CONCRETO I - Vigas

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1. FUNDAMENTOS DO CONCRETO ARMADO: 
1.1. Introdução: 
Até março de 2003 a principal norma para o projeto de estruturas de concreto armado era a NBR 
6118/80, ou a NB1/78. Após passar por vários anos em processo de revisão, a NB 1/78 foi 
substituída por uma nova versão, a NBR 618/2003 “Projeto de Estruturas de Concreto – 
Procedimento”, que incluiu também as estruturas de Concreto Protendido. As recomendações 
para a execução das estruturas de concreto passaram a fazer parte da norma NBR 14931/03. 
 
1.2. Composição do concreto: 
Os primeiros materiais a serem empregados nas construções foram a pedra natural e a madeira, 
sendo o ferro e o aço empregados séculos depois. O concreto armado só surgiu mais 
recentemente, por volta de 1850. 
Para um material de construção ser considerado bom, ele deve apresentar duas características 
básicas: resistência e durabilidade. A pedra natural tem resistência à compressão e durabilidade 
muito elevadas, porém, tem baixa resistência à tração. A madeira tem razoável resistência, mas 
tem durabilidade limitada. O aço tem resistência elevadas, mas requer proteção contra a 
corrosão. 
O concreto é um material composto, constituído por cimento, água, agregado miúdo (areia) e 
agregado graúdo (pedra ou brita), e ar. Pode também conter adições (cinza volante, pozolanas 
(1), sílicas ativa (2), etc.) e aditivos químicos com a finalidade de melhorar ou modificar suas 
propriedades básicas. 
 
 
 
1. Os modernos cimentos pozolânicos são uma mistura de pozolanas naturais e industriais com cimento Portland. Para além do seu uso 
em obras submersas, a alta alcalinidade dos cimentos pozolânicos torna-os resistentes às causas mais comuns de corrosão, incluindo à 
provocada por sulfatos de origem atmosférica, em especial os resultantes das chuvas ácidas. Depois de completamente endurecido 
(após um período de cura em geral longo), as argamassas pozolânicas são em geral mais duras do que misturas semelhantes contendo 
apenas cimento Portland. Essa dureza deve-se à sua menor porosidade, o que também as torna menos propensa a absorver água por 
capilaridade e menos atreitas a fragmentação superficial (spalling). O cimento Portland pozolânico (conforme norma ABNT NBR 5736), 
em geral conhecido pela sigla CP IV, é constituído por clínquer e gesso: 45 a 85%; escórias: 0 a 5%; pozolanas: 15 a 50%; material 
carbonatado: 0 a 5 
2. Sílica ativa é um produto resultante do processo de fabricação de ferro-silício ou de silício metálico. Para obtenção destes utilizam-se 
como matérias-primas o quartzo (SiO2) e fontes de carbono 
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2.1. Agregados: 
Os agregados podem ser definidos como os “materiais granulosos e inertes que entram na 
composição das argamassas e concretos”. São classificados quanto à origem em naturais 
(encontrados na natureza: areias de rios e pedregulhos) e artificiais (passam por processo para 
obter as características finais: britas originárias da trituração de rochas). 
• Brita 0 - 4,8 a 9,5 mm; 
• Brita 1 – 9,5 a 19 mm; 
• Brita 2 – 19 a 38 mm; 
• Brita 3 – 38 a 76 mm; 
• Pedra-de-mão - > 76 mm. 
Por que não devemos usar areia da praia no concreto? O problema de sua utilização está 
na composição. A areia de praia é composta por grãos extremamentes finos e por sais e 
partículas de decomposição marinha (ostras, conchas etc.). Os sais diminuem a 
durabilidade do concreto, pois aumentam a corrosão do aço e sua granulometria exige 
uma adição maior de água e cimento. Portanto, mesmo que lavássemos essa areia 
retirando os sais, ainda inviabilizaria pelo aumento de cimento. 
 
2.2. Água: 
A água é necessária no concreto para possibilitar as reações químicas do cimento, chamada 
reações de hidratação, que irão garantir as propriedades de resistência e durabilidade do 
concreto. Tem também a função de lubrificar as demais partículas para proporcionar o manuseio 
do concreto. Normalmente a água potável é a indicada para a confecção dos concretos. 
 
2.3. Armadura: 
Aço é uma liga metálica formada essencialmente por ferro e carbono, com percentagens deste 
último variando entre 0,008 e 2,11%. Distingue-se do ferro fundido, que também é uma liga de ferro 
e carbono, mas com teor de carbono entre 2,11% e 6,67%. 
A diferença fundamental entre ambos é que o aço, pela sua ductibilidade, é facilmente deformável 
por forja, laminação e extrusão, enquanto que uma peça em ferro fundido é fabricada pelo processo 
de fundição. 
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A armadura é a denominação dada a montagem do aço para compor a peça dimensionada que será 
formada por concreto armado. 
 
1.3. Conceito do Concreto Armado: 
O concreto é um material que apresenta alta resistência às tensões de compressão, porém, 
apresenta baixa resistência à tração (cerca de 9% da sua resistência à compressão). Assim sendo, é 
imperiosa a necessidade de juntar ao concreto um material com alta resistência à tração, com o 
objetivo deste material, disposto convenientemente, resistir às tensões de tração atuantes. Com 
esse material composto (concreto e armadura – barras de aço), surge então o chamado “concreto 
armado”, onde as barras da armadura absorvem as tensões de tração e o concreto absorve as 
tensões de compressão, no que pode ser auxiliado também por barras de aço (pilar). 
No entanto, o conceito de concreto armado envolve ainda o fenômeno da aderência, que é essencial 
e deve obrigatoriamente existir entre o concreto e a armadura, pois não basta apenas juntar os dois 
materiais para se ter o concreto armado. Para a existência do concreto armado é imprescindível que 
haja real solidariedade entre ambos o concreto e o aço, e que o trabalho seja realizado de forma 
conjunta. 
Em resumo, pode-se definir o concreto armado como “a união do concreto simples e de um material 
resistente à tração (envolvido pelo concreto) de tal modo que ambos resistam solidariamente aos 
esforços solicitantes”. De forma esquemática pode-se indicar que concreto armado é: 
 
Concreto armado = concreto simples + armadura + aderência 
 
Com a aderência, a deformação εs num ponto da barra de aço e a deformação εc no concreto que a 
circunda, devem ser iguais, isto é: εc = εs. 
 
 
 
2. Fissuração no concreto armado: 
A fissuração nos elementos estruturais de concreto armado é causado pela baixa resistência à tração 
do concreto. Apesar de indesejável, o fenômeno da fissuração é natural (dentro de certos limites) no 
concreto armado. O controle da fissuração é importante para a segurança estrutural em serviço, 
εs = épsilon 
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condições de funcionalidade e estética (aparência), desempenho (durabilidade, impermeabilidade, 
etc.). 
Eliminar completamente as fissuras seria antieconômico, pois teria-se que aplicar tensões de tração 
muito baixas na peça e na armadura. Isso leva a que o concreto armado deve conviver com as 
fissuras, que não serão eliminadas e sim diminuídas a valores de abertura aceitáveis (geralmente até 
0,3 mm) 
No concreto armado, a armadura submetida a tensões de tração alonga-se, até o limite máximo de 
10 %o (1 % = 10%o = 10 mm/m), imposto pela NBR 6118/2003 a fim de evitar fissuração excessiva no 
concreto. 
Pode-se imaginar um tirante com 1 m de comprimento tendo dez fissuras com abertura de 1 mm, 
distribuídas ao longo do seu comprimento. 
 
 
 
 
PROPRIEDADES DO CONCRETO E DO AÇO: 
A NBR 6118/2003 (item 8.2.1) impõe que “as estruturas de concreto armado devem ser projetadas e 
construídas com concreto classe C20 ou superior. A classe C15 pode ser usada apenas em fundações, 
conforme a NBR 6122, e em obras provisórias.” C15 e C20 indicam concretos de resistência 
característica à compressão (fck) de 15 e 20 Mpa, respectivamente. 
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Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 51. MASSA ESPECÍFICA: 
A massa específica dos concretos simples gira em torno de 2.400 kg/m³. A NBR 6118/2003 se aplica a 
concretos com massa específica entre 2.000 kg/m³ e 2.800 kg/m³. Não sendo conhecida a massa 
específica real, pode-se adotar o valor de 2.400 kg/³ para o concreto simples e 2.500 kg/m³ para o 
concreto armado. Em situações diferentes das correntes deve-se estudar parâmetros mais consistentes 
para a massa específica do concreto armado. 
Considerando para as estruturas comuns uma taxa média de armadura de 100 kg de aço para cada 
metro cúbico de concreto, a massa específica do concreto armado resulta 2.500 kg/m³. 
 
2. PROPRIEDADES MECÂNICAS 
As principais propriedades mecânicas do concreto são: resistência à compressão, resistência à tração e 
módulo de elasticidade. Essas propriedades são determinadas a partir de ensaios, executados em 
condições específicas. 
Geralmente, os ensaios são realizados para controle da qualidade e atendimento às especificações. 
2.2.1 Resistência à compressão 
A resistência à compressão simples, denominada fc, é a característica mecânica mais importante. Para 
estimá-la em um lote de concreto, são moldados e preparados corpos-de-prova para ensaio segundo a 
NBR 5738 – Moldagem e cura de corpos-de-prova cilíndricos ou prismáticos de concreto, os quais são 
ensaiados segundo a NBR 5739 – Concreto – Ensaio de compressão de corpos-de-prova cilíndricos. 
O corpo-de-prova padrão brasileiro é o cilíndrico, com 15 cm de diâmetro e 30 cm de altura, e a idade 
de referência para o ensaio é 28 dias. Após ensaio de um número muito grande de corpos-de-prova, 
pode ser feito um gráfico com os valores obtidos de fc versus a quantidade de corpos-de-prova relativos 
a determinado valor de fc, também denominada densidade de freqüência. A curva encontrada 
denomina se Curva Estatística de Gauss ou Curva de Distribuição Normal para a resistência do concreto 
à compressão (Figura 2.1). 
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Figura 2.1 – Curva de Gauss para a resistência do concreto à compressão 
 
Na curva de Gauss encontram-se dois valores de fundamental importância: resistência média do 
concreto à compressão, fcm, e resistência característica do concreto à compressão, fck. O valor fcm é a 
média aritmética dos valores de fc para o conjunto de corpos-de-prova ensaiados, e é utilizado na 
determinação da resistência característica, fck, por meio da fórmula: 
fck = fcm −1,65s. 
O desvio-padrão s corresponde à distância entre a abscissa de fcm e a do ponto de inflexão da curva 
(ponto em que ela muda de concavidade). O valor 1,65 corresponde ao quantil de 5%, ou seja, apenas 
5% dos corpos-de-prova possuem fc < fck, ou, ainda, 95% dos corpos-de-prova possuem fc ≥ fck. 
Portanto, pode-se definir fck como sendo o valor da resistência que tem 5% de probabilidade de não ser 
alcançado, em ensaios de corpos-de-prova de um determinado lote de concreto. Como será visto 
posteriormente, a NBR 8953 define as classes de resistência em função de fck. Concreto classe C30, por 
exemplo, corresponde a um concreto com fck = 30MPa. 
Nas obras, devido ao pequeno número de corpos-de-prova ensaiados, calcula se fck, est, valor estimado 
da resistência característica do concreto à compressão. 
2.2.2 Resistência à tração 
Os conceitos relativos à resistência do concreto à tração direta, fct, são análogos aos expostos no item 
anterior, para a resistência à compressão. Portanto, tem-se a resistência média do concreto à tração, 
fctm, valor obtido da média aritmética dos resultados, e a resistência característica do concreto à tração, 
fctk ou simplesmente ftk, valor da resistência que tem 5% de probabilidade de não ser alcançado pelos 
resultados de um lote de concreto. 
A diferença no estudo da tração encontra-se nos tipos de ensaio. Há três normalizados: tração direta, 
compressão diametral e tração na flexão. 
 
