Física - Velocidade Relativa e Movimentos Bidimensionais

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SISTEMA DE ENSINO
FÍSICA
Velocidade Relativa e Movimentos 
Bidimensionais
Livro Eletrônico
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Velocidade Relativa e Movimentos Bidimensionais
FÍSICA
Hérico Avohai
Sumário
Velocidade Relativa e Movimentos Bidimensionais ................................................................ 3
Apresentação ................................................................................................................................... 3
1. Velocidade Relativa ..................................................................................................................... 3
2. Movimentos Sob a Ação da Gravidade ................................................................................. 14
2.1. Queda Livre .............................................................................................................................. 14
2.2. Lançamento Vertical Para Baixo .........................................................................................19
2.3. Lançamento Vertical Para Cima .........................................................................................20
3. Movimentos Bidimensionais .................................................................................................. 25
3.1. Lançamento Horizontal ........................................................................................................ 25
3.2. Lançamento Oblíquo ............................................................................................................. 33
4. O Movimento em Duas ou Três Dimensões .........................................................................40
4.1. Posição .....................................................................................................................................40
4.2. Velocidade e Velocidade Média .......................................................................................... 41
4.3. Aceleração e Aceleração Média .........................................................................................43
Resumo ............................................................................................................................................44
Mapa Mental .................................................................................................................................. 47
Questões de Concurso .................................................................................................................48
Gabarito ............................................................................................................................................61
Gabarito Comentado .................................................................................................................... 62
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VELOCIDADE RELATIVA E MOVIMENTOS 
BIDIMENSIONAIS
ApresentAção
Bom dia, boa tarde, boa noite! Tudo bem?
Pronto, agora que você já relembrou os conceitos básicos da cinemática, podemos avan-
çar mais um pouco.
Nesta próxima aula, conversaremos sobre Velocidade Relativa e Movimentos Bidi-
mensionais.
Os conceitos de Vetores serão importantes neste módulo, então se faz algum tempo que 
você estudou sobre vetores, é bom dar uma revisada na nossa primeira aula.
E não se esqueça de ter DISCIPLINA e TREINAMENTO!! Pois, só depende de você !!!
Ao final desta aula, você estará apto(a) a resolver as questões sobre velocidade relativa e 
movimentos bidimensionais: Queda Livre, Lançamentos verticais e oblíquos e ainda interpretar 
os seus respectivos gráficos.
Vamos nessa!?
1. VelocidAde relAtiVA
Guerreiro(a), nós estudamos na aula 1 que todo movimento é relativo, certo?
Pois bem, a VELOCIDADE RELATIVA é o valor da velocidade de um móvel em relação a um 
referencial fixo ou não.
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Eu sei o que você está pensando, Bizurado! E sim, vou te dar alguns exemplos:
Exemplo 1: Imagine dois automóveis A e B, com velocidades constantes de módulos VA = 60 km/h 
e VB = 60km/h, conforme a figura abaixo:
Observe que os vetores velocidades de A e B estão na direção horizontal e no sentido da 
esquerda para direita.
Daí, eu te pergunto: A alcançará B?
Muito bem, Bizurado! Se os automóveis mantiverem as velocidades constantes, A jamais 
alcançará B, pois a distância entre eles vai permanecer constante durante o passar do tempo.
Então, podemos concluir que a velocidade de A em relação a B é zero, ou seja, A em relação 
a B está em repouso!!!
O mesmo podemos dizer para velocidade de B em relação à A, que é zero também.
Exemplo 2: Considere agora que dois automóveis A e B, com velocidades constantes de módu-
los VA = 80 km/h e VB = 60 km/h, conforme a figura abaixo:
Observe que os vetores velocidades de A e B estão na direção horizontal e no sentido da 
esquerda para direita.
Daí eu te pergunto: A alcançará B?
A resposta é: SIM!
Mas por quê?
Porque o módulo da velocidade de A é maior que o de B.
Outra pergunta: Qual é a velocidade de A em relação a B?
Para responder essa pergunta, temos que “fixar” o referencial.
Fixando B, é fácil observar que A se movimenta com velocidade relativa de 20 km/h, na 
horizontal e da esquerda para direita (sentido positivo da trajetória) em relação a B.
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Então para calcular o módulo da velocidade de A em relação a B, faremos a diferença 
entre eles:
Vetorialmente falando, quando o examinador pedir a velocidade de em relação a B, você 
fixará o referencial em B.
E fixar o referencial, significa inverter o vetor (vetor oposto), da seguinte maneira.
Fazendo a soma vetorial,
Logo, o módulo do vetor velocidade relativa será a diferença entre os módulos dos vetores 
A e B, conforme já calculado.
Comando! Você pode simplesmente lembrar que quando as velocidades estão na mesma di-
reção e mesmo sentido, a velocidade relativa será a diferença entre as velocidades, ou então 
pode calcular pela soma vetorial.
Exemplo 3: Considere agora que dois automóveis A e B, com velocidades constantes de módu-
los VA = 80 km/h e VB = 60 km/h, conforme a figura abaixo:
Note agora que os vetores velocidades de A e B estão na mesma direção, porém em senti-
dos opostos.
A Velocidade de A em relação a B, será dada por:
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Vetorialmente falando, quando o examinador pedir a velocidadede em relação a B, você 
fixará o referencial em B.
E fixar o referencial, significa inverter o vetor (vetor oposto), da seguinte maneira.
Fazendo a soma vetorial,
Logo, o módulo do vetor velocidade relativa será a soma dos módulos dos vetores A e B, 
conforme já calculado.
Isso mesmo, por isso que as colisões frontais são perigosas! E caso o examinador te per-
gunte sobre colisão frontal e o porquê dos danos serem maiores, você já sabe responder!
Numa colisão frontal a velocidade relativa sempre somará os vetores velocidades de 
cada móvel, então no exemplo anterior é como se o veículo A colidisse contra um objeto fixo 
a 140 km/h.
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Exemplo 4: Considere agora que dois automóveis A e B, com velocidades constantes de módu-
los VA = 80 km/h e VB = 60 km/h, conforme a figura abaixo:
Você encontrará a velocidade de A em relação a B, da seguinte forma:
Graduada(o)! Você pode simplesmente lembrar que quando as velocidades estão na mesma 
direção e sentidos opostos, a velocidade relativa será a soma entre as velocidades, ou então 
pode calcular pela soma vetorial.
De uma maneira geral, o vetor velocidade relativa pode ser definido como:
Vamos para algo que vira e mexe é cobrado em provas.
Seguindo os mesmos raciocínios anteriores, podemos também encontrar a velocidade re-
lativa de um barco que sobe, desce ou atravessa um rio.
Na subida de um rio, as velocidades do Barco e da correnteza estão em sentidos opostos.
Então, utilizando o mesmo raciocínio de velocidade relativa, a velocidade do barco em re-
lação à margem será:
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Note que para que o barco consiga subir o rio, o módulo de sua velocidade deve ser maior 
que a velocidade da correnteza, caso contrário, o barco não “venceria” a correnteza.
Na descida de um rio, as velocidades do Barco e da correnteza estão no mesmo sentido.
Então a velocidade do barco em relação à margem será:
Daqui a pouco veremos como ficaria a velocidade relativa do barco atravessando o rio.
Vamos resolver uma questão do ITA sobre velocidade relativa.
