exercicios de algebra

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Nome: Gustavo Henrique de Castro Sampaio
Curso: Engenharia de Software
Professor: Antônio Anatalino
Disciplina: Cálculo Diferencial e integral
Exercícios
1) Calcule x, y e z, sabendo que 𝑥9 = 
𝑦
11 = 
𝑧
15 𝑒 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 420.
Resposta:
𝑋 + 𝑌 + 𝑍 = 420
𝑋
9 = 
𝑌
11 = 
𝑍
15 
𝑋 = 9 𝑌 = 11𝑋9 𝑍 =
15𝑋
9 = 420
420. 𝑋 = 420. 9 = 3780 
9𝑋 + 11𝑋 + 15𝑋 = 35𝑋
35𝑋 = 3780
𝑋 = 378035 → 𝑋 = 108 
𝑌 = 1089 = 12 ⤨
𝑌
11 = 132 
𝑍 = 1089 → 12 ⤨
𝑍
15 = 180 
2) Determine os antecedentes de uma proporção, sabendo que sua soma é 47 e que
os consequentes são 2 e 8.
Resposta: 9, 4 𝑒 37, 6
𝑎
2 = 
𝑏
8 = 47
𝑎 + 𝑏 = 47 
Regra de 3 (⤨A)
𝑎 ⤨ 𝑏
2 8 → 8𝑎 = 2𝑏
8. 𝑎 = 2. (47 − 𝑎)
8𝑎 = 94 − 2𝑎
8𝑎 + 2𝑎 = 94
10𝑎 = 94 → 𝑎 = 9410 → 𝑎 = 9, 4 
𝑏 = 47 − 9, 4 → 𝑏 = 37, 6 
3. Determine dois números, sabendo que sua soma é 60 e que a razão entre eles
é 23 .
Resposta:
𝑋 + 𝑌 = 60
𝑋/𝑌 = 2/3 
3𝑥 = 2𝑦
𝑦 = 3𝑥/2
𝑥 + (3𝑥/2) = 60
2𝑥 + 3𝑥 = 120
5𝑥 = 120 → 𝑥 = 1205 → 𝑥 = 24
𝑥 + 𝑦 = 60
24 + 𝑦 = 60
𝑦 = 36
4. Calcule a, b e c, sabendo que 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 180 𝑒 𝑎 5 = 
𝑏
3 =
𝑐
1 .
Resposta:
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180
𝐴
5 = 
𝐵
3 = 
𝐶
1 = 
180
9 
Regra de 3 ( )⤨𝐴
𝐴 ⤨ 180 → 900
5 9 → 𝐴9 ⇒ 𝐴9 = 900 ⇒ 𝐴 = 9009 ⇒ 𝐴 = 100 
Regra de 3 ( )⤨𝐵
𝐵 ⤨ 180 → 540
3 9 → 𝐵9 ⇒ 𝐵9 = 540 ⇒ 𝐵 = 5409 ⇒ 𝐵 = 60
Regra de 3 ( )⤨𝐶
𝐶 ⤨ 180 → 180
1 9 → 𝐶9 ⇒ 𝐶9 = 180 ⇒ 𝐶 = 1809 ⇒ 𝐶 = 20
5. Divida o número 70 em partes proporcionais aos números 2, 3 e 5.
Resposta:
2 + 3 + 5 = 10
Regra de 3 ( )⤨𝐴
10 ⤨ 70 → 140
2 𝐴 → 10𝐴 ⇒ 10𝐴 = 140 ⇒ 𝐴 = 14010 ⇒ 𝐴 = 14 
Regra de 3 ( )⤨𝐵
10 ⤨ 70 → 210
3 𝐵 → 10𝐵 ⇒ 10𝐵 = 210 ⇒ 𝐵 = 21010 ⇒ 𝐵 = 21 
Regra de 3 ( )⤨𝐶
10 ⤨ 70 → 350
5 𝐶 → 10𝐶 ⇒ 10𝐶 = 350 ⇒ 𝐶 = 35010 ⇒ 𝐶 = 35 
6. Divida o número 2.990 em partes proporcionais a 5, 7 e 11.
Resposta:
5 + 7 + 11 = 23
Regra de 3 ( )⤨𝐴
23 ⤨ 2990 → 14950 
5 𝐴 → 23𝐴 ⇒ 23𝐴 = 14950 ⇒ 𝐴 = 1495023 ⇒ 𝐴 = 650 
Regra de 3 ( )⤨𝐵
23 ⤨ 2990 → 20930 
7 𝐵 → 23𝐵 ⇒ 23𝐵 = 20930 ⇒ 𝐵 = 2093023 ⇒ 𝐵 = 910 
Regra de 3 ( )⤨𝐶
23 ⤨ 2990 → 32890 
11 𝐶 → 23𝐶 ⇒ 23𝐶 = 32890 ⇒ 𝐶 = 3289023 ⇒ 𝐶 = 1430 
7. Dois operários contratam um serviço por R$ 180,00. Como devem repartir essa
quantia, se um trabalhou 7 horas e o outro 8 horas, sendo a divisão diretamente
proporcional ao tempo de serviço?
