Estatistica SPE

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ho
m
as
 L
a 
M
el
a
- Conceitos iniciais e gráficos
- Medidas de tendência central
- Medidas de dispersão
- Dados agrupados em classes e suas representações
Alessandra Zavala
Módulo 7
Matemática
Estatística
Conceitos iniciais e 
gráficos
©
Sh
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te
rs
to
ck
/V
ec
to
r T
ra
di
tio
n
As representações gráficas e a informação
O que você vê nestas 
imagens?
Você sabe dizer em que 
circunstâncias esse tipo de 
recurso é utilizado?
Essas imagens trazem 
alguma informação ao leitor?
O que você acrescentaria 
a elas?
©
Sh
ut
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to
ck
/G
oo
dS
tu
di
o
3
Pessoas e população
Se você precisasse descrever essas imagens utilizando apenas uma palavra, qual 
você usaria?
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/T
ho
m
as
 L
a 
M
el
a
4
E
E esta imagem? Qual palavra pode representá-la?
Um pouquinho de quê?
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/M
ic
ha
el
ju
ng
5
População x Amostra
População: conjunto de elementos que têm uma característica em comum.
Amostra: conjunto formado por elementos escolhidos da população.
População Amostra
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/K
ov
al
ov
 A
na
to
lii
6
Variáveis
Uma fábrica de automóveis deseja lançar um novo modelo que seja do agrado do público. Para tanto, contrata 
uma pesquisa de mercado a fim de conhecer as preferências dos consumidores no que diz respeito à 
motorização, itens de segurança, cor da pintura e material utilizado no revestimento dos bancos.
Cada uma das características consultadas na pesquisa constitui uma variável, que 
pode ser entendida como o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. 
Por exemplo, no caso da variável “cor da pintura”, preta, prata, vermelha e azul 
poderiam ser os resultados possíveis. 
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/M
ik
bi
z
7
Vale ressaltar que os valores que uma variável pode assumir não são necessariamente 
numéricos, o que nos remete à seguinte classificação: 
Variáveis quantitativas: são aquelas cujos valores são expressos em números. Subdividem-se, 
ainda, em: 
 ► Variáveis quantitativas discretas: quando resultam de um conjunto finito (ou enumerável) de 
valores possíveis. Por exemplo, o número de livros de Matemática da biblioteca da escola, o 
número de filhos e o ano. 
 ► Variáveis quantitativas contínuas: quando resultam de um número infinito de valores possíveis 
que podem ser associados a pontos em uma escala contínua, de modo que não haja lacunas ou 
interrupções. Por exemplo, o peso de um animal, a altura de uma pessoa, o tempo e a pressão 
arterial.
8
Variáveis qualitativas: são as características que não possuem valores quantitativos, mas, ao contrário, são definidas 
por várias categorias, ou seja, representam uma classificação dos indivíduos. 
 ► Variáveis qualitativas nominais: não existe ordenação dentre as categorias. Exemplos: sexo, cor dos olhos, doente/
sadio.
 ► Variáveis qualitativas ordinais: existe uma ordenação entre categorias. Exemplos: escolaridade (1º-, 2º-, 3º- graus), 
estágio da doença (inicial, intermediário, terminal), mês de observação (janeiro, fevereiro, ... , dezembro).
9
Distribuição de frequências
A tabela ao lado apresenta as respostas dadas por 15 
entrevistados em uma pesquisa sobre a região do país em que 
residem, seu grau de escolaridade e a quantidade de livros que 
leram nos últimos três meses.
Uma possibilidade de organizar esses dados é elaborar 
tabelas de frequência para cada variável.
Frequência absoluta: é dada pelo número de vezes 
que uma variável assume um valor ou um atributo. 
Frequência relativa: é a razão entre a frequência 
absoluta de uma variável e a quantidade total de 
dados dessa variável.
