MECÂNICA DOS FLUIDOS

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FÍSICA – TERMODINÂMICA E 
ONDA 
AULA 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Cristiano Cancela da Cruz 
 
 
CONVERSA INICIAL 
Uma maneira generalizada para se classificar uma máquina seria: todo 
dispositivo capaz de converter energia. A energia transformada pode ser do 
mesmo tipo da energia original ou de outra forma. Nessa classificação, existem 
diversos tipos de máquinas, como as máquinas ferramentas (furadeira, tornos, 
fresadores etc.), as máquinas elétricas (motores elétricos e geradores), as 
máquinas de fluido, entre outras. 
É justamente nas máquinas de fluido que estamos interessados aqui, pois 
nelas há troca de energia ocorre entre um sistema mecânico e um fluido, 
transformando energia mecânica em energia de fluido e vice-versa. Essas 
máquinas podem ser estáticas ou dinâmicas. Nas estáticas, uma quantidade de 
fluido encontra-se confinada dentro da máquina e é submetida a variações de 
pressão pela variação do volume do recipiente que contém o fluido, assim há 
conversão direta de energia de pressão em trabalho mecânico ou trabalho 
mecânico em energia de pressão. Já nas máquinas dinâmicas, o fluido é 
submetido a trocas de energia devido a efeitos dinâmicos. Ele escoa 
continuamente através da máquina, havendo a transformação de trabalho 
mecânico em energia cinética e desta em energia de pressão ou vice-versa. 
Devido às relações entre os fluidos e esses tipos de máquinas e 
procurando intensificar o conhecimento de seu funcionamento, vamos nesta aula 
estudar os conceitos envolvidos no escoamento de fluidos, mais especificamente 
a mecânica dos fluidos. 
Fluido é o nome dado a qualquer substância que pode fluir. Nessa classe, 
enquadram-se os líquidos e os gases, sendo os gases considerados fluidos que 
podem ser comprimidos, e os líquidos, fluidos que sofrem pouca compressão ou 
são incompressíveis, com raras exceções. 
Um fluido pode estar em repouso em determinado recipiente, como um 
copo d’água sobre a mesa, ou fluindo através de uma tubulação. No primeiro 
caso, ele encontra-se em equilíbrio, e o estudo dessa situação chama-se estática 
dos fluidos ou hidrostática. É a parte da física que estuda os líquidos e os gases 
em repouso, sob ação de um campo gravitacional constante, como ocorre, por 
exemplo, com o ar atmosférico na superfície do planeta Terra ou com óleo 
armazenado em grandes tanques em uma refinaria. No segundo caso, o do fluido 
em movimento, chama-se dinâmica dos fluidos ou hidrodinâmica, a qual lida com 
 
 
3 
a ciência de fluxo de fluido, ou seja, é a ciência natural que estuda o movimento 
de fluidos. 
Vamos fazer uso das leis de Newton e da conservação da energia obtendo 
aplicações simples para o estudo do comportamento dos fluidos. Definiremos 
grandezas básicas como densidade e pressão, estudaremos a lei de Pascal, o 
princípio de Arquimedes, o empuxo e as equações da continuidade e de 
Bernoulli. 
Bom estudo! 
TEMA 1 – DENSIDADE 
As máquinas de fluido podem ser classificas como máquinas hidráulicas 
ou máquinas térmicas. As hidráulicas são aquelas em que a densidade do fluido 
que participa da troca de energia entre um sistema mecânico e o próprio fluido 
não varia sensivelmente em seu percurso através da máquina, ou seja, a 
densidade do fluido permanece constante. Já as térmicas são aquelas em que a 
densidade do fluido em seu percurso através da máquina varia sensivelmente, 
logo, não se pode considerar a densidade do fluido constante. 
Como se pode ver, a densidade é um fator importante quando tratamos 
de fluidos. As grandezas de força e massa são essenciais para as leis de 
Newton, mas, na mecânica dos fluidos, elas não funcionam. O peso do fluido 
depende da quantidade de fluido existente, assim como da sua massa. Se 
aplicarmos forças no fluido, ele não vai se comportar como um corpo sólido, suas 
partes vão descrever movimentos diferentes. Devido a essas dificuldades, 
quando estudamos a dinâmica em fluidos, o melhor é tratar o fluido por meio da 
grandeza de densidade em vez da massa. 
O conceito de densidade não se aplica apenas aos fluidos, ele também é 
válido para sólidos. É uma característica do material, matéria-prima, com que é 
feito o objeto. Ela representa a relação entre massa e volume, ou seja, a massa 
do material por unidade de volume. Quando um objeto produzido com 
determinada matéria-prima possui a mesma densidade em qualquer parte, é dito 
homogêneo. Corriqueiramente, costuma-se representar a densidade pela letra 
grega ρ (lê-se rô). 
A densidade de um fluido ou material homogêneo será dada pela relação 
da massa do objeto pelo seu volume: 
 
