temperatura e vento sobre vão isolado simétrico.
• Influência da variação de temperatura e vento sobre estrutura em ângulo.
• Influência da variação de temperatura e vento sobre vão isolado desigual.
• Influência da variação de temperatura e vento sobre vão adjacente desigual.
• Influência das sobrecargas de vento sobre vãos desiguais.
Usa-se, facilmente, o programa Basic (Cassio PB 700/770) para confecção de pequenos 
algoritmos capazes de solucionar as equações de mudança de estado e, a partir delas, toda 
análise local pode ser modelada a intervalos predeterminados.
Vamos relembrar o que foi abordado de mais importante nesta uni-
dade? Acesse o QR-Code e rememore!
Nesta unidade, vimos o comportamento mecânico dos condutores frente uma diversidade de fatores 
bem como as mudanças de parâmetros em relação às trações e flechas. 
O(a) engenheiro(a) que atuar nesta área deve ter conhecimentos gerais sobre o projeto mecânico 
das linhas aéreas de transmissão bem como os principais equipamentos e materiais que compõem essas 
linhas de transmissão, incluindo cabos de guarda com fibra ótica. O(a) profissional precisa, também, 
saber como calcular os esforços atuantes, incluindo a ação do vento, as variações de temperatura etc.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/10467
263
Caro(a) aluno(a), convido você realizar um apanhado dos conhecimentos adquiridos nesta unidade, 
desenvolvendo um Mapa Mental com os principais tópicos acerca do comportamento mecânico 
dos condutores e os cálculos envolvidos. 
Iniciei alguns tópicos importantes. Tente completar com o máximo de informações possíveis, em 
seguida, reúna os conceitos importantes abordados nesta unidade.
vãos isolados
comportamento
mecânico dos cabos
efeito das mudanças
de direção
Descrição da Imagem: aa figura apresenta um resumo dos principais tópicos abordados na presente unidade sobre comporta-
mento mecânico dos condutores em vãos isolados e contínuos, os efeitos das mudanças de direção dos cabos e a influência de 
agentes externos (temperatura e vento).
264
1. Uma linha de transmissão usa um cabo Bluejay com p = 1867,3 kg/km. Sabendo que o 
vão é de 300 m e as torres estão niveladas a 25ºC, siga os comandos:
a) Determine a tração horizontal T0 necessária para manter uma flecha máxima de 10 m.
b) Se a tensão de ruptura é de Trup = 13.631 kgf, analise se a tração axial T atende à norma 
NRB 5422:1985.
2. Uma linha de transmissão composta por um vão de 1000 km é subdividida com a in-
serção de 4 suportes intermediários, com vão de 200 m cada. A tração horizontal era 
de T0 = 1545 kgf. Determine o novo T0 da linha de transmissão em questão, se o peso 
dos condutores for p = 0,7816 kgf/m.
3. Imagine uma linha de transmissão de 500 kV sobre uma rodovia. Determine a altura 
mínima da torre para atender à norma da distância de segurança. Considere os dados 
iniciais para cálculos, os seguintes valores tabelados: 
Si = 20 mm; 
de = 320 mm; 
P = 146 mm; 
ferragem = 43 cm.
4. Considerando a linha de transmissão do Exercício 1 com os parâmetros descritos no 
Exercício 3, determine qual o vão máximo possível para as torres.
9
Nos projetos de linhas de transmissão, os cálculos visam a, apenas, 
os esforços estáticos produzidos nestas estruturas. Nesta unidade, 
estudaremos as tensões de origem dinâmica e as suas vibrações. 
Vibrações e Tensões 
em Cabos Condutores
Me. Audrey Cristine Esteves
Uma linha de transmissão foi projetada sem sobrecargas elétricas e mecânicas nos seus elementos e, 
ainda assim, observou-se, sem razões aparentes, ruptura de fios e cabos. Então, quais outros fatores 
poderiam ter acarretado essas rupturas? 
A linha projetada deveria ter muita durabilidade, uma vez que não foram observadas tensões ou 
aquecimento anormais. Entretanto surgem, nos elementos, algumas vibrações capazes de alterar as suas 
propriedades, vibrações as quais podem ser sentidas, ouvidas e medidas. A origem delas está ligada à 
passagem de vento pelas estruturas, o que rompe os condutores.
Caro(a) aluno(a), você já observou que, em determinadas épocas do ano, os eventos climáticos 
acarretam interrupções de energia elétrica. Vários são os motivos dos chamados “apagões”, porém a 
ação de ventos fortes sobre os condutores, estruturas e acessórios que compõem as linhas de trans-
missão são recorrentes. Busque algumas situações em sua região, onde os ventos causaram problemas 
na energia e estabeleça relações com os tipos de ações estruturais estes podem causar. Anote todas as 
observações no seu Diário de Bordo.
Caro(a) aluno(a), ao buscar informações sobre as interrupções de energia causadas por ventos, 
você deve ter notado que são várias as estruturas afetadas. Cada componente da linha de transmissão 
possui um comportamento diferente e cada um deles pode chegar à falha.
O interesse em minimizar cada uma dessas falhas, prevendo o comportamento de cada compo-
nente, se torna um desafio, uma vez que todo um sistema de abastecimento depende da transmissão 
em longas distâncias dessa energia elétrica.
DIÁRIO DE BORDO
266
UNICESUMAR
Os primeiros estudos sobre vibrações e tensões dinâmicas partiram de modelos 
para barras e vigas, com termos estáticos, estendendo-se, em meados de 1691, 
para cabos, ainda em elementos estáticos. Com a evolução da modelagem por 
elementos finitos, vários estudos puderam ser desenvolvidos por meio da aplica-
ção de composições matemáticas. Estas proporcionaram a análise dos fenômenos 
físicos associados aos cabos de alta tensão. Segundo Steidel (1989), diversos tipos 
de vibrações discretas e contínuas foram discutidos bem como as suas compara-
ções com situações reais de cabos.
As vibrações são, geralmente, desprezadas nas linhas de transmissão por sua 
intensidade, quando comparadas às tensões estáticas muito menores. Entretan-
to esse vem sendo um tópico que atrai muita preocupação e muito estudo, nos 
últimos anos (LABEGALINI et al., 1992).
A necessidade de estruturas cada vez maiores, pesadas e complexas para per-
correr maiores distâncias traz consigo a preocupação sobre a ação das tensões 
dinâmicas, e as suas soluções são as mais variadas, atualmente, em todo o mundo. 
Um modelo numérico foi proposto, também, por Teixeira (1997), no qual foram 
realizadas diversas medidas de avaliação da vibração em condutores e, em segui-
da, sugeriram-se neutralizadores viscoelásticos, a fim de minimizar o problema.
267
UNIDADE 9
Segundo Labegalini et al. (1992), a ação dos ventos ocasiona oscilações nos cabos, as quais podem ser 
subdivididas em três tipos:
• Ressonância (eólica).
• Longitudinais (galloping ou galope).
• Rotação.
O primeiro, caracterizado por 
vibrações eólicas, é provocado 
pelos chamados vórtices de Kar-
man. Este tipo de oscilação origi-
na-se de redemoinhos de ar que 
agem, verticalmente, nos cabos, 
cuja frequência é igualada à fre-
quência do vento e do condutor, 
entrando, então, em ressonância.
