Trabajo 6_Asqui B_8076 - Parvs BJ

Vista previa del material en texto

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRIMER SEMESTRE 
PARALELO ¨B¨ 
ANÁLISIS MATEMÁTICO I 
 
BORIS JOSUE ASQUI VACA 
2020-202
 
 
 
 
 
 
 
𝐸𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 10 𝑎𝑙 18, 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 
10. 𝑔(𝑦) = 3 sin 𝑦 − 𝑦 cos 𝑦 
𝑔′(𝑦) = 3 cos 𝑦 − cos 𝑦 + 𝑦 sin 𝑦 
𝑔′(𝑦) = 2 cos 𝑦 + 𝑦 sin 𝑦 
 
11. ℎ(𝑥) = 4 sin 𝑥 ∗ cos 𝑥 → 2 sin 2𝑥 
ℎ′(𝑥) = 4 cos 2𝑥 
 
12. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 sin 𝑥 + 2𝑥 cos 𝑥 
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 sin 𝑥 + 𝑥2 cos 𝑥 + 2 cos 𝑥 − 2𝑥 sin 𝑥 
𝑓′(𝑥) = 𝑥2 cos 𝑥 + 2 cos 𝑥 
𝑓′(𝑥) = cos 𝑥 (𝑥2 + 2) 
 
13. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 cos 𝑥 − 2𝑥 sin 𝑥 − 2 cos 𝑥 
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 cos 𝑥 − 𝑥2 sin 𝑥 − 2 sin 𝑥 − 2𝑥 cos 𝑥 + 2 sin 𝑥 
𝑓′(𝑥) = −𝑥2 sin 𝑥 
 
14. ℎ(𝑦) = 𝑦3 − 𝑦2 cos 𝑦 + 2𝑦 sin 𝑦 + 2 cos 𝑦 
ℎ′(𝑦) = 3𝑦2 − 2𝑦 cos 𝑦 + 𝑦2 sin 𝑦 + 2 sin 𝑦 + 2𝑦 cos 𝑦 − 2 sin 𝑦 
ℎ′(𝑦) = 3𝑦2 + 𝑦2 sin 𝑦 
 
15. 𝑓(𝑥) = 3 sec 𝑥 tan 𝑥 
𝑓′(𝑥) = 3(sec 𝑥 tan2 𝑥 + sec3 𝑥) 
 
16. 𝑓(𝑡) = sin 𝑡 tan 𝑡 
𝑓′(𝑡) = cos 𝑡 tan 𝑡 + sec2 𝑡 sin 𝑡 
𝑓′(𝑡) = sin 𝑡 + sec2 𝑡 sin 𝑡 
𝑓′(𝑡) = sin 𝑡 (1 + sec2 𝑡) 
 
 
 
 
 
 
17. 𝑓(𝑦) = cos 𝑦 cot 𝑦 
𝑓′(𝑦) = − sin 𝑦 cot 𝑦 − csc2 𝑦 cos 𝑦 
𝑓′(𝑦) = − cos 𝑦 − csc2 𝑦 cos 𝑦 
𝑓′(𝑦) = − cos 𝑦 (1 + csc2 𝑦) 
 
18. ℎ(𝑥) = cot 𝑥 csc 𝑥 
ℎ′(𝑥) = − csc3 𝑥 − csc 𝑥 cot2 𝑥 
 
𝐸𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 19 𝑎𝑙 30, 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 
19. 𝐷𝑧 (
2 cos 𝑧
𝑧 + 1
) 
𝐷𝑧 (
2 cos 𝑧
𝑧 + 1
) = (
(𝑧 + 1)𝐷𝑧(2 cos 𝑧) − (2 cos 𝑧)𝐷𝑥(𝑧 + 1)
(𝑧 + 1)2
) 
𝐷𝑧 (
2 cos 𝑧
𝑧 + 1
) = (
(𝑧 + 1)(−2 sin 𝑧) − (2 cos 𝑧)(1)
(𝑧 + 1)2
) 
𝐷𝑧 (
2 cos 𝑧
𝑧 + 1
) = −2 (
𝑧 sin 𝑧 + sin 𝑧 + cos 𝑧
(𝑧 + 1)2
) 
 
