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PROFESSOR
Dr. Fernando Pereira Calderaro
Simulação 
de Processos 
Produtivos
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FICHA CATALOGRÁFICA
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. 
Núcleo de Educação a Distância. CALDERARO, Fernando Pereira.
Simulação de Processos Produtivos. Fernando Pereira 
Calderaro. Maringá - PR.: Unicesumar, 2021. 
320 p.
ISBN: 978-65-5615-751-1
“Graduação - EaD”. 
1. Simulação 2. Processos 3. Produtivos 4. EaD.
Impresso por: 
Bibliotecário: João Vivaldo de Souza CRB- 9-1679 Pró Reitoria de Ensino EAD Unicesumar
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Freitas Ilustração Eduardo Aparecido Alves; Geison Odlevati Ferreira Realidade Aumentada Nome Fotos Shutterstock. 
CDD - 22 ed. 658.4
Tudo isso para honrarmos a 
nossa missão, que é promover 
a educação de qualidade nas 
diferentes áreas do conhecimento, 
formando profissionais 
cidadãos que contribuam para o 
desenvolvimento de uma sociedade 
justa e solidária.
Reitor 
Wilson de Matos Silva
A UniCesumar celebra os seus 30 anos de 
história avançando a cada dia. Agora, enquanto 
Universidade, ampliamos a nossa autonomia 
e trabalhamos diariamente para que nossa 
educação à distância continue como uma das 
melhores do Brasil. Atuamos sobre quatro 
pilares que consolidam a visão abrangente do 
que é o conhecimento para nós: o intelectual, o 
profissional, o emocional e o espiritual.
A nossa missão é a de “Promover a educação de 
qualidade nas diferentes áreas do conhecimento, 
formando profissionais cidadãos que contribuam 
para o desenvolvimento de uma sociedade 
justa e solidária”. Neste sentido, a UniCesumar 
tem um gênio importante para o cumprimento 
integral desta missão: o coletivo. São os nossos 
professores e equipe que produzem a cada dia 
uma inovação, uma transformação na forma 
de pensar e de aprender. É assim que fazemos 
juntos um novo conhecimento diariamente.
São mais de 800 títulos de livros didáticos 
como este produzidos anualmente, com a 
distribuição de mais de 2 milhões de exemplares 
gratuitamente para nossos acadêmicos. Estamos 
presentes em mais de 700 polos EAD e cinco 
campi: Maringá, Curitiba, Londrina, Ponta Grossa 
e Corumbá), o que nos posiciona entre os 10 
maiores grupos educacionais do país.
Aprendemos e escrevemos juntos esta belíssima 
história da jornada do conhecimento. Mário 
Quintana diz que “Livros não mudam o mundo, 
quem muda o mundo são as pessoas. Os 
livros só mudam as pessoas”. Seja bem-vindo à 
oportunidade de fazer a sua mudança! 
Aqui você pode 
conhecer um 
pouco mais sobre 
mim, além das 
informações do 
meu currículo.
Dr. Fernando Pereira Calderaro
Olá, meu nome é Fernando, sou Engenheiro Químico e adoro 
ler livros sobre diversos assuntos. Inclusive, este é um de meus 
hobbies, ler livros com temas diferentes de Engenharia para abrir 
novos horizontes. Outra atividade que faço é tocar flauta trans-
versal, instrumento que aprendi desde criança. Apesar de ser 
um instrumento clássico, gosto tanto de música clássica quanto 
de rock, sou bem eclético. Mas não toco, profissionalmente, é 
apenas um gosto pessoal. Uma paixão recente é a Aromaterapia, 
gosto de estudar e criar produtos em casa para uso pessoal, 
envolvendo óleos essenciais, óleos vegetais, manteigas vegetais 
e extratos diversos.
Link do lattes: http://lattes.cnpq.br/1761642443360771.
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Quando identificar o ícone de QR-CODE, utilize o aplicativo Unicesumar 
Experience para ter acesso aos conteúdos on-line. O download do aplicativo 
está disponível nas plataformas: Google Play App Store
Ao longo do livro, você será convidado(a) a refletir, questionar e transformar. Aproveite 
este momento.
PENSANDO JUNTOS
EU INDICO
Enquanto estuda, você pode acessar conteúdos online que ampliaram a discussão sobre 
os assuntos de maneira interativa usando a tecnologia a seu favor.
Sempre que encontrar esse ícone, esteja conectado à internet e inicie o aplicativo 
Unicesumar Experience. Aproxime seu dispositivo móvel da página indicada e veja os 
recursos em Realidade Aumentada. Explore as ferramentas do App para saber das 
possibilidades de interação de cada objeto.
REALIDADE AUMENTADA
Uma dose extra de conhecimento é sempre bem-vinda. Posicionando seu leitor de QRCode 
sobre o código, você terá acesso aos vídeos que complementam o assunto discutido
PÍLULA DE APRENDIZAGEM
Professores especialistas e convidados, ampliando as discussões sobre os temas.
RODA DE CONVERSA
EXPLORANDO IDEIAS
Com este elemento, você terá a oportunidade de explorar termos e palavras-chave do 
assunto discutido, de forma mais objetiva.
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SIMULAÇÃO DE PROCESSOS PRODUTIVOS [M.A.]
Imagine que você foi contratado para avaliar um processo produtivo que tem dois projetos de melhoria 
distintos, com máquinas que serão substituídas, e a gerência da fábrica quer saber qual projeto será 
mais vantajoso, ou seja, levará a empresa a aumentar sua produtividade. Seria possível avaliar os dois 
cenários, sem precisar adquirir as máquinas, montar o sistema e, então, executá-los?
Sim, isso é completamente possível com a simulação de processos. Você pode construir um mode-
lo de simulação que represente as duas possibilidades de troca de máquina, com os parâmetros de 
funcionamento de cada sistema e, então, executar a simulação, avaliando os resultados. Assim, você 
consegue estimar o que pode ocorrer no sistema real e selecionar uma das opções ou, até mesmo, 
descartá-las e avaliar outros cenários.
Antes de continuar, faça uma pesquisa sobre modelos de simulação e softwares, utilizados em 
simulação de processos, anote suas observações. Observe, também, a próxima vez que você for a um 
hipermercado quantos guichês de caixas há e a quantidade que está, efetivamente, em uso. 
Você acha que seria interessante para você, consumidor, que todos os guichês de caixa estivessem 
funcionando? E para a gerência do hipermercado, seria algo viável?
Observe que se trata de uma pergunta, até certo ponto, complexa, pois é óbvio que, como consumi-
dor, você não quer esperar na fila de um caixa de supermercado, pois já fez suas compras e quer sair 
de lá o mais rápido possível, afinal, tempo é dinheiro. No entanto pode não ser tão interessante assim 
para a gerência manter todos os caixas funcionando o dia todo, pois isso implicaria mais gastos com 
pessoal e, provavelmente, haveria tempoocioso. Em uma fábrica, não é diferente, você pode precisar 
lidar com decisões que envolvam avaliar se vale a pena, ou não, acrescentar um funcionário em algum 
centro ou estação de trabalho para reduzir a formação de filas, e tudo isso pode ser calculado pela Teo-
ria das Filas junto com a Simulação de Processos, propondo e avaliando diferentes cenários. Em nosso 
livro, você aprenderá a trabalhar com diferentes modelos de filas, contendo apenas um atendente ou 
mais, com e sem população limitada, avaliará estes sistemas, estatisticamente. A partir da Unidade 6, 
você utilizará o software Arena para simular diversos sistemas produtivos, sempre tendo em mente 
os conceitos da Teoria das Filas. Você aprenderá a simular sistemas sem considerar a movimentação 
entre etapas e máquinas e com a movimentação seja por transportador seja correia. Você, também, 
verá como simular um sistema que apresenta determinada taxa de reparos em produtos do processo.
Desta maneira, você pode criar modelos de simulação que envolvam os parâmetros de fila, execu-
tá-los e observar os resultados do modelo, que devem ser muito próximos aos resultados reais, caso 
tenha escrito o modelo de maneira adequada. Como a simulação não envolve a construção direta do 
sistema estudado, nada impede que você faça outros testes, propondo maquinários, layout ou, até 
mesmo, uma reestruturação das células de produção de uma fábrica.
Agora, sugiro que você relembre disciplinas passadas, ou rememore os tipos de sistemas produti-
vos e suas características. Você pode criar um Mapa Mental, se preferir, anotando a aplicação de cada 
sistema, suas vantagens e desvantagens, pois, muitas vezes, só melhoramos um sistema com filas 
alterando a concepção do sistema de produção. 
Boa leitura, bons estudos, e aguardo você nas próximas páginas!
APRENDIZAGEM
CAMINHOS DE
1 2
43
5
9
63
35
95
INTRODUÇÃO À 
TEORIA DAS FILAS 
E CONCEITOS 
BÁSICOS
6 153
UTILIZAÇÃO DO 
ARENA PARA 
SIMULAÇÃO DE 
PROCESSOS 
PRODUTIVOS
FILAS COM 
COMPORTAMENTO 
NÃO EXPONENCIAL 
E ANÁLISE DE 
CUSTOS COM 
TEORIA DAS FILAS
MODELOS DE FILAS 
BÁSICOS
SÉRIES DE FILAS 
E INTRODUÇÃO À 
SIMULAÇÃO
ANÁLISE E 
TRATAMENTO 
DOS DADOS
123
7 193 8 223
MÓDULO 
DECIDE
UTILIZANDO ESTAÇÕES 
DE TRABALHO NO 
ARENA
9 257
TRANSPORTADORES 
E CORREIAS 
TRANSPORTADORAS
1
Olá, estudante, na primeira unidade do livro Simulação de Processos 
Produtivos, você aprenderá conceitos sobre a Teoria das Filas. Conhe-
cer esta teoria é importante, pois ela embasa uma grande quantidade 
de problemas dentro da Simulação de Processos, sejam eles em um 
sistema produtivo, como uma indústria, sejam em uma prestadora de 
serviços, como uma lotérica. No entanto, em ambos os casos, o raciocí-
nio empregado é muito parecido. O objetivo com esta prática é analisar 
o comportamento de sistemas para que estes possam ser otimizados.