 
4 
𝝆𝝆 = 
𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎
𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒎𝒎𝒗𝒗
= 
𝒎𝒎
𝑽𝑽
 
A unidade de densidade no sistema internacional de unidades (S.I.) é o 
quilograma por metro cúbico �𝑲𝑲𝑲𝑲
𝒎𝒎𝟑𝟑
� e no sistema CGS é dada em gramas por 
centímetro cúbico � 𝑲𝑲
𝒄𝒄𝒎𝒎𝟑𝟑
�. A relação entre essas duas unidades é: 
𝟏𝟏 
𝑲𝑲
𝒄𝒄𝒎𝒎𝟑𝟑
= 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 
𝑲𝑲𝑲𝑲
𝒎𝒎𝟑𝟑
 
Na tabela a seguir, estão listadas algumas substâncias e suas respectivas 
densidades com unidade no sistema internacional de unidades. Caso queira os 
valores no sistema CGS, basta dividir os valores de densidade por 1000. 
Tabela 1 – Densidade de algumas substâncias 
Material 
Densidade 
�𝒌𝒌𝑲𝑲 𝒎𝒎𝟑𝟑⁄ �∗ 
Material 
Densidade 
�𝒌𝒌𝑲𝑲 𝒎𝒎𝟑𝟑⁄ �∗ 
Ar (1 atm, 20 °C) 1,20 FERRO, AÇO 7,8 X 103 
Etanol 0,81 X 103 Bronze 8,6 X 103 
Benzeno 0,90 X 103 Cobre 8,9 X 103 
Gelo 0,92 X 103 prata 10,5 X 103 
Água 1,00 X 103 Chumbo 11,3 X 103 
Água do mar 1,03 X 103 mercúrio 13,6 X 103 
Sangue 1,06 X 103 Ouro 19,3 X 103 
Glicerina 1,26 X 103 platina 21,4 X 103 
Concreto 2 X 103 estrela anã branca 1010 
Alumínio 2,7 X 103 estrela de nêutrons 1018 
 
Fonte: Young; Freedman, 2015, p. 82. 
Quando o material não possui densidade homogênea, a exemplo do ar 
atmosférico terrestre, o qual é mais denso a baixas altitudes e menos denso em 
pontos elevados, costuma-se representar a densidade por um valor de 
densidade média. 
TEMA 2 – PRESSÃO 
No estudo da dinâmica do movimento de objetos sólidos extensos e 
pontuais, a força gravitacional deve sempre ser considerada e, segundo Newton, 
 
 
5 
está diretamente relacionada com a massa do objeto. Por essa razão, pode-se 
dizer que as grandezas de força e massa são fundamentais no estudo da 
dinâmica do movimento. 
Quando aplicamos forças em objetos sólidos, de massa bem definida, 
todas as partes dele movem-se juntas e de maneira previsível, no entanto, isso 
não acontece com os fluidos. Nesse sentido, para facilitar o estudo da mecânica 
de fluidos, as quantidades de massa e força devem ser substituídas 
respectivamente pelas grandezas de densidade e pressão. 
Já trabalhamos o conceito de densidade e vimos que ele se aplica a 
matéria em qualquer estado – no estado sólido, mas também no estado líquido 
e no gasoso. Da mesma forma ocorre com a pressão: seu conceito pode ser 
aplicado a matéria em qualquer forma e é fundamental para o estudo da 
hidrostática e da hidrodinâmica. Ele estabelece o valor da força aplicada 
perpendicularmente em determinada área. Para entender melhor, suponha um 
bloco de concreto com peso igual a 2,8 KN e com uma superfície de contato de 
área igual a 0,16 m2 que está apoiada sobre o solo, conforme a Figura 1. 
Figura 1 – Bloco de concreto apoiado no solo 
 
O bloco de concreto, devido à atração gravitacional, exerce uma força 
peso de 2800 N sobre o solo, e a pressão exercida por esse bloco no solo será 
determinada pela força que cada parte da área de contato está suportando. Para 
 
 
6 
isso, faremos a razão entre a força que o bloco exerce sobre o solo, no caso a 
força peso, e a área do solo que está suportando essa força. 
𝑷𝑷𝑷𝑷𝒗𝒗𝒎𝒎𝒎𝒎ã𝒗𝒗 = 
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑵𝑵
𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟐𝟐
= 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟓𝟓 
𝑲𝑲𝑵𝑵
𝒎𝒎𝟐𝟐
= 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟓𝟓
𝑵𝑵𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐
 