Região do 
país
Grau de 
escolaridade
Número 
de livros lidos
Norte Superior 2
Nordeste Superior 3
Sudeste Médio 1
Sul Fundamental 1
Centro-oeste Médio 1
Centro-oeste Pós-graduado 4
Centro-oeste Fundamental 2
Sul Superior 3
Sudeste Fundamental 0
Nordeste Médio 2
Norte Médio 1
Norte Superior 2
Norte Pós-graduado 3
Sul Pós-graduado 4
Sudeste Médio 0
10
FREQUÊNCIAS RELATIVAS À REGIÃO DO PAÍS 
EM QUE RESIDE O ENTREVISTADO
Região do país
Frequência 
absoluta 
(fa)
Frequência relativa 
(fr)
Norte 4
4
15
 0,27 = 27%
Nordeste 2
2
15
 0,13 = 13%
Sudeste 3
3
15
 = 0,20 = 20%
Sul 3
3
15
 = 0,20 = 20%
Centro-oeste 3
3
15
 = 0,20 = 20%
TOTAL 15 100%
FREQUÊNCIAS RELATIVAS AO GRAU DE 
ESCOLARIDADE DOS ENTREVISTADOS
Grau de 
escolaridade
Frequência 
absoluta 
(fa)
Frequência 
relativa 
(fr)
Fundamental 3
3
15
 = 0,20 = 20%
Médio 5
5
15
 0,33 = 33%
Superior 4
4
15
 0,27 = 27%
Pós-graduado 3
3
15
 = 0,20 = 20%
TOTAL 15 100%
Como fica a tabela de frequências relativas ao número de livros lidos?
11
Representações gráficas de dados
Os gráficos de setores costumam ser usados em 
situações que envolvem comparação percentual. 
Utilizam um círculo dividido em setores que, em 
geral, indicam as frequências relativas de uma 
variável.
BRASIL – POPULAÇÃO POR 
IDADE CENSO 2010
Menos de 1 ano 2 713 244
De 1 a 14 anos 45 932 295
De 15 a 29 anos 51 340 473
De 30 a 44 anos 42 642 460
De 45 a 59 anos 30 249 972
De 60 a 74 anos 15 091 566
75 anos ou mais 5 499 033
Total 193 469 043
População brasileira – distribuição por faixa etária – Censo 2010
De 1 a 14 anos
De 15 a 29 anos
Menos de 1 ano
De 30 a 44 anos
De 45 a 59 anos
De 60 a 74 anos
75 anos ou mais
23,74%
26,54%22,04%
15,64%
7,80%
2,84% 1,40%
Gráficos de setores
12
Gráficos de barras
O gráfico mostra a taxa de desemprego no Brasil de 
2012 a 2021. As barras retangulares verticais podem 
ser chamadas de colunas. Cada ano corresponde a 
uma coluna e a altura da coluna é proporcional à taxa 
de desemprego em porcentagem.
Fonte: TAXA de desemprego recua para 11,6%, mas renda volta a cair no Brasil. Disponível em: https://
www1.folha.uol.com.br/mercado/2022/01/taxa-de-desemprego-recua-para-116-mas-renda-volta-a-cair-no-
brasil.shtml. Acesso em: 10 fev. 2022.
No caso de barras horizontais, o comprimento de 
cada barra é proporcional aos valores da variável 
estudada, no caso desse gráfico, o valor pago por 
megawatt-hora (MWh).
BRASIL piora em ranking e passa a ser o 6º com a energia mais cara do mundo. Disponível em: https://
veja.abril.com.br/coluna/impavido-colosso/brasil-piora-em-ranking-e-passa-a-ser-o-6-com-a-energia-mais-
cara-do-mundo/. Acesso em: 10 fev. 2022.