Introdução à 
Teoria das Filas e 
Conceitos Básicos
Dr. Fernando Pereira Calderaro
10
UNICESUMAR
Toda vez que você vai ao supermercado e adquire algum produto, precisa passar pelo 
caixa para fazer o pagamento. Você deve ter notado que, algumas vezes, o processo é 
mais rápido e, às vezes, é mais lento. Em algumas horas do dia, você vê todos os caixas 
com um operador funcionando e atendendo os clientes, em outros momentos, você vê 
menos da metade dos operadores. Já pensou sobre o motivo de isso acontecer? Será que 
há alguma forma de identificar quando há maior ou menor necessidade de funcionários 
em atendimento?
Observe que esta situação corriqueira, que parece tão simples, é, na verdade, uma 
situação que exige planejamento e organização muito grande. Como há diferentes jor-
nadas de trabalho, um gestor de RH precisa elaborar a escala de trabalho para que cada 
funcionário saiba quando estará trabalhando, desde o horário de entrada até o horário 
de saída de seu turno. O processo de análise deste sistema de trabalho no supermercado 
pode se assemelhar ao sistema produtivo de uma fábrica, tendo, inclusive, técnicas de 
solução muito parecidas.
Pensando na situação proposta (do caixa do supermercado), faça um levantamento 
das causas ou das situações que poderiam ser consideradas na avaliação da maneira de 
organizar o horário de trabalho dos funcionários dos caixas de supermercado. 
Toda vez que você viaja e precisa passar por uma praça de pedágio, deve ter obser-
vado que há, ao menos, um guichê com a possibilidade de passagem automática, muitas 
vezes, devido à presença de adesivos eletrônicos que são afixados nos veículos contendo 
informações de pagamento antecipado do valor ou para registro de débito futuro em 
conta. É possível entender que estes guichês são mais ágeis, de maneira que o motorista 
perca menos tempo durante a viagem, mesmo que seja em torno de 2 a 5min por pedágio.
Dentro desta situação apresentada, peço que você anote, em seu Diário de Bordo, 
algumas considerações. Escreva um comparativo entre o guichê sem o leitor de adesivo 
eletrônico, ou seja, com pagamento manual, com um operador, e o guichê com o leitor 
de adesivo eletrônico, automático. Argumente as vantagens e as desvantagens de cada 
um, de acordo com seus conhecimentos prévios. Você pode utilizar como temáticas 
para discussão o tempo de passagem no guichê, a formação de filas, a necessidade de 
funcionários no local, enfim, esteja livre para discorrer sobre o assunto.
11
UNIDADE 1
A partir deste ponto, podemos iniciar nossos estudos em Simulação de Processos Produtivos. A Si-
mulação de Processos Produtivos foi desenvolvida após a Segunda Guerra Mundial. No entanto o 
conceito de Teoria das Filas, que debateremos nas primeiras unidades deste livro, é um pouco mais 
antigo, datando do início do século XX, mais especificamente, do ano de 1909, quando Agner Krarup 
Erlang (1878 - 1929), um engenheiro dinamarquês, estudou o problema do congestionamento de linhas 
telefônicas na Dinamarca (FOGLIATTI; MATTOS, 2007). Seu objetivo era avaliar o comportamento 
da rede de telefonia frente à disponibilidade de linhas e à demanda existente de ligações telefônicas. 
Em seu estudo, ele considerou que as chamadas telefônicas chegam à central de maneira aleatória e 
que havendo linha livre a chamada ocorre instantaneamente, no entanto, se todas as linhas estiverem 
ocupadas, a chamada do usuário receberá o sinal de ocupado, e esta será, imediatamente, encerrada, 
devendo o usuário refazer a ligação, reiniciando o processo de análise de disponibilidade de linha.
As deduções matemáticas de Erlang sobre este problema são utilizadas, na atualidade, para o dimen-
sionamento e a análise de sistemas telefônicos tanto de telefonia fixa quanto móvel. Por este motivo, 
Erlang foi considerado o pai da Teoria das Filas e o Pai da Telefonia, tendo seu trabalho documentado 
pela primeira vez, em 1917, no livro “Solutions of Some Problems in the Theory of Probabilities of 
Significance in Automatic Telephone Exchenges” (Solução de problemas na troca automática em te-
lefonia com Teoria das Probabilidades e Significância – tradução livre). Os estudos de Erlang foram 
os precursores da Teoria das Filas, ao menos oficialmente, e ajudaram a defini-la como a conhecemos 
hoje. Baseada em conhecimentos e conceitos estatísticos, a Teoria das Filas tem uma forte base na 
análise de dados, por este motivo, é uma parte do estudo das Engenharias e da Matemática Aplicada 
muito utilizada para tomada de decisões de cunho analítico.
DIÁRIO DE BORDO
12
UNICESUMAR
Na mesma época de Erlang, um matemático russo chamado Andrei Andreyevich 
Markov (1856- 1922) desenvolveu estudos de processos probabilísticos que, poste-
riormente, ficaram conhecidos como Cadeias de Markov, e que acabam norteando 
os princípios básicos para a modelagem de sistemas de filas. 
Em seus trabalhos, Markov considerou que os dados analisados de um sistema que 
variam com o tempo se comportam de maneira independente entre si, não havendo 
influência do comportamento de dados anteriores nos dados futuros. Esta conside-
ração é muito útilpara explicar inúmeros comportamentos de dados utilizados em 
Teoria das Filas, que serão vistos nas próximas páginas do nosso livro.
A importância da Teoria das Filas é tão grande que apresenta aplicações em áreas 
como economia, administração, processamento de fluxos, como controle de tráfego, 
carregamento e descarregamento de cargas em terminais logísticos/marítimos, pro-
cessamento de informações, estoques e, até mesmo, comunicação de computadores 
(FOGLIATTI; MATTOS, 2007).
Segundo Hillier e Lieberman (2013), estudar um sistema de filas não se baseia, 
unicamente, em contornar transtornos pessoais (como perder tempo em uma fila 
de banco), mas que a fila pode representar grandes ineficiências de processo. Se uma 
máquina ficar aguardando para ser reparada, o tempo perdido nesta espera pode 
implicar perdas na produção. Navios ou caminhões que fiquem aguardando para 
serem descarregados podem atrasar embarques futuros. Aviões atrasando pousos ou 
decolagens afetam, diretamente, voos posteriores, gerando atrasos para os passageiros. 
Ordens de serviço executadas após o tempo programado afetam a produção de lotes 
subsequentes. Até mesmo a realização de serviços após a data prevista pode resultar 
em perdas de futuros negócios.
Para Taha (2008), a Teoria das Filas tem por objetivo fornecer um serviço, ao 
menos, razoavelmente satisfatório, aos clientes que podem enfrentar filas. O autor 
ressalta, também, que a Teoria das Filas é uma técnica que tem como função não a 
otimização de sistemas, mas sim a determinação das medidas de desempenho das 
filas de espera, tais como tempo médio de espera e a produtividade do sistema, dados 
estes que podem ser utilizados para o projeto da instalação de serviço.
Após esta breve introdução à Teoria das Filas, podemos nos debruçar, agora, so-
bre os principais elementos que formam as filas. Vale, aqui, lembrar que iniciaremos 
nossos estudos com Teoria das Filas, pois os modelos desenvolvidos por esta teoria 
e suas análises estatísticas são utilizados nos softwares de simulação, inclusive, os 
parâmetros e as informações de entrada nos softwares, e as soluções encontradas 
são provenientes do estudo inicial com Teoria das Filas.
Então, vamos lá?!
13
UNIDADE 1
Se pensarmos em um processo de formação de filas básico, este seria resumido da seguinte forma:
Clientes que precisam de um atendimento (processo) entram no sistema, sendo gerados por uma 
fonte de entradas. Estes clientes, ao entrarem no sistema, pegam uma fila. De tempos em tempos, não 
necessariamente igualmente espaçados, um dos clientes da fila é selecionado para passar pelo processo 
de atendimento. Esta seleção ocorre por meio de uma regra pré-estabelecida. O cliente selecionado da fila 
passa pelo processo de atendimento, que também demora um tempo para acontecer, e, então, finalizado 
o processo, o cliente deixa o sistema, abrindo uma vaga para que novo cliente possa assumir seu lugar.
Na Figura 1, você pode visualizar como este processo ocorre e já começar a se familiarizar com alguns 
termos que serão, exaustivamente, repetidos ao longo de nosso curso de Simulação de Processos Produtivos.
Veja que temos, na Figura 1, um processo sequencial com etapas bem definidas, por este motivo, um 
sistema de filas tem grande utilidade na análise de sistemas produtivos e, até mesmo, em seu projeto, 
pois agrega informações valiosas sobre as etapas que devem ser seguidas para que o processo ocorra.
Fonte de Entrada
Sistemas de �las
FilaClientes Mecanismo de Atendimento Clientes Atendidos
Descrição da Imagem: na figura, aparece uma caixa de texto escrito “Fonte de Entrada”, uma seta sai da Fonte de Entrada e chega até 
outra caixa de texto, onde está escrito “Fila”. Acima desta seta, está escrito “Clientes”. Da caixa de texto onde está escrito “Fila” sai uma 
seta até outra caixa de texto onde se escreveu “Mecanismo de Atendimento”. Desta caixa de texto sai uma seta e, sobre esta seta, está 
escrito “Clientes Atendidos”. Há um retângulo tracejado que envolve as caixas de texto “Fila” e “Mecanismo de Atendimento”, e sobre 
este retângulo tracejado está escrito “Sistemas de Filas”.
Descrição da Imagem: na figura, aparece uma caixa de texto escrito “População”, uma seta sai da Fonte de Entrada e chega até outra 
caixa de texto onde está escrito “Fila”. Acima desta seta, está escrito “Clientes”. Da caixa de texto onde está escrito “Fila” sai uma seta 
até outra caixa de texto onde se escreveu “Guichê da Lotérica”. Desta caixa de texto sai uma seta e, sobre ela, está escrito “Clientes 
Atendidos”. Há um retângulo tracejado que envolve as caixas de texto “Fila” e “Guichê da Lotérica”, e sobre este retângulo tracejado 
está escrito “Sistemas de Filas”.
Figura 1 - Representação de um processo de fila básico / Fonte: adaptada de Hillier e Lieberman (2013).
