Evidencia 28_01_2021

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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRIMER SEMESTRE 
PARALELO ¨B¨ 
ANÁLISIS MATEMÁTICO I 
ARIAS VELASTEGUI, SANTIAGO MATEO 
ASQUI VACA, BORIS JOSUE 
GONZALEZ LARA, ANDERSON JOSHUA 
MARFETAN SALINAS, LUIS ALEXANDER 
SANCHEZ CHUNZHO, GINNA JULAY 
2020-2021
 1. ∫ sin4 (
𝑥
2
) 𝑑𝑥 
 
t =
x
2
 ; 2dt = dx 
2 ∫(sin2(t))
2
dt 
2 ∫ (
1 − cos(2t)
2
)
2
dt 
2 ∫
1 − 2cos(2t) + cos2(2t)
4
 
1
2
∫ 1 − 2cos(2t) + cos2(2t) dt 
1
2
[∫ dt − ∫ cos2t dt + ∫ cos2(2t)dt] 
z = 2t ; 
dz
2
= dt 
1
2
[t −
1
2
∫ cosz dz + ∫
1 + cos(4t)
2
dt] 
1
2
[t −
1
2
senz + ∫
1 + cos(4t)
2
dt] 
1
2
[t −
1
2
sen(2t) +
1
2
∫ 1 + cos(4t)dt] 
1
2
[t −
1
2
sen(2t) +
1
2
∫ dt + ∫ cos(4t) dt] 
 z = 4t ; 
dz
4
= dt 
1
2
[t −
1
2
sen(2t) +
1
2
t +
1
4
∫ cos(z)dz] 
1
2
[t −
1
2
sen(2t) +
1
2
t +
1
4
senz] + c 
1
2
[t −
1
2
sen(2t) +
1
2
t +
1
4
sen(4t)] + c 
1
2
 t −
1
4
sen(2t) +
1
4
t +
1
8
sen(4t) + c 
x
4
 −
1
4
sen(x) +
x
8
+
1
8
sen(2x) + c 
 
 
 
2. ∫ sen5
x
2
. dx 
∫ sen5 (u). 2du 
2 ∫(1 − cos2(u))2 sin 𝑢 du 
v = cos (
x
2
) 
2 ∫(1 + 2v2 − v4)dv 
2 (∫ dv + ∫ 2v2dv − ∫(v4)dv) 
2 (𝑣 +
2𝑣3
3
−
𝑣5
5
) 
2 (−cos (
x
2
)) +
2cos3(
x
2
)
3
−
cos5(
x
2
)
5
 
2 (−cos (
x
2
)) +
2cos3(
x
2
)
3
−
cos5(
x
2
)
5
+ c 
 
 
3. ∫ cos2 
x
4
 dx 
∫
1
2
(cos
𝑥
2
) 𝑑𝑥 
1
2
∫ 1 + cos
𝑥
2
𝑑𝑥 
1
2
(∫ 𝑑𝑥 + ∫ cos
𝑥
2
)𝑑𝑥 
1
2
(𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
+ 𝑐 
𝑥
2
+ 𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
+ 𝑐 
4. ∫ 𝑐𝑜𝑠3
1
4. 𝑥
.
𝑑𝑥
𝑥2
 
𝑢 =
1
4𝑥
→ 𝑑𝑢 = −
1
4𝑥2
𝑑𝑥 
∫ 𝑐𝑜𝑠3𝑢.
1
𝑥2
(−4𝑥2)𝑑𝑢 = −4 ∫ 𝑐𝑜𝑠3𝑢. 𝑑𝑢 
 
−4 ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑢 𝑐𝑜𝑠1𝑢𝑑𝑢 = −4 ∫(1 − 𝑠𝑒𝑛2) cos 𝑢 𝑑𝑢 
−4 ∫(1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑢) cos 𝑢 𝑑𝑢 
𝑣 = sin 𝑢 → 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑢 
−4 ∫(1 − 𝑣) cos(𝑢)
1
cos(𝑢)
𝑑𝑣 𝑑𝑣 
−4 ∫(1 − 𝑣)𝑑𝑣 
−4 ∫(1𝑑𝑣) + 4 ∫(𝑣2 𝑑𝑣) 
= −4𝑣 +
4𝑣3
3
+ 𝑐 
−4 sin 𝑢 +
4(sin 𝑢)3
3
+ 𝑐 
−4 sin
1
4𝑥
 +
4 (sin
1
4𝑥
)
3
3
+ 𝑐 
 
5. ∫ 𝑡𝑔4 (
2
𝑥
) (
𝑑𝑥
𝑥2
) 
∫ (𝑡𝑔2 (
2
𝑥
))
2
(
𝑑𝑥
𝑥2
) 
∫ (sec2 (
2
𝑥
) − 1)
2
(
𝑑𝑥
𝑥2
) 
∫ sec4 (
2
𝑥
) − 2sec2 (
2
𝑥
) + 1 (
𝑑𝑥
𝑥2
) 
∫ sec4 (
2
𝑥
) (
𝑑𝑥
𝑥2
) − ∫ 2sec2 (
2
𝑥
) (
𝑑𝑥
𝑥2
) + ∫ (
𝑑𝑥
𝑥2
) 
−
1
𝑥
+ 𝑡𝑔 (
2
𝑥
) + ∫ sec2 (
2
𝑥
) sec2 (
2
𝑥
) (
𝑑𝑥
𝑥2
) 
−
1
𝑥
+ 𝑡𝑔 (
2
𝑥
) + ∫ (tg2 (
2
𝑥
) + 1) (sec2 (
2
𝑥
)) (
𝑑𝑥
𝑥2
) 
−
1
𝑥
+ 𝑡𝑔 (
2
𝑥
) −
1
2
∫ (tg2 (
2
𝑥
)) (sec2 (
2
𝑥
)) (−2) (
𝑑𝑥
𝑥2
) −
1
2
∫ (sec2 (
2
𝑥
)) (−2) (
𝑑𝑥
𝑥2
) 
 