20. 𝐷𝑡 (
sin 𝑡
𝑡
) 
𝐷𝑡 (
sin 𝑡
𝑡
) =
𝑡𝐷𝑡(sin 𝑡) − sin 𝑡 𝐷𝑡(𝑡)
𝑡2
 
𝐷𝑡 (
sin 𝑡
𝑡
) =
𝑡 cos 𝑡 − sin 𝑡
𝑡2
 
 
21.
𝑑
𝑑𝑥
(
sin 𝑥
1 − cos 𝑥
) 
𝑑
𝑑𝑥
(
sin 𝑥
1 − cos 𝑥
) = (
(1 − cos 𝑥)
𝑑
𝑑𝑥
 (sin 𝑥) − (sin 𝑥)
𝑑
𝑑𝑥
 (1 − cos 𝑥)
(1 − cos 𝑥)2
) 
𝑑
𝑑𝑥
(
sin 𝑥
1 − cos 𝑥
) = (
(1 − cos 𝑥)(cos 𝑥) − (sin 𝑥)(sin 𝑥)
(1 − cos 𝑥)2
) 
 
 
 
𝑑
𝑑𝑥
(
sin 𝑥
1 − cos 𝑥
) = (
cos 𝑥 − cos2 𝑥 − sin2 𝑥
(1 − cos 𝑥)2
) 
𝑑
𝑑𝑥
(
sin 𝑥
1 − cos 𝑥
) = (
cos 𝑥 − (cos2 𝑥 + sin2 𝑥)
(1 − cos 𝑥)2
) 
𝑑
𝑑𝑥
(
sin 𝑥
1 − cos 𝑥
) = (−
1 − cos 𝑥
(1 − cos 𝑥)2
) 
𝑑
𝑑𝑥
(
sin 𝑥
1 − cos 𝑥
) = (−
1
1 − cos 𝑥
) 
 
22.
𝑑
𝑑𝑥
(
𝑥 + 4
cos 𝑥
) 
𝑑
𝑑𝑥
(
𝑥 + 4
cos 𝑥
) = (
cos 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥 + 4) − (𝑥 + 4)
𝑑
𝑑𝑥
(cos 𝑥)
(cos 𝑥)2
) 
𝑑
𝑑𝑥
(
𝑥 + 4
cos 𝑥
) = (
cos 𝑥 + (𝑥 + 4) sin 𝑥
(cos 𝑥)2
) 
 
23.
𝑑
𝑑𝑡
(
tan 𝑡
cos 𝑡 − 4
) 
𝑑
𝑑𝑡
(
tan 𝑡
cos 𝑡 − 4
) = (
(cos 𝑡 − 4)
𝑑
𝑑𝑡
(tan 𝑡) − (tan 𝑡)
𝑑
𝑑𝑡
(cos 𝑡 − 4)
(cos 𝑡 − 4)2
) 
𝑑
𝑑𝑡
(
tan 𝑡
cos 𝑡 − 4
) = (
(cos 𝑡 − 4)(sec2 𝑡) − (tan 𝑡)(− sin 𝑡)
(cos 𝑡 − 4)2
) 
𝑑
𝑑𝑡
(
tan 𝑡
cos 𝑡 − 4
) = (
(cos 𝑡 − 4)(sec2 𝑡) + (tan 𝑡)(sin 𝑡)
(cos 𝑡 − 4)2
) 
 
24.
𝑑
𝑑𝑦
(
cos 𝑦
1 − sin 𝑦
) 
𝑑
𝑑𝑦
(
cos 𝑦
1 − sin 𝑦
) = (
(1 − sin 𝑦)
𝑑
𝑑𝑦
(cos 𝑦) − (cos 𝑦)
𝑑
𝑑𝑦
(1 − sin 𝑦) 
(1 − sin 𝑦)2
) 
𝑑
𝑑𝑦
(
cos 𝑦
1 − sin 𝑦
) = (
(1 − sin 𝑦)(− sin 𝑦) − (cos 𝑦)(− cos 𝑦) 
(1 − sin 𝑦)2
) 
 