Figura 2 - Representação do processo de fila básico para uma lotérica (prestação de serviços) / Fonte: o autor.
População
Sistemas de �las
FilaClientes Guichê da Lotérica Clientes Atendidos
14
UNICESUMAR
Nas Figuras 2 e 3, há uma reprodução da Figura 1 com adaptações que representam o esquema de filas 
básico para prestação de serviços (lotérica) e um processo produtivo de uma indústria metalmecânica.
Descrição da Imagem: na figura, aparece uma caixa de texto escrito “Operação Predecessora à Solda”; uma seta sai da Fonte de En-
trada e chega até outra caixa de texto onde está escrito “Fila”. Acima desta seta, está escrito “Peças”. Da caixa de texto onde está escrito 
“Fila” sai uma seta até outra caixa de texto, onde se escreveu “Máquina de Solda”. Desta caixa de texto sai uma seta e, sobre ela está 
escrito “Peças Soldadas”. Há um retângulo tracejado que envolve as caixas de texto “Fila” e “Máquina de Solda” e sobre este retângulo 
tracejado está escrito “Sistemas de Filas”.
Figura 3 - Representação do processo de fila básico para a etapa de soldagem de peças em uma indústria metalmecânica 
(sistema produtivo industrial) / Fonte: o autor.
Operação
 Predecessora à Solda
Sistemas de �las
Fila
Peças
Máquina de Solda
Peças Soldadas
Observe, nas Figuras 2 e 3, que o formato de representação da fila foi semelhante ao da Figura 1, logo, 
os componentes principais são os mesmos, o que fizemos foi a particularização dos termos de fila para 
cada situação representada.
Já adianto para você que a análise por Teoria das Filas pode compreender apenas uma operação entre 
duas máquinas que atuam em sequência, ou agregar um conjunto de operações envolvendo diversas má-
quinas e equipamentos. O grau de complexidade que se deseja ao modelar e simular o sistema produtivo 
dependerá do interesse do analista em selecionar e avaliar etapas que sejam realmente relevantes para gerar 
resultado (que pode ser redução de custo ou aumento de produtividade).
Falando em redução de custos, não poderia deixar de apresentar, já de início a você, um assunto com 
qual trabalharemos com mais detalhes, na terceira unidade do livro, mas que deve ficar claro desde 
já. Quando você fez o levantamento das causas que poderiam influenciar um gerente de supermer-
cado a escolher quantos funcionários estariam trabalhando nos caixas de atendimento aos clientes, 
em determinados períodos do dia, você deve ter pensado em termos de custos para o supermercado. 
Entenda como para nós, consumidores, é extremamente conveniente chegar a um supermercado, fazer 
as compras e, ao precisar se dirigir ao caixa, sempre encontrar alguém disponível. Isso levaria a uma 
economia de tempo enorme para nós. No entanto, para que isso ocorra, há a necessidade de que o su-
permercado tenha uma grande quantidade de caixas, e que todos estejam ocupados por um operador 
de caixa. Sabemos que não é o dia inteiro que o supermercado está completamente cheio, então, seria 
vantajoso para a empresa (supermercado) pagar para ter inúmeros funcionários disponíveis para o 
cliente, mesmo que eles fiquem ociosos em grande parte do dia?
Sem fazer cálculo nenhum, deduzimos que há um limite aceitável, economicamente,para o supermercado 
quanto à disponibilização de caixas para atender aos clientes que chegam na loja. Então, qual seria a melhor 
quantidade? Obviamente, para responder a esta pergunta, haverá necessidade de levantar alguns dados e 
15
UNIDADE 1
aplicar as técnicas disponíveis na Teoria das Filas, com as quais você se familiarizará ao longo do nosso curso. 
Fogliatti e Mattos (2007) afirmam que, após a aplicação da teoria das filas e a obtenção das medidas 
de desempenho, há necessidade de se analisar os resultados sob dois focos diferentes, o do usuário e 
o da gerência. Segundo o ponto de vista do usuário, as medidas principais são o tamanho médio da 
fila, o tempo médio de espera na fila e o tempo médio de atendimento, já para a gerência, interessa 
bastante o tempo médio de serviço e o tempo médio ocioso. Todos os serviços oferecidos dependem da 
atividade humana e/ou de uma máquina, o que implica custos operacionais e de manutenção, além de 
investimento, se for o caso. Por este motivo, o correto dimensionamento do processo de atendimento 
deve levar em consideração estes custos para que não seja prejudicial para nenhuma parte, usuário e 
gerência. Na Figura 4 são apresentadas curvas que esboçam a relação entre os custos para o usuário 
(Cusuário) e para a gerência (Cgerenciais).
Descrição da Imagem: na figura, há um gráfico com dois eixos, o eixo horizontal representa o “número de postos de atendimento”, e o 
eixo vertical representa “custos”. Há duas curvas neste gráfico, uma curva crescente da esquerda para a direita, que representa “Custos 
gerenciais”, e outra curva decrescente da esquerda para a direita, que representa “Custos para o usuário”.
Figura 4 - Custos para o usuário e para a gerência em função do número de postos de atendimento
Fonte: adaptada de Fogliatti e Mattos (2007).
Custos C gerenciais
C usuário
N° de postos de atendimento
Observe que, para o usuário, quanto maior o número de postos de atendimento, menores serão seus 
custos, ou seja, menor será o tempo de espera para o atendimento. Porém esta situação eleva muito 
os custos da gerência, pois quanto mais postos de atendimento houve, maiores serão os gastos com 
manutenção e operação do sistema. Por outro lado, a situação que resulta nos menores custos para a 
gerência, que seria, operar com poucos postos de atendimento, elevaria muito os custos para o usuário. 
Em outras palavras, havendo poucos postos de atendimento, os custos de operação e manutenção são 
baixos, mas o tempo de espera para ser atendido poderia ser insuportável pelo usuário, fazendo-o 
trocar de prestador de serviço (é o que, muitas vezes, fazemos quando chegamos em um comércio e 
verificamos que o tempo de espera para ser atendido, ou pagar a mercadoria demoraria muito, fazen-
do-nos desistir daquele serviço e procurar outro lugar).
O custo total do sistema de filas poderia ser representado por uma equação, como a apresentada a seguir.
C a C b CT G U� � � �
16
UNICESUMAR
Nesta equação geral, CG representa a parcela dos custos gerenciais, CU representa a parcela dos custos 
para o usuário, e os parâmetros a e b são constantes de proporcionalidade da equação. Há, no entanto, 
um ponto de equilíbrio que fornece uma quantidade razoável de postos de atendimento que não re-
sultam em um custo tão elevado tanto para a gerência quanto para o usuário. É justamente este ponto 
que a Teoria das Filas ajuda as empresas a encontrar. A minimização da função custo total represen-
tada pela equação anterior pode fornecer qual a melhor quantidade de postos de atendimento, como 
apresentado na Figura 5.
Custos CTOTAL
Cusuário
N° de postos de atendimento
Cgerenciais
Descrição da Imagem: na figura, há um gráfico com dois eixos, o eixo horizontal representa o “número de postos de atendimento”, e o 
eixo vertical representa “custos”. Há três curvas neste gráfico, uma curva crescente da esquerda para a direita, que representa “Custos 
gerenciais”, outra curva decrescente da esquerda para a direita, que representa “Custos para o usuário”, e uma curva acima das duas 
primeiras, em formato de “U”, que representa o “Custo total”. Do ponto mais baixo da curva de “Custo total” sai uma linha tracejada 
vertical até tocar o eixo horizontal do “número de postos de atendimento”.
Figura 5 - Função custo total e seu ponto de equilíbrio / Fonte: adaptada de Fogliatti e Mattos (2007).
Então, observe o grau de importância da Teoria das Filas para qualquer tipo de sistema, aí sim, pode-
ríamos, também, associá-la a processos de otimização e análise de sistemas.
Tendo uma visão inicial do sistema de filas, agora, começaremos a analisar cada um dos pontos 
essenciais deste sistema para, então, fazermos seu equacionamento. Para caracterizar um sistema de 
filas você precisa identificar o cliente e o servidor. O cliente é aquele que chega a um sistema para 
ser atendido, e o servidor é aquele que prestará o atendimento, podendo ser realizado pelo posto de 
atendimento. Se o posto de atendimento estiver ocupado, o cliente deve esperar em uma fila, até que 
chegue sua vez de ser atendido (observe a Figura 6). Há um tempo de espera na fila, um tempo 
de atendimento e, após o processo, o cliente deixa o sistema dando lugar para outro (TAHA, 2008). 
17
UNIDADE 1
Os sistemas de filas podem ser subdivididos em quatro categorias, podemos ter fila 
única e um servidor, quando há apenas uma fila e um posto de atendimento. O siste-
ma de fila única e múltiplos servidores em paralelo ocorre quando há apenas uma 
fila, mas dois ou mais postos de atendimento. Outro sistema é o de múltiplas filas e 
múltiplos servidores em paralelo, quando há mais de uma fila e mais de um posto de 
atendimento. E, por último, o sistema de fila única e múltiplos servidores em série, 
quando há, apenas, uma fila e mais de um servidor, mas em sequência, e não em paralelo. 
As Figuras 7 a 10 apresentam estes tipos de sistemas de filas.
Descrição da Imagem: na figura, aparecem alguns triângulos empilhados do lado esquerdo, representando a 
“População”; há uma seta saindo deste conjunto de triângulos e chegando a um grupo de triângulos enfileirados, e, 
abaixo destes triângulos, lê-se “Fila”. Saindo deste conjunto de triângulos enfileirados, há uma seta que chega até 
um retângulo que tem apenas um triângulo em seu interior, e, abaixo deste retângulo, está escrito “Atendimento”.
Figura 7 - Sistema de filas com uma fila e um servidor / Fonte: adaptada de Andrade (2015).
População Fila Atendimento
....
Descrição da Imagem: na figura, aparecem alguns triângulos empilhados do lado esquerdo, representando a 
“População”. Há uma seta saindo deste conjunto de triângulos e chegando a um grupo de triângulos enfileirados, 
e, abaixo destes triângulos, lê-se “Fila”. Saindo deste conjunto de triângulos enfileirados, há uma seta que se divide 
em duas setas, cada uma chega até um retângulo que tem apenas um triângulo em seu interior, e abaixo destes 
retângulos está escrito “Atendimento”.