 
−
1
𝑥
+ 𝑡𝑔 (
2
𝑥
) −
1
6
tg3 (
2
𝑥
) −
1
2
𝑡𝑔 
 
6. ∫ 𝑡𝑔5
𝑥
3
𝑑𝑥 
∫ 𝑡𝑔4
𝑥
3
𝑡𝑔
𝑥
3
𝑑𝑥 
∫(𝑡𝑔2
𝑥
3
)2𝑡𝑔
𝑥
3
𝑑𝑥 
∫(𝑠𝑒𝑐2
𝑥
3
− 1)2𝑡𝑔
𝑥
3
𝑑𝑥 
∫(𝑠𝑒𝑐4
𝑥
3
− 2𝑠𝑒𝑐2
𝑥
3
+ 1)𝑡𝑔
𝑥
3
𝑑𝑥 
∫ 𝑠𝑒𝑐4
𝑥
3
𝑡𝑔
𝑥
3
− 2𝑠𝑒𝑐2
𝑥
3
𝑡𝑔
𝑥
3
+ 𝑡𝑔
𝑥
3
) 𝑑𝑥 
∫ 𝑠𝑒𝑐4
𝑥
3
𝑡𝑔
𝑥
3
𝑑𝑥 − ∫ 2𝑠𝑒𝑐2
𝑥
3
𝑡𝑔
𝑥
3
𝑑𝑥 + ∫ 𝑡𝑔
𝑥
3
𝑑𝑥 
∫ 𝑠𝑒𝑐3
𝑥
3
𝑠𝑒𝑐
𝑥
3
𝑡𝑔
𝑥
3
𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑠𝑒𝑐
𝑥
3
𝑠𝑒𝑐4
𝑥
3
𝑡𝑔
𝑥
3
𝑑𝑥 + ∫ 𝑡𝑔
𝑥
3
𝑑𝑥 
∫ 𝑠𝑒𝑐3
𝑥
3
𝑠𝑒𝑐
𝑥
3
𝑡𝑔
𝑥
3
𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑠𝑒𝑐
𝑥
3
𝑠𝑒𝑐4
𝑥
3
𝑡𝑔
𝑥
3
𝑑𝑥 + ∫ 𝑡𝑔
𝑥
3
𝑑𝑥 
 
7. ∫ 𝑐𝑜𝑡4 (
𝑥
3
) 𝑑𝑥 
∫ 𝑐𝑜𝑡4(𝑢) ∗ 3𝑑𝑢 
3 ∫ 𝑐𝑜𝑡4(𝑢)𝑑𝑢 
3 (−
𝑐𝑜𝑡3(𝑢)
3
− ∫ 𝑐𝑜𝑡2(𝑢)𝑑𝑢) 
3 (−
𝑐𝑜𝑡3(𝑢)
3
− (−𝑢 − 𝑐𝑜𝑡(𝑢))) 
3 (−
𝑐𝑜𝑡3 ( 
𝑥
3
 )
3
− (−
𝑥
3
− 𝑐𝑜𝑡 ( 
𝑥
3
 ))) 
 
 
−𝑐𝑜𝑡3 ( 
𝑥
3
 ) + 𝑥 + 3𝑐𝑜𝑡 ( 
𝑥
3
 ) 
− 𝑐𝑜𝑡3 ( 
𝑥
3
 ) + 𝑥 + 3𝑐𝑜𝑡 ( 
𝑥
3
 ) + 𝐶 
 
 8. − ∫ 𝑠𝑒𝑐6 (
𝑥
2
) 𝑑𝑥 
𝑢 = (
𝑥
2
) 
𝑑𝑢 =
1
2
𝑑𝑥 
∫ 𝑠𝑒𝑐6(𝑢) ∗ 2𝑑𝑢 
2 ∫ 𝑠𝑒𝑐2(𝑢)(𝑠𝑒𝑐2(𝑢))2𝑑𝑢 
∫ 𝑠𝑒𝑐2(𝑢)(1 + 𝑡𝑔2(𝑢))2𝑑𝑢 
2 ∫ 𝑠𝑒𝑐2(𝑢)(1 + 2𝑡𝑔2(𝑢) + 𝑡𝑔4(𝑢))𝑑𝑢 
2(∫ 𝑠𝑒𝑐2(𝑢)𝑑𝑢 + 2 ∫ 𝑠𝑒𝑐2(𝑢)𝑡𝑔2(𝑢)𝑑𝑢 + ∫ 𝑠𝑒𝑐2(𝑢) 𝑡𝑔4(𝑢)𝑑𝑢) 
2(𝑡𝑔(𝑢) + 2
(𝑡𝑔3(𝑢))
3
+
𝑡𝑔5(𝑢)
5
) 
2 (𝑡𝑔 (
𝑥
2
) +
2 (𝑡𝑔3 (
𝑥
2)
)
3
+
𝑡𝑔5 (
𝑥
2
)
5
) + 𝑐 
2𝑡𝑔 (
𝑥
2
) +
4 (𝑡𝑔3 (
𝑥
2)
)
3
+
2 (𝑡𝑔5 (
𝑥
2)
)
5
+ 𝑐 
 
9. ∫ csc4(1 + 𝑥)𝑑𝑥 
𝑢 = 1 + 𝑥 𝑑𝑢 = 1 
∫ csc4(𝑢)𝑑𝑢 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜: ∫ csc𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = −
cos(𝑥) csc𝑛−1(𝑥)
𝑛−1
+
𝑛−2
𝑛−1
∫ csc𝑛−2(𝑥)𝑑𝑥 
 
 
∫ csc4(𝑢)𝑑𝑢 = −
cos(𝑢) csc3(𝑢)
3
+
2
3
∫ csc2(𝑢)𝑑𝑢 
∫ csc4(𝑢)𝑑𝑢 = −
cos(𝑢) csc3(𝑢)
3
−
2
3
𝑐𝑡𝑔(𝑢) + 𝐶 
∫ csc4(𝑢)𝑑𝑢 = −
cos(1 + 𝑥) csc3(1 + 𝑥)
3
−
2
3
𝑐𝑡𝑔(1 + 𝑥) + 𝐶 
∫ csc4(𝑢)𝑑𝑢 = −
1
3
cos(1 + 𝑥) csc3(1 + 𝑥) −
2
3
𝑐𝑡𝑔(1 + 𝑥) + 𝐶 
 
 
 
10. ∫ √cos (
𝑥
2
)
5
𝑠𝑒𝑛3
𝑥
2
𝑑𝑥 
∫ √cos (
𝑥
2
)
5
𝑠𝑒𝑛2 (
𝑥
2
) 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
2
) 𝑑𝑥 
∫ √cos (
𝑥
2
)
5
[1 − 𝑐𝑜𝑠2 (
𝑥
2
)] 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
2
) 𝑑𝑥 
∫ [√cos (
𝑥
2
)
5
− 𝑐𝑜𝑠
11
5 (
𝑥
2
)] 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
2
) 𝑑𝑥 
𝑢 = cos (
𝑥
2
) 
𝑑𝑢 =
−sen (
𝑥
2
)
2
𝑑𝑥 
−2 ∫ [√cos (
𝑥
2
)
5
− 𝑐𝑜𝑠
11
5 (
𝑥
2
)] (− 
𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
2
)
2
𝑑𝑥) 
−2 ∫ [ √𝑢
5
− 𝑢
11
5 ] (𝑑𝑢) 
−2 ∫ √𝑢
5
 𝑑𝑢 + 2 ∫ 𝑢
11
5 𝑑𝑢 
 