001. (ITA-SP/VESTIBULAR) Um barco leva 10 horas para subir e 4 horas para descer um mes-
mo trecho do rio Amazonas, mantendo constante o módulo de sua velocidade em relação à 
água. Quanto tempo o barco leva para descer esse trecho com os motores desligados?
a) 14 horas e 30 minutos
b) 13 horas e 20 minutos
c) 7 horas e 20 minutos
d) 10 horas
e) Não é possível resolver porque não foi dada a distância percorrida pelo barco.
O examinador quer saber o tempo gasto para percorrer certo trecho com os motores desliga-
dos, ou seja, o barco descerá o rio somente com a velocidade da correnteza.
Vamos analisar as duas situações:
- NA SUBIDA
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Na subida o barco está contra a correnteza VC, então ela “atrapalha” o barco, logo a velocidade 
do barco VB em relação à margem do rio, será:
- NA DESCIDA
Na descida o barco está a favor da correnteza VC, então ela “empurra” o barco, logo a velocida-
de do barco VB em relação à margem do rio, será:
Pegando os dados:
Velocidade relativa do barco na subida: 
Velocidade relativa do barco na descida: 
Tempo de subida: ts = 10h
Tempo de descida: td = 4h
Distância do trecho = x.
Utilizando a fórmula da velocidade, encontraremos duas equações com duas incógnitas.
Na subida,
Na descida,
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Resolvendo o sistema com as equações I e II encontradas.
Multiplicando a equação I por – 1 e depois somando as duas equações:
Para encontrar o valor do tempo pedido pelo examinador, basta utilizarmos a equação da velo-
cidade, sabendo que o barco está com os motores desligados, portanto ele desce o rio com a 
velocidade da correnteza, pois é a correnteza que leva o barco.
A equação da velocidade para correnteza será:
Substituindo os valores,
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Cortando os “x”
Transformando,
Certo? Resolva várias e várias vezes essa questão!! O treinamento é muito importante para o 
seu sucesso.
Letra b.
Vamos ver como fica a velocidade relativa do barco, quando ele atravessa perpendicular-
mente o rio a partir de um ponto A.
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A minha pergunta é: Na configuração acima, qual é o ponto mais provável que o barco al-
cançará do outro lado da margem?
Muito bem, provavelmente será o ponto C, pois o barco se movimentará com a sua veloci-
dade mais a velocidade da correnteza, então, enquanto o barco tem velocidade para cima, a 
correnteza empurra para a esquerda, logo a soma vetorial dos vetores velocidades (corrente-
za+barco) será a velocidade do barco em relação à margem.
Isso, isso, isso!
Vamos encontrar?
Soma vetorial:
Do jeito que você disse, então o módulo da velocidade relativa será encontrado pelo Teore-
ma de Pitágoras.
Se o barco atravessar o rio formando um ângulo qualquer, utilizaremos a lei do cosseno 
com aquele ajustezinho do sinal, ok?
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002. (FURRN/VESTIBULAR) Um barco, em águas paradas, desenvolve uma velocidade de 7 
m/s. Esse barco vai cruzar um rio cuja correnteza tem velocidade 4 m/s, paralela às margens.Se o barco cruza o rio perpendicularmente à correnteza, sua velocidade em relação às mar-
gens, em metros por segundo é, aproximadamente:
a) 11
b) 8
c) 6
d) 5
e) 3
Dados:
VB = 7m/s
Vc = 4 m/s.
Soma vetorial,
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Utilizando o Teorema de Pitágoras.
Letra b.
2. MoViMentos sob A Ação dA GrAVidAde
Na aula 2 vimos que uma equação rege o MRU e três regem o MRUV, são elas:
 - MRU
- MRUV
 - MRUV
 - MRUV
Tá lembrado(a)?
Elas serão utilizadas para definir os próximos tipos de movimento.
2.1. QuedA liVre
Futuro servidor público (eu ouvi um amém?), para começar o estudo desse movimento, me 
responda: No vácuo, qual corpo cairá primeiro de certa altura, uma pena ou uma bola de boliche?
Acredite ou não! Os dois cairão ao mesmo tempo!!! 
Dê uma olhada neste vídeo que fizeram colocando uma bola de boliche e uma pena em um 
local sem resistência do ar.
https://www.youtube.com/watch?v=IB_mYna8ddQ
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Muito interessante, não!?
Isso porque não há resistência do ar e a aceleração da gravidade local agirá da mesma 
forma para os dois corpos.
A imagem acima retirada o livro Halliday (Fundamentos da Física) mostra que uma pena 
e uma maçã caem ao mesmo tempo, percorrendo a mesma distância, que aumenta a cada 
intervalo de tempo.
Note que o movimento não depende da massa do objeto, ok?
Outra característica importante da queda livre é que a velocidade inicial V0 é zero. Vai 
anotando!!!!
A aceleração que age no corpo é a da gravidade local, no nosso caso, g = 9,8 m/s2.
Analisando o movimento de queda livre, de altura H e aceleração da gravidade g, temos:
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A velocidade aumenta uniformemente até instantes antes de tocar o solo.
Substituindo nas três equações do MUV. S = H, V0 =0, a = g, H0 =0 temos:
- Equação Horária da queda livre
- Equação da velocidade da queda livre
- Equação de Torricelli da queda livre
Então, meu amigo(a)! Você que escolhe, ou lembra dessas novas três fórmulas ou aplica as 
características da Queda Livre, que funcionará do mesmo jeito!
Podemos até calcular o tempo de queda, que nada mais é uma consequência da equa-
ção horária.
Isolando o t,
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Observe que o tempo de queda não depende da massa do corpo, por isso que no vácuo, a 
bola de boliche e a pena came ao mesmo tempo.
Podemos também estudar o movimento de queda livre pelos gráficos.
2.1.1. Gráfico da Altura em Função do Tempo (Hxt)
Adotando o referencial da trajetória como sendo positivo para baixo e negativo para 
cima, temos:
• Aceleração positiva, então concavidade voltada para cima;
• Velocidade positiva e aumenta com o passar do tempo (arco crescente).
Logo, o esboço do gráfico Hxt da queda livre será:
2.1.2 Gráfico da Velocidade em Função do Tempo (Vxt)
• Aceleração positiva, reta crescente;
• Velocidade positiva e aumenta com o passar do tempo;
• Velocidade inicial igual a zero.
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2.1.3 Gráfico da Aceleração da Gravidade em Função do Tempo (axt)
• Aceleração constante e positiva, reta constante e acima do eixo x.
003. (CESGRANRIO/TÉCNICO DE OPERAÇÕES/PETROBRÁS/2015) Ao retirar um equi-
pamento de uma estante, um operador se desequilibra e o deixa cair de uma altura de 1,8 
m do piso.
Considerando-se que inicialmente a velocidade do equipamento na direção vertical seja nula e 
que g = 10 m/s2, a velocidade de impacto do equipamento com o piso, em m/s, é
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
Caro(a) aluno(a), só existem três equações, não tem erro.
Note que no enunciado, o examinador não fala em tempo, então qual é a equação que não 
tem tempo???
Muito bem, a equação de Torricelli.
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DADOS:
V0 = 0
g = 10 m/s2
H = 1,8 m.
V – =?
Utilizando a equação e substituindo os valores,
Letra c.
2.2. lAnçAMento VerticAl pArA bAixo
Esse tipo de movimento tá moleza, pois a única diferença do movimento de queda livre é 
que agora temos uma velocidade inicial diferente de zero.
Portanto, ao invés de largar o corpo, você irá jogar pra baixo.
A aceleração que age no corpo é a da gravidade local, g = 10m/s2.
Analisando o movimento de lançamento vertical para baixo, de altura H e aceleração da 
gravidade g, temos:
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Note que agora a velocidade inicial é diferente de zero e que ela também aumenta unifor-
memente até instantes antes de tocar o solo.
