Integrales_HERMITE_Asqui

Prévia do material em texto

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRIMER SEMESTRE 
PARALELO ¨B¨ 
ANÁLISIS MATEMÁTICO I 
 
ASQUI VACA, BORIS JOSUE 
 
2020-2021
 
 
 
1. ∫
(𝑥7 − 2)
(𝑥2 + 𝑥 + 1)2
𝑑𝑥 
(𝑥7 − 2)
(𝑥2 + 𝑥 + 1)2
= 𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 + 2 +
−4𝑥3 − 6𝑥2 − 5𝑥 − 4
(𝑥2 + 𝑥 + 1)2
 
∫
−4𝑥3 − 6𝑥2 − 5𝑥 − 4
(𝑥2 + 𝑥 + 1)2
𝑑𝑥 =
𝐴𝑥 + 𝐵
𝑥2 + 𝑥 + 1
+ ∫
𝐶𝑥 + 𝐷
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑑𝑥 
−4𝑥3 − 6𝑥2 − 5𝑥 − 4
(𝑥2 + 𝑥 + 1)2
=
𝐴(𝑥2 + 𝑥 + 1) − (2𝑥 + 1)(𝐴𝑥 + 𝐵)
(𝑥2 + 𝑥 + 1)2
+
𝐶𝑥 + 𝐷
𝑥2 + 𝑥 + 1
 
−4𝑥3 − 6𝑥2 − 5𝑥 − 4
(𝑥2 + 𝑥 + 1)2
=
𝐴(𝑥2 + 𝑥 + 1) − (2𝑥 + 1)(𝐴𝑥 + 𝐵) + (𝐶𝑥 + 𝐷)(𝑥2 + 𝑥 + 1)
(𝑥2 + 𝑥 + 1)2
 
−4𝑥3 − 6𝑥2 − 5𝑥 − 4
(𝑥2 + 𝑥 + 1)2
=
𝐶𝑥3 − 𝐴𝑥2 + 𝐶𝑥2 + 𝐷𝑥2 − 2𝐵𝑥 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑥 + 𝐴 − 𝐵 + 𝐷
(𝑥2 + 𝑥 + 1)2
 
𝐶 = −4; −𝐴 + 𝐶 + 𝐷 = −6; −2𝐵 + 𝐶 + 𝐷 = −5; 𝐴 − 𝐵 + 𝐷 = −4 
𝐴 = −
5
3
; 𝐵 = −
4
3
; 𝐶 = −4; 𝐷 = −
11
3
 
∫
−4𝑥3 − 6𝑥2 − 5𝑥 − 4
(𝑥2 + 𝑥 + 1)2
𝑑𝑥 = −
5𝑥 + 4
3(𝑥2 + 𝑥 + 1)
+ ∫
−4𝑥 −
11
3
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑑𝑥 
∫
−4𝑥3 − 6𝑥2 − 5𝑥 − 4
(𝑥2 + 𝑥 + 1)2
𝑑𝑥 = −
5𝑥 + 4
3(𝑥2 + 𝑥 + 1)
− 2 ∫
2𝑥 + 1
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑑𝑥 −
5
3
∫
1
𝑥2 + 𝑥 +
1
4 + 1 −
1
4
𝑑𝑥 
∫
−4𝑥3 − 6𝑥2 − 5𝑥 − 4
(𝑥2 + 𝑥 + 1)2
𝑑𝑥 = −
5𝑥 + 4
3(𝑥2 + 𝑥 + 1)
− 2 ∫
2𝑥 + 1
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑑𝑥 −
5
3
∫
1
(𝑥 +
1
2
)
2
+
3
4
𝑑𝑥 
∫
−4𝑥3 − 6𝑥2 − 5𝑥 − 4
(𝑥2 + 𝑥 + 1)2
𝑑𝑥 = −
5𝑥 + 4
3(𝑥2 + 𝑥 + 1)
− 2 ln|𝑥2 + 𝑥 + 1| −
10
3√3
arctan (
2𝑥 + 1
√3
) + 𝑐 
∫
(𝑥7 − 2)
(𝑥2 + 𝑥 + 1)2
𝑑𝑥 =
𝑥4
4
−
2𝑥3
3
+
𝑥2
2
+ 2𝑥 −
5𝑥 + 4
3(𝑥2 + 𝑥 + 1)
− 2 ln|𝑥2 + 𝑥 + 1| −
10
3√3
arctan (
2𝑥 + 1
√3
) + 𝑐 
 
2. ∫
4𝑥2 − 8𝑥
(𝑥 − 1)2(𝑥2 + 1)
𝑑𝑥 
∫
4𝑥2 − 8𝑥
(𝑥 − 1)2(𝑥2 + 1)
𝑑𝑥 =
𝐴
𝑥 − 1
+ ∫
𝐵
𝑥 − 1
𝑑𝑥 + ∫
𝐶𝑥 + 𝐷
𝑥2 + 1
 𝑑𝑥 
4𝑥2 − 8𝑥
(𝑥 − 1)2(𝑥2 + 1)
=
−𝐴
(𝑥 − 1)2
+
𝐵
𝑥 − 1
+
𝐶𝑥 + 𝐷
𝑥2 + 1
 
4𝑥2 − 8𝑥
(𝑥 − 1)2(𝑥2 + 1)
=
−𝐴(𝑥2 + 1) + 𝐵(𝑥 − 1)(𝑥2 + 1) + (𝐶𝑥 + 𝐷)(𝑥 − 1)2
(𝑥 − 1)2(𝑥2 + 1)
 
4𝑥2 − 8𝑥 = −𝐴𝑥2 − 𝐴 + 𝐵𝑥3 − 𝐵𝑥2 + 𝐵𝑥 − 𝐵 + 𝐶𝑥3 − 2𝐶𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑥2 − 2𝐷𝑥 + 𝐷 
𝐵 + 𝐶 = 0; −𝐴 − 𝐵 − 2𝐶 + 𝐷 = 4; 𝐵 + 𝐶 − 2𝐷 = −8; −𝐴 − 𝐵 + 𝐷 = 0 
 
 
 
 
 
𝐴 = 2; 𝐵 = 2; 𝐶 = −2; 𝐷 = 4 
∫
4𝑥2 − 8𝑥
(𝑥 − 1)2(𝑥2 + 1)
𝑑𝑥 =
2
𝑥 − 1
+ ∫
2
𝑥 − 1
𝑑𝑥 + ∫
−2𝑥 + 4
𝑥2 + 1
 𝑑𝑥 
∫
4𝑥2 − 8𝑥
(𝑥 − 1)2(𝑥2 + 1)
𝑑𝑥 =
2
𝑥 − 1
+ ∫
2
𝑥 − 1
𝑑𝑥 − ∫
2𝑥
𝑥2 + 1
 𝑑𝑥 + ∫
4
𝑥2 + 1
 𝑑𝑥 
∫
4𝑥2 − 8𝑥
(𝑥 − 1)2(𝑥2 + 1)
𝑑𝑥 =
2
𝑥 − 1
+ 2 ln|𝑥 − 1| − ln|𝑥2 + 1| + 4 arctan 𝑥 + 𝑐 
 
3. ∫
𝑑𝑥
(𝑥2 + 1)4
 
∫
𝑑𝑥
(𝑥2 + 1)4
=
𝐴𝑥5 + 𝐵𝑥4 + 𝐶𝑥3 + 𝐷𝑥2 + 𝐸𝑥 + 𝐹
(𝑥2 + 1)3
+ ∫
𝐺𝑥 + 𝐻
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 
1
(𝑥2 + 1)4
=
−𝐴𝑥6 − 2𝐵𝑥5 + 5𝐴𝑥4 − 3𝐶𝑥4 + 4𝐵𝑥3 − 4𝐷𝑥3 + 3𝐶𝑥2 − 5𝑥2𝐸 + 2𝐷𝑥 − 6𝑥𝐹 + 𝐸 + 𝐺𝑥7 + 3𝐺𝑥5 + 3𝐺𝑥3 + 𝐺𝑥 + 𝑥6𝐻 + 3𝑥4𝐻 + 3𝑥2𝐻 + 𝐻
(𝑥2 + 1)4
 
𝐺 = 0; −𝐴 + 𝐻 = 0; −2𝐵 + 3𝐺 = 0; 5𝐴 − 3𝐶 + 3𝐻; 4𝐵 − 4𝐷 + 3𝐺 = 0; 3𝐶 − 5𝐸 + 3𝐻 = 0; 2𝐷 − 6𝐹 + 𝐺
= 0; 𝐸 + 𝐻 = 1 
𝐴 =
5
16
; 𝐵 = 0; 𝐶 =
5
16
; 𝐷 = 0; 𝐸 =
11
16
; 𝐹 = 0; 𝐺 = 0; 𝐻 =
5
16
 
∫
𝑑𝑥
(𝑥2 + 1)4
=
5𝑥5 + 5𝑥3 + 11𝑥
16(𝑥2 + 1)3
+
5
16
∫
𝑑𝑥
𝑥2 + 1
 
∫
𝑑𝑥
(𝑥2 + 1)4
=
5𝑥5 + 5𝑥3 + 11𝑥
16(𝑥2 + 1)3
+
5
16
arctan 𝑥 + 𝑐 
 
4. ∫
𝑑𝑥
(𝑥4 − 1)2
 
∫
𝑑𝑥
(𝑥4 − 1)2
=
𝐴𝑥3 + 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐷
(𝑥4 − 1)
+ ∫
𝐸𝑥3 + 𝐹𝑥2 + 𝐺𝑥 + 𝐻
𝑥4 − 1
𝑑𝑥 
𝑑𝑥
(𝑥4 − 1)2
=
(3𝐴𝑥2 + 2𝐵𝑥 + 𝐶)(𝑥4 − 1) − 4𝑥3(𝐴𝑥3 + 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐷)
(𝑥4 − 1)2
+
𝐸𝑥3 + 𝐹𝑥2 + 𝐺𝑥 + 𝐻
𝑥4 − 1
 
𝑑𝑥
(𝑥4 − 1)2
=
(3𝐴𝑥2 + 2𝐵𝑥 + 𝐶)(𝑥4 − 1) − 4𝑥3(𝐴𝑥3 + 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐷) + (𝐸𝑥3 + 𝐹𝑥2 + 𝐺𝑥 + 𝐻)(𝑥4 + 1)
(𝑥4 − 1)2
 