 
−
5
3
𝑢
6
5 +
5
8
𝑢
16
5 + 𝐶 
−
5
3
cos
6
5 (
𝑥
2
) +
5
8
cos
16
5 (
𝑥
2
) + 𝐶 
 
11. ∫ sin2
𝑥
3
cos3 (
𝑥
3
) 𝑑𝑥 
𝑢 =
𝑥
3
→ 𝑑𝑢 =
1
3
𝑑𝑥 
= ∫ sin2 𝑢 cos3 𝑢 3𝑑𝑢 
= 3 ∫ sin2 𝑢 cos2 𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑢 𝑑𝑢 
= 3 ∫ (1 − sin2u) sin2 𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑢 𝑑𝑢 
𝑣 = sin 𝑢 → 𝑑𝑣 = cos 𝑢 𝑑𝑢 
3 ∫ 𝑣2 − 𝑣4𝑑𝑣 
3 ∫ 𝑣2𝑑𝑣 − ∫ 𝑣4𝑑𝑣 
=
sin 𝑢3
1
−
3 sin 𝑢5
5
 
=
sin (
𝑥
3
 )
3
1
−
3 sin (
𝑥
3
) 5
5
+ 𝑐 
= sin3 (
𝑥
3
 ) −
3
5
sin5 (
𝑥
3
) + 𝑐 
12. ∫ 𝑠𝑖𝑛3
𝑥
4
∗ 𝑐𝑜𝑠5
𝑥
4
𝑑𝑥 
𝑟𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑟 𝑢 = 𝑠𝑖𝑛3
𝑥
4
 
𝑟𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑟 𝑣 = 𝑐𝑜𝑠5
𝑥
4
 
 
= 4𝑠𝑖𝑛3
𝑥
4
∗ 𝑠𝑖𝑛
𝑥
4
−
2
3
𝑠𝑖𝑛3
𝑥
4
+
1
5
𝑠𝑖𝑛5
𝑥
4
− (3𝑠𝑖𝑛4
𝑥
4
−
4
3
𝑠𝑖𝑛6 (
𝑥
4
) +
3
10
𝑠𝑖𝑛8 (
𝑥
4
) 
= −
4
3
∗ 𝑠𝑖𝑛6
𝑥
4
+
2
3
𝑠𝑖𝑛8
𝑥
4
+ 𝑠𝑖𝑛4
𝑥
4
 
= −
4
3
∗ 𝑠𝑖𝑛6
𝑥
4
+
2
3
𝑠𝑖𝑛8
𝑥
4
+ 𝑠𝑖𝑛4
𝑥
4
+ 𝐶 
 
 
13. ∫ 𝑡𝑔3
𝑥
2
𝑠𝑒𝑐4
𝑥
2
𝑑𝑥 
𝑢 =
𝑥
2
; 𝑑𝑢 =
𝑑𝑥
2
 
2 ∫ 𝑠𝑒𝑐4𝑢 ∗ 𝑡𝑔2𝑢 𝑑𝑢 
Se sabe que 𝑠𝑒𝑐2𝑢 = 𝑡𝑔2𝑢du 
2 ∫ 𝑠𝑒𝑐2𝑢 ∗ 𝑡𝑔2𝑢(𝑡𝑔2𝑢 + 1)𝑑𝑢 
𝑣 = tan 𝑢 ; 𝑑𝑢 =
𝑑𝑣
𝑠𝑒𝑐2𝑢
 
∫ 𝑣3(𝑣2 + 1)𝑑𝑣 
∫(𝑣5 + 𝑣3)𝑑𝑣 
∫ 𝑣5𝑑𝑣 + ∫ 𝑣3𝑑𝑢 
𝑣6
6
+
𝑣4
4
+ 𝑐 
𝑡𝑔3𝑢
6
+
𝑡𝑔4𝑢
4
+ 𝑐 
𝑡𝑔6(
𝑥
2)
6
+
𝑡𝑔4(
𝑥
2)
4
+ 𝑐 
 
 
 
 
 
14. ∫ tg3
x
2
sec3
x
2
dx 
 t =
x
2
 ; 2dt = dx 
∫(tg2t ∗ sec2t ∗ tg(t)sec(t))2dt 
2 ∫ tg2t ∗ sec2t ∗ tg(t)sec(t)dt 
2 ∫(sec2t − 1) ∗ sec2t ∗ tg(t)sec(t)dt 
2 ∫(sec4t − sec2t) ∗ tg(t)sec(t)dt 
2 [∫ sec4t ∗ tg(t)sec(t)dt − ∫ sec2t ∗ tg(t)sec(t)dt] 
u = sec(t) ; du = sec(t)tg(t) 
2 [∫ u4du − ∫ u2du] 
2 [
u5
5
−
u3
3
] + c 
2 [
sec5(t)
5
−
sec3(t)
3
] + c 
2 [
sec5(
x
2
 )
5
−
sec3(
x
2
 )
3
] + c 
 
15. ∫ 𝑐𝑜𝑡3
𝑥
5
𝑐𝑠𝑐3
𝑥
5
 𝑑𝑥 
𝑢 =
𝑥
5
 
∫ 𝑐𝑜𝑡3(𝑢) 𝑐𝑠𝑐3
𝑥
5
 (𝑢) 5𝑑𝑢 
5 ∫ 𝑐𝑜𝑡3(𝑢) 𝑐𝑠𝑐3
𝑥
5
 (𝑢) 𝑑𝑢 
5 ∫
(1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝑢))cos (𝑢)
𝑠𝑒𝑛6(𝑢)
 𝑑𝑢 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛(𝑢) 
 
5 ∫
1 − 𝑣2
𝑣6
 𝑑𝑣 = 5 ∫
1
𝑣6
𝑑𝑣 − ∫
1
𝑣4
𝑑𝑣 
∫
1
𝑣6
𝑑𝑣 = −
1
5𝑣5
 ∫
1
𝑣4
𝑑𝑣 = −
1
3𝑣3
 