11,3
10
11,7012,1012
6,606,606,80
5
2012
Fonte: IBGE
2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
14,4
11,60
Taxa de desemprego no Brasil
Nos trimestres até novembro, em % 
9,1
Índia 1
Itália 2
Singapura 3
Colômbia 4
Rep. Checa 5
Brasil 6
Turquia 7
El Salvador 8
Portugal 9
México 10
Japão 11
Alemanha 12
Espanha 13
Chile 14
Costa Rica 15
 Reino Unido 16
597.0 MW/h
536.1 MW/h
459.4 MW/h
536.1 MW/h
408.9 MW/h
402.3 MW/h
395.2 MW/h
391.7 MW/h
323.6 MW/h
323.6 MW/h
318.6 MW/h
290.2 MW/h
274.3 MW/h
268.8 MW/h
253.1 MW/h
250.5 MW/h
11,3
10
11,7012,1012
6,606,606,80
5
2012
Fonte: IBGE
2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
14,4
11,60
Taxa de desemprego no Brasil
Nos trimestres até novembro, em % 
9,1
Índia 1
Itália 2
Singapura 3
Colômbia 4
Rep. Checa 5
Brasil 6
Turquia 7
El Salvador 8
Portugal 9
México 10
Japão 11
Alemanha 12
Espanha 13
Chile 14
Costa Rica 15
 Reino Unido 16
597.0 MW/h
536.1 MW/h
459.4 MW/h
536.1 MW/h
408.9 MW/h
402.3 MW/h
395.2 MW/h
391.7 MW/h
323.6 MW/h
323.6 MW/h
318.6 MW/h
290.2 MW/h
274.3 MW/h
268.8 MW/h
253.1 MW/h
250.5 MW/h
13
Gráficos de linhas
O gráfico mostra a taxa média anual de 
desemprego no Brasil de 2012 a 2021. 
O valor de cada ano é um ponto no 
gráfico. Esses pontos são unidos por 
segmentos de reta formando o gráfico 
de linhas ou o gráfico poligonal.
Fonte: TAXA de desemprego no país cai para 13,2% e atinge 13,7 milhões de pessoas. Disponível em: https://www.poder360.
com.br/economia/taxa-de-desemprego-no-pais-cai-para-132-e-atinge-137-milhoes-de-pessoas/. Acesso em: 10 fev. 2022.
mar.
2012
jan.
2013
jan.
2014
jan.
2015
jan.
2016
jan.
2017
jan.
2019
jan.
2020
jan.
2021
ago.
2021
0
7,9
mar. 12
13,7
mar. 17
14,7
abr. 21
11,1
jan. 20
13,2
ago. 21
5
10
15
Evolução em taxa de desemprego 
em % 
14
Pictogramas
Nos pictogramas, a representação dos 
dados é feita com figuras relacionadas 
ao tema da pesquisa. Nesse gráfico, 
estão apresentados os dados 
referentes ao número de crianças 
de 6 e 7 anos que não sabiam ler ou 
escrever em 2021.
Fonte: NÚMERO de crianças que não aprenderam a ler e escrever chega a 2,4 milhões e aumenta mais de 65% na pandemia, 
diz ONG. Disponível em: https://g1.globo.com/educacao/noticia/2022/02/08/numero-de-criancas-que-nao-aprenderam-a-ler-
e-escrever-aumenta-na-pandemia-aponta-levantamento.ghtml. Acesso em: 10 fev. 2022.
A alfabetização na pandemia 
Aumentou o número de crianças de 6 e 7 anos sem ler e escrever 
De cada 25 crianças brasileiras... 
10 não sabiam
ler e escrever
em 2021
8 não sabiam
ler e escrever
em 2020
6 não sabiam 
ler e escrever 
em 2019
15
Gráfico de radar
Esse gráfico possibilita visualizar o 
grau de importância dado a diferentes 
variáveis. 
Por exemplo, o gráfico apresenta 13 
vértices que correspondem às 13 
dimensões do Radar de Inovação das 
empresas dos setores Comunicação 
Visual e Gráfica. 