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a) Ensaio de tração direta 
Neste ensaio, considerado o de referência, a resistência à tração direta, fct, é determinada aplicando-se 
tração axial, até a ruptura, em corpos-de-prova de concreto simples (Figura 2.2). A seção central é 
retangular, medindo 9 cm por 15 cm, e as extremidades são quadradas, com 15 cm de lado. 
 
 
Figura 2.2 – Ensaio de tração direta 
 
b) Ensaio de tração na compressão diametral (spliting test) 
É o ensaio mais utilizado. Também é conhecido internacionalmente como Ensaio Brasileiro. Foi 
desenvolvido por Lobo Carneiro, em 1943. Para a sua realização, um corpo-de-prova cilíndrico de 15 cm 
por 30 cm é colocado com o eixo horizontal entre os pratos da prensa (Figura 2.3), sendo aplicada uma 
força até a sua ruptura por tração indireta (ruptura por fendilhamento). 
 
Figura 2.3 – Ensaio de tração por compressão diametral 
 
O valor da resistência à tração por compressão diametral, fct, sp, encontrado neste ensaio, é um pouco 
maior que o obtido no ensaio de tração direta. O ensaio de compressão diametral é simples de ser 
executado e fornece resultados mais uniformes do que os da tração direta. 
 
 
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c) Ensaio de tração na flexão 
Para a realização deste ensaio, um corpo-de-prova de seção prismática é submetido à flexão, com 
carregamentos em duas seções simétricas, até à ruptura (Figura 2.4). O ensaio também é conhecido por 
“carregamento nos terços”, pelo fato das seções carregadas se encontrarem nos terços do vão. 
Analisando os diagramas de esforços solicitantes (Figura 2.5) pode-se notar que na região de momento 
máximo tem-se cortante nula. Portanto, nesse trecho central ocorre flexão pura. 
Os valores encontrados para a resistência à tração na flexão, fct,f, são maiores que os encontrados nos 
ensaios descritos anteriormente. 
 
Figura 2.4 – Ensaio de tração na flexão 
 
 
Figura 2.5 – Diagramas de esforços solicitantes (ensaio de tração na flexão) 
 
 
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d) Relações entre os resultados dos ensaios 
Como os resultados obtidos nos dois últimos ensaios são diferentes dos relativos ao ensaio de 
referência, de tração direta, há coeficientes de conversão. Considera-se a resistência à tração direta, fct, 
igual a 0,9 fct,sp ou 0,7 fct,f, ou seja, coeficientes de conversão 0,9 e 0,7, para os resultados de 
compressão diametral e de flexão, respectivamente. 
Na falta de ensaios, as resistências à tração direta podem ser obtidas a partir da resistência à 
compressão fck: 
 fctm = 0,3 fck
2/3 
 fctk,inf = 0,7 fctm 
 fctk,sup = 1,3 fctm 
Nessas equações, as resistências são expressas em MPa. Será visto oportunamente que cada um desses 
valores é utilizado em situações específicas. 
2.2.3 Módulo de elasticidade 
Outro aspecto fundamental no projeto de estruturas de concreto consiste na relação entre as tensões e 
as deformações. 
Sabe-se da Resistência dos Materiais que a relação entre tensão e deformação, para determinados 
intervalos, pode ser considerada linear (Lei de Hooke), ou seja, σ = E*ε, sendo σ a tensão, ε a 
deformação específica e E ou Módulo de Elasticidade ou Módulo de Deformação Longitudinal (Figura 
2.6). 
 
Figura 2.6 - Módulo de elasticidade ou de deformação longitudinal 
 
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Para o concreto a expressão do Módulo de Elasticidade é aplicada somente à parte retilínea da curva 
tensão-deformação ou, quando não existir uma parte retilínea, a expressão é aplicada à tangente da 
curva na origem. Neste caso, tem-se o Módulo de Deformação Tangente Inicial, Eci (Figura 2.7). 
 
Figura 2.7 - Módulo de deformação tangente inicial (Eci) 
 
O módulo de deformação tangente inicial é obtido segundo ensaio descrito na NBR 8522 – Concreto – 
Determinação do módulo de deformação estática e diagrama tensão-deformação. 
Quando não forem feitos ensaios e não existirem dados mais precisossobre o concreto, para a idade de 
referência de 28 dias, pode-se estimar o valor do módulo de elasticidade inicial usando a expressão: 
Eci = 5600 fck
1/2 
Eci e fck são dados em MPa. 
O Módulo de Elasticidade Secante, Ecs, a ser utilizado nas análises elásticas do projeto, especialmente 
para determinação de esforços solicitantes e verificação de limites de serviço, deve ser calculado pela 
expressão: 
Ecs = 0,85 Eci 
Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou de uma seção transversal, pode ser 
adotado um módulo de elasticidade único, à tração e à compressão, igual ao módulo de elasticidade 
secante (Ecs). 
 
 
 
 
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2.2.4 Coeficiente de Poisson 
Quando uma força uniaxial é aplicada sobre uma peça de concreto, resulta uma deformação 
longitudinal na direção da carga e, simultaneamente, uma deformação transversal com sinal contrário 
(Figura 2.8). 
 
Figura 2.8 – Deformações longitudinais e transversais 
 
A relação entre a deformação transversal e a longitudinal é denominada coeficiente de Poisson e 
indicada pela letra ν. Para tensões de compressão menores que 0,5 fc e de tração menores que fct, pode 
ser adotado ν = 0,2. 
 
2.2.5 Módulo de elasticidade transversal 
O módulo de elasticidade transversal pode ser considerado Gc = 0,4 Ecs. 
 
2.2.6 Estados múltiplos de tensão 
Na compressão associada a confinamento lateral, como ocorre em pilares cintados, por exemplo, a 
resistência do concreto é maior do que o valor relativo à compressão simples. O cintamento pode ser 
feito com estribos, que impedem a expansão lateral do pilar, criando um estado múltiplo de tensões. O 
cintamento também aumenta a dutilidade do elemento estrutural. 
Na região dos apoios das vigas, pode ocorrer fissuração por causa da força cortante. Essas fissuras, com 
inclinação aproximada de 45°, delimitam as chamadas bielas de compressão. Portanto, as bielas são 
regiões comprimidas com tensões de tração na direção perpendicular, caracterizando um estado biaxial 
de tensões. 
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Nesse caso tem-se uma resistência à compressão menor que a da compressão simples. 
Portanto, a resistência do concreto depende do estado de tensão a que ele se encontra submetido. 
 
2.3 ESTRUTURA INTERNA DO CONCRETO 
Na preparação do concreto, com as mistura dos agregados graúdos e miúdos com cimento e água, tem 
início a reação química do cimento com a água, resultando gel de cimento, que constitui a massa 
coesiva de cimento hidratado. 
A reação química de hidratação do cimento ocorre com redução de volume, dando origem a poros, cujo 
volume é da ordem de 28% do volume total do gel. 
Durante o amassamento do concreto, o gel envolve os agregados e endurece com o tempo, formando 
cristais. Ao endurecer, o gel liga os agregados, resultando um material resistente e monolítico – o 
concreto. 
A estrutura interna do concreto resulta bastante heterogênea: adquire forma de retículos espaciais de 
gel endurecido, de grãos de agregados graúdo e miúdo de várias formas e dimensões, envoltos por 
grande quantidade de poros e capilares, portadores de água que não entrou na reação química e, ainda, 
vapor d’água e ar. 
Fisicamente, o concreto representa um material capilar pouco poroso, sem continuidade da massa, no 
qual se acham presentes os três estados da agregação 
– sólido, líquido e gasoso. 
 
2.4 DEFORMAÇÕES 
As deformações do concreto dependem essencialmente de sua estrutura interna. 
2.4.1 Retração 
Denomina-se retração à redução de volume que ocorre no concreto, mesmo na ausência de tensões 
mecânicas e de variações de temperatura. 
As causas da retração são: 
• Retração química: contração da água não evaporável, durante o endurecimento do concreto. 
• Retração capilar: ocorre por evaporação parcial da água capilar e perda da água adsorvida. O tensão 
superficial e o fluxo de água nos capilares provocam retração. 
• Retração por carbonatação: Ca(OH)2 + CO2 → CaCO3 + H2O (ocorre com diminuição de volume). 
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2.4.2 Expansão 
Expansão é o aumento de volume do concreto, que ocorre em peças submersas. Nessas peças, no início 
tem-se retração química. Porém, o fluxo de água é de fora para dentro. As decorrentes tensões capilares 
anulam a retração química e, em seguida, provocam a expansão da peça. 
2.4.3 Deformação imediata 
A deformação imediata se observa por ocasião do carregamento. Corresponde ao comportamento do 
concreto como sólido verdadeiro, e é causada por uma acomodação dos cristais que formam o material. 
2.4.4 Fluência 
Fluência é uma deformação diferida, causada por uma força aplicada. Corresponde a um acréscimo de 
deformação com o tempo, se a carga permanecer. 
Ao ser aplicada uma força no concreto, ocorre deformação imediata, com uma acomodação dos cristais. 
Essa acomodação diminui o diâmetro dos capilares e aumenta a pressão na água capilar, favorecendo o 
fluxo em direção à superfície. 
Tanto a diminuição do diâmetro dos capilares quanto o acréscimo do fluxo aumentam a tensão 
superficial nos capilares, provocando a fluência. 
No caso de muitas estruturas reais, a fluência e a retração ocorrem ao mesmo tempo e, do ponto de 
vista prático, é conveniente o tratamento conjunto das duas deformações. 
2.4.5 Deformações térmicas 
Define-se coeficiente de variação térmica αte como sendo a deformação correspondente a uma variação 
de temperatura de 1°C. Para o concreto armado, para variações normais de temperatura, a NBR 6118 
permite adotar αte = 10
-5 /°C. 
 