𝑑𝑥
(𝑥4 − 1)2
=
−𝐴𝑥6 − 2𝐵𝑥5 − 3𝑥4𝐶 − 4𝐷𝑥3 − 3𝐴𝑥2 − 2𝐵𝑥 − 𝐶 + 𝐸𝑥7 + 𝐸𝑥3 + 𝑥6𝐹 + 𝑥2𝐹 + 𝑥5𝐺 + 𝑥𝐺 + 𝑥4𝐻 + 𝐻
(𝑥4 − 1)2
 
𝐸 = 0; −𝐴 + 𝐹 = 0; −2𝐵 + 𝐺; −3𝐶 + 𝐻 = 0; −4𝐷 + 𝐸; −3𝐴 + 𝐹; −2𝐵 + 𝐺; −𝐶 + 𝐻 = 1 
𝐴 = 0; 𝐵 = 0; 𝐶 =
1
4
; 𝐷 = 0; 𝐸 = 0; 𝐹 = 0; 𝐺 = 0; 𝐻 =
3
4
 
∫
𝑑𝑥
(𝑥4 − 1)2
=
1
4(𝑥4 − 1)
+
3
4
∫
𝑑𝑥
𝑥4 − 1
 
∫
𝑑𝑥
(𝑥4 − 1)2
=
1
4(𝑥4 − 1)
+
3
4
(−
1
2
arctan 𝑥 +
1
4
ln |
𝑥 − 1
𝑥 + 1
|) + 𝑐 
 
 
 
 
5. ∫
𝑥4 − 2𝑥3 + 2
(𝑥2 − 2𝑥 + 2)2
𝑑𝑥 
𝑥4 − 2𝑥3 + 2
(𝑥2 − 2𝑥 + 2)2
= 1 +
2𝑥3 − 8𝑥2 + 8𝑥 − 2
(𝑥2 − 2𝑥 + 2)2
 
∫
2𝑥3 − 8𝑥2 + 8𝑥 − 2
(𝑥2 − 2𝑥 + 2)2
𝑑𝑥 =
𝐴𝑥 + 𝐵
𝑥2 − 2𝑥 + 2
+ ∫
𝐶𝑥 + 𝐷
𝑥2 − 2𝑥 + 2
𝑑𝑥 
2𝑥3 − 8𝑥2 + 8𝑥 − 2
(𝑥2 − 2𝑥 + 2)2
=
−𝐴𝑥2 − 2𝐵𝑥 + 2𝐴 + 2𝐵
(𝑥2 − 2𝑥 + 2)2
+
𝐶𝑥 + 𝐷
𝑥2 − 2𝑥 + 2
 
2𝑥3 − 8𝑥2 + 8𝑥 − 2
(𝑥2 − 2𝑥 + 2)2
=
−𝐴𝑥2 − 2𝐵𝑥 + 2𝐴 + 2𝐵 + 𝐶𝑥3 − 2𝐶𝑥2 + 2𝐶𝑥 + 𝐷𝑥2 − 2𝐷𝑥 + 2𝐷
(𝑥2 − 2𝑥 + 2)2
 
2𝑥3 − 8𝑥2 + 8𝑥 − 2 = −𝐴𝑥2 − 2𝐵𝑥 + 2𝐴 + 2𝐵 + 𝐶𝑥3 − 2𝐶𝑥2 + 2𝐶𝑥 + 𝐷𝑥2 − 2𝐷𝑥 + 2𝐷 
𝐶 = 2; −𝐴 − 2𝐶 + 𝐷 = −8; −2𝐵 + 2𝐶 − 2𝐷 = 8; +2𝐴 + 2𝐵 + 2𝐷 = −2 
𝐴 = 1; 𝐵 = 1; 𝐶 = 2; 𝐷 = −3 
∫
2𝑥3 − 8𝑥2 + 8𝑥 − 2
(𝑥2 − 2𝑥 + 2)2
𝑑𝑥 =
𝑥 + 1
𝑥2 − 2𝑥 + 2
+ ∫
2𝑥 − 3
𝑥2 − 2𝑥 + 2
𝑑𝑥 
∫
2𝑥3 − 8𝑥2 + 8𝑥 − 2
(𝑥2 − 2𝑥 + 2)2
𝑑𝑥 =
𝑥 + 1
𝑥2 − 2𝑥 + 2
+ ∫
2𝑥 − 2
𝑥2 − 2𝑥 + 2
𝑑𝑥 − ∫
𝑑𝑥
(𝑥 − 1)2 + 1
 
∫
𝑥4 − 2𝑥3 + 2
(𝑥2 − 2𝑥 + 2)2
𝑑𝑥 = 𝑥 +
𝑥 + 1
𝑥2 − 2𝑥 + 2
+ ln|𝑥2 − 2𝑥 + 2| − arctan(𝑥 − 1) + 𝑐 
 
6. ∫
𝑑𝑥
𝑥4(𝑥3 + 1)2
 
∫
𝑥2
𝑥6(𝑥3 + 1)2
𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑥3 → 𝑑𝑢 = 3𝑥2 
1
3
∫
𝑑𝑢
𝑢2(𝑢 + 1)2
 
∫ (
𝐴
𝑢
+
𝐵
𝑢2
+
𝐶
𝑢 + 1
+
𝐷
(𝑢 + 1)2
) 𝑑𝑢 
𝐴𝑢(𝑢 + 1)2 + 𝐵(𝑢 + 1)2 + 𝐶𝑢2(𝑢 + 1)2 + 𝐷𝑢2 
𝐴 = −2; 𝐵 = 1; 𝐶 = 2; 𝐷 = 1 
−2 ∫ (
𝑑𝑢
𝑢
) + ∫ (
𝑑𝑢
𝑢2
) + 2 ∫ (
𝑑𝑢
𝑢 + 1
) + ∫ (
𝑑𝑢
(𝑢 + 1)2
) 
1
3
(−2 ln|𝑢| −
1
𝑢
+ 2 ln|𝑢 + 1| −
1
𝑢 + 1
) 
∫
𝑑𝑥
𝑥4(𝑥3 + 1)2
=
1
3
(−2 ln|𝑥3| −
1
𝑥3
+ 2 ln|𝑥3 + 1| −
1
𝑥3 + 1
) + 𝑐 
 
 
 
 
 
 
7. ∫
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑥5 − 2𝑥4 + 𝑥3
𝑑𝑥 
∫
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑥3(𝑥 − 1)2
𝑑𝑥 =
𝐴𝑥 + 𝐵
𝑥2
+
𝐶
(𝑥 − 1)
+ ∫
𝐷
𝑥
𝑑𝑥 + ∫
𝐸
𝑥 − 1
𝑑𝑥 
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑥3(𝑥 − 1)2
=
−𝐴𝑥 − 2𝐵
𝑥3
+
−𝐶
(𝑥 − 1)2
+
𝐷
𝑥
+
𝐸
𝑥 − 1
 
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑥3(𝑥 − 1)2
=
(−𝐴𝑥 − 2𝐵)(𝑥 − 1)2 − 𝐶𝑥3 + 𝐷𝑥2(𝑥 − 1)2 + 𝐸𝑥3(𝑥 − 1)
𝑥3(𝑥 − 1)2
 
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑥3(𝑥 − 1)2
=
−𝐴𝑥3 + 2𝐴𝑥2 − 𝐴𝑥 − 2𝐵𝑥2 + 4𝐵𝑥 − 2𝐵 − 𝐶𝑥3 + 𝐷𝑥4 − 2𝐷𝑥3 + 𝐷𝑥2 + 𝑥4𝐸 − 𝑥3𝐸
𝑥3(𝑥 − 1)2
 
𝐷 + 𝐸 = 0; −𝐴 − 𝐶 − 2𝐷 − 𝐸 = 0; 2𝐴 − 2𝐵 + 𝐷 = 1; −𝐴 + 4𝐵 = 1; −2𝐵 = 1 
𝐴 = −3; 𝐵 = −
1
2
; 𝐶 = −3; 𝐷 = 6; 𝐸 = −6; 
∫
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑥3(𝑥 − 1)2
𝑑𝑥 =
−3𝑥 −
1
2
𝑥2
+
−3
(𝑥 − 1)
+ ∫
6
𝑥
𝑑𝑥 + ∫
−6
𝑥 − 1
𝑑𝑥 
∫
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑥3(𝑥 − 1)2
𝑑𝑥 =
−6𝑥 − 1
2𝑥2
+
−3
(𝑥 − 1)
+ 6 ln 𝑥 − 6 ln|𝑥 − 1| + 𝑐 
 
8. ∫
𝑥6 + 𝑥4 − 4𝑥2 − 2
𝑥3(𝑥2 + 1)2
𝑑𝑥 
∫
𝑥6 + 𝑥4 − 4𝑥2 − 2
𝑥3(𝑥2 + 1)2
𝑑𝑥 =
𝐴𝑥 + 𝐵
𝑥2
+
𝐶𝑥 + 𝐷
(𝑥2 + 1)
+ ∫
𝐸
𝑥
𝑑𝑥 + ∫
𝐹𝑥 + 𝐺
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 
𝑥6 + 𝑥4 − 4𝑥2 − 2
𝑥3(𝑥2 + 1)2
=
−𝐴𝑥 − 2𝐵
𝑥3
+
−𝐶𝑥2 − 2𝐷𝑥 + 𝐶
(𝑥2 + 1)2
+
𝐸
𝑥
+
𝐹𝑥 + 𝐺
𝑥2 + 1
 
𝑥6 + 𝑥4 − 4𝑥2 − 2
𝑥3(𝑥2 + 1)2
=
(−𝐴𝑥 − 2𝐵)(𝑥2 + 1)2 + (−𝐶𝑥2 − 2𝐷𝑥 + 𝐶)𝑥3 + 𝐸𝑥2(𝑥2 + 1)2 + (𝐹𝑥 + 𝐺)(𝑥2 + 1)𝑥3
𝑥3(𝑥2 + 1)2
 
𝑥6 + 𝑥4 − 4𝑥2 − 2
𝑥3(𝑥2 + 1)2
=
−𝐴𝑥5 − 2𝐴𝑥3 − 𝐴𝑥 − 2𝐵𝑥4 − 4𝐵𝑥2 − 2𝐵 − 𝐶𝑥5 − 2𝐷𝑥4 + 𝐶𝑥3 + 𝑥6𝐸 + 2𝑥4𝐸 + 𝑥2𝐸 + 𝑥6𝐹 + 𝑥4𝐹 + 𝑥5𝐺 + 𝑥3𝐺
𝑥3(𝑥2 + 1)2
 