Fonte: INDICADORES de desempenho: uma análise do controle à tomada de decisão. Disponível em: http://www.sebrae.org.
br/Sebrae/Portal%20Sebrae/UFs/AP/Anexos/MArcelo%20Teles%20Barbosa.pdf. Acesso em: 11 fev. 2022.
ciclo 0
ciclo 1
5
4
3
2
1
0
Gá�co1 – Radar da Inovação – Segmento Indústria Grá�ca e Comunicação visual
M – Dimensão 
Ambiência…
L – Dimensão Rede
K – Dimensão
Presença
J – Dimensão Cadeia
de Fornecimento
 I – Dimensão
Organização
H – Dimensão
Processos
Fonte: Adaptado do SISTEMA ALI, 2017.
G – Dimensão
Agregação de valor
F – Dimensão
Relacionamento
E – Dimensão
Soluções
D – Dimensão
Clientes
C – Dimensão Marca
B – Dimensão
Plataforma
A – Dimensão Oferta
16
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/A
nd
re
y_
Po
po
v
Medidas de tendência 
central
A média aritmética de um conjunto n de 
valores (x1, x2, ..., xn), indicada por x , é 
dada por:
x
x x x
n
n�
� � �1 2 ...
Média aritmética
Observe a pesquisa que apresentou o conjunto 
formado pelos salários dos 10 empregados de uma 
empresa. Vamos calcular a média salarial na empresa.
Cálculo de média salarial
 
Média
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1.350 + 1.270 + 1.410 + 1.390 + 1.250 + 1.500 + 1.302 + 1.284 + 1.327 + 1.201Salários
(R$)
Empregados
13.284
10
= 1.328,40
                          
Fonte: A MÉDIA Aritmética. Disponível em: https://educa.ibge.gov.br/professores/educa-recursos/17862-media-pagina-inicial.
html#:~:text=A%20M%C3%A9dia%20Aritm%C3%A9tica%20ser%C3%A1%20chamada,de%20observa%C3%A7%C3%B5es%20
envolvidas%20nessa%20soma. Acesso em: 11 fev. 2022.
18
Média aritmética ponderada
Média ponderada* = 7,7
*soma dos valores (multiplicados por seus pesos) dividida pela soma dos pesos
Exemplo: média ponderada
77
10
                          
Observações 
(avaliações) 
Valores
(notas)
Pesos +
+
+
+
1ª-
trabalho prático
1
x
8
8
2ª-
primeira prova
3
x
9
27
3
3ª-
segunda prova
6
x
7
42
6
1
A média aritmética ponderada de um 
conjunto de n valores {x1, x2, ..., xn}, 
cujos respectivos pesos são p1, p2, ..., pn, 
indicada por xp , é dada por:
⋅ + ⋅ + + ⋅
=
+ + +
1 1 2 2 n n
p
1 2 n
x p x p ... x p
x
p p ... p
Suponhamos que você esteja fazendo esse curso. 
Então, no decorrer do curso, você fará um trabalho 
prático, uma prova com peso 3 e outra prova com 
peso 6. No trabalho, sua nota foi 8. Na primeira prova, 
sua nota foi 9, e na segunda prova sua nota foi 7.
Confira o cálculo da média ponderada: 
Fonte: A MÉDIA Aritmética. Disponível em: https://educa.ibge.gov.br/professores/educa-recursos/17862-media-pagina-inicial.
html#:~:text=A%20M%C3%A9dia%20Aritm%C3%A9tica%20ser%C3%A1%20chamada,de%20observa%C3%A7%C3%B5es%20
envolvidas%20nessa%20soma. Acesso em: 11 fev. 2022.
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/L
ig
ht
ki
te
19
Valores observados (idade dos estudantes)
Valores posicionados em ordem crescente
17 15 20 20 16 19 20
15 16 18 19 19 16 20
17 16 17 19 20 19 15
15
p1
15
p2
15
p3
16
p4
16
p6
17
p8
16
p7
17
p9
18
p11
17
p10
19
p12
19
p14
19
p13
19
p15
20
p17
19
p16
20
p18
20
p21
20
p20
20
p19
16
p5
Mediana* = 18
*posição central dos valores, colocados em ordem crescente
mesma quantidade de posições
antes e depois da mediana
Mediana
A mediana de um conjunto de valores 
organizados em ordem crescente ou 
decrescente corresponde ao valor que 
divide esse conjunto em duas partes com 
o mesmo número de elementos.