 
 
𝑑
𝑑𝑦
(
cos 𝑦
1 − sin 𝑦
) = (
(cos2 𝑦) − sin 𝑦 + sin2 𝑦 
(1 − sin 𝑦)2
) 
𝑑
𝑑𝑦
(
cos 𝑦
1 − sin 𝑦
) = (
1 − sin 𝑦 
(1 − sin 𝑦)2
) 
𝑑
𝑑𝑦
(
cos 𝑦
1 − sin 𝑦
) = (
1 
1 − sin 𝑦
) 
 
25.
𝑑
𝑑𝑦
(
1 + sin 𝑦
1 − sin 𝑦
) 
𝑑
𝑑𝑦
(
1 + sin 𝑦
1 − sin 𝑦
) = (
(1 − sin 𝑦)
𝑑
𝑑𝑦
(1 + sin 𝑦) − (1 + sin 𝑦)
𝑑
𝑑𝑦
(1 − sin 𝑦)
(1 − sin 𝑦)2
) 
𝑑
𝑑𝑦
(
1 + sin 𝑦
1 − sin 𝑦
) = (
(1 − sin 𝑦)(cos 𝑦) − (1 + sin 𝑦)(− cos 𝑦)
(1 − sin 𝑦)2
) 
𝑑
𝑑𝑦
(
1 + sin 𝑦
1 − sin 𝑦
) = (
cos 𝑦 − sin 𝑦 cos 𝑦 + cos 𝑦 + sin 𝑦 cos 𝑦
(1 − sin 𝑦)2
) 
𝑑
𝑑𝑦
(
1 + sin 𝑦
1 − sin 𝑦
) = (
2cos 𝑦
(1 − sin 𝑦)2
) 
 
26.
𝑑
𝑑𝑥
(
sin 𝑥 − 1
cos 𝑥 + 1
) 
𝑑
𝑑𝑥
(
sin 𝑥 − 1
cos 𝑥 + 1
) = (
(cos 𝑥 + 1)
𝑑
𝑑𝑥
(sin 𝑥 − 1) − (sin 𝑥 − 1)
𝑑
𝑑𝑥
(cos 𝑥 + 1)
(cos 𝑥 + 1)2
) 
𝑑
𝑑𝑥
(
sin 𝑥 − 1
cos 𝑥 + 1
) = (
(cos 𝑥 + 1)(cos 𝑥) + (sin 𝑥 − 1)(sin 𝑥)
(cos 𝑥 + 1)2
) 
𝑑
𝑑𝑥
(
sin 𝑥 − 1
cos 𝑥 + 1
) = (
cos2 𝑥 + cos 𝑥 + sin2 𝑥 − sin 𝑥)
(cos 𝑥 + 1)2
) 
 
27. 𝐷𝑥[(𝑥 − sin 𝑥)(𝑥 + cos 𝑥)] 
𝐷𝑥[(𝑥 − sin 𝑥)(𝑥 + cos 𝑥)] = (𝑥 + cos 𝑥) 𝐷𝑥(𝑥 − sin 𝑥) + (𝑥 − sin 𝑥) 𝐷𝑥(𝑥 + cos 𝑥) 
𝐷𝑥[(𝑥 − sin 𝑥)(𝑥 + cos 𝑥)] = (𝑥 + cos 𝑥) (1 − cos 𝑥) + (𝑥 − sin 𝑥) (1 − sin 𝑥) 
𝐷𝑥[(𝑥 − sin 𝑥)(𝑥 + cos 𝑥)] = 2𝑥 − 𝑥 cos 𝑥 − 𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 − cos
2 𝑥 − sin 𝑥 + sin2 𝑥 
 
 
 