𝐸 + 𝐹 = 1; −𝐴 − 𝐶 + 𝐺 = 0; −2𝐵 − 2𝐷 + 2𝐸 + 𝐹 = 1; −2𝐴 + 𝐶 + 𝐺 = 0; −4𝐵 + 𝐸 = −4; −𝐴 = 0; −2𝐵 = −2 
𝐴 = 0; 𝐵 = 1; 𝐶 = 0𝐷 = −1; 𝐸 = 0; 𝐹 = 1; 𝐺 = 0 
∫
𝑥6 + 𝑥4 − 4𝑥2 − 2
𝑥3(𝑥2 + 1)2
𝑑𝑥 =
1
𝑥2
+
−1
(𝑥2 + 1)
+ ∫
𝑥
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 
∫
𝑥6 + 𝑥4 − 4𝑥2 − 2
𝑥3(𝑥2 + 1)2
𝑑𝑥 =
1
𝑥2
−
1
(𝑥2 + 1)
+
1
2
ln|𝑥2 + 1| + 𝑐 
 
 
 
 
 
9. ∫
(𝑥2 − 1)2
(𝑥 + 1)(1 + 𝑥2)3
𝑑𝑥 
(𝑥2 − 1)2
(𝑥 + 1)(1 + 𝑥2)3
=
𝑥 − 1
(𝑥2 + 1)2 
+
2 − 2𝑥
(𝑥2 + 1)3
 
∫ (
𝑥 − 1
(𝑥2 + 1)2 
+
2 − 2𝑥
(𝑥2 + 1)3
) 𝑑𝑥 = ∫ (
𝑥 − 1
(𝑥2 + 1)2 
) 𝑑𝑥 + ∫ (
2 − 2𝑥
(𝑥2 + 1)3
) 𝑑𝑥 
∫
𝑥
(𝑥2 + 1)2 
𝑑𝑥 − ∫
1
(𝑥2+ 1)2
𝑑𝑥 − ∫
2𝑥
(𝑥2 + 1)3
𝑑𝑥 + ∫
2
(𝑥2 + 1)3
𝑑𝑥 
∫
𝑥
(𝑥2 + 1)2 
𝑑𝑥 = −
1
2(𝑥2 + 1)
 
∫
1
(𝑥2 + 1)2
𝑑𝑥 =
𝐴𝑥 + 𝐵
𝑥2 + 1
+ ∫
𝐶𝑥 + 𝐷
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 
1
(𝑥2 + 1)2
=
−𝐴𝑥2 − 2𝐵𝑥 + 𝐴 + (𝐶𝑥 + 𝐷)(𝑥2 + 1)
(𝑥2 + 1)2
 
1
(𝑥2 + 1)2
=
−𝐴𝑥2 − 2𝐵𝑥 + 𝐴 + 𝐶𝑥3 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑥2 + 𝐷
(𝑥2 + 1)2
 
−𝐴 + 𝐷 = 0; 𝐶 = 0; −2𝐵 + 𝐶 = 0; 𝐴 + 𝐷 = 1 
𝐴 =
1
2
; 𝐵 = 0; 𝐶 = 0; 𝐷 =
1
2
; 
∫
1
(𝑥2 + 1)2
𝑑𝑥 =
𝑥
2(𝑥2 + 1)
+
1
2
∫
𝑑𝑥
𝑥2 + 1
 
∫
1
(𝑥2 + 1)2
𝑑𝑥 =
𝑥
2(𝑥2 + 1)
+
1
2
arctan 𝑥 
 
∫
2𝑥
(𝑥2 + 1)3
𝑑𝑥 = −
1
(𝑥2 + 1)2
 
∫
2
(𝑥2 + 1)3
𝑑𝑥 =
𝐴𝑥3 + 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐷
(𝑥2 + 1)2
+ ∫
𝐸𝑥 + 𝐹
𝑥2 + 1
 
2
(𝑥2 + 1)3
=
−𝐴𝑥4 − 2𝐵𝑥3 + 3𝐴𝑥2 − 3𝐶𝑥2 + 2𝐵𝑥 − 4𝐷𝑥 + 𝐶 + (𝐸𝑥 + 𝐹)(𝑥2 + 1)2
(𝑥2 + 1)3
 
2
(𝑥2 + 1)3
=
−𝐴𝑥4 − 2𝐵𝑥3 + 3𝐴𝑥2 − 3𝐶𝑥2 + 2𝐵𝑥 − 4𝐷𝑥 + 𝐶 + 𝐸𝑥5 + 2𝐸𝑥3 + 𝐸𝑥 + 𝑥4𝐹 + 2𝑥2𝐹 + 𝐹
(𝑥2 + 1)3
 
𝐸 = 0; −𝐴 + 𝐹 = 0; −2𝐵 + 2𝐸 = 0; 3𝐴 − 3𝐶 + 2𝐹 = 0; 2𝐵 − 4𝐷 + 𝐸 = 0; 𝐶 + 𝐹 = 2 
𝐴 = 0; 𝐵 = 0; 𝐶 = 0; 𝐷 = 0; 𝐸 = 0 𝐹 = 2 
∫
2
(𝑥2 + 1)3
𝑑𝑥 = ∫
2
𝑥2 + 1
= 2 arctan 𝑥 
∫
𝑥
(𝑥2 + 1)2 
𝑑𝑥 − ∫
1
(𝑥2 + 1)2
𝑑𝑥 − ∫
2𝑥
(𝑥2 + 1)3
𝑑𝑥 + ∫
2
(𝑥2 + 1)3
𝑑𝑥 
 
 
 
∫
(𝑥2 − 1)2
(𝑥 + 1)(1 + 𝑥2)3
𝑑𝑥 = −
1
2(𝑥2 + 1)
−
𝑥
2(𝑥2 + 1)
+
1
(𝑥2 + 1)2
+
3
2
arctan 𝑥 + 𝑐 
 
10. ∫
𝑑𝑥
𝑥4(𝑥3 + 1)2
 
∫
𝑥2
𝑥6 (𝑥3 + 1)2
𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑥3; 𝑑𝑢 = 3𝑥2𝑑𝑥 
∫
𝑥2
𝑥6 (𝑥3 + 1)2
𝑑𝑥 =
1
3
∫
𝑑𝑢
𝑢2(𝑢 + 1)2
 
1
𝑢2(𝑢 + 1)2
=
𝐴
𝑢
+
𝐵
𝑢2
+
𝐶
𝑢 + 1
+
𝐷
(𝑢 + 1)2
 
1 = 𝐴(𝑢)(𝑢 + 1)2 + 𝐵(𝑢 + 1)2 + 𝐶(𝑢2)(𝑢 + 1) + 𝐷(𝑢2) 
𝐴 = −2; 𝐵 = 1; 𝐶 = 2; 𝐷 = 1 
−2 ∫ (
𝑑𝑢
𝑢
) + ∫ (
𝑑𝑢
𝑢2
) + 2 ∫ (
𝑑𝑢
𝑢 + 1
) + ∫ (
𝑑𝑢
(𝑢 + 1)2
) 
∫
𝑑𝑥
𝑥4(𝑥3 + 1)2
= −2 ln 𝑢 −
1
𝑢
+ 2 ln|𝑢 + 1| −
1
𝑢 + 1
 
∫
𝑑𝑥
𝑥4(𝑥3 + 1)2
= −2 ln 𝑥3 −
1
𝑥3
+ 2 ln|𝑥3 + 1| −
1
𝑥3 + 1
+ 𝑐 
 
 
11. ∫
𝑑𝑥
(𝑥2 + 2𝑥 + 10)3
 
∫
𝑑𝑥
((𝑥 + 1)2 + 9)3
= ∫
𝑑𝑢
(𝑢2 + 9)3
=
𝑢
36(𝑢2 + 9)2
+
1
12
∫
𝑑𝑢
(𝑢2 + 9)2
 
𝑢
36(𝑢2 + 9)2
+
1
12
(
𝑢
18(𝑢2 + 9)
+
1
18
∫
𝑑𝑢
𝑢2 + 9
) 
𝑣 =
𝑢
3
; 𝑑𝑣 =
1
3
 𝑑𝑢 
𝑢
36(𝑢2 + 9)2
+
1
12
(
𝑢
18(𝑢2 + 9)
+
1
18
∫
3𝑑𝑣
9𝑣2 + 9
) 
𝑢
36(𝑢2 + 9)2
+
1
12
(
𝑢
18(𝑢2 + 9)
+
1
54
∫
𝑑𝑣
𝑣2 + 1
) 
∫
𝑑𝑥
(𝑥2 + 2𝑥 + 10)3
=
𝑢
36(𝑢2 + 9)2
+
𝑢
216(𝑢2 + 9)
+
1
648 
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
𝑢
3
) 
 
 
 
∫
𝑑𝑥
(𝑥2 + 2𝑥 + 10)3
=
𝑥 + 1
36((𝑥 + 1)2 + 9)2
+
𝑥 + 1
216((𝑥 + 1)2 + 9)
+
1
648
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
𝑥 + 1
3
) + 𝑐 
 
12. ∫
(𝑥 + 2)
(𝑥2 + 2𝑥 + 2)3
𝑑𝑥 
∫
(𝑥 + 2)
(𝑥2 + 2𝑥 + 2)3
𝑑𝑥 =
𝐴𝑥3 + 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐷
(𝑥2 + 2𝑥 + 2)2
+ ∫
𝐸𝑥 + 𝐹
𝑥2 + 2𝑥 + 2
𝑑𝑥 
(𝑥 + 2)
(𝑥2 + 2𝑥 + 2)3
=
𝐴𝑥3 + 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐷
(𝑥2 + 2𝑥 + 2)2
+
𝐸𝑥 + 𝐹
𝑥2 + 2𝑥 + 2
 
(𝑥 + 2)
(𝑥2 + 2𝑥 + 2)3
=
−𝐴𝑥4 + 2𝐴𝑥3 − 2𝐵𝑥3 + 6𝐴𝑥2 − 3𝐶𝑥2 + 4𝐵𝑥 − 2𝐶𝑥 − 4𝐷𝑥 + 2𝐶 − 4𝐷 + 𝐸𝑥5 + 4𝐸𝑥4 + 8𝐸𝑥3 + 8𝐸𝑥2 + 4𝐸𝑥 + 𝑥4𝐹 + 4𝑥3𝐹 + 8𝑥2𝐹 + 8𝑥𝐹 + 4𝐹
(𝑥2 + 2𝑥 + 2)3
 