2.5 FATORES QUE INFLUEM 
Os principais fatores que influem nas propriedades do concreto são: 
• Tipo e quantidade de cimento; 
• Qualidade da água e relação água-cimento; 
• Tipos de agregados, granulometria e relação agregado-cimento; 
• Presença de aditivos e adições; 
• Procedimento e duração da mistura; 
• Condições e duração de transporte e de lançamento; 
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• Condições de adensamento e de cura; 
• Forma e dimensões dos corpos-de-prova; 
• Tipo e duração do carregamento; 
• Idade do concreto; umidade; temperatura etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. ADERÊNCIA E ANCORAGEM 
Aderência (bond, em inglês) é a propriedade que impede que haja escorregamento de uma barra em 
relação ao concreto que a envolve. É, portanto, responsável pela solidariedade entre o aço e o concreto, 
fazendo com que esses dois materiais trabalhem em conjunto. 
A transferência de esforços entre aço e concreto e a compatibilidade de deformações entre eles são 
fundamentais para a existência do concreto armado. Isto só é possível por causa da aderência. 
Ancoragem é a fixação da barra no concreto, para que ela possa ser interrompida. Na ancoragem por 
aderência, deve ser previsto um comprimento suficiente para que o esforço da barra (de tração ou de 
compressão) seja transferido para o concreto. Ele é denominado comprimento de ancoragem. 
Além disso, em peças nas quais, por disposições construtivas ou pelo seu comprimento, necessita-se 
fazer emendas nas barras, também se deve garantir um comprimento suficiente para que os esforços 
sejam transferidos de uma barra para outra, na região da emenda. Isto também é possível graças à 
aderência entre o aço e o concreto. 
 
3.1 TIPOS DE ADERÊNCIA 
Esquematicamente, a aderência pode ser decomposta em três parcelas: adesão, atrito e aderência 
mecânica. Essas parcelas decorrem de diferentes fenômenos que intervêm na ligação dos dois 
materiais. 
 
3.1.1 Aderência por Adesão 
A aderência por adesão caracteriza-se por uma resistência à separação dos dois materiais. Ocorre em 
função de ligações físico-químicas, na interface das barras com a pasta, geradas durante as reações de 
pega do cimento. Parapequenos deslocamentos relativos entre a barra e a massa de concreto que a 
envolve, essa ligação é destruída. A Figura 3.1 mostra um cubo de concreto moldado sobre uma placa 
de aço. A ligação entre os dois materiais se dá por adesão. Para separá-los, há necessidade de se aplicar 
uma ação representada pela força Fb1. Se a força fosse aplicada na horizontal, não se conseguiria 
dissociar a adesão do comportamento relativo ao atrito. No entanto, a adesão existe independente da 
direção da força aplicada. 
 
Figura 3.1 – Aderência por adesão 
 
 
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3.1.2 Aderência por Atrito 
Por meio do arrancamento de uma barra em um bloco concreto (Figura 3.2), verifica-se que a força de 
arrancamento Fb2 é maior do que a força Fb1 mobilizada pela adesão. Esse acréscimo é devido ao atrito 
entre a barra e o concreto. 
 
Figura 3.2 – Aderência por atrito 
 
O atrito manifesta-se quando há tendência ao deslocamento relativo entre os materiais. Depende da 
rugosidade superficial da barra e da pressão transversal σ, exercida pelo concreto sobre a barra, em 
virtude da retração (Figura 3.2). Em barras curvas ou em regiões de apoio de vigas em pilares, aparecem 
acréscimos dessas pressões de contato, que favorecem a aderência por atrito. 
O coeficiente de atrito entre aço e concreto é alto, em função da rugosidade da superfície das barras, 
resultando valores entre 0,3 e 0,6 (LEONHARDT, 1977). 
Na Figura 3.2, a oposição à ação Fb2 é constituída pela resultante das tensões de aderência (τb) 
distribuídas ao longo da barra. 
 
3.1.3 Aderência Mecânica 
A aderência mecânica é devida à conformação superficial das barras. Nas barras de alta aderência 
(Figura 3.3), as saliências mobilizam forças localizadas, aumentando significativamente a aderência. 
 
Figura 3.3 – Aderência mecânica em barras nervuradas 
 
A Figura 3.4 (LEONHARDT, 1977) mostra que mesmo uma barra lisa pode apresentar aderência 
mecânica, em função da rugosidade superficial, devida à corrosão e ao processo de fabricação, gerando 
um denteamento da superfície. Para efeito de comparação, são apresentadas superfícies microscópicas 
de: barra de aço enferrujado, barra recém laminada e fio de aço obtido por laminação a quente e 
posterior encruamento a frio por estiramento. Nota-se que essas superfícies estão muito longe de 
serem efetivamente lisas. 
Portanto, a separação da aderência nas três parcelas - adesão, atrito e aderência mecânica - é apenas 
esquemática, pois não é possível quantificar isoladamente cada uma delas. 
 
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Barra enferrujada 
Barra recém laminada 
Fio estirado 
 
Figura 3.4 - Rugosidade superficial de barras e fios lisos (LEONHARDT, 1977) 
 
3.2. TENSÃO DE ADERÊNCIA 
Para uma barra de aço imersa em uma peça de concreto, como a indicada na figura 3.5, a tensão média 
de aderência é dada por: 
 
Figura 3.5 – Tensão de aderência 
�� = ��� ∙ � ∙ 	� 
 
Rs é a força atuante na barra; 
φ é o diâmetro da barra; 
lb é o comprimento de ancoragem. 
 
A tensão de aderência depende de diversos fatores, entre os quais: 
• Rugosidade da barra; 
• Posição da barra durante a concretagem; 
• Diâmetro da barra; 
• Resistência do concreto; 
• Retração; 
• Adensamento; 
• Porosidade do concreto etc. 
Alguns desses aspectos serão considerados na seqüência deste texto. 
 CONCRETO 1 
 
Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 18 
 
 
3.3. SITUAÇÕES DE ADERÊNCIA 
Na concretagem de uma peça, tanto no lançamento como no adensamento, o envolvimento da barra 
pelo concreto é influenciado pela inclinação dessa barra. Sua inclinação interfere, portanto, nas 
condições de aderência. 
Por causa disso, a NBR 6118 (2003) considera em boa situação quanto à aderência os trechos das barras 
que estejam com inclinação maior que 45º em relação à horizontal (figura 3.6 a). 
 
 
FIGURA 3.6 – Situações de boa e de má aderência (PROMON, 1976) 
 
As condições de aderência são influenciadas por mais dois aspectos: 
• Altura da camada de concreto sobre a barra, cujo peso favorece o adensamento, melhorando as 
condições de aderência; 
• Nível da barra em relação ao fundo da forma; a exsudação produz porosidade no concreto, que é mais 
intensa nas camadas mais altas, prejudicando a aderência. 
Essas duas condições fazem com que a NBR 6118 (2003) considere em boa situação quanto à aderência 
os trechos das barras que estejam em posição horizontal ou com inclinação menor que 45º, desde que: 
• para elementos estruturais com h < 60 cm, localizados no máximo 30 cm acima da face inferior do 
elemento ou da junta de concretagem mais próxima (Figuras 3.6b e 3.6c); 
• para elementos estruturais com h ≥ 60 cm, localizados no mínimo 30 cm abaixo da face superior do 
elemento ou da junta de concretagem mais próxima (Figura 3.6d). 
 CONCRETO 1 
 
Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 19 
 
Em outras posições e quando do uso de formas deslizantes, os trechos das barras devem ser 
considerados em má situação quanto à aderência. 
No caso de lajes e vigas concretadas simultaneamente, a parte inferior da viga pode estar em uma 
região de boa aderência e a parte superior em região de má aderência. Se a laje tiver espessura menor 
do que 30 cm, estará em uma região de boa aderência. Sugere-se, então, a configuração das figuras 3.6e 
e 3.6f para determinação das zonas aderência. 
 
3.4. RESISTÊNCIA DA ADERÊNCIA DE CÁLCULO 
 
A caracterização da superfície de aderência das barras de aços destinados a armaduras para concreto 
armado é feita pelo coeficiente de conformação superficial ƞ(eta), através de ensaio estabelecido pela 
NBR 7477. Os valores mínimos para este coeficiente, apresentados na NBR 7480 são estabelecidos em 
função da categoria do aço. Para a NBR 6118, a conformação superficial é medida pelo coeficiente ƞ1. Os 
valores para este coeficiente são estabelecidos em função do tipo de superfície lateral das barras. As 
relações entre os coeficiente ƞ e ƞ1, apresentadas pela NBR 6118, item 8.3.2, são mostradas na Tabela 
3.1. 
Superfície ƞ1 ƞ 
Lisa (CA-25) 1,00 ≥ 1,0 
Entalhada (CA-60) 1,40 ≥ 1,5 
Nervurada (CA-50) 2,25 ≥ 1,5 
Tabela 3.1 – Relação entre ƞ e ƞ1 
A NBR 6118, item 9.3.2.1, estabelece que a resistência de aderência de cálculo entre armadura e 
concreto na ancoragem de armaduras passivas deve ser obtida pela seguinte expressão: 
 
�� = ƞ
 ∙ ƞ� ∙ ƞ� ∙ f��� Eq. 3.1 
 
Sendo: 
��� = 
���,����� 
 1,00 (barras lisas) 
Ƞ1 = 1,40 (barras entalhadas) 
 2,25 (barras nervuradas ou alta aderência) 
 
Ƞ2 = 1,00 (situação de boa aderência) 
 0,70 (situação de má aderência) 
 
Ƞ3 = 1,00 (ø ≤ 32 mm) 
 0, 92 (ø = 40 mm) 
 CONCRETO 1 
 
Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 20 
 
Na falta de ensaios para a determinação mais precisa do valor da resistência à tração do concreto, é 
permitido pela NBR 6118, item 8.2.5, o uso das seguintes expressões: 
 
��,� = 0,3 ∙ �
��� 
 
���,� = 0,7 ∙ 
��,� (valores em MPa) Eq. 3.2 
 
���,�"# = 1,3 ∙ 
��,� 
 
Sendo fckj ≥ 7 MPa, as expressões da Equação 3.2 podem também ser usadas para idades diferentes de 
28 dias. 
Combinando a Equação 3.1 e a Equação 3.2, tem-se: 
 