Isso quer dizer que cada 1 cm2 da base do bloco está comprimindo o solo 
com uma força de 1,75 N. Pressão é isso, a razão da força aplicada pela área 
onde a força está sendo aplicada. 
 Portanto, a pressão é uma grandeza escalar, calculada pela divisão do 
módulo da força aplicada pela área da superfície onde a força está atuando. 
𝑷𝑷 = 
𝑭𝑭𝒗𝒗𝑷𝑷ç𝒎𝒎
Á𝑷𝑷𝒗𝒗𝒎𝒎
= 
𝑭𝑭
𝑨𝑨
 
onde: P = pressão 
F = força aplicada 
A = área de aplicação da força 
 A unidade de força é o newton (N), e a unidade de área é o m2, ambas no 
S.I. A razão entre força e área resulta em 
𝑵𝑵
𝒎𝒎𝟐𝟐
. Em homenagem a Blaise Pascal, 
a unidade de pressão no sistema internacional de unidades (S.I.) é o Pascal, de 
símbolo Pa. Desta forma: 
𝟏𝟏
𝑵𝑵
𝒎𝒎𝟐𝟐
= 𝟏𝟏 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒄𝒄𝒎𝒎𝒗𝒗 = 𝟏𝟏 𝑷𝑷𝒎𝒎 
 A pressão pode ser medida em outras unidades, por exemplo: atmosferas 
(atm), milímetros de mercúrio (mmHg), libras por polegada quadrada (lb/pol²), 
milibars (mbar) etc. A seguir, pode-se ver a relação entre as principais unidades 
de pressão. 
𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 .𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 𝑷𝑷𝒎𝒎 = 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒂𝒂𝒎𝒎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝑲𝑲 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟏𝟏
𝒗𝒗𝒍𝒍
𝒑𝒑𝒗𝒗𝒗𝒗𝟐𝟐
= 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑,𝟐𝟐𝟓𝟓 𝒎𝒎𝒍𝒍𝒎𝒎𝑷𝑷 
2.1 Pressão de uma coluna de líquido 
Agora que conhecemos o conceito de pressão, vamos com ele determinar 
uma equação que nos permita calcular a pressão exercida por um fluido. 
 
 
7 
Mesmo em repouso, um fluido exerce forças perpendiculares sobre 
qualquer superfície que esteja em contato com ele, seja a parede interna do 
recipiente ou a superfície de um objeto submerso nele. Isso se deve às colisões 
das partículas que compõem o líquido com as superfícies em contato com ele. 
Se pensarmos em um tubo cilíndrico preenchido com um fluido líquido, 
como o representado na Figura 2, a pressão exercida pelo fluido vai variar 
conforme aumentamos a profundidade. Isso ocorre pois quanto maior a 
profundidade, maior a quantidade de fluido e consequentemente maior o peso 
do fluido. Desta maneira, queremos deduzir uma equação que represente a 
pressão exercida pelo fluido em função da profundidade. Para isso, vamos 
considerar que o fluido é homogêneo, ou seja, sua densidade 𝝆𝝆 é constante em 
todas suas partes, e o recipiente que o contém tem formato cilíndrico com raio r. 
A altura da coluna de fluido da superfície até o fundo do recipiente será h, 
e a aceleração da gravidade local é constante, dado por g = 9,8 m/s2. Essas 
informações podem ser vistas na Figura 2. 
Figura 2 – Recipiente cilíndrico com raio r 
 
Crédito: Jefferson Schnaider. 
 
 
8 
As moléculas de ar também aplicam forças na superfície superior da 
interface que separa o líquido do ar atmosférico, em outras palavras, exercem 
pressão, caracterizando a pressão atmosférica Po. 
A pressão P que o fluido exerce no fundo do recipiente terá a contribuição 
da pressão atmosférica Po, que atua na superfície do fluido, somada à pressão 
exercida pelo próprio fluido, PF, dada por: 
𝑷𝑷 = 𝑷𝑷𝒗𝒗 + 𝑷𝑷𝑭𝑭 
Pelo conceito de pressão: 
𝑷𝑷𝑷𝑷𝒗𝒗𝒎𝒎𝒎𝒎ã𝒗𝒗 = 
𝑭𝑭𝒗𝒗𝑷𝑷ç𝒎𝒎
Á𝑷𝑷𝒗𝒗𝒎𝒎
= 
𝑭𝑭
𝑨𝑨
 
A pressão do fluido PF no fundo do recipiente também pode ser 
determinada pela força aplicada pelo fluido dividida pela área onde a força é 
aplicada. 
𝑷𝑷𝑭𝑭 = 
𝑭𝑭
𝑨𝑨
 
A força F aplicada no fundo do recipiente é o peso do próprio fluido que 
nele está contido, e a área A onde essa força está sendo aplicada é a área do 
fundo do recipiente. 
O peso determinado por: 
𝑷𝑷𝒗𝒗𝒎𝒎𝒗𝒗 = 𝒎𝒎 .𝑲𝑲 
Lembrando que para fluidos devemos representar a massa pela 
densidade, então, substituindo a massa m na equação pela correspondente a 
densidade, 
𝝆𝝆 = 
𝒎𝒎
𝑽𝑽
 
Logo: 
𝒎𝒎 = 𝝆𝝆 .𝑽𝑽 
Substituindo: 
𝑷𝑷𝒗𝒗𝒎𝒎𝒗𝒗 = 𝝆𝝆 .𝑽𝑽 .𝑲𝑲 
Para calcular o volume V do fluido, devemos lembrar da geometria. Como 
a forma do recipiente é cilíndrica, o volume será determinado pelo produto da 
área da base A pela altura de fluido h. 
 