 ► Quando o número de elementos 
do conjunto é ímpar, a mediana 
corresponde ao valor central.
 ► Quando o número de elementos do 
conjunto é par, a mediana corresponde 
à média aritmética dos dois valores 
centrais.
Em uma sala de aula, foi realizada uma pesquisa 
em que uma das perguntas era a idade dos 
alunos. Confira o cálculo da mediana das idades dos 
alunos:
Fonte: A MEDIANA. Disponível em: https://educa.ibge.gov.br/professores/educa-recursos/17870-a-mediana.html. Acesso em: 
11 fev. 2022.
20
Moda
Denominamos moda o valor que aparece com maior frequência em um conjunto.
Observe a tabela a seguir. Ela apresenta os números de gols marcados nas Copas do Mundo de futebol, de 1930 a 2014. 
Vamos calcular a média aritmética, a mediana e a moda do conjunto formado pelos números de gols marcados nas copas a partir de 
1998, quando passaram a ser disputados 64 jogos.
Edição Jogos Gols Edição Jogos Gols
1930 18 70 1978 38 102
1934 17 70 1982 52 146
1938 18 84 1986 52 132
1950 22 88 1990 52 115
1954 26 140 1994 52 141
1958 35 126 1998 64 171
1962 32 89 2002 64 161
1966 32 89 2006 64 147
1970 32 95 2010 64 145
1974 38 97 2014 64 171
Moda
145, 147, 161, 171, 171
Média aritmética
+ + + +=
=
=
171 161 147 145 171x
5
795x
5
x 159
Mediana

valor
central
16145, 147, , 171 1, 171
21
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/Ic
on
ic 
Be
st
ia
ry
Medidas de dispersão 
Desvio-padrão
O desvio-padrão é dado por: 
Dp V=
Assim:
Dp 126,4=
Dp 11,24
Medidas de dispersão
Em um conjunto de valores agrupados em classes, também podemos calcular a variância e o desvio-padrão. Vamos relembrar esses 
conceitos quando os valores não estão agrupados. Para isso, voltaremos aos números de gols marcados nas Copas do Mundo de 1998 a 2014. 
 ► Números de gols marcados nas Copas do Mundo de 1998 a 2014: 171, 161, 147, 145, 171.
Média de gols: x 159= .
Variância
A variância de um conjunto de n valores é dada por: 
2 2 2
1 2 n(x x ) (x x ) (x x )V
n
− + − + + −
=

Assim:
2 2 2 2 2(171 159) (161 159) (147 159) (145 159) (171 159)V
5
632V 126,4
5
− + − + − + − + −=
= =
23
Desvio-padrão
Dp 100 10= =
Para valores agrupados em classes, os cálculos da variância e do desvio-padrão são feitos de modo similar, tomando como 
representante de cada classe seu ponto médio.
Exemplo: A tabela a seguir mostra a distribuição do número de reclamações recebidas pelo serviço de atendimento ao consumidor de 
uma empresa.
Número de 
reclamações
Quantidade 
de meses
10 20 5
20 30 3
30 40 3
40 50 1
Total 12
Sendo 15, 25, 35 e 45 os pontos médios da primeira até a quarta classe, 
temos: 
Média
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = =5 15 3 25 3 35 1 45 300x 25
12 12
Variância
2 2 2 2(15 25) 5 (25 25) 3 (35 25) 3 (45 25) 1V
12
1200
V 100
12
− ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅=
= =
24
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/A
lp
ha
sp
iri
t.i
t
Dados agrupados 
em classes e suas 
representações
Dados agrupados em classes 
Acompanhe o exemplo a seguir.
