AULAS DE CÁLCULO I II III IV NÍVEL SUPERIOR (2)

Prévia do material em texto

Atividade Especial II
Fundamentos de ca´lculo
Prof. Joselito de Oliveira
PROFMAT - UFRR
29/05/2013
Aluno:...........................................................................................
Matr´ıcula:..........................................................................................
1. Seja f : [a,+∞)→ R duas vezes diferencia´vel. Se limx→+∞f(x) = f(a)
enta˜o existe c ∈ (a,+∞) tal que f ′′(c) = 0.
2. (a) Encontre a se´rie de Taylor, se poss´ıvel for, da func¸a˜o f : R → R
definida por:
f(x) =
{
e−
1
x2 : se x 6= 0
0 : se x = 0
(b) Esboce o gra´fico da func¸a˜o.
3. Encontre as se´ries de Taylor em torno do zero das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = senx.
(b) g(x) = cosx.
(c) h(x) = ex.
(d) f(x) = ecosx
4. (a) Escreve o polinoˆmio de Taylor de cada func¸a˜o presente no item 3.
(b) Use o GeoGebra para esboc¸ar os gra´ficos de cada func¸a˜o e po-
linoˆmio correspondente encontrados no item anterior e compare-
os.
1
5. Escreva o polinoˆmio de Taylor da func¸a˜o f(x) =
1
1− x em torno do
ponto zero. O que voceˆ pode falar deste polinoˆmio?
6. Esboc¸ar o gra´fico ds seguintes func¸o˜es utilizando te´cnicas do ca´lculo;
(a) f : R→ R definida por f(x) = e−x2 .
(b) f : R− {1} → R, definida por f(x) = | x
x−1 |.
(c) h(x) = e
x−e−x
2
7. Calcule os seguintes limites:
(a) limx→a
cosx− cosa
x− a .
(b) limx→0xlnx.
(c) limx→+∞
ex
x
(d) limx→+∞(1 +
1
x
)x
(e) limx→pi
2
cosxln(x− pi
2
)
8. Mostre que a func¸a˜o exponencial cresce mais rapidamente do que a
func¸a˜o polinomial.
9. Se os juros de um capital posto a cada frac¸a˜o 1/n do ano, a` taxa de
k/n por per´ıodo, enta˜o, ao final de t anos, o capital sera´ igual a
Cn(t) = C0[(1 +
k
n
)
n
k ]kt
Calcule o capital C(t), ao final de t anos, se os juros forem compostos
continuamente com o passar do tempo.
10. Encontre as dimenso˜es do cone de ma´ximo volume que pode ser inscrito
em uma esfera de raio R.
11. Encontre as dimenso˜es de um retaˆngulo de ma´xima a´rea que pode ser
inscrito em um c´ırculo de raio r.
2