 
9 
𝑽𝑽 = 𝑨𝑨 .𝒉𝒉 
Então: 
𝑷𝑷𝒗𝒗𝒎𝒎𝒗𝒗 = 𝝆𝝆 .𝑨𝑨.𝒉𝒉 .𝑲𝑲 
Substituindo na equação da pressão do fluido: 
𝑷𝑷𝑭𝑭 = 
𝑭𝑭
𝑨𝑨
 
𝑷𝑷𝑭𝑭 = 
𝝆𝝆 .𝑨𝑨.𝒉𝒉 . 𝐠𝐠
𝑨𝑨
 
𝑷𝑷𝑭𝑭 = 𝝆𝝆 .𝑲𝑲 .𝐡𝐡 
Portanto, a pressão no fundo do recipiente será determinada por: 
𝑷𝑷 = 𝑷𝑷𝒗𝒗 + 𝑷𝑷𝑭𝑭 
𝑷𝑷 = 𝑷𝑷𝒗𝒗 + 𝝆𝝆 .𝑲𝑲 .𝐡𝐡 
Onde: Po = pressão atmosférica; 
ρ = densidade do fluido; 
g = aceleração da gravidade; e 
h = profundidade. 
Apesar da dedução de a equação ser obtida para calcular a pressão no 
fundo do recipiente, ela é válida para determinar a pressão a qualquer 
profundidade h no interior do fluido. 
Observe na equação que a pressão só depende da profundidade h, pois 
as outras grandezas são constantes. Isso nos leva a concluir que todos os pontos 
do fluido que estão a uma mesma profundidade possuem a mesma pressão, 
independentemente da forma geométrica do recipiente. 
Também pode-se verificar na equação que se aumentarmos a pressão Po 
na superfície do fluido, a pressão em qualquer ponto do fluido também vai 
aumentar na mesma quantidade. Essa observação foi feita primeira vez por 
Blaise Pascal e ficou formulada como o Princípio de Pascal. 
 
 
 
10 
Saiba mais 
A pressão exercida em qualquer ponto de um fluido é transmitida 
integralmente a todos os pontos do fluido e também para as paredes do 
recipiente que o contém. 
 Com base nesse princípio, muitos dispositivos foram construídos, entre 
eles a alavanca hidráulica. A alavanca hidráulica, conforme podemos ver na 
Figura 3, é uma máquina hidráulica, um dispositivo que pode ser utilizado para 
amplificar uma força. 
Figura 3 – Elevador hidráulico 4 toneladas 
 
Créditos: DiMatague/Shutterstock. 
Com ele, pode-se aplicar uma pequena força em um pistão de entrada e 
obter uma força maior no pistão de saída, porém o trabalho realizado é o mesmo, 
tanto para força de entrada quanto para de saída. 
O esquema de funcionamento do elevador hidráulico que utiliza o princípio 
de Pascal em seu funcionamento pode ser observado na Figura 4. 
 
 
 
11 
Figura 4 – Princípio de Pascal aplicado à alavanca hidráulica 
 
Crédito: Jefferson Schnaider. 
Uma pequena força é aplicada no pistão de entrada com área pequena 
Ae. De acordo com o princípio de Pascal, isso causa uma variação de pressão 
no fluido do dispositivo, e essa variação se transmite por todo o fluido para o 
pistão de saída com área maior As, resultando em uma força de saída maior 
capaz de sustentar o carro. Logo, se a variação de pressão na entrada Pe é igual 
à variação de pressão na saída Ps, podemos escrever: 
∆𝑷𝑷𝒗𝒗 = ∆𝑷𝑷𝒎𝒎 
Logo, 
𝑭𝑭𝒗𝒗
𝑨𝑨𝒗𝒗
= 
𝑭𝑭𝒎𝒎
𝑨𝑨𝒎𝒎
 
 Se deslocarmos o pistão de entrada uma quantidade de, o pistão de saída 
deslocará uma quantidade ds, e nesse caso o volume de líquido deslocado em 
cada pistão será o mesmo. Portanto: 
𝑽𝑽 = 𝑨𝑨𝒗𝒗𝒅𝒅𝒗𝒗 = 𝑨𝑨𝒎𝒎𝒅𝒅𝒎𝒎 
 Analisando o trabalho realizado no pistão de saída, temos que: 
𝑾𝑾 = 𝑭𝑭𝒎𝒎𝒅𝒅𝒎𝒎 = 
𝑭𝑭𝒗𝒗𝑨𝑨𝒎𝒎
𝑨𝑨𝒗𝒗
 .
𝒅𝒅𝒗𝒗𝑨𝑨𝒗𝒗
𝑨𝑨𝒎𝒎
= 𝑭𝑭𝒗𝒗𝒅𝒅𝒗𝒗 
 
