Cálculo Numérico - Aula 03

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Cálculo Numérico 
Prof. Pedro Américo Jr. 
 
Aula 03 
Derivação e Integração Numérica 
• A idéia é derivar ou integrar o polinômio 
interpolador. 
• Cada fórmula de interpolação gera uma de 
derivação e integração numérica. 
• Exemplo: Interpolação por Gregory-Newton 
gera integração por Newton-Cotes (Regra dos 
Trapézios, Primeira Regra de Simpon e 
Segunda Regra de Simpson). 
Derivação Numérica 
• Os métodos de derivação numérica são obtidos 
por derivação de um polinômio interpolador. 
(fórmula de Gregory-Newton Ascendente, 
Descendente, fórmula de Stirling e fórmula de 
Lagrange) 
• Obtém-se, portanto, as fórmulas seguintes, onde 
xi representa um valor tabelado. 
• (As fórmulas só se aplicam a valores tabelados) 
• NOTA: apresenta-se a seguir, como modelo, como 
foram deduzidos os termos da 1a fórmula. As 
demais são obtidas por procedimento similar. 
 
Derivação Numérica 
Derivação Numérica 
Derivação Numérica 
Derivação Numérica 
Derivação por Lagrange 
Derivação por Lagrange 
Integração Numérica 
• INTEGRAÇÃO NUMÉRICA SIMPLES 
• De modo geral, as fórmulas para integração 
numérica de uma função tabelada (x1 , y1 ) , (x2 , 
y2 ) (x3 , y3), . . . (xn , yn) são obtidas pela 
integração de uma função interpoladora no 
intervalo [x1 , xn ] 
• Para dedução das fórmulas podem ser usados 
quaisquer dos polinômios interpoladores. 
(Gregory-Newton , Stirling, Lagrange) 
• Será usado Gregory-Newton Ascendente: 
 
Integração Numérica 
Integração Numérica 
Integração Numérica 
Integração Numérica 
Integração Numérica 
Integração Numérica 
Integração Numérica 
Segunda Regra de Simpson 
Exemplo: Calcule a integral de:
x 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,9 1,1 1,3
y 0,456 0,675 0,871 0,896 0,902 0,921 0,933 1,243 1,456 1,643
Solução:
I = I1 + I2
I1: 7 pontos => 7-1= 6 subintervalos => Múltiplo 3 => 2.a de Simpson
i: 1 2 3 4 5 6 7
Xi 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
Yi 0,456 0,675 0,871 0,896 0,902 0,921 0,933
Ci 1 3 3 2 3 3 1 Somatório Integral I1
Yi x Ci 1,456 3,675 3,871 2,896 3,902 3,921 1,933 21,654 0,812
I2: 4 pontos => 4-1= 3 subintervalos => Múltiplo 3 => 2.a de Simpson
i: 1 2 3 4
Xi 0,7 0,9 1,1 1,3
Yi 0,933 1,243 1,456 1,643
Ci 1 3 3 1 Somatório Integral I2
Yi x Ci 0,933 3,729 4,368 1,643 10,673 0,800
I = 0,812 + 0,8 = 1,612
Estudo de Erro 
• Regra dos Trapézios: erro da ordem de h2 ou 
O(h2) 
• Primeira e Segunda Regra de Simpson: erro da 
ordem de h4 ou O(h4) 
Estudo de Erro - Simpson 
Xi 0 0,5 1
Yi 1,000000000 1,648721271 2,718281828
Ci 1 4 1
Ci x Yi 1 6,59488508 2,71828183
Somatório: Integral: Erro:
10,313166911 1,718861152 0,000579324
Exato: 1,718281828
Xi 0 0,25 0,5 0,75 1
Yi 1,000000000 1,284025417 1,648721271 2,117000017 2,718281828
Ci 1 4 2 4 1
Ci x Yi 1 5,13610167 3,29744254 8,468000066 2,718281828
Somatório: Integral: Erro:
20,619826103 1,718318842 0,000037014
Relação: 15,651513
718281828,11718281828,201
1
0
eedxeI x
Estudo de Erro – Trapézio 
Xi 0 0,5 1
Yi 1,000000000 1,648721271 2,718281828
Ci 1 2 1
Ci x Yi 1 3,297442541 2,718281828
Somatório: Integral: Erro:
7,015724370 1,753931092 0,035649264
Exato: 1,718281828
Xi 0 0,25 0,5 0,75 1
Yi 1,000000000 1,284025417 1,648721271 2,117000017 2,718281828
Ci 1 2 2 2 1
Ci x Yi 1 2,568050833 3,297442541 4,234000033 2,718281828
Somatório: Integral: Erro:
13,817775236 1,727221905 0,008940077
Relação: 3,987579327
718281828,11718281828,201
1
0
eedxeI x
Integração Múltipla 
• Integral Dupla: 
d
c
b
a
b
a
d
c
dxxGIedyyxfxG
dydxyxfI
)(),()(
),(
1,025,0,
1
0
4,3
1,3
2
yx hehcomdydxyxI
075,1275,114375,1405,1299375,04975,0
3
25,0
275,14,313,313)2,31(31,31
8
3
1)1(
14375,14,375,03,375,03)2,375,0(31,375,0
8
3
75,0)75,0(
05,14,35,03,35,03)2,35,0(31,35,0
8
3
5,0)5,0(
99375,04,325,03,325,03)2,325,0(31,325,0
8
3
25,0)25,0(
975,04,303,303)2,30(31,30
8
3
0)0(
)1()75,0(4)5,0(2)25,0(4)0(
3
)(
)(
2222
4,3
1,3
2
2222
4,3
1,3
2
2222
4,3
1,3
2
2222
4,3
1,3
2
2222
4,3
1,3
2
1
0
4,3
1,3
2
I
h
dyyG
h
dyyG
h
dyyG
h
dyyG
h
dyyG
GGGGG
h
dxxGI
dyyxxG
y
y
y
y
y
x
Exemplo: 
Calcule 
Solução: 
 