Para Oliveira (1996), este tipo de vibração é causado pelo desprendimento alternado de vórtices 
induzidos pelo vento, o que provoca o desbalanceamento de pressões e um movimento alternado, para 
cima e para baixo, do condutor. A sua ocorrência dá-se, normalmente, em regiões planas ou semipla-
nas, com ventos contínuos de 2 a 35 km/h. Provoca oscilações de pequenas amplitudes nos pontos de 
suspensão dos cabos, acarretando a ruptura por esforços repetitivos.
REALIDADE
AUMENTADA
Vibrações causadas pelo efeito dos 
ventos
O segundo tipo, chamado de galope, caracteriza-se por ser de 
baixa frequência e grande amplitude, causando movimento longi-
tudinal dos condutores no ponto de suspensão. Esta movimentação 
aproxima os cabos entre si, dependendo do vão existente, assim, 
origina curtos-circuitos entre fases. Asua ocorrência limita-se a 
trechos de linhas com cadeia em suspensão. 
O terceiro tipo é a oscilação de rotação originada em zonas 
de ar rarefeito ou por regiões de vácuo parcial, cujas rotações são 
provocadas por ventos de alta intensidade. Nesse caso aumentam, 
consideravelmente, os esforços mecânicos e, ainda, podem pro-
vocar curtos-circuitos.
Em todos os casos, há enorme prejuízo nas estruturas, como 
ferragens, isoladores e, obviamente, nos condutores, sendo os de 
alumínio os mais afetados, porque, devido às características do 
próprio material, costumam ser mais frágeis. Observa-se que cabos 
sofrem menos do que fios isolados.
As rupturas associadas às vibrações ocorrem nos pontos de fi-
xação dos condutores, onde, enquanto uma vibra, a outra é forçada 
na estrutura de fixação, provocando reflexão das mesmas.
268
UNICESUMAR
Um fenômeno muito observado é a vibração por vórtices. Como a modelagem 
matemática para esse sistema é muito complexa, utiliza-se, para expressar essas vi-
brações em vãos livres, uma aproximação à equação de vibrações em cordas:
m y
t
T y
x
�
�
�
�
�
�
2
2
2
2 0
com:
m: massa por unidade de comprimento;
T: tensão.
Então, a velocidade transversal é dada por:
U T
mtr
=
A influência da rigidez flexional sobre a velocidade da onda é incorporada à equação, 
em que podemos escrever:
U U mEI
Ttr tr
' � �
�
�
��
�
�
��1 2
2
2
w
onde:
EI: a rigidez flexional do condutor. 
Essa rigidez aumenta com a velocidade transversal e com a frequência.
Por exemplo, para um condutor ACSR com diâmetro de 38 mm e tensão em 
60 N/mm2, a Utr tem aumento de 0,5% para uma frequência de 10 Hz e 5% 
para uma frequência de 25 Hz. 
Basicamente, dois métodos são empregados para a resolução da equação de onda, 
cada qual com as suas limitações quanto à precisão.
Labegalini et al. (1992) citam que as frequências naturais de um vão sofrem al-
terações por gravidade, amortecimento e rigidez. Assim, a equação que oferece uma 
aproximação a essas frequências naturais é:
269
UNIDADE 9
f n
a
Un tr= 2
sendo:
a: equivalente ao vão;
n: número inteiro 1, 2, 3...
Então, se temos um vão normal de 400 m, submetido a uma tensão 
normal e Utr= 120 m/s, a frequência natural é:
f Hzn � �
�
1
2 400
120 0 15, [ ]
No Brasil, a frequência gira em torno de 10 Hz e, neste intervalo, 
as frequências ressonantes encontradas são de 9,55; 9,70; 9,85 e 
assim por diante.
Algumas teorias defendem que a origem das vibrações eólicas é 
a esfera de vórtices periódicos, os quais são associados à frequência 
estável bem como à amplitude aleatória. Esta teoria relaciona o 
número de Strouhal em função do número de Reynolds e dá ori-
gem ao gráfico relacional sobre cilindros. Observações importantes 
seguem destas relações.
Os vórtices são governados pela frequência de oscilação em 
uma faixa de sintonia entre as duas esteiras, originando, então, 
um efeito de sincronização (movimento harmônico). Permanecer 
nesse estado pode gerar a amplificação na força dinâmica.
Essa esteira pode, também, ser controlada por distúrbios pe-
riódicos, os quais podem ser muito parecidos ao efeito Magnus. 
Admite-se, também, que esse efeito de sincronização acontece 
quando a amplitude chega a níveis críticos, neste caso, o coeficien-
te de sustentação dinâmico depende do fluxo de ar (turbulência).
Exemplo:
Vamos supor, então, que, sobre um condutor com diâmetro 
de 25,4 mm, peso de 0,825 kgf/m e submetido a uma tensão de 
1650 kgf, sopre um vento de 36 km/h. A frequência de Strouhal 
pode ser calculada por:
• Primeiramente, verificamos, no gráfico, que S (Re) é, apro-
ximadamente, 0,2. Usaremos o valor de 0,185.
270
UNICESUMAR
Figura 1 - Gráfico do número de Strouhal em função do número de Reynolds. Função obtida, experimentalmente, para escoa-
mento em cilindros circulares / Fonte: Labegalini et al. (1992, p. 377).
Número de Reynolds 
N
úm
er
o 
de
 S
tr
ou
ha
l
S
10 2 4 6 8 10² 2 4 6 8 103 2 4 6 8 104
2,0
0
1,0
KsKe
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
Descrição da Imagem: o gráfico demonstra a relação para uma faixa de valores onde o número de Strouhal se relaciona com o nú-
mero de Reynolds. Observa-se que, na faixa de, aproximadamente, S = 0,2, ambos se cruzam e seguem com relações numéricas, no 
intervalo de 400 a 40000.
f S U
D
Hzs � �
�
�
0 185 10
0 0254
72 8,
,
, [ ]
Observação: todas as unidades no sistema internacional (S. I.).
Para o mesmo vão, sabendo que a densidade do ar é 1,29 kg/m3 e a amplitude de vibração nesse 
vão é de 0,25 mm, podemos determinar a expressão para a força harmônica de Karman. Aqui, consi-
deraremos a amplitude pico a pico, logo, 0,5 mm. A equação usada será:
f C U Dq sen tk k� � �
1
2
2ρ ω
onde: Ck é o coeficiente de sustentação; q é o fator de amplificação dado por:
q � � �1 0 77, h
271
UNIDADE 9
η é a amplitude relativa dupla dada h =
Y
D
 com Y a amplitude pico a pico.
Tomando Ck = 1, ω π= 2 f - (passar o valor para radianos).
calculando:
q � � � �1 0 77 0 5
25 4
1 02, ,
,
,
temos, assim, a expressão:
f sen t
f sen
k
k
� � � � � � �� �
�
1 1
2
1 29
9 81
10 0 0254 1 02 457 4
0 17 457
2,
,
, , ,
, ,44t kgf m� �[ / ]
Note que o resultado para a força máxima de sustentação é 0,17, ou seja, 21% do 
peso do cabo.
Por último, determinaremos uma série de frequências naturais para o vão, des-
prezando a rigidez.
f n
a
U n
a
T
m
n
f n
n tr
n
� � �
�
� �
2 2 800
1650 9 81
0 825
0 175
,
,
,
considerando:
f fn s≅
72 8 0 175
416
, ,� �
�
n
n
O modo de vibração é 416.
A força hidrodinâmica, ao agir sobre um vão na linha de transmissão, atua, em 
fase, sobre uma parcela do vão da LT, sendo distribuída, aleatoriamente, ao longo 
desse vão. Iniciado o estado vibracional dos condutores, é fácil perceber que o efeito 
de sincronização comanda a esteira de vórtices, então, um movimento harmônico é 
instaurado, agindo, em fase, com a velocidade transversal do condutor.
Existe um estado cuja vibração irregular torna-se permanente, uma vez que o 
impulso inicial foi dado por algum evento que estimule esse movimento. A propa-
gação desse evento para todo o vão dá-se em todas as estruturas, torres, isoladores, 