−
1
sen5
x
5
 
−
5
3sen3
x
5
 
+ c 
 
 
16. ∫ sen (
2
3
x) . sen (
3
5
x) dx 
 
∫ −
1
2
cos
19𝑥
5
+
1
2
cos
𝑥
15
𝑑𝑥 
∫
1
2
(−cos
19𝑥
5
+ cos
𝑥
15
) 𝑑𝑥 
1
2
∫ −cos
19𝑥
5
+ cos
𝑥
15
𝑑𝑥 
1
2
(− ∫ cos
19𝑥
5
𝑑𝑥 + ∫ cos
𝑥
15
𝑑𝑥 ) 
1
2
(−
15
19
𝑠𝑒𝑛
19𝑥
15
+ 𝑠𝑒𝑛
𝑥
15
) + 𝑐 
1
2
(−
15
19
𝑠𝑒𝑛
19𝑥
15
+ 𝑠𝑒𝑛
𝑥
15
) + 𝑐 
−
15𝑠𝑒𝑛
19𝑥
15
38
+
15𝑠𝑒𝑛
𝑥
15
2
+ 𝑐 
 
 
 
 
 
 17. ∫ 𝑠𝑒𝑛 (
3
2
. 𝑥) . 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑑𝑥 
∫
1
2
x. (sen
5
2
x) + sen (
1
2
x) dx 
1
2
∫ sen(
5
2
x) + sen (
1
2
x) dx 
1
2
∫ sen (
5
2x) dx + ∫ sen(
1
2
x)dx 
1
2
(−
cos (
5
2
𝑥)
5
− 2cos (
1
2
𝑥) 
1
2
(−
2
5
cos (
5𝑥
2
) − 2 cos (
1
2
)) 
−
1
5
cos (
5𝑥
2
) − cos (
1
2
) 
−
1
5
cos (
5𝑥
2
) − cos (
𝑥
2
) + 𝐶 
 
18 ∫ 𝑐𝑜𝑠
𝑥
5
. 𝑐𝑜𝑠
𝑥
3
 
1
2
∫ cos ((
1
5
+
1
3
) 𝑥) + cos ((
1
5
−
1
3
) 𝑥) 𝑑𝑥 
1
2
∫ cos (
8
15
𝑥) + cos (
2
15
𝑥) 𝑑𝑥 
1
2
∫ cos (
8
15
𝑥) 𝑑𝑥 +
1
2
∫ cos (
2
15
𝑥) 𝑑𝑥 
1 ∗ 15
2 ∗ 8
sen (
8
15
𝑥) +
1 ∗ 15
2 ∗ 2
𝑠𝑒𝑛(
2
15
𝑥) + 𝐶 
15
16
sen (
8
15
𝑥) +
15
4
𝑠𝑒𝑛(
2
15
𝑥) + 𝐶 
 
19. ∫ 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
2
) 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
3
) cos (
𝑥
4
) 𝑑𝑥 
1
2
(cos (
𝑥
2
−
𝑥
3
) − cos (
𝑥
2
+
𝑥
3
)) 
1
2
(cos (
1
6
𝑥) − cos (
5
6
𝑥)) 
 
∫
1
2
(cos (
1
6
𝑥) − cos (
5
6
𝑥)) cos (
𝑥
4
) 𝑑𝑥 
∫
cos (
𝑥
4)
2
(cos (
1
6
𝑥) − cos (
5
6
𝑥)) 𝑑𝑥 
1
2
∫ cos (
𝑥
4
) (cos (
1
6
𝑥) − cos (
5
6
𝑥)) 𝑑𝑥 
1
2
∫ cos (
𝑥
4
) cos (
1
6
𝑥) − cos (
𝑥
4
) cos (
5
6
𝑥) 𝑑𝑥 
1
2
(cos (
𝑥
4
−
1
6
𝑥) + cos (
𝑥
4
+
1
6
𝑥)) 
1
2
(cos (
1
12
𝑥) + cos (
5
12
𝑥)) 
1
2
∫
1
2
(cos (
1
12
𝑥) + cos (
5
12
𝑥)) − cos (
𝑥
4
) cos (
5
6
𝑥) 𝑑𝑥 
1
2
∫
1
2
(cos (
1
12
𝑥) + cos (
5
12
𝑥)) −
1
2
(cos (−
7
12
𝑥) + cos (
13
12
𝑥)) 𝑑𝑥 
1
2
∫
cos (
1
12
𝑥)
2
+
cos (
5
12
𝑥)
2
−
cos (−
7
12
𝑥)
2
−
cos (
13
12
𝑥)
2
𝑑𝑥 
1
2
∫
cos (
1
12 𝑥) + cos (
5
12 𝑥) − cos (−
7
12 𝑥) − cos (
13
12 𝑥)
2
𝑑𝑥 
1
4
∫ cos (
1
12
𝑥) + cos (
5
12
𝑥) − cos (−
7
12
𝑥) − cos (
13
12
𝑥) 𝑑𝑥 
1
4
∫ cos (
1
12
𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ cos (
5
12
𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ cos (−
7
12
𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ cos (
13
12
𝑥) 𝑑𝑥 
1
4
(12𝑠𝑒𝑛 (
1
18
𝑥) +
12𝑠𝑒𝑛 (
5
12 𝑥)
5
−
12𝑠𝑒𝑛 (
7
12 𝑥)
7
−
12𝑠𝑒𝑛 (
13
12 𝑥)
13
) 
3𝑠𝑒𝑛 (
1
12
𝑥) +
3𝑠𝑒𝑛 (
5
12 𝑥)
5
−
3𝑠𝑒𝑛 (
7
12 𝑥)
7
−
3𝑠𝑒𝑛 (
13
12 𝑥)
13
+ 𝑐 
 
20. ∫
𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠3𝑥
 
∫
cos2 𝑥 + sen2x 
𝑐𝑜𝑠3 𝑥
𝑑𝑥 
∫
co𝑠2x
𝑐𝑜𝑠3 𝑥
 + 
𝑠𝑒𝑛2x 
𝑐𝑜𝑠3 𝑥
 𝑑𝑥 
 
∫
co𝑠2 x 
𝑐𝑜𝑠3 𝑥
𝑑𝑥 + ∫
𝑠𝑒𝑛2 x
𝑐𝑜𝑠3 𝑥
𝑑𝑥 
∫
𝑐𝑜𝑠 𝑥
co𝑠2 𝑥
𝑑𝑥 + ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥
sen x 
𝑐𝑜𝑠3 𝑥
𝑑𝑥 
∫
1
1 − 𝑡2 
𝑑𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥
1 
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
 − ∫
1 
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝑑𝑥 
1
2
 𝑙𝑛 |
𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1
𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1
| + 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
2 𝑐𝑜𝑠2 𝑥
 +
1
4
 𝑙𝑛 |
𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1
𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1
| 
 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
2 𝑐𝑜𝑠2 𝑥
 − 
1
4
 𝑙𝑛 |
𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1
𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1
| + 𝐶 
 