���,� = 0,7 ∙ 
��,� = 0,7 ∙ %0,3 ∙ �
��� & = 0,21 ∙ �
��� 
 
��� = 
���,����� =
0,21 ∙ (
��� �� 
 
�� = ƞ
 ∙ ƞ� ∙ ƞ� ∙ f��� = ƞ
 ∙ ƞ� ∙ ƞ� ∙ )0,21 ∙ (
���
 
�� * 
 
�� = +,,�
∙ƞ-∙ƞ.∙ƞ /0 1 ∙ (
��� (fck em MPa) Eq. 3.3 
 
 1,40 (combinações normais) 
Os valores de γc = 1,20 (combinações especiais ou de construção) 
 1,20 (combinações excepcionais) 
 
 
 
 
 
 CONCRETO 1 
 
Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 21 
 
Os valores de fdb para situações de boa aderência e barras com diâmetro igual ou menor a 32 mm estão 
mostrados na Tabela 3.2. 
fdb 
ø ≤ 32 mm (boa aderência) γc = 1,4 
concreto 
barras 
lisas entalhadas nervuradas 
C20 1,11 MPa 1,55 MPa 2,49 MPa 
C25 1,28 MPa 1,80 MPa 2,89 MPa 
C30 1,45 MPa 2,03 MPa3,26 MPa 
C35 1,60 MPa 2,25 MPa 3,61 MPa 
C40 1,75 MPa 2,46 MPa 3,95 MPa 
C45 1,90 MPa 2,66 MPa 4,27 MPa 
C50 2,04 MPa 2,85 MPa 4,58 MPa 
Tabela 3.2 – Valores de fbd 
 
 
3.5. COMPRIMENTO DE ANCORAGEM – VALORES DE CÁLCULO 
 
Os valores de cálculo para comprimento de ancoragem de barras , a serem usados em projetos de 
estruturas de concreto armado, são obtidos da Equação 3.3 substituindo τb,inf por fbd, de tal forma que: 
 
	�,�2� = ∅4 ∙ 56�78 Eq. 3.4 
 
No caso particular em que a tensão normal σs corresponde ao valor limite de cálculo fyd, tem-se: 
 
	� = ∅4 ∙ �98�78 Eq. 3.5 
 
A NBR 6118, item 9.4.2.4, define o valor de lb da Equação 3.5 como sendo o comprimento de ancoragem 
básico, necessário para ancorar a força limite As fyd, atuante na barra, admitindo, ao longo desse 
comprimento, resistência de aderência uniforme e igual a fbd. 
 CONCRETO 1 
 
Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 22 
 
Deve ser observado que o valor do comprimento de ancoragem necessário (lb,Nec da Equação 3.4) será 
sempre menor ou igual ao comprimento de ancoragem básico (lb da Equação 3.5) pois σs ≤ fyd. 
De acordo com a NBR 6118, item 9.4.2.4 – Comprimento de ancoragem básico. 
“Define-se comprimento de ancoragem básico como o comprimento reto de uma barra de armadura 
passiva necessário para ancorar a força limite As fyd nessa barra, admitindo, ao longo desse 
comprimento, resistência de aderência uniforme e igual a fbd, conforme item 9.3.2.1.” 
O comprimento de ancoragem básico é dado por: 
 
	�,�2� = ∅4 ∙ ;�
�� 
 
9.4.2.5 – Comprimento de ancoragem necessário. 
O comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado por: 
 
	�,�2� = < ∙ 	� ∙ =�,�>?=�,2� ≥ 	�,��� 
Sendo: 
α = 1,0 para barras sem gancho; 
α = 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal ao longo do gancho ≥ 3ø; 
α = 0,7 quando houver barras transversais soldadas conforme 9.4.2.2; 
α = 0,5 quando houver barras transversais soldadas conforme 9.4.2.2 e gancho, com cobrimento no 
plano normal ao do gancho ≥ 3ø; 
lb = calculado conforme 9.4.2.4; 
lb,min = o maior valor entre 0,3.lb, 10ø e 100 mm. 
 
Permite-se, em casos especiais, considerar outros fatores redutores do comprimento de ancoragem 
necessário. 
Deve ser observado que a apresentação do comprimento de ancoragem necessário apresentado pelo 
item 9.4.2.5 da NBR 6118, aparentemente, difere do estabelecido pela Equação 3.4. No entanto, os dois 
modos de apresentação são equivalentes, como demonstrado a seguir. 
A Equação 3.4 decorre da Figura 3.5 onde é mostrado que: 
 
;� = A�=� =
A�=�,2� 
 
Onde As representa a área transversal efetiva (As,ef) da barra tracionada pela força Fs. 
Desta forma, a Equação 3.4 pode ser escrita 
 
	�,�2� = ∅4 ∙ ;�
�� =
∅4 ∙ 1
�� ∙
A�=�,2� 
 
 CONCRETO 1 
 
Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 23 
 
Como uma força pode ser sempre representada pelo produto de uma área por uma tensão, para a força 
Fs vale: 
 A� = =�,�>? ∙ 
B� 
 
Onde As, cal representa a área a ser calculada (As, cal ≤ As, ef), para que a tensão σs atuante na bara 
tracionada pela força Fs resulte igual a fyd. Desta forma, tem-se: 
 
	�,�2� = ∅4 ∙ 1
�� ∙
A�=�,2� =
∅4 ∙ 1
�� ∙
=�,�>? ∙ 
B�=�,2� 
Ou ainda: 
	�,�2� = ∅4 ∙ �98�78 ∙ C6,0DEC6,FG = 	� ∙ C6,0DEC6,FG Eq. 3.6 
A Equação 3.6 é, portanto, a mesma apresentada pela NBR 6118, item 9.4.2.5, a menos do fator α. 
Desta forma, o valor de lb, Nec pode ser calculado por: 
	�,�2� = < ∙ 	� ∙ =�,�>?=�,2� ≥ H
0,3 ∙ 	�10∅10IJ
K 
 
A combinação da Equação 3.4 com a Equação 3.6, resulta em: 
	�,�2� = ∅4 ∙ ;�
�� =
∅4 ∙ 
B�
�� ∙
=�,�>?=�,2� 
De tal forma que, a tenso atuante na barra tracionada fica definida por: 
;� = C6,0DEC6,FG ∙ 
B� Eq. 3.7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CONCRETO 1 
 
Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 24 
 
Os valores de lb para CA-50, situações de boa aderência e barras com diâmetro igual ou menor de 32 
mm estão mostrados na Tabela 3.3. 
lb 
γc = 1,4 ø ≤ 32 mm 
CA-50 
γs = 1,15 (boa aderência) 
concreto 
Barras 
lisas entalhadas nervuradas 
C20 98ø 70ø 44ø 
C25 85ø 61ø 38ø 
C30 75ø 54ø 33ø 
C35 68ø 48ø 30ø 
C40 62ø 44ø 28ø 
C45 57ø 41ø 25ø 
C50 53ø 38ø 24ø 
Tabela 3.3 – Comprimento de ancoragem básico – CA-50 
(obs.: para situação de má aderência, dividir os valores da tabela por 0,7) 
 
4. DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÕES 
 
Os domínios são representações das deformações que ocorrem na seção transversal dos elementos 
estruturais. As deformações são de alongamento e de encurtamento, oriundas de tensões de tração e 
compressão, respectivamente. 
Segundo a NBR 6118/03 (item 17.2.2), o estado limite último (ELU) de elementos lineares sujeitos a 
solicitações normais é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal 
pertencer a um dos domínios definidos na Figura 4.1. 
 
 CONCRETO 1 
 
Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 25 
 
 
Figura 4.1 – Diagrama possíveis dos domínios de deformações 
 
O estado limite último pode ocorrer por deformação plástica excessiva da armadura (reta a e domínios 1 
e 2) ou por encurtamento excessivo do concreto (domínios 3, 4, 4a, 5 e reta b). 
O desenho mostrado na Figura 88 representa vários diagramas de deformação de casos de solicitação 
diferentes, com as deformações limites de 3,5 ‰ para o máximo encurtamento do concreto 
comprimido e 10 ‰ para o máximo alongamento na armadura tracionada. Os valores de 3,5 ‰ e 10 ‰ 
são valores últimos, de onde se diz que todos os diagramas de deformação correspondem a estados 
limites últimos. As linhas inclinadas dos diagramas de deformações são retas, pois se admite a hipótese 
básica das seções transversais permanecerem planas até a ruptura. 
A capacidade resistente da peça é admitida esgotada quando se atinge o alongamento máximo 
convencional de 10 ‰ na armadura tracionada ou mais tracionada, ou, de outro modo, correspondente 
a uma fissura com abertura de 1 mm para cada 10 cm de comprimento da peça. 
Os diagramas valem para todos os elementos estruturais que estiverem sob solicitações normais, como 
a tração e a compressão uniformes e as flexões simples e compostas. Solicitação normal é definida 
como os esforços solicitantes que produzem tensões normais nas seções transversais das peças. Os 
esforços podem ser o momento fletor e a força normal. 
O desenho dos diagramas de domínios pode ser visto como uma peça sendo visualizada em vista ou 
elevação, constituída com duas armaduras longitudinais próximas às faces superior e inferior da peça. 
A posição da linha neutra é dada pelo valor de x, contado a partir da fibra mais comprimida ou menos 
tracionada da peça. No caso específico da Figura 88, x é contado a partir da face superior. Em função 
dos vários domínios possíveis, a linha neutra estará compreendida no intervalo entre - ∞ (lado superior 
do diagrama no desenho da Figura 88) e + ∞ (lado inferior do diagrama). Quando 0 ≤ x ≤ h, a linha 
neutra estará passando dentro da seção transversal. 
São descritas a seguir as características da cada um dos oito diferentes domínios de deformações. 
 
 
4.1. RETA A 
O caso de solicitação da reta a é a tração uniforme (também chamada tração simples ou tração axial), 
com a força normal de tração aplicada no centro de gravidade da seção transversal 
 CONCRETO 1 
 
Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 26 
 
(Figura 4.2). A linha neutra encontra-se no - ∞, e todos os pontos da seção transversal, inclusive as 
armaduras estão com deformação de alongamento igual à máxima de 10 ‰. As duas armaduras, 
portanto, estão com a mesma tensão de tração, a de início de escoamento do aço, fyd (ver diagrama σ x 
ε dos aços na Figura 4.3). Como exemplo, existem os elementos lineares chamados tirantes. 
 