condutores, espaçadores etc. Devido ao baixo amortecimento, o fator de sincronização 
pode ocorrer em qualquer estrutura (LABEGALINE et al., 1992).
272
UNICESUMAR
A energia armazenada está relacionada à mudança do vento de um estado turbulento 
para uma corrente de ar contínua capaz de induzir o estado vibracional, ou seja, as 
características variam a partir de um estado de movimentação dos condutores até 
ser encontrada uma frequência natural de vibração do sistema a qual entre em res-
sonância, que é o efeito de sincronização mencionado, anteriormente.
A combinação entre duas velocidades de ventos diferentes pode dar origem a 
essa sincronização, servindo como ponto de partida. Uma vez que as variações se-
jam mais frequentes, a vibração estacionária cessa, então, dá lugar a um movimento 
não-harmônico.
Verifica-se a dissipação de energia em condutores tensionados, quando sujeitos à 
deformação em sua condição estática normal. Oscilações ou vibrações são modeladas 
como harmônicos e em ressonância, desse modo, podem ser descritas pela equação:
y x y sen x( ) � �
�
�
�
�
�
0
2
2π
λ
onde: λ é comprimento de onda, e o primeiro termo 
y0
2
 refere-se ao desloca-
mento do antinó.
Um condutor sujeito a uma força de tração T pode gerar autoamortecimento, 
cujas fontes podem ser: a) atrito de Coulomb gerado pelo atrito entre as super-
fícies deslizantes; b) amortecimento material, gerado pela dissipação de energia 
no interior do próprio material. O primeiro mecanismo é mais comum, quando 
comparado ao segundo.
273
UNIDADE 9
Na prática da linha de transmissão, temos que:
• Não existe relação entre autoamortecimento e resistência básica do condutor.• A variação de tensão afeta a dissipação de energia.
A intensidade das vibrações nos condutores depende do terreno e da tensão nos cabos, 
e diversos estudos mostraram que, para uma tensão de 4 a 5 kgf/mm2, a amplitude 
das vibrações é notável. A topografia local também exerce influência, a natureza dos 
ventos locais é consequência do tipo de geografia, logo, as vibrações tornam-se mais 
efetivas em áreas planas do que em áreas com depressões.
As maiores intensidades são verificadas em vãos muito extensos, tais como tra-
vessias de rios, já que os condutores são colocados em grande altura, em área plana, 
e são avaliadas pela tendência de ocorrência.
A equação usada para este número médio é:
t � �
T
T
v
e
100
onde:
 τ: tendência de vibração;
Tv: duração da vibração para ângulos superiores a 5’;
Te: duração das observações com, no mínimo, um mês.
Conforme a Tabela 1, a seguir.
Obs.: o ângulo considerado é o formado pela linha da catenária e a linha do primeiro 
espaço livre (LL), que será medido na boca do grampo de fixação. A sua unidade será 
dada em minutos.
Uma representação exagerada do modo de vibração de um condutor é expressa 
pela equação:
LL
f
Tg
p
=
1
2
com:
LL: meio comprimento de onda; 
f: frequência [Hz]; 
T: tração mecânica [kgf];
 p: peso do condutor por comprimento [kgf/m]; 
g: aceleração da gravidade [m/s2]. 
274
UNICESUMAR
A Tabela 1 relaciona as condições locais com o ângulo máximo das vibrações e a sua 
duração relativa percentual.
Condições locais Máximo ângulo de vibração
Duração relativa 
da vibração %
Travessias longas (800 a 1500 m) 35-50 35-50
Terreno plano, aberto, vãos com 300 a 500 m 25-35 20-35
Terreno plano, aberto, vãos com 150 a 300 m 25-30 20-25
Bosques com árvores escassas, terreno 
muito rugoso, vãos com 150 a 300 m 15-20 8-15
Áreas florestais onde os topos delas são 
mais altos do que os pontos de suspensão 
dos condutores
5-10 2-5 
Tabela 1 - Características das vibrações quanto às condições locais / Fonte: Labegalini et al. (1992, p. 387).
Labegalini et al. (1992) citam que os critérios para uma vibração ser considerada 
perigosa dependem do prognóstico feito. Então, para amortecimento do sistema e 
intensidade de vento conhecidos, pode-se calcular o nível de vibração em estado per-
manente, usando balanceamento de energia, no qual há a aproximação por condições 
ideias, tais como: vento estável e uniforme, vibração senoidal e energia dissipada que 
toma lugar no próprio condutor.
As vibrações nos condutores surgem com ventos cujas velocidades encontram-se 
na faixa de 0,6-0,8 a 10 m/s, ou seja, velocidades baixas, porém intensidade e duração 
constantes. Logo, a escolha dos parâmetros destinados a amortecedores e as suas 
respectivas posições são feitas com base nas características dinâmicas.
Tomemos uma linha na qual foram observados ângulos de vibração de 8’ para 
valores máximos de 40’, sendo que o diâmetro do condutor é 18,52 mm.
Verificaremos o nível das amplitudes perigosas e o intervalo dessas frequências. 
O parâmetro adimensional KA será usado como uma relação entre as amplitudes.
K
A
AA
máx
máx
�
�
�
�
�
�
�
�0 5
0 5
,
,
λ
λ
α
α
KA
máx
= = =
a
a
8
40
0 20,
Pelo gráfico apresentado na Figura 2, temos que o intervalo entre F.D1 é 120 Hz e 
F.D2 é 1000 Hz, logo, para o KA calculado, tiramos que F.D1 = 130 Hz e F.D2 = 900 Hz.
275
UNIDADE 9
KA
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
200 400 600 800 1000 Hz mm
(f.D)1
FAIXA PERIGOSA (f.D)2
NÍVEL DAS AMPLITUDES
PERIGOSAS
(f.d.)
Figura 2 - Relação para a faixa perigosa KA = F / Fonte: Labegalini et al. (1992, p. 377).
Descrição da Imagem: a figura mostra, por meio de um gráfico, o parâmetro adimensional KA em função do 
produto da frequência pelo diâmetro [Hz.mm], dentro de uma faixa. O comportamento desse gráfico é deter-
minado pela equação que representa a razão entre o ângulo e o ângulo máximo de vibração.
f Hz
f Hz
1
2
130
18 52
7 02
900
18 52
48 59
= =
= =
,
, [ ]
,
, [ ]
então:
7 48< <f Hzperigosa [ ]
Obs.: um vento laminar com 15 km/h de velocidade constante poderá gerar 
uma vibração de 43 Hz no condutor Linnet (336,4 MCM), o cabo mais utili-
zado na transmissão de energia.
Os danos ocasionados por essas vibrações são, basicamente, de dois tipos: fadiga 
e abrasão. Ambos podem ocorrer juntos, além de serem progressivos.
276
UNICESUMAR
(A)
(A)
Figura 3 - A região do ponto A indica o local de maior ocorrência de fadiga nos cabos condutores, a qual 
é provocada pelas vibrações / Fonte: Telles (2018, p. 98).
As rupturas são, geralmente, localizadas nos pontos de fixação, em que a rigidez 
imposta pela fixação ao grampo cede ao modo vibracional. 
Em um cabo, o dano mais comum é por fadiga, cujos fios individuais são afetados. 
Observa-se que a camada interna se rompe primeiro, seguida da externa, dificultando 
o diagnóstico e, consequentemente, a troca do cabo avariado. Esse tipo ocorre nos 
pontos de restrição de movimento dos condutores, principalmente, no eixo vertical. 
Tal fadiga é ocasionada por esforços dinâmicos produzidos pelo dobramento alter-
nado nos pontos onde há restrição. 
O agravamento, ainda maior, pelos efeitos de esforços dinâmicos, acontece por 