𝐸 = 0; −𝐴 + 4𝐸 + 𝐹 = 0; 2𝐴 − 2𝐵 + 8𝐸 + 4𝐹 = 0; 6𝐴 − 3𝐶 + 8𝐸 + 8𝐹 = 0 
; 4𝐵 − 2𝐶 − 4𝐷 + 4𝐸 + 8𝐹 = 1; 2𝐶 − 4𝐷 + 4𝐹 = 2 
∫
(𝑥 + 2)
(𝑥2 + 2𝑥 + 2)3
𝑑𝑥 =
3
8
arctan(𝑥 + 1) +
𝑥
4(𝑥2 + 2𝑥 + 2)2
+
3(𝑥 + 1)
8(𝑥2 + 2𝑥 + 2)
+ 𝑐 
 
13. ∫
𝑥5 − 𝑥4 − 26𝑥2 − 24𝑥 − 25
(𝑥2 + 4𝑥 + 5)2(𝑥2 + 4)2
𝑑𝑥 
𝑥5 − 𝑥4 − 26𝑥2 − 24𝑥 − 25
(𝑥2 + 4𝑥 + 5)2(𝑥2 + 4)2
=
𝑥
(𝑥2 + 4𝑥 + 5)2
−
1
(𝑥2 + 4)2
 
∫ (
𝑥
(𝑥2 + 4𝑥 + 5)2
−
1
(𝑥2 + 4)2
) 𝑑𝑥 
∫ (
𝑥
(𝑥2 + 4𝑥 + 5)2
) 𝑑𝑥 − ∫ (
1
(𝑥2 + 4)2
) 𝑑𝑥 
∫ (
𝑥
(𝑥2 + 4𝑥 + 5)2
) 𝑑𝑥 =
𝐴𝑥 + 𝐵
𝑥2 + 4𝑥 + 5
+ ∫
𝐶𝑥 + 𝐷
𝑥2 + 4𝑥 + 5
𝑑𝑥 
𝑥
(𝑥2 + 4𝑥 + 5)2
=
−𝐴𝑥2 − 2𝐵𝑥 + 5𝐴 − 4𝐵 + 𝐶𝑥3 + 4𝐶𝑥2 + 5𝐶𝑥 + 𝐷𝑥2 + 4𝐷𝑥 + 5𝐷
(𝑥2 + 4𝑥 + 5)2
 
𝐶 = 0; −𝐴 + 4𝐶 + 𝐷 = 0; −2𝐵 + 5𝐶 + 4𝐷 = 1; 5𝐴 − 4𝐵 + 5𝐷 = 0 
𝐴 = −1; 𝐵 = −
5
2
; 𝐶 = 0; 𝐷 = −1; 
∫ (
𝑥
(𝑥2 + 4𝑥 + 5)2
) 𝑑𝑥 =
−2𝑥 − 5
2(𝑥2 + 4𝑥 + 5)
− ∫
1
𝑥2 + 4𝑥 + 5
𝑑𝑥 
∫ (
𝑥
(𝑥2 + 4𝑥 + 5)2
) 𝑑𝑥 =
−2𝑥 − 5
2(𝑥2 + 4𝑥 + 5)
− arctan(𝑥 + 2) 
∫ (
1
(𝑥2 + 4)2
) 𝑑𝑥 =
𝐴𝑥 + 𝐵
𝑥2 + 4
+ ∫
𝐶𝑥 + 𝐷
𝑥2 + 4
𝑑𝑥 
 
 
 
1
(𝑥2 + 4)2
= +
−𝐴𝑥2 − 2𝐵𝑥 + 4𝐴
(𝑥2 + 4)2
+
𝐶𝑥 + 𝐷
𝑥2 + 4
 
1
(𝑥2 + 4)2
= +
−𝐴𝑥2 − 2𝐵𝑥 + 4𝐴 + 𝐶𝑥3 + 4𝐶𝑥 + 𝐷𝑥2 + 4𝐷
(𝑥2 + 4)2
 
𝐶 = 0; −𝐴 + 𝐷 = 0; −2𝐵 + 4𝐶 = 0; 4𝐴 + 4𝐷 = 1 
𝐴 = −
1
8
; 𝐵 = 0; 𝐶 = 0; 𝐷 =
1
8
 
∫ (
1
(𝑥2 + 4)2
) 𝑑𝑥 =
𝑥
8(𝑥2 + 4)
+
1
8
∫
𝑑𝑥
𝑥2 + 4
 
∫ (
1
(𝑥2 + 4)2
) 𝑑𝑥 =
𝑥
8(𝑥2 + 4)
+
1
16
arctan
𝑥
2
 
∫
𝑥5 − 𝑥4 − 26𝑥2 − 24𝑥 − 25
(𝑥2 + 4𝑥 + 5)2(𝑥2 + 4)2
𝑑𝑥 =
−2𝑥 − 5
2(𝑥2 + 4𝑥 + 5)
− arctan(𝑥 + 2) −
𝑥
8(𝑥2 + 4)
−
1
16
arctan
𝑥
2
+ 𝑐 
 
14. ∫
3𝑥4 + 4
𝑥2(𝑥2 + 1)3
𝑑𝑥 
3𝑥4 + 4
𝑥2(𝑥2 + 1)3
=
4
𝑥2
−
4
𝑥2 + 1
−
1
(𝑥2 + 1)2
−
7
(𝑥2 + 1)3
 
∫
3𝑥4 + 4
𝑥2(𝑥2 + 1)3
𝑑𝑥 = ∫ (
4
𝑥2
−
4
𝑥2 + 1
−
1
(𝑥2 + 1)2
−
7
(𝑥2 + 1)3
) 𝑑𝑥 
∫ (
4
𝑥2
) 𝑑𝑥 − ∫ (
4
𝑥2 + 1
) 𝑑𝑥 − ∫ (
1
(𝑥2 + 1)2
) 𝑑𝑥 − ∫ (
7
(𝑥2 + 1)3
) 𝑑𝑥 
∫
3𝑥4 + 4
𝑥2(𝑥2 + 1)3
𝑑𝑥 = −
4
𝑥
− 4 arctan 𝑥 − ∫ (
1
(𝑥2 + 1)2
) 𝑑𝑥 − ∫ (
7
(𝑥2 + 1)3
) 𝑑𝑥 
∫ (
1
(𝑥2 + 1)2
) 𝑑𝑥 =
𝐴𝑥 + 𝐵
𝑥2 + 1
+ ∫
𝐶𝑥 + 𝐷
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 
1
(𝑥2 + 1)2
=
−𝐴𝑥2 − 2𝐵𝑥 + 𝐴 + 𝐶𝑥3 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑥2 + 𝐷
(𝑥2 + 1)2
 
𝐶 = 0; −𝐴 + 𝐷 = 0; −2𝐵 + 𝐶 = 0; 𝐴 + 𝐷 = 1 
𝐶 = 0; 𝐴 = −
1
2
; 𝐵 = 0; 𝐷 =
1
2
 
∫ (
1
(𝑥2 + 1)2
) 𝑑𝑥 =
−𝑥
2(𝑥2 + 1)
+
1
2
∫
𝑑𝑥
𝑥2 + 1
 
∫ (
1
(𝑥2 + 1)2
) 𝑑𝑥 =
−𝑥
2(𝑥2 + 1)
+
1
2
arctan 𝑥 
∫ (
7
(𝑥2 + 1)3
) 𝑑𝑥 =
𝐴𝑥3 + 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐷
(𝑥2 + 1)2
+ ∫
𝐸𝑥 + 𝐹
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 
7
(𝑥2 + 1)3
=
−𝐴𝑥4 − 2𝐵𝑥3 + 3𝐴𝑥2 − 3𝐶𝑥2 + 2𝐵𝑥 − 4𝐷𝑥 + 𝐶
(𝑥2 + 1)3
+
𝐸𝑥 + 𝐹
𝑥2 + 1
 
7
(𝑥2 + 1)3
=
−𝐴𝑥4 − 2𝐵𝑥3 + 3𝐴𝑥2 − 3𝐶𝑥2 + 2𝐵𝑥 − 4𝐷𝑥 + 𝐶 + 𝐸𝑥5 + 2𝐸𝑥3 + 𝐸𝑥 + 𝑥4𝐹 + 2𝑥2𝐹 + 𝐹
(𝑥2 + 1)3
 
𝐸 = 0; −𝐴 + 𝐹 = 0; −2𝐵 + 2𝐸 = 0; 3𝐴 − 3𝐶 + 2𝐹 = 0; 2𝐵 − 4𝐷 + 𝐸 = 0; 𝐶 + 𝐹 = 7 
𝐴 = −
21
8
; 𝐶 =
35
8
; 𝐸 = 0; 𝐵 = 0; 𝐷 = 0; 𝐹 =
21
8
 
∫ (
7
(𝑥2 + 1)3
) 𝑑𝑥 =
−21𝑥3 + 35𝑥
8(𝑥2 + 1)2
+
21
8
∫
𝑑𝑥
𝑥2 + 1
 
∫ (
7
(𝑥2 + 1)3
) 𝑑𝑥 =
−21𝑥3 + 35𝑥
8(𝑥2 + 1)2
+
21
8
arctan 𝑥 
∫
3𝑥4 + 4
𝑥2(𝑥2 + 1)3
𝑑𝑥 =
𝑥
2(𝑥2 + 1)
−
1
2
arctan 𝑥 −
−21𝑥3 + 35𝑥
8(𝑥2 + 1)2
−
21
8
arctan 𝑥 + 𝑐 
 
 
 
