Exercício de Algebra Linear (50)

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b) Se b for outro elemento de �, então calcule a composta fa ◦ fb.
Solução:
a) Sejam x, y ∈ �. Temos:
◦ fa(x + y) = a(x + y)a−1 = (ax + ay)a−1 = axa−1 + aya−1 = fa(x) + fa(y)
◦ fa(x · y) = a(x · y)a−1 = ax(a−1a)ya−1 = (axa−1)(aya−1) = fa(x) · fa(y).
Assim, este item, juntamente com o item anterior, mostra que fa é um
homomorfismo de anéis.
◦ Se fa(x) = fa(y), então axa−1 = aya−1. Multiplicando-se à esquerda por
a−1 e à direita por a, obtemos a−1axa−1a = a−1aya−1a⇒ 1 · x ·1 = 1 ·y ·1⇒
x = y. Logo, fa é injetora.
◦ Dado s ∈ � (contradomı́nio de f ), seja r = a−1sa pertencente a� (domı́nio
de f ) temos que fa(r) = ara−1 = a(a−1sa)a−1 = 1 · s · 1 = s. Logo, fa é
sobrejetora.
Fica mostrado dessa forma que fa é um isomorfismo de � em �.
b) Se a, b, x ∈ �, então ( fa ◦ fb)(x) = fa( fb(x)) = fa(bxb−1) = a(bxb−1)a−1 =
(ab)x(b−1a−1) = (ab)x(ab)−1 = fab(x). Portanto, fa ◦ fb = fab.
B1) Mostre que se f : � −→ � é um isomorfismo de anéis, então f é a função
identidade.
Solução: Como f é um isomormorfismo, temos que f é um homomorfismo e
f (a + b) = f (a) + f (b) para quaisquer a, b ∈ �.
• Sendo f um homomorfismo, temos f (0) = 0
• Sendo f também sobrejetora, temos f (1) = 1
• f (2) = f (1 + 1) = f (1) + f (1) = 1 + 1 = 2
• f (3) = f (2 + 1) = f (2) + f (1) = 2 + 1 = 3
• f (4) = f (3 + 1) = f (3) + f (1) = 3 + 1 = 4, etc.
• Supondo f (k) = k, temos que f (k+1) = f (k)+ f (1) = k+1. Logo, por indução,
f (n) = n para todo n ∈ �.
• Se m ∈ � for tal que m < 0, então −m ∈ � e daı́ f (−m) = −m pelo que foi
mostrado no item anterior. Como f (−m) + f (m) = f ((−m) + m) = f (0) = 0,
temos que f (−m) = − f (m)⇒ −m = − f (m)⇒ f (m) = m.
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