abrasão entre a superfície dos fios. Há reação ao oxigênio do ar, formando óxido de 
alumínio, que acelera o processo de desgaste dos fios.
Todo esse processo leva à interrupção de fornecimento de energia, por isso, se 
torna imprescindível, nos locais mais propícios, o controle dessas vibrações.
Outro fator importante encontra-se nos cabos ACSR submetidos ao efeito de 
vibração eólica, onde se verifica o aumento das vibrações com a diminuição da 
temperatura. Este fenômeno ocorre pelo aumento de tensão nos fios de alumínio 
em relação aos de aço.
Descrição da Imagem: a figura mostra o ponto onde as falhas por fadiga, em um cabo condutor, ocorrem 
por ação das vibrações. Esse ponto é o de fixação nos isoladores.
277
UNIDADE 9
Conhecidas as características do terreno, assim como as faixas de velocidades 
com que os ventos ocorrem, existe a possibilidade de controlar essas vibrações. 
O uso de cabos com diâmetros cada vez maiores em vãos longos implica maior 
tensionamento, o que facilita as vibrações. Devido às características de alta fre-
quência e baixa amplitude, a forma mais econômica é o uso de dispositivo de 
amortecimento (LABEGALINI et al., 1992).
Quanto maior o nível de esforço estático, menor o nível de esforço dinâmico 
permitido pelos condutores para chegar ao ponto de falha por fadiga. Neste caso, 
a tensão mecânica torna-se um eficiente meio de prevenção contra as vibrações, 
logo, o aumento da tensão diminui o autoamortecimento desses condutores.
A norma ABNT NB 182 (substituída pela ABNT NBR 5422:1985) para projetos 
de linhas aéreas cita que:
 “
Na pior condição, a carga atuante num cabo deve ser, no máximo, 
igual a 40% de sua carga de ruptura para cabos de alumínio, ACSR 
ou aço, e 50% para cabos de cobre” (13.2.1);
“Na condição de trabalho de maior duração, a carga atuante no 
cabo deve ser, no máximo, 25% de sua carga de ruptura” (13.2.2) 
(ABNT, 1985, p. 20-21).
Os limites baseiam-se em uso de dispositivos especiais para evitar as falhas por 
fadiga e o desgaste do cabo por atrito com os grampos. Não sendo seguidas as 
especificações dos dispositivos, os valores de tensão devem ser menores.
A redução das vibrações é realizada por meio do emprego de amortecedores 
divididos em duas grandes classes: passivos e ativos (TELLES, 2018). 
Passivos:
• Grampos poliarticulados: aqui, são empregados grampos leves cujo eixo 
de oscilação é coincidente com o eixo longitudinal do condutor, assim, 
evita-se a amplificação nas vibrações das extremidades.
• Varilhas antivibratórias: são reforços junto ao grampo de suspensão, com 
formação de camadas de vergalhões espiralados sobre os cabos. A sua 
função é aumentar a área de secção transversal, com consequente redução 
das tensões mecânicas, reduzindo, também, as vibrações.
278
UNICESUMAR
https://www.abntcatalogo.com.br/norma.aspx?ID=60773Três tipos de grampos de suspensão são empregados, como podemos ver, a seguir.
Figura 4 (A) - Grampo de suspensão tipo longo; Figura 4 (B) - Tipo curto com armadura; Figura 4 (C) - De 
armadura cônica / Fonte: Telles (2018, p. 99-100).
Descrição da Imagem: a figura mostra o ponto onde as falhas por fadiga, em um cabo condutor, ocorrem 
por ação das vibrações. Esse ponto é o de fixação nos isoladores.
A)
B)
C)
279
UNIDADE 9
Ativos: 
O seu emprego é em vãos com comprimentos superiores a 350 m, onde o mais usado 
é do tipo Stockbridge.
Figura 5 - Amortecedor de Stockbridge com garra fixadora ao condutor, cabo flexível e pesos / Fonte: 
Telles (2018, p. 100-101).
Descrição da Imagem: a figura apresenta um amortecedor do tipo Stockbridge, com garra fixadora ao con-
dutor, cabo flexível e calotas que funcionam como pesos.
Os amortecedores de vibração são subdivididos em diversos tipos, os quais são 
empregados conforme os níveis de solicitação perante a vibração. Os maiores esfor-
ços concentram-se em reduzir, ao máximo, com eficiência e economia, o efeito das 
vibrações eólicas. Dentre os tipos de amortecedores, citamos:
• Bretelle tipos I, II, III e IV.
• De festão.
• Braço oscilante.
• De impacto.
• Bouche.
• Helgra.
• Torcional.
• Linear.
• Dulmison ES 1, ES 2.
• Varispond.
• Salvi 4R.
• Vibless.
• Haro.
• Stockbridge.
Cada um desses tipos possui um princípio de funcionamento que se adequa aos 
diversos tipos de vibrações, encaixes, terrenos, condutores etc. 
280
UNICESUMAR
Na prática, observa-se que a intensidade das vibrações depende da topografia 
e da tensão mecânica, logo, a recomendação pela eficácia são os amortecedores 
Stockbridge e as pontes antivibratórias tipo festão. Então, aqui, daremos mais 
atenção à aplicação desses.
A Tabela 2 apresenta a seleção desses amortecedores que, também, são usados, 
em larga escala, no Brasil.
Condições do 
terreno da LT Vãos [m]
Proteção recomendada para tensão 
média em serviço
Condutor ACSR
Acima de 5 
kgf/mm2
Entre 4 e 5 
kgf/mm2
Menos 4 
kgf/mm2
Condutor cobre
Acima de 11 
kgf/mm2
Entre 10 e 
11 kgf/mm2
Menos 10 
kgf/mm2
Condutor de aço e cabo para-raios
Acima de 22 
kgf/mm2
Entre 18 e 
22 kgf/mm2
Menos 
18kgf/mm2
Terreno aberto, 
plano ou, 
levemente, 
montanhoso
150-500 2 amortece-dores por vão
1 amortece-
dor por vão
75-150 1 amortece-dor por vão
1 amortece-
dor por vão
Terreno 
acidentado, 
áreas florestais 
com poucas 
árvores ou com 
árvores baixas
100-500 1 amortece-dor por vão
Florestas 
maciças com 
árvores cujas 
alturas são 
superiores 
aos postos de 
suspensão dos 
cabos
Independentemente 
do vão Não necessita de proteção
Tabela 2 - Seleção de amortecedores do tipo Stockbridge / Fonte: adaptada de Labegalini et al. (1992).
As vibrações em subvãos ocorrem por meio de movimentos elípticos em antifase cuja 
direção é, predominantemente, horizontal. Os ventos que as ocasionam se encontram 
na faixa de 8 a 20 m/s, com frequências entre 1 e 2 Hz e amplitudes entre 50-80 mm.
Por sua ocorrência ser mais escassa, os dispositivos são pouco empregados, 
entretanto já se encontram casos de serem necessários.
281
UNIDADE 9
Labegalini et al. propõem (1992) estabelecer a relação entre o nível de vibração e as 
deformações sobre um condutor, sendo no vão (a deformação) e nas extremidades 
(deformação e condições de apoio). 
Pela equação:
y x y sen x( ) � �
�
�
�
�
�
0
2
2π
λ
a deformação máxima ex1 que ocorre no vão, à metade da distância do eixo do 
condutor no plano de vibração, é expressa por:
ε π λ
π
λ
x y Dsen x1 2
2
2 12 0 2� �
�
�
�
�
�
�
onde:
x1: distância entre o primeiro nó e a seção reta;
Yo: amplitude dupla do antinó;
D: diâmetro;
λ: comprimento de onda.
Logo a deformação máxima exibida no vão, em antinós, é:
Diversas empresas desenvolveram programas voltados à pesquisa acer-
ca das vibrações eólicas nas linhas de transmissão, cuja finalidade era a 
mensuração para estabelecimento de parâmetros.
Os aparelhos mais usados para essas medições envolvem:
• Registradores tipo inércia (ex.: Zenith). 
• Medidores de aceleração (acelerômetros). 