15. ∫
5 − 3𝑥 + 6𝑥2 + 5𝑥3 − 𝑥4
𝑥5 − 𝑥4 − 2𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥 − 1
𝑑𝑥 
∫
5 − 3𝑥 + 6𝑥2 + 5𝑥3 − 𝑥4
(𝑥 + 1)2(𝑥 − 1)3
𝑑𝑥 
5 − 3𝑥 + 6𝑥2 + 5𝑥3 − 𝑥4 = 𝐴(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)3 + 𝐵(𝑥 − 1)3 + 𝐶(𝑥 + 1)2(𝑥 − 1)2 + 𝐷(𝑥 + 1)2(𝑥 − 1) + 𝐸(𝑥 + 1)2 
𝐴 = −2; 𝐵 = −1; 𝐶 = 1; 𝐷 = 2; 𝐸 = 3 
∫ (
−2
𝑥 + 1
+
−1
(𝑥 + 1)2
+
1
𝑥 − 1
+
2
(𝑥 − 1)2
+
3
(𝑥 − 1)3
) 𝑑𝑥 
∫ (
−2
𝑥 + 1
) 𝑑𝑥 + ∫ (
−1
(𝑥 + 1)2
) 𝑑𝑥 + ∫ (
1
𝑥 − 1
) 𝑑𝑥 + ∫ (
2
(𝑥 − 1)2
) 𝑑𝑥 + ∫ (
3
(𝑥 − 1)3
) 𝑑𝑥 
∫
5 − 3𝑥 + 6𝑥2 + 5𝑥3 − 𝑥4
𝑥5 − 𝑥4 − 2𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥 − 1
𝑑𝑥 = −2 ln|𝑥 + 1| +
1
𝑥 + 1
+ ln|𝑥 − 1| −
2
𝑥 − 1
−
3
2(𝑥 − 1)2
+ 𝑐 
 
16. ∫
9
5𝑥2(3 − 2𝑥2)3
𝑑𝑥 
∫
1
𝑥2(3 − 2𝑥2)3
𝑑𝑥 =
𝐴
𝑥
+
𝐵𝑥3 + 𝐶𝑥2 + 𝐷𝑥 + 𝐸
(3 − 2𝑥2)2
+ ∫
𝐹
𝑥
𝑑𝑥 + ∫
𝐺𝑥 + 𝐷
3 − 2𝑥2
𝑑𝑥 
1
𝑥2(3 − 2𝑥2)3
=
−𝐴
𝑥2
+
2𝐵𝑥4 + 4𝑥3𝐶 + 9𝐵𝑥2 + 6𝐷𝑥2 + 6𝑥𝐶 + 8𝑥𝐸 + 3𝐷
(3 − 2𝑥2)3
+
𝐹
𝑥
+
𝐺𝑥 + 𝐷
3 − 2𝑥2
 
1
𝑥2(3 − 2𝑥2)3
=
−𝐴(3 − 2𝑥2)3 + (2𝐵𝑥4 + 4𝑥3𝐶 + 9𝐵𝑥2 + 6𝐷𝑥2 + 6𝑥𝐶 + 8𝑥𝐸 + 3𝐷)𝑥2 + 𝐹𝑥(3 − 2𝑥2)3 + (𝐺𝑥 + 𝐷)𝑥2(3 − 2𝑥2)2
𝑥2(3 − 2𝑥2)3
 
1
𝑥2(3 − 2𝑥2)3
=
−8𝑥7𝐹 + 4𝑥7𝐺 + 8𝐴𝑥6 + 2𝐵𝑥6 + 4𝐷𝑥6 + 4𝑥5𝐶 + 36𝑥5𝐹 − 12𝑥5𝐺 − 36𝐴𝑥4 + 9𝐵𝑥4 − 6𝐷𝑥4 + 8𝐸𝑥3 + 6𝑥3𝐶 − 54𝑥3𝐹 + 9𝑥3𝐺 + 54𝐴𝑥2 + 12𝐷𝑥2 + 27𝑥𝐹 − 27𝐴
𝑥2(3 − 2𝑥2)3
 
−8𝐹 + 4𝐺 = 0; 8𝐴 + 2𝐵 + 4𝐷 = 0; 4𝐶 + 36𝐹 − 12𝐺 = 0; −36𝐴 + 9𝐵 − 6𝐷 = 0; 8𝐸 + 6𝐶 − 54𝐹 + 9𝐺 = 0; 54𝐴 + 12𝐷 = 0; 27𝐹 = 0; −27𝐴 = 1 
∫
9
5𝑥2(3 − 2𝑥2)3
𝑑𝑥 = (−
𝑥4
2
+
5𝑥2
4
−
3
5
)
1
𝑥(3 − 2𝑥2)2
+
1
8√6
ln |
√3 + 𝑥√2
√3 − 𝑥√2
|17. ∫
𝑥3 + 𝑥 − 1
(𝑥2 + 2)2
𝑑𝑥 
𝑥3 + 𝑥 − 1
(𝑥2 + 2)2
=
𝐴𝑥 + 𝐵
(𝑥2 + 2)
+
𝐶𝑥 + 𝐷
(𝑥2 + 2)2
 
𝑥3 + 𝑥 − 1
(𝑥2 + 2)2
=
(𝐴𝑥 + 𝐵)(𝑥2 + 2) + 𝐶𝑥 + 𝐷
(𝑥2 + 2)2
 
𝑥3 + 𝑥 − 1
(𝑥2 + 2)2
=
𝐴𝑥3 + 2𝐴𝑥 + 𝐵𝑥2 + 2𝐵 + 𝐶𝑥 + 𝐷
(𝑥2 + 2)2
 
𝐴 = 1; 𝐵 = 0; 𝐶 = −1; 𝐷 = −1 
∫
𝑥3 + 𝑥 − 1
(𝑥2 + 2)2
𝑑𝑥 = ∫ (
𝐴𝑥 + 𝐵
(𝑥2 + 2)
+
𝐶𝑥 + 𝐷
(𝑥2 + 2)2
) 𝑑𝑥 
∫ (
𝑥
(𝑥2 + 2)
) 𝑑𝑥 + ∫ (
−𝑥 − 1
(𝑥2 + 2)2
) 𝑑𝑥 
∫ (
𝑥
(𝑥2 + 2)
) 𝑑𝑥 =
1
2
ln|𝑥2 + 2| 
∫ (
−𝑥 − 1
(𝑥2 + 2)2
) 𝑑𝑥 =
𝐴𝑥 + 𝐵
𝑥2 + 2
+ ∫
𝐶𝑥 + 𝐷
𝑥2 + 2
𝑑𝑥 
−𝑥 − 1
(𝑥2 + 2)2
=
−𝐴𝑥2 − 2𝐵𝑥 + 2𝐴
(𝑥2 + 2)2
+
𝐶𝑥 + 𝐷
𝑥2 + 2
 
−𝑥 − 1
(𝑥2 + 2)2
=
−𝐴𝑥2 − 2𝐵𝑥 + 2𝐴 + 𝐶𝑥3 + 2𝐶𝑥 + 𝐷𝑥2 + 2𝐷
(𝑥2 + 2)2
 
𝐶 = 0; −𝐴 + 𝐷 = 0; −2𝐵 + 2𝐶 = −1; 2𝐴 + 2𝐷 = −1 
𝐴 = −
1
4
; 𝐵 =
1
2
; 𝐶 = 0; 𝐷 = −
1
4
 
∫ (
−𝑥 − 1
(𝑥2 + 2)2
) 𝑑𝑥 =
−2𝑥 + 4
8(𝑥2 + 2)
−
1
4
∫
𝑑𝑥
𝑥2 + 2
𝑑𝑥 
∫ (
−𝑥 − 1
(𝑥2 + 2)2
) 𝑑𝑥 =
−2𝑥 + 4
8(𝑥2 + 2)
−
1
4√2
arctan
𝑥
√2
 
∫
𝑥3 + 𝑥 − 1
(𝑥2 + 2)2
𝑑𝑥 =
1
2
ln|𝑥2 + 2| +
−2𝑥 + 4
8(𝑥2 + 2)
−
1
4√2
arctan
𝑥
√2
 
 
18. ∫
4𝑥2 − 8𝑥
(𝑥 − 1)2(𝑥2 + 1)2
𝑑𝑥 
4𝑥2 − 8𝑥
(𝑥 − 1)2(𝑥2 + 1)2
=
𝐴
𝑥 − 1
+
𝐵
(𝑥 − 1)2
+
𝐶𝑥 + 𝐷
(𝑥2 + 1)
+
𝐸𝑥 + 𝐹
(𝑥2 + 1)2
 
4𝑥2 − 8𝑥 = 𝐴(𝑥 − 1)(𝑥2 + 1)2 + 𝐵(𝑥2 + 1)2 + (𝐶𝑥 + 𝐷)(𝑥2 + 1)(𝑥 − 1)2 + (𝐸𝑥 + 𝐹)(𝑥 − 1)2 
𝐴 = 2; 𝐵 = −1; 𝐶 = −2; 𝐷 = −1; 𝐸 = −2; 𝐹 = 4 
 
 
 
∫
2
𝑥 − 1
+
−1
(𝑥 − 1)2
+
−2𝑥 − 1
(𝑥2 + 1)
+
−2𝑥 + 4
(𝑥2 + 1)2
𝑑𝑥 
∫
2
𝑥 − 1
𝑑𝑥 + ∫
−1
(𝑥 − 1)2
𝑑𝑥 + ∫
−2𝑥 − 1
(𝑥2 + 1)
𝑑𝑥 + ∫
−2𝑥 + 4
(𝑥2 + 1)2
𝑑𝑥 
∫
2
𝑥 − 1
𝑑𝑥 + ∫
−1
(𝑥 − 1)2
𝑑𝑥 + ∫
−2𝑥 − 1
(𝑥2 + 1)
𝑑𝑥 = 2 ln |𝑥 − 1| +
1
𝑥 − 1
− ln|𝑥2 + 1| − arctan 𝑥 
∫
−2𝑥 + 4
(𝑥2 + 1)2
𝑑𝑥 =
𝐴𝑥 + 𝐵
𝑥2 + 1
+ ∫
𝐶𝑥 + 𝐷
𝑥2 + 1
 
−2𝑥 + 4
(𝑥2 + 1)2
=
−𝐴𝑥2 − 2𝐵𝑥 + 𝐴
(𝑥2 + 1)2
+
𝐶𝑥 + 𝐷
𝑥2 + 1
 
 
 
−2𝑥 + 4
(𝑥2 + 1)2
=
−𝐴𝑥2 − 2𝐵𝑥 + 𝐴 + 𝐶𝑥3 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑥2 + 𝐷
(𝑥2 + 1)2
 
𝐶 = 0; −𝐴 + 𝐷 = 0; −2𝐵 + 𝐶 = −2; 𝐴 + 𝐷 = −4 
𝐴 = −2; 𝐵 = 1; 𝐶 = 0; 𝐷 = −2 
∫
−2𝑥 + 4
(𝑥2 + 1)2
𝑑𝑥 =
−2𝑥 + 1
𝑥2 + 1
+ ∫
−2
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 
∫
−2𝑥 + 4
(𝑥2 + 1)2
𝑑𝑥 =
−2𝑥 + 1
𝑥2 + 1
− 2 arctan 𝑥 
∫
4𝑥2 − 8𝑥
(𝑥 − 1)2(𝑥2 + 1)2
𝑑𝑥 = 2 ln |𝑥 − 1| +
1
𝑥 − 1
− ln|𝑥2 + 1| − 3 arctan 𝑥 +
−2𝑥 + 1
𝑥2 + 1
 