Substituindo nas três equações do MUV. S = H, V0 ≠ 0, a = g, H0 =0 temos:
- Equação Horária do lançamento vertical para baixo
- Equação da velocidade
- Equação de Torricelli
As equações são as mesmas, você só tem que entender e substituir de acordo com as 
características de cada movimento.
2.3. lAnçAMento VerticAl pArA ciMA
Jogue algo para cima, uma borracha, por exemplo, o que acontece?
A borracha sobe diminuindo a velocidade, chega a um ponto que a velocidade é zero, atinge 
a altura máxima e logo após começa a cair até chegar na sua mão novamente, certo?
Pois bem, esse é o lançamento vertical para cima.
O corpo sai com velocidade inicial, sobediminuindo a velocidade até chegar a zero.
Uma característica importante é que quando a velocidade é zero, o corpo atinge a al-
tura máxima.
Logo após, cai aumentando a velocidade até retornar ao ponto de origem.
A aceleração que age no corpo é a da gravidade local, g = 10m/s2.
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Analisando o movimento de lançamento vertical para cima, de altura H e aceleração da 
gravidade g, temos:
- Movimento de subida
Observe que na primeira parte do movimento, durante a subida, o vetor velocidade e o vetor 
aceleração possuem sentidos opostos.
- Movimento de descida
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Algumas características importantes:
• O tempo de subida é igual ao tempo de descida;
• A altura máxima é atingida quando a velocidade do corpo é zero;
• A velocidade de saída é igual em módulo à velocidade de chegada;
• No movimento de subida a velocidade diminui, logo movimento retardado;
• Na descida, a velocidade aumenta, logo movimento acelerado.
• O movimento de descida é igual ao movimento de queda livre!
Diante dessas características, as equações do lançamento vertical para cima serão dividi-
das em duas partes:
- Na subida:
V0 ≠ 0; g < 0 (negativa).
Substituindo nas equações:
- Equação Horária
- Equação da velocidade
- Equação de Torricelli
- Na descida
Na descida o movimento assemelha-se à Queda Livre.
Considerando a origem na altura máxima, V0 = 0 e g > 0 (positiva).
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Temos que:
- Equação Horária
- Equação da velocidade
- Equação de Torricelli
Não tem erro, as equações serão as mesmas!
Sempre é bom repetir, a partir das características do movimento que você consegue utilizar 
as equações.
Analisando os gráficos a partir do movimento inicial.
2.3.1. Gráfico da Altura em Função do Tempo (Hxt)
As características são:
• Aceleração negativa, então concavidade voltada para baixo;
• Velocidade positiva e diminui com o passar do tempo na subida;
• O vértice da parábola é o ponto mais alto da trajetória, ou seja, quando a velocidade for zero.
Portanto, o esboço do gráfico Hxt será:
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2.3.2. Gráfico da Velocidade em Função do Tempo (Vxt)
• Aceleração negativa, reta decrescente.
004. (FCC/ANALISTA/BAHIAGÁS/2010) Um objeto, na superfície da Terra, é lançado verti-
calmente para cima com velocidade inicial de 40 m/s. O tempo necessário para que o objeto 
atinja a altura máxima é de
a) 10 s.
b) 8 s.
c) 6 s.
d) 4 s.
e) 2 s.
Dados
V0 = 40 m/s
V – = 0, para atingir a velocidade máxima
g = 10 m/s2
Utilizando a equação da velocidade, temos:
Questão fácil, né?
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Velocidade Relativa e Movimentos Bidimensionais
FÍSICA
Hérico Avohai
Vamos encontrar o tempo que o objeto leva para retornar à posição de origem, a altura máxima 
e a velocidade final do movimento.
Pois bem, o tempo de subida é igual ao tempo de descida, então o tempo total será 8s.
Para calcular a altura máxima, você pode escolher entre a equação horária e a de Torricelli.
Utilizando a equação horária.
E a velocidade final será igual à velocidade inicial = 40 m/s.
Letra d.
3. MoViMentos bidiMensionAis
3.1. lAnçAMento HorizontAl
Considere o seguinte movimento: Um objeto é lançado horizontalmente de cima de 
um edifício.
O que acontecerá?
O corpo, devido a ação da gravidade, começará a cair, porém ele se movimentará para 
frente também.
Estamos diante de dois movimentos que acontecem ao mesmo tempo, os quais damos o 
nome de Movimentos Bidimensionais.
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Velocidade Relativa e Movimentos Bidimensionais
FÍSICA
Hérico Avohai
Os movimentos bidimensionais que estudaremos são compostos por MU (Movimento Uni-
forme) e MUV (Movimento Uniformemente Variado).
Se analisarmos direitinho, já estudamos juntos esses movimentos, basta aplicarmos os 
conhecimentos.
Voltando ao movimento inicial,
Inicialmente o corpo é lançado na horizontal para frente, daí eu te pergunto: 
Existe alguma desaceleração ou aceleração na horizontal?
A resposta é NÃO!!
Muito bem, Bizurado!! Você estava meio sumido da aula, mas apareceu na hora certinha!! 
Você está certinho, já pode até começar a treinar para o TAF!!!
Na direção x, horizontal, a velocidade do corpo é constante e como nosso amigo Bizurado 
disse, na direção x o movimento é UNIFORME!
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FÍSICA
Hérico Avohai
Portando utilizaremos, na direção x, a equação horária do movimento uniforme.
Onde S é o alcance na direção x.
Analisando os gráficos na direção x a partir do movimento inicial.
3.1.1. Gráfico do Espaço (Alcance) em Função do Tempo (Axt)
• Velocidade na direção x positiva, reta crescente.
3.1.2 Gráfico da Velocidade em Função do Tempo (Vxt)
• Velocidade na direção x constante, reta constante.
• Aceleração na direção x nula.
Vamos estudar o movimento da direção y, você consegue indicar algumas características?
Na direção y, vertical, temos:
• Velocidade inicial igual a zero;
• Aceleração a gravidade g = 10 m/s2;
• Altura H.
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FÍSICA
Hérico Avohai
Olhando essas três características, qual movimento já estudado que te lembra?
Isso mesmo! É o movimento da Queda Livre.
Ou seja, na direção y, o movimento será uniformemente variado e funcionará como 
Queda Livre!
Portanto, na direção y:
- Equação Horária
- Equação da velocidade
- Equação de Torricelli
Tá vendo, guerreiro(a), como os movimentos se repetem!!
Considerando a origem do sistema na posição inicial do corpo, temos os gráficos:
3.1.3. Gráfico da Altura em Função do Tempo (Hxt)
• Aceleração na direção y positiva, concavidade voltada para cima;
• Velocidade na direção y positiva e aumenta com o passar do tempo na descida.
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FÍSICA
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3.1.4. Gráfico da Velocidade em Função do Tempo (Vxt)
• Velocidade inicial na direção y igual a zero;
• Aceleração na direção y positiva, reta crescente;
• Velocidade na direção y aumenta na descida.
3.1.5. Outras Características Importantes no Lançamento Horizontal
1) O tempo que o corpo leva para percorrer a distância x (alcance) é o mesmo que leva para 
percorrer a altura H, pois o movimento bidimensional acontece ao mesmo tempo.
2) A velocidade resultante em cada ponto da trajetória é a soma vetorial entre Vx e Vy, ou 
seja, as velocidades nas direções x e y são a decomposição do vetor velocidade resultante.
Pegando um ponto qualquer da trajetória.