• Medidores de deformação linear (strain gages).
• Medidores de flexão do cabo.
Os últimos são os mais empregados nas linhas de transmissão, pois apre-
sentam-se de forma mais simples, confiável e com praticidade de instala-
ção. Esses medidores foram desenvolvidos, primeiramente, pela Ontário 
Hydro, seguida pelo Zenith. Atualmente, há o emprego de equipamentos 
com microprocessadores que já fornecem os dados, digitalmente, em 
forma de gráficos, tabelas e histogramas.
282
UNICESUMAR
ε π λx y D1 2
2
2 0 2� �
Admitindo que as extremidades estão, rigidamente, fixadas, a deformação máxima 
no final do vão ocorrerá à metade da distância do eixo do condutor, então:
ε
ε
λ
1
v
função T
EI
� �
�
�
�
�
�
com: 
 T: tensão no condutor;
 E: módulo de Young; 
 I: momento de inércia.
Para:
l
T
EI
> 35
teremos:
função T
EI
T
EI
l l
�
�
��
�
�
�� � 0 166,
no terminal, pode-se escrever a deformação máxima como:
ε λ1 3 27
2
1� �, T
EI
Yo D
Mostrando a relação entre os ângulos de vibração e as deformações.
Dessa forma, mostramos de que forma acontecem as relações entre vibrações e de-
formações. Vimos que, em sua maioria, foram abordadas situações de vibrações eólicas 
em linhas com condutores simples, uma vez que a sua ocorrência é mais frequente. 
Vamos relembrar o que foi abordado de mais im-
portante nesta unidade? Acesse o nosso QR-Code!
283
UNIDADE 9
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/10468
284
UNICESUMAR
Nesta unidade, vimos como os cabos das linhas 
de transmissão se comportam frente à ação de 
ventos e de que modo esses ventos afetam o 
desempenho de tais cabos, além de interrupções 
da energia elétrica.
O sistema elétrico brasileiro apresenta linhas 
de transmissão de ampla extensão geográfica. 
Vemos que, por estes caminhos, os projetos das 
estruturas componentes desse sistema de trans-
missão aérea exigem características com torres 
de grande porte, onde todos os elementos so-
frem com efeitos dinâmicos.
Logo, o estudo dos efeitos das vibrações e das 
tensões aos quais cada uma dessas estruturas 
está sujeita garante o abastecimento, sem muitas 
interrupções por interações dinâmicas, além de 
facilitar a manutenção pelos profissionais.
Os envolvidos em projetos de linhas de trans-
missão asseguram que o máximo de parâmetros 
estudados pode aumentar a confiabilidade, a es-
tabilidade e a eficiência dessas linhas.
285
V
IB
RA
ÇÕ
ES
 E
 T
EN
SÕ
ES
EM
 C
A
BO
S
Ca
ra
ct
er
ís
tic
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Te
ns
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 m
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a
Eó
lic
as
Vi
br
aç
õe
s 
po
r
vó
rt
ic
es
In
te
ns
id
ad
e
Caro(a) aluno(a), convido você 
a realizar um apanhado dos co-
nhecimentos adquiridos nesta 
unidade, por meio do desen-
volvimento de um Mapa Mental 
com os principais tópicos acer-
ca dos fenômenos de vibração 
e tensão dinâmicas em condu-
tores. Iniciei com alguns tópicos 
importantes.
Descrição da Imagem: a figura apresenta os tópicos mais importantes rela-
cionados às vibrações e tensões dinâmicas em cabos. Há alguns tópicos que 
estão em branco, para o(a) aluno(a) preencher. 
286
1. Os condutores, quando por ação de ventos, tendem a induzir autoamortecimento em 
si próprios. Sobre este efeito, podemos afirmar que:
a) A rigidez do material dos condutores impede a vibração nos mesmos.
b) Uma das fontes desse amortecimento é o deslizamento entre superfícies em contato.
c) A geometria dos condutores não implica mudanças na dissipação de energia.
d) As distorções que ocorrem nos condutores não são de caráter harmônico e, por isso, 
não seguem as equações deste tipo de movimento.
e) O comprimento de onda não é alterado durante as vibrações, logo, a distorção não 
depende dele.
2. Os ventos são responsáveis por vários fenômenos nas estruturas das linhas de trans-
missão. Por exemplo, as oscilações podem ocorrer em condutores e culminar com a 
sua ruptura. Sobre essas oscilações, leia as afirmações, a seguir:I) A oscilação em galope possui alta frequência e baixa amplitude, causando a movi-
mentação de encontro dos condutores. 
II) As oscilações eólicas são responsáveis pelos fenômenos de ressonância e são pro-
vocadas por ventos com velocidades constantes.
III) As oscilações de rotação ocorrem devido a ventos de alta intensidade e podem 
provocar curtos-circuitos.
Está correto o que se afirma em: 
a) I, apenas. 
b) I e II, apenas. 
c) III, apenas. 
d) II e III, apenas. 
e) I, II e III.
3. Considere uma linha onde temos um ângulo de vibração em 14’ para um máximo de 
40’. Se o diâmetro no cabo é de 24,55 mm, determine o nível de amplitudes perigosas 
bem como o intervalo das frequências ocorridas.
287
UNIDADE 1
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UNIDADE 2
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UNIDADE 9 
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https://www.slideshare.net/PulchritudoPulchritudoo/linhas-de-transmisso-mecnica-rubens-alves-dias
292
UNIDADE 1
1. B. A operação regional centralizada compartilha os recursos geográficos existentes e facilita a 
geração e transmissão de energia.
2. Ultra-alta tensão: acima de 765 kV.
Extra-alta tensão: 345, 440 e 500 kV. 
Alta tensão:138 ou 230 kV. 
3. E. Os parâmetros que influenciam são: altura dos condutores, espaçamentos, geometria, ater-
ramento e condições meteorológicas.
4. C.
UNIDADE 2
1. A. De acordo com as especificações dos isoladores, as camadas que representam o cabo 3 
possuem uma composição de 1, 6 e 12 fios dispostos em anéis concêntricos.
2. N
U d
di
máx e
i
�
�
�
�
�
�
�
3
550 2 3
3 30
24 34, ,
Podemos dizer que 24 isoladores podem suprir, pois a escolha do número de isoladores é 
realizada pela análise do nível de sobretensões de manobra e pela suportabilidade da cadeia 
frente a estas solicitações. Uma previsão do número de falhas do isolamento também pode ser 
outro parâmetro para a confirmação da escolha.
3. B. A única alternativa incorreta é que o número elevado de linhas de transmissão acarreta a 
redução da incidência de curtos-circuitos dentro do sistema, pois o número de LTs não está 
ligado à redução desses curtos. 
UNIDADE 3
1. Neste caso, teremos que R Z2 0= :
R Ln D
r
Ln2 60 60
1
0 0023365
364 52= = =
,
, [ ]W
2. Calculando a corrente e a potência:
I j j j mA
P I R
� �� � �� � � �
� � � � � �� ��
10 0 0 700 150 13 7 2 93
14 0 10 72 3
2
, , , [ ]
, 000 0 137� � � , [ ]W
Essa potência é dissipada, parcialmente, na carga e na atenuação da linha.
293
3. A impedância é dada:
Z R jX
Z
j
j
0 0 0
0
8 8
6 8
0 098 2 10 0 32 10
1 50 10 2 10
� �
�
� �� � �� �
� � ��
� �
� �
, ,
,
p
p �� �� �
�
�
�� ��
�
��
�
�
34 5 10
0 098 201
1 50 21700 10
10
201
2
12
0 6
0
3
,
,
,
Z j
j
Z
p
��
�
�
�
� � �
��
�
�
�
�
� � �
� �
�
�
4 87 10
21700
2
6 91 10
96 2
4
5
0
, [ ]
, [ ]
,
rad
rad
Z
p
�� � � ��2 09 10 96 2 0 024, [ ] , j , [ ]rad W
4. A equação usada é:
U U e e Vl l