O grau de escolaridade dos funcionários de uma empresa está 
descrito na tabela em cinco categorias.
Com base nos dados da tabela ao lado, podemos 
construir esta outra.
Escolaridade Número de funcionários
Ensino Fundamental 20
Ensino Médio 52
Ensino Superior incompleto 36
Ensino Superior completo 110
Pós-graduação 32
Total 250
Escolaridade fa faa fr fra
Ensino Fundamental 20 20 8% 8%
Ensino Médio 52 72 20,8% 28,8%
Ensino Superior incompleto 36 108 14,4% 43,2%
Ensino Superior completo 110 218 44% 87,2%
Pós-graduação 32 250 12,8% 100%
Total 250 100%
 ► fa (frequência absoluta) é o número de funcionários com determinado grau de escolaridade;
 ► faa (frequência absoluta acumulada) é a soma dos números de funcionários até determinado grau de escolaridade;
 ► fr (frequência relativa) é o percentual de funcionários com determinado grau de escolaridade – a razão entre a frequência absoluta 
correspondente e o número total de funcionários;
 ► fra (frequência relativa acumulada) é a soma dos percentuais de funcionários até determinado grau de escolaridade. 
26
Gráfico de barras e gráfico de setores
Os gráficos a seguir mostram como os funcionários da empresa estão distribuídos nos cinco graus de escolaridade.
Gráfico de barras Gráfico de setores
0
20
40
60
80
100
120
Grau de escolaridade dos funcionários
Grau de escolaridade
N
úm
er
o 
de
 fu
nc
io
ná
rio
s
Ensino
Fundamental
20
52
36
110
32
Ensino Médio Ensino Superior
incompleto
Ensino Superior
completo
Pós-graduação
Grau de escolaridade dos funcionários
Ensino Fundamental
8%
20,8%
14,4%44%
12,8%
Ensino Médio
Ensino Superior incompleto
Ensino Superior completo
Pós-graduação
27
Quando poucos dados de uma tabela se repetem, podemos agrupá-los em intervalos que chamamos de classes.
Amplitude total
A amplitude ou amplitude total é dada pela diferença 
entre o maior valor e o menor valor de um conjunto de 
dados.
Amplitude da classe
A amplitude da classe é dada pela razão entre um 
valor igual ou superior à amplitude total e o número 
de classes que queremos formar. 
Exemplo: Em um condomínio, os consumos de energia elétrica em determinado mês nos 80 apartamentos, em kWh, foram anotados 
no quadro a seguir. Determine a amplitude total e a amplitude de cada classe.
Resolução
Amplitude total = 189 – 70 = 119
Considerando o valor 120 e 6 classes:
Amplitude de cada classe = 120 20
6
=
116 80 157 120 75 133 120 77
135 114 86 155 105 103 93 130
70 159 112 95 132 183 121 102
115 78 85 123 175 140 131 94
165 125 136 96 138 172 150 153
100 107 81 98 73 147 189 92
108 128 113 129 111 130 110 142
101 72 88 105 83 102 145 90
148 143 166 117 149 158 119 144
126 139 137 151 145 141 162 124
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De acordo com o quadro anterior, podemos elaborar uma tabela com 6 classes, cuja amplitude de cada classe é 20.
Notação
Intervalo ]a, b]
a b
Intervalo [a, b]
a b
Primeira classe: [70, 90[
Segunda classe: [90, 110[
Terceira classe: [110, 130[
Quarta classe: [130, 150[
Quinta classe: [150, 170[
Sexta classe: [170, 190[
Observe que a amplitude de uma classe é dada pela diferença entre o limite superior e o limite inferior. 
Consumo (kWh) fa fr
70 90 12 15%
90 110 16 20%
110 130 18 22,5%
130 150 20 25%
150 170 10 12,5%
170 190 4 5%
Total 80 100%
29
Histograma e polígono de frequências 
 ► Veja a seguir um exemplo de histograma. 