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FÍSICA
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A Soma Vetorial será:
Cujo módulo é calculado pelo Teorema de Pitágoras
005. (UFRGS/VESTIBULAR/2007) Na figura que segue, estão representadas as trajetórias de 
dois projéteis, A e B, no campo gravitacional terrestre. O projétil A é solto da borda de uma mesa 
horizontal de altura H e cai verticalmente; o projétil B é lançado da borda dessa mesa com ve-
locidade horizontal de 1,5 m/s. (O efeito do ar é desprezível no movimento desses projéteis.)
Com base no texto acima, responda as duas próximas perguntas.
I – Se o projétil A leva 0,4 s para atingir o solo, quanto tempo levará o projétil B?
a) 0,2 s.
b) 0,4 s.
c) 0,6 s.
d) 0,8 s.
e) 1,0 s.
A aceleração da gravidade é a mesma nos dois projéteis e ambos possuem velocidade inicial 
na direção y igual a zero.
Acabamos de estudar que o movimento na direção y de um lançamento horizontal é igual ao mo-
vimento de queda livre, logo o tempo que o projétil B levará para atingir o solo também será 0,4s.
Letra b.
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II – Qual será o valor do alcance horizontal X do projétil B?
a) 0,2 m.
b) 0,4 m.
c) 0,6 m.
d) 0,8 m.
e) 1,0 m.
Dados
V0xB = 1,5 m/s
Tempo que B leva para atingir o solo tB = 0,4s
Observe que B foi lançado horizontalmente, logo a sua velocidade na direção x permanecerá 
constante, ou seja o movimento é UNIFORME.
Utilizando a equação horária, onde S é o alcance na direção x, temos:
Letra c.
006. (MARINHA/QUADRO TÉCNICO/TENENTE/2014) Observe a figura a seguir.
Um mergulhador se lança ao mar saltando de uma altura h de 4,9 metros em relação à linha 
d’agua e com velocidade inicial, apenas horizontal, de 2,5 m/s, a partir da proa de um navio, que 
se encontra parado, conforme ilustrado na figura acima. Ele atinge a superfície da água no ponto 
P, a uma distância horizontal d da borda da proa. Sabendo que o mergulhador pesa 65 kg e que 
a aceleração da gravidade é de 9,8 m/s2, pode-se afirmar que a distância d, em metros, é igual a:
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FÍSICA
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a) 1,0
b) 1,5
c) 2,0
d) 2,5
e) 3,0
Dados
Movimento do tipo lançamento horizontal
H = 4,9 m
Vx = 2,5 m/s
Como a velocidade é apenas n horizontal, a velocidade na direção y é zero.
V0y = 0
m = 65 kg
Alcance = d =?
Bom, guerreiro(a), vamos encontrar o tempo de queda na direção y, sabemos que esse tempo 
é o mesmo tempo na direção x, em seguida, encontraremos o alcance na direção x utilizando 
a equação do movimento uniforme.
Direção y (Movimento Uniformemente Variado)
Tempo de queda?
A equação horária
Substituindo as características do movimento na direção y, com a origem na posição inicial do 
mergulhador, temos,
Substituindo os valores conhecidos,
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FÍSICA
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Sabemos que, logo temos que utilizar esse tempo para encontrar o alcance na direção x,
Na direção x (Movimento Uniforme)
A equação é dada por,
Substituindo os valores,
Letra d.
3.2. lAnçAMento oblíQuo
Vamos para o último tipo de movimento dessa aula.
O lançamento oblíquo nada mais é aquele quando você chuta uma bola para cima e para 
frente, ou seja, com velocidade inicial formando um ângulo θ com a horizontal.
Vamos analisar o movimento!
A bola sobe até atingir a altura máxima e depois cai até o solo.
A gravidade é sempre voltada para baixo.
O vetor velocidade inicial pode ser decomposto no eixo x e no eixo y.
Tente decompor!! Trançando os eixos x e y e depois encontrando Vox e Voy.
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FÍSICA
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Como V0x é cateto adjacente → 
E V0y é cateto oposto → 
Muito bem! De posse desses dados, vamos estudar o movimento dividindo-o na direção x 
e depois na direção y, como fizemos com o lançamento oblíquo, ok?
- Na direção X
Note que na direção x o movimento não tem aceleração, logo estamos diante de Movimen-
to Uniforme, ou seja, sua velocidade será constante durante toda a trajetória.
A equação que rege o movimento na direção x, você já sabe, é a do MU.
Onde S é o alcance horizontal!
- Na direção Y
Note que na direção y o movimento tem a aceleração da gravidade,logo estamos diante do 
Movimento Uniformemente variado.
A bola sobe diminuindo a velocidade na direção y, atinge a altura máxima quando a velo-
cidade na direção y é zero, e logo após desce aumentando a velocidade na direção y. O que te 
lembra esse movimento, bizurado e guerreiro(a)?
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FÍSICA
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Tá vendo só, essa alegria é porque você já tá sabendo que os movimentos se repetem!!!!
Dessa maneira, as equações que regem o movimento na direção y são as do MUV, igual ao 
do lançamento vertical para cima.
As equações serão divididas em duas partes:
- NA SUBIDA
V0y ≠ 0; g < 0 (negativa).
Substituindo nas equações:
- Equação Horária
- Equação da velocidade
- Equação de Torricelli
Na descida, imediatamente após atingir a altura máxima, o movimento assemelha-se à 
Queda Livre.
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FÍSICA
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Considerando a origem na altura máxima, V0 = 0 e g > 0 (positiva).
Temos que:
- Equação Horária
- Equação da velocidade
- Equação de Torricelli
Pronto! O lançamento oblíquo ficará assim:
3.2.1 Outras Características Importantes no Lançamento Oblíquo
• O tempo de subida é igual ao tempo de descida, logo o tempo total é dado por ttotal = tsubida 
+ tdescida;
• O tempo da direção x é igual ao tempo da direção y;
1. Na altura máxima, a velocidade na direção y é zero, porém observe na figura acima que a 
bola continua com velocidade na direção x!
2. No ponto mais alto da trajetória somente a velocidade na direção y é zero, enquanto a acele-
ração continua constante e tem módulo igual à da aceleração da gravidade.
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007. (EXÉRCITO/ESPCEX/CADETE/2015) Um projétil é lançado obliquamente, a partir de um 
solo plano e horizontal, com uma velocidade que forma com a horizontal um ângulo α e atinge 
a altura máxima de 8,45 m.
Sabendo que, no ponto mais alto da trajetória, a velocidade escalar do projétil é 9,0 m/s, pode-
-se afirmar que o alcance horizontal do lançamento é:
Dados: intensidade da aceleração da gravidade g=10 m/s2 e despreze a resistência do ar.
a) 11,7 m
b) 17,5 m
c) 19,4 m
d) 23,4 m
e) 30,4 m
Leia com atenção e repita a resolução quantas vezes forem necessárias!!
Pegando os dados:
Hmáx = 8,45m
Vx = 9,0m/s (ponto mais alto da trajetória)
Vy = 0 (ponto mais alto da trajetória)
Para calcular o alcance, temos que encontrar o tempo total do movimento.
O examinador nos forneceu a altura máxima, então:
Na direção y,
Após atingir a altura máxima o corpo cai “igualzim” à Queda Livre.
Então, os dados para direção y, após atingir a altura máxima:
Voy = 0 (velocidade inicial na direção y é zero)
H = 8,45m
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FÍSICA
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De posse desses dados, podemos calcular o tempo de queda, utilizando a equação horá-
ria do MUV.