 
Figura 4.2 – Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras passivas 
Com ou sem patamar de escoamento 
 
 
Figura 4.3 – Tração uniforme na reta a 
 
 
 
4.2. DOMÍNIO 1 
O domínio 1 ocorre quando a força normal de tração não é aplicada no centro de gravidade da seção 
transversal,isto é, existe uma excentricidade da força normal em relação ao centro de gravidade. Neste 
domínio, ocorre a tração não uniforme, e a seção ainda está inteiramente tracionada, embora com 
deformações diferentes (Figura 4.4). Também se diz que a solicitação é de tração excêntrica com 
pequena excentricidade, ou flexo-tração. 
 
 CONCRETO 1 
 
Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 27 
 
 
Figura 4.4 – Tração não uniforme no domínio 1: a) linha neutra com valor – x; 
b) linha neutra com x = 0 
 
A deformação de alongamento na armadura mais tracionada é fixa e vale 10 ‰. A linha neutra é externa 
à seção transversal, podendo estar no intervalo entre – ∞ (reta a) e zero (limite entre os domínios 1 e 
2), com x tendo um valor negativo. A capacidade resistente da seção é proporcionada apenas pelas 
armaduras tracionadas, pois o concreto encontra-se inteiramente fissurado. 
Como exemplo de elemento estruturais no domínio 1 há o tirante. 
 
 
4.3. DOMÍNIO 2 
No domínio 2 ocorrem os casos de solicitação de flexão simples, tração excêntrica com grande 
excentricidade e compressão excêntrica com grande excentricidade. A seção transversal tem parte 
tracionada e parte comprimida (Figura 4.5). O domínio 2 é caracterizado pela deformação de 
alongamento fixada em 10 ‰ na armadura tracionada. Em função da posição da linha neutra, que pode 
variar de zero a x2lim (0 ≤ x ≤ x2lim), a deformação de encurtamento na borda mais comprimida varia de 
zero até 3,5 ‰. Quando a linha neutra passar por x2lim, ou seja, x= x2lim, as deformações na armadura 
tracionada e no concreto da borda comprimida serão os valores últimos, 10 ‰ e 3,5 ‰, 
respectivamente. 
No domínio 2 diz-se que a armadura tracionada (As2) é aproveitada ao máximo, com εsd = 10 ‰, mas o 
concreto comprimido não, com εcd ≤ 3,5 ‰. 
O domínio 2 é subdividido em 2a e 2b em função da deformação máxima de encurtamento no concreto 
comprimido. No domínio 2a considera-se a deformação variando de zero a 2 ‰ e no domínio 2b de 2 ‰ 
a 3,5 ‰. 
 
 CONCRETO 1 
 
Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 28 
 
 
Figura 4.6 – Casos de solicitação e diagrama genérico de deformações do domínio 2. 
 
 
4.4. DOMÍNIO 3 
Os casos de solicitação são os mesmos do domínio 2, ou seja, flexão simples, tração excêntrica com 
grande excentricidade e compressão excêntrica com grande excentricidade. A seção transversal tem 
parte tracionada e parte comprimida (Figura 4.7). O domínio 3 é caracterizado pela deformação de 
encurtamento máxima fixada em 3,5 ‰ no concreto da borda comprimida. A deformação de 
alongamento na armadura tracionada varia da deformação de início de escoamento do aço (εyd) até o 
valor máximo de 10 ‰, o que implica que a tensão na armadura é a máxima permitida, fyd (ver Figura 
4.2). 
 
Figura 4.7 – Casos de solicitação e diagrama genérico de deformações do domínio 3 
 
A posição da linha neutra pode variar, desde o valor x2lim até x3lim (x2lim ≤ x ≤ x3lim), que delimita os 
domínios 3 e 4. A deformação de encurtamento na armadura comprimida é menor mas próxima a 3,5 
‰, por estar próxima à borda comprimida, onde a deformação é 3,5 ‰. 
Na situação última a ruptura do concreto comprimido ocorre simultaneamente com o escoamento da 
armadura tracionada. 
 
 
4.5. DOMÍNIO 4 
Os casos de solicitação do domínio 4 são a flexão simples e a flexão composta (flexo compressão ou 
compressão excêntrica com grande excentricidade). A seção transversal tem parte tracionada e parte 
comprimida (Figura 4.8). O domínio 4 é caracterizado pela deformação de encurtamento máxima fixada 
em 3,5 ‰ no concreto da borda comprimida. A deformação de alongamento na armadura tracionada 
varia de zero até a deformação de início de escoamento do aço (εyd), o que implica que a tensão na 
 CONCRETO 1 
 
Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 29 
 
armadura é menor que a máxima permitida, fyd (ver Figura 4.2). A posição da linha neutra pode variar de 
x3lim até a altura útil d (x3lim ≤ x ≤ d). 
 
Figura 4.8 – Casos de solicitação e diagrama genérico de deformações do domínio 4. 
 
 
4.6. DOMÍNIO 4A 
No domínio 4a a solicitação é de flexão composta (flexo-compressão). A seção transversal tem uma 
pequena parte tracionada e a maior parte comprimida (Figura 4.9). O domínio 4a também é 
caracterizado pela deformação de encurtamento máxima fixada em 3,5 ‰ no concreto da borda 
comprimida. A linha neutra ainda está dentro da seção transversal, na região de cobrimento da 
armadura menos comprimida (As2), ou seja, d ≤ x ≤ h. Ambas as armaduras encontram-se comprimidas, 
embora a armadura próxima à linha neutra tenha tensões muito pequenas. 
 
Figura 4.9 – Solicitação e diagrama genérico de deformações do domínio 4a. 
 
 
4.7. DOMÍNIO 5 
No domínio 5 ocorre a compressão não uniforme ou flexo-compressão com pequena excentricidade 
(flexão composta). A linha neutra não corta a seção transversal, que está completamente comprimida, 
embora com deformações diferentes. As duas armaduras também estão comprimidas. A posição da 
linha neutra varia de h até + ∞ (Figura 4.10). O que caracteriza o domínio 5 é o ponto C a 3/7 h , como 
mostrado na Figura 88. A linha inclinada do diagrama de deformações passa sempre por este ponto no 
 CONCRETO 1 
 
Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 30 
 
domínio 5. A deformação de encurtamento na borda mais comprimida varia de 2 ‰ a 3,5 ‰ e na borda 
menos comprimida varia de 0 a 2 ‰, em função da posição x da linha neutra. Com exceção do caso da 
linha neutra x = h, a forma do diagrama de deformações será a de um trapézio. 
 
Figura 4.10 – Compressão não uniforme no domínio 5. 
 
 
4.8. RETA B 
O caso de solicitação da reta b é a compressão uniforme (também chamada compressão simples ou 
compressão axial), com a força normal de compressão aplicada no centro de gravidade da seção 
transversal (Figura 4.11). A linha neutra encontra-se no + ∞, e todos os pontos da seção transversal 
estão com deformação de encurtamento igual a 2 ‰. As duas armaduras, portanto, estão sob a mesma 
deformação e a mesma tensão de compressão. 
 
 
Figura 4.11 – Compressão uniforme na reta b. 
 
 
4.9. DETERMINAÇÃO DE x2lim E x3lim 
Tendo como base os diagramas de domínios mostrados na Figura 88, os valores limites de x2lim e x3lim 
podem ser deduzidos. Da Figura 4.12 deduz-se o valor de x2lim: 
 
 CONCRETO 1 
 
Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 31 
 
L�?��3,5 = N13,5 
 L�?�� = 0,26 ∙ N 
 
Sendo PQ = Q� tem-se: 
 PQ�?�� = 0,26 
 
 
Figura 4.12 – Diagrama de deformações para a dedução de x2lim 
 
Com procedimento análogo pode-se deduzir o valor de x3lim. Da Figura 4.13 encontra-se: 
 L�?��3,5 = N3,5 + SB� 
 
L�?�� = 3,5 ∙ N3,5 + SB� 
 
Sendo PQ = Q� tem-se: 
 
PQ�?�� = 3,5 ∙ N3,5 + SB� 
 
 CONCRETO 1 
 
Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 32 
 
 
Figura 4.13 – Diagrama de deformações para a dedução de x3lim 
 
Como se observa nas equações acima os valores de x3lim e βx3lim dependem de εyd, isto é, dependem da 
categoria do aço da armadura passiva. A Tabela 1 mostra os valores de x3lim e βx3lim em função da 
categoria do aço. 
 
AÇO TUV(‰) Z[\]^ _Z[\]^ 
CA-25 laminado a quente 1,04 0,77 d 0,77 
CA-50 laminado a quente 2,07 0,63 d 0,63 
CA-60 trefilado a fria 2,48 0,59 d 0,59 
Tabela 1 – Valores de εyd, x3lim e βx3lim em função da categoria do aço 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CONCRETO 1 
 
Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 33 
 
 
5. FLEXÃO NORMAL SIMPLES – VIGAS 
 
5.1. INTRODUÇÃO 
 
A flexão simples é definida como a flexão sem força normal. Quando a flexão ocorre acompanhada 
de força normal tem-se a flexão composta. 
Solicitações normais são aquelas cujos esforços solicitantes produzem tensões normais 
(perpendiculares) às seções transversais dos elementos estruturais. Os esforços que provocam 
tensões normais são o momento fletor (M) e a força normal (N). 
Nas estruturas de concreto armado são três os elementos estruturais mais importantes: as lajes, as 
vigas e os pilares. E dois desses elementos, as lajes e as vigas, são submetidasà flexão normal 
simples, embora possam também, eventualmente, estarem submetidas à flexão composta. 
Por isso, o dimensionamento de seções retangulares e seções T sob flexão normal simples é a 
atividade diária mais comum aos engenheiros projetistas de estruturas de concreto armado 
(SANTOS, 1983). De modo que o estudo da flexão simples é muito importante. 
O estudo da flexão normal simples tem como objetivo proporcionar ao aluno o correto 
entendimento dos mecanismos resistentes proporcionados pelo concreto sob compressão e pelo 
aço sob tração, em seções retangulares e T, visando levá-lo a bem dimensionar ou verificar a 
resistência dessas seções. 
O equacionamento para a resolução dos problemas da flexão simples é deduzido em função de duas 
equações de equilíbrio da estática, e que proporciona as aqui chamadas “equações teóricas”, que 
podem ser facilmente implementadas para uso em programas computacionais. 
Também é apresentado o equacionamento com base em coeficientes tabelados tipo K, largamente 
utilizado no Brasil. 
É importante esclarecer o aluno que no estudo desta apostila ele aprenderá a dimensionar as seções 
transversais das vigas aos momentos fletores máximos, e fazer o detalhamento das armaduras de 
flexão apenas na seção transversal correspondente. Nesta disciplina o estudo das vigas está apenas 
iniciando. O estudo completo das vigas simples ou contínuas, com dimensionamentos aos esforços 
cortantes e momentos torçores, bem como o detalhamento completo e ancoragem das armaduras, 
só será alcançado ao término da disciplina 1309- Estruturas de Concreto II. Além disso, outros 
tópicos relativos às vigas, como fissuração e flecha, serão estudados na disciplina 1365 – Estruturas 
de Concreto IV. 
 