Histograma é um gráfico formado por retângulos justapostos, cujas medidas das bases são as amplitudes das 
classes e as alturas são proporcionais às frequências (absoluta ou relativa) das classes. 
A um histograma pode-se associar um polígono de 
frequências. Ele consiste em um gráfico de linhas cujas 
extremidades são os pontos médios dos topos dos 
retângulos. 
Observe o polígono de frequências correspondente ao 
histograma anterior.
0
5
10
15
20
25
30
Consumo (kWh)
Consumo de energia elétrica
Fr
eq
uê
nc
ia
70
12
16
18
20
10
4
90 110 130 150 170 190
0
5
10
15
20
25
30
Consumo (kWh)
Consumo de energia elétrica
Fr
eq
uê
nc
ia
60 80 100 120 140 160 180 200
12
16
18
20
10
4
30
Observe a tabela da distribuição dos salários dos funcionários de uma pequena empresa. Quando os valores estão agrupados em 
intervalos, não temos informações suficientes para obter precisamente a média. Nesses casos, supomos que os valores distribuem-se 
uniformemente em torno do ponto médio. 
Medidas de tendência central de valores agrupados em 
classes 
Salário (R$) Número de funcionários
1 500 2 500 3
2 500 3 500 6
3 500 4 500 10
4 500 5 500 4
5 500 6 500 2
Total 25
Observe, como exemplo, a primeira classe:
Primeira classe
1 500 2 500
ponto médio
1 500 2 000 2 500
O ponto médio é a média aritmética dos extremos da classe.
1500+2500
= 2000
2
31
Repetindo o processo para as demais classes, obtemos os seus respectivos pontos médios.
Moda
A moda corresponde ao ponto médio da classe com maior 
frequência, denominada classe modal. Assim, a classe modal é 
3 500 4 500, pois é composta de 10 valores, e a moda dos 
salários é R$ 4.000,00. 
Média aritmética
A média aritmética é obtida multiplicando-se a frequência de cada 
classe por seu ponto médio, somando-se todos esses produtos e, 
finalmente, dividindo-se o resultado pela frequência total (soma das 
frequências). 
Salário (R$) Número de funcionários Ponto médio
1 500 2 500 3
1500+2500
= 2000
2
2 500 3 500 6
2500 3500
3000
2
+
=
3 500 4 500 10
3500 4500
4000
2
+
=
4 500 5 500 4
4500 5500
5000
2
+
=
5 500 6 500 2
5500 6500
6000
2
+
=
Total 25
Portanto, o valor do salário médio é R$ 3.840,00. 
3 2000 6 3000 10 4000 4 5000 2 6000
x
25
6000 18000 40000 20000 12000 96000
x 3840
25 25
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅=
+ + + += = =
32
Para calcular a mediana, é preciso determinar as frequências relativas e as frequências relativas acumuladas. 
Mediana
A mediana é o valor que ocupa a posição central, ou seja, 
que divide o conjunto em duas partes, cada uma com 50% dos 
valores.
Nesse exemplo, a mediana encontra-se na 3ª classe (contém 
mais da metade dos valores).
Assim, indicando a mediana por Me, temos:
amplitude frequência relativa
1000 40%
Me 3 500 14%
1000 40 Me 3 850
Me 3 500 14
−
= ⇒ =−
Portando, a mediana dos salários é R$ 3.850,00. 
Salário (R$) fa fr fra
1 500 2 500 3 12% 12%
2 500 3 500 6 24% 36%
3 500 4 500 10 40% 76%
4 500 5 500 4 16% 92%
5 500 6 500 2 8% 100%
Total 25
 ► Amplitude da classe mediana: 4500 – 3500 = 1000.
 ► Frequência relativa da classe mediana: 40%.
 ► Diferença entre 50% e a frequência relativa acumulada até 
o final da 2ª classe (classe anterior à classe mediana): 
50% – 36% = 14%. 
33