Para essa situação, considerando a origem na altura máxima e substituindo os dados:
Sabemos que o tempo de subida é igual ao tempo de descida, logo o tempo total do movimen-
to será = 1,3 + 1,3 = 2,6s.
Para encontrar o alcance, analisaremos o movimento na direção.
Na direção x:
Movimento Uniforme, velocidade constante
Vx = 9,0m/s
Utilizando a equação horária do MU.
O nível dessa questão já é um “cadim” mais difícil, então não deixe de resolver várias vezes, 
daquela maneira que combinamos na nossa apresentação, ok?
Qualquer dúvida, me chame!! Estou às ordens!!
Letra d.
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3.2.2. Alcance Máximo e Altura Máxima
No finalzinho da nossa aula, vou lhe apresentar mais duas fórmulas, a do Alcance Máximo 
e a da Altura Máxima.
Essas duas fórmulas, nada mais são do que consequências das equações do MU e MUV 
já estudadas.
Boa pergunta, Bizurado! A única diferença do MRU e MRUV para MU e MUV é a trajetória 
que é retilínea. Quando as trajetórias não são retilíneas não colocamos o “R” e as equações 
dos movimentos são as mesmas, com as suas respectivas características.
Voltando ao assunto desse tópico, temos que o alcance máximo e a altura máxima podem 
ser dados por:
Muito bem!! E como tô gostando muito da sua dedicação, já vou lhe falar uma questãozi-
nha de prova!!
O PULO DO GATO
Se o examinador te perguntar, qual deve ser o valor do ângulo para que na mesma velocidade o 
corpo atinja o alcance máximo, você, sem titubear, responderá θ = 45º! E vai sem medo de ser 
feliz para a próxima questão!
Isso porque a fórmula do alcance máximo tem sen2θ! E lá na trigonometria trazemos a carac-
terística importante que o maior valor que o seno pode assumir é igual a “+1”, e isso acontece 
quando o ângulo for 90º.
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FÍSICA
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Logo, para que sen2θ seja igual a +1, temos que:
2θ = 90º
θ = 45º.
4. o MoViMento eM duAs ou três diMensões
Utilizando a álgebra vetorial, podemos trabalhar os movimentos bi e tridimensionais de 
forma análoga ao movimento unidimensional.
4.1. posição
Para isso devemos considerar uma partícula numa região qualquer do espaço deno-
minada “P”.
A localização dessa partícula é representada pelo vetor posição r1 a partir de vetores uni-
tários é dada por:
Se essa partícula sai do ponto “P” e depois de um intervalo de tempo chega até o ponto 
“Q”, representado pelo vetor posição r2. Temos que o vetor deslocamento ∆r será igual ao vetor 
posição r2 menos o vetor posição r1.
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FÍSICA
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Não tem mistérios, para encontrar o vetor deslocamento, basta você subtrair cada um dos 
valores respectivos dos vetores unitários
Suponha que o vetor posição “P” seja representado por:
E o da posição “Q”:
Então o vetor deslocamento de “P” para “Q” será:
4.2. VelocidAde e VelocidAde MédiA
Continuando sem mistério, a velocidade média, utilizando os vetores unitários será:
Substituindo o vetor posição, temos:
Logo, no limite quando o intervalo de tempo tende a zero, a velocidade instantânea passa 
a ser a derivada de cada posição em ordem ao tempo.
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FÍSICA
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Ou seja,
Então, quando uma partícula sai do ponto “P” em direção ao ponto”Q”, independentemente 
de sua trajetória, o vetor deslocamento é o que a gente já conhece.
E quando o intervalo de tempo tende a zero, temos 3 observações importantes:
• O vetor r2 se move em relação a r1, consequentemente, o vetor deslocamento tende a 
zero;
• As direções do vetor deslocamento ∆r e do vetor velocidade v se aproximam da direção 
tangente da trajetória;
• E a velocidade média passa a ser a velocidade instantânea da partícula.
Dessas três observações, chamo a atenção para a segunda, onde o vetor velocidade ins-
tantânea (quando o intervalo de tempo tende a zero) sempre terá direção tangente à trajetória 
da partícula.
Portanto, isso pode ser aplicado nos movimentos bidimensionais, tridimensionais e ainda 
nos circulares, que veremos em outra aula.
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FÍSICA
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4.3. AcelerAção e AcelerAção MédiA
O mesmo se aplica à aceleração média da partícula, que será dada por:
E no limite quando o intervalo de tempo tende a zero, a aceleração média passa a ser a 
instantânea que nada mais do que a derivada da velocidade em ordem ao tempo.
Ou seja,
Belezinha?
Ficamos por aqui, espero que esteja acompanhando, e lembre-se que “Mar calmo, nunca 
fez bom marinheiro”.
Fique com o resumo, os mapas mentais e as questões de concurso para que você possa 
treinar bastante!
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FÍSICA
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RESUMO
Velocidade Relativa
É o valor da velocidade de um móvel em relação a um referencial fixo ou não.
Movimentos Sob a Ação da Gravidade
• Queda Livre
− Velocidade inicial igual a zero.
Equações:
Onde temos o tempo de queda:
• Lançamento Vertical Para Baixo
Velocidade inicial diferente de zero.
Equações:
• Lançamento Vertical Para Cima
− Velocidade inicial diferente de zero.
− Tempo de subida é igual ao tempo de descida.
− A altura máxima é atingida quando a velocidade do corpo é zero;
− A velocidade de saída é igual em módulo à velocidade de chegada;
− No movimento de subida a velocidade diminui, logo movimento retardado;
− Na descida, a velocidade aumenta, logo movimento acelerado.
− O movimento de descida é igual ao movimento de queda livre!
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FÍSICA
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Equações durante a subida:
Equações durante a descida (queda livre)
São as mesmas da queda livre.
• Lançamento Horizontal
− Na direção x
− Movimento Uniforme!
− Velocidade na direção x constante.
Equação:
− Na direção y
− Movimento Uniformemente Variado;
− Velocidade inicial na direção y igual a zero e aumenta com o passar do tempo;
Equações são as mesmas da queda livre.
− O vetor velocidade resultante em cada ponto da trajetória é a soma vetorial entre Vx e 
Vy, ou seja, as velocidades nas direções x e y são a decomposição do vetor velocida-
de resultante e é dado por:
E seu módulo:
• Lançamento Oblíquo
− Na direção x
− Movimento Uniforme!
− Velocidade na direção x constante.
Equação:
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Velocidade Relativa e Movimentos Bidimensionais
FÍSICA
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− Na direção y
− Movimento Uniformemente Variado;
− O movimento é igual ao lançamento vertical para cima;
− O tempo de subida é igual ao tempo de descida, logo o tempo total é dado por ttotal = 
tsubida + tdescida;
− tx = ty
− O vetor velocidade resultante em cada ponto da trajetória é a soma vetorial entre Vx e 
Vy, ou seja, as velocidades nas direções x e y são a decomposição do vetor velocida-
de resultante e é dado por:
E seu módulo:
− Alcance máximo:
− Altura máxima:
Análise Vetorial
Vetor posição:
Vetor Deslocamento:
Velocidade instantânea:
Aceleração instantânea:
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Velocidade Relativa e Movimentos Bidimensionais
FÍSICA
Hérico Avohai
MAPA MENTAL
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FÍSICA
Hérico Avohai
QUESTÕES DE CONCURSO
001. (AOCP/PROFESSOR/IBC/2012) Dois móveis X e Y percorrem trajetórias retilíneas e pa-
ralelas, com velocidades constantes, iguais a 30 m/s e 40 m/s, respectivamente e em módulo. 