5.2. DEFINIÇÃO DE VIGA 
São elementos lineares em que a flexão é preponderante (NBR 6118/03, item 14.4.1.1). 
Elementos lineares são aqueles em que o comprimento longitudinal supera em pelo menos três 
vezes a maior dimensão da seção transversal, sendo também denominada barras. 
 
5.3. COMPORTAMENTO RESISTENTE DE VIGAS SUBMETIDAS À FLEXÃO E À FORÇA CORTANTE 
Considere uma viga de concreto armado bi apoiada (Figura 5.1), submetida a duas forças 
concentradas P crescentes e de igual intensidade. A armadura é composta por armadura 
longitudinal, resistente às tensões de tração provenientes da flexão, e armadura transversal, 
dimensionada para resistir aos esforços cortantes, composta por estribos verticais no lado esquerdo 
da viga e estribos e barras dobradas no lado direito da viga. 
 CONCRETO 1 
 
Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 34 
 
A Figura 5.2a mostra as trajetórias das tensões principais de tração e de compressão da viga ainda 
no estádio I. Observe que no trecho de flexão pura as trajetórias das tensões de compressão e de 
tração são paralelas ao eixo longitudinal da viga. Nos demais trechos as trajetórias das tensões são 
inclinadas devido à influência dos esforços cortantes. 
Enquanto a resistência à tração do concreto é superior às tensões principais de tração, não surgem 
fissuras na viga. As primeiras fissuras de flexão só surgem na região de máximos momentos fletores, 
no instante que as tensões de tração atuantes igualam e superam a resistência do concreto à tração 
na flexão (Figura 5.2b). Para este nível de carregamento a viga apresenta trechos fissurados, no 
estádio II, e trechos não fissurados, no estádio I. Note que a direção ou inclinação das fissuras é 
aproximadamente perpendicular à direção das tensões principais de tração, ou seja, a inclinação 
das fissuras depende da inclinação das tensões principais de tração. 
Por esta razão, na região de flexão pura, as fissuras são verticais. 
A Figura 5.2c mostra os diagramas de deformações e de tensões nas seções a e b da viga, nos 
estádios I e II, respectivamente. No estádio I a máxima tensão de compressão (σc) ainda pode ser 
avaliada de acordo com a lei de Hooke, o mesmo não valendo para o estádio II. 
Com o carregamento num patamar superior começam a surgir fissuras inclinadas nas proximidades 
dos apoios, por influência das forças cortantes atuando em conjunto com os momentos fletores. 
Essas fissuras inclinadas são chamadas de fissuras de cisalhamento (Figura 5.2d), que não é um 
termo adequado porque tensões de cisalhamento não ocorrem por ação exclusiva de força 
cortante. Sugerimos fissura de “flexão com cortante”. Com carga elevada, a viga, em quase toda a 
sua extensão, apresenta-se no estádio II. Apenas nas proximidades dos apoios a viga permanece no 
estádio I. 
 
 
Figura 5.1 – Viga biapoiada e diagramas de esforços solicitantes. 
(LEONHARDT & MÖNNIG - 1982). 
 
 CONCRETO 1 
 
Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 35 
 
 
 
Figura 5.2 - Comportamento resistente de uma viga biapoiada. 
(LEONHARDT & MÖNNIG - 1982). 
 
 
No caso de uma viga biapoiada sob carregamento uniformemente distribuído, no estádio I, as tensões 
principais na altura da linha neutra (a meia altura da viga) apresentam inclinação de 45° (ou 135°) em 
relação ao eixo longitudinal da viga, como mostrado na Figura 5.3. Observe que nas regiões próximas 
aos apoios as trajetórias das tensões principais inclinam-se por influência das forças cortantes, 
mantendo, no entanto, a perpendicularidade entre as trajetórias. 
 
 CONCRETO 1 
 
Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 36 
 
 
Figura 3 - Trajetória das tensões principais de uma viga biapoiada no estádio I sob carregamento 
uniformemente distribuído (LEONHARDT & MÖNNIG, 1982). 
 
 
O carregamento induz o surgimento de diferentes estados de tensão nos infinitos pontos que compõem 
a viga, e que podem ser representados por um conjunto de diferentes componentes, em função da 
orientação do sistema de eixos considerados. Como exemplo, a Figura 4 mostra a representação dos 
estados de tensão em dois pontos da viga, conforme os eixos coordenados x-y e os eixos principais. O 
estado de tensão segundo os eixos x-y define as tensões normais σx, as tensões σy e as tensões de 
cisalhamento τxy e τyx. O estado de tensão segundo os eixos principais definem as tensões principais de 
tração σI e de compressão σII. 
A tensão σy pode ser em geral desprezada, tendo importância apenas nos trechos próximos à introdução 
de cargas. O dimensionamento das estruturas de concreto armado toma como base normalmente as 
tensões σx e τxy. 
 
 CONCRETO 1 
 
Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 37 
 
 
Figura 4 – Componentes de tensão segundo os estados de tensão relativos aos eixos principais e aos 
eixos nas direções x e y (LEONHARDT & MÖNNIG, 1982). 
 
 
 
6. HIPÓTESE DE CÁLCULO 
Na determinação dos esforços resistentes de elementos fletidos, como vigas, lajes e pilares, são 
admitidas as seguintes hipóteses básicas (NBR 6118/03 item 17.2.2): 
a) As seções transversais permanecem planas até a ruptura, com distribuição linear das deformações na 
seção; 
b) A deformação em cada barra de aço é a mesma do concreto no seu entorno. Essa propriedade ocorre 
desde que haja aderência entre o concreto e a barra de aço; 
c) No estado limite último (ELU) despreza-se obrigatoriamente a resistência do concreto à tração; 
d) O encurtamento de ruptura convencional do concreto nas seções não inteiramente comprimidas é de 
3,5 % (domínios 3, 4 e 4a); 
e) O alongamento máximo permitido ao longo da armadura de tração é de 10 %, a fim de prevenir 
deformações plásticas excessivas; 
f) A distribuição das tensões de compressão no concreto ocorre segundo o diagrama tensão-deformação 
parábola-retângulo. Porém, é permitida a substituição desse diagrama pelo retangular simplificado, com 
altura y = 0,8x, e a mesma tensão de compressão σcd, como mostrado na Figura 6.1. 
 
 CONCRETO 1 
 
Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 38 
 
 
Figura 6.1 – Diagramas σ x ε parábola-retângulo e retangular simplificado para distribuição de tensões 
de compressão no concreto. 
 
A tensão de compressão no concreto (σcd) é definida como: 
 
a) no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir dalinha neutra 
em direção à borda comprimida (Figura 6.2), a tensão é: 
 ;�� = 0,85. 
�� = ,,bc.�0d/0 (Eq. 1) 
 
 
Figura 6.2 - Seções com tensão de compressão igual a 0,85 fcd . 
 
b) em caso contrário, isto é, quando a seção diminui (Figura 6.3), a tensão é: 
 ;�� = 0,8. 
�� = ,,b.�0d/0 (Eq. 2) 
 
Figura 6.3 - Seções com tensão de compressão igual a 0,8 fcd . 
 
c) A tensão nas armaduras é a correspondente à deformação determinada de acordo com as 
hipóteses anteriores e obtida nos diagramas tensão-deformação do aço (ver Figura 6). 
 
 
 
 
 
 CONCRETO 1 
 
Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 39 
 
7. SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES 
 
Embora as vigas possam ter a seção transversal com qualquer forma, na maioria dos casos da prática a 
seção adotada é a retangular. 
Define-se por viga com armadura simples a seção que contém, como armadura longitudinal resistente, 
apenas a armadura tracionada, e não tem a necessidade de armadura longitudinal na região 
comprimida. Por questões construtivas são colocadas no mínimo duas barras longitudinais na região 
comprimida para amarração dos estribos, não sendo, no entanto, consideradas nos cálculos como 
barras resistentes. Na seção com armadura simples as tensões de compressão são resistidas unicamente 
pelo concreto. 
Mais a frente será estudada a seção com armadura dupla, que é aquela que contém também uma 
armadura resistente comprimida, além da armadura resistente tracionada. 
 
7.1. EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 
A formulação dos esforços internos resistentes da seção é feita com base nas equações de equilíbrio das 
forças normais e dos momentos fletores: 
 
→ ∑ f = 0 
 
→ ∑ f = 0 (Eq. 3) 
 
A Figura 7.1 mostra a seção transversal de uma viga sob flexão simples, de forma retangular e solicitada 
por momento fletor positivo, com largura bw e altura h, armadura As e área A’c de concreto comprimido 
delimitada pela linha neutra. A linha neutra é demarcada pela distância x, contada a partir da fibra mais 
comprimida da seção transversal. 
 
O diagrama de deformações ao longo da altura da seção, com as deformações notáveis εcd (máxima 
deformação de encurtamento do concreto comprimido) e εsd (deformação de alongamento na 
armadura tracionada) e o diagrama retangular simplificado de distribuição de tensões de compressão, 
com altura y = 0,8x, e as respectivas resultantes de tensão (Rcc e Rst) também estão mostrados na Figura 
7.1. 
 
 
Figura 7.1 – Distribuição de tensões e deformações em viga de seção retangular com armadura simples. 
 
 CONCRETO 1 
 
Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 40 
 
Para ilustrar melhor a forma de distribuição das tensões de compressão na seção, a Figura 7.2 mostra a 
seção transversal em perspectiva, com os diagramas parábola-retângulo e retangular simplificado, como 
apresentados no item 6. O equacionamento apresentado a seguir será feito segundo o diagrama 
retangular simplificado, que conduz a equações mais simples e com resultados muito próximos aqueles 
obtidos com o diagrama parábola-retângulo. 
 