 
12 
 Isso mostra que o trabalho realizado na entrada 𝑾𝑾𝒗𝒗 = 𝑭𝑭𝒗𝒗𝒅𝒅𝒗𝒗 é o mesmo 
que o trabalho realizado no pistão de saída 𝑾𝑾𝒎𝒎 = 𝑭𝑭𝒎𝒎𝒅𝒅𝒎𝒎 
2.2 Pressão absoluta e pressão manométrica 
Se a pressão no interior de um balão de gás for igual à pressão 
atmosférica, o balão vai estar murcho. Para que o balão fique cheio, 
apresentando certa dureza, a pressão no interior do balão deve ser maior que a 
pressão atmosférica. Existe, portanto, uma diferença de pressão entre a pressão 
interna e a externa. Essa diferença de pressão, o excesso de pressão acima da 
pressão atmosférica, é denominada pressão manométrica. Porém, a pressão 
total é o somatório da pressão interna com a pressão externa, denominada 
pressão absoluta. 
Por exemplo, um tanque para armazenargasolina que possui densidade 
de 715 kg/m3 possui altura de 14 metros e diâmetro de 83 metros. A capacidade 
de armazenamento por tanque é de 80 mil metros cúbicos. A pressão absoluta 
no fundo do tanque será: 
𝑃𝑃 = 𝑃𝑃𝑜𝑜 + 𝜌𝜌 .𝑔𝑔. ℎ 
𝑃𝑃 = 1,01.105 + 715 . 9,8. 14 
𝑷𝑷 = 𝟏𝟏,𝟗𝟗𝟗𝟗.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 𝑷𝑷𝒎𝒎 
Já a pressão manométrica, 
𝑃𝑃 − 𝑃𝑃𝑜𝑜 = 1,99.105 − 1,01.105 
𝑷𝑷 − 𝑷𝑷𝒗𝒗 = 𝟏𝟏,𝟗𝟗𝟐𝟐 .𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝑷𝑷𝒎𝒎 
TEMA 3 – EMPUXO 
Podemos experimentar o efeito do empuxo quando erguemos objetos que 
estão submersos na água – eles parecem estar mais leves que quando estão 
fora dela. Esse efeito também pode ser sentido quando entramos na piscina, na 
água do mar ou mesmo em uma banheira, quando temos a sensação de nossos 
corpos parecem mais leves. 
Esse sentimento ocorre devido à presença da força de empuxo que surge 
ao submergir o objeto em um fluido. De acordo com a dinâmica de Newton, a 
força gravitacional que atua no corpo continua a mesma, pois não ocorre 
 
 
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alteração da massa e muito menos da aceleração da gravidade local. Para 
explicar a sensação de estar mais leve, deve existir outra força que atua em 
sentido contrário à força gravitacional, minimizando sua ação. Essa força é a 
força de empuxo. 
Figura 5 – Esfera em queda livre e submersa em um fluido 
 
Na Figura 5, à esquerda, pode-se ver uma esfera em queda livre. Nessa 
situação, a única força que atua na esfera é a força gravitacional, sua força peso. 
No entanto, se observarmos a figura da direita, a mesma esfera quando estiver 
submersa em um fluido ficará sujeita a outra força, contrária à força gravitacional, 
chamada de força de empuxo. 
Isso é explicado pelo princípio de Arquimedes, que nos diz que, quando 
um corpo está total ou parcialmente submerso em um fluido, o fluido ao redor 
dele exerce forças de empuxo sobre o corpo. A resultante dessas forças está 
verticalmente dirigida para cima e possui uma intensidade igual ao peso do 
volume de fluido que foi deslocado pelo corpo ao ser submerso. Sendo mf a 
massa do fluido deslocado quando o corpo é submerso e considerando g a 
aceleração da gravidade, a intensidade da força de empuxo E pode ser calculada 
pela relação: 
𝑬𝑬 = 𝒎𝒎𝒇𝒇.𝑲𝑲 
Vamos fazer alguns ajustes nessa equação. Como vimos, em um fluido, 
é melhor expressar a massa pela densidade. Lembrando que a densidade do 
fluido será dada por, 𝝆𝝆𝒇𝒇 = 
𝒎𝒎𝒇𝒇
𝑽𝑽
, então, substituindo a massa do fluido pelo produto 
da densidade pelo volume V do fluido deslocado, temos: 
 