 
19. ∫
𝑥3 − 2𝑥2 + 4
(𝑥2 − 1)3
𝑑𝑥 
∫
𝑥3 − 2𝑥2 + 4
(𝑥 − 1)3(𝑥 + 1)3
𝑑𝑥 =
𝐴𝑥 + 𝐵
(𝑥 − 1)2
+
𝐶𝑥 + 𝐷
(𝑥 + 1)2
+ ∫
𝐸
𝑥 − 1
𝑑𝑥 + ∫
𝐹
𝑥 + 1
𝑑𝑥 
𝑥3 − 2𝑥2 + 4
(𝑥 − 1)3(𝑥 + 1)3
=
−𝐴𝑥 − 𝐴 − 2𝐵
(𝑥 − 1)3
+
−𝐶𝑥 + 𝐶 − 2𝐷
(𝑥 + 1)3
+
𝐸
𝑥 − 1
+
𝐹
𝑥 + 1
 
𝑥3 − 2𝑥2 + 4
(𝑥 − 1)3(𝑥 + 1)3
=
(−𝐴𝑥 − 𝐴 − 2𝐵)(𝑥 + 1)3 + (−𝐶𝑥 + 𝐶 − 2𝐷)(𝑥 − 1)3 + 𝐸(𝑥 − 1)2(𝑥 + 1)3 + 𝐹(𝑥 + 1)2(𝑥 − 1)3
(𝑥2 − 1)3
 
𝑥3 − 2𝑥2 + 4
(𝑥 − 1)3(𝑥 + 1)3
=
−𝐴𝑥4 − 4𝐴𝑥3 − 2𝐵𝑥3 − 6𝐴𝑥2 − 6𝐵𝑥2 − 4𝐴𝑥 − 6𝐵𝑥 − 𝐴 − 2𝐵 − 𝐶𝑥^4 + 4𝐶𝑥3 − 2𝐷𝑥3 − 6𝐶𝑥2 + 6𝐷𝑥2 + 4𝐶𝑥 − 6𝐷𝑥 − 𝐶 + 2𝐷 + 𝑥5𝐸 + 𝑥4𝐸 − 2𝑥3𝐸 − 2𝑥2𝐸 + 𝑥𝐸 + 𝐸 + 𝑥5𝐹 − 𝑥4𝐹 − 2𝑥3𝐹 + 2𝑥2𝐹 + 𝑥𝐹 − 𝐹
(𝑥2 − 1)3
 
∫
𝑥3 − 2𝑥2 + 4
(𝑥2 − 1)3
𝑑𝑥 =
1
4
ln|𝑥| −
1
4
ln|𝑥 − 2| −
1
𝑥
(1 +
1
2𝑥
) −
1
2(𝑥 − 2)
+ 𝑐 
 
20. ∫
3𝑥2 + 1
(𝑥2 + 1)3
𝑑𝑥 
 
 
 
∫
3𝑥2 + 1
(𝑥2 + 1)3
𝑑𝑥 =
𝐴𝑥3 + 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐷
(𝑥2 + 1)2
+ ∫
𝐸𝑥 + 𝐹
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 
3𝑥2 + 1
(𝑥2 + 1)3
=
−𝐴𝑥4 − 2𝐵𝑥3 + 3𝐴𝑥2 − 3𝐶𝑥2 + 2𝐵𝑥 − 4𝐷𝑥 + 𝐶 + 𝐸𝑥5 + 2𝐸𝑥3 + 𝐸𝑥 + 𝑥4𝐹 + 2𝑥2𝐹 + 𝐹
(𝑥2 + 1)3
 
𝐸 = 0; −𝐴 + 𝐹 = 0; −2𝐵 + 2𝐸 = 0; 3𝐴 − 3𝐶 + 2𝐹 = 3; 2𝐵 − 4𝐷 + 𝐸 = 0; 𝐶 + 𝐹 = 1 
𝐴 = 1; 𝐵 = 0; 𝐶 = 0; 𝐷 = 0; 𝐸 = 0; 𝐹 = 1 
∫
3𝑥2 + 1
(𝑥2 + 1)3
𝑑𝑥 =
𝑥3
(𝑥2 + 1)2
+ ∫
𝑑𝑥
𝑥2 + 1
 
∫
3𝑥2 + 1
(𝑥2 + 1)3
𝑑𝑥 =
𝑥3
(𝑥2 + 1)2
+ arctan 𝑥 + 𝑐 
 
21. ∫
𝑥2
(𝑥 + 2)2(𝑥 + 4)2
𝑑𝑥 
 
∫
𝑥2
(𝑥 + 2)2(𝑥 + 4)2
𝑑𝑥 =
𝐴
𝑥 + 2
+
𝐵
𝑥 + 4
+ ∫
𝐶
𝑥 + 2
𝑑𝑥 + ∫
𝐷
𝑥 + 4
𝑑𝑥 
𝑥2
(𝑥 + 2)2(𝑥 + 4)2
=
−𝐴
(𝑥 + 2)2
+
−𝐵
(𝑥 + 4)2
+
𝐶
𝑥 + 2
+
𝐷
𝑥 + 4
 
𝑥2
(𝑥 + 2)2(𝑥 + 4)2
=
−𝐴(𝑥 + 4)2 − 𝐵(𝑥 + 2)2 + 𝐶(𝑥 + 2)(𝑥 + 4)2 + 𝐷(𝑥 + 4)(𝑥 + 2)2
(𝑥 + 2)2(𝑥 + 4)2
 
𝑥2
(𝑥 + 2)2(𝑥 + 4)2
=
−𝐴𝑥2 − 8𝐴𝑥 − 16𝐴 − 𝐵𝑥2 − 4𝐵𝑥 − 4𝐵 + 𝐶𝑥3 + 10𝐶𝑥2 + 32𝐶𝑥 + 32𝐶 + 𝐷𝑥3 + 8𝐷𝑥2 + 20𝐷𝑥 + 16𝐷
(𝑥 + 2)2(𝑥 + 4)2
 
𝐶 + 𝐷 = 0; −𝐴 − 𝐵 + 10𝐶 + 8𝐷 = 1; −8𝐴 − 4𝐵 + 32𝐶 + 20𝐷 = 0; −16𝐴 − 4𝐵 + 32𝐶 + 16𝐷 = 0 
𝐴 = −1; 𝐵 = −4; 𝐶 = −2; 𝐷 = 2 
∫
𝑥2
(𝑥 + 2)2(𝑥 + 4)2
𝑑𝑥 =
−1
𝑥 + 2
+
−4
𝑥 + 4
+ ∫
−2
𝑥 + 2
𝑑𝑥 + ∫
2
𝑥 + 4
𝑑𝑥 
∫
𝑥2
(𝑥 + 2)2(𝑥 + 4)2
𝑑𝑥 =
−1
𝑥 + 2
+
−4
𝑥 + 4
− 2 ln|𝑥 + 2| + 2 ln|𝑥 + 4| + 𝑐 
 
22. ∫
3𝑥2 + 𝑥 + 3
(𝑥 − 1)3(𝑥2 + 1)
𝑑𝑥 
𝐴
𝑥 − 1
+
𝐵
(𝑥 − 1)2
+
𝐶
(𝑥 − 1)3
+
𝐷𝑥 + 𝐸
𝑥2 + 1
 
𝐴(𝑥4 − 1)2(𝑥2 + 1) + 𝐵(𝑥 − 1)(𝑥2 + 1) + 𝐶(𝑥2 + 2) + (𝐷𝑥 + 𝐸)(𝑥 − 1)3 = 3𝑥2 + 𝑥 + 3 
 
 
𝐴 = −
1
4
; 𝐵 = 0; 𝐶 =
7
2
; 𝐷 =
1
4
; 𝐸 =
1
4
 
∫ (
𝐴
𝑥 − 1
+
𝐵
(𝑥 − 1)2
+
𝐶
(𝑥 − 1)3
+
𝐷𝑥 + 𝐸
𝑥2 + 1
) 𝑑𝑥 
∫ (
𝐴
𝑥 − 1
) 𝑑𝑥 + ∫ (
𝐵
(𝑥 − 1)2
) 𝑑𝑥 + ∫ (
𝐶
(𝑥 − 1)3
) 𝑑𝑥 + ∫ (
𝐷𝑥 + 𝐸
𝑥2 + 1
) 𝑑𝑥 
−
1
4
∫
𝑑𝑥
𝑥 − 1
+ 
7
2
∫
𝑑𝑥
(𝑥 − 1)3
+ 
1
4
∫
𝑥 + 1
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 
−
1
4
𝑙𝑛|𝑥 − 1 −|
7
4(𝑥 − 1)2
+ [∫
𝑥
𝑥2
+ ∫
𝑑𝑥
𝑥2 + 1
] 
∫
9
5𝑥2(3 − 2𝑥2)3
𝑑𝑥 = −
𝑙𝑛|𝑥 − 1|
4
−
7
4(𝑥 − 1)2
1
8
 𝑙𝑛|𝑥2 + 1| +
1
4
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 + 𝐶 
 
 
23. ∫
𝑥 − 2
𝑥(𝑥2 − 4𝑥 + 5)2
𝑑𝑥 
∫
𝑥 − 2
𝑥(𝑥2 − 4𝑥 + 5)2
𝑑𝑥 =
𝐴𝑥 + 𝐵
𝑥2 − 4𝑥 + 5
+ ∫
𝐶
𝑥
𝑑𝑥 + ∫
𝐷𝑥 + 𝐸
𝑥2 − 4𝑥 + 5
𝑑𝑥 
𝑥 − 2
𝑥(𝑥2 − 4𝑥 + 5)2
=
−𝐴𝑥2 − 2𝐵𝑥 + 5𝐴 + 4𝐵
(𝑥2 − 4𝑥 + 5)2
+
𝐶
𝑥
+
𝐷𝑥 + 𝐸
𝑥2 − 4𝑥 + 5
 