21. ∫
𝑑𝑥
2. 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 3. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 5
 
 
∫
1
2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠𝑥 + 5
𝑑𝑥 
∫
1 + 𝑡2
4𝑡 + 2 − 8𝑡2
𝑥
2
1 + 𝑡2𝑑𝑡
 
∫
1
4 (
1
2
𝑡 +
1
4
) + 𝑡2
𝑑𝑡 
1
4
∫
1
(𝑡 +
1
4
)2 +
3
16
𝑑𝑡 
1
4
𝑥
1
√ 3
16
𝑎𝑐𝑡𝑎𝑛(
𝑢
√ 3
16
 
1
4
𝑥
1
√ 3
16
𝑎𝑟𝑐(
𝑡 +
1
4
√ 3
16
) 
1
4
𝑥
1
√ 3
16
𝑎𝑟𝑐(
tan (
𝑥
2
) +
1
4
√ 3
16
) 
√3𝑎𝑟𝑐𝑡𝑛(
4√3 tan (
𝑥
2
) + √3
3
3
 
 
 
√3𝑎𝑟𝑐𝑡𝑛(
4√3 tan (
𝑥
2
) + √3
3
3
+ 𝐶 
 
22. ∫
𝑑𝑥
−4𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 3
 
 𝑧 = tan (
𝑥
2
) 𝑑𝑥 =
2𝑑𝑧
(1+𝑧2)
 𝑠𝑒𝑛𝑥 =
2𝑧
(1+𝑧2)
 
𝑐𝑜𝑠𝑥 =
1−𝑧2
(1+𝑧2)
 
∫
2𝑑𝑧
1 + 𝑧2
−4(
1 − 𝑧2
1 + 𝑧2
) + (
2𝑧
1 + 𝑧2
) − 3
 
∫
2𝑑𝑧
1 + 𝑧2
−4 + 4𝑧2 + 2𝑧 − 3 − 3𝑧2
1 + 𝑧2
 
∫
2𝑑𝑧
𝑧2 + 2𝑧 − 7
 
2 ∫
𝑑𝑧
(𝑧 + 1)2 − (√8)
2 
2
2√8
ln |
𝑧 + 1 − √8
𝑧 + 1 + √8
| + 𝑐 
1
√8
ln |
tan(
𝑥
2
) + 1 − √8
tan(
𝑥
2
) + 1 + √8
| + 𝑐 
 
23. ∫
tgx. dx
√1 + sen2x
 
1 = ∫
𝑡𝑔𝑥. 𝑑𝑥
√1 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥
 
Dx=
1
𝑢
∗ 𝑑𝑢, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢 = 1 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑦 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛2 
∫
𝑡𝑔𝑥
√1 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥
∗
1
𝑠𝑒𝑛2
𝑑𝑢 
∫
𝑡𝑔𝑥
𝑠𝑒𝑛2√1 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑑𝑢 
 
∫
𝑡𝑔
𝑢 − 1
𝑠𝑒𝑛2
𝑠𝑒𝑛2√1 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑑𝑢 
∫
𝑡𝑔
𝑢 − 1
𝑠𝑒𝑛2
𝑠𝑒𝑛2√𝑢
𝑑𝑢 
∫
𝑡𝑔(𝑢 − 1)
𝑠2𝑒2𝑛4√𝑢
𝑑𝑢 
∫
𝑡𝑔𝑢 − (𝑡𝑔)
𝑠2𝑒2𝑛4√𝑢
𝑑𝑢 
∫
𝑡𝑔
𝑠2𝑒2𝑛4
∗
1 − 𝑢
𝑢1/2
𝑑𝑢 
𝑡𝑔
𝑠2𝑒2𝑛4
∗ 𝑢
1
2 −
1
𝑢1/2
𝑑𝑢 
𝑡𝑔
𝑠2𝑒2𝑛4
∗ (∫ 𝑢
1
2 𝑑𝑢 − ∫
1
𝑢
1
2
𝑑𝑢) 
𝑡𝑔
𝑠2𝑒2𝑛4
∗ (
2u√u
3
− 2√𝑢) 
𝑡𝑔
𝑠2𝑒2𝑛4
∗ (
2(1 + sen2)√1 + sen2x
3
− 2(√1 + sen2x) 
2𝑡𝑔√1 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 ∗ (1 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥) − 6𝑡𝑔√1 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥
3𝑠2𝑒2𝑛4
 
2𝑡𝑔√1 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 ∗ (1 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥) − 6𝑡𝑔√1 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥
3𝑠2𝑒2𝑛4
+ 𝑐 
 
24. ∫
𝑑𝑥
sin (
𝑥
2
) sin 𝑥
 
∫
2
sin(2𝑢) sin(𝑢)
 
2 ∗ ∫
1
sin(2𝑢) sin(𝑢)
𝑑𝑢 
2 ∫
1
2sin2(𝑢) cos(𝑢)
𝑑𝑢 
2 ∗
1
2
∫
1
sin2(𝑢) cos(𝑢)
𝑑𝑢 
 
2 ∗
1
2
∫
csc2 𝑢
cos(𝑢)
𝑑𝑢 
2 ∗
1
2
(−
cot(𝑢)
cos(𝑢)
− ∫ − sec(𝑢) tan(𝑢) cot(𝑢)𝑑𝑢) 
2 ∗
1
2
(−
cot(𝑢)
cos(𝑢)
− (− ln|tan(𝑢) + sec(𝑢)|)) 
2 ∗
1
2
(−
cot (
𝑥
2
)
cos (
𝑥
2
)
− (− ln |tan (
𝑥
2
) + sec (
𝑥
2
)|)) 
−
cot (
𝑥
2
)
cos (
𝑥
2
)
+ ln |tan (
𝑥
2
) + sec (
𝑥
2
)| 
−
cot (
𝑥
2
)
cos (
𝑥
2
)
+ ln |tan (
𝑥
2
) + sec (
𝑥
2
)| + 𝐶 
25. 
25. ∫
𝑑𝑥
(2. 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥)2
 
∫
𝑑𝑥
4. 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 12𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 9𝑐𝑜𝑠2𝑥
 
∫
𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
4. 𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
+
12𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
 +
9𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
 