Figura 6 - Estrutura de um modelo de filas / Fonte: adaptada de Andrade (2015).
População Fila Atendimento
....
18
UNICESUMAR
População Fila Atendimento
....
Descrição da Imagem: na figura, aparecem alguns triângulos empilhados do lado esquerdo, representando a 
“População”, há uma seta saindo deste conjunto de triângulos e chegando a um grupo de triângulos enfileirados, 
e, abaixo destes triângulos, lê-se “Fila”. Saindo deste conjunto de triângulos enfileirados, há uma seta que se divide 
em duas setas, cada uma chega até um retângulo que tem apenas um triângulo em seu interior, e, abaixo destes 
retângulos, está escrito “Atendimento”.
Descrição da Imagem: na figura aparecem alguns triângulos empilhados do lado esquerdo, representando a “Popu-
lação”; há duas setas saindo deste conjunto de triângulos e chegando cada uma a um grupo de triângulos enfileirados, 
e, abaixo destes triângulos, lê-se “Filas”. Saindo de cada conjunto de triângulos enfileirados há uma seta que chega até 
um retângulo que tem apenas umtriângulo em seu interior, e, abaixo destes retângulos, está escrito “Atendimento”.
Descrição da Imagem: na figura, aparecem alguns triângulos empilhados do lado esquerdo, representando a 
“População”; há uma seta saindo deste conjunto de triângulos e chegando a um grupo de triângulos enfileirados, e, 
abaixo destes triângulos, lê-se “Fila 1”. Saindo de cada conjunto de triângulos enfileirados há uma seta que chega 
até um retângulo que tem apenas um triângulo em seu interior, e, abaixo deste retângulo, está escrito “Atendimento 
1”. Saindo deste retângulo do “Atendimento 1”, uma seta se conecta a outro conjunto de triângulos enfileirados que 
representam a “Fila 2”, e, conectada a esta fila, há uma seta que chega até um retângulo com um triângulo dentro, 
que representa o “Atendimento 2”.
Figura 8 - Sistema de filas com uma fila e múltiplos servidores em paralelo / Fonte: adaptada de Andrade (2015).
Figura 9 - Sistema de filas com múltiplas filas e múltiplos servidores em paralelo
Fonte: adaptada de Andrade (2015).
Figura 10 - Sistema de filas com fila única e múltiplos servidores em série / Fonte: adaptada de Andrade (2015).
População Filas Atendimento
....
....
População Fila 1 Fila 2Atendimento 1 Atendimento 2
.... ....
Cada uma das representações que foram feitas nas Figuras 7 a 10 são possibilidades de 
montagens de sistemas de filas. Quando fizermos o equacionamento destes sistemas, você 
poderá verificar que algumas informações são semelhantes, bem como alguns parâme-
tros utilizados na construção do modelo, mas cada tipo de fila terá sua particularidade 
quanto à representação matemática. Esta flexibilidade do sistema de filas é importante, 
pois permite avaliar diferentes configurações do sistema e calcular qual o comporta-
mento do sistema em cada caso, bem como identificar aquele que é mais vantajoso para 
a empresa sem lesar o cliente.
19
UNIDADE 1
Você deve ter observado que alguns termos se tornaram recorrentes nas páginas 
iniciais do nosso livro. Clientes, população, fila e posto de atendimento, estes são alguns 
dos elementos que compõem o sistema de filas. Acrescento para você, agora, mais alguns 
termos que são fundamentais para a análise de um sistema de filas, que são: processo de 
chegada, processo de atendimento, disciplina de atendimento e capacidade do sistema.
Caracterizaremos, agora, cada componente do sistema de filas.
• Cliente: o cliente é proveniente de uma população que representa a fonte geradora 
dos clientes cuja característica relevante é seu tamanho, que tem como significado 
o número total de clientes que pode precisar de atendimento em determinado 
intervalo de tempo (HILLIER; LIEBERMAN, 2013). Se esta população for muito 
grande (infinita), a chegada de um cliente na fila não afeta a taxa de chegada dos 
demais clientes, portanto, são independentes (este é o conceito que adotaremos 
quando considerarmos população infinita, ∞, para resolver os problemas de filas 
de nossa disciplina). Se a população for pequena, a quantidade de clientes na fila 
interfere na taxa de chegada, pois, se todos estiverem na fila, não há mais nenhum 
para chegar (PRADO, 2014). 
É comum adotar como hipótese inicial que a população seja infinita, mesmo 
para casos em que a população é, realmente, finita. Se ela for, suficientemente, 
grande, a adoção de população infinita não afetará os resultados, no entanto, se a 
população for finita, e sua quantidade afetar, significativamente, os resultados do 
problema de filas, então, esta deve ser considerada finita, e os cálculos devem ser 
ajustados para esta condição.
• Processo de chegada: o comportamento de chegada dos clientes é que define 
o processo de chegada. Se esse processo é regular, com intervalos de tempo bem 
definidos e, igualmente, espaçados, temos um processo determinístico, em que se 
conhece exatamente o tempo de chegada de cada cliente, o que acontece apenas em 
processos automatizados com eficiência. Quando não há um intervalo de tempo 
igualmente espaçado, temos um processo estocástico, ou seja, probabilístico, onde 
valem as distribuições de probabilidade como mencionado no início da unidade. 
Se você tiver, por exemplo, a chegada de 10 automóveis por minuto, ou 1 automó-
vel a cada 6 segundos em uma praça de pedágio, você tem um valor médio, pois não 
quer dizer que, necessariamente, chegará 1 automóvel a cada 6 segundos. O número 
10 representa a taxa média de chegada de veículos por minuto, e o número 6 repre-
senta o intervalo médio entre as chegadas (PRADO, 2014; FOGLIATTI; MATTOS, 
2007). Normalmente, representamos a taxa média de chegada pela letra λ, e o 
intervalo médio de chegada pelas iniciais IC. Para este exemplo, então, teríamos:
λ = 10 veículos por minuto
IC = 6 segundos
20
UNICESUMAR
Neste momento, cabe-nos um bom entendimento de que podemos ter diferentes conjun-
tos de valores com a mesma média. Por exemplo, se você tem dois valores, 0 e 10, a média 
entre eles é 5. Se, por outro lado, você tiver outros dois valores, 2 e 8, a média, também, 
será 5, o mesmo acontece com a média entre 4 e 6. Por este motivo, não basta conhecer 
o tempo médio em que as coisas acontecem, mas entender como os dados que geraram 
a média se comportam ao redor dela. Segundo Hillier e Lieberman (2013), o padrão 
estatístico dos dados de geração de clientes ao longo do tempo deve ser especificado e se 
parte da hipótese mais comum de que esta geração ocorra de acordo com um processo 
de Poisson, ou seja, o número de clientes é gerado de acordo com uma distribuição de 
Poisson cuja equação é apresentada a seguir:
P X k e
k
k
( )
!
� �
��l l
Sendo que P(X=k) é a probabilidade de ocorrência de k eventos, e λ indica a taxa de 
ocorrência por unidade medida. No exemplo apresentado da praça de pedágio, a taxa 
média de ocorrência de chegada de veículos, por unidade de tempo, no caso, por minuto, 
é 10. Esta função é aplicada quando as chegadas ao sistema de filas ocorrem de maneira 
aleatória, mas com uma taxa média fixa, que independe da quantidade de clientes que 
já chegou ao sistema (hipótese de população infinita).
Cabe destacar, aqui, que, a princípio, nas primeiras unidades do livro, não calcularemos 
a distribuição de probabilidade que representa os dados, adotaremos a função de Poisson 
como referência e apenas nos debruçaremos na aplicação e no uso das taxas médias de 
ocorrência dos fenômenos. Posteriormente, nas unidades mais avançadas do livro, par-
tiremos de um conjunto de dados e, então, faremos o levantamento da distribuição de 
probabilidade mais adequada para representar o fenômeno do comportamento dos dados.
Outra hipótese que tem similaridade com a distribuição de Poisson é adotar a dis-
tribuição de probabilidade Exponencial para representar o tempo entre as chegadas 
consecutivas de clientes ao sistema de filas. De fato, a distribuição de Poisson se torna 
uma particularização da distribuição Exponencial, quando se tem a avaliação da proba-
bilidade de vezes que um evento se repete.
A equação da distribuição probabilidade Exponencial é apresentada a seguir:
f t e se t
se t
t
( )
,
,
� � �
�
�
�
�
��
�l l 0
0 0
A função f(t) representa a função distribuição de probabilidade para a variável t, e λ é o 
parâmetro da taxa de distribuição que, em nossos problemas, também, representará a 
taxa de ocorrência por unidade medida. Todo o processo de chegada é analisado em um 
intervalo de tempo de 0 a t, ou seja, considera-se que o primeiro dado obtido ou gerado 
é o ponto de partida da análise toda, e podemos escolher até que tempo esta análise 
ocorrerá (quantos segundos, minutos, horas ou dias).
21
UNIDADE 1
Para ambas as distribuições de probabilidade apresentadas, o que se observa é que elas servem de 
modelo matemático para representar o comportamento dos dados e, neste quesito, o modelo deve 
ser o mais simples possível de tal modo que permita representar o sistema real com fidelidade e seja, 
matematicamente, tratável com certa facilidade. A despeito dos avançoscomputacionais e dos méto-
dos de solução de problemas complexos, a prevalência de modelos mais simples ainda continua até 
os dias de hoje.
• Fila: por definição, a fila é o local onde os clientes aguardam antes que ocorra o processo de 
atendimento e se caracteriza pelo número máximo de clientes que ela pode ter. Assim, como a 
fonte geradora de clientes, a fila pode ser caracterizada como finita ou infinita e se adota como 
padrão a hipótese de fila infinita, ou seja, com capacidade ilimitada. Em casos excepcionais, 
quando a capacidade da fila for, realmente, pequena, deve-se considerar o número de elementos 
finito para a fila, e esta observação deve fazer parte do modelo matemático que a represente 
(HILLIER; LIEBERMAN, 2013).