Resposta:
𝐴 + 𝐵 = 180
𝐴
7 = 
𝐵
8 = 𝐾
𝐴 = 7𝐾 𝐵 = 8𝐾 
7𝐾 + 8𝐾 = 180
15𝐾 = 180
𝐾 = 18015 → 𝐾 = 12 
𝐴 = 7. 𝐾 → 7. 12 = 84
𝐵 = 8. 𝐾 → 8. 12 = 96 
O operário que trabalhou 7 horas receberá R$ 84 reais e o operário que trabalhou 8
horas receberá R$ 96,00 pelo serviço.
8. Dívida 392 em partes ao mesmo tempo diretamente proporcionais a 2, 3, 4 e a 3,
5, 7.
Resposta:
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 392
𝐴
2.3 = 
𝐵
3.5 = 
𝐶
4.7 = 𝐾
𝐴 = 6𝐾 𝐵 = 15𝐾 𝐶 = 28𝐾
6𝐾 + 15𝐾 + 28𝐾 = 392
49𝐾 = 392
𝐾 = 39249 → 𝐾 = 8 
𝐴 = 6. 𝐾 → 6. 8 = 48
𝐵 = 15. 𝐾 → 15. 8 = 120 
𝐶 = 28. 𝐾 → 28. 8 = 224 
9. Divide o número 2.190 em três partes que sejam, ao mesmo tempo, diretamente
proporcionais a 2, 3, 5 e a 6, 7, 8.
Resposta:
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 2190
𝐴
2.6 = 
𝐵
3.7 = 
𝐶
5.8 = 𝐾
𝐴 = 12𝐾 𝐵 = 21𝐾 𝐶 = 40𝐾 
12𝐾 + 21𝐾 + 40𝐾 = 2190 
73𝐾 = 2190
𝐾 = 219073 → 𝐾 = 30 
𝐴 = 12. 𝐾 → 12. 30 = 360 
𝐵 = 21. 𝐾 → 21. 30 = 630 
𝐶 = 40. 𝐾 → 40. 30 = 1200
10. Divida 363 em três partes, de modo que a segunda seja o dobro da primeira e a
terceira o quádruplo da segunda.
Resposta:
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 363
𝐴
1 = 
𝐵
2 = 
𝐶
8 = 𝐾
𝐴 = 1𝐾 𝐵 = 2𝐾 𝐶 = 8𝐾 
1𝐾 + 2𝐾 + 8𝐾 = 363 
11𝐾 = 363
𝐾 = 36311 → 𝐾 = 33 
𝐴 = 1. 𝐾 → 1. 33 = 33 
𝐵 = 2. 𝐾 → 2. 33 = 66 
𝐶 = 8. 𝐾 → 8. 33 = 264
11. Divida o número 870 em partes diretamente proporcionais aos números 7, 10 e
12.
Resposta:
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 870
𝐴
7 = 
𝐵
10 = 
𝐶
12 = 𝐾
𝐴 = 7𝐾 𝐵 = 10𝐾 𝐶 = 12𝐾 
7𝐾 + 10𝐾 + 12𝐾 = 870 
29𝐾 = 870
𝐾 = 87029 → 𝐾 = 30 
𝐴 = 7. 𝐾 → 7. 30 = 210 
𝐵 = 10. 𝐾 → 10. 30 = 300 
12. Divida o número 325 em partes diretamente proporcionais aos números 0,4; 1,2
e 3,4.
Resposta:
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 325
𝐴
0,4 = 
𝐵
1,2 = 
𝐶
3,4 = 𝐾
𝐴 = 0, 4𝐾 𝐵 = 1, 2𝐾 𝐶 = 3, 4𝐾 
0, 4𝐾 + 1, 2𝐾 + 3, 4𝐾 = 325 
5𝐾 = 325
𝐾 = 3255 → 𝐾 = 65 
𝐴 = 0, 4. 𝐾 → 0, 4. 65 = 26 
𝐵 = 1, 2. 𝐾 → 1, 2. 65 = 78 
𝐶 = 3, 4. 𝐾 → 3, 4. 65 = 221
13. Três técnicos receberam ao todo R$ 2.550,00. O primeiro trabalhou 15 dias à
razão de 6 horas por dia; o segundo, 25 dias à razão de 4 horas por dia; e o terceiro,
30 dias à razão de 5 horas por dia. Quanto recebeu cada um deles?
Resposta: O primeiro técnico receberá R$ 675,00 e o segundo técnico receberá R$
750,00 e o terceiro técnico receberá R$ 1125,00.