 
14 
𝒎𝒎𝒇𝒇 = 𝝆𝝆𝒇𝒇 .𝑽𝑽 
Logo, o módulo do empuxo pode ser calculado por: 
𝑬𝑬 = 𝝆𝝆𝒇𝒇 .𝑲𝑲 .𝑽𝑽 
Com esta informação, completamos as características do vetor força de 
empuxo. O módulo pode ser calculado pela equação apresentada, sua direção 
é sempre vertical, e o sentido é para cima. 
3.1 Peso aparente em um fluido 
 Se medirmos o peso de um corpo com um dinamômetro, o valor obtido 
será exatamente o peso do corpo. Chamamos esse peso de peso real, o qual é 
indicado por Preal. Agora, se realizarmos o mesmo procedimento com o corpo 
submerso em um fluido, a força de empuxo E para cima sobre o corpo faz com 
que a leitura no dinamômetro seja menor. Essa leitura é o peso aparente Pap. 
Veja a Figura 6. 
Figura 6 – Na esquerda, o volume inicial de água e o peso real do cilindro; e na 
direita, o volume final de água e o peso aparente (Pap) medido no dinamômetro 
quando o cilindro é imerso na água 
 
O dinamômetro é um instrumento que, pela deformação de uma mola, é 
capaz de medir a força que provocou essa deformação. Ao pendurar o cilindro 
 
 
15 
no dinamômetro, como mostrado na Figura 6 à esquerda, a mola sofre 
deformação devido à força peso do cilindro. Chamamos o valor de força marcado 
no dinamômetro de peso real Preal. Ao submergir o cilindro em um fluido, a força 
de empuxo também passa a atuar, havendo um novo equilíbrio de forças, como 
mostrado na Figura 6 à direita. Chamamos o valor de força marcado no 
dinamômetro neste momento de peso aparente Pap. Desta forma, podemos 
escrever: 
𝑷𝑷𝒎𝒎𝒑𝒑 = 𝑷𝑷𝑷𝑷𝒗𝒗𝒎𝒎𝒗𝒗 − 𝑬𝑬 
3.2 Flutuação 
 Ao submergir um objeto em um fluido, podem ocorrer dois possíveis 
acontecimentos: ou o objeto vai flutuar no fluido, ou vai afundar. Quando um 
corpo flutua em um fluido, a intensidade da força de empuxo E sobre o corpo é 
igual à intensidade da força gravitacional Fg agindo sobre ele. 
𝑬𝑬 = 𝑭𝑭𝑲𝑲 
 Portanto, quando um corpo flutua em um fluido, a intensidade Fg da força 
gravitacional sobre o corpo é igual ao peso P = mf . g do fluido que foi deslocado 
pelo corpo, ou seja, o corpo flutuante desloca o seu próprio peso de fluido. 
Por outro lado, se o corpo afunda no fluido, a força peso do objeto é maior 
que a força de empuxo, resultando em uma força que tende a levar o objeto para 
o fundo. 
TEMA 4 – HIDRODINÂMICA 
Até o momento, trabalhamos os conhecimentos sobre fluidos 
considerando que estes estavam estáticos. Agora, com os conhecimentos 
adquiridos, podemos nos aprofundar e estudar o movimento de um fluido, 
chamado de escoamento. O estudo do escoamento de um fluido é muito 
complexo, mas, se levarmos em consideração algumas condições que envolvem 
as propriedades dos fluidos em movimento, podemos criar um modelo idealizado 
que facilitará a descrição desse movimento. 
Considera-se um fluido ideal o fluido não viscoso, ou seja, que não possui 
atrito interno entre as moléculas nem com as paredes da tubulação. Deve possuir 
 
 
16 
densidade constante, pois deve ser incompressível, e em determinado ponto a 
velocidade de escoamento em função do tempo deve ser constante. 
A trajetória de uma partícula individual do fluido durante o escoamento 
chama-se linha de escoamento ou linha de fluxo. Do princípio proposto por 
Daniel Bernoulli, se a velocidade de uma partícula de um fluido aumenta 
enquanto ela se escoa ao longo de uma linha de escoamento, a pressão do fluido 
deve diminuir e vice-versa. 
O escoamento pode ocorrer de duas maneiras: quando as linhas de 
escoamento de diversas partículas que constituem o fluido fluem em camadas 
adjacentes do fluido, deslizando uma sobre as outras, o escoamento é dito 
laminar; já quando a velocidade de escoamento do fluido aumenta 
drasticamente, tornando-o irregular e caótico, e as linhas de escoamento se 
misturam constantemente, variando a todo momento, o escoamento é dito 
turbulento. 
4.1 Equação da continuidade 
 Uma característica muito importante no escoamento de fluidos é que a 
massa deles não se altera durante o processo, ou seja, a quantidade de fluido 
que entra em um ponto da tubulação é igual à quantidade de fluido que sai em 
outro ponto. Isso pode ser demonstrado e comprovado pela equação da 
continuidade. Para deduzir essa relação, vamos analisar o escoamento de um 
fluido em uma tubulação onde a entrada do tubo possui área da seção reta A1, 
e a saída, a área A2. Veja a Figura: 
Figura 7 – Tubo de escoamento com seção reta de área variável 
 