Com relação ao tamanho máximo da fila, sabemos que, no dia a dia, algumas situações 
podem até ser consideradas como ilimitadas. Imagine um porto onde os navios que aguardam 
descarregamento têm toda a extensão marítima para aguardar e, até mesmo, um banco que, 
apesar de ter um espaço finito dentro da agência, em casos extremos pode-se considerar que 
a fila de clientes se alongue pela calçada. Em outros casos, como em ligações telefônicas, há a 
possibilidade de haver fila infinita, quando você liga para uma empresa, ela informa quantas 
pessoas estão na sua frente aguardando atendimento e solicita que você aguarde na linha, ou fila 
finita, quando a linha desejada está ocupada, e a ligação é interrompida, havendo necessidade 
de que uma nova ligação seja realizada em período posterior.
Um fator que também caracteriza uma fila é seu tamanho médio, em nosso cotidiano quan-
do você entra em um local e se depara com três filas que tem o mesmo objetivo, a tendência 
é escolher aquela que tem a menor quantidade de pessoas, pois se acredita que será a fila que 
andará mais rápido. Logo, a noção de quantidade de elementos na fila nos leva a avaliar o tempo 
consumido na fila e a optar por aquele que tenderá a nos atender em menor tempo. É certo que, 
nem sempre, isso ocorre, pois, muitas vezes, o tipo de serviço que está sendo realizado pode 
demorar mais em uma fila do que em outra, e vemos, muitas vezes, uma fila maior caminhar 
mais rápido do que uma fila menor.
• Disciplina da fila ou do atendimento: a disciplina da fila é entendida como a ordem que 
os integrantes da fila serão atendidos, ou, também, a maneira de selecionar, entre aqueles que 
estão na fila, o que será atendido assim que houver disponibilidade. Fogliatti e Mattos (2007) 
apresentam alguns critérios que a gerência pode adotar quanto ao atendimento aos clientes, 
definindo qual será a ordem de atendimento assim que um servidor estiver desocupado. As 
quatro disciplinas mais utilizadas são as descritas no Quadro 1 a seguir:
22
UNICESUMAR
FIFO 
(first in – first out)
Ou seja, o primeiro que entra é o primeiro que sai. Nesta disciplina, o 
atendimento aos usuários é feito por ordem de chegada, quem chegou 
primeiro é atendido primeiro. É a disciplina mais utilizada na teoria das 
filas seja na prestação de serviços seja em processos produtivos. Nesta 
dinâmica, a ordem de chegada é respeitada, sendo que cada cliente novo 
no sistema se posicionará atrás do último existente na fila.
LIFO
(last in – first out)
O último que chega é o primeiro que sai. Esta disciplina é o contrário da 
anterior, neste caso, quem chega por último é atendido primeiro. Este tipo 
de regra de atendimento é comum para estoques verticais ou horizontais, 
pois, muitas vezes, o último elemento a chegar é o que está disponível 
para ser retirado do estoque. Você também pode imaginar um navio 
que está sendo carregado de contêineres, como todos são empilhados, 
os primeiros contêineres carregados estarão no fundo da pilha, quando 
chegar o momento de descarregar, os primeiros a serem removidos do 
navio são os que estão na parte de cima da pilha de contêineres, logo, 
são os últimos que foram colocados no navio.
PRI
(priority service)
O atendimento por prioridade segue as regras estabelecidas pela gerên-
cia ou pelo controlador local, ou seja, são criadas regras específicas para 
classificar os clientes que chegam ao sistema, e tais regras devem prever 
em quais situações o atendimento deve ser iniciado o mais breve possível. 
Em um hospital, por exemplo, os pacientes em estado mais grave têm 
prioridade de atendimento, independentemente da ordem que ocupem 
em uma fila. Se você chegar em um pronto atendimento, provavelmente, 
será classificado pelo nível de gravidade de seus sintomas, se você for 
considerado de grau leve, deverá aguardar o atendimento. Por outro 
lado, se você estiver por lá e aparecer alguém acidentado, ou que esteja 
sofrendo um infarto, este será, rapidamente, atendido e, dependendo 
do caso, será encaminhado para internação hospitalar.
SIRO
(service in random order)
É o tipo de disciplina que faz o atendimento de forma randômica (alea-
tória) independentemente da ordem de chegada, sem estabelecer uma 
prioridade. É o caso de consórcios, em que o atendimento, geralmente, 
é feito por sorteio. Neste tipo de atendimento, as regras apenas esta-
belecem que todos têm igual sorte para serem atendidos, não havendo 
prioridades estabelecidas nem uma ordem especificada.
Quadro 1- Disciplinas da Fila / Fonte: o autor.
• Canais ou postos de atendimento (servidores): os locais físicos onde ocorrem os atendimen-
tos aos clientes são chamados de postos de atendimento. A quantidade de postos de atendimento 
pode variar de acordo com a demanda de atendimento. Se aumentar a quantidade de clientes no 
sistema de filas, e o tempo médio de espera na fila aumentar muito, pode-se acrescentar novos 
postos de atendimento para manter o sistema, operando com qualidade, mas, lembre-se de que 
isso não deve gerar um custo muito elevado para a gerência. No dia a dia, podemos enxergar os 
canais de atendimento como caixas de bancos ou de supermercados, na área industrial, pode 
representar uma máquina de um processo produtivo, por exemplo. 
• Os postos de atendimento podem ser únicos no sistema de filas, ou aparecerem em maior 
quantidade. Há casos em que os postos de atendimento são paralelos, executando as mesmas 
23
UNIDADE 1
atividades e recebendo os clientes de uma única fila. Em outras situações, os postos de aten-
dimento estão organizados de maneira sequencial, sendo que a fila formada ocorre entre os 
postos de atendimento. Desta maneira, cada posto executa uma atividade, e o cliente deixará 
todo o sistema após passar por todos os postos de atendimento dispostos, sequencialmente. O 
equacionamento do modelo de filas deve englobar estas informações, sendo deduzido de acordo 
com o tipo de atendimento que se tem e com a maneira como os postos se relacionam, sejam 
independentes entre si sejam interdependentes. 
• Processo de atendimento: o processo de atendimento é caracterizado de maneira semelhante 
ao processo de chegada. Nesta parte do sistema, considera-se o comportamento do fluxo de 
usuários que são atendidos (PRADO, 2014; FOGLIATTI; MATTOS, 2007). Considerando que, 
no pedágio, cada cabine pode atender cinco veículos por minuto, ou que gaste doze segundos 
para atender um veículo, dizemos que cinco é a taxa média de atendimento, e 12 o tempo 
médio de atendimento. A letra grega µ é utilizada para representar a taxa média de atendi-
mento, e as iniciais TA para representar o tempo médio de atendimento. Portanto, para este 
exemplo teríamos.
µ = 5 veículos por minuto
TA = 12 segundos
Assim como foi apresentado no processo de chegada, os dados coletados de tempos de atendi-
mento e execução da atividade do atendimento são avaliados, estatisticamente, e um modelo de 
probabilidade é utilizado para representá-los, admitindo-se as mesmas considerações feitas para 
o processo de chegada. Um valor médio pode ser encontrado e utilizado para a taxa média de 
atendimento, mas tendo consciência de que este valor é originado de uma análise estatística, e 
que uma função de probabilidade representa o comportamentode atendimento como um todo.
Para este processo, também, é comum utilizar uma distribuição de probabilidade Expo-
nencial, como apresentamos no processo de chegada, mas, em outras situações, outras distri-
buições, também, podem ser aceitas, como a distribuição de Erlang (gama) apresentada na 
equação seguinte:
f t
k
k
t e
k
k k t( )
!
�
�� �
�� �
� � � �� �
1
1
Para esta distribuição de probabilidade μ e k são parâmetros positivos, e a média e o desvio 
padrão desta distribuição são apresentados a seguir:
Média
Desvio Padrão
k
�
�
1
1 1
�
�
Reforço, aqui, que, para o atendimento a taxa média é designada pela letra grega μ, diferentemente 
da dinâmica de chegada que tem sua taxa média representada pela letra grega λ. No entanto, 
24
UNICESUMAR
em termos práticos, ambas têm significado estatístico semelhante, representando, basicamente, 
o valor médio do tempo de ocorrência seja da chegada seja do atendimento. 
• Capacidade do sistema: a capacidade do sistema é definida pelo número máximo de usuários 
que o sistema comporta, incluindo a quantidade de usuários que pode permanecer na fila e no 
próprio sistema de atendimento. É importante observar, neste momento, que o sistema é defi-
nido como o conjunto fila mais atendimento, logo, tudo o que está associado ao sistema inteiro 
representa o total de tempo ou disponibilidade presente no sistema de filas como um todo. Se 
a capacidade for ilimitada, nenhum usuário é rejeitado (mandado embora), no entanto, se o 
espaço físico de atendimento for limitado e estiver completamente lotado, novos usuários são 
rejeitados e não conseguem entrar no sistema de atendimento até que algum saia.
Dois exemplos que já foram citados e que representam esta capacidade são, o caso dos navios 
que precisam descarregar em um porto e que podem aguardar no mar, logo, tem uma capaci-
dade infinita, e o caso das ligações telefônicas a uma central de telefonia que solicita ao usuário 
que faça uma nova ligação se todas as linhas estiverem ocupadas, ou seja, o cliente é rejeitado.
Depois de entender os principais componentes de um sistema de filas, podemos falar um 
pouco sobre os parâmetros de desempenho do sistema de filas. Os principais parâmetros ava-
liados em um sistema de filas são: o tempo médio de espera na fila, o tempo médio de espera 
no sistema, a quantidade de elementos na fila e a quantidade de elementos no sistema, além da 
taxa de ocupação do sistema ou de cada posto de atendimento.
O tempo médio de espera na fila tem um nome intuitivo e nos faz entender que este 
parâmetro nada mais é do que, de fato, o tempo que cada cliente novo precisa aguardar na fila 
até que consiga se deslocar para o posto de atendimento e receber o atendimento. Já o tempo 
médio no sistema representa o tempo médio total do cliente, desde sua chegada ao sistema, 
ou seja, o tempo de permanência na fila mais o tempo que demora para ser atendido. Este 
parâmetro representa a soma do tempo médio na fila com o tempo médio de atendimento do 
posto de atendimento.