 
 
Figura 7.2 – Distribuição de tensões de compressão segundo os diagramas parábola-retângulo e 
retangular simplificado. 
 
a) Equilíbrio de Forças Normais 
 
Considerando que na flexão simples não ocorrem forças normais solicitantes, e que a força 
resultante das tensões de compressão no concreto deve estar em equilíbrio com a força 
resultante das tensões de tração na armadura As, como indicadas na Figura 7.1, pode-se 
escrever: 
 ��� = ��� (Eq. 4) 
 
Tomando da Resistência dos Materiais que ; = hC, a força resultante das tensões de 
compressão no concreto pode ser escrita como: 
 ��� = ;�� ∙ =′� = 0,85 ∙ 
�� ∙ 0,8Ljk = 0,68 ∙ jkL
�� (Eq. 5) 
 
E a força resultante das tensões de tração na armadura tracionada: 
 ��� = ;�� ∙ =� (Eq. 6) 
 
Com ;�� = tensão de cálculo na armadura tracionada; =� = área de aço da armadura tracionada 
 
 
 
 
 CONCRETO 1 
 
Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 41 
 
b) Equilíbrio de Momentos Fletores 
 
Considerando o equilíbrio de momentos fletores na seção, o momento fletor solicitante deve ser 
equilibrado por um momento fletor resistente, proporcionado pelo concreto comprimido e pela 
armadura tracionada. Assumindo valores de cálculo, por simplicidade de notação ambos os 
momentos fletores devem ser iguais ao momento fletor de cálculo Md, tal que: 
 l�m?�� = ln2���� = l� 
 
As forças resistentes internas, proporcionadas pelo concreto comprimido e pela armadura 
tracionada, formam um binário oposto ao momento fletor solicitante, podendo ser escrito: 
 l� = ��� ∙ o�� (Eq. 7) 
 l� = ��� ∙ o�� (Eq. 8) 
 
Onde: ��� ∙ o�� = momento interno resistente, proporcionado pelo concreto comprimido; ��� ∙ o�� = momento interno resistente, proporcionado pela armadura tracionada. 
 
Com o�� = N − 0,4L e aplicando a Eq. 5 na Eq. 7 fica: 
 
 l� = 0,85
��0,8Ljk(N − 0,4L) 
 l� = 0,68jkL
��(N − 0,4L) (Eq. 9) 
 
Onde: jk = largura da seção; L = posição da linha neutra; 
�� = resistência de cálculo do concreto à compressão; N = altura útil; 
 
Md é definido como o momento interno resistente proporcionado pelo concreto comprimido. O 
valor de Md deve ser considerado em valor absoluto na Eq. 9. 
Substituindo a Eq. 6 na Eq. 8 define-se o momento interno resistente proporcionado pela 
armadura tracionada: 
 l� = ;��=�(N − 0,4L) (Eq. 10) 
 
Isolando a [área de armadura tracionada: 
 =� = q8568(�r,,4Q) (Eq. 11) 
 
As Eq. 9 e 11 proporcionam o dimensionamento das seções retangulares com armadura simples. 
Nota-se que são sete as variáveis contidas nas duas equações, o que leva, portanto, na 
necessidade de se adotarem valores para cinco das sete variáveis. De modo geral, na prática 
 CONCRETO 1 
 
Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 42 
 
fixam-se os materiais (concreto e aço) e a seção transversal, e o momento fletor solicitante 
geralmente é conhecido, ficando como incógnitas apenas a posição da linha neutra (x) e a área 
de armadura (As). 
Com a Eq. 9 determina-se a posição x para a linha neutra, e comparando x com os valores x2lim e 
x3lim defini-se qual o domínio em que a viga se encontra (2, 3 ou 4). Nos domínios 2 ou 3 a tensão 
na armadura tracionada (σsd) é igual à máxima tensão possível, isto é, fyd (ver diagramas nas 
Figura 5 e Figura 6). Definidos x e σsd calcula-se a área de armadura tracionada (As) com a Eq. 11. 
Se resultar o domínio 4, a seção deverá ser dimensionada com armadura dupla, como se verá no 
item 8. Caso não se queira dimensionar a viga com armadura dupla, alguma alteração deve ser 
feita de modo a tornar x ≤ x3lim , e resultar, como conseqüência, os domínios 2 ou 3. 
Portanto, algum parâmetro deve ser alterado para diminuir o valor de x. Conforme a Eq. 9 
verifica-se que para diminuir x pode-se: 
 
- diminuir o valor do momento fletor solicitante (Md); 
- aumentar a largura ou a altura da viga (> d); 
- aumentar a resistência do concreto. 
 
Dessas possibilidades, geralmente a mais viável de ser implementada na prática é o aumento da 
altura da viga (h). Senão, resta ainda estudar a possibilidade de fazer a armadura dupla. 
No caso da seção transversal da viga for de apoio ou de ligação com outros elementos 
estruturais, há ainda outras considerações a serem feitas. Segundo a NBR 6118/03 (item 
14.6.4.3), 
 
“a capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no ELU. 
Quanto menor for x/d, tanto maior será essa capacidade”. Com o intuito de melhorar a ductilidade das 
vigas nessas situações, a norma impõe que a posição da linha neutra deve obedecer aos seguintes 
limites: 
 
a) βx = x/d ≤ 0,50 para concretos C35 ou de menor resistência (fck ≤ 35 MPa); ou 
 
b) βx = x/d ≤ 0,40 para concretos superiores ao C35 (fck > 35 MPa). (Eq. 12) 
 
Com esses limites a norma quer aumentar a ductilidade das vigas, que é a capacidade dela 
deformar-se mais até a ruptura. No entanto, nas seções ao longo dos vãos, não ocorrendo 
ligação da vigacom outros elementos estruturais, não será necessário limitar a posição da linha 
neutra aos valores da Eq. 12. 
 
 
c) Permanência da Seção Plana 
 
Do diagrama de deformações mostrado na Figura 7.1 define-se a relação entre as deformações 
de cálculo na armadura (εsd) e no concreto correspondente à fibra mais comprimida: 
 
 
s08s68 = Q�rQ (Eq. 13) 
 
Considerando-se a variável βx, que relaciona a posição da linha neutra com a altura útil d, tem-se: 
 
 CONCRETO 1 
 
Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 43 
 
 PQ = Q� (Eq. 14) 
 
Substituindo x por βx . d na Eq. 13 fica: 
 
 PQ = s08s08ts68 (Eq. 15) 
 
7.2. CÁLCULO MEDIANTE COEFICIENTES TIPO K 
Com o intuito de facilitar o cálculo manual, há muitos anos vem se ensinando no Brasil a utilização de 
tabelas com variáveis do tipo K. Para diferentes posições da linha neutra, expressa pela relação βx = x/d, 
são tabelados coeficientes Kc e Ks, relativos à resistência do concreto e à tensão na armadura 
tracionada. Os coeficientes Kc e Ks encontram-se apresentados nas Tabela A- 1 e Tabela A-2, constantes 
dos Anexos colocados no final desta apostila. A Tabela A-1 é para apenas o aço CA-50 e a Tabela A-2 é 
para todos os tipos de aço para concreto armado. 
Considerando a Eq. 9, Md = 0,68bw x fcd (d − 0,4x), substituindo x por βx . d encontram se: 
 l� = 0,68jkPQN
��(N − 0,4PQN) 
 l� = 0,68jkPQN²
��(1 − 0,4PQ) 
 
Introduzindo o coeficiente kc: 
 
l� = jkN�v� 
 
Com 
w0 = 0,68PQ
��(1 − 0,4PQ (Eq. 16) 
 
Isolando o coeficiente Kc tem-se: 
 
v� = �x�.q8 (Eq. 17) 
 
O coeficiente Kc está apresentado na Tabela A-1 anexa. Observe na Eq. 16 que Kc depende da resistência 
do concreto à compressão (fcd) e da posição da linha neutra, expressa pela variável βx. 
O coeficiente tabelado Ks é definido substituindo-se x por βx . d na Eq. 11: 
 =� = q8568(�r,,4Q) =� = q8568(
r,,4yz)� 
 =� = 
568(
r,,4yz) (Eq. 18) 
 
A área de armadura tracionada As, em função do coeficiente Ks é: 
 =� = v� q8� (Eq. 19) 
 
 CONCRETO 1 
 
Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 44 
 
O coeficiente Ks está apresentado na Tabela A-1 anexa. Observe que Ks depende da tensão na armadura 
tracionada (σsd) e da posição da linha neutra, expressa por βx. 
 
7.3. EXEMPLOS NUMÉRICOS 
 
As vigas têm basicamente dois tipos de problemas para serem resolvidos: de dimensionamento e de 
verificação. 
O dimensionamento consiste em se determinar qual a armadura necessária para uma viga, sendo 
previamente conhecidos: os materiais, a seção transversal e o momento fletor solicitante. 
Esse tipo de cálculo normalmente é feito durante a fase de projeto das estruturas, para a sua futura 
construção. 
Nos problemas de verificação a incógnita principal é o máximo momento fletor que a seção pode 
resistir. Problemas de verificação normalmente ocorrem quando a viga pertence a uma construção já 
executada e em utilização, e se deseja conhecer a capacidade de carga de uma viga. 
Para isso é necessário conhecer os materiais que compõem a viga, como a classe do concreto (fck), o tipo 
de aço, a quantidade de armadura e o seu posicionamento na seção transversal, as dimensões da seção 
transversal, etc. 
Na grande maioria dos casos da prática os problemas são de dimensionamento, e esporadicamente 
ocorrem os problemas de verificação. 
 
1º) Calcular a área de armadura necessária e as deformações nos materiais de uma viga, como mostrada 
na Figura 7.3, para o momento fletor máximo, sendo conhecidos: 
 
Mk,máx = 10.000 kN.cm 
d = 47 cm 
γc = γf = 1,4 ; γs = 1,15 
concreto C20 (fck = 20 MPa) 
aço CA-50 
c = 2,0 cm 
φt = 5 mm (diâmetro do estribo) 
concreto com brita 1 
obs.: a viga tem ligação com outros elementos estruturais. 
 
 CONCRETO 1 
 
Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 45 
 
 
Figura 7.3 - Viga biapoiada. 
 
RESOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CONCRETO 1 
 
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8. SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA 
 
Define-se seção com armadura dupla a seção que, além da armadura tracionada, contém também 
armadura longitudinal resistente na região comprimida, calculada para auxiliar o concreto a resistir às 
tensões de compressão. 
A armadura dupla é um artifício que permite dimensionar as seções cujas deformações encontram-se no 
domínio 4, sem que haja a necessidade de se alterar algum dos parâmetros inicialmente adotados. A 
seção com armadura dupla surge como solução ao dimensionamento anti-econômico e contra a 
segurança (ruptura frágil, sem aviso prévio) proporcionado pelo domínio 4. Este domínio é evitado 
alterando-se a posição da linha neutra para o limite entre os domínios 3 e 4, ou seja, com a linha neutra 
passando por x3lim. Desse modo, aproveita-se a máxima seção comprimida possível dentro do domínio 
3. Ao se fazer assim, a área de concreto comprimido não mais considerada para a resistência da seção é 
“compensada” pelo acréscimo de uma armadura longitudinal próxima à borda comprimida, que irá 
auxiliar o concreto no trabalho de resistência às tensões de compressão. 
Por outro lado, os novos limites impostos pela NBR 6118/03 (item 14.6.4.3) para a posição da linha 
neutra (mostrados na Eq. 12), a fim de melhorar a ductilidade das estruturas nas regiões de apoio das 
vigas ou de ligação com outros elementos estruturais, são também motivos de utilização da armadura 
dupla. Quando a linha neutra excede os limites, ao invés de se aumentar a altura da seção, por exemplo, 
é possível manter todos os dados iniciais colocando uma armadura na região comprimida da viga, e sem 
ultrapassar os limites impostos. 
Na maioria dos casos da prática a necessidade de armadura dupla surge nas seções sob momentos 
fletores negativos, nos apoios intermediários das vigas contínuas. Como os momentos fletores negativos 
são significativamente maiores que os momentos fletores positivos nos vãos, eles requerem seções 
transversais com alturas bem maiores que os momentos positivos. Fixar a altura das vigas em função 
dos momentos negativos aumenta o seu custo, pois se na seção de apoio a altura fixada é a ideal, nas 
seções dos vãos a altura resulta exagerada. Por outro lado, não seria prático executar as vigas com 
alturas diferentes nos apoios e nos vãos. 
Para as seções retangulares, uma solução simples e econômica pode ser fixar a altura da viga de tal 
forma a resultar armadura dupla nos apoios e armadura simples nos vãos. 
 