 
1
2
2
� �
�
�
��
�
�
��
�g g
[ ]
U U e e V
l l
1 2 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�g g
 
[ ]
relembrando:
e e l l j l
l lγ γ
γ α β
 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �� �
�
2
cosh cosh
abrindo:
cosh cosh cos jsenh senα β α β α βl j l l l l l�� � � �
substituindo:
U U l l l l V1 2� �cosh cos jsenh sen [ ]α β α β
tomando o valor obtido, anteriormente:
g

� � �1 279 10 3 86 02, ,e j
aplicando l km= 600[ ] :
294
gl e j
km
j

� � � � �
��
�
��
�0 7674 10 0 05326 0 76555 13 86 02, , ,,
como:
cosh cosh cos
h h cos cos
γ α β β β
γ α β β


l l l jsenh lsen l
sen l sen l l j h
� �
� � llsen lβ
calculando as partes: 
cosh cosh , ,
senh senh , ,
cos
α
α
β
l
l
l
= =
= =
=
0 05326 1 00142
0 05326 0 05329
ccos , cos , º ,
sen sen , sen , º ,
0 76555 43 863 0 721
0 76555 43 863 0
= =
= = =βl 669294
então:
cosh , , ,
h ,
, ºg
g


l j e
sen l j
j� � �
� �
0 72202 0 03693 0 72296
0 03842 0
2 928
,, ,
, º69392 0 69498 86 831� e j
U U l
U e
U e
j
j
  