O número médio de elementos na fila leva-nos a entender que é um parâmetro que 
representa a quantidade esperada de clientes na fila do sistema. Já o número médio de clien-
tes no sistema representa o total de clientes que se espera ter no sistema, ou seja, aqueles que 
estarão na fila somado ao que está localizado no posto de atendimento. A taxa de ocupação 
do sistema ou do posto de atendimento é um valor percentual que representa a quantidade 
do tempo disponível para o posto de atendimento em relação ao que é, efetivamente, utilizado. 
Por exemplo, se a taxa de ocupação estiver em 90%, significa que, em 90% do tempo o posto de 
atendimento está ocupado executando a ação de atender ao cliente, nos 10% restantes do tempo, 
o posto de atendimento está ocioso.
Tais parâmetros são de grande utilidade para fazer análises do sistema utilizando a Teoria 
das Filas e se tornam, muitas vezes, dados de entrada para modelos de simulação de processos.
Para ilustrar um pouco o que estamos conversando desde o início da unidade, veja o Exemplo 1.
25
UNIDADE 1
01. EXEMPLO Considere um sistema de filas formado por uma agência bancária na qual um guichê 
foi selecionado como posto de atendimento para a operação de atender ao saque de 
aposentadoria para idosos. Você foi escolhido para observar o sistema e anotar alguns 
valores, como tempo médio de chegada de clientes na fila e a duração do atendimento. 
Durante meia hora, você anotou os valores apresentados na Tabela 1.
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Intervalo de 
chegada 3 2 1 2 6 1 3 0 2 2 2 5
Duração do 
atendimento 1 1 2 2 3 1 1 2 4 3 3 1
Tabela 1 - Dados medidos para atendimento em um caixa de banco. Tempo dado em minutos
Fonte: adaptada de Prado (2014).
Em posse destes dados, avalie o problema apresentando a taxa média de chegada 
(λ), o índice de chegada (IC), a taxa média de atendimento (μ) e o tempo médio de 
atendimento (TA).
Solução: Como temos em mãos os tempos medidos tanto para o processo de 
chegada quanto para o processo de atendimento, basta executarmos os cálculos. 
Desconsiderando, a princípio, as distribuições de probabilidade que poderiam mo-
delar a chegada e o atendimento, calculemos os tempos médios de chegada e de 
atendimento. Lembrando que o tempo médio de chegada é dado por IC, e o tempo 
médio de atendimento por TA. Realizando os cálculos, teremos:
IC � � � � � � � � � � � � � �3 2 1 2 6 1 3 0 2 2 2 5
12
29
12
2 42, min por cliente
TA � � � � � � � � � � � � � �1 1 2 2 3 1 1 2 4 3 3 1
12
24
12
2min por cliente
Desta forma, identificamos que o índice de chegada, ou seja, o tempo médio de 
chegada está em 2,42 minutos por cliente, e o tempo médio de atendimento está em 
dois minutos por cliente. Só com estes dados você pode observar, intuitivamente, que, 
se o posto de atendimento é mais rápido do que o tempo de chegada de clientes, o 
sistema é factível, ou seja, pode ser conduzido sem maiores problemas. Para calcular 
a taxa média de chegada (λ) e a taxa média de atendimento (μ), basta calcularmos o 
inverso de IC e o inverso de TA.
l � � �
1 1
2 42
0 4132
IC ,
, clientes por minuto
� � � �
1 1
2
0 5
TA
, clientes por minuto
26
UNICESUMAR
Para melhor visualização da quantidade de clientes que chegam e que podem ser 
atendidos pelo sistema, podemos transformar as unidades das taxas médias em 
clientes por hora.
l � � �
1
2 42
60
1
24 8
,
,clientes
minuto
minutos
h
clientes por hora
� � � �
1
2
60
1
30clientes
minuto
minutos
h
clientes por hora
Assim, é mais fácil observar que chegam, em média, 24,8 clientes por hora, e o caixa 
do banco tem capacidade para atender 30 clientes por hora, logo, confirmamos que, 
de fato, o sistema é capaz de executar a ação de atendimento uma vez que tem maior 
capacidade do que a demanda existente. 
02. EXEMPLO Ao anotar os intervalos de tempo de chegada dos clientes no banco para acessar 
o caixa selecionado, o momento em que isso ocorreu, também, foi anotado, como 
apresentado na Tabela 2.
Imagine que você está analisando um sistema de fila em que, no intervalo de 1h, haja o atendi-
mento de 30 clientes, e que o tempo total gasto no atendimento dos 30 clientes seja de 45min. 
À primeira vista, o sistema não formaria fila, mas a presença da aleatoriedade na chegada pode 
fazer com que os 30 clientes cheguem num intervalo de tempo tão próximo que forme fila e 
gere ociosidade em outros momentos.
Antes de seguirmos, convido você, caro(a) aluno(a), para ouvir nosso 
primeiro Podcast da disciplina. Nele, você verá como a formação de 
filas pode impactar, economicamente, o mundo, e não é exagero. Fa-
laremos sobre o incidente no canal de Suez, com o navio Ever Given, 
em março de 2021. Vamos lá!
Considere que você, além de anotar o intervalo de tempo para chegada de clientes e para execução da 
atividade, anotou o momento em que os clientes chegaram, considerando que zero é o tempo inicial, 
quando você começou a fazer as anotações. Veja no exemplo 2.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/937127
UNIDADE 1
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Intervalo de 
chegada 3 2 1 2 6 1 3 0 2 2 2 5
Momento 4 6 7 9 15 16 19 19 21 23 25 30
Tabela 2 - Dados medidos para atendimento em um caixa de banco. Tempo dado em minutos
Fonte: adaptada de Prado (2014).
Os valores da linha do momento indicam que o cliente 1 chegou no minuto 4, o cliente 
2 chegou no minuto 6, o cliente 3 chegou no minuto 7 e, assim, sucessivamente. A 
duração do atendimento é a mesma apresentada no Exemplo 1. Com estes dados 
em mãos, avalie, agora, além das taxas médias de chegada e de atendimento, o tempo 
médio dos clientes na fila (TMF), o número médio dos clientes na fila (NMF) e a 
taxa de ocupação do caixa (ρ).
Solução: Para avaliar o tempo médio de clientes na fila (TMF), precisamos veri-
ficar quantos clientes precisaram, realmente, enfrentar fila e quanto tempo cada um 
demorou nela. Para isso, construiremos um diagrama onde aparecem os tempos dos 
clientes no atendimento e na fila. Observe que o cliente 1 chega no minuto 4, é aten-
dido em 1min (veja os dados apresentados na Tabela 1, do Exemplo 1), deixando o 
caixa livre no minuto 5. Como o cliente 2 chega apenas no minuto 6, ele encontra o 
caixa livre e é, prontamente, atendido, não enfrentando fila. Como seu atendimento 
demora 1 min, ele deixa o caixa no minuto 7, exatamente quando chega o cliente 3, 
que encontra, também, o caixa livre. Esta análise será feita para cada cliente a fim de 
construir o diagrama apresentado na Figura 11.
AT
EN
D
IM
EN
TO
FI
LA
1 2
3
4 5 7 9
9
11
11
6
6
8
8
10
10 12
12
1 2 3 4 5 7 9 116 8 10 12 13 14 15 16 17 19 21 2318 20 22 24 25 26 27 28 29 30 32 34 3531 33
Descrição da Imagem: a figura é dividida em duas regiões. Há uma linha central que divide a região acima para 
o Atendimento e a região abaixo para a Fila. Há uma linha, na parte inferior da figura, que possui números de 
1 a 35, representando uma série temporal em minutos. Na parte de cima e na parte de baixo, estão presentes 
retângulos indicando cada cliente do banco, sendo a largura do retângulo referente à quantidade de minutos 
que demora para cada cliente ser atendido, ou a quantidade de tempo que o cliente aguarda na fila. Os retân-
gulos começam no momento referente ao tempo de chegada do cliente e ao tempo que se inicia o atendimento.
Figura 11- Diagrama de tempos para fila e atendimento segundo os dados do Exemplo 2 / Fonte: o autor.
Observando a Figura 11, é possível verificar que alguns clientes não enfrentam fila 
enquanto outros precisam aguardar para serem atendidos. Observe que o cliente 
1 chega no minuto 4, é atendido, diretamente, no caixa, sem fila, e, no minuto 5 (1 
28
UNICESUMAR
minuto de atendimento), ele deixa o caixa livre. O cliente 2 chega no minuto 6, é 
atendido, diretamente, no caixa, sem fila, e deixa o caixa no minuto 7 (1 minuto de 
atendimento). O cliente 3 chega no minuto 7, momento em que o caixa acabou de 
ficar livre, logo, ele segue para atendimento sem fila, liberando o caixa no minuto 9 
(2 minutos de atendimento). Como o cliente 4 chega no minuto 9, ele, também, não 
enfrenta fila, seguindo, diretamente, para o caixa e deixando o caixa no minuto 11. Do 
minuto 11 até o minuto 15, o caixa fica ocioso, sem atividade, não entra ninguém para 
ser atendido. No minuto 15, chega o cliente 5, que deixará o caixa apenas no minuto 
18 (3 minutos de atendimento), no entanto, como o cliente 6 chega no minuto 16, 
terá que aguardar na fila até o minuto 18 para ir ao caixa, logo, pega 2 minutos de fila. 
Do minuto 18 ao 19, o cliente 6 é atendido. No minuto 19, chegam 2 clientes, o 7 e 
o 8. O cliente 7 segue para o caixa que está livre, o 8 terá que ficar na fila aguardando 
sua vez. O cliente 7 será atendido do minuto 19 ao 20 (1 minuto de atendimento), e 
o cliente 8 irá ao caixa no minuto 20, logo, aguardará 1 minuto na fila. Como o tem-
po de atendimento do cliente 8 é de 2 minutos, ele só deixará o caixa no minuto 22. 
Mas o cliente 9 chega no minuto 21 e precisará aguardar 1 minuto na fila até que, no 
minuto 22, o cliente 8 deixe o caixa, e ele possa utilizá-lo. Como o cliente 9 demora 4 
minutos em atendimento, ele só deixará o caixa no minuto 26. O cliente 10 chega no 
minuto 23 e aguardará 3 minutos na fila até poder ir ao caixa, no minuto 26. Nesse 
meio tempo, o cliente 11 chega no minuto 25 e poderá ser atendido apenas depois 
que o cliente 10 deixar o caixa. Como o cliente 10 irá ao caixa apenas no minuto 26 
e demorará 3 minutos para ser atendido, só poderá deixar o caixa no minuto 29, 
quando, então, o cliente 11 será atendido. Logo, o tempo total na fila do cliente 11 será 
de 4 minutos. O cliente 11 demorará 3 minutos no atendimento, deixando o caixa 
no minuto 32. E, por fim, o cliente 12 chega no minuto 30, aguardará 2 minutos na 
fila até ser atendido, no minuto 32, permanecendo no caixa em atendimento até o 
minuto 33, findando, assim, o tempo de análise da fila. 