𝑥 − 2
𝑥(𝑥2 − 4𝑥 + 5)2
=
−𝐴𝑥3 − 2𝐵𝑥2 + 5𝐴𝑥 + 4𝐵𝑥 + 𝐶𝑥
4
− 8𝐶𝑥3 + 26𝐶𝑥2 − 40𝐶𝑥 + 25𝐶 + 𝐷𝑥4 − 4𝐷𝑥3 + 50𝑥2 + 𝐸𝑥3 − 4𝐸𝑥2 + 5𝐸𝑥
𝑥(𝑥2 − 4𝑥 + 5)2
 
𝐶 =
−2
25
 ; 𝐴 =
1
10
; 𝐵 =
−2
5
; 𝐷 =
2
25
; 𝐸 =
−11
25
 
∫
𝑥 − 2
𝑥(𝑥2 − 4𝑥 + 5)2
𝑑𝑥 =
1
10
𝑥 −
2
5
𝑥2 − 4𝑥 + 5
+
−2
25
∫
𝑑𝑥
𝑥
+ ∫
2
25
𝑥 −
11
50
𝑥2 − 4𝑥 + 5
𝑑𝑥 
∫
𝑥 − 2
𝑥(𝑥2 − 4𝑥 + 5)2
𝑑𝑥 =
𝑥 − 4
10(𝑥2 − 4𝑥 + 5)
+
−2
25
ln 𝑥 +
1
50
∫
4𝑥 − 11
𝑥2 − 4𝑥 + 5
𝑑𝑥 
∫
𝑥 − 2
𝑥(𝑥2 − 4𝑥 + 5)2
𝑑𝑥 =
𝑥 − 4
10(𝑥2 − 4𝑥 + 5)
−
2
25
ln 𝑥2 −
1
50
(2 ln|𝑥2 − 4𝑥 + 5|) − 3𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥 − 2)) + 𝑐 
 
 
 
 
 
 
 
24. ∫
1
(𝑥4 − 1)3
𝑑𝑥 
∫
1
(𝑥4 − 1)3
𝑑𝑥 =
𝐴𝑥7 + 𝐵𝑥6 + 𝐶𝑥5 + 𝐷𝑥4 + 𝐸𝑥3 + 𝐹𝑥2 + 𝐺𝑥 + 𝐻
(𝑥4 − 1)2
+ ∫
𝐼𝑥3 + 𝐽𝑥2 + 𝐾𝑥 + 𝐿
(𝑥4 − 1)
𝑑𝑥 
1
(𝑥4 − 1)3
=
−𝐴𝑥10 − 7𝐴𝑥6 − 2𝐵𝑥9 − 6𝐵𝑥5 − 3𝐶𝑥8 − 5𝐶𝑥4 − 40𝑥7 + 4𝐷𝑥3 − 5𝐸𝑥6 − 3𝐸𝑥2 − 6𝐹𝑥5 − 2𝐹𝑥 − 7𝐺𝑥4 − 𝐺 − 8𝐻𝑥3 + 𝐼𝑥11 − 2𝐼𝑥7 + 𝐼𝑥3 + 𝐽𝑥10 − 2𝐽𝑥6 + 𝐽𝑥2 + K𝑥9 − 2𝐾𝑥5 + 𝐾𝑥 + 𝐿𝑥8 − 2𝐿𝑥4
(𝑥4 − 1)3
 
𝐴 = 0; 𝐵 = 0; 𝐶 =
7
32
; 𝐷 = 0; 𝐸 = 0; 𝐹 = 0; 𝐺 = −
11
32
; 𝐻 = 0; 𝐼 = 0; 𝐽 = 0; 𝐾 = 0; 𝐿 =
21
32
 
∫
1
(𝑥4 − 1)3
𝑑𝑥 =
7𝑥5
32 −
11𝑥
32
(𝑥4 − 1)
2 +
21
32
∫
𝑑𝑥
𝑥4 − 1
 
∫
1
(𝑥4 − 1)3
𝑑𝑥 =
7𝑥5 − 11𝑥
32(𝑥4 − 1)
2 +
21
32
(∫
(𝐴𝑥 + 𝐵)
(𝑥2 − 1)
𝑑𝑥 + ∫
(𝐶𝑥 + 1)
(𝑥2 + 1)
𝑑𝑥) 
1
(𝑥2 − 1)(𝑥2 + 1)
=
𝐴𝑥 + 𝐵
𝑥2 − 1
+
𝐶𝑥 + 𝐷
𝑥2 + 1
 
∫
1
(𝑥4 − 1)3
𝑑𝑥 =
7𝑥5 − 11𝑥
32(𝑥4 − 1)
2 +
21
128
ln |
𝑥 − 1
𝑥 + 1
| −
21
64
arctan 𝑥 + 𝐶 
 
25. ∫
𝑥𝑑𝑥
(𝑥2 − 𝑥 + 1)3
 
∫
𝑥𝑑𝑥
(𝑥2 − 𝑥 + 1)3
=
𝐴𝑥3 + 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐷
(𝑥2 − 𝑥 + 1)2
+ ∫
𝐸𝑥 + 𝐹
𝑥2 − 𝑥 + 1
𝑑𝑥 
𝑥
(𝑥2 − 𝑥 + 1)3
=
−𝐴𝑥4 − 𝐴𝑥3 − 2𝐵𝑥3 + 3𝐴𝑥2 − 3𝐶𝑥2 + 2𝐵𝑥 + 𝐶𝑥 − 4𝐷𝑥 + 𝐶 + 2𝐷
(𝑥2 − 𝑥 + 1)3
+
𝐸𝑥 + 𝐹
𝑥2 − 𝑥 + 1
 
𝑥
(𝑥2 − 𝑥 + 1)3
=
−𝐴𝑥4 − 𝐴𝑥3 − 2𝐵𝑥3 + 3𝐴𝑥2 − 3𝐶𝑥2 + 2𝐵𝑥 + 𝐶𝑥 − 4𝐷𝑥 + 𝐶 + 2𝐷 + 𝐸𝑥5 − 2𝐸𝑥4 + 3𝐸𝑥3 − 2𝐸𝑥2 + 𝐸𝑥 + 𝑥4𝐹 − 2𝑥3𝐹 + 3𝑥2𝐹 − 2𝑥𝐹 + 𝐹
(𝑥2 − 𝑥 + 1)3
 
𝐸 = 0; −𝐴 − 2𝐸 + 𝐹 = 0; −𝐴 − 2𝐵 + 3𝐸 − 2𝐹 = 0; 3𝐴 − 3𝐶 − 2𝐸 + 3𝐹 = 0; 2𝐵 + 𝐶 − 4𝐷 + 𝐸 − 2𝐹 = 1; 𝐶 + 2𝐷 + 𝐹 = 0 
𝐴 =
1
3
; 𝐵 =
−1
2
; 𝐶 =
2
3
; 𝐷 =
−1
2; 𝐸 = 0; 𝐹 =
1
3
 
∫
𝑥𝑑𝑥
(𝑥2 − 𝑥 + 1)3
=
𝑥3
3 −
𝑥2
2 +
2𝑥
3 −
1
2
(𝑥
2
− 𝑥 + 1)
2 +
1
3
∫
𝑑𝑥
(𝑥 −
1
2)
2
− (
√3
2 )
2 
∫
𝑥𝑑𝑥
(𝑥2 − 𝑥 + 1)3
==
1
6
(
2𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥 − 3
(𝑥
2
− 𝑥 + 1)
2
) +
2
3√3
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
2𝑥 − 1
√3
+ 𝐶 
 
 
 
 
 
 
 
 
26. ∫
𝑥6 + 13𝑥4 − 𝑥3 + 14𝑥2 − 𝑥 + 6
(1 − 𝑥)3(1 + 𝑥2)2
𝑑𝑥 
∫
𝑥6 + 13𝑥4 − 𝑥3 + 14𝑥2 − 𝑥 + 6
(1 − 𝑥)3(1 + 𝑥2)2
𝑑𝑥 =
𝐴𝑥 + 𝐵
(1 − 𝑥)2
+
𝐶𝑥 + 𝐷
1 + 𝑥2
+ ∫
𝐸
1 − 𝑥
𝑑𝑥 + ∫
𝐹𝑥 + 𝐺
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 
𝑥6 + 13𝑥4 − 𝑥3 + 14𝑥2 − 𝑥 + 6
(1 − 𝑥)3(1 + 𝑥2)2
=
𝐴𝑥 + 𝐴 + 2𝐵
(1 − 𝑥)3
+
𝐶 − 𝐶𝑥2 − 2𝐷𝑥
(1 + 𝑥2)2
+
𝐸
1 − 𝑥
+
𝐹𝑥 + 𝐺
1 + 𝑥2
 
𝐴 = 4; 𝐵 = 0; 𝐶 = 5; 𝐷 = −1; 𝐸 = 1; 𝐹 = 0; 𝐺 = 2 
4𝑥3 + 5𝑥 − 1
(1 − 𝑥)2(1 + 𝑥2)
+ ∫
1
1 − 𝑥
𝑑𝑥 + ∫
2
(1 + 𝑥2)
𝑑𝑥 
∫
𝑥6 + 13𝑥4 − 𝑥3 + 14𝑥2 − 𝑥 + 6
(1 − 𝑥)3(1 + 𝑥2)2
𝑑𝑥 =
4𝑥3 + 5𝑥 − 1
(1 − 𝑥)
2
(1 + 𝑥
2
)
− ln|1 − 𝑥| + 2 arctan 𝑥 + 𝑐 
 
27. ∫
5𝑥2 − 12
(𝑥2 − 6𝑥 + 13)2
𝑑𝑥 
∫
5𝑥2 − 12
(𝑥2 − 6𝑥 + 13)2
𝑑𝑥 =
𝐴𝑥 + 𝐵
𝑥2 − 6𝑥 + 13
+ ∫
𝐶𝑥 + 𝐷
𝑥2 − 6𝑥 + 13
𝑑𝑥 
5𝑥2 − 12
(𝑥2 − 6𝑥 + 13)2
=
−𝐴𝑥2 − 2𝐵𝑥 + 13𝐴 + 6𝐵
(𝑥2 − 6𝑥 + 13)2
+
𝐶𝑥 + 𝐷
𝑥2 − 6𝑥 + 13
 