28. 𝐷𝑧[(𝑧
2 + cos 𝑧)(2𝑧 − sin 𝑧)] 
𝐷𝑧[(𝑧
2 + cos 𝑧)(2𝑧 − sin 𝑧)] = (2𝑧 − sin 𝑧) 𝐷𝑥(𝑧
2 + cos 𝑧) + (𝑧2 + cos 𝑧) 𝐷𝑥(2𝑧 − sin 𝑧) 
𝐷𝑧[(𝑧
2 + cos 𝑧)(2𝑧 − sin 𝑧)] = (2𝑧 − sin 𝑧) (2𝑧 − sin 𝑧) + (𝑧2 + cos 𝑧) (2 − cos 𝑧) 
𝐷𝑧[(𝑧
2 + cos 𝑧)(2𝑧 − sin 𝑧)] = (2𝑧 − sin 𝑧)2 + (𝑧2 + cos 𝑧) (2 − cos 𝑧) 
 
29. 𝐷𝑡 (
2 csc 𝑡 − 1
csc 𝑡 + 2
) 
𝐷𝑡 (
2 csc 𝑡 − 1
csc 𝑡 + 2
) = (
(csc 𝑡 + 2)𝐷𝑡(2 csc 𝑡 − 1) − (2 csc 𝑡 − 1)𝐷𝑡(csc 𝑡 + 2)
(csc 𝑡 + 2)2
) 
𝐷𝑡 (
2 csc 𝑡 − 1
csc 𝑡 + 2
) = (
(csc 𝑡 + 2)(−2 csc 𝑡 cot 𝑡) − (2 csc 𝑡 − 1)(− csc 𝑡 cot 𝑡)
(csc 𝑡 + 2)2
) 
𝐷𝑡 (
2 csc 𝑡 − 1
csc 𝑡 + 2
) = (−
5 csc 𝑡 cot 𝑡
(csc 𝑡 + 2)2
) 
 
30. 𝐷𝑦 (
tan 𝑦 + 1
tan 𝑦 − 1
) 
𝐷𝑦 (
tan 𝑦 + 1
tan 𝑦 − 1
) = (
(tan 𝑦 − 1)𝐷𝑦(tan 𝑦 + 1) − (tan 𝑦 + 1)𝐷𝑦(tan 𝑦 − 1)
(tan 𝑦 − 1)2
) 
𝐷𝑦 (
tan 𝑦 + 1
tan 𝑦 − 1
) = (
(tan 𝑦 − 1)(sec2 𝑦) − (tan 𝑦 + 1)(sec2 𝑦)
(tan 𝑦 − 1)2
) 
𝐷𝑦 (
tan 𝑦 + 1
tan 𝑦 − 1
) = (−
2(sec2 𝑦)
(tan 𝑦 − 1)2
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐸𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑖𝑐𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 31 𝑎𝑙 42 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑁𝐷𝐸𝑅(𝑓(𝑥), 𝑎) 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎. 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑟𝑚𝑒 𝑠𝑢𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠 
𝑎𝑛𝑎𝑙í𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑒𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑓′(𝑎). 
31. 𝑓(𝑥) = 𝑥 ∗ cos 𝑥 ; 𝑎 = 0 
 
𝑓′(𝑥) = cos 𝑥 − 𝑥 sin 𝑥 
𝑓′(0) = cos(0) − 0 sin(0) 
𝑓′(0) = 1 
32. 𝑓(𝑥) = 𝑥 ∗ sin 𝑥 ; 𝑎 =
3
2
𝜋 
 
𝑓′(𝑥) = sin 𝑥 + 𝑥 cos 𝑥 
𝑓′(𝑎) = sin (
3
2
𝜋) + (
3
2
𝜋) cos (
3
2
𝜋) 
𝑓′(𝑎) = −1 
 
 
 
33. 𝑓(𝑥) =
cos 𝑥
𝑥
; 𝑎 =
1
2
𝜋 
 
𝑓′(𝑥) =
−𝑥 sin 𝑥 − cos 𝑥
𝑥2
 
𝑓′(𝑎) =
− (
1
2
𝜋) sin (
1
2
𝜋) − cos (
1
2
𝜋)
(
1
2
𝜋)
2 
𝑓′(𝑎) = −
2
𝜋
 
 
34. 𝑓(𝑥) =
sec 𝑥
𝑥2
; 𝑎 = 𝜋 
 
𝑓′(𝑥) =
sec 𝑥 tan 𝑥 𝑥2 − 2𝑥 sec 𝑥
𝑥4
 
𝑓′(𝑎) =
sec 𝜋 tan 𝜋 𝜋2 − 2𝜋 sec 𝜋
𝜋4
 
𝑓′(𝑎) =
2
𝜋3
 
 
 
35. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 tan 𝑥 ; 𝑎 = 𝜋 
 
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 tan 𝑥 + 𝑥2 sec2 𝑥 
𝑓′(𝑎) = 2𝜋 tan 𝜋 + 𝜋2 sec2 𝜋 
𝑓′(𝑎) = 𝜋2 
 
36. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 cos 𝑥 − sin 𝑥 ; 𝑎 = 0 
 
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 cos 𝑥 − 𝑥2 sin 𝑥 − cos 𝑥 
𝑓′(𝑎) = 2(0) cos 0 − (0)2 sin(0) − cos(0) 
𝑓′(𝑥) = −1 
 
 
 
 
 
 
37. 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 (cos 𝑥 − 1); 𝑎 = 𝜋 
 
𝑓′(𝑥) = cos 𝑥 (cos 𝑥 − 1) − sin2 𝑥 
𝑓′(𝑎) = cos 𝜋 (cos 𝜋 − 1) − sin2 𝜋 
𝑓′(𝑎) = 2𝜋 
38. 𝑓(𝑥) = (cos 𝑥 + 1)(𝑥 sin 𝑥 − 1); 𝑎 =
1
2
𝜋 
 
𝑓′(𝑥) = (− sin 𝑥)(𝑥 sin 𝑥 − 1) + (sin 𝑥 + 𝑥 cos 𝑥)(cos 𝑥 + 1) 
𝑓′(𝑎) = (− sin (
1
2
𝜋)) ((
1
2
𝜋) sin (
1
2
𝜋) − 1) + (sin (
1
2
𝜋) + (
1
2
𝜋) cos (
1
2
𝜋)) (cos (
1
2
𝜋) + 1) 
𝑓′(𝑎) = −
𝜋
2
+ 2 
 
 
 
 
 
39. 𝑓(𝑥) = 𝑥 cos 𝑥 + 𝑥 sin 𝑥 ; 𝑎 =
1
4
𝜋 
 
𝑓′(𝑥) = cos 𝑥 − 𝑥 sin 𝑥 + sin 𝑥 + 𝑥 cos 𝑥 
𝑓′(𝑎) = cos (
1
4
𝜋) − (
1
4
𝜋) sin (
1
4
𝜋) + sin (
1
4
𝜋) + (
1
4
𝜋) cos (
1
4
𝜋) 
𝑓′(𝑎) = √2 
 
40. 𝑓(𝑥) = tan 𝑥 + sec 𝑥 ; 𝑎 =
1
6
𝜋 
 
𝑓′(𝑥) = sec2 𝑥 + sec 𝑥 tan 𝑥 
𝑓′(𝑎) = sec2 (
1
6
𝜋) + sec (
1
6
𝜋) tan (
1
6
𝜋) 
𝑓′(𝑎) = 2 
 
 
 
 
41. 𝑓(𝑥) = 2 cot 𝑥 − csc 𝑥 ; 𝑎 =
2
3
𝜋 
 
𝑓′(𝑥) = −2 csc2 𝑥 + csc 𝑥 cot 𝑥 
𝑓′(𝑎) = −2 csc2 (
2
3
𝜋) + csc (
23
𝜋) cot (
2
3
𝜋) 
𝑓′(𝑎) = −
10
3
 
42. 𝑓(𝑥) =
1
cot 𝑥 − 1
; 𝑎 =
3
4
𝜋 
 
𝑓′(𝑥) = −
csc2 𝑥
(cot 𝑥 − 1)2
 
𝑓′(𝑎) = −
csc2 (
3
4
𝜋)
(cot (
3
4
𝜋) − 1)
2 
𝑓′(𝑎) =
1
2