Esta descrição mais detalhada da Figura 11 servirá para você se basear na análise 
dos demais exercícios que virão. Façamos, agora, uma tabela com o tempo que cada 
cliente teve que aguardar na fila. Veja os dados na Tabela 3.
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Tempo na fila 0 0 0 0 0 2 0 1 1 3 4 2
Tabela 3 - Tempo gasto na fila para cada cliente em minutos / Fonte: o autor.
Para calcular o tempo médio na fila, podemos somar os tempos na fila e dividir pela 
quantidade de clientes; para calcular o número médio de clientes na fila, somaremos 
o tempo de cada cliente na fila e dividiremos pelo tempo total analisado, que, neste 
caso, é de 33 minutos.
29
UNIDADE 1
TMF
NMF
� � � � � � � �
� � � � � � �
( ) / / , min
( ) / /
2 1 1 3 4 2 12 13 12 1 08
2 1 1 3 4 2 33 13 333 0 39� , clientes
Observe, então, que o tempo médio que os clientes aguardam na fila é de 1,08 mi-
nutos, e o número médio de clientes na fila é de 0,39 clientes. Note que são valores 
médios, aproximados, que servem como parâmetro de análise da fila. Os dados 
reais nos fazem ver que é possível ter variações para mais e para menos dos valores 
apresentados. A taxa de ocupação do sistema (ρ) pode ser calculado de maneira bem 
simples a princípio. Vamos somar o tempo total de atendimento dos clientes e dividir 
pelo tempo total da análise.
r � � � � � � � � � � � � � �( ) / / ,1 1 2 2 3 1 1 2 4 3 3 1 33 24 33 0 7273
Nesta análise, subtende-se que, em um intervalo de tempo de 33 minutos, o caixa 
atendeu alguém em 24 minutos, ou seja, 72,73% do tempo total analisado. Nos 9 
minutos restantes, ele ficou ocioso na atividade de atendimento, o que representa 
27,27% de ociosidade. 
Vale ressaltar, aqui, que estas análises que fizemos nos Exemplos 1 e 2 basearam-se na média tradicional, 
não considerando nenhuma variação estatística. Você verá, nas próximas unidades, que, dependendo 
do tipo de sistema de fila formado, haverá equações específicas para estimativas dos tempos médios 
de chegada, tempos médios no sistema, números médios de clientes tanto na fila quanto no sistema e 
na taxa de ocupação. Os próprios valores das taxas médias de chegada (λ) e de atendimento (μ) serão 
obtidas por meio de análises estatísticas.
Você deve ter percebido que analisar um sistema depende da coleta de dados e de sua análise. 
Os dados coletados para o sistema de filas, geralmente, são divididos em duas categorias, uma 
que representa o conjunto de dados de chegada, e outra que representa o conjunto de dados 
do processo de atendimento. Para os processos de fila utilizados em simulação, haverá um 
tratamento estatístico para que o modelo que os representa seja uma distribuição de probabi-
lidade com os parâmetros médios representando as taxas médias de chegada e atendimento.
Em posse desses parâmetros, é possível avaliar o sistema de filas, adotando sempre uma regra 
de atendimento ou de fila, que permite definir como os clientes serão chamados para atendi-
mento no posto de atendimento. Ao avaliar os tempos de permanência em fila e no sistema 
bem como a quantidade de clientesna fila ou no sistema, pode-se entender como o sistema 
se comporta na condição atual e, então, propor alguma melhoria. 
30
UNICESUMAR
Retomando aquele problema dos caixas de supermercado apresentado no início da 
unidade, você deve ter levantado alguns pontos relevantes para analisar este sistema. 
Eu poderia sugerir a você alguns pontos, lembre-se de que você deve utilizar a visão 
da gerência do supermercado, então, a questão salarial é um ponto importante, quan-
to mais funcionários estiverem trabalhando no mesmo horário, maior será o custo 
para aquele horário, podendo, inclusive, levar à necessidade de contratação de mais 
funcionários. Outro ponto importante a se analisar é verificar o tempo que os clientes 
estão gastando na fila, de acordo com o horário de compras, pois estes dados podem 
validar uma decisão de reduzir/aumentar a quantidade de funcionários nos caixas, 
em determinado horário do dia, ou, até mesmo, em determinado dia da semana. O 
tempo de execução da atividade do operador de caixa também é relevante, se ele for 
bem treinado, consumirá pouco tempo por item para passar pelo caixa. Esse tempo 
também reduz o tempo na fila dos clientes que estão aguardando a compra ser re-
gistrada. Algo mais difícil de mensurar, mas que poderia ser utilizado, por meio de 
uma pesquisa com os clientes, é a determinação do tempo máximo na fila que ele 
estaria disposto a enfrentar para que fique claro, também, o limite de tolerância do 
cliente quanto ao tempo de espera para pagar as compras.
Esse foi um exemplo clássico de nosso dia a dia, agora, a mesma lógica pode ser 
transportada para o meio industrial. Imagine que os clientes do supermercado sejam 
trocados por funcionários que se dirijam a um almoxarifado central para pegar uma 
ferramenta ou peça de reposição, no caso de manutenção. O almoxarifado torna-se o 
posto de atendimento equivalente ao caixa do supermercado. O funcionário entra na 
fila para retirar o que precisa no almoxarifado e aguarda enquanto outro funcionário 
está fazendo a retirada. O tempo gasto por este funcionário aguardando para retirar o 
material do almoxarifado é um tempo pago pela empresa, mas que ele não está produ-
zindo, logo, isso se torna um tempo perdido com um custo associado. Veja que esta pro-
blemática pode conduzir a uma análise que envolva avaliar a necessidade de contratar 
mais almoxarifes, ou automatizar algum sistema e, até mesmo, realocar funcionários.
No final das contas, os dados analisados e o entendimento do sistema de filas 
acabam culminando nas considerações sobre o sistema, que levam a uma otimização 
do mesmo. Nas próximas unidades, veremos alguns modelos de filas e realizaremos 
diversos cálculos sobre estes tipos de sistema.
31
Para ajudar voce a sintetizar os principais pontos desta unidade, preparei para você um esboço de 
Mapa Mental, parcialmente preenchido, para que você o complete de acordo com as informações 
disponibilizadas em nossa unidade. Observe a Figura 12 e complete os espaços não preenchidos.
����������������
Elementos principais
1- Presença de clientes vindos 
de uma fonte gerador
2- Formação de �la antes 
do posto de atendimento
4-Clientes atendidos deixando o 
sistema
Componentes do sistema
1- Clientes
2- Processo de chegada
5- Postos de Atendimento
7-Capacidade do 
Sistema
Descrição da Imagem: na figura, há um Mapa Mental formado por um retângulo, no centro, escrito “Teoria das Filas”. Deste 
retângulo surge uma ramificação para cima, conectada a um retângulo onde se lê “elementos principais”. Do retângulo central, 
também sai uma ramificação para baixo, conectada a outro retângulo onde se lê “componentes do sistema”. O aluno deve, então, 
preencher as quatro ramificações do retângulo “elementos principais”, na parte de cima da imagem, com os elementos principais 
da Teoria das Filas, apresentada na Unidade 1, e preencher as sete ramificações do retângulo “componentes do sistema”, situados 
na parte de baixo da figura.
32
1. A Teoria das Filas pode ser utilizada para resolver diversos tipos de problemas que 
envolvam o acúmulo de entidades dentro de um sistema, formando filas, mesmo que 
apenas em determinados momentos, em um intervalo de tempo. Sendo assim, consi-
dere três situações: a primeira com caminhões carregando contêineres e chegando à 
beira do navio para descarregamento com guindaste; a segunda com caminhões com 
chapas de aço, chegando a uma mesa de corte para serem cortadas; e a terceira com 
caminhões contendo contêineres que chegam em uma doca para serem carregados, 
por empilhadeiras, com pallets de caixas. Dadas as três situações, identifique, em cada 
uma delas, o cliente, o processo e o posto de atendimento.
2. O supervisor de uma fábrica está analisando o sistema de pintura eletrostática a pó, 
realizada por um operador dentro de uma câmara de pintura. Como a fábrica funciona 
em três turnos, três funcionários se revezam durante o dia no processo, e o supervi-
sor quer avaliar se há necessidade de trocar o turno dos funcionários, ou se haverá 
necessidade de que seja feito um treinamento para melhorar o processo de pintura. 
Para fazer esta análise, ele determinou o tempo médio em que chegam cada peça 
para pintura em cada um dos turnos (IC) e o tempo médio de execução da pintura (TA) 
para o operador de cada turno. Os valores encontrados são apresentados na Tabela 1.
IC (min/peça) TA (min/peça)
Operador do turno 1 3 2
Operador do turno 2 2,5 1,8
Operador do turno 3 4 2,5
Tabela 1 - Tempo médio de execução da pintura de cada operador, em cada turno / Fonte: o autor.
Analisando o problema, segundo a Teoria das Filas, leia as afirmações apresentadas:
I) A taxa média de chegada de peças para pintura, no turno 1, é de 20 peças por hora, 
e a capacidade de pintura do operador é de 30 peças por hora.
II) No segundo turno, a taxa média de execução da pintura do operador é de, aproxi-
madamente, 33 peças por hora.
III) A diferença entre a capacidade da pintura do operador do turno 2 e do operador 
do turno 3 é de, apenas, 5 peças por hora.
É correto o que se afirma em:
a) I e II, apenas.
b) I e III, apenas.
c) II e III, apenas.
d) I, II e III.
e) II, apenas.
33
3. Você foi chamado para avaliar o comportamento de chegada e atendimento do gui-
chê de uma lotérica e recebeu o intervalo de tempo entre a chegada de cada cliente, 
a duração do atendimento ao cliente e o momento em que ocorreu cada evento de 
chegada. Os dados estão apresentados na Tabela 2. 