∫
𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑑𝑥
4𝑡𝑔2𝑥 + 12𝑡𝑔𝑥 + 9
 
Cambio de variable 
∫
𝑑𝑡
4𝑡2 + 12𝑡 + 9
 
∫
𝑑𝑡
(2𝑡 + 3)2
 
∫
𝑑𝑡
(2𝑡 + 3)2
 
−
1
2(2𝑡 + 3)
+ 𝐶 
Devolver a la variable 
 
−
1
2(2𝑡𝑔𝑥 + 3)
+ 𝐶 
 
26. ∫
dx
3 − cos2 x
 
∫
2
−cos (2x) +5
𝑑𝑥 
2∫
1
−cos (2x) +5
𝑑𝑥 
U=2x 
2∫
1
2(−cos (u) +5)
𝑑𝑢 
2(
1
2
)∫
1
−cos (u) +5
𝑑𝑢 
V=tan(
𝒖
𝟐
) 
2(
1
2
)∫
1
3𝑣2 + 2
𝑑𝑢 
V=(
√2
√3
)w 
2(
1
2
)∫
1
√6(𝑤2 + 1)
𝑑𝑤 
2(
1
2
)
1
√6
∫
1
(𝑤2 + 1)
𝑑𝑤 
2(
1
2
)
1
√6
arctan (𝑤) 
Volvemos a la variable original 
2(
1
2
)
1
√6
arctan (
√3
√2
tan (
2𝑥
2
)) 
Simplificar 2 (
1
2
)
1
√6
arctan (
√3
√2
𝑡𝑎𝑛 (
2𝑥
2
)) 
1
√6
arctan (
√3
√2
tan(x)) 
1
√6
arctan (
√3
√2
tan(x)) + 𝐶 
 
 
 
 
27. ∫
𝑑𝑥
2 + sin2 (𝑥)
 
Sin(x)=
tan(𝑥)
sec (𝑥)
 𝑠𝑒𝑐2(x)=𝑡𝑎𝑛2(x)+1 
∫ sec2(𝑥) .
1
3 tan2(𝑥) + 2
𝑑𝑥 
u=tan(x) 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=𝑠𝑒𝑐2(x) dx=
1
sec2 (𝑥)
du 
∫
1
3𝑢2 + 2
𝑑𝑢 
v=
√3𝑢
√2
 
𝑑𝑣
𝑑𝑢
=
√3
√2
 du=
√2
√3
dv 
∫
√2
√3(2𝑣2 + 2)
𝑑𝑣 
1
√2√3
∫
1
𝑣2 + 1
𝑑𝑣 
∫
1
𝑣2 + 1
𝑑𝑣 
1
√2√3
∫
1
𝑣2 + 1
𝑑𝑣 
 =
arctan (𝑣)
√2√3
 V=
√3𝑢
√2
 
arctan (
√3𝑢
√2
)
√2√3
 
arctan (
√3tan (𝑥)
√2
)
√2√3
 
arctan (
√3tan (𝑥)
√6
)
√6
+ 𝐶 
 
28. ∫
𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠3𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝑥
 
 
 ∫ sec2 x sec x csc x dx 
∫ sec2 x
tan2 x + 1
tan x
 dx 
u = tan x du = sec2 x dx dx =
du
sec2 x
 
∫
sec2 x (
u2 + 1
u
)
sec2 x
du 
∫ u +
1
u
 du 
 
∫ u du + ∫
1
u
 du 
u2 + ln|u| + c 
tan2 x + ln|tan x| + c 
 
29. ∫
(𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠5𝑥)𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛4𝑥
 
 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
∫
𝑐𝑜𝑠5(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠3(𝑥) 𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛4(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)
 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) = 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 
∫
(2 − 3𝑠𝑒𝑛2(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛4(𝑥)cos (𝑥) 𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛2(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛4(𝑥)
 
∫
𝑢4 − 3𝑢4 + 2
𝑢4 + 𝑢2
𝑑𝑢 = ∫ (
2
𝑢2
−
6
𝑢2 + 1
+ 1) 𝑑𝑢 
−6 ∫ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑢) + 2 ∫
1
𝑢2
𝑑𝑢 ∫ 𝑑𝑢 
−6𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 + 2 ∫
1
𝑢2
𝑑𝑢 + ∫ 𝑑𝑢 = −
2
𝑢
− 6𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑢) + ∫ 𝑑𝑢 𝑢 −
2
𝑢
− 6𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑢) + 𝐶 
𝑠𝑒𝑛𝑥 − 2𝑐𝑠𝑐 − 6 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑠𝑒𝑛𝑥) + 𝑐 
=−
1
2
(cos(2𝑥) + 12𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 3 + 𝐶 
 
 
 
 
 
30. ∫
𝑑𝑥
cos2 𝑥 − 2 sin 𝑥 cos 𝑥 − 4 sin2 𝑥
 
1
cos2 𝑥 − 2 sin 𝑥 cos 𝑥 − 4 sin2 𝑥
=
sec2 𝑥
1 − tan 𝑥 − 4 tan2 𝑥
 
𝑢 = tan 𝑥 ; 𝑑𝑢 = sec2 𝑥 
𝑑𝑢
1 − 2𝑢 − 4𝑢2
=
𝑑𝑢
−
1
4
(𝑢2 +
𝑢
4
+
1
64
−
1
4
−
1
64
)
 
𝑑𝑢
−4 (𝑢 +
1
4
) +
5
4
= −
1
4
ln |−4 (𝑢 −
1
4
) +
5
4
| 
∫
𝑑𝑥
cos2 𝑥 − 2 sin 𝑥 cos 𝑥 − 4 sin2 𝑥
= −
1
4
ln |(−4 tan 𝑥) +
1
4
| + 𝑐 
 
31. ∫
𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥
4 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥
 
∫ −
1
4 + 𝑡2
𝑑𝑡 
−
1
2
𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(
𝑡
2
) 
−
1
2
𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥
2
) 
−
arctan (
𝑐𝑜𝑠𝑥
2
)
2
 
−
arctan (
𝑐𝑜𝑠𝑥
2
)
2
+ 𝐶 
−
arctan (
𝑐𝑜𝑠𝑥
2
)
2
+ 𝐶 
 
 
 