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 2550
𝐴
15.6 = 
𝐵
25.4 = 
𝐶
30.5 = 𝐾
𝐴 = 90𝐾 𝐵 = 100𝐾 𝐶 = 150𝐾 
90𝐾 + 100𝐾 + 150𝐾 = 2550 
340𝐾 = 2550
𝐾 = 2550340 → 𝐾 = 7, 5 
𝐴 = 90. 𝐾 → 90. 7, 5 = 675 
𝐵 = 100. 𝐾 → 100. 7, 5 = 750 
𝐶 = 150. 𝐾 → 150. 7, 5 = 1125
14. Três sócios empregaram, respectivamente, os capitais de R$ 18.000, R$
22.500 e R$ 27.000 e obtiveram um lucro líquido de R$ 27.000. Qual será a parte de
cada um?
Resposta:
𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 = (18000 + 22500 + 27000) = 67500
𝑐𝑜𝑡𝑎𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜 = 2700067500 → 0, 4
𝑠ó𝑐𝑖𝑜 1 = 18000 * 0, 4 → 7200
𝑠ó𝑐𝑖𝑜 2 = 22500 * 0, 4 → 9000
𝑠ó𝑐𝑖𝑜 3 = 27000 * 0, 4 → 10800
15. Três sócios realizaram um capital de R$ 240.000. Sabendo que, ao fim de um
certo período de tempo, tiveram de lucro, respectivamente, R$ 24.000, R$22.000 e
R$ 18.000, qual era o capital de cada um?
Resposta:
𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 = 240000
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜 = 64000
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 240000
𝐴
24000 = 
𝐵
22000 = 
𝐶
18000 = 
240000
64000
Regra de 3(⤨)
64000 ⤨ 240000 → 5. 760 000
24000 𝐴 → 64𝐴 ⇒ 64𝐴 = 5. 760 000 ⇒ 𝐴 = 5.760 00064 ⇒ 𝐴 = 90. 000 
Regra de 3(⤨)
64000 ⤨ 240000 → 5. 280 000 
22000 𝐵 → 64𝐵 ⇒ 64𝐵 = 5. 280 000 ⇒ 𝐵 = 5.280 00064 ⇒ 𝐵 = 82. 500 
Regra de 3(⤨)
64000 ⤨ 240000 → 4. 320 000 
18000 𝐶 → 64𝐶 ⇒ 64𝐶 = 4. 320 000 ⇒ 𝐶 = 4.320 00064 ⇒ 𝐶 = 67. 500 
16. Duas pessoas constituíram uma sociedade com os capitais de R$ 90.000 e R$
76.000, respectivamente. A primeira recebeu, na divisão do lucro, R$ 1.722 a mais
que a segunda. Calcule o lucro de cada uma delas.
Resposta: O lucro do primeiro é R$ 11.070,00 e do segundo é R$ 9.348,00.
𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 90000 + 76000 = 166000
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜𝐷𝑜𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 = 90000166000 → 90/2 = 45 , 166/2 = 83 
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜𝐷𝑜𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 = 76000166000 → 76/2 = 38, 166/2 = 83
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜𝐷𝑜𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 = 𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜𝐷𝑜𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 + 1722
1722
7 = 246
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜𝐷𝑜𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 = 246 . (45) → 11070 
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜𝐷𝑜𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 = 246 . (38) → 9348
17. Dois sócios fundaram uma sociedade com um capital de R$ 720.000. No
momento de liquidar a sociedade, o primeiro recebeu capital mais lucro num total de
R$ 207.000. Sabendo que o lucro total foi de R$ 108.000, qual o capital de cada
sócio?
Resposta: O sócio A possui o capital no valor de R$ 180.000, 00 e o sócio B possui
em R$ 540.000,00.
𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑆𝑜𝑐𝑖𝑜𝐴 + 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑆𝑜𝑐𝑖𝑜𝐵 = 720000
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 → 𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜𝑆𝑜𝑐𝑖𝑜𝐴 + 𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜𝑆𝑜𝑐𝑖𝑜𝐵 = 108000
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜𝑆𝑜𝑐𝑖𝑜𝐴 + 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑆𝑜𝑐𝑖𝑜𝐴 = 207000 
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜𝑆𝑜𝑐𝑖𝑜𝐴
𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑆𝑜𝑐𝑖𝑜𝐴 = 
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜𝑆𝑜𝑐𝑖𝑜𝐵
𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑆𝑜𝑐𝑖𝑜𝐵 → 
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜𝑆𝑜𝑐𝑖𝑜𝐴+ 𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜𝑆𝑜𝑐𝑖𝑜𝐵
𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑆𝑜𝑐𝑖𝑜𝐴 + 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑆𝑜𝑐𝑖𝑜𝐵 →
→ 108000720000 
72 000: 𝑥 = 20 108 000: 𝑥 = 3 → 𝑘 = 207 00023 = 9 000 
𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑆𝑜𝑐𝑖𝑜𝐴 = 9000 . 20 → 180 000
𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑆𝑜𝑐𝑖𝑜𝐵 = 72000 − 180000 → 540 000