Integração Múltipla 
Integração Múltipla 
Integração Múltipla 
Fórmulas de Newton-Cotes 
Fechada 
Fórmulas de Newton-Cotes 
Abertas 
Integração Imprópria 
Integração Imprópria 
)(2
2
1
8642
2
11
0
2
1
2
2
yyyyhI
hyIdte
t
dxeI
tx
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Ti 0 0,125 0,25 0,375 0,5 0,625 0,75 0,875 1
Yi 0,00000 0,00000 0,00580 0,07326 0,19790 0,30047 0,35379 0,36788
Ci 0 1 0 1 0 1 0 1 0
Ci x Yi 0 0,00000 0 0,00580 0 0,19790 0 0,35379 0
Somatório: 0,55749
Integral: 0,139372
Integração Imprópria 
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ti 0 0,11111 0,22222 0,33333 0,44444 0,55556 0,66667 0,77778 0,88889 1,00000
Yi 0,00000 0,00000 0,00111 0,03204 0,12689 0,23715 0,31650 0,35699 0,36788
Ci 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0
Ci x Yi 0 0,00000 0,00000 0 0,03204 0,12689 0 0,31650 0,35699 0
Somatório: 0,832421
Integral: 0,138737
)(
2
3
)(
2
31
986532
32
11
0
2
1
2
2
yyyyyyhI
yyhIdte
t
dxeI
tx
Integração Imprópria 
 
)222222(
3
4
)22(
3
41
121110876432
432
11
0
2
1
2
2
yyyyyyyyyhI
yyyhIdte
t
dxeI
tx
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Ti 0 0,08333 0,16667 0,25000 0,33333 0,41667 0,50000 0,58333 0,66667 0,75000 0,83333 0,91667 1,00000
Yi 0,00000 0,00000 0,00000 0,00111 0,01815 0,07326 0,15555 0,23715 0,30047 0,34118 0,36202 0,36788
Ci 0 2 -1 2 0 2 -1 2 0 2 -1 2 0
Ci x Yi 0 0,00000 0,00000 0,00000 0 0,03630 -0,07326 0,31110 0 0,60094 -0,34118 0,72404 0
Somatório: 1,257941
Integral: 0,139771
Quadratura Gaussiana 
• Intervalo de integração deve ser mudado de 
[a, b] para [-1, 1] mediante uma troca de 
variável. 
1
0
1
1
)()()(
)(
2
1
)(
2
1
).(
2
1
)(
)(
2
1
)(
2
1
)()(
2
1
)(
2
1
n
i
ii
b
a
tFAdttFdxxfI
abtabfabtF
abtabFxfabtabx
Quadratura Gaussiana 
 
3/11Re
0
3/2
0
2
log
3
2
1
0
)()(
3,2,1,0,)()()()(
1010
3
11
3
00
2
11
2
00
1100
1
1
1
3
11
3
00
3
1
1
2
11
2
00
2
1
1
1
11
1
00
1
1
1
0
11
0
00
0
1
1
1100
1
1
1100
tteAAsolvendo
tAtA
tAtA
tAtA
AA
o
tAtAdttk
tAtAdttk
tAtAdttk
tAtAdttk
tFAtFAdttEntão
kttFfaçatFAtFAdttFI
o
kkk
K
Quadratura Gaussiana 
Quadratura Gaussiana 
• Exemplo: Calcular, utilizando a quadratura 
gaussiana com dois pontos, o valor da integral: 
 
05367,222
3/11
2))2(2(
2
1
))2(2(
2
1
)).2(2(
2
1
)(
)(
2
1
)(
2
1
).(
2
1
)()()(
22
2
2
)3/1(2)3/1(2
1010
2
1100
2
2
2
eeI
tteAAEntão
etftF
abtabfabtFtFAtFAISolução
dxeI
t
x
Quadratura Gaussiana 
• Exemplo: Calcular, utilizando a quadratura 
gaussiana com três pontos, o valor da integral: 
 
4471,22
9
8
2
9
5
2
9
5
0,77459667,0,77459667,09/8,9/5
2))2(2(
2
1
))2(2(
2
1
)).2(2(
2
1
)(
)(
2
1
)(
2
1
).(
2
1
)()()()(
222
2
2
0.2)77459667,0(2)77459667,0(2
210210
2
221100
2
2
2
eeeI
ttteAAAEntão
etftF
abtabfabtFtFAtFAtFAISolução
dxeI
t
x