8.1. EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 
 
Do mesmo modo como feito na dedução das equações para a seção com armadura simples, a 
formulação será desenvolvida com base nas duas equações de equilíbrio da estática (Eq. 3). 
A Figura 8.1 mostra a seção retangular de uma viga, com armadura tracionada As e armadura 
comprimida A’s, submetida a momento fletor positivo. O diagrama de distribuição de tensões de 
compressão no concreto é aquele retangular simplificado, com altura 0,8x. 
 
 CONCRETO 1 
 
Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 47 
 
 Figura 8.1 – Seção retangular com armadura dupla 
 
a) Equilíbrio de Forças Normais 
Na flexão simples não ocorre a força normal, de forma que existem apenas as forças resultantes 
relativas aos esforços resistentes internos, que devem se equilibrar, de tal forma que: 
 
Rcc + Rsc = Rst (Eq. 26) 
 
sendo: 
 
Rcc = força resultante de compressão proporcionada pelo concreto comprimido; 
Rsc = força resultante de compressão proporcionada pela armadura comprimida; 
Rst = força resultante de tração proporcionada pela armadura tracionada; 
σ’sd = tensão de cálculo na armadura comprimida; 
σsd = tensão de cálculo na armadura tracionada. 
 
Considerando que R = σ. A, as forças resultantes, definidas com auxílio da Figura 8.1, são: 
 
Rcc = 0,85 fcd 0,8 x bw (Eq. 27) 
Rsc = A’s σ’sd (Eq. 28) 
Rst = As σsd (Eq. 29) 
 
b) Equilíbrio de Momentos Fletores 
 
O momento fletor solicitante tem que ser equilibrado pelo momento interno resistente, proporcionado 
pelo concretocomprimido e pelas armaduras tracionadas e comprimidas, que podem ser representados 
pelo momento fletor de cálculo Md: 
 
Msolic = Mresist = Md 
 
Fazendo o equilíbrio de momentos fletores em torno da linha de ação da força resultante Rst, o 
momento resistente à compressão será dado pelas forças resultantes de compressão multiplicadas 
pelas suas respectivas distâncias à linha de ação de Rst (braços de alavanca – zcc e zsc): 
 
Md = Rcc . zcc + Rsc . zsc 
 
Substituindo Rcc e Rsc pelas Eq. 27 e 28 fica: 
 CONCRETO 1 
 
Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 48 
 
 
Md = 0,85 fcd 0,8 x bw (zcc) + A's σ'sd (zsc) 
 
Aplicando as distâncias zcc e zsc a equação torna-se: 
 
Md = 0,68 bw x fcd (d - 0,4x) + A's σ'sd (d - d') (Eq. 30) 
 
Com o intuito de facilitar o cálculo pode-se decompor o momento fletor Md em duas parcelas, como 
indicado na Figura 8.2, tal que: 
 
Md = M1d + M2d (Eq. 31) 
 
 
 
Figura 8.2 – Decomposição da seção com armadura dupla 
 
O momento fletor M1d corresponde ao primeiro termo da Eq. 30, cujo significado físico é o de ser o 
momento interno resistente proporcionado por uma parcela As1 da armadura tracionada e pela área de 
concreto comprimido com a maior altura possível, conforme esquema mostrado na Figura 8.2b. 
 
M1d = 0,68bw x fcd (d − 0,4x) (Eq. 32) 
 
O valor de x deve ser adotado conforme os critérios da NBR 6118/03 já apresentados no item 8.1, 
havendo as seguintes possibilidades: 
 
a) x = x3lim (0,77d para o aço CA-25, 0,63d para CA-50 e 0,59d para CA-60) nas seções que não sejam 
apoio da viga nem de ligação com outros elementos estruturais; 
b) x = 0,5d para concretos até C35 nas seções de apoio da viga ou de ligação com outros elementos 
estruturais; 
c) x = 0,4d para concretos de classes acima do C35 nas seções de apoio da viga ou de ligação com 
outros elementos estruturais. 
 
Determinada a primeira parcela M1d do momento fletor total, pode-se calcular a segunda parcela como: 
 CONCRETO 1 
 
Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 49 
 
M2d = Md −M1d (Eq. 33) 
 
A armadura comprimida A’s equilibra a parcela As2 da armadura tracionada total (As), e surge do 
equilíbrio de momentos fletores na seção da Figura 8.2c, como a força resultante na armadura 
comprimida multiplicada pela distância à armadura tracionada: 
 
M2d = Rsc . zsc 
 
Aplicando a Eq. 28 de Rsc fica: 
 
M2d = A’s σ’sd zsc = A’s σ’sd (d – d’) 
 
Isolando a área de armadura comprimida: 
 =′� = q.85{68(�r�{) (Eq. 34) 
 
A tensão σ’sd na armadura comprimida depende do tipo de aço e da posição dessa armadura dentro da 
seção transversal, expressa pela relação d’/d, e da posição x assumida para a linha neutra, conforme um 
dos três valores indicados (x3lim, 0,5d ou 0,4d). Os valores para a tensão na armadura comprimida (σ’sd) 
estão mostrados nas Tabelas anexas Tabela A-5, Tabela A- 7 e Tabela A-9, em função da relação d’/d, da 
posição assumida para a linha neutra e do tipo de aço. 
As parcelas As1 e As2 da armadura tracionada resultam do equilíbrio de momentos fletores nas seções b 
e c indicadas na Figura 8.2. São dadas pelas forças resultantes nas armaduras tracionadas multiplicadas 
pelos respectivos braços de alavanca, isto é, a distância entre as resultantes que se equilibram na seção. 
Para a seção b da Figura 8.2: 
 
M1d = As1 σsd zcc = As1 σsd (d − 0,4x) 
 
Isolando a parcela As1 da armadura tracionada: 
 =′�
 = q-85{68(�r,,4Q) (Eq. 35) 
 
Para a seção c da Figura 8.2: 
 
M2d = As2 σsd zsc = As2 σsd (d – d’) 
 
 
Isolando a parcela As2 da armadura tracionada: 
 =′�� = q.85{68(�r�{) (Eq. 36) 
 
A armadura total tracionada é a soma da parcelas As1 e As2: 
 
As = As1 + As2 (Eq. 37) 
 
 CONCRETO 1 
 
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onde: 
 
As1 = parcela da armadura tracionada As que equilibra o momento fletor resistente proporcionado pela 
área de concreto comprimido com altura x; 
As2 = parcela da armadura tracionada As que equilibra o momento fletor resistente proporcionado pela 
armadura comprimida A's. 
 
d) Permanência das Seções Planas 
 
Conforme o diagrama de deformações mostrado na Figura 8.1 definem-se as relações entre as 
deformações de cálculo nas armaduras tracionada (εsd) e comprimida (ε’sd) e no concreto da fibra mais 
comprimida da seção. 
 s08s68 = Q�rQ (Eq. 38) 
 
 s08Q = s|68�rQ = s68�rQ (Eq. 39) 
 
Assumindo a relação entre a posição da linha neutra e a altura útil d pode-se também escrever: 
 
PQ = LN 
 PQ = s08s08ts68 (Eq. 40) 
 
 
8.2 CÁLCULO MEDIANTE COEFICIENTES TIPO K 
 
Como já apresentado no item 7.2 o cálculo de dimensionamento das vigas à flexão simples pode ser 
feito com equações mais simples, fazendo-se uso dos coeficientes K, como mostrados nas Tabelas 
anexas Tabela A-1 e Tabela A-2. 
Inicialmente deve-se definir qual será a posição da linha neutra na seção transversal. Se for seção de 
apoio da viga ou existir ligação com outros elementos estruturais, a variável βx será adotada em função 
da classe do concreto: 
 
a) βx = x/d = 0,5 para concretos até C35; 
 
b) βx = x/d = 0,4 para concretos de resistência acima do C35. 
 
Se a seção não for de apoio ou de ligação com outros elementos estruturais, a posição da linha neutra 
poderá ser assumida passando por x3lim, isto é, no limite entre os domínios 3 e 4. Para o aço CA-50 
deverá ser assumido, portanto, βx = 0,63. 
Definida a posição da linha neutra, deve-se determinar os valores correspondentes de Kclim e de Kslim nas 
Tabela A-1 ou Tabela A-2, conhecendo-se a classe do concreto e a categoria do aço. 
O momento fletor M1d fica assim determinado: 
 
 CONCRETO 1 
 
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l
� = �x.�.w0 E}~ (Eq. 41) 
 
A parcela M2d do momento total também fica determinada: 
 l�� = l� − l
� (Eq. 42) 
 
A área total de armadura tracionada fica determinada por: 
 =� = v� ?�� q-8� + q.8�98.(�r�{) (Eq. 43) 
 
A área de armadura comprimida é: 
 =′� = v′� q.8(�r�{) (Eq. 44) 
 
 
O coeficiente K’s é o inverso da tensão na armadura comprimida, assumindo diferentes valores em 
função da relação d’/d e da posição adotada para a linha neutra, que pode estar localizada em x3lim, 0,5d 
ou 0,4d. Os valores de K’s estão mostrados nas Tabelas anexas Tabela A- 6, Tabela A-8 e Tabela A-10: 
 v′� = 
5|68 (Eq. 45) 
 
 
EXEMPLOS: 
 
1º) Dimensionar e detalhar a armadura longitudinal de flexão para o momento fletor negativo no apoio 
intermediário de uma viga contínua, considerando os dados a seguir: 
 
bw = 20 cm 
h = 50 cm 
Mk = - 15.700 kN.cm 
concreto C20 
aço CA-50 
c = 2,0 cm 
φt = 6,3 mm 
brita 1