 
 
17 
A velocidade do fluido é tangente às paredes da tubulação em qualquer 
ponto, sendo a velocidade de escoamento na seção de área A1 igual a V1, e a 
velocidade na seção de área A2 igual a V2. 
 Em um pequeno intervalo de tempo 𝜟𝜟t, uma partícula do fluido que estava 
entrando na tubulação na seção A1 desloca-se uma quantidade𝜟𝜟𝒙𝒙𝟏𝟏 = 𝑽𝑽𝟏𝟏.𝜟𝜟𝒂𝒂, e, 
durante o mesmo intervalo de tempo, uma partícula do fluido desloca-se uma 
quantidade 𝜟𝜟𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝑽𝑽𝟐𝟐.𝜟𝜟𝒂𝒂 na saída do tubo de seção A2. Como a quantidade de 
fluido que entra na tubulação deve ser igual à quantidade de fluido que sai, os 
volumes de fluido em cada seção reta do tubo no mesmo intervalo de tempo 
devem ser os mesmos. 
 O volume de fluido deslocado na seção de área A1 no intervalo de tempo 
dt será dado por: 
𝑽𝑽𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒎𝒎𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝑨𝑨𝟏𝟏. 𝑽𝑽𝟏𝟏𝜟𝜟𝒂𝒂 
 E o volume de fluido deslocadona seção de área A2 no mesmo intervalo 
de tempo, será: 
𝑽𝑽𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒎𝒎𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝑨𝑨𝟐𝟐 𝑽𝑽𝟐𝟐 𝚫𝚫𝒂𝒂 
Como vimos, essas quantidades são iguais, e, portanto, podemos 
escrever: 
𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑽𝑽𝟏𝟏𝚫𝚫𝒂𝒂 = 𝑨𝑨𝟐𝟐 𝑽𝑽𝟐𝟐 𝚫𝚫𝒂𝒂 
Logo, a equação da continuidade para um fluido incompressível será dada 
por: 
𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑽𝑽𝟏𝟏 = 𝑨𝑨𝟐𝟐 𝑽𝑽𝟐𝟐 
A relação do produto da área da seção da tubulação pela velocidade de 
escoamento do fluido nesta área (𝑨𝑨.𝑽𝑽) é chamada de vazão volumétrica. Essa 
medida descreve a taxa com a qual o volume do fluido atravessa a seção reta 
do tubo por unidade de tempo. Podemos escrever: 
𝑽𝑽𝒎𝒎𝑽𝑽ã𝒗𝒗 𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒎𝒎é𝒂𝒂𝑷𝑷𝒕𝒕𝒄𝒄𝒎𝒎 = 
𝒅𝒅 𝑽𝑽𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒎𝒎𝒗𝒗
𝒅𝒅𝒂𝒂
= 𝑨𝑨.𝑽𝑽 
 Já a vazão mássica, ou seja, a taxa de variação da massa do fluido por 
unidade de tempo através da seção reta do tubo será dada pelo produto da 
densidade do fluido pela vazão volumétrica: 
𝑽𝑽𝒎𝒎𝑽𝑽ã𝒗𝒗 𝒎𝒎á𝒎𝒎𝒎𝒎𝒕𝒕𝒄𝒄𝒎𝒎 = 
𝒅𝒅𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎
𝒅𝒅𝒂𝒂
= 𝝆𝝆
𝒅𝒅 𝑽𝑽𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒎𝒎𝒗𝒗
𝒅𝒅𝒂𝒂
= 𝝆𝝆.𝑨𝑨.𝑽𝑽 
 
 
18 
TEMA 5 – EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
A equação de Bernoulli complementa a equação da continuidade e torna-
se essencial para analisar escoamentos, por exemplo, em sistemas de 
encanamento e em tubulações de usinas hidrelétricas e até mesmo a 
sustentação de uma aeronave durante o voo. Essa equação traz a relação entre 
pressão, velocidade de escoamento e altura da tubulação no escoamento de 
fluidos ideais. 
A dependência da pressão em relação à velocidade de escoamento 
decorre quando um fluido percorre uma tubulação que afunila, então a 
velocidade de escoamento do fluido deve ser cada vez maior, ou seja, o fluido 
deve ser acelerado. Para que isso ocorra, deve existir uma força resultante que 
empurre o fluido para frente aumentando sua velocidade. Isso ocorre porque a 
pressão ao longo da tubulação varia. Outro fator que faz a pressão variar nos 
diversos pontos da tubulação é quando existe uma diferença de altura em pontos 
distintos da tubulação. 
Nesta aula, não vamos nos ater à dedução da equação de Bernoulli, 
vamos apenas analisá-la com a intensão de compreendê-la. 
Observe a Figura 8, que apresenta uma tubulação que afunila e ao mesmo 
tempo se eleva do ponto indicado pela coordenada y1 até o ponto mais alto da 
tubulação, indicado pela coordenada y2. 
Figura 8 – Equação de Bernoulli 
 
Crédito: Jefferson Schnaider. 
 