1 2
1
2 928
1
2
380000
3
0 72296
158612 44
�
� �
�
cosh
,
,
, º
,
g
9928º
[ ]V
a) A corrente de carga da linha é:
I U
Z
e e
I U
Z
sen l
I
c
l l
c








 
10
2
10
2
10
2
380
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�g g
gh
0000
3 403 9
0 69498
377 5039
3 98 86 831
10
50 811
�
�
�
,
,
, [
, , º
, º
e e
I e A
j j
j

]]
 
b) Para as ondas diretas e refletidas as tensões:
295
U U e U e e
U U e U e e
d
l l j l
r
l l j l

 

 


1
2 2
1
2 2
2 2
2 2
� �
� �� � �
γ α β
γ α β
U e e e
U
d
j j
r


1
0 05326 43 863 43 863
1
380000
2 3
115697 37
3800
� �
�
, ,º , º
,
000
2 3
104006 970 05326 43 863 43 863e e ej j� � ��, , º , º,
U j
U j
d
r


1
1
83417 658 80170 915
74988 894 72070 212
� �
� �
, ,
, ,
unindo:
U U U
U j j
d r
  

1 1 1
1 83417 658 80170 915 74988 894 72070 212
� �
� � � �, , , ,
UU j
U e j


1
1
2 928
158406 55 8100 703
158613 544
� �
�
, ,
,
, º
c)
I U
Z
e U
Z
e e
I U
Z
e U
Z
d
c
l
c
l j l
r
c
l












1
2 2
1
2 2
2 2
2 2
� �
� � � �
�
�
γ α β
γ
cc
l j le e� �α β
substituindo os valores:
I e e e
I e
d
j j
d
j


1
3 98 0 05326 43 863
1
4
380000
2 3 403 9
286 451
�
�
�
�
,
,
, , , º
77 863
1
3 98 0 05326 43 863
1
380000
2 3 403 9
, º
, , , º
[ ]
,
A
I e e e
I
r
j j


� �
�
� �
rr
je A� �257 507 39 883, [ ], º
296
I I I
I j j
I
d r
  


1 1 1
1
1
0
0
0
192 255 212 348 197 602 377 469
3
� �
� � � �
�
, , , ,
777 507 90 811, [ ], ºe Aj�
logo, a tensão é:
U U
l
U
e
U e
j
 



2 1
2 2 928
2
1
400000
3
1
0 72296
319436 91
�
� �
� �
cosh
,
,
, º
g
jj V2 928, º[ ]
d) Calculando a corrente:
I U
Z
e e U
Z
sen l
I
c
l l
c







 
1
2 2
1
0
0
2
319436 91
� �
�
�
��
�
�
�� �
�
�g g gh
, ee
e
I e A
j
j
j
�
�
��
2 928
3 98
1
87 883
403 9
551 010
, º
,
, º
,
, [ ]

UNIDADE 4 
1. D. Há mais vantagem na capacitância em linhas superiores a 80 km de comprimento e tensões 
acima de 34,5 kV, viabilizando atividades de motogeradores.
2. Modelo T nominal. 
Primeiramente, temos:
U e e kV
N j MVA
N
j j



2
0 0
2
2
135
3
77 942
50
3
0 95 0 3122
� �
� � �
�
º º
, [ ]
( , , )[ ]
116 666
16 666
16 666
18 2
2
18 2
2
18 2
, [ ]
. [ ]
,
, º
, º
,
e MVA
N e kVA
I e
j
j
j


�
�
� ºº
º
, º
,
, [ ]
77 942
213 8260
18 2
e
e Aj
j� �
297
calculando os termos:
Z Y e e e
Z Y
j j j
 
 
� � � �
� �
�52 19 0 3186 10 0 016627
0
78 17 3 90 168 17, , ,
,
, ,
001675 0 00341
2
0 008375 0 00170
4
0 004188 0
�
� � �
� � �
j
Z Y j
Z Y j
,
, ,
, ,
 
 
000085
U U ZY I Z Z Y
U j
 
 
 
 

1 2 2
1
1
2
1
4
77942 0 991625 0 0017
� � � �
� �
( ) ( )
( , , ) �� � �
�
�213 826 52 19 0 995812 0 00085
82858
18 2 78 17
1
, , ( , , )
, º ,e e j
U
j j

,,
[ ]
, º
47 9749
834301 6 71
�
� �
j
U e Vj

logo, a tensão no barramento entre fases:
U VD1 144505= [ ]
a regulação da linha:
Reg
( )
, %�
�
� �
�� �
� �
U U
U
1 2
2
100
83430 77942
77942
100 7 04
a corrente:
I e e e jj j j

1
0 3 90 18 277 942 0 3186 10 213 826 0 991625� � � � � �� �, , , ( ,º , º 00 0017
201541 41048
205679
1
1
11 512
, )
, º
I j
I e j


� �
� �
a potência entregue à linha:
N U I e e
N e
j j
j
  

1 1 1
6 71 11 512
1
18 22
83430 205679
17159 8
� � �
�
�, º , º
,
,
99º
[kVA]
298
P [ ]
, [ ]
1
1
16299
5365 9
=
=
kW
Q kVAr
para as três fases:
N [ ]
P [ ]
Q [ ]
3
3
3
50400
48898
16098
=
=
=
kVAr
kW
kVAr
para o modelo π nominal:
U U ZY I Z
 
 
 
1 2 21
2
� � �( )
U j e e
U
j j


1
18 2 78 1777942 0 991625 0 0017 213 826 52 19� � � ��( , , ) , ,, º ,
11
1
6 785
82901 0 9789 287
83476 98
� �
�
, ,
, [ ]
, º
j
U e Vj

U VD1 144587 61= , [ ]
a regulação da linha:
Reg
( ) ,
, %�
�
� �
�� �
� �
U U
U
1 2
2
100
83476 98 77942
77942
100 7 10
a corrente:
I e e jj j