 
32. ∫
senxdx
1 + sen2
x
2
 
 
Cambio de variable 
U= x/2 
Du= ½ dx 
Dx= 2 du 
∫
2 𝑠𝑒𝑛 2𝑢 
1 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑢
 𝑑𝑢 
2 ∫
2 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑐𝑜𝑠 𝑢
1 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑢
 𝑑𝑢 
4 ∫
 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑐𝑜𝑠 𝑢
1 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑢
 𝑑𝑢 
T= sen u 
Dt= cos u 
4 ∫
 𝑡
1 + 𝑡
 𝑑𝑢 
Reemplazamos: 
4[𝑢 − 𝑙𝑛 |1 + 𝑢|] + 𝑐 
4 [1 − 𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
 − 𝑙𝑛 |1 + 𝑠𝑒𝑛 
𝑥
2
|] + 𝑐 
 
33. ∫ 𝑐𝑡𝑔2𝑥𝑐𝑡𝑔(2𝑥 + 3)𝑑𝑥 
identidades u=2x dx=1/2 du du/dx=2 
∫
𝑐𝑡𝑔(2𝑥) (
𝑐𝑡𝑔
3 ) 𝑐𝑡𝑔
(2𝑥) − 1
𝑐𝑡𝑔(2𝑥 + 𝑐𝑡𝑔(3))
𝑑𝑥 
1
2
∫
𝑐𝑡𝑔(𝑢)(𝑐𝑡𝑔 + 3)𝑐𝑡𝑔(𝑢) − 1)
𝑐𝑡𝑔(𝑢) + 𝑐𝑡𝑔(3)
𝑑𝑢 
𝑐𝑠𝑐2(𝑢) = 𝑐𝑡𝑔2(𝑢) + 1 
 
1
2
∫ −(−
𝑐𝑡𝑔(𝑢)(𝑐𝑡𝑔(3)𝑐𝑡𝑔(𝑢) − 1
𝑐𝑡𝑔(𝑢) + 𝑐𝑡𝑔(3)(−𝑐𝑡𝑔2𝑢 + 1)
𝑐𝑠𝑐2(𝑢)𝑑𝑢 
 v=ctgu 
dv/du=-𝑐𝑠𝑐2𝑢 du=-
1
𝑐𝑠𝑐2𝑢
𝑑𝑣 
=− ∫
𝑣(𝑐𝑡𝑔(3)𝑣−1)
(𝑣+𝑐𝑡𝑔3)(𝑣2+1)
𝑑𝑣 Descomposición en fracciones parciales 
 = 𝑐𝑡𝑔(3) ∫
1
𝑣+𝑐𝑡𝑔3
𝑑𝑣 − ∫
1
𝑣2+1
𝑑𝑣 
1 w= v + ctg3 
 dw/dv = dv=dw 
∫
1
𝑤
𝑑𝑤 = 𝑙𝑛(𝑑𝑤) = ln (𝑣 + 𝑐𝑡𝑔3) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑣 
2 ∫
1
𝑣2+1
 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑣 + 𝑐 
 =
1
2
 (ctg (3) ln(v+ctg3-arctgv) +c Pasa dx a u 
=
1
2
arctg (-ctgu)-ctg(3) ln(ctg(u))+ ctg(3) 
=
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑐𝑡𝑔(2𝑥)−𝑐𝑡𝑔(3)ln (𝑐𝑡𝑔(2𝑥)+𝑐𝑡𝑔(3)
2
+ 𝐶 
 
34. ∫
cos (
𝑥
2
) 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
2
)
𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
2
) + cos (
𝑥
2
)
𝑑𝑥 
2 ∫
cos(𝑢) 𝑠𝑒𝑛(𝑢)
𝑠𝑒𝑛(𝑢) + cos(𝑢)
𝑑𝑢 
∫
cos(𝑢) 𝑠𝑒𝑛(𝑢)
𝑠𝑒𝑛(𝑢) + cos(𝑢)
𝑑𝑢 
∫
2𝑡𝑎𝑛𝑔(
𝑢
2
)(1 − 𝑡𝑎𝑛𝑔2 (
𝑢
2
))
(𝑡𝑎𝑛𝑔2 (
𝑢
2
) + 1)2(
1 − 𝑡𝑎𝑛𝑔2 (
𝑢
2
)
𝑡𝑎𝑛𝑔2 (
𝑢
2
) + 1
+
2𝑡𝑎𝑛𝑔 (
𝑢
2
)
𝑡𝑎𝑛𝑔2 (
𝑢
2
) + 1
)
 
𝑑𝑢 
4 ∫
(v − 1)v(v + 1)
(𝑣2 + 1)2(𝑣2 − 2𝑣 − 1) 
𝑑𝑢 
∫
(v − 1)v(v + 1)
(𝑣2 + 1)2(𝑣2 − 2𝑣 − 1) 
𝑑𝑢 
 
∫
1
4(𝑣2 − 2𝑣 − 1)
−
1
4(𝑣2 + 1)
 
1
4
∫
1
𝑣2 − 2𝑣 − 1
−
1
4
∫
1
𝑣2 + 1
𝑑𝑣 
2 ∫
cos(𝑢) 𝑠𝑒𝑛(𝑢)
𝑠𝑒𝑛(𝑢) + cos(𝑢)
𝑑𝑢 
2 tan (
𝑢
2
)
𝑡𝑎𝑛2 (
𝑢
2
) + 1
−
2
𝑡𝑎𝑛2 (
𝑢
2
) + 1
+ 𝑐 
 
35. ∫
𝑠𝑒𝑛 (2𝑥) cos(2𝑥)
𝑠𝑒𝑛 (2𝑥) − cos ( 2𝑥)
 
𝑢 = 
1
𝑠𝑒𝑛2 𝑥−𝑐𝑜𝑠2 𝑥
 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥) cos( 2𝑥) 𝑑𝑥 
𝑑𝑢 = −(2 cos( 2𝑥) − 2 𝑠𝑒𝑛 ( 2𝑥)) 𝑑𝑥 𝑣 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥) cos(2𝑥)𝑑𝑥 
 𝑢′ = 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥)cos (2𝑥) 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 
 𝑑𝑢′ = 2𝑐𝑜𝑠3𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑣′ = 𝑥 
 𝑢′ ∗ 𝑑𝑣′ = 𝑢′𝑣′ − ∫ 𝑣′ 𝑑𝑢′ 
 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) cos(2𝑥)𝑥 − ∫ 𝑥𝑑𝑥 
𝑣 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) cos(2𝑥) 𝑥 −
𝑥
2
 