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Intervalo de 
chegada 1 1 3 1 2 3 4 4 1 2 2 4
Duração do 
atendimento 3 1 2 3 1 2 2 1 2 2 1 3
Momento 2 3 6 7 9 12 16 20 21 23 25 29
Tabela 2 - Dados de atendimento aos clientes de uma lotérica, valores em minutos / Fonte: o autor.
Utilizando os dados da Tabela 1, avalie o problema, apresentando a taxa média de chegada 
(λ), o índice de chegada (IC), a taxa média de atendimento (μ) e o tempo médio de atendi-
mento (TA). Faça o esboço de um diagrama, nos moldes do apresentado na Figura 11 da 
unidade, e calcule, também, o tempo médio na fila (TMF), o número médio na fila (NMF) e 
a taxa de ocupação do sistema (ρ).
34
2
Olá, caro(a) estudante, nesta segunda unidade do livro Simulação de 
Processos Produtivos, ampliaremos nosso conhecimento em Teoria 
das Filas, estudando diferentes modelos de filas e suas equações. 
Desta maneira, você poderá aplicar o conhecimento de Teoria das 
Filas para modelar, estudar e otimizar sistemas com diferentes 
configurações. Os termos e os conceitos estudados na primeira 
unidade serão, aqui, utilizados, por este motivo, se ainda restam 
dúvidas sobre a terminologia utilizada na representação de uma 
fila, não deixe de retomar a unidade anterior para revê-la. Vamos lá!
Modelos de 
Filas Básicos
Dr. Fernando Pereira Calderaro
36
UNICESUMAR
Já conversamos sobre a formação de filas, na 
primeira unidade de nosso livro, e você deve ter 
entendido que as filas se formam, independente-
mente da capacidade de atendimento e do ritmode chegada, se tais dados forem aleatórios, ou seja, 
se não há uma chegada de clientes uniformemente 
distribuída em tempo e, igualmente, espaçados. 
É justamente este componente aleatório que faz 
a Teoria das Filas recorrer à estatística para gerar 
seus modelos. Agora, será que a fila formada em 
um sistema que tem um posto de atendimento é 
a mesma de um sistema que tenha uma fila e mais 
de um posto de atendimento? Ou, até mesmo, 
um sistema que tenha mais de uma fila e convirja 
para apenas um posto de atendimento? É isso que 
estudaremos nesta unidade. 
Quando nos deparamos com um sistema em 
que clientes chegam até um posto de atendimen-
to e há formação de fila, precisamos identificar 
como o sistema está configurado. De maneira 
superficial, se pensarmos em duas situações 
para o mesmo problema, como em uma fila de 
banco que está exclusiva para um atendente de 
caixa ou a mesma fila que pode ser atendida por 
dois atendentes de caixa no banco, é intuitivo 
entender que a segunda situação deve levar a 
um tempo na fila menor uma vez que há mais 
postos de atendimento disponíveis para aquela 
fila. Por outro lado, se você tiver duas filas que 
convergem para o mesmo posto de atendimento, 
deve-se esperar gastar um tempo maior nesta 
fila, pois haverá clientes das duas filas sendo 
atendidos de maneira sequencial. No entanto 
qualquer um dos casos pode ser avaliado pela 
Teoria das Filas, e as melhores condições de ope-
ração podem ser encontradas.
37
UNIDADE 2
Considere, agora, que você participou de uma conferência em um edifício comercial de 10 anda-
res, e o anfiteatro localiza-se no último andar. Ao final da conferência, todos os 200 participantes se 
organizam em frente a dois elevadores que podem subir e descer os andares livremente. Considere 
que esta conferência durou o dia inteiro, e que foi disponibilizado refeição para todos no local, não 
havendo necessidade de ninguém se retirar do edifício durante o dia. Há idosos e gestantes entre os 
participantes, e cabem apenas seis pessoas em cada elevador. O tempo médio estimado de descida de 
cada elevador até o andar térreo, se ele não fizer paradas intermediárias, é de 30s, o mesmo tempo 
que leva para subir novamente. O horário é 18h, fim de expediente de todos os comércios do edifício. 
Analise esta situação e anote, em seu Diário de Bordo, o tempo que demoraria para todos descerem 
até o térreo, nas seguintes situações:
 I. Apenas um elevador funcionando, sem paradas intermediárias;
 II. Os dois elevadores funcionando, sem paradas intermediárias;
 III. Os dois elevadores funcionado com paradas intermediárias.
Depois de avaliar o problema de descida do edifício comercial utilizando os elevadores, faça uma análise 
das respostas que você encontrou e escreva, em seu Diário de Bordo, como o processo de descida poderia 
ser organizado entre os 200 participantes do evento. Anote, também, se é possível ter uma ideia do tempo 
necessário para descer o edifício, considerando que as pessoas que trabalham nos andares inferiores 
também precisam descer. Quais dados você entende serem necessários para calcular o tempo médio 
de descida do décimo andar em horário de pico de uso dos elevadores? Anote em seu Diário de Bordo.
DIÁRIO DE BORDO
38
UNICESUMAR
Depois de entendermos a importância da aplicação da Teoria das Filas e analisarmos algumas situa-
ções-problema que apresentam formação de fila, chegou a hora de estudarmos, com mais profundidade, 
esta teoria, avaliando os modelos matemáticos disponíveis para algumas situações e os aplicando para 
encontrar os parâmetros do sistema de filas que poderão ser utilizados para avaliar, não só seu desem-
penho, mas também otimizar a organização do sistema, elevando sua qualidade e reduzindo custos.
Dentre os parâmetros utilizados para analisar o sistema de filas, temos alguns que são importantes 
destacar, sendo que alguns deles já foram apresentados na Unidade 1 do livro, mas vale a pena relem-
brar (HILLIER; LIEBERMAN, 2013). São eles:
P t nn( ) = Probabilidade de clientes estarem no sistema de fillas no instante t;
 = Número de atendentes ou canais de as ttendimento paralelos no sistema de filas;
Taxa média deλn = chegada de novos clientes quando clientes se encontramn no sistema
(cliente/tempo);
Taxa média de atendimento pµn = aara o sistema global, considerando todos os atendentes ocuupados, 
(cliente/tempo);
 
Algumas considerações são feitas sobre os parâmetros que representam as taxas médias de chegada e 
de atendimento dos clientes. Quando se considera que estas taxas são constantes ao longo do tempo 
para todo n, ou seja, para toda a quantidade de clientes presentes no sistema, então, a representação 
destas taxas passa a ser: λ λ
µ µ
n
n
→
→
Ou, até mesmo:
� �n s� �
Sendo assim, o inverso destas taxas representa os tempos esperados de chegada e atendimento, res-
pectivamente. 
1
λ
= Tempoesperadoentre atendimentos ou índice de chegada (temmpo/ cliente) - IC
Tempoesperadodeatendimentoou tempodeat
1
µ
= eendimento (tempo/ cliente) - TA
Quando se trabalha com sistema de filas, considera-se que o sistema é estável, ou seja, se comporta em 
regime de estado estacionário, sem sofrer variações significativas, ao longo do tempo, com relação aos 
estados passados. Em outras palavras, o número de clientes no sistema ao longo do tempo não sofre 
mais influência do estado inicial (HILLIER; LIEBERMAN, 2013).
Para esta condição de estabilidade, a notação utilizada para representar os parâmetros de desem-
penho do sistema de fila se torna:
39
UNIDADE 2
Algumas relações entre os parâmetros de desempenho foram observadas e provadas, matematicamente, 
ao longo dos anos, e as principais delas são apresentadas a seguir.
NS TS NF NA
NF TF
TS TF TF TA
NA
� � � �
� �
� � � �
�
λ
λ
µ
λ
µ
1
Estas relações são úteis para diversas situações. Observe nos exemplos 1 e 2.
01. EXEMPLO o gestor de uma fábrica, analisando determinado setor, encontrou que a taxa de che-
gada de clientes é de 30 clientes por hora, a taxa de atendimento a estes clientes é de 
40 clientes por hora, e o tempo médio neste sistema de fila é de 0,1 hora. Determine 
o tamanho médio da fila e o tempo de atendimento (Prado, 2014).
Solução: Para resolver este problema o primeiro passo é entender o significado 
dos dados e escrever cada um dos parâmetros conhecidos, e, para este caso temos:
λ
µ
=
=
=
30
40
0 1
clientes/h
clientes/h
hTS ,
Os parâmetros buscados são NF (tamanho médio da fila) e TA (tempo de aten-
dimento), em que, pelas relações apresentadas anteriormente, podemos escrever:
NF TF
TF TS TA
TA
TF
� �
� �
� � �
� � �
λ
µ
1 1
40
0 025
0 1 0 025 0 075
,
, , ,
h/cliente
h//cliente
clientes/hNF � � �30 0 075 2 25, ,
P nn = Probabilidade de exatamente clientes se encontrarem noo sistema de filas
Númeromédio de clientes no sistema dNS = ee filas
Número médio de clientes sendo atendidos
Temp
NA
TA
=
= oo médio de atendimento ou de serviço
 Número médio de cNF = llientes apenas na fila (excluindo os que estão sendo atenddidos)
Tempo médio de espera no sistema de fila para caTS = dda cliente (incluindo o tempo de atendimento)
Tempo médTF = iio de espera na fila para cada cliente (excluindo o tempo de atendimento)
 
40
UNICESUMAR
Os cálculos mostram, então, que o número de clientes na fila é de 2,25 a cada 
hora, e que o tempo médio de atendimento é de 0,025h, o equivalente a 1,5min por 
cliente. Acabamos encontrando, também, que o tempo médio na fila é de 0,075h ou 
4,5min por cliente.
02. EXEMPLO em uma mineradora, os caminhões recebem a carga de minério de pás carregadeiras 
e levam até um britador, onde descarregarão a carga para ser triturada. Uma análise 
realizada no britador (sistema) observou que o tempo médio dos caminhões neste 
local era de catorze minutos e que, em média, estão neste sistema sete caminhões. A 
capacidade de descarregamento do britador é de 0,8 caminhão por minuto (Prado, 
2014). Determine o valor da taxa média de chegada de caminhões