5𝑥2 − 12
(𝑥2 − 6𝑥 + 13)2
=
−𝐴𝑥2 − 2𝐵𝑥 + 13𝐴 + 6𝐵 + 𝐶𝑥3 − 6𝐶𝑥2 + 13𝐶𝑥 + 𝐷𝑥2 − 6𝐷𝑥 + 13𝐷
(𝑥2 − 6𝑥 + 13)2
 
𝐶 = 0; −𝐴 − 6𝐶 + 𝐷 = 5; −2𝐵 + 13𝐶 − 6𝐷 = 0; 13𝐴 + 6𝐵 + 13𝐷 = −12 
𝐴 =
13
8
; 𝐵 = −
159
8
; 𝐶 = 0; 𝐷 =
53
8
 
∫
5𝑥2 − 12
(𝑥2 − 6𝑥 + 13)2
𝑑𝑥 =
13𝑥 − 159
8(𝑥2 − 6𝑥 + 13)
+
53
8
∫
𝑑𝑥
(𝑥 − 3)2 + 4
 
∫
5𝑥2 − 12
(𝑥2 − 6𝑥 + 13)2
𝑑𝑥 =
13𝑥 − 159
8(𝑥2 − 6𝑥 + 13)
+
53
16
arctan (
𝑥 − 3
2
) + 𝑐 
 
28. ∫
2𝑥2 + 24
(𝑥2 − 4𝑥 + 8)2
𝑑𝑥 
∫
2𝑥2 + 24
(𝑥2 − 4𝑥 + 8)2
𝑑𝑥 =
𝐴𝑥 + 𝐵
(𝑥2 − 4𝑥 + 8)
+ ∫
𝐶𝑥 + 𝐷
(𝑥2 − 4𝑥 + 8)
𝑑𝑥 
2𝑥2 + 24
(𝑥2 − 4𝑥 + 8)2
=
−𝐴𝑥2 − 2𝐵𝑥 + 8𝐴 + 4𝐵
(𝑥2 − 4𝑥 + 8)2
+
𝐶𝑥 + 𝐷
(𝑥2 − 4𝑥 + 8)
 
 
 
 
2𝑥2 + 24
(𝑥2 − 4𝑥 + 8)2
=
−𝐴𝑥2 − 2𝐵𝑥 + 8𝐴 + 4𝐵 + 𝐶𝑥3 − 4𝐶𝑥2 + 8𝐶𝑥 + 𝐷𝑥2 − 4𝐷𝑥 + 8𝐷
(𝑥2 − 4𝑥 + 8)2
 
2𝑥2 + 24 = −𝐴𝑥2 − 2𝐵𝑥 + 8𝐴 + 4𝐵 + 𝐶𝑥3 − 4𝐶𝑥2 + 8𝐶𝑥 + 𝐷𝑥2 − 4𝐷𝑥 + 8𝐷 
𝐶 = 0; −𝐴 − 4𝐶 + 𝐷 = 2; −2𝐵 + 8𝐶 − 4𝐷 = 0; 8𝐴 + 4𝐵 + 8𝐷 = 24 
𝐴 = 3; 𝐵 = −10; 𝐶 = 0; 𝐷 = 5 
∫
2𝑥2 + 24
(𝑥2 − 4𝑥 + 8)2
𝑑𝑥 =
3𝑥 − 10
(𝑥2 − 4𝑥 + 8)
+ ∫
5
(𝑥2 − 4𝑥 + 8)
𝑑𝑥 
∫
5
(𝑥2 − 4𝑥 + 8)
𝑑𝑥 = ∫
5
((𝑥 − 2)2 + 4)
𝑑𝑥 =
5
2
arctan (
𝑥 − 2
2
) 
∫
2𝑥2 + 24
(𝑥2 − 4𝑥 + 8)2
𝑑𝑥 =
3𝑥 − 10
(𝑥2 − 4𝑥 + 8)
+
5
2
arctan (
𝑥 − 2
2
) + 𝑐 
 
29. ∫
𝑥9
(𝑥4 − 1)2
𝑑𝑥 
∫
𝑥9
(𝑥4 − 1)2
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 +
2𝑥5 − 𝑥
(𝑥4 − 1)2
𝑑𝑥 
∫
2𝑥5 − 𝑥
(𝑥4 − 1)2
𝑑𝑥 =
𝐴𝑥3 + 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐷
𝑥4 − 1
+ ∫
𝐸𝑥3 + 𝐹𝑥2 + 𝐺𝑥 + 𝐻
𝑥4 − 1
𝑑𝑥 
2𝑥5 − 𝑥
(𝑥4 − 1)2
=
−𝐴𝑥6 − 2𝐵𝑥5 − 3𝐶𝑥4 − 4𝐷𝑥3 − 3𝐴𝑥2 − 2𝐵𝑥 − 𝐶
(𝑥4 − 1)2
+
𝐸𝑥3 + 𝐹𝑥2 + 𝐺𝑥 + 𝐻
𝑥4 − 1
 
2𝑥5 − 𝑥
(𝑥4 − 1)2
=
−𝐴𝑥6 − 2𝐵𝑥5 − 3𝐶𝑥4 − 4𝐷𝑥3 − 3𝐴𝑥2 − 2𝐵𝑥 − 𝐶 + 𝐸𝑥7 − 𝐸𝑥3 + 𝑥6𝐹 − 𝑥2𝐹 + 𝑥5𝐺 − 𝑥𝐺 + 𝑥4𝐻 − 𝐻
(𝑥4 − 1)2
 
𝐸 = 0; −𝐴 + 𝐹 = 0; −2𝐵 + 𝐺 = 2; −3𝐶 + 𝐻 = 0; −4𝐷 − 𝐸 = 0; −3𝐴 − 𝐹 = 0; −2𝐵 − 𝐺 = −1; −𝐶 − 𝐻 = 0 
𝐴 = 0; 𝐵 = −
1
4
 ; 𝐶 = 0; 𝐷 = 0 𝐸 = 0; 𝐹 = 0; 𝐺 =
3
2
; 𝐻 = 0 
∫
2𝑥5 − 𝑥
(𝑥4 − 1)2
𝑑𝑥 = −
𝑥2
4(𝑥4 − 1)
+
3
2
∫
𝑥
𝑥4 − 1
𝑑𝑥 
∫
2𝑥5 − 𝑥
(𝑥4 − 1)2
𝑑𝑥 = −
𝑥2
4(𝑥4 − 1)
+
3
2
(−
1
4
ln|𝑥2 + 1| +
1
4
ln|𝑥2 − 1|) + 𝑐 
 
 
 
 
 
 
 
 
30. ∫
3𝑥4 + 11𝑥3 + 10𝑥2 + 2𝑥 − 16
(𝑥3 + 6𝑥2 + 10𝑥 + 8)(𝑥2 + 2𝑥 + 2)
𝑑𝑥 
∫ (
2
𝑥 + 4
+
𝑥 − 3
𝑥2 + 2𝑥 + 2
+
2𝑥
(𝑥2 + 2𝑥 + 2)2
) 𝑑𝑥 
∫ (
2
𝑥 + 4
) 𝑑𝑥 + ∫ (
𝑥 − 3
𝑥2 + 2𝑥 + 2
) 𝑑𝑥 + ∫ (
2𝑥
(𝑥2 + 2𝑥 + 2)2
) 𝑑𝑥 
∫ (
2
𝑥 + 4
) 𝑑𝑥 + ∫ (
𝑥 − 3
𝑥2 + 2𝑥 + 2
) 𝑑𝑥 = 2 ln|𝑥 + 4| + ∫ (
𝑥 + 1
𝑥2 + 2𝑥 + 2
) 𝑑𝑥 − 4 ∫ (
𝑑𝑥
𝑥2 + 2𝑥 + 2
) 
∫ (
2
𝑥 + 4
) 𝑑𝑥 + ∫ (
𝑥 − 3
𝑥2 + 2𝑥 + 2
) 𝑑𝑥 = 2 ln|𝑥 + 4| +
1
2
ln|𝑥2 + 2𝑥 + 2| − 4 ∫ (
𝑑𝑥
(𝑥 + 1)2 + 1
) 
∫ (
2
𝑥 + 4
) 𝑑𝑥 + ∫ (
𝑥 − 3
𝑥2 + 2𝑥 + 2
) 𝑑𝑥 = 2 ln|𝑥 + 4| +
1
2
ln|𝑥2 + 2𝑥 + 2| − 4 arctan(𝑥 + 1) 
∫ (
2𝑥
(𝑥2 + 2𝑥 + 2)2
) 𝑑𝑥 =
𝐴𝑥 + 𝐵
𝑥2 + 2𝑥 + 2
+ ∫
𝐶𝑥 + 𝐷
𝑥2 + 2𝑥 + 2
 
2𝑥
(𝑥2 + 2𝑥 + 2)2
=
−𝐴𝑥2 − 2𝐵𝑥 + 2𝐴 − 2𝐵
(𝑥2 + 2𝑥 + 2)2
+
𝐶𝑥 + 𝐷
𝑥2 + 2𝑥 + 2
 
2𝑥 = −𝐴𝑥2 − 2𝐵𝑥 + 2𝐴 − 2𝐵 + 𝐶𝑥3 + 2𝐶𝑥2 + 2𝐶𝑥 + 𝐷𝑥2 + 2𝐷𝑥 + 2𝐷 
𝐶 = 0; −𝐴 + 2𝐶 + 𝐷 = 0; −2𝐵 + 2𝐶 + 2𝐷 = 2; 2𝐴 − 2𝐵 + 2𝐷 = 0 
𝐴 = −1; 𝐵 = −2; 𝐶 = 0; 𝐷 = −1 
∫ (
2𝑥
(𝑥2 + 2𝑥 + 2)2
) 𝑑𝑥 =
−𝑥 − 2
𝑥2 + 2𝑥 + 2
− ∫
𝑑𝑥
𝑥2 + 2𝑥 + 2
 
∫ (
2𝑥
(𝑥2 + 2𝑥 + 2)2
) 𝑑𝑥 =
−𝑥 − 2
𝑥2 + 2𝑥 + 2
− arctan(𝑥 + 1) 
∫
3𝑥4 + 11𝑥3 + 10𝑥2 + 2𝑥 − 16
(𝑥3 + 6𝑥2 + 10𝑥 + 8)(𝑥2 + 2𝑥 + 2)
𝑑𝑥 = 2 ln|𝑥 + 4| +
1
2
ln|𝑥2 + 2𝑥 + 2| − 5 arctan(𝑥 + 1) +
−𝑥 − 2
𝑥2 + 2𝑥 + 2
+ 𝑐