1
0 3 9077 942 0 3186 10 0 995812 0 00085 213 826� � � � �� � ��, , , , ,º ee jj� � �18 2 0 99162 0 0017, º ( , , )
I e Aj

1
11 54205 68� �, [ ], º
a potência entregue à linha:
N U I e e
N e
j j
j
  

1 1 1
6 735 11 54
1
18
83476 98 205 68
17169 54
� � �
�
, ,
,
, º , º
,, º
[kVA]
P , [ ]
, [ ]
275
1
1
16303 55
5383 99
�
�
kW
Q kVAr
299
as potências trifásicas totais:
N , [ ]
P , [ ]
Q , [ ]
3
3
3
51508 62
48910 65
16151 20
=
=
=
kVAr
kW
kVAr
o rendimento da transmissão:
h � �
��
�
�
�
�
��1 1001 2
1
P P
P
[%]
circuito T:
h
h
� �
��
��
�
��
�
�
1 48898 47500
48898
100
97 14, %
circuito Pi:
h
h
� �
��
��
�
��
�
�
1 48910 65 47500
48910 65
100
97 12
,
,
, %
3. Calculando a impedância série por fase:
Z R jwL l
Z j
Z j
� �� �
� � � �� �
� �
�0 031 2 60 0 8435 10 150
4 6500 47 6988
3, ,
, ,
p
W
Y G jwC l
Y j
Y j S
� �� �
� � � �� �
�
�0 2 60 13 91 10 150
0 000078658
9p ,
,
a tensão na barra receptora por fase:
U kV2
230
3
0 132 7906 0� � � �º , º
300
a potência trifásica complexa:
N arc
N j MVA
3
3
285 0 8 285 36 8699
228 171
y
y
� � � �
� �
cos , º , º
corrente por fase:
I
N
U
I
r
2
3
3
2
3
285 10 36 8699
3 132 7906 0
715 4140 36
� �
� ��
� �
� ��
'
'
, º
, º
, ,
y
88699º A
a) Usando U U
ZY Z I
 
 
 
1 2 21
2
� �
�
�
�
��
�
�
�
��
� , a tensão na barra emissora:
U
j j
1 132 7906 1
4 6500 47 6988 0 00078659
2
4 65� � �
�� ��� ��
�
�
�
�
� �,
, , ,
, 000 47 6988 715 4140 0 8 0 6
153 44 25 546
15
1
1
�� �� � �� �
� �
�
j j
U j
U
, , , ,
, ,


55 5520 9 4538, , º kV�
a tensão de linha na barra emissora é:
U
U kV
L
L


� � �
� �
3 155 5520 9 4538
269 4239 9 4538
, , º
, , º
a corrente na barra emissora:
I YU Z Y Z Y I
I j
  
   


1 2 2
1
1
4
1
2
0 0007
� �
�
�
�
��
�
�
�
��
� �
�
�
�
��
�
�
�
��
� , 88659 132 7906 10
1
4 6500 47 6988 0 00078659
4
3� �� � �
�
�� ��� ��
�
�
,
, , ,j j ��
�
� �
�
�� ��� ��
�
�
�
�
��
�
1
4 6500 47 6988 0 00078659
2
715 4140 0 8
, , ,
, ,
j j
��� �
� �
� �� �
j
I j
I
0 6
562 28 316 68
645 3255 29 3899
1
1
,
, ,
, ,


301
a potência complexa na barra receptora:
N
N
N
r
r
r
3
3
3
3 132 7906 715 4140 36 8699
285 36 8699
2
y
y
y
� � � �� �
� �
�
, , , º
, º
228 171� j MVA
a potência complexa na barra emissora:
N
N
e
e
3
3
3
3 155 5520 9 4538 10 645 3255 29 3870
301 14
y
y
� � � � � � � �
�
( , , ) , ,
, 550 19 9332
283 1036 102 66773
�
� �
, º
, ,N j MVAey
a regulação de tensão:
A Z Y
j j
� �
�
�
�
��
�
�
�
��
� �
�� ��� ��
�
�
�
1
2
1
4 6500 47 6988 0 00078659
2
 
, , ,
��
�
� �A 0 9812 0 1068, , º
RT
U
A
U
U
RT
(%)
(%)
,
,
,
,
�
�
�
�
�
�
1
2
2
100
155 5520
0 9812
132 7906
132 7906
1000
19 39RT (%) , %�
o rendimento da transmissão:
η ψ
ψ
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � �
N
N
r
e
3
3
100 228
283 1036
100 80 5359
,
, [%]
UNIDADE 5 
1. C. Só há a necessidade de inverter-se a convenção do o sinal da potência reativa (adotada como 
positiva para a indutiva), uma vez que houve rebatimento de quadrante.
302
2. Escrevendo as bases:
Base MVA – 500 MVA.
Base kV – 380 kV. 
Calculando corrente e impedância em B:
I A
Z
B
B
= =
= =
500000
380 3
762
380000
762 3
288
[ ]
W
o diagrama será construído usando:
pu 
U e
I e
Z e
j
j
c
j


2
0
2
36 8
2 335
1
1
236 8
288
0 823
�
�
� �
�
�
, º
,,
,
α
β
β
α
α
x néper
x
x
�
�
�
�
�
�
0 03125
1 03175
0 93942
0 744
2 1
2
, [ ]
e ,
e ,
x , rad
x ,4488 85 2� , º
Operação em carga:
pu U ,1 1 18=
U ,1
380
3
1 18 259� � � kV
pu I Zc1 0 577= ,
I Z e kV
I e
c
j
j
 

1
31 5
1
31 5
0 577 380000
3
126 8
126800
236
� � �
�
, , [ ]
,
, º
, º
88
533
33 835
2 335
33 835
1
e
e Aj
j
� �
�
,
,
[ ]
,f
cos ,
º '
φ
θ
1 0 831
22 20
=
=
303
3. Realizando os procedimentos, teremos, na carta:
Figura 1 - Carta da Questão 3 / Fonte: a autora.
• A impedância procurada é a intersecção dos dois lugares geométricos.
UNIDADE 6 
1. Impedância e admitância: 
Z j j
Y j
' ( , , ) , , [ ]
' (
� � � � � �
�
�0 0025 0 322 377 10 305 7 6250 37 0252
305 1
3 W
33 65 377 10 0 00169, ) , [ ]� � �� j S
os parâmetros representativos do quadripolo:
Descrição da Imagem: a figura mostra um diagrama, por meio de círculos, tendendo ao infinito. Os valores presentes 
na imagem são: ângulo de 0,15λ a 0,25λ, 0,43+j0,34, 1+j, dentro