Com base nessas informações, assinale a alternativa correta.
a) Ao se movimentarem em sentidos contrários e mesma direção, a distância entre eles, 2s 
após se cruzarem num ponto qualquer da trajetória, será de 140m.
b) Ao se movimentarem no mesmo sentido e direção a distância entre eles, 5s após se cruza-
rem num ponto qualquer da trajetória, será de 25m.
c) A velocidade relativa será sempre maior que a maior das velocidades.
d) A velocidade relativa será sempre menor que a menor das velocidades.
e) A velocidade relativa estará semprecompreendida entre o valor da menor velocidade e o da 
maior velocidade.
002. (EFOMM/MARINHA/OFICIAL/2011) Um barco atravessa um rio de margens paralelas 
e largura de 4,0 km. Devido à correnteza, as componentes da velocidade do barco são Vx = 
0,50 km /h e Vy = 2,0 km / h. Considerando que, em t = 0, o barco parte da origem do sistema 
cartesiano xy (indicado na figura), as coordenadas de posição, em quilômetro, e o instante, em 
horas, de chegada do barco à outra margem são
a) (1,0; 4,0) e 1,0
b) (1,0; 4,0) e 2,0
c) (2,0; 4,0) e 4,0
d) (16; 4,0) e 4,0
e) (16; 4,0) e 8,0
003. (CESGRANRIO/ENGENHEIRO DE PETRÓLEO/PETROBRÁS/2012) Duas partículas se 
movem em sentidos opostos, com velocidades constantes, sobre o eixo x. A primeira tem uma 
velocidade de 4,0 m/s, e a segunda se move a 6,0 m/s. A distância inicial entre elas é 120 m. O 
tempo, em segundos, que passará até a colisão é de
a) 60
b) 30
c) 20
d) 15
e) 12
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FÍSICA
Hérico Avohai
004. (CONSULPLAN/OFICIAL/CBMPA/2016) Um barco ao atravessar um rio, conforme indi-
cado na figura a seguir, desloca em relação às margens uma distância de 60 m, gastando para 
isso um intervalo de tempo de 4 s.
Considere que:
- VBA = velocidade do barco em relação à água;
- VAM = velocidade da água em relação às margens; e
- VBM = velocidade do barco em relação às margens.
O módulo da velocidade do barco em relação à água se o mesmo desce o rio uma distância de 
36 m é de:
a) 6 m/s.
b) 8 m/s.
c) 10 m/s.
d) 12 m/s.
e) 14 m/s.
005. (MARINHA/ESCOLA NAVAL/ASPIRANTE/2017) Dois navios da Marinha de Guerra, as 
Fragatas Independência e Rademaker, encontram-se próximos a um farol. A Fragata Indepen-
dência segue em direção ao norte com velocidade de 15√2 nós e a Fragata Rademaker, em 
direção ao nordeste com velocidade de 20 nós. Considere que ambas as velocidades foram 
medidas em relação ao farol. Se na região há uma corrente marítima de 2,0 nós no sentido 
norte-sul, qual o módulo da velocidade relativa da Fragata Independência, em nós, em relação 
à Fragata Rademaker? (Considere )
a) 10,0
b) 12,3
c) 13,7
d) 15,8
e) 16,7
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FÍSICA
Hérico Avohai
006. (FM-ITAJUBÁ-MG/VESTIBULAR) Um barco atravessa um rio seguindo a menor distân-
cia entre as margens, que são paralelas. Sabendo que a largura do rio é de 2,0 km, a travessia 
é feita em 15 min e a velocidade da correnteza é 6,0 km/h, podemos afirmar que o módulo da 
velocidade do barco em relação à água é:
a) 2,0 km/h
b) 6,0 km/h
c) 8,0 km/h
d) 10 km/h
e) 14 km/h
007. (CESGRANRIO/OPERADOR/PETROBRÁS/2012) Um nadador atravessa um rio de 100 
m de largura. A velocidade do nadador em relação ao rio possui direção perpendicular às mar-
gens e módulo 0,5 m/s. A velocidade da correnteza do rio em relação às margens, é paralela 
às margens e possui módulo igual a 0,8 m/s. A figura abaixo é um esquema da situação que 
mostra a trajetória AB do nadador vista por um observador parado em uma das margens. As 
margens 1 e 2 são paralelas.
Se a linha AC é perpendicular às margens, qual é aproximadamente o valor em metros da dis-
tância entre os pontos C e B?
a) 50
b) 62,5
c) 100
d) 160
e) 250
008. (CESGRANRIO/OPERADOR SÊNIOR/PETROBRAS/2006) Larga-se uma bola de massa 
50,0g de uma altura de 10,0m. Supondo g = 9,8m/s2 e a resistência do ar desprezível, com que 
velocidade, em m/s, ela chegará ao solo?
a) 3,5
b) 7,0
c) 14,0
d) 70,0
e) 196,0
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FÍSICA
Hérico Avohai
(CEBRASPE/BOMBEIROS/CBMCE/2014) Nas operações de salvamento de vítimas de afoga-
mento, nadadores de resgate necessitam saltar de um helicóptero diretamente na água. Em 
uma operação de salvamento, t segundos após o salto, h(t) = 20 - 5t2, em metros, descreve a 
altura em que se encontra o nadador de resgate acima da água no instante t; v(t) = -10t, em 
metros por segundo, descreve a velocidade do nadador em queda livre no instante t.
No que se refere a essa situação hipotética, julgue os itens a seguir.
009. A distância que o nadador percorrerá em queda livre nos primeiros 1,3 s após o salto é 
superior a 10 m.
010. O gráfico abaixo descreve, corretamente, a altura do helicóptero em cada instante t e o 
tempo em que o nadador esteve em queda livre.
011. O valor absoluto da velocidade com que o nadador de resgate atinge a água é supe-
rior a 19 m/s.
012. (EFOMM/OFICIAL/MARINHA/2017) Em um determinado instante um objeto é abando-
nado de uma altura H do solo e, 2,0 segundos mais tarde, outro objeto é abandonado de uma 
altura h, 120 metros abaixo de H. Determine o valor de H, em m, sabendo que os dois objetos 
chegam juntos ao solo e a aceleração da gravidade é g = 10 m/s2.
a) 150
b) 175
c) 215
d) 245
e) 300
013. (FCC/PROFESSOR/SEDES/2016) Um corpo cai em queda livre da altura de 80 m, a partir 
do repouso. Considere para a aceleração da gravidade o valor 10 m/s2. Durante o último se-
gundo da queda o corpo cai, em m,
a) 45
b) 20
c) 16
d) 40
e) 35
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FÍSICA
Hérico Avohai
014. (EEAR/SARGENTO/AERONÁUTICA/2016) Um garoto que se encontra em uma passa-
rela de altura 20 metros, localizada sobre uma estrada, observa um veículo com teto solar 
aproximando-se. Sua intenção é abandonar uma bolinha de borracha para que ela caia dentro 
do carro, pelo teto solar. Se o carro viaja na referida estrada com velocidade constante de 72 
Km/h, a que distância, em metros, do ponto diretamente abaixo da passarela sobre a estrada 
deve estar o carro no momento em que o garoto abandonar a bola. Despreze a resistência do 
ar e adote g =10m/s2.
a) 10
b) 20
c) 30
d) 40
015. (CEBRASPE/TRANSPETRO/OPERADOR/2001) O Sol, a estrela mais próxima da Terra e 
em torno da qual nosso planeta gira em uma órbita praticamente circular, apresenta algumas 
características importantes, que são mostradas na tabela abaixo. A Terra é um planeta que 
contém água em abundância tanto no estado sólido quanto nos estados líquido e gasoso. Ela 
tem: uma atmosfera composta por vapor d’água e vários outros gases em diferentes propor-
ções; sua órbita a uma distância de 1,5 × 1011 m do centro do Sol; uma Lua com órbita circular 
a uma distância de 3,82 × 108 m do seu centro. Na tabela abaixo, também estão especificadas 
algumas características da Terra e da Lua.
Considere as seguintes situações.
I – Um objeto de massa m, na superfície da Terra e subindo, com módulo da velocidade inicial 
vertical em relação à superfície igual a 2 m/s.
II– Um objeto também de massa m, na superfície da Lua e subindo, com módulo da velocidade 
inicial vertical em relação à superfície igual a 2 m/s.
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FÍSICA
Hérico Avohai
Julgue o item seguinte:
Nesse caso, o tempo que o objeto da situação I leva para subir um metro em relação à super-
fície da Terra é igual ao tempo que o objeto da situação II leva para subir um metro em relação 
à superfície da Lua.
016. (FUVEST/VESTIBULAR/2017) Em uma tribo indígena de uma ilha tropical, o teste der-
radeiro de coragem de um jovem é deixar-se cair em um rio, do alto de um penhasco. Um des-
ses jovens se soltou verticalmente, a partir do repouso, de uma altura de 45 m em relação à 
superfície da água. O tempo decorrido, em segundos, entre o instante em que o jovem iniciou 
sua queda e aquele em que um espectador, parado no alto do penhasco, ouviu o barulho do 
impacto do jovem na água é, aproximadamente,
Note e adote:
Considere o ar em repouso e ignore sua resistência.
Ignore as dimensões das pessoas envolvidas.
Velocidade do som no ar: 360 m/s.
Aceleração da gravidade: 10 m/s2.
a) 3,1.
b) 4,3.
c) 5,2.
d) 6,2.
e) 7,0.
017. (FUNCAB/PERITO CRIMINAL/PCES/2008) Em um dia de chuva intensa, a altitude das 
nuvens relativamente ao solo era de 0,5km. Considere que a velocidade das gotas de chuva 
ao se deslocarem da posição das nuvens era de 5 m/s, que a massa média das gosta era de 
65x10-3 g e que a aceleração gravitacional era 10 m/s2.
A velocidade das gotas de chuva ao chegarem ao solo, na condição de inexistência de atrito 
com o ar em m/s, é:
a) 5
b) 25
c) 50
d) 100
e) 150
018. (CESGRANRIO/ENGENHEIRO DE PETRÓLEO/PETROBRÁS/2010) Uma partícula é lan-
çada verticalmente para cima realizando um movimento retilíneo até atingir o solo. A função 
horária de posição da partícula é dada por s(t) = 3,4 + 16t - 5t2, o tempo (t) está medido em 
segundos e a posição (s), em metros.
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FÍSICA
Hérico Avohai
Com base nas informações apresentadas acima, analise as afirmativas a seguir.
I – A partícula é inicialmente lançada para cima com velocidade igual
a 16 m/s.
II – A partícula atinge sua altura máxima 1,5 segundo após o lançamento para cima.
III – A partícula se move em MRU (Movimento Retilíneo e Uniforme).
É correto APENAS o que se afirma em
a) I.
b) II.
c) I e II.
d) I e III.
e) II e III.
019. (CESGRANRIO/PROFISSIONAL DE VENDAS/LIQUIGÁS/2015) Um objeto de massa 5 
kg é levado, em uma nave, da Terra para a Lua. Um disparador consegue, tanto na Terra quan-
to na Lua, jogar o objeto verticalmente para cima com velocidade de 6 m/s. A aceleração da 
gravidade na Lua vale 1/6 da aceleração da gravidade na Terra, e a resistência do ar pode ser 
desprezada tanto na Terra quanto na Lua.
Se na Terra a altura atingida pelo objeto ao ser disparado vale 1,8 m, na Lua o objeto atingirá a 
altura, em metros, de
Parte superior do formulário
a) 0,3
b) 0,6
c) 1,8
d) 10,8
e) 18,0
020. (NUCEPE/PROFESSOR/SEDUC-PI/2015) Um avião tipo caça, voa horizontalmente a 
uma altitude de 720 m, com velocidade constante, cujo módulo é 360 km/h, numa região em 
que a aceleração da gravidade tem módulo g=10m/s2. Num determinado instante o piloto re-
cebe uma ordem de soltar uma bomba para atingir um alvo na superfície do solo e a executa 
imediatamente. Desprezando os efeitos da resistência do ar e supondo a superfície do solo 
plana, a distância horizontal, em metros, entre o avião e o alvo, no instante em que a bomba foi 
abandonada, é igual a
a) 1000 m.
b) 1100 m.
c) 1200 m.
d) 2400 m.
e) 4320 m.
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FÍSICA
Hérico Avohai
021. (MARINHA/QUADRO COMPLEMENTAR/OFICIAL/2015) Analise a figura a seguir.
Um avião voa horizontalmente, com velocidade constante de módulo v0 = 100m/s, a uma altura 
de 80m. Esse avião está perseguindo um veículo que se move sobre o solo, no mesmo sentido 
que o avião, com velocidade constante cujo módulo é v = 20m/s, conforme ilustrado na figura 
acima. O piloto do avião deseja soltar uma bomba que atinja o veículo. Para que isso ocorra, 
determine a distância entre o veículo e a reta vertical que passa pelo avião, no momento em 
que a bomba é liberada.
a) 320m
b) 400m
c) 480m
d) 560m
e) 640m
022. (CESGRANRIO/TÉCNICO DE ESTABILIDADE/PETROBRÁS) Um objeto é lançado a par-
tir da origem de um sistema de coordenadas, com velocidade inicial de 8,0 m/s, fazendo um 
ângulo de 60 graus em relação à horizontal.
O alcance do objeto lançado, em metros, é de:
Dados: g = 10,0 m/s2
√2 = 1,4
√3 = 1,7
a) 2,8
b) 4,0
c) 5,4
d) 11,2
e) 22,4
023. (NUCEPE/PERITO CRIMINAL/PCPI/2012) Um morteiro, um artefato lançador de gra-
nadas, está afastado uma distância horizontal X de uma linha vertical posicionada sobre uma 
encosta (ver figura abaixo). O ângulo θ de lançamento do morteiro vale 30º. Uma granada é 
lançada com velocidade inicial cujo módulo vale v0 = 100 m/s. O ponto P de impacto da gra-
nada na encosta está a uma altura h = 120m em relação ao ponto de lançamento. Considere: 
sen(30º) = 0,50; cos(30º) = 0,87 e uma aceleração da gravidade g = 10m/s². Desprezando o 
atrito, o alcance horizontal X para que a granada atinja o ponto P da encosta, depois de ultra-
passar o ponto mais alto da sua trajetória, será igual a:
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Velocidade Relativa e Movimentos Bidimensionais
FÍSICA
Hérico Avohai
a) 261 metros
b) 348 metros
c) 435 metros
d) 522 metros
e) 609 metros
(CEBRASPE/SOLDADO/CBMCE/2014)
Na figura acima, é mostrada a cena de um bombeiro, que, no plano horizontal, usa um jato 
de água para apagar o incêndio em um apartamento localizado a hm de altura, em relação ao 
mesmo plano horizontal. Nessa figura, é o vetor velocidade do jato de água ao sair da man-
gueira; θi é o ângulo de inclinação do bico da mangueira em relação ao plano horizontal; e d é 
a distância entre o bombeiro e o edifício.
Com base nessas informações, considerando que sejam nulas as forças de atrito sobre qual-
quer elemento do sistema e que o jato de água seja uniforme, julgue os próximos itens.
024. O jato de água atinge o alcance máximo na horizontal quando θi = 45º.
025. A projeção no eixo horizontal do movimento das partículas de água, após saírem da man-
gueira, descreve um movimento uniformemente acelerado.
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FÍSICA
Hérico Avohai
026. A orientação do vetor velocidade do jato de água e de suas componentes nos eixos ver-
tical e horizontal do plano cartesiano que contém a trajetória do jato de água e que apresenta 
um dos eixos contido no plano horizontal em que se encontra o bombeiro pode ser correta-
mente representada pela seguinte figura, em que xM é o ponto no qual o jato de água atinge sua 
altura máxima.
027. (FGV/PERITO CRIMINAL/PCRJ/2008) A figura representa, em gráfico cartesiano, como 
o módulo v da velocidade de um projétil, lançado obliquamente do solo, varia em função do 
tempo t durante o voo, supondo desprezível a resistência do ar.
Com base no gráfico acima, é correto afirmar que o alcance do tiro foi de:
a) 480m
b) 640m
c) 800m
d) 960m
e) 1,60x103m
028. (UCS/VESTIBULAR/2015) Quando um jogador de futebol é muito veloz, uma forma di-
vertida de se referir a essa qualidade é dizer que ele é capaz de cobrar escanteio para a área 
adversária e ele mesmo correr e conseguir chutar a bola antes de ela tocar o chão. Suponha 
um jogador ficcional que seja capaz de fazer isso. Se ele cobrar o escanteio para dentro da 
área fornecendo à bola uma velocidade inicial de 20 m/s, fazendo um ângulo de 60º com a 
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FÍSICA
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horizontal, qual distância o jogador precisa correr, em linha reta, saindo praticamente de forma 
simultânea à cobrança de escanteio, para chutar no gol sem deixar a bola tocar no chão? Para 
fins de simplificação, considere que a altura do chute ao gol seja desprezível, que sen60º = 0,8, 
cos60º = 0,5, e que a aceleração da gravidade seja 10 m/s2.
a) 6 m
b) 12 m
c) 24 m
d) 32 m
e) 44 m
029. (CEPERJ/PROFESSOR/SEDUC-RJ/2011) Dois projéteis são lançados do solo a uma dis-
tância de 30m um do outro: o projétil (1) obliquamente, e o projétil (2) verticalmente para cima. 
Verifica-se que eles se chocam no instante em que ambos atingem os pontos mais altos de 
suas trajetórias, a 20m do solo, como mostra a figura abaixo.
Supondo a resistência do ar desprezível e considerando g=10m/s2, pode-se afirmar que o pro-
jétil (1) foi lançado do solo com uma velocidade de módulo igual a:
a) 20m/s
b) 25m/s
c) 30m/s
d) 40m/s
e) 50m/s
030. (IFB/PROFESSOR/IFB/2017) Um objeto é lançado obliquamente de uma altura de 10m 
do solo. A velocidade de lançamento é de 10m/s e o ângulo de lançamento é de 30º. Podemos 
afirmar que o tempo de voo do objeto até chegar no solo é de:
a) 1s
b) 2s
c) 3s
d) 4s
e) 5s
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FÍSICA
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031. (MARINHA/ESCOLA NAVAL/ASPIRANTE/2012) Um projétil é lançado contra um ante-
paro vertical situado a 20 m do ponto de lançamento. Despreze a resistência do ar. Se esse 
lançamento é feito com uma velocidade inicial de 20 m/s numa direção que faz um ângulo de 
60º com a horizontal, a altura aproximada do ponto onde o projétil se choca com o anteparo, 
em metros, é
Dados: tg60º ≈ 1,7; g = 10 m/s2
a) 7,0
b) 11
c) 14
d) 19
e) 23
032. (MARINHA/ESCOLA NAVAL/ASPIRANTE/2013) Conforme mostra a figura abaixo, em 
um jogo de futebol, no instante em que o jogador situado no ponto A faz um lançamento, o 
jogador situado no ponto B, que inicialmente estava parado, começa a correr com aceleração 
constante igual a 3,00 m/s2, deslocando-se até o ponto C. Esse jogador chega em C no instante 
em que a bola toca o chão no ponto D. Todo o movimento se processa em um plano vertical, 
e a distância inicial entre A e B vale 25,0 m. Sabendo-se que a velocidade inicial da bola tem 
módulo igual a 20,0 m/s, e faz um ângulo de 45º com a horizontal, o valor da distância, d, entre 
os pontos C e D, em metros, é
a) 1,00
b) 3,00
c) 5,00
d) 12,0
e) 15,0
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033. (MARINHA/ESCOLA NAVAL/ASPIRANTE/2015) Analise a figura abaixo.
Conforme indica a figura acima, no instante t=0, uma partícula é lançada no ar, e sua posição em 
função do tempo é descrita pela equação , com r 
em metros e t em segundos. Após 1,0 segundo, as medidas de sua altura do solo, em metros, e 
do módulo da sua velocidade, em m/s, serão, respectivamente, iguais a
a) 3,4 e 10
b) 3,6 e 8,0
c) 3,6 e 10
d) 5,4 e 8,0
e) 5,4 e 10
(QUADRIX/SEDF/PROFESSOR/2018) Considerando que uma partícula, com 
(em metros por segundo), em t = 0, sofra uma aceleração constante , de módulo a = 6 m/s², 
formando um ângulo θ de 60º com o semieixo x positivo, que sen 60º ≅ 0,9, cos 60º ≅ 0,5 e tan 
= tangente, julgue os itens a seguir.
034. Em t = 10 s, a velocidade da partícula é expressa por em metros 
por segundo.
035. As componentes x e y da aceleração são, respectivamente, ax = 3 m/s² e ay = 6 m/s².
036. O ângulo, em graus, da velocidade, em t = 10 s, é expresso por θ = tan-1 (13/32).
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Velocidade Relativa e Movimentos Bidimensionais
FÍSICA
Hérico Avohai
GABARITO
1. a
2. b
3. e
4. d
5. d
6. d
7. d
8. c
9. E
10. E
11. C
12. d
13. e
14. d
15. E
16. a
17. d
18. a
19. d
20. c
21. a
22. c
23. d
24. C
25. E
26. E
27. d
28. d
29. b
30. b
31. c
32. b
33. e
34. C
35. E
36. E
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Velocidade Relativa e Movimentos Bidimensionais
FÍSICA
Hérico Avohai
GABARITO COMENTADO
001. (AOCP/PROFESSOR/IBC/2012) Dois móveis X e Y percorrem trajetórias retilíneas e pa-
ralelas, com velocidades constantes, iguais a 30 m/s e 40 m/s, respectivamente e em módulo. 
Com base nessas informações, assinale a alternativa correta.
a) Ao se movimentarem em sentidos contrários e mesma direção, a distância entre eles, 2s 
após se cruzarem num ponto qualquer da trajetória, será de 140m.
b) Ao se movimentarem no mesmo sentido e direção a distância entre eles, 5s após se cruza-
rem num ponto qualquer da trajetória, será de 25m.
c) A velocidade relativa será sempre maior que a maior das velocidades.
d) A velocidade relativa será sempre menor que a menor das velocidades.
e) A velocidade relativa estará sempre compreendida entre o valor da menor velocidade e