 
19 
 A equação de Bernoulli afirma que o trabalho realizado pelo fluido das 
vizinhanças sobre uma unidade de volume de fluido é igual à soma das variações 
da energia cinética e da energia potencial ocorridas na unidade de volume 
durante o escoamento. Em termos de pressão, pode-se escrever como: 
𝑷𝑷𝟏𝟏 + 𝝆𝝆𝑲𝑲𝒚𝒚𝟏𝟏 + 
𝟏𝟏
𝟐𝟐
 𝝆𝝆𝒗𝒗𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝑷𝑷𝟐𝟐 + 𝝆𝝆𝑲𝑲𝒚𝒚𝟐𝟐 + 
𝟏𝟏
𝟐𝟐
 𝝆𝝆𝒗𝒗𝟐𝟐𝟐𝟐 
 A equação de Bernoulli relaciona a pressão P com a velocidade de 
escoamento v e a altura y para quaisquer dois pontos da tubulação, supondo o 
escoamento estacionário de um fluido ideal. 
Saiba mais 
“A equação de Bernoulli se aplica apenas em certas situações. 
Acentuamos mais uma vez que a equação de Bernoulli vale somente para o 
escoamento estacionário de um fluido incompressível sem atrito interno 
(viscosidade). Por ser uma equação simples e fácil de usar, pode surgir a 
tentação de utilizá-la em situações para as quais ela não é válida” (Young; 
Freedman, 2015, p. 95). 
FINALIZANDO 
Muitos equipamentos na atmosfera da engenharia utilizam das 
propriedades e características dos fluidos, líquidos ou gases para o seu 
funcionamento. Durante o funcionamento dessas máquinas, o fluido pode estar 
em repouso ou em movimento, e o estudo dessas condições chama-se 
respectivamente estática dos fluidos ou dinâmica dos fluidos. Do ponto de vista 
da dinâmica, devido ao comportamento dos fluidos durante seu movimento ser 
diferente do esperado por um corpo sólido, costuma-se substituir a massa de 
fluido pela densidade, e a grandeza força pela pressão. 
A densidade é uma grandeza física que representa a matéria-prima com 
a qual é feito um objeto, e seu conceito pode ser aplicado independentemente 
do estado em que a matéria se apresente – sólido, líquido ou gasoso. A 
densidade descreve a quantidade de massa de matéria presente em 
determinado volume. 
 
 
20 
A pressão exercida por um fluido representa a força resultante aplicada 
pelas minúsculas partículas que compõem o fluido por unidade de área da 
superfície onde estas forças estão agindo. A medida de pressão é expressa na 
unidade Pascal, em homenagem a Blaise Pascal, que, entre seus estudos, 
descreveu o princípio de Pascal. A principal aplicação desse princípio na 
engenharia é na prensa hidráulica, uma máquina conhecida como alavanca 
hidráulica, capaz de exercer forças enormes. 
Outra lei importante quando se trata de fluidos é o princípio de 
Arquimedes, que faz relação ao comportamento de um objeto quando ele se 
encontra submerso em um fluido, pois o fluido ao redor do objeto exerce forças 
de empuxo sobre o corpo proporcionando uma força de empuxo resultante 
dirigida verticalmente para cima com intensidade que apresenta o mesmo valor 
do peso do volume de fluido que foi deslocado pelo objeto ao ser submerso. 
Além dessas leis importantes, tratadas na ocasião sobre movimento de 
fluidos, estabelecendo relações entre o escoamento do fluido, as medidas de 
velocidade de escoamento e a área da tubulação obtidas pela equação da 
continuidade, a qual foi complementada com a equação de Bernoulli, que traz a 
relação entre pressão, velocidade de escoamento e altura da tubulação no 
escoamento de fluidos ideais. 
 
 
21 
REFERÊNCIAS 
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física II, Sears e Zemansky: termodinâmica 
e ondas. 14. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2015. 
	Muitos equipamentos na atmosfera da engenharia utilizam das propriedades e características dos fluidos, líquidos ou gases para o seu funcionamento. Durante o funcionamento dessas máquinas, o fluido pode estar em repouso ou em movimento, e o estudo des...
	A densidade é uma grandeza física que representa a matéria-prima com a qual é feito um objeto, e seu conceito pode ser aplicado independentemente do estado em que a matéria se apresente – sólido, líquido ou gasoso. A densidade descreve a quantidade de...
	A pressão exercida por um fluido representa a força resultante aplicada pelas minúsculas partículas que compõem o fluido por unidade de área da superfície onde estas forças estão agindo. A medida de pressão é expressa na unidade Pascal, em homenagem a...