 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 =
1
𝑠𝑒𝑛2 𝑥−𝑐𝑜𝑠2 𝑥
 (𝑠𝑒𝑛(2𝑥) cos(2𝑥) −
𝑥
2
) − 
∫
2𝑠𝑒𝑛(2𝑥) cos(2𝑥)𝑥 − 𝑥2
2
(−2 cos(2𝑥) + 2𝑠𝑒𝑛(2𝑥))𝑑𝑥 
2𝑥𝑠𝑒𝑛(2𝑥) cos(2𝑥)−𝑥2
2𝑠𝑒𝑛(2𝑥)−2cos (2𝑥)
−
1
2
∫ −4𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑐𝑜𝑠2(2𝑥) + 4𝑠𝑒𝑛2(2𝑥) cos(2𝑥) + 2𝑥2 cos(2𝑥) −
2𝑥2𝑠𝑒𝑛(2𝑥)dx 
∫ −4𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑐𝑜𝑠2(2𝑥)𝑑𝑥 = - 4(
1
2
1
4
(− cos(4𝑥))=
1
2
cos(4x) 
∫ 4𝑠𝑒𝑛2(2𝑥) cos(2𝑥)𝑑𝑥 = -sen(2x)cos(4x)+
1
3
sen(6x) 
∫ 2𝑥2 cos(2𝑥) 𝑑𝑥=𝑥2𝑠𝑒𝑛(2𝑥)+xcos(2x) – 
1
2
𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 
∫ 2𝑥2𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑑𝑥 = −𝑥2cos (2𝑥) + 𝑥𝑠𝑒𝑛(2𝑥) +
1
2
cos (2𝑥) 
 
 
 
=
2𝑥𝑠𝑒𝑛(2𝑥) cos(2𝑥) − 𝑥2
2𝑠𝑒𝑛(2𝑥) − 2 cos(2𝑥)
−
cos(4𝑥)
4
−
𝑠𝑒𝑛(2𝑥) cos(4𝑥)
2
+
1
6
𝑠𝑒𝑛(6𝑥) 
−
𝑥2𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 𝑥𝑐𝑜𝑠(2𝑥)
2
− 
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
4
−
𝑥2 cos(2𝑥)
2
+
𝑥𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
2
+
cos(2𝑥)
4
+ 𝐶 
 
36. ∫
sin 𝑥 − 2 cos 𝑥
2 sin 𝑥 + cos 𝑥
𝑑𝑥 
𝑢 = 2 sin 𝑥 + cos 𝑥 
𝑑𝑢 = (2 cos 𝑥 − sin 𝑥)𝑑𝑥 
−𝑑𝑢 = (sin 𝑥 − 2 cos 𝑥)𝑑𝑥 
∫ −
𝑑𝑢
𝑢
 
− ∫
𝑑𝑢
𝑢
 
−𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶 
−𝑙𝑛|2 sin 𝑥 + cos 𝑥| + 𝐶 
 
37. ∫
3𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2 cos(𝑥) + 1
𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2
𝑑𝑥 
𝐼 = ∫
(
6𝑡
1 + 𝑡2
+
−2 − 2𝑡2
1 + 𝑡2
+ 1) (
2𝑑𝑡
1 + 𝑡2
)
2𝑡
1 + 𝑡2
−
3 − 𝑡2
1 + 𝑡2
+ 2
 
𝐼 = ∫
(
6𝑡−2𝑡2 + 1+𝑡2
1 + 𝑡2
)
2𝑡 − 3 + 𝑡2 + 2 + 2𝑡2
1 + 𝑡2
(
2𝑑𝑡
1 + 𝑡2
) 
𝐼 = ∫
−𝑡2 + 6𝑡 + 3
3𝑡2 + 2𝑡 − 1
(
2𝑑𝑡
1 + 𝑡2
) = − 2 ∫
𝑡2 − 6𝑡 − 3
(3𝑡 − 1)(𝑡 + 1)(𝑡2 + 1)
𝑑𝑡 
𝐼 = −2 ∫ (
𝐴
𝑡 + 1
+
𝐵
3𝑡 − 1
+
𝐶𝑡𝐷
𝑡2 + 1
) 𝑑𝑡 
𝑡2 − 6𝑡 − 3 = 𝐴(3𝑡3 − 𝑡2 + 3𝑡 − 1) + 𝐵(𝑡3 + 𝑡2 + 𝑡 + 1) + (𝐶𝑡𝐷)(3𝑡3 + 2𝑡 − 1) 
𝑡2 − 6𝑡 − 3 = 𝐴(3𝑡3 − 𝑡2 + 3𝑡 − 1) + 𝐵(𝑡3 + 𝑡2 + 𝑡 + 1) + 𝐶(3𝑡3 + 2𝑡 − 1) + 𝐷(3𝑡3 + 2𝑡 − 1) 
𝑡3 = 0 3𝐴 + 𝐵 + 3𝐶 = 0 
 
𝑡2 = 1 − 𝐴 + 𝐵 + 2𝐶 + 3𝐷 = 1 
𝑡1 = −6 3𝐴 + 𝐵 − 𝐶 + 2𝐷 = −6 
𝑡0 = −3 − 𝐴 + 𝐵 − 𝐷 = −3 
𝐴 = −
1
2
 𝐵 = −
33
10
 𝐶 =
8
5
 𝐷 =
1
5
 
 
𝐼 = ∫ (
𝑑𝑡
𝑡 + 1
+
33
(3)5
∫
3𝑑𝑡
3𝑡 − 1
−
2
5
∫
8𝑡 + 1
𝑡2 + 1
) 𝑑𝑡 
𝐼 = 𝑙𝑛|𝑡 + 1| +
11
5
𝑙𝑛|3𝑡 + 1| −
2
5
∫
2𝑡
𝑡2 + 1
−
2(3)
5
∫
2𝑡
𝑡2 + 1
𝑑𝑡 −
2
5
∫
𝑑𝑡
𝑡2 + 1
 
𝐼 = 𝑙𝑛|𝑡 + 1| +
11
5
𝑙𝑛|3𝑡 + 1| −
8
5
𝑙𝑛|𝑡2 + 1| −
2
5
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑡) + 𝑐 
𝐼 = 𝑙𝑛 |𝑡𝑔(
𝑥
2
) + 1| +
11
5
𝑙𝑛 |3𝑡𝑔(
𝑥
2
) + 1| −
8
5
𝑙𝑛 |𝑡𝑔(
𝑥
2
)2 + 1| −
2
5
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑡𝑔(
𝑥
2
)) + 𝑐 
 
 
38. ∫
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥
 
∫
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥
 
1
2
∫
𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑑𝑥 
1
2
∫
𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥
+ 
1
2
∫
𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥
 
1
2
∫
𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
+ 
1
2
∫
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥
 
1
2
ln|𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